2015年高考北京市文科数学真题含答案解析(超完美版)

绝密★启封并使用完成前2015年一般高等学校招生全国一致考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题：共8个小题，每题5分，共40分。

在每题的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

（1）若会合 A x 5 x 2,B x 3 x 3,则A B （）(A) x 3 x 2 (B) x 5 x 2 (C) x 3 x 3 (D) x 5 x 3（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A）x1（C）x1222y12 y11（B）x11222y12 y12（D）x12（3）以下函数中为偶函数的是（）（A）y x2sinx（B）y x2cosx（C）y lnx（D）y2x（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采纳分层抽样的方法检查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）A）90（B）100（C）180（D）300类型人数老年教师900中年教师1800青年教师1600共计4300（5）履行以下图的程序框图，输出的k值为（）A）3（B）4(C)5(D)6（6）设a,b是非零向量，“ab ab”是“a//b”的（）（（A）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件C）充足必需条件D）既不充足也不用要条件（7）某四棱锥的三视图以下图，该四棱锥最长棱的棱长为（）(A)1（B）错误！未找到引用源。

（B）错误！未找到引用源。

(D)2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的状况。

在这段时间内，该车每100千米均匀耗油量为（）加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的行程（A）6升（B）8升（C）10升（D）12升第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）（9）复数i1i的实部为．1（10）23,32,log25三个数中最大数的是．（11）在ABC中，a3,b6,A2,则B．3（12）已知2,0是双曲线x2y21b0的一个焦点，则bb2．（13）如图，ABC及其内部的点构成的会合记为D Px,y为D中随意一点，则z2x3y的最大值，为．14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在整年级中的排名状况以以下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。

数学（文）（北京卷） 第 1 页（共 12 页）绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|52}A x x =-<<，{|33}B x x =-<<，则A B =I（A ）{|32}x x -<< （B ）{|52}x x -<< （C ）{|33}x x -<<（D ）{|53}x x -<<（2）圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是（A ）22(1)(1)1x y -+-= （B ）22(1)(1)1x y +++= （C ）22(1)(1)2x y +++= （D ）22(1)(1)2x y -+-= （3）下列函数中为偶函数的是（A ）2sin y x x = （B ）2cos y x x = （C ）|ln |y x =（D ）2x y -=（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表．采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为 （A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 12 页）（5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（6）设,a b 是非零向量．“||||⋅=a b a b ”是“∥a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（A ）1 （B （C （D ）2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （A ）6升 （B ）8升 （C ）10升（D ）12升1俯视图数学（文）（北京卷） 第 3 页（共 12 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2015年高考北京市文科数学真题一、选择题1.若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则AB =（ ） A ．{}32x x -<<B ．{}52x x -<<C ．{}33x x -<<D ．{}53x x -<< 答案：A解析过程：在数轴上将集合A 、B 表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A B 为图中阴影部分， 即{}32x x -<<，选A 2.圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++=C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-= 答案：D解析过程：由题意可得圆的半径为r =则圆的标准方程为()()22112x y -+-=.选D3.下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x = C ．ln y x =D ．2x y -= 答案：B解析过程：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，选B.4.某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，）A．B．C．180D．300答案：C解析过程：由题意得，总体中青年教师与老年教师比例为160016 9009=；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x=，解得180x=.选C5.执行如果所示的程序框图，输出的k值为（）A．3B．4C．5D．6答案：B解析过程：初值为3a =，0k =，进入循环体后，32a =，1k =；34a =，2k =；38a =，3k =；316a =，4k =； 此时14a <，退出循环，故4k =，选B6.设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析过程：||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π， 此时||||a b a b ⋅=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件.选A7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A ．1BCD ．2答案：C解析过程：四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC ⊥平面ABCD ，SA 是四棱锥最长的棱，SA ===，选C注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷，含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1、若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则A B =（ ）A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<< C ．{}33x x -<< D ．{}53x x -<< 【答案】A考点：集合的交集运算.2、圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-=【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得圆的半径为2r =，则圆的标准方程为()()22112x y -+-=.