第26章反比例函数教案详解

10,kk≠【教学说明】论.最后教师予以评讲，时没有区分比例系数）,3x=时的反比例函数.的画图，在学生探索画反比例函数的图象过程中，教师应给予恰当点拨：如学生列表时，由于自变量x≠0，故在x ＜0和x＞0时，应各取三个以上的数据，以便使描点画图更精确些；在连线上，x＜0和x＞0 的两个分支应根据变化趋势用平滑曲线连接，但它们是不能相交的；列表中数据，描点时点的位置等不能出错，以保证图象更能反映出反比例函数的性质.问题2 反比例函数y =-6x和y =-12x的图象有什么共同特点？它们之间有什么关系？反比例函数y = 6x和y =-6x的图象呢？同学间相互交流.【教学说明】让两组同学分别交流，找出图象的特征，教师可分别参与讨论，帮助学生获取正确认知.【归纳结论】由图象可发现：（1)它们都是由两条曲线组成，并且随|x|的不断增大（或减小），曲线越来越接近x轴（或y轴），但这两条曲线永不相交；（2) y = 6x和y =-6x及y =12x和y =-12x的图象分别关于x轴对称，也关于y轴对称.思考观察函数y = 6x和y =-6x以及y =12x和y =-12x的图象.(1)你能发现它们的共同特征以及不同点吗？(2)每个函数的图象分别位于哪几个象限？(3)在每个象限内y随x的变化如何变化？【归纳结论】反比例函数y =kx的图象及其性质：(1)反比例函数y=kx(k为常数，且k 0)的图象是双曲线；(2)当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x值的增大而减小；(3)当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x值的增大而增大.三、合作研学、重组构建例如图，一次函数y = kx十b的图象与反比例函数y =mx的图象相交于A 、B 两点.(1)根据图象，分别写出A 、B 的坐标；(2)求出两函数的解析式；(3)根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的 函数值大于反比例函数的函数值.【分析】（1)观察图象，可直接写出A 、B 两点的坐标；（2)利用A 、B 两点的坐标，用待定系数法建立方程组求解，可确定两函数的解析式；（3 )通过两函数的交点A 、B 的坐标得出答案.解：（1)观察图象可知A ( -6，-2)，B （4，3)(2)由点B 在反比例函数y =m x 的图象上，所以把B (4，3)代入y =mx得3 =4m ，故m =12，所以y=12x.由点A 、B 在一次函数y =kx 十b的图象上，所以把A 、B 两点坐标代入y = kx 十b 得14326+2,1k b k k b b ⎧+==⎧⎪⎨⎨-=-⎩⎪=⎩解得 . 所以一次函数解析式为y =12x+1. (3)由图象可知，当一6＜x ＜0或x ＞4时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.【教学说明】本例有一定难度，教师可将题目展开，分步讲解，辅导学生克服对大题的恐惧.本题考查了从图象获取信息，应用待定系数法确定反比例函数与一次函数的关系式，以及利用图象比较函数值的大小等知识点. 四、当堂训练、基础达标 1 .若反比例函数 y =21m x-的图象的一个分支在第三象限，则m 的取值范围是 .2.如图是某一函数的一部分，则这个函数的表达式可能是（ ）A.y=5xB.y=-x+3C.y=-6x一、情境引学、目标激活问题（1)反比例函数kyx=（0k≠）的图象及其性质如何，不妨说说看.(2)反比例函数在各自象限内的增减性与kyx=（0k≠）中k的对应关系如何？与同伴交流，谈谈你的看法.【教学说明】学生相互交流，温习回顾上节知识，为本节的应用作铺垫，教师可予以总结，加深学生认知.二、自主探学、尝试解决反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，列表归纳如下：反比例函数kyx=（0k≠）k的符号k＞0 k＜0 图象性质(1)自变量x的取值范围为：x ≠0; (2)函数图象的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小(1)变量x 的取值范围为：x≠0; (2)函数图象的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x 的增大而增大【教学说明】通过上节课的学习，本节教师带领学生梳理一遍反比例函数的图象与性质，列表归纳，鼓励学生自主总结.【归纳结论】（1)反比例函数kyx=（0k≠），因为x≠0，y≠0，故图象不经过原点.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、第三象限（或第二、第四象限），而说图象的两个分支分别在第一、第三象限（或第二、第四象限）.(2)反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，一般都是在各自的象限内的增减情况.(3)反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不能和坐标轴相交，也不其性质的理解.四、当堂训练、基础达标1.