模糊集理论及其应用 第一章
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模糊集的理论及应用-1
1
1.1 经典集合的基本概念
定义
10/26/2018 9:20:19 AM
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
集合是确定的、具有一定性质的事物的全体 集合常用大写字母表示 集合中的事物称为集合的元素，常用小写字母表示 集合的元素与集合的关系是：属于∊，或者，不属于∉ 对于给定的问题，所关心的事物的全体组成论域集合 集合的表示方法：
7
1.2 格与代数系统
偏序集的例子
10/26/2018 9:20:19 AM
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
整数集合Z关于“≤”做成的集合（Z, ≤）； 集合A的幂集合关于“”做成的集合（P(A), ）； 正整数集合Z+关于“|”（整除）做成的集合（Z+, |）； 整数集合Z关于“mod(k)”做成的集合（Z, mod(k)”） 偏序集合可以做出相应的哈斯（hassen）图，其中要用到 覆盖的概念： ， L，说覆盖，如果<（ 且 ≠ ） 且不存在使得< < 。 若覆盖，则在，间画连线，且保证在上， 在下。 将所有的覆盖连线做出形成的图称为哈斯（hassen）图。
子集（⊆）
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
10/26/2018 9:20:19 AM
注意特征函数表示方法：
AB ( x) A ( x) B ( x)
AB ( x) A ( x) B ( x)
相等（=） 并（∪） 交（∩） 余（-,c,’） 差（-） 对称差（）
A ( x) 1 A ( x)
c
上述公式可以推广到任意多 个集合的情况
3
1.1 经典集合的基本概念
运算律
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用随着科技的不断发展，数据的处理和分析也变得越来越重要。
在实际应用中，我们经常会遇到模糊的、不确定的数据。
例如，当我们要对一个人的身高进行分类时，可能会遇到一些边界模糊的情况，比如一个人的身高介于1.70米和1.75米之间，我们无法确定他应该被归为哪一类。
这时，我们就需要使用模糊集合论来处理这些不确定的数据。
模糊集合论是集合论的一种扩展，它将元素的归属关系从“是”、“否”这两种二元关系扩展到了“可能是”、“可能不是”这两种模糊关系。
在模糊集合论中，元素的隶属度是一个介于0和1之间的实数，表示这个元素属于这个集合的程度。
当隶属度为1时，这个元素完全属于这个集合；当隶属度为0时，这个元素不属于这个集合；当隶属度在0和1之间时，这个元素部分属于这个集合。
模糊集合论的应用非常广泛，它可以用于模糊控制、模糊决策、模糊识别等领域。
下面我们将介绍模糊集合论在这些领域中的应用。
一、模糊控制模糊控制是一种控制方法，它将模糊集合论应用于控制系统中。
在传统的控制系统中，输入和输出之间的关系是通过一个确定的函数来描述的，这种方法需要精确的数学模型和精确的控制规则。
然而，在实际应用中，很难找到一个精确的数学模型来描述系统，很多时候我们只能获得一些不确定的数据。
这时，我们可以使用模糊控制来处理这些不确定的数据。
模糊控制的输入和输出都是模糊集合，控制规则也是由一组模糊规则组成。
每个模糊规则都包括一个条件部分和一个结论部分。
条件部分是由若干个模糊集合组成的，它描述了输入的模糊状态；结论部分也是一个模糊集合，它描述了输出的模糊状态。
模糊控制器根据输入的模糊状态和模糊规则，计算出输出的模糊状态，然后将输出的模糊状态转化为实际的控制信号。
模糊控制在工业控制、交通控制、机器人控制等领域中得到了广泛的应用。
例如，在交通控制中，模糊控制可以根据交通流量、行车速度、车辆密度等因素来调整红绿灯的时间，使交通流畅；在机器人控制中，模糊控制可以根据机器人的传感器数据来调整机器人的运动轨迹，使其能够适应不同的环境。
模糊集合及应用 1
模糊子集合（论域的一个模糊的部分）
L ＝ 胖子的集合
＝ {( 张三，0.93 )，( 李四，0.4 )，( 王五，0.88 )， ( 赵六，0.9 )，( 丁丽，0.66 )，( 刘丽，0.7 )， ( 白丽，0.4 )}
模糊集合的运算
模糊交运算
赵六隶属于高个子集合的程度为0.4；赵 六隶属于胖子集合的程度为0.9； 这两个数字中取小 0.4 ∧ 0.9＝0.4， 作为赵六隶属于又高又胖者集合的程度。
通常集合的运算
交集合（两个子集合的共同部分）
A∩C ＝ 东莞籍男生 ＝ {张三，李四} A∩D ＝ 惠州籍男生 ＝ {王五，赵六} B∩C ＝ 东莞籍女生 ＝ {丁丽，刘丽} B∩D ＝ 惠州籍女生 ＝ {白丽}
通常集合的运算
并集合（两个子集合的联合）
E ＝ 东莞籍男生 ＝ {张三，李四} F ＝ 惠州籍男生 ＝ {王五，赵六} I ＝ 东莞籍女生 ＝ {丁丽，刘丽} J ＝ 惠州籍女生 ＝ {白丽}
通常集合及其运算
并集 交集 补集
A∪B = { x | x A 或 x B }； A∩B = { x | x A 且 x B }； A′= { x | x A }.
通常集合及其运算
论域U 的所有子集所组成的集合称 为U 的幂集，记为 (U). 集合A 的所有子集所组成的集合称 为A 的幂集，记为 (A).