考点：圆的标准方程.3、下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2xy -=【答案】B 【解析】试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 考点：函数的奇偶性.4、某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）A ．90B ．100C ．180D ．300 类别 人数老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300【答案】C 【解析】试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x =，解得180x =. 考点：分层抽样.5、执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B考点：程序框图.6、设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：||||cos ,a b a b a b ∙=∙<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ∙=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.7、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2【答案】C 【解析】试题分析：四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC ⊥平面ABCD ，SA 是四棱锥最长的棱，222223SA SC AC SC AB BC =+=++=.考点：三视图.8、某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升 【答案】B 【解析】试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B. 考点：平均耗油量.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9、复数()1i i +的实部为 ． 【答案】-1 【解析】试题分析：复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为-1. 考点：复数的乘法运算、实部.10、32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5 【解析】试题分析：31218-=<，12331=>，22log 5log 423>>>，所以2log 5最大.考点：比较大小.11、在C ∆AB 中，3a =，6b =，23π∠A =，则∠B = ． 【答案】4π 【解析】试题分析：由正弦定理，得sin sin a b A B =，即36sin 32B=，所以2sin 2B =，所以4B π∠=. 考点：正弦定理.12、已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．【答案】3 【解析】试题分析：由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以3b =.考点：双曲线的焦点.13、如图，C ∆AB 及其内部的点组成的集合记为D ，(),x y P 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为 ．【答案】7考点：线性规划.14、高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ． 【答案】乙、数学 【解析】试题分析：①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学. 考点：散点图.三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15、（本小题满分13分）已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 【答案】（1）2π；（2）3-.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 16、（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（1）42(1)22n a n n =+-=+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等. 【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.17、（本小题满分13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100√ × √ √商品 顾 客 人 数217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300√ × √ × 85 √ × × × 98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ 【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同时购买丙的可能性最大. 【解析】试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200，计算出概率；第二问，先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100+200，再计算概率；第三问，由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200，顾客同时购买甲和丙的人数为100+200+300，顾客同时购买甲和丁的人数为100，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论.试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点：统计表、概率.18、（本小题满分14分）如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，V ∆AB 为等边三角形，C C A ⊥B 且C C 2A =B =，O ，M 分别为AB ，V A 的中点．（Ⅰ）求证：V //B 平面C MO ；（Ⅱ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ； （Ⅲ）求三棱锥V C -AB 的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）33. 【解析】试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问，在三角形ABV 中，利用中位线的性质得//OM VB ，最后直接利用线面平行的判定得到结论；第二问，先在三角形ABC 中得到OC AB ⊥，再利用面面垂直的性质得OC ⊥平面VAB ，最后利用面面垂直的判定得出结论；第三问，将三棱锥进行等体积转化，利用C VAB V ABC V V --=，先求出三角形VAB 的面积，由于OC ⊥平面VAB ，所以OC 为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可. 试题解析：（Ⅰ）因为,O M 分别为AB ，VA 的中点， 所以//OM VB . 又因为VB ⊄平面MOC ， 所以//VB 平面MOC.（Ⅱ）因为AC BC =，O 为AB 的中点， 所以OC AB ⊥.又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB. 所以平面MOC ⊥平面VAB.（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB 中，2AC BC ==，所以2,1AB OC ==.所以等边三角形VAB 的面积3VAB S ∆=.又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C-VAB 的体积等于1333VAB OC S ∆⨯⨯=. 又因为三棱锥V-ABC 的体积与三棱锥C-VAB 的体积相等，所以三棱锥V-ABC 的体积为33. 