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课题巧妙求和年级四年级授课对象编写人时间学习目标1、认识等差数列各部分名称2、等差数列求和3、已知首项、末项、公差、项数其中任意三个量，求另一个量。
学习重点、难点已知首项、末项、公差、项数其中任意三个量，求另一个量。
教学过程T （测试）1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？S （归纳）求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差首项公式：首项=末项-项数－1）×公差例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差E （典例）数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
等差数列求和例1、有一个数列：3、6、9、12、……480，这个数列共有几项？其中48是第几项？练1、有一个数列：13、21、29、37、……85，这个数列共有几项？练2、有一个数列：113、108、103、98、……48，这个数列共有几项？练3、已知一个等差数列，首项是6，末项是126，公差是5，其中121是第几项？练4、已知等差数列5、7、9、11……这个数列的第20项和第92项分别是什么？练5、已知等差数列500、497、494、491……这个数列的第20项和第92项分别是什么？例2、计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10练、计算1+2+3+4+5+……+99+100 1+2+3+4+……+500计算1+2+3+4+……+133 1+2+3+4+……+311例3、计算5+8+11+14+17……+38练、计算16+19+22+25……+100 5+7+9+11+……+47计算41+46+51+……306 6+16+26……+666计算999+997+995+……+101 777+769+761+753……+401例4、有一个等差数列：1、5、9、13……那么这个等差数列前100项的和是多少？练1、有一个等差数列：1、5、9、13……那么这个等差数列前50项的和是多少？练2、有一个等差数列：9、11、13、15……那么这个等差数列前65项的和是多少？练3、有一个等差数列：300、297、294……那么这个等差数列前55项的和是多少？练4、有一个等差数列a1=18，d=5，那么这个等差数列前99项的和是多少？例5、计算（1+3+5+……+2019）－（2+4+6+……2018）练1、计算(2+4+6+...+100)－(1+3+5+ (99)练2、计算1000－1－2－3－……－20练3、计算2000－3－6－9－……－51－54练4、计算1+2+3+......+9+10+20+30+......+90+100+200+300+ (1000)请认真完成作业~·~1、有一个数列：10、13、16、19……124，这个数列共有几项？其中28是第几项？2、计算1+2+3+4+……199 1+2+3+4……+3333、计算80+81+82+83……+150 332+331+330+……+1004、计算1+3+5+7+9……+99 8+10+12+14+……+1885、计算23+26+29+……119 222+118+114+……+986、有一个等差数列，a1=13，d=4，求前40项的和。
高斯求和若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5，…，100（2）1，3，5，7，9，…，99（3）8，15，22，29，36，…，71想一想：上面的数列是否是等差数列？你怎么知道的？每一列的公差是几？首项和末项分别是多少？思考与讨论：首项和末项之间有什么关系？每一列一共有几项？大家来总结：末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1例1、求等差数列3，7，11，15，19，…的第10项和第25项。
例2、在等差数列2，5，8，11，14，…中，101是第几项？例3、在5和61之间插入七个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。
思考与讨论：怎么计算比较简便？1＋2＋3＋4＋5＋…＋49＋50＝？1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＝？大家来总结：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2例4、1＋2＋3＋4＋…＋1999例5、3＋7＋11＋…＋99练习：1、计算下面各题。
（1）2＋4＋6＋…＋200 （2）17＋19＋21＋…＋39 （3）5＋8＋11＋14＋…＋50 （4）3＋10＋17＋24＋…＋1012、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
等差数列小练习班级：姓名：1、已知等差数列2，5，8，11，14，…（1）这个数列的第13项是多少？（2）47是其中的第几项？2、已知等差数列的第1项是12，第6项是27，求公差。
3、如果一个数列的第4项为21，第6项为33，求它的第9项。