通常子集合
B ＝女生的集合＝{丁丽，刘丽，白丽}
C ＝东莞籍学生＝{张三，李四，丁丽，刘丽} D ＝惠州籍学生＝{王五，赵六，白丽}
模糊子集合
诸如此类的“集合”，大 胖子的集合，学习好的学 生的集合，能力强的学生 （论域的一个模糊的部分） 的集合，…，如何表达？ K ＝ 高个子的集合 ＝ ？
模糊集理论及其应用_第一章
1 μA
11
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
3
模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
5
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
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1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
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模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
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数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
模糊集的理论及应用1
模
糊 集
([0,1],,,c)是优软代数
的 理
其中运算定义为:
论 及
=inf{,} =sup{,}，c=1-
应
用
([0,1],,,c)不是布尔代数,因为补余律不成立。
(P(A),,,c)是布尔代数
13
1.2 格与代数系统
代数系统的相互关系
布尔代数软代数, 优软代数软代数
(F(X),,,c)是优软代数
由于 ([0,1],,, c) 是软代数，而模糊集合算律
的验证是通过隶属度来进行的，所以(F(X),,,c)
是软代数很容易验证；(F(X),,,c)的完全性、无
模 限分配律也是显然的；
糊 集
稠密性验证如下：设 A B ，则
的
理 论 及
x X , A(x) B(x),且x0 X , A(x0 ) B(x0 )
A T (A) A
,, c 模
糊
在 {0,1}X 中定义运算：
如下：
集 的 理
A B AB, A B AB, (A)c 1 A
论 及
则T是 (P( X ),,,c) 到 ({0,1}X ,,, c) 的同构映射
应
用 因此，可以把集合和与之对应的特征函数看成等同的对象。
运算及表示
子集（⊆）
相等（=）
模
糊 集
并（∪）
的 理
交（∩）
论 及
余（-,c,’）
应 用
差（-）
对称差（）
注意特征函数表示方法：
AB (x) A (x) B (x)
AB (x) A (x) B (x)
Ac (x) 1 A(x)
模糊理论及应用(1)
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模糊集合论(Fuzzy 模糊集合论(Fuzzy set)
Fuzzy set
经典集合理论 传统集合理论，通常是以二值化0 表示， 传统集合理论，通常是以二值化0或1表示， 所谓「 不是」两种的决择方式。 所谓「是」与「不是」两种的决择方式。 是一种明确的集合论 例如: 例如:男生和女生的性别 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5 1~5的 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5的 五个正整数，请问集合中有没有3 五个正整数，请问集合中有没有3，答案 是有;而集合中有没有6 答案是没有。 是有;而集合中有没有6，答案是没有。可 以很明确的分辨「 还是「 以很明确的分辨「有」还是「无」。
10
９．对偶律（对偶律也称德摩根定律） 对偶律（对偶律也称德摩根定律）
11
集合的直积（笛卡尔积） 集合的直积（笛卡尔积）
１．序偶：是由两个具有固定的客体组成，序偶中 元素的顺序是不允许改变的。 〈x,y> 三元组序偶〈〈x,y>,z>简写为〈x,y,z> 2. 笛卡尔积:任意给定两个集合Ａ和Ｂ，如果序偶 的第一个元素取自集合Ａ，而第二个元素取自集 合Ｂ，则所有这样的序偶组成的集合被定义为集 合Ａ和Ｂ的直积或笛卡尔积或叉积，记为： Ａ×Ｂ＝｛〈x,y>｜（x∈A）且(y∈B)｝
t∈ T
t∈T
{µ {µ
} ( x )}
(x)
其中， 表示上确界， 是 表示下确界， 其中，SUP是superior表示上确界，inf是inferior表示下确界，在有限的 是 表示上确界 表示下确界 情形下， 有时上、下确界分别用内插符∨ 情形下， SUP=max,inf=min, 有时上、下确界分别用内插符∨、∧来 表示， 有时还可以简化为： 表示，即∨=sup, ∧=inf,有时还可以简化为：∨=+， ∧=· 有时还可以简化为 ，
模糊集合论(Fuzzy 模糊集合论(Fuzzy set)
Fuzzy set
经典集合理论 传统集合理论，通常是以二值化0 表示， 传统集合理论，通常是以二值化0或1表示， 所谓「 不是」两种的决择方式。 所谓「是」与「不是」两种的决择方式。 是一种明确的集合论 例如: 例如:男生和女生的性别 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5 1~5的 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5的 五个正整数，请问集合中有没有3 五个正整数，请问集合中有没有3，答案 是有;而集合中有没有6 答案是没有。 是有;而集合中有没有6，答案是没有。可 以很明确的分辨「 还是「 以很明确的分辨「有」还是「无」。
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９．对偶律（对偶律也称德摩根定律） 对偶律（对偶律也称德摩根定律）
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集合的直积（笛卡尔积） 集合的直积（笛卡尔积）
１．序偶：是由两个具有固定的客体组成，序偶中 元素的顺序是不允许改变的。 〈x,y> 三元组序偶〈〈x,y>,z>简写为〈x,y,z> 2. 笛卡尔积:任意给定两个集合Ａ和Ｂ，如果序偶 的第一个元素取自集合Ａ，而第二个元素取自集 合Ｂ，则所有这样的序偶组成的集合被定义为集 合Ａ和Ｂ的直积或笛卡尔积或叉积，记为： Ａ×Ｂ＝｛〈x,y>｜（x∈A）且(y∈B)｝
t∈ T
t∈T
{µ {µ
} ( x )}
(x)
其中， 表示上确界， 是 表示下确界， 其中，SUP是superior表示上确界，inf是inferior表示下确界，在有限的 是 表示上确界 表示下确界 情形下， 有时上、下确界分别用内插符∨ 情形下， SUP=max,inf=min, 有时上、下确界分别用内插符∨、∧来 表示， 有时还可以简化为： 表示，即∨=sup, ∧=inf,有时还可以简化为：∨=+， ∧=· 有时还可以简化为 ，
模糊集理论及应用讲解
这就是说 模糊子集实际是普通子集的推广 普通子集就是模糊子集的特例。
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，用模糊集表示出模糊概念“大数”。
解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。 则有：
A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 } 其中： μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8， μA(5)=1
经典集合与特征函数
3、特征函数
设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令
1 当u∈A
CA(u)=
0 当u?A
则称CA(u)为集合A的特征函数。 显然有：
A={ u | CA(u)=1 }
经典集合与特征函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5,6 }，A={ 1,3,5 }，求其特征函数。
解：特征函数如下： 1 当u=1,3,5
2、模糊集
设A={ μA (u) | u∈U } ，则称A为论域U上的一个模糊集。 3、隶属度
μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其隶属函数是等 价的。
可以看出 对于模糊集Ａ，当Ｕ中的元素u的隶属度全为0时，则Ａ就是个空 集； 当全为1时，Ａ就是全集Ｕ； 当仅取0和1时，Ａ就是普通子集。
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 张三，李四，王五 } 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。
解：假设他们的平均成绩分别为： 98分，72分，86分，设映射为平 均成绩除以100。则有隶属度：
μA(张三)=0.98，μA(李四)=0.72，μA(王五)=0.86 模糊集A={ 0.98, 0.72, 0.86 }
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，用模糊集表示出模糊概念“大数”。
解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。 则有：
A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 } 其中： μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8， μA(5)=1
经典集合与特征函数
3、特征函数
设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令
1 当u∈A
CA(u)=
0 当u?A
则称CA(u)为集合A的特征函数。 显然有：
A={ u | CA(u)=1 }
经典集合与特征函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5,6 }，A={ 1,3,5 }，求其特征函数。
解：特征函数如下： 1 当u=1,3,5
2、模糊集
设A={ μA (u) | u∈U } ，则称A为论域U上的一个模糊集。 3、隶属度
μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其隶属函数是等 价的。
可以看出 对于模糊集Ａ，当Ｕ中的元素u的隶属度全为0时，则Ａ就是个空 集； 当全为1时，Ａ就是全集Ｕ； 当仅取0和1时，Ａ就是普通子集。
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 张三，李四，王五 } 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。
解：假设他们的平均成绩分别为： 98分，72分，86分，设映射为平 均成绩除以100。则有隶属度：
μA(张三)=0.98，μA(李四)=0.72，μA(王五)=0.86 模糊集A={ 0.98, 0.72, 0.86 }
模糊数学基本理论及应用
Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj)s×n， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}. 定义：若R为 n 阶方阵，定义 R 2 = R ° R，R 3 = R 2 ° R …
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1, 2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系, R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)}, R2 ={(x, y) | y – z = 1} = {(2,1), (3,2), (4,3)}, 则R1与 R2的合成
ห้องสมุดไป่ตู้
关系的三大特性： 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有 关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
第1章 模糊集的基本概念
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用.