考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.19、（本小题满分13分）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,e ⎤⎦上仅有一个零点． 【答案】（1）单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；极小值(1ln )()2k k f k -=；（2）证明详见解析.所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 在x k =处取得极小值(1ln )()2k k f k -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )()2k k f k -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥. 当k e =时，()f x 在区间(1,)e 上单调递减，且()0f e =， 所以x e =是()f x 在区间(1,]e 上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间(0,)e 上单调递减，且1(1)02f =>，()02e kf e -=<， 所以()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点. 综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.20、（本小题满分14分）已知椭圆C:2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）63；（2）1；（3）直线BM 与直线DE 平行. 【解析】 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用c e a=计算离心率；第二问，由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与x=3相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；第三问，分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=. 所以3a =，1b =，2c =.所以椭圆C 的离心率63c e a ==. （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -.直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -.所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-. （Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =.又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--. 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--. 由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=. 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k-=+.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.。

2015年北京市高考数学试卷（文科）解析2015年北京市高考数学试卷（文科）、选择题(每小题5分，共40分)(5 分)(2015?北京)若集合A={x| - 5v x v 2}, B={x| - 3v x v 3}，则AA B=( {x| - 3 v x v 2}B . {x| - 5 v x v 2} C. {x| - 3v x v 3}4. （5分）（2015?北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A . 90B . 100C . 180D . 3005. （5分）（2015?北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）1.A.){x| - 5 v x v 3}2.A.(5分)(2015?北京)圆心为(1 , 1)且过原点的圆的方程是( (x- 1) 2+ (y-1 )B . B (x+1 ) 2+ (y+1 )C .2 2=1 =1(x+1 )2=22+ (y+1))2(x- 1) 2+ (y - 1)2=23.A.（5分）（2015?北京）下列函数中为偶函数的是2 2y=x sinx B . y=x cosx C.y=|l nx| ―xy=2―- ――*■ ―F ―■ —*■ ■—+ _ . —■6. （ 5分）（2015?北京）设1,-是非零向量，“-■:，=|.i|卩・|”是•'「V 的（ ）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7. （ 5分）（2015?北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（正（主）视團侧〔左〉视團俯视图A . 1B .:■:C . :'；D . 2& （5分）（2015?北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间力啪量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月 1日12 35000 2015年5月 15 日 4835600注：累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 100千米平均耗 油量为 （ ）A . 6升B . 8升C . 10 升D . 12 升二、填空题9. （ 5 分）（2015?北京）复数i （1+i ）的实部为10 . （ 5 分）（2015?北京）2「3, 3 ',11 . （5 分）（2015?北京）在△ ABC 中，a=3, b= 一 / A=^—，则/B= ________________log 25三个数中最大数的是12. （5分）（2015?北京）已知（2, 0）是双曲线x 2-土 =1 （b >0）的一个焦点，则 b= ___________13. （ 5分）（2015?北京）如图，△ ABC 及其内部的点组成的集合记为中任意一点，贝U z=2x+3y 的最大值为 ___________________14. （ 5分）（2015?北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.i 267i J t■ fl4 i * )■»起j■ 1 L•ie数学成绩年级名冰亠'■■* * *• '• •芮■■■ 1I- 4-«A *O总成绩年级名次207*0 总成绩年级名离2印"从这次考试成绩看，① 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ② 在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是三、解答题（共80分）15. （13 分）（2015?北京）已知函数 f （x ） =sinx - 2 「；sin 2;：（1 ）求f （x ）的最小正周期；9 IT（2）求f （x ）在区间［0,丄一］上的最小值.■R J 116. （13 分）（2015?北京）已知等差数列 ｛a n ｝满足 a 1+a 2=10, a 4- a 3=2（1 ）求｛a n ｝的通项公式；（2）设等比数列｛b n ｝满足b 2=a 3, b 3=a 7，问：b 6与数列｛a n ｝的第几项相等?D , P (x , y )为 D2015年北京市高考数学试卷(文科)解析甲乙丙丁100 V x W217X VxV 200VVVX 300V xVx 85 V xxx 98x Vxx(1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?18. (14分)(2015?北京)如图，在三棱锥 V - ABC 中，平面 VAB 丄平面ABC , △ VAB 为 等边三角形，AC 丄BC 且AC=BC= . ：-, O , M 分别为AB , VA 的中点.(1) 求证：VB //平面MOC ; (2) 求证：平面 MOC 丄平面VAB (3 )求三棱锥 V - ABC 的体积.219. (13 分)(2015?北 京)设函数 f (x ) =： - klnx , k > 0.