4、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
5、已知等差数列6，13，20，27…，问这个数列前30项的和是多少？6、①7＋10＋13＋…＋37＋40 ②2000－3－6－9－…－51－547、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？平均数平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而言的。
四年级奥数数列求和练习题1. 已知等差数列的首项是2，公差是3，共有7项，求这个数列的和。
解析：首先我们可以确定这个等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
代入已知数据，得到an =2 + (n-1)3。
根据题意，项数为7，代入公式得到a7 = 2 + (7-1)3 = 2 + 18 = 20。
然后，我们可以使用求和公式Sn = n(a1 + an)/2来求和。
代入已知数据，得到S7 = 7(2 + 20)/2 = 7(22)/2 = 7*11 = 77。
因此，这个等差数列的和为77。
2. 求等差数列2，5，8，11，...的前20项和。
解析：根据等差数列的性质，我们可以观察到这个等差数列的首项是2，公差是3。
我们可以利用相邻项之差来求和，即2+5=7，5+8=13，8+11=19，...。
可以发现每两个相邻项之和都比前一个项大3。
因此，我们可以计算前20项之和为S20 = (a1 + a20)*10/2 = (2 + 2 + (20-1)3)*10/2 = (2 + 2 + 57)*10/2 = 61*10/2 = 305。
因此，这个等差数列的前20项和为305。
3. 若数列1，4，7，10，...的和为155，求此数列的第n项。
解析：首先我们可以观察到这个等差数列的首项是1，公差是3。
由于求等差数列的和已知，我们可以用求和公式来解这道题。
设第n项为an，根据求和公式Sn = n(a1 + an)/2，代入已知数据得到155 = n(1 + an)/2。
将等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d代入，得到155 = n(1 +(1 + (n-1)3))/2。
化简得到310 = n(2 + 3n)/2。
进一步化简得到310 = n(1+ 3n)。
解这个二次方程得到3n^2 + n - 310 = 0。
通过因式分解或者求根公式求得n = 10或n = -11/3。
第3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
五年级奥数专题数列求和【同学们一定都很熟悉德国著名学家高斯的故事，他幼年时，就能快速计算出1+2+3+4+5+...+99+100的结果，令老师和同学大吃一惊。
这种按顺序排列的数就叫做数列。
现在让我们来一起学习吧】例1：你能计算出1+2+3+4+...+ 99 + 100的结果吗?【举一反三】：你知道23+ 24+ 25 +...+ 65 + 66 + 67的和是多少吗?例2：计算:1 +3+5+7+...+ 97+99【举一反三】计算:2+8+11+...+101例3：求50以内所有被5除余1的自然数的和。
【举一反三】：求100以内所有被4除余2的自然数的和。
例4：明明寒假在家读《草房子》，他第一天读了20页，由于故事情节精彩，他决定从第二天起，每天都要比前一天多读3页，最后一天读了35页正好把书读完。
这本书共有多少页?【举一反三】：王师傅做一批零件，第一天做了20个，为了提前完成任务，他以后每天都比前一天多做2个，最后一天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个?例5：星星电影院1号厅共有630个座位。
已知第一排有18个座位，最后一排有52个座位，而且相邻两排相差的座位数相等。
相邻的两排相差多少个座位?【举一反三】：新星幼儿园的304个小朋友围成若干个圈( 一圈套一圈)做游戏。
已知内圈有24人，外圈有52人，而且相邻两圈相差的人数相等。
相邻的两圈相差多少人?《巩固练习》【限时15分钟，是时候展现你们真正的技术了】1.计算:1+2+3+4+..+99+100+99+...+4+3+2+12.计算:1+2-3+4+5-6+7+8-9+..+58+59-603.求从16开始，连续99个自然数的和。
4.胡阿姨读一本名著，她第一天读了30页，从第二天起，每天都比前一天多读5页，最后一天读了50页，恰好读完。
这本书共有多少页?5.崇川学校的36名学生在儿童节表演了精彩的舞蹈。
其中有个造型是扇形，最内层有1人，最外层有8人，而且相邻两层相差的人数相等。
第四周巧妙求和专题解析：前面我们学习了等差数列求和，其实生活中某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，要先判断是否是求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，就可以用等差数列公式求和。
某一项=首项+（项数-1）×公差项数=（末项－首项）÷公差 + 1总和=（首项+末项）×项数÷2例题1：计算1+3+5+7+……+197+199【思路导航】仔细观察发现，这个算式是一个等差数列求和的问题，公差为2，再根据项数=（末项－首项）÷公差 + 1来求得项数是多少，然后根据公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 ，即得到算式总和。