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1, 2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系, R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)}, R2 ={(x, y) | y – z = 1} = {(2,1), (3,2), (4,3)}, 则R1与 R2的合成
ห้องสมุดไป่ตู้
关系的三大特性： 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有 关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
第1章 模糊集的基本概念
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用.
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用模糊集合论是一种重要的数学工具，它能够处理现实世界中的模糊、不确定和不精确的信息，具有广泛的应用前景。
本文首先介绍模糊集合论的基本概念和运算，然后探讨其在决策分析、控制理论、人工智能等领域的应用，并最后展望其未来发展方向。
一、模糊集合论的基本概念和运算1.1 模糊集合的定义在传统的集合论中，一个元素只能属于集合或不属于集合，不存在中间状态。
而在模糊集合论中，一个元素可以同时属于多个集合，并且对于不同的元素，其属于集合的程度也不同。
因此，模糊集合论将集合的概念进行了扩展，使其能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性。
设X为一个非空的集合，称为全集，一个模糊集A是一个从X到[0,1]的函数，即：$$A(x):Xrightarrow[0,1]$$其中，A(x)表示元素x属于模糊集A的隶属度，取值范围为[0,1]。
当A(x)=1时，表示x完全属于A；当A(x)=0时，表示x完全不属于A；当0<A(x)<1时，表示x部分属于A。
1.2 模糊集合的运算模糊集合的运算包括模糊集合的交、并、补和乘积等。
模糊集合的交：对于两个模糊集合A和B，其交集为：$$(Acap B)(x)=min{A(x),B(x)}$$模糊集合的并：对于两个模糊集合A和B，其并集为：$$(Acup B)(x)=max{A(x),B(x)}$$模糊集合的补：对于一个模糊集合A，其补集为：$$(eg A)(x)=1-A(x)$$模糊集合的乘积：对于两个模糊集合A和B，其乘积为：$$(Atimes B)(x,y)=min{A(x),B(y)}$$其中，(A×B)(x,y)表示元素(x,y)属于模糊集合A×B的隶属度。
1.3 模糊关系和模糊逻辑在模糊集合论中，还有两个重要的概念，即模糊关系和模糊逻辑。
模糊关系是指一个元素对另一个元素的隶属度，可以用矩阵表示。
例如，设A和B是两个模糊集合，它们之间的模糊关系R可以表示为： $$R=begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} R_{21} & R_{22}end{bmatrix}$$其中，Rij表示元素i与元素j之间的隶属度。
第一章模糊集的基本概念
6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
§1.2 模糊理论的数学基础
一 经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：
元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明, 即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属 于集合(记作xA)，二者必居其一. 2.集合的表示法 (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
记R=(rij)n×n, R2 =(rij(2))n×n.
先设R具有传递性.
若rij(2) =0，则有rij(2) ≤ rij .
若rij(2) =1，则由于
rij(2) = ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = 1，
故存在1≤s≤n，使得
(ris∧rsj) = 1，
即ris= 1, rsj= 1.
由于R具有传递性，ris= 1, rsj= 1， 则rij =1. 综上所述 R2≤R. 再设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
2.关系的三大特性 定义9 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关 系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也 有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
模糊集的理论及应用-0
1、随机数学
随机数学是处理随机性 随机性的数学分支。 随机性 随机性是由认识不清、信息不足而造成的预测 事件发生与否的不确定性。 随机数学产生于17世纪，历史悠久，理论成熟， 应用广泛。 随机数学被接受经历了漫长的过程。
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
26
2011-1-21
0.3 模糊数学与随机数学
10
2011-1-21
机器人布雷斯特的故事
这个故事是美国“大众科学”杂志在1980年第一期刊登的 一则故事。 该机器人能按照预编的程序忠实的为其画家主人服务。有 一次，画家偶然到车库边脱去沾满油污的工作服，预先安 置在车库为预防火灾的高度敏锐的传感器，感知到了画家 体温的变化，他便立即作出判断：车库失火了。于是便立 即拉响了警报，人们惊慌呼救！结果是谎报军情！ 还有一次，外出的主人因为换了新装，导致布雷斯特不认 识而将主人无情拒之门外！主人哭笑不得！
17
2011-1-21
பைடு நூலகம்
0.0 模糊数学
模糊数学（Fuzzy mathematics）: 一门用精确的 数学方法研究和处理模糊性和模糊现象 模糊性和模糊现象的科学， 模糊性和模糊现象 它的理论基础是模糊集合论。
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
模糊数学的内容很丰富，包括理论部分和应用部 分。
18
2011-1-21
12
2011-1-21
模糊数学
上述现象中都出现了模糊概念：低烧、老年人、好天气、 上述现象中都出现了模糊概念：低烧、老年人、好天气、 能力强……，描述和处理模糊性和模糊概念需要新的工 能力强 ， 具 模糊性广泛存在于自然语言，人文系统：经济系统， 模糊性广泛存在于自然语言，人文系统：经济系统，社 会评价系统，控制系统， 会评价系统，控制系统，机器系统 模糊数学（ 模糊数学（Fuzzy mathematics）是一门用精确的数 ） 的科学， 学方法研究和处理模糊性和模糊现象的科学，它的 理论基础是模糊集合论。模糊数学任重而道远！ 理论基础是模糊集合论。模糊数学任重而道远！ 模糊数学的内容很丰富，包括理论部分和应用部分。 模糊数学的内容很丰富，包括理论部分和应用部分。
随机数学是处理随机性 随机性的数学分支。 随机性 随机性是由认识不清、信息不足而造成的预测 事件发生与否的不确定性。 随机数学产生于17世纪，历史悠久，理论成熟， 应用广泛。 随机数学被接受经历了漫长的过程。
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