(1 )求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f ( x )存在零点，则f (x )在区间(1,二)上仅有一个零点.2 220. (14分)(2015?北京)已知椭圆 C : x +3y =3，过点D (1, 0)且不过点 E (2, 1)的 直线与椭圆C 交于A , B 两点，直线AE 与直线x=3交于点M .(1) 求椭圆C 的离心率；(2) 若AB 垂直于x 轴，求直线 BM 的斜率；(3) 试判断直线 BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.17. (13分)(2015?北京)某超市随机选取 四种商品的情况，整理成如下统计表，其中1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁 “ A 表示购买,>表示未购买..42015年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5分，共40分）1.（ 5 分）（2015?北京）若集合 A={x| - 5 v x v 2}, B={x| - 3v x v 3}，则 A A B=（）A . {x| - 3 v x v 2}B . {x| - 5 v x v 2}C . {x| - 3v x v 3}D . {x| - 5v x v 3}考点：交集及其运算. 专题：集合.分析：直接利用集合的交集的运算法则求解即可.解答：解：集合 A={x| - 5v x v 2}, B={x| - 3 v x v 3},则 A n B={x| - 3v x v 2}. 故选：A .点评：本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力.2. ( 5分)(2015?北京)圆心为(1 , 1)且过原点的圆的方程是(2 2 2A . (x - 1)+ (y - 1 )B . B (x+1 )+ (y+1 )C . (x+1 ) + ( y+1)考点：圆的标准方程. 专题：计算题；直线与圆.分析：利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程. 解答：解：由题意知圆半径2 2•••圆的方程为（x - 1） + （ y - 1） =2. 故选：D .点评：本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题.3. （ 5分）（2015?北京）下列函数中为偶函数的是（）A. y=x 2sinx B . y=x 2cosx C . y=|lnx| D . y=2 x考点：函数奇偶性的判断. 专题：函数的性质及应用.分析：首先从定义域上排除选项 C ,然后在其他选项中判断-x 与x 的函数值关系，相等的 就是偶函数. 解答：解：对于A , （- x ） 2sin （- x ） = - x 2sinx ;是奇函数；2 2对于 B , （- x ） cos （- x ） =x cosx ;是偶函数； 对于C ,定义域为（0, +8）,是非奇非偶的函数；对于D ，定义域为R ,但是2-（-x ）=2x 吃-x , 2x ^_ 2-x ;是非奇非偶的函数； 故选B点评：本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函 数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断 f （- x ）与f （x ）关系，相等是偶函数， 相反是奇函数.(x - 1) =12=1=22=24. （5分）（2015?北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调 查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为 （ ）类别 人数老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计4300A . 90B . 100C . 180D . 300考点：分层抽样方法.专题：计算题；概率与统计.分析：由题意，老年和青年教师的人数比为 900: 1600=9 : 16，即可得出结论.解答：解：由题意，老年和青年教师的人数比为900: 1600=9: 16,因为青年教师有320人，所以老年教师有 180人， 故选：C .点评：本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础.5. （ 5分）（2015?北京）执行如图所示的程序框图，输出的A . 3B . 4C . 5D . 6考点：程序框图.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a , k 的值，当a 丄时满足条件a v 丄,16 4k 值为（）退出循环，输出k 的值为4. 解答：解：模拟执行程序框图，可得 k=0, a=3, q=—［2 a —, k=12不满足条件av —, a*, k=24 4 不满足条件av-L, a 』,k=348不满足条件a v 丄，a= , k=44 帀满足条件a v_,退出循环，输出 k 的值为4.4故选：B .点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题.B .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的运算. 专题：平面向量及应用；简易逻辑.分析：由便可得到］ 讣夹角为0，从而得到 J \、,而J // I 】并不能得到r 夹角为0,从而得不到|a| |b |,这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出 正确选项. 解: （ °・ I 一 ..二=1 I, I -；…」■- I I 时，cos ^l 1；=1 ；• .l// h;• 宁】:I 是“//「,”的充分条件; （2）1/'时，：.［，的夹角为0或n•••住斥二|Tj |b |,或—|呂|両;6.（ 5分）（2015?北京）设是非零向量,一 ；=|叫『・|”是人：的（ ）A .充分而不必要条件 C .充分必要条件即;『/ b得不到a *b=|a lb;k»b=| a | |b 不是自// b”的必要条件;•••总上可得玉用二|； |币| ”是“ //吊”的充分不必要条件.故选A .点评：考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义.7. （5分）（2015?北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）正（主）视團侧〔左》视團俯视图A . 1B .工C. ： D . 2考点：由三视图求面积、体积.专题：空间位置关系与距离.分析：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据,可得答案解答：解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，其中PA丄平面ABCD，底面ABCD为正方形•PA=1 , AB=1 , AD=1 ,•PB= . '：, PC= =.：:.PD= . :■:该几何体最长棱的棱长为：-;故选：C.点评：本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键& （5分）（2015?北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间力啪量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15 日4835600注：累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A . 6 升B . 8 升C . 10 升D . 12 升考点：一次函数的性质与图象.专题：函数的性质及应用.分析：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量.解答：解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48七=8;故选：B.点评：本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力.二、填空题9. （5分）（2015?北京）复数i （1+i ）的实部为 -1 .考点：复数的基本概念.专题：数系的扩充和复数.分析：直接利用复数的乘法运算法则，求解即可.解答：解：复数i （1+i）= - 1+i,所求复数的实部为：-1.故答案为：-1.