如图是反比例函数7nyx+=的图象的一支，根据图象回答下列问题：(1)图象的另一支位于哪个象限，常数n的取值范围是什么？(2 ) 在这个函数图象的某一支上任取点A (a，b）和B (a' ,b' )如果a＜a'，那么b与b'的大小关系如何？为什么？2.如图，正比例函数y = kx与反比函数3 yx =的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC.求△ABC的面积.【教学说明】第1题学生能轻松获得结论，而第2题则需教师给予点拨引导，教师可让学生先分别求出S△AOB 和S△BOC，再求出S△ABC. 在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.五、归纳小结，拓展延学通过这节课的学习，你有哪些收获？你感觉到本节知识有哪些地方是较难理解的？与同伴交流.作业布置：教学反思：地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(精确到0.01m2)？【分析】已知圆柱体体积公式V=S • d,通过变形可得S=Vd，当V—定时，圆柱体的底面积S是圆柱体的高（深）d的反比例函数，而当S= 500m2时，就可得到d的值，从而解决问题（2)，同样地，当d=15m —定时，代入S = Vd可求得S，这样问题（3)获解.例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度V(单位：吨/天）与卸货时间t单位：天）之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多货？【分析】由装货速度×装货时间=装货总量，可知轮船装载的货物总量为240吨；再根据卸货速度=卸货总量÷卸货时间，可得V与t的函数关系式为V=240t，获得问题（1)的解；在(2)中，若把t=5代入关系式，可得V=48，即每天至少要卸载48吨，则可保证在5天内卸货完毕.此处，若由V=240 t得到t=240V，由t≤5，得240V≤5，从而V≥48，即每天至少要卸货48吨，才能在不超过5天内卸货完毕.【教学说明】例2仍可由学生自主探究，得到结论.鼓励学生多角度出发，对问题（2)发表自己的见解，在学生交流过程中，教师可参与他们的讨论，帮助学生寻求解决问题的方法，对有困难的学生及时给予点拨，使不同层次的学生在学习中都有所收获.三、合作研学、重组构建例3如图所示是某一蓄水池每1h的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数图象.(1) 请你根据图象提供的信息求出此蓄水的蓄水量.一、情境引学、目标激活“给我一个支点，我可以撬动地球”，古希腊科学家阿基米德曾如是说，他的“杠杆定律”通俗地讲是：阻力×阻力臂=动力×动力臂.由上述等式，我们发现，当阻力、阻力臂一定时，动力和动力臂成反比例函数关系.二、自主探学、尝试解决例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200 N和0.5 m.(1 )动力F和动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？【分析】显然本题应用杠杆定律相关知识来解决问题，首先由阻力和阻力臂的数据得到动力F与动力臂l的函数关系式为F=600l(l＞0),再把l=1 . 5代入，求出动力的大小.注意“橇动石头至少需要多大的力”表面上看是不等关系，但用相等关系来解决更方便些.而（2)中的问题即可用F=400×12= 200代入求动力臂的长度的最小值，也可利用不等关系，600l≤400×12,得l的范围是l≥3，而动力臂至少应加长1.5米才行.【教学说明】在本例教学时，应仍由学生自主探究，构建适合题意的反比例函数关系式，让学生加深对反比例函数意义的理解，进一步增强分析问题和解决问题的能力.教师在学生练习过程中，巡视指导，帮助有困难同学形成正确认知，在大部分学生自主完成后，可提出以下问题让学生思考，巩固提高：（1 )用反比例函数知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？（2)你能再举一些应用杠杆原理做实际例子吗？三、合作研学、重组构建例2—个用电器的电阻是可调节的，其范围是110〜220 ，已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示.(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决 定采用灰、白、蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是80 cm 2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2：2: 1，则需要三种瓷砖各多少块？3.如图是放置在桌面上的一个圆台，已知圆台的上底面积是下底面积的1/4，此时圆台对桌面的压强为100 Pa.若把圆台翻过来放，则它对桌面的压强是多大呢？【教学说明】由学生独立完成，然后相互交流，发现问题，及时纠正，从而巩固对反比例函数的性质的理解.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1. ( 1 )V =806t ⨯ ，V =480t （t ＞0）. (2)V =4804= 120 (km/h). 