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0.3 模糊数学与随机数学
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机器人布雷斯特的故事
这个故事是美国“大众科学”杂志在1980年第一期刊登的 一则故事。 该机器人能按照预编的程序忠实的为其画家主人服务。有 一次，画家偶然到车库边脱去沾满油污的工作服，预先安 置在车库为预防火灾的高度敏锐的传感器，感知到了画家 体温的变化，他便立即作出判断：车库失火了。于是便立 即拉响了警报，人们惊慌呼救！结果是谎报军情！ 还有一次，外出的主人因为换了新装，导致布雷斯特不认 识而将主人无情拒之门外！主人哭笑不得！
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பைடு நூலகம்
0.0 模糊数学
模糊数学（Fuzzy mathematics）: 一门用精确的 数学方法研究和处理模糊性和模糊现象 模糊性和模糊现象的科学， 模糊性和模糊现象 它的理论基础是模糊集合论。
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
模糊数学的内容很丰富，包括理论部分和应用部 分。
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模糊数学
上述现象中都出现了模糊概念：低烧、老年人、好天气、 上述现象中都出现了模糊概念：低烧、老年人、好天气、 能力强……，描述和处理模糊性和模糊概念需要新的工 能力强 ， 具 模糊性广泛存在于自然语言，人文系统：经济系统， 模糊性广泛存在于自然语言，人文系统：经济系统，社 会评价系统，控制系统， 会评价系统，控制系统，机器系统 模糊数学（ 模糊数学（Fuzzy mathematics）是一门用精确的数 ） 的科学， 学方法研究和处理模糊性和模糊现象的科学，它的 理论基础是模糊集合论。模糊数学任重而道远！ 理论基础是模糊集合论。模糊数学任重而道远！ 模糊数学的内容很丰富，包括理论部分和应用部分。 模糊数学的内容很丰富，包括理论部分和应用部分。
模糊矩阵理论与应用(范周田著)PPT模板
§2.1模糊矩阵的基本概念 §2.2单增模糊矩阵的收敛指数 §2.3收敛指数为n的n阶单增矩阵 §2.4传递矩阵 §2.5模糊矩阵幂序列在模糊逻辑 中的解释
04
第3章可控模糊矩阵
第3章可控模糊矩阵
§3.1几种特殊的模糊矩阵 §3.2可控模糊矩阵的收敛指数
05
第44.2通路及其表示 §4.3有向图的连通性 §4.4有向图的邻接矩 阵
15
参考文献
参考文献
感谢聆听
§12.3FBAM的 收敛性
§12.4FBAM的 吸引子及其稳定
性分析
§12.5FBAM的 学习算法
§12.6由maxmin学习规则确
定的FBAM
A
B
C
D
E
F
第12章模糊双向联想记忆网络的动态分析
一．§12.7FBAM的容量分析
14
第13章模糊矩阵的应用
第13章模糊矩阵 的应用
§13.1连续投资问题 §13.2三角债问题的模糊矩阵方 法 §13.3模糊一致矩阵的应用 §13.4模糊聚类分析
12
第11章模糊矩阵方程
第11章模糊矩阵 方程
§11.1完备Brouwerian格上矩阵 方程 §11.2L[0,1]上矩阵方程解的结构 §11.3广义模糊矩阵方程
13
第12章模糊双向联想记忆网络的动态分析
第12章模糊双向联想记忆网络的动态分析
§12.1模糊联想 记忆网络及其基
本问题
§12.2基本概念 与简要回顾
08
第7章格与格上的矩阵
第7章格与格上的 矩阵
§7.1偏序集与格 §7.2格的代数定义与性质 §7.3格上的矩阵 §7.4有限分配格上矩阵分解定理 §7.5格矩阵的幂序列
04
第3章可控模糊矩阵
第3章可控模糊矩阵
§3.1几种特殊的模糊矩阵 §3.2可控模糊矩阵的收敛指数
05
第44.2通路及其表示 §4.3有向图的连通性 §4.4有向图的邻接矩 阵
15
参考文献
参考文献
感谢聆听
§12.3FBAM的 收敛性
§12.4FBAM的 吸引子及其稳定
性分析
§12.5FBAM的 学习算法
§12.6由maxmin学习规则确
定的FBAM
A
B
C
D
E
F
第12章模糊双向联想记忆网络的动态分析
一．§12.7FBAM的容量分析
14
第13章模糊矩阵的应用
第13章模糊矩阵 的应用
§13.1连续投资问题 §13.2三角债问题的模糊矩阵方 法 §13.3模糊一致矩阵的应用 §13.4模糊聚类分析
12
第11章模糊矩阵方程
第11章模糊矩阵 方程
§11.1完备Brouwerian格上矩阵 方程 §11.2L[0,1]上矩阵方程解的结构 §11.3广义模糊矩阵方程
13
第12章模糊双向联想记忆网络的动态分析
第12章模糊双向联想记忆网络的动态分析
§12.1模糊联想 记忆网络及其基
本问题
§12.2基本概念 与简要回顾
08
第7章格与格上的矩阵
第7章格与格上的 矩阵
§7.1偏序集与格 §7.2格的代数定义与性质 §7.3格上的矩阵 §7.4有限分配格上矩阵分解定理 §7.5格矩阵的幂序列
第一章 模糊集基本概念
包含：A ⊂ B ⇔ A( x ) ≤ B ( x ), ∀ x ∈ U
并： (AU B)(x) = A(x) ∨ B(x),∀x∈U ∨表示取大；
交： ( A I B)( x) = A( x) ∧ B( x),∀x ∈ U ∧ 表示取小。 余： Ac ( x) = 1 − A( x),∀x ∈ U
2.随机现象：如掷骰子，观看那一面向上，这种现象 的规律性靠概率统计去刻画;
3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很 帅”，…等等。
随机性与模糊性的区别：随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指 存在于现实中的不分明现象. 模糊现象引发了模糊概念
•模糊概念举例
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”.
Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).
可见Ac ≠B, Bc ≠A. 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) ≠U,
A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) ≠φ .
χ A : U → {0,1} u a χ A(u),
其中
χ A(u)
=
⎧1, ⎩⎨0,
u∈ A u∉ A
非此即彼
函数 χ A称为集合A的特征函数。
二、模糊集合的定义
亦此亦彼
模糊集合 A , 元素 x ~
A
U
若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部， 则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
并： (AU B)(x) = A(x) ∨ B(x),∀x∈U ∨表示取大；
交： ( A I B)( x) = A( x) ∧ B( x),∀x ∈ U ∧ 表示取小。 余： Ac ( x) = 1 − A( x),∀x ∈ U
2.随机现象：如掷骰子，观看那一面向上，这种现象 的规律性靠概率统计去刻画;
3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很 帅”，…等等。
随机性与模糊性的区别：随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指 存在于现实中的不分明现象. 模糊现象引发了模糊概念
•模糊概念举例
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”.
Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).
可见Ac ≠B, Bc ≠A. 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) ≠U,
A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) ≠φ .
χ A : U → {0,1} u a χ A(u),
其中
χ A(u)
=
⎧1, ⎩⎨0,
u∈ A u∉ A
非此即彼
函数 χ A称为集合A的特征函数。
二、模糊集合的定义
亦此亦彼
模糊集合 A , 元素 x ~
A
U
若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部， 则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
灰色系统理论及其应用(精)
灰色系统理论及其应用第一章灰色系统的概念与基本原理1.1灰色系统理论的产生和发展动态1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。
目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。
国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。
灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。
1.2几种不确定方法的比较（系统科学---系统理论）概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。
其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。
也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。
模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。
比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。
概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。
要求大样本，并服从某种典型分布。
灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。
如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。
三种不确定性系统研究方法的比较分析1.3灰色系统理论的基本概念定义1.3.1信息完全明确的系统称为白色系统。
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用随着计算机科学和人工智能的发展，模糊集合论逐渐成为了一个重要的研究领域。
模糊集合论是一种比传统集合论更加灵活的数学工具，它可以用来描述那些不确定或不精确的概念，例如“高温”、“大雨”等。
在实际应用中，模糊集合论被广泛地应用于控制系统、决策分析、模式识别、信息检索等领域。
一、模糊集合论的基本概念模糊集合论是在传统集合论的基础上发展起来的一种数学理论。
在传统集合论中，一个元素要么属于一个集合，要么不属于该集合。
而在模糊集合论中，一个元素可以以不同的程度属于一个集合，这种程度可以用一个0到1之间的数值来表示，这个数值被称为隶属度。
例如，一个人的身高可以被描述为“高”这个概念的隶属度，如果一个人的身高为180cm，则他的“高”这个概念的隶属度可能为0.8，而如果一个人的身高为150cm，则他的“高”这个概念的隶属度可能为0.2。
模糊集合的定义：设X是一个非空的集合，称集合X的模糊集合为F，如果对于任意的x∈X，都可以给出一个0到1之间的实数μ(x)，表示元素x属于F的隶属度。
模糊集合的表示方法：通常用{（x，μ(x)）| x∈X}来表示一个模糊集合F，其中x是元素，μ(x)是元素x的隶属度。
模糊集合的运算：与传统集合论一样，模糊集合也有并、交、补等运算。
设A和B是X上的两个模糊集合，则它们的并、交、补分别定义为：A∪B={(x,max(μA(x),μB(x)))|x∈X}A∩B={(x,min(μA(x),μB(x)))|x∈X}A’={（x,1-μA(x))|x∈X}其中，max和min分别表示取最大值和最小值的运算。
二、模糊控制系统模糊控制系统是一种基于模糊集合论的控制系统，它可以用来处理那些难以精确建模的系统，例如温度控制、汽车控制等。
模糊控制系统的主要组成部分包括模糊化、规则库、推理机和解模糊化等。
模糊化：模糊化是将输入量转化为模糊集合的过程。
例如，将温度转化为“冷”、“温”、“热”等模糊概念的隶属度。
模糊集引论1
0.5 25 30 60
注记： 注记： • 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数 • 空集 φ 的隶属函数为 φ ( x) ≡ 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) ≡ 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
离散的模糊集表示法
假设给定有限论域 U = {a1 , a2 ,L , an } ，它的模糊子集 A 可以用查德给出的表示法：
%
A= %
µ A ( a1 )
%
a1
+
µ A ( a2 )
%
a2
+L +
µ A ( ai )
%
ai
%
+L +
µ A ( an )
%
an
%
其 中 ai ∈ U （ i = 1, 2,L , n ） 为 论 域 里 的 元 素 ，
连续的模糊集的表示法
当 U 时有限连续域时，Zadeh 给出如下记法
A=∫
~ U
µ A (u )
~
u
同样，
µ A (u )
~
u
并不表示“分数”而表示论域上的元素 u 与隶属度 µ A (u ) 之
~
间的对应关系； ∫ ”既不表示“积分” “ ，也不表示“求和”记号，而是表 示论域 U 上的元素 u 与隶属度 µ A (u ) 对应关系的一个总括。
Ac ( x) = 1 − A( x) A的余定义为： Ac 表示非A
模糊集合运算
(a) 模糊集合 A 与 B ; (b) 模糊集合 A 的补集; (c) 模糊集合 A 与 B 的交集; (d) 模糊集合 A 与 B 的并集
模糊集理论及应用讲解
这就是说 模糊子集实际是普通子集的推广 普通子集就是模糊子集的特例。
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，用模糊集表示出模糊概念“大数”。
解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。 则有：
A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 } 其中： μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8， μA(5)=1
?0.4 0.5 0.1?
例
R1 ? ??0.2 0.6 0.2??
??0.5 0.3 0.2??
?0.2 0.8? R2 ? ??0.4 0.6??
??0.6 0.4??
?0.4 0.5? R ? R1 ?R2 ? ??0.4 0.6??
UR V R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊关系
模糊关系的表示 R= ∫ μR(u, v) / (u, v)
U ×V
例 X={ x1，x2，x3 }表示父辈的3个人x1，x2，x3 的集合，而Y={ y1， y2，y3，y4 }为他们子辈的集合，“相像关系”R∈ δ （ U×V ）是 一模糊关系，则
模糊集理论及应用
1
目录
1 模糊集的基本概念 2 模糊集的基本定理 3 模糊关系与模糊矩阵 4 模糊聚类 5 模糊推理及应用
基本概念——经典集合与特征函数
1、 经典集合
现代数学中一些不同对象的全体称为集合，区别于模糊集合 其最基本的属性是： ? 集合中元素的互异性，即元素彼此相异，范围边界分明 ? 集合中元素的确定性，一个元素x与集合A的关系是，要么x∈ A，要么x? A，二者必居其一 2、 论域 处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，用模糊集表示出模糊概念“大数”。
解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。 则有：
A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 } 其中： μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8， μA(5)=1
?0.4 0.5 0.1?
例
R1 ? ??0.2 0.6 0.2??
??0.5 0.3 0.2??
?0.2 0.8? R2 ? ??0.4 0.6??
??0.6 0.4??
?0.4 0.5? R ? R1 ?R2 ? ??0.4 0.6??