点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力.10. （5分）（2015?北京）2-3, 3 ■ , log 25三个数中最大数的是log25 .考点：不等式比较大小.专题：函数的性质及应用.分析：_ :运用指数函数和对数函数的单调性，可得0v 2-3< 1,1v 3料v 2, Iog25> Iog24=2,即可得到最大数.解答：_解：由于0< 2-3< 1 , 1 < 3 2< 2,Iog25> log24=2,则三个数中最大的数为 Iog 25. 故答案为：Iog 25.点评：本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于基础题.考点：正弦定理. 专题：解三角形.分析：由正弦定理可得sinB ,再由三角形的边角关系，即可得到角 B .解答：解：由正弦定理可得，asi nA sinB即有sinB 」亠」="亠•：：，a 3 2由 b v a ,贝U B v A , 可得B=2!. 故答案为：丄.点评：本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题.蚩一=1 （b > 0）的一个焦点，贝U b=_J5b 2 —考点：双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.由题意可得 .■ =2，解得b=二. 故答案为：「；.点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题.13. （5分）（2015?北京）如图，△ ABC 及其内部的点组成的集合记为D , P （x , y ）为D中任意一点，贝U z=2x+3y 的最大值为7 .11. （5 分）（2015?北京）在△ ABC 中，a=3.b=_ ・，/ A=—，则/ B =_-_12. （ 5分）（2015?北京）已知（2, 0）是双曲线X 2 分析：求得双曲线x 2方程，即可得到解答：解：双曲线x 2b 的值.■^-=1 (b > 0)的焦点为 b £ (.■ I'.-，0)，（-』］ + /, 0），可得b 的=1 （b > 0）的焦点为 0),2015年北京市高考数学试卷（文科）解析考点：简单线性规划.专题：不等式的解法及应用.的截距最大，此时z 最大. 即 A （2, 1）.此时z 的最大值为z=2 X2+3 X1=7 , 故答案为：7.八、 -理2)■0 pl®、 0 :点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.14. （ 5分）（2015?北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.i267261t■ #n■*t* *■・ ・■芮» * *4卜■ *■* 實乙•• 114- «■* •X*1O总成第年级名次2矿 0 总成绩年级名炎2印"分析：利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值.解答:解：由 z=2x+3y ，得 y=平移直线经过点A 时，直线2015年北京市高考数学试卷(文科)解析从这次考试成绩看，① 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙； ② 在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学•考点：两个变量的线性相关. 专题：概率与统计.分析：根据散点图分析三位同学总成绩名次，语文、数学名次.解答：解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班 37位学生的语文成绩，数学成绩与 总成绩在全年级的排名情况的散点图可知① 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；② 在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学； 故答案为：乙；数学.点评：本题考查了对散点图的认识；属于基础题.三、解答题(共80分)15. (13 分)(2015?北京)已知函数 f (x ) =sinx - 2：『f sin^(1 )求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间［0,三二］上的最小值.3考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值. 专题：三角函数的图像与性质. 函数的周期性及其求法即可得解；(2)由xC ［0，I ，可求范围x+—心，n ，即可求得f (x )的取值范围，即可得解.解：(1) ■/ f (x ) =sinx - 2^^sin 2葢=sinx -=sinx+分析:(1)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f (x ) =2sin (x+— 3)-.二，由三角 解答:=2sin (x+-7T••• f ( x )的最小正周期 T=「一=2n;on(2) •- x €[0，争,7T 7T• x+— €[—, n ，wJ [-1 I t• sin ( x+—77) €[0, 1]，即有：f (x ) =2sin (x^—-) -€[ -^3,2 - I ；],-；cosx-2015年北京市高考数学试卷(文科)解析3种商品的概率;点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查.16. (13 分)(2015?北京)已知等差数列 ｛a n ｝满足 a i +a 2=10, a 4- a 3=2(1 )求｛a n ｝的通项公式；(2)设等比数列｛b n ｝满足b 2=a 3, b 3=a 7，问:b 6与数列｛a n ｝的第几项相等?考点：等差数列的性质.专题：计算题；等差数列与等比数列.分析：(I )由a 4- a 3=2，可求公差d ,然后由a 1+a 2=10,可求a 1,结合等差数列的通项公式 可求(II )由b 2=a 3=8, b 3=a 7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式 可求b 6,结合(I )可求解答：解：(I )设等差数列｛a n ｝的公差为d .a 4 — a 3=2，所以 d=2T a 1+a 2=10,所以 2a 1+d=10• a 1=4,• a n =4+2 (n - 1) =2n+2 (n=1 , 2,…) (II )设等比数列｛b n ｝的公比为q , ■/ b 2=a 3=8, b 3=a 7=16,•- q=2, b 1=4•- 一二一 L - -=128，而 128=2n+2n=63• b 6与数列｛a n ｝中的第63项相等点评：本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易.17. (13分)(2015?北京)某超市随机选取 四种商品的情况，整理成如下统计表，其中 甲乙丙丁100 V x W 217X Vx V 200VVVX 300V x Vx 85 V x x x 98x Vx x(1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?•••可解得f (x )在区间［0,—］上的最小值为1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁“V”示购买，“x 表示未购买.2015年北京市高考数学试卷(文科)解析考点：相互独立事件的概率乘法公式.专题：概率与统计.分析：(1)从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率.(2)根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.(3)在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论.解答：解：(1)从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为二丄=0.2 .1000(2)在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300 (人),故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3 .1000(3)在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为—=0.2 ,1000故同时购买甲和丙的概率最大.