2.（1）n • S = 5× 103 , n =3510S⨯ (S >0). (2)80cm 2=8×10-3m 2.353510 6.2510810n -⨯==⨯⨯(块）， 则有n 灰=6.25×105×25= 2.5×105(块)，n 白=6.25×105×25 =2.5×105(块) ,n 蓝=6.25×105×51=1.25×105(块）.3. 解：设下底面积为S 0，则上底面积为04S . 由F p S= ，且当S = S 0时,p = 100，∴0100F pS S ==⨯ . 同一物体质量不变，∴ F=100S 0是定值.000100400(Pa)44S S F S p S S ∴====当时，. 因此，当把圆台翻过来放置时，它对桌面的压强是400Pa.五、归纳小结，拓展延学1.请举出一些应用反比例函数的实例,同伴之间相互交流.2.说说这节课你又有哪些收获？作业布置：教学反思：课题：章末复习备课人张成才王东梅[教学目标]1.系统地回顾本章主要知识，能熟练运用本章知识解决一些实际应用问题.2.进一步增强对反比例函数的图象及性质的理解，能运用它们解决具体问题.3、经历“知识回顾——问题与思考——拓展应用”的过程，进一步增强学生概括能力，发展学生分析问题，解决问题能力.[教学重点]反比例函数的图象及其性质的理解和运用.[教学难点]反比例函数图象中的面积不变性质.[教具准备][教学过程][教学环节 ] 附案一、情境引学、目标激活二、自主探学、尝试解决1.反比例函数y= kx（k 0，k为常数）的图象是怎样的？在描述反比例函数性质时应注意哪些问题？你能解释原因吗？2.你能列举几个现实生活中应用反比例函 数的实例吗？【教学说明】知识回顾中结构图的构建应是师生共同回顾本章主要知识过程中教师结合实际所展示的一种框图，然后教师给出问题与思考，让学生在回顾本章知识后进行必要反思.学生可相互交流，共同探讨，获得结论，最后教师可根据问题进行评析.三、合作研学、重组构建例1 (1)直角坐标系中有四个点P (2，6)，Q (3，4)，R (4，3)和S (5，1)，其中三点在同一反比例函数的图象上，则不在这个图象上的点是 ( )A. P 点B.Q 点C. R 点D. S 点(2)在反比例函数12m y x-=的图象上有A(x 1 y 1)，B(x 2，y 2 )两点，当 x 1＜x 2＜0 时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）A. m ＜0B. m ＞0C. m ＜12 D. m ＞12【分析】在（1)中，可结合反比例函数表达式y =k x 知k y x =⋅，即图象上点的横纵坐标之积是不变的，这样易知S 点坐标（5，1)的横纵坐标之积与另三点不同，故知点S 不在该反比例函数图象上；在（2)中，当x 1＜x 2＜0时，有y 1＜y 2，知此双曲线的一支必在第二象限，从而有1—2m ＜0，∴m ＞12时，选D ，这里需要让学生结合反比例函数的图象及其各自象限的增减性有较深刻认识才能快速准确获得结论.例2 如图，双曲线y =k x(k ＞0，x ＞0)经过 Rt ∆ABO 的直角边AB 的中点D ，已知直角边OB 在x 轴上，且∆ABO的面积为3，则k 等于（ ）A ．3B ．6 C.8 D.9 【分析】例2中可连OD ，由D 为AB 边中点，故1322BOD AOD AOB S S S ∆∆∆=== .设D 点坐标为（m ，n ）， 点D 在双曲线y = k x (k ＞0，x ＞0)上，故有n =k m，m n k ∴⨯= ,又由S △BOD =113222OB BD m n ⨯=⨯⨯= ,得3m n ⨯= ,3k ∴= ,故选A ，事实上，双曲线上任一点向坐标轴作垂线， 垂足和原点所组成的三角形的面积是不变的，为2k . 例3反比例函数y =k x（k ≠0)与一次函数y=kx-k(k ≠0)的图像在同一坐标系内的大致图象是（ ）【分析】本题可依据选项分别得到k 值的范围，A 、B 选项中k 值的取值范围各不相同，而C 、D 选项中直线与双曲线中k 值大致相同，但 D 选项中y= kx -k 所表示的直线应交于y 轴负半轴，从而知C 选项是符合要求的大致图象.例4 已知反比例函数y =1k x- （k 为常数，1k ≠ ）. (1)若点A(1，2)在这个函数的图象上，求k 的值；(2)若在这个函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围.(3)若k = 13，试判断点 B(3，4)，C(2，5)是 否在这个函数的图象上，并说明理由.【分析】（1)把x=1，y = 2代入y =1k x-，可求出k 值.（2)在每一支上y 随x 的增大而减小时，k -1＞0. ( 3 )把B 、C 两点坐标分别代入解析式，看自变量是否与函数值对应.四、当堂训练、基础达标例5 如图，直线y =x+m 与双曲线y =k x相交于A(2，1)，B 两点. (1)求m 及k 的值； (2)不解关于x ，y 的方程组y x m k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩,直接 写出点B 的坐标；(3)直线y=—2x+ 4m 经过点B 吗？请说理由.21。