UR V R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊关系
模糊关系的表示 R= ∫ μR(u, v) / (u, v)
U ×V
例 X={ x1，x2，x3 }表示父辈的3个人x1，x2，x3 的集合，而Y={ y1， y2，y3，y4 }为他们子辈的集合，“相像关系”R∈ δ （ U×V ）是 一模糊关系，则
模糊集理论及应用
1
目录
1 模糊集的基本概念 2 模糊集的基本定理 3 模糊关系与模糊矩阵 4 模糊聚类 5 模糊推理及应用
基本概念——经典集合与特征函数
1、 经典集合
现代数学中一些不同对象的全体称为集合，区别于模糊集合 其最基本的属性是： ? 集合中元素的互异性，即元素彼此相异，范围边界分明 ? 集合中元素的确定性，一个元素x与集合A的关系是，要么x∈ A，要么x? A，二者必居其一 2、 论域 处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。
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13
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§１．3 模糊集合的运算
1.3.2 模糊集合的运算及其性质 由于经典集合是模糊集合的特例，即经典集合的特征函数是一种 特殊的隶属函数，于是，Zadeh由经典集合的特征函数的运算性质出 发，引入模糊集合的运算如下： 定义1.3.2 设 A , B ∈ F ( U ) , 则 定义 ( i ) A ⊆ B iff A(u) ≤ B(u) , ∀u∈U ; (ii ) A = B iff A(u) = B(u) , ∀u∈U ; (iii) A∪B : (A ∪B) (u) = max {A(u), B(u)}= A(u) ∨ B(u), ∀u∈U ; ( v ) A∩B : (A ∩B) (u) = min {A(u), B(u)}= A(u) ∧ B(u), ∀u∈U ; ( vi) A′: A′(u) = 1﹣A(u) , ∀u∈U . 如下图所示:
所谓集合，是指具有某种特定属性的对象集体．设Ｕ 为所讨论对 象的全体，称之为论域．显然，论域Ｕ 是一个集合．论域Ｕ 中的每 个对象 u 称为 Ｕ 的元素．如此定义的集合通常称为Cantor 集合or经 典集合. 设 A 为论域Ｕ上的一个集合，则∀ u∈Ｕ， u∈A or u∉A ，二 者必居且仅居其一．这种关系可用如下二值函数表示之： χ A ：Ｕ → {0，1}， 1， u∈A u → χ A( u ) = 0， u∉A 称 χ A 为集合A的特征函数．反之，给定一个二值函数 χ A ：Ｕ → {0，1}， u → χ A( u ) ． 可唯一确定一个经典集合 A ，即A = { u∈Ｕ， χ A ( u ) = 1} ．
14
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
例1.3.1 设U ={u1 , u2 , u3 , u4 }时， A,B∈ F( U ) 且 A=(0.8, 0.9, 0.3, 0.6) , B=(0.2, 0.5, 0.6, 0.2) 则 (i) A⊄B且 B ⊄ A, A ≠ B (ii) A∪B =(0.8∨0.2, 0.9∨0.5, 0.3∨0.6, 0.6∨0.2) =(0.8, 0.9, 0.6, 0.6) (iii) A∩B =(0.8∧0.2, 0.9 ∧ 0.5, 0.3 ∧ 0.6, 0.6 ∧ 0.2) =(0.2, 0.5, 0.3, 0.2) (vi) A′ =(1－0.8, 1－ 0.9, 1－ 0.3, 1－ 0.6) =(0.2, 0.1, 0.7, 0.4) 类似于定理1.3.1,模糊集合关于“∪(并), ∩(交), ′(补)” 这三种运算满足定理1.3中的前八条运算,即
模糊集理论及其应用
陈水利
厦门 集美大学 理学院
1
第一章 模糊集合及其运算
1.1 经典集合与特征函数( P3~4) 1.2 模糊集合与隶属函数( P5~11) 1.3 模糊集合的运算( P12~14)
10 3
5
1.4 模糊集合的分解定理与表现定理( P15~24)
15
2
第一章
模糊集合及其运算
§1.1 经典集合与特征函数
表示论域U 上 u1 对于A 的隶属度为0.87 ， u2 对于A 的隶属度为0.75 ， u3 对于A 的隶属度为 A 0.75 A 0.96 ， u4 对于A 的隶属度为0.78 ， u5 对于A 的隶属度为0.56 的模糊集合 。
9
(2) 若论域U 为无限集，则 A∈ F ( U ) 可表示为 A (u ) (1 − 2 A =
4
1.1 经典集合与特征函数(2/2)
目录
§1.2 模糊集合与隶属函数
1.2.1 模糊集合的定义 为了定量地刻画模糊概念和模糊现象，美国计算机与 控制论专家，California 大学 Buckely 分校Ｌ.Ａ.Ｚadeh 教 授于1965年提出了模糊集合概念，具体定义如下: 定义1.2.1 设Ｕ 为论域，则称由如下实值函数 定义 µA ：Ｕ → [ 0，1 ]， u → µA ( u ) 所确定的集合 A 为Ｕ 上的模糊集合 模糊集合，而称µA 为模糊集合A 模糊集合 的隶属函数 A ( u )称为元素 u 对于A 的隶属度 隶属函数，µ 隶属度。 隶属函数 隶属度
11
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§1.3 模糊集合的运算
1.3.1 经典集合的运算及其性质 由于经典集合可由其特征函数唯一确定，故经典集 合的运算可通过特征函数的运算来描述，具体定义如 下： 定义1.3.1 设 A,B ∈ P ( U )，则 定义 ( i ) A ⊆ B iff ∀u∈U , χA(u) ≤ χB(u); ( ii) A = B iff ∀u∈U , χA(u) = χB(u); (iii) A∪B: ∀u∈U , χ A∪B (u) = max {χA(u) ,χB(u)}; (vi) A∩B: ∀u∈U , χ A∩B (u) = min {χA(u) ,χB(u)}; ( v) A′: ∀u∈U, χA′(u) = 1﹣χA(u) . 利用定义1.3.1不难验证，经典集合关于“∪(并), ∩(交), ′(补)”这三种运算具有如下九条基本性质.