点评：本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题.18. (14分)(2015?北京)如图，在三棱锥V - ABC中，平面VAB丄平面ABC , △ VAB为等边三角形，AC丄BC且AC=BC= . :■:, O, M分别为AB , VA的中点.(1)求证：VB //平面MOC ;(2)求证：平面MOC丄平面VAB(3 )求三棱锥V - ABC的体积.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定. 专题：综合题；空间位置关系与距离.分析：(1)利用三角形的中位线得出OM // VB，利用线面平行的判定定理证明VB //平面MOC ;(2)证明：OC丄平面VAB，即可证明平面MOC丄平面VAB2015年北京市高考数学试卷(文科)解析2(3 )利用等体积法求三棱锥 V - ABC 的体积.解答： (1) 证明：•/ O , M 分别为AB , VA 的中点，• OM // VB ,•/ VB?平面 MOC , OM?平面 MOC , • V B // 平面 MOC ;(2) •/ AC=BC , O 为 AB 的中点，•• OC 丄AB ,• •平面 VAB 丄平面 ABC , OC?平面 ABC ,•• OC 丄平面VAB , •/ OC?平面 MOC ,•••平面MOC 丄平面VAB(3)在等腰直角三角形 ACB 中，AC=BC= _ :, • S A VAB =.二•/ OC 丄平面VAB ,IV C -VAB =?S A VAB = _ ,33点评：本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键.219. (13 分)(2015?北京)设函数 f (x ) =： - klnx , k >0.(1 )求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f ( x )存在零点，则f (x )在区间(1,；)上仅有一个零点.考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值. 专题：导数的综合应用. 分析：(1)利用f (x )为或f (x )切求得函数的单调区间并能求出极值;(2 )禾9用函数的导数的极值求出最值，禾U 用最值讨论存在零点的情况.解答：解：(1)由f (x )=f ( x ) =x - 由 f (x ) =0 解得 x= . 丁f (x )与f (x )在区间(0, + 8)上的情况如下： X (o , •上)1 f (x ) -0 f (x )J--'- .i- ■2所以，f (X )的单调递增区间为(血，+0°),单调递减区间为(0,血|);在x=、J.!：-处的极小值为f (I 〕；)=(2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0, + R )上的最小值为因为f (x )存在零点，所以-］_……'；,，从而k 死• AB=2 , OC=1 ,V V - ABC =V C - VAB =：；32015年北京市高考数学试卷(文科)解析当k=e时，f (x)在区间(1，;,-) 上单调递减，且f (一 -) =0所以x= 是f (x)在区间(1，］上唯一零点.当k >e时，f (x)在区间(0,「，•)上单调递减，且F⑴冷R f (Q号<0,所以f (x)在区间(1,. 一］上仅有一个零点.综上所述，若f ( X)存在零点，则f (x)在区间(1，守'』］上仅有一个零点.本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型.点评:2 220. (14分)(2015?北京)已知椭圆C: x +3y =3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M .(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(1)通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；(2)通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率;(3)分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可. 解答：解：(1) ：•椭圆C: x2+3y2=3，•••椭圆C的标准方程为：一^+y2=1，••• a=\厂-；，b=1，c=”」习，•椭圆C的离心率e=^= _ '；a 3(2) •/ AB过点D (1，0)且垂直于x轴,•可设A (1, y1), B (1, - y1),••• E (2, 1) , •直线AE 的方程为：y -仁(1 - y1) (x-2), 令x=3，得M (3, 2 -y1),2■•直线BM的斜率k BM= _ . =1 ；(3)结论：直线BM与直线DE平行. 证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)知k BM=1,1 - Q又•••直线DE 的斜率k DE= =1 , • BM // DE ；u 1当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k ( x- 1) ( k F),设A (X1, y1) , B (x2, y2),2015年北京市高考数学试卷（文科）解析联立 K +3y =3 ，得（1+3k 2） x 2 - 6k 2x+3k 2-3=0, L y=k （K - Li 由韦达定理，得 X 1 +x 2=—$ * , X 1X 2 77 ,l+3k 21+3上£•/ k BM —k +（x 2_l ）（ Xj _ 2） - （3 - （巧 一2）（3 -七）（X] - 2）（—1）（ -卅乎+生吕7）（3 _ 巳）（切 - 2）=0,• k BM =1=k DE ，即 BM // DE ; 综上所述，直线 BM 与直线DE 平行.点评：本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题 方法的积累，属于中档题.2015 年北京市高考数学试卷 （文科 ）解析•••直线BM 的斜率k BM =1 O =ii r~i i . d fi ■士l+3k 2143k则直线AE 的方程为令x=3，则点M （3,-? *宀参与本试卷答题和审题的老师有：qiss;刘长柏；changq；W3239003 ; wkl197822 ; sdpyqzh;双曲线；maths;吕静；caoqz;雪狼王；cst （排名不分先后）菁优网2015 年6 月13 日。

2015年北京高考文科数学试题及参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

（1）若集合A=｛x|-5＜x ＜2｝，B=｛x|-3＜x ＜3｝，则A B=（ ） A. -3＜x ＜2 B. -5＜x ＜2 C. -3＜x ＜3 D. -5＜x ＜3 （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） （A ）（x-1）2+（y-1）2=1 （B ）（x+1）2+（y+1）2=1 （C ）（x+1）2+（y+1）2=2 （D ）（x-1）2+（y-1）2=2 （3）下列函数中为偶函数的是（ ）（A ）y=x ²sinx （B ）x x y cos 2=（C ）x y ln = （D ）x y -=2（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ） （A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计4300(5)执行如果所示的程序框图，输出的k 值为（ ）（A ）3 （B ）4 (C)5 (D)6 （6）设a ，b 是非零向量，“a ·b=IaIIbI ”是“a//b ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）(A)1 （B ）错误！未找到引用源。

（B ）错误！未找到引用源。

(D)2 （8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）（A ）6升 （B ）8升 （C ）10升 （D ）12升 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数()i i +1的实部为 （10）32-, 213 , log 25三个数中最大数的是（11）在△ABC 中，a=3,b=错误！未找到引用源。

【高考试题】2015年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣5＜x＜2}C．{x|﹣3＜x＜3}D．{x|﹣5＜x＜3} 2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=23．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx|D．y=2﹣x4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90 B．100 C．180 D．3005．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．28．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升 B．8升 C．10升D．12升二、填空题9．（5分）复数i（1+i）的实部为．10．（5分）2﹣3，，log25三个数中最大数的是．11．（5分）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=．12．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=．13．（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为．14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．三、解答题（共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．16．（13分）已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？17．（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．19．（13分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．20．（14分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．2015年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣5＜x＜2}C．{x|﹣3＜x＜3}D．{x|﹣5＜x＜3}【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．【解答】解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B={x|﹣3＜x＜2}．故选：A．【点评】本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力．2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．3．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx|D．y=2﹣x【分析】首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系，相等的就是偶函数．【解答】解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数；对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数；。

2015年高考数学卷 北京卷 文科一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.若集合{|52}A x x =-<<,{|33},B x x =-<<则A B = （ ） A. {|32}x x -<< B. {|52}x x -<< C. {|33}x x -<< D. {|53}x x -<<【参考答案】A【测量目标】集合的交集运算.【试题解析】在数轴上将集合A ，B 表示出来，如图所示，第1题图由交集的定义可得，A B 为图中的阴影部分，即{|32}x x -<<. 2.圆心为（1,1）且过原点的圆的方程是（ ） A ．22(1)(1)1x y -+-= B. 22(1)(1)1x y +++= C. 22(1)(1)2x y +++= D. 22(1)(1)2x y -+-= 【参考答案】 D【测量目标】圆的标准方程.【试题解析】由题意可得圆的半径为r 22(1)(1)2x y -+-=. 3.下列函数为偶函数的是（ ）A. 2sin y x x = B. 2cos y x x = C. ln y x = D. 2x y -= 【参考答案】 B【测量目标】函数的奇偶性.【试题解析】根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为（0，+∞）不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数也不是偶函数.4. 某校老年、中年和青年的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ） A. 90 B. 100 D. 300【参考答案】C【测量目标】分层抽样.【试题解析】由题意，总体青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师人数为x ，由分层抽样的性质可得，总体与样本中青年教师的比例相等，即320169x =，解得x =180.5. 执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6第5题图【参考答案】B【测量目标】程序框图.【试题解析】初值为a =3，k =0,进入循环体后，a =32，k =1；a=34，k=2；a=38，k=3；a=316，k =4；此时a <14,退出循环，故k =4. 6. 设,a b 是非零向量，“⋅=a b a b ”是“∥a b ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 【参考答案】A【测量目标】充分必要条件、向量共线.【试题解析】cos ,,⋅=⋅<>a b a b a b 由已知得cos ,1,<>=a b 即,0,<>=∥a b a b 而当∥a b 时，,<>a b 还可能是π，此时,⋅=-a b a b 故“⋅=a b a b ”是“∥a b ”的充分而不必要条件.7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A. 1B.C. D. 2第7题图【参考答案】C【测量目标】三视图.【试题解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA===.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油为（）A. 6升B. 8升C. 10升D. 12升【参考答案】B【测量目标】平均耗油量.【试题解析】因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35600－35000=600千米.所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008 600⨯=升.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9. 复数i(1+i)的实部为_______.【参考答案】－1【测量目标】复数的乘法运算、实部.【试题解析】复数i (1+i)=i－1=－1+i，其实部为－1.10.13222,3,log5-三个数中最大的数是________.【参考答案】2log5【测量目标】比较大小.【试题解析】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>=2log 5最大.11. 在△ABC 中，a =3,b 2π3A ∠=,则B ∠=_________. 【参考答案】π4【测量目标】正弦定理.【试题解析】由正弦定理，得,sin sin a b A B =即=所以sin B =，所以π4B ∠=. 12. 已知（2,0）是双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点，则b =______.【测量目标】双曲线的焦点.【试题解析】由题意知2222,1,3c a b c a ===-=，所以b =13. 如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，(,)P x y 为D 中任意一点，则23z x y=+的最大值为__________.