{
3
1.1 经典集合与特征函数(1/2)
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由此可见，经典集合A 与其特征函数χ A 是 一一对应的． 由于χA 只取0和1两个值，故经典集合A 只 能用来描述界限分明的研究对象，对界限不分 明的对象却无能为力。比如，对“年轻”这个 模糊概念，用经典集合就无法给出合理的描述。 而在自然界和现实生活中，模糊现象是普遍存 在的。因此，必须把经典集合扩充，使之能够 刻划模糊现象和解决模糊性问题。
7
1.2 模糊集合与隶属函数(2/5)
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1.2.2 模糊集合的表示方法
1. Zadeh 表示法 (1) 若论域U 为有限集，即U ={u1 , u2 , … , un}，则 A∈ F ( U ) 可表示为 这里 不表示为“分数”，而是表 示 ui 隶属于A 的程度为A( ui ) ； 符号“+”也不表示加号，而是一种联系 符号。
∫
U
u
− 2)
这里“ ”不表示为积分号，而是表示 各个元素与隶 ∫ 属度对应关系的一个总括。 例1.2.2 以年龄作为论域，取U =[0，200]， Zadeh给出 “年轻”这个模糊集合Y 的隶属函数为
Y (u ) = 1 u − 25 2 1 + 5
8
A (u i ) ui
A (u 1 ) A (u 2 ) A (u n ) A = + +L + u1 u2 un
(1 − 2 − 1 )
1.2 模糊集合与隶属函数(3/5)
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例1.2.1 , u5 }，则
0 . 87 0 . 75 0 . 96 0 . 78 0 . 56 A= + + + + u1 u2 u3 u4 u5
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例如: 例如 设A=(0.8, 0.3, 0.7, 0.5), 则A′ =(0.2, 0.7, 0.3, 0.5) A ∪ A′ =(0.8, 0.7, 0.7, 0.5) ≠(1, 1, 1, 1)= U A ∩ A′ =(0.2, 0.3, 0.3, 0.5) ≠(0, 0, 0, 0)= ∅ 由此可见, (F( U ), ∪, ∩, ′ )不构成一个布尔代数,而 , , ) , 是构成一个软代数系统 称之为 软代数系统, 软代数系统 模糊格(Fuzzy Lattice) 模糊格
15
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定理1.3.2 在(F( U ), ∪, ∩, ′ )中,幂等律、交换律、结 定理 合律、吸收律、分配律、复原律、两极律和De Morgan对 偶律均成立,但排中律不成立. 即 (1) 幂等律：A∪A = A , A∩A = A ; (2) 交换律：A∪B = B∪A , A∩B = B∩A ; (3) 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ), ( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); (4) 吸收律：( A∩B )∪B = B , ( A∪B )∩B = B ; (5) 分配律：A∩( B∪C ) = ( A∩B )∪( A∩C ), A∪( B∩C ) = ( A∩B )∪( A∩C ); (6) 复原律： (A′ )′= A ; (7) 两极律： A∪U = U , A∩U = A , A∪∅ = A , A∩∅ = ∅ ; (8) De Morgan律： ( A∪B )′ = A′∩B′ , ( A∩B )′ = A′∪B′. 但是, A∪A′ ≠ U, A∩A′ ≠ ∅
−1
, ,
当 0 ≤ u ≤ 25
; .
2
当 25 < u ≤ 200
用Zadeh表示法就是
u − 25 1 + 1 5 Y =∫ +∫ [0 , 25 ] u [ 25 , 200 ] u
−1
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1.2 模糊集合与隶属函数(4/5)
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1.2.2 模糊集合的表示方法 2. 向量表示法 当论域U ={u1 , u2 , … , un }时， A∈ F ( U ) 也可用 如下向量来表示： A=(A(u1 ) ，A(u2)， …，A( un)) (1-2-3) 例如，例1.2.1中的模糊集合A也可表示为 例如 A=(0.87 ，0.75， 0.96，0.78，0.56) 由于A( ui ) ∈[0,1](i=1，2，…，n )，故称式(1-2-3) 所示的向量为模糊向量 模糊向量。 模糊向量
6
若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典 集合和所有模糊集合的全体，则 P ( U ) ⊂ F ( U ). 通常称P ( U )为U 的幂集 幂集， 幂集 模糊幂集。 而称F ( U )为U 的模糊幂集 模糊幂集 由于模糊集合A只能由其隶属函数µA来表达， 故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替µA(u) , 即 A(u) ≌ µA(u) 这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加 区分．
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
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§１．3 模糊集合的运算
1.3.2 模糊集合的运算及其性质 由于经典集合是模糊集合的特例，即经典集合的特征函数是一种 特殊的隶属函数，于是，Zadeh由经典集合的特征函数的运算性质出 发，引入模糊集合的运算如下： 定义1.3.2 设 A , B ∈ F ( U ) , 则 定义 ( i ) A ⊆ B iff A(u) ≤ B(u) , ∀u∈U ; (ii ) A = B iff A(u) = B(u) , ∀u∈U ; (iii) A∪B : (A ∪B) (u) = max {A(u), B(u)}= A(u) ∨ B(u), ∀u∈U ; ( v ) A∩B : (A ∩B) (u) = min {A(u), B(u)}= A(u) ∧ B(u), ∀u∈U ; ( vi) A′: A′(u) = 1﹣A(u) , ∀u∈U . 如下图所示:
所谓集合，是指具有某种特定属性的对象集体．设Ｕ 为所讨论对 象的全体，称之为论域．显然，论域Ｕ 是一个集合．论域Ｕ 中的每 个对象 u 称为 Ｕ 的元素．如此定义的集合通常称为Cantor 集合or经 典集合. 设 A 为论域Ｕ上的一个集合，则∀ u∈Ｕ， u∈A or u∉A ，二 者必居且仅居其一．这种关系可用如下二值函数表示之： χ A ：Ｕ → {0，1}， 1， u∈A u → χ A( u ) = 0， u∉A 称 χ A 为集合A的特征函数．反之，给定一个二值函数 χ A ：Ｕ → {0，1}， u → χ A( u ) ． 可唯一确定一个经典集合 A ，即A = { u∈Ｕ， χ A ( u ) = 1} ．
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1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
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例1.3.1 设U ={u1 , u2 , u3 , u4 }时， A,B∈ F( U ) 且 A=(0.8, 0.9, 0.3, 0.6) , B=(0.2, 0.5, 0.6, 0.2) 则 (i) A⊄B且 B ⊄ A, A ≠ B (ii) A∪B =(0.8∨0.2, 0.9∨0.5, 0.3∨0.6, 0.6∨0.2) =(0.8, 0.9, 0.6, 0.6) (iii) A∩B =(0.8∧0.2, 0.9 ∧ 0.5, 0.3 ∧ 0.6, 0.6 ∧ 0.2) =(0.2, 0.5, 0.3, 0.2) (vi) A′ =(1－0.8, 1－ 0.9, 1－ 0.3, 1－ 0.6) =(0.2, 0.1, 0.7, 0.4) 类似于定理1.3.1,模糊集合关于“∪(并), ∩(交), ′(补)” 这三种运算满足定理1.3中的前八条运算,即
模糊集理论及其应用
陈水利
厦门 集美大学 理学院
1
第一章 模糊集合及其运算
1.1 经典集合与特征函数( P3~4) 1.2 模糊集合与隶属函数( P5~11) 1.3 模糊集合的运算( P12~14)
10 3
5
1.4 模糊集合的分解定理与表现定理( P15~24)