第13题图【参考答案】7【测量目标】线性规划.【试题解析】由图可知，目标函数2,33zy x =-+因此当x =2，y =1，即在点A 处时，z 取得最大值为7.14. 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班的三位学生.第14题图从这次考试成绩看，（1）在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次考前的学生是_________； （2）在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________. 【参考答案】甲；语文. 【测量目标】散点图. 【试题解析】（1）由图可知，甲的数学成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的数学成绩排名比总成绩排名靠前，故填甲.（2）由图可知，比丙的语文成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的语文成绩的排名更靠前，故填语文.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15. （本小题满分13分）已知函数2()sin .2x f x x =- （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【测量目标】(1) 三角函数的周期;(2)∴()f x 的最小正周期为2π.(2) 0≤x ≤2π3，π3∴≤π3x +≤π 当ππ3x +=，即2π3x =时，()f x 取得最小值.()f x ∴在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2π()3f =16. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？【测量目标】(1)等差数列的通项公式; (2) 等比数列的性质.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为43a a -=2，所以d =2.又因为12a a +=10，所以21a +d =10,故1a =4. 所以n a =4+2(n －1)=2n +2 (n =1,2,…). （2）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以q =2,14b =. 所以61642b -=⨯=128. 由128=2n +2,得n =63.所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.17.（本小题满分13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四“×”表示未购买. （1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 【测量目标】(1)随机事件的概率； (2)统计表、随机事件的概率； (3) 随机事件的概率. 【试题解析】（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2. （2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率可以估为1002001000+=0.3.（3）与（1）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003001000++=0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000=0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.（1）求证：VB ∥平面MOC ；（2）求证：平面MOC ⊥平面VAB ； （3）求三棱锥V －ABC 的体积.第18题图【测量目标】(1)线面平行的判定； (2)面面垂直的判定； (3)三棱锥的体积公式. 【试题解析】（1）因为O 、M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .（2）因为AC =BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB .所以平面MOC ⊥平面VAB .（3）在等腰直角三角形ACB 中，AC =BC 所以AB =2，OC =1.所以等边三角形VAB 的面积VAB S △又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C －VAB 的体积等于1=33VAB OC S ⨯⨯△. 又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等，所以三棱锥V －ABC 19.（本小题满分13分）设函数2()ln 2x f x k x =-，k >0. （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(上仅有一个零点.【测量目标】(1)导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值; (2)函数零点问题.【试题解析】（1）由2()ln 2x f x k x =-，（k >0）得 2'()k x kf x x x x-=-=由于'()f x =0，解得x ()f x 与'()f x 在区间（0，+∞）上的情况如下：所以()f x 的单调递减区间是（0+∞）；()f x 在x 处取得极小值f =(1ln )2k k -.（2）由（1）知，()f x 在区间（0，+∞）上的最小值为f =(1ln )2k k -. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )2k k -≤0，从而e k 卐.当k =e 时，f (x )在区间（1f =0.所以x f (x )在区间(上的唯一零点.当k >e 时，f (x )在区间（0f (1)=12>0，fe 2k -<0，所以f (x )在区间(上仅有一个零点.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：223x y +=3，过点D （1,0）且不过点E （2,1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x =3交于点M .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由. 【测量目标】(1)椭圆的标准方程及其几何性质; (2)直线的斜率;(3)两直线的位置关系.【试题解析】（1）椭圆C 的标准方程为223x y +=1.所以a b =1,c 所以椭圆的离心率e =c a =3(2)因为AB 过点D （1,0）且垂直于x 轴，所以可设A （1，1y ），B （1，－1y ），直线AE 的方程为y －1=(1－1y )(x －2). 令x =3，得M （3,2－1y ）. 所以直线BM 的斜率BM k =11231y y -+-=1.(3)直线BM 与直线DE 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（2）可知BM k =1.又因为直线DE 的斜率DE k =1021--=1，所以BM ∥DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y=k (x －1)(k ≠1).设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为y －1=111(2)2y x x ---. 令x =3，得点M （3，11132y x x +--）.由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=.所以12x x +=22613k k +，12x x =223313k k -+.直线BM 的斜率11212323BMy x y x k x +---=-. 因为BM k －1=11112121(1)3(1)(2)(3)(2)(3)(2)k x x k x x x x x x -+---------=[]121221(1)2()3(3)(2)k x x x x x x --++---=2222213312(1)31313(3)(2)k k k k k x x ⎡⎤-+-+-⎢⎥++⎣⎦-- =0所以BM k =1=DE k所以BM ∥DE.综上可知，直线BM 与直线DE 平行.。