15
2
第一章
模糊集合及其运算
§1.1 经典集合与特征函数
表示论域U 上 u1 对于A 的隶属度为0.87 ， u2 对于A 的隶属度为0.75 ， u3 对于A 的隶属度为 A 0.75 A 0.96 ， u4 对于A 的隶属度为0.78 ， u5 对于A 的隶属度为0.56 的模糊集合 。
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(2) 若论域U 为无限集，则 A∈ F ( U ) 可表示为 A (u ) (1 − 2 A =
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1.1 经典集合与特征函数(2/2)
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§1.2 模糊集合与隶属函数
1.2.1 模糊集合的定义 为了定量地刻画模糊概念和模糊现象，美国计算机与 控制论专家，California 大学 Buckely 分校Ｌ.Ａ.Ｚadeh 教 授于1965年提出了模糊集合概念，具体定义如下: 定义1.2.1 设Ｕ 为论域，则称由如下实值函数 定义 µA ：Ｕ → [ 0，1 ]， u → µA ( u ) 所确定的集合 A 为Ｕ 上的模糊集合 模糊集合，而称µA 为模糊集合A 模糊集合 的隶属函数 A ( u )称为元素 u 对于A 的隶属度 隶属函数，µ 隶属度。 隶属函数 隶属度
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1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
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§1.3 模糊集合的运算
1.3.1 经典集合的运算及其性质 由于经典集合可由其特征函数唯一确定，故经典集 合的运算可通过特征函数的运算来描述，具体定义如 下： 定义1.3.1 设 A,B ∈ P ( U )，则 定义 ( i ) A ⊆ B iff ∀u∈U , χA(u) ≤ χB(u); ( ii) A = B iff ∀u∈U , χA(u) = χB(u); (iii) A∪B: ∀u∈U , χ A∪B (u) = max {χA(u) ,χB(u)}; (vi) A∩B: ∀u∈U , χ A∩B (u) = min {χA(u) ,χB(u)}; ( v) A′: ∀u∈U, χA′(u) = 1﹣χA(u) . 利用定义1.3.1不难验证，经典集合关于“∪(并), ∩(交), ′(补)”这三种运算具有如下九条基本性质.
{
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1.1 经典集合与特征函数(1/2)
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由此可见，经典集合A 与其特征函数χ A 是 一一对应的． 由于χA 只取0和1两个值，故经典集合A 只 能用来描述界限分明的研究对象，对界限不分 明的对象却无能为力。比如，对“年轻”这个 模糊概念，用经典集合就无法给出合理的描述。 而在自然界和现实生活中，模糊现象是普遍存 在的。因此，必须把经典集合扩充，使之能够 刻划模糊现象和解决模糊性问题。
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1.2 模糊集合与隶属函数(2/5)
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1.2.2 模糊集合的表示方法
1. Zadeh 表示法 (1) 若论域U 为有限集，即U ={u1 , u2 , … , un}，则 A∈ F ( U ) 可表示为 这里 不表示为“分数”，而是表 示 ui 隶属于A 的程度为A( ui ) ； 符号“+”也不表示加号，而是一种联系 符号。
∫
U
u
− 2)
这里“ ”不表示为积分号，而是表示 各个元素与隶 ∫ 属度对应关系的一个总括。 例1.2.2 以年龄作为论域，取U =[0，200]， Zadeh给出 “年轻”这个模糊集合Y 的隶属函数为
Y (u ) = 1 u − 25 2 1 + 5
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A (u i ) ui
A (u 1 ) A (u 2 ) A (u n ) A = + +L + u1 u2 un
(1 − 2 − 1 )
1.2 模糊集合与隶属函数(3/5)
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例1.2.1 , u5 }，则
0 . 87 0 . 75 0 . 96 0 . 78 0 . 56 A= + + + + u1 u2 u3 u4 u5
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例如: 例如 设A=(0.8, 0.3, 0.7, 0.5), 则A′ =(0.2, 0.7, 0.3, 0.5) A ∪ A′ =(0.8, 0.7, 0.7, 0.5) ≠(1, 1, 1, 1)= U A ∩ A′ =(0.2, 0.3, 0.3, 0.5) ≠(0, 0, 0, 0)= ∅ 由此可见, (F( U ), ∪, ∩, ′ )不构成一个布尔代数,而 , , ) , 是构成一个软代数系统 称之为 软代数系统, 软代数系统 模糊格(Fuzzy Lattice) 模糊格
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定理1.3.2 在(F( U ), ∪, ∩, ′ )中,幂等律、交换律、结 定理 合律、吸收律、分配律、复原律、两极律和De Morgan对 偶律均成立,但排中律不成立. 即 (1) 幂等律：A∪A = A , A∩A = A ; (2) 交换律：A∪B = B∪A , A∩B = B∩A ; (3) 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ), ( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); (4) 吸收律：( A∩B )∪B = B , ( A∪B )∩B = B ; (5) 分配律：A∩( B∪C ) = ( A∩B )∪( A∩C ), A∪( B∩C ) = ( A∩B )∪( A∩C ); (6) 复原律： (A′ )′= A ; (7) 两极律： A∪U = U , A∩U = A , A∪∅ = A , A∩∅ = ∅ ; (8) De Morgan律： ( A∪B )′ = A′∩B′ , ( A∩B )′ = A′∪B′. 但是, A∪A′ ≠ U, A∩A′ ≠ ∅
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, ,
当 0 ≤ u ≤ 25
; .
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当 25 < u ≤ 200
用Zadeh表示法就是
u − 25 1 + 1 5 Y =∫ +∫ [0 , 25 ] u [ 25 , 200 ] u
−1
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1.2 模糊集合与隶属函数(4/5)
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1.2.2 模糊集合的表示方法 2. 向量表示法 当论域U ={u1 , u2 , … , un }时， A∈ F ( U ) 也可用 如下向量来表示： A=(A(u1 ) ，A(u2)， …，A( un)) (1-2-3) 例如，例1.2.1中的模糊集合A也可表示为 例如 A=(0.87 ，0.75， 0.96，0.78，0.56) 由于A( ui ) ∈[0,1](i=1，2，…，n )，故称式(1-2-3) 所示的向量为模糊向量 模糊向量。 模糊向量
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若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典 集合和所有模糊集合的全体，则 P ( U ) ⊂ F ( U ). 通常称P ( U )为U 的幂集 幂集， 幂集 模糊幂集。 而称F ( U )为U 的模糊幂集 模糊幂集 由于模糊集合A只能由其隶属函数µA来表达， 故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替µA(u) , 即 A(u) ≌ µA(u) 这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加 区分．