解：公差为2，项数=（199-1)÷2+1=100,总和：（1+199）×100÷2=10000。
练习1：（1）计算：2+6+10+14+……+398+402 （2）计算：5+10+15+20+……+195+200（3）计算：1+11+21+31+……+1991+2001+2011 （4）计算：100+99+98+……+61+60例题2：计算：（2+4+6+……+98+100）-（1+3+5+……+97+99）【思路导航】我们可以发现，被减数和减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。
练习2：计算下面各题。
（1）（2+4+6+......+2000）-（1+3+5+ (1999)（2）（2001+1999+1997+1995）-（2000+1998+1996+1994）（3）1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60例题3：王俊读一本小说，他第一天读了30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页？练习3：（1）（2）刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完，这批零件共有多少个？（3）（4）一个电影院的第一排有17个座位，以后每排比第一排多2个座位，最后一排有75个座位，这个电影院共有多少个座位？（5）（6）赵玲读一本书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数比前一天多5页，最后一天读了50页恰好读完，这本书有多少页？。
第五讲数列求和专题解析：0，1，2，3......像这样的按一定顺序排列的数叫做数列，数列不一定从小到大，也不一定从大到小，但是每个位置的数都是确定的，数列会帮助我们理解位置与位置上所对应的数之间一一对应的关系，就像学校中每个座位所对应坐的小朋友一样。
本章我们就要来学习等差数列，以及等差数列的和知识回顾之数列求和：重点知识理解：等差数列的概念，等差数列与植树问题的相似之处，如何利用植树问题所学的知识求等差数列的某一项等【经典例题】【例题1】有四个数列如下：●1，2，4，8，16，32，64●1，1，2，3，5，8，13，21●2，4，6，8，10，12，14，16，18●21，18，15，12，9，6，3●1，5，1，5，1，5，1，5，1，5请问以上哪个数列是等差数列，不是等差数列的你能找找其中的规律吗？思维点拨：等差数列之要求相邻两项的差一样，但一定要按顺序作差随堂演练：（1）请任意说出三个有五项的等差数列（2）若公差为5，第一项是3，数列是逐渐增大的，请写出数列的前十项【例题2】求等差数列1，6，11，16......的第二十项是多少，第35项是多少？251是这个数列的第几项？思维点拨：每一个数可以代表一棵树，而数的大小可以代表树与0的距离，第几项可表示第几棵数随堂演练：1.已知数列2，5，8，11，14......,请问47是其中的第几项2.已知数列96，91，86，81......，请问第10项是多少，第16项呢？3.如果一个数列的第一项是3，最后一项是219，公差是4，请问这个数列一共有多少项？如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项思维点拨：间距不变，公差也不变随堂演练：1.已知等差数列的公差为4，末项为280，数列共25项，这个数列的首项是多少？这个数列的第16项是多少？2.小剧场共有40排座位，每一排都比前一排多两个座位，最后一排有120个座位，那第一排有多少个座位？第25排有多少个座位？【例题4】数列的求和推论有自然数列1，2，3，4，5，6......99,100,求数列1+2+3+......+99+100的和。
小学四年级奥数讲义（2）姓名：课题第二讲：数列求和。
励志言小朋友们：你的快速反应能力、你的综合理解能力将体现在这些富有挑战的训练题中。
你的数学能力在这里将得到大大的提升！知识反思1、等差数列的定义及特点：像1,2,3,4,5，…，99,100这样的一列数一般叫做一个等差数列。
等差数列的特点是相邻两个数的差是相同的。
2、等差数列的各部分名称：公差：相邻两个数的差叫做公差。
项：数列中的每一个数叫做项。
首项：数列中的第一个数叫做首项。
末项：数列中的最后一个数叫做末项。
项数：数列中共有多少项（共有多少个数）叫做项。
3、等差数列求和公式：总和=（首项＋末项）×项数÷2项数=（末项－首项）÷公差＋1末项=首项＋公差×（项数－1）首项=末项－公差×（项数－1）课前检测请大家用8分钟时间，背过上面的知识，过关的同学别忘记“※”，累计十个，可以得到老师的一份小礼物。
自主学习（一）例1.计算1＋2＋3＋4＋…＋39＋40合作探究例2.计算2＋5＋8＋11＋…＋209＋212(一)精讲释疑（一）例2，这是一个等差数列，首项是2，末项是212，公差是3，利用公式求和必须知道项数。
项数=（212－2）÷3＋1=210÷3＋1=71自主学习（二）例3.求首项是5，公差是3的等差数列的前199项的和。
（缺少什么？）合作探究（二）例4.一个有25项的等差数列，末项是204，公差是8，求这个等差数列的和是多少？精讲释疑（二）例4，要解答问题，看看知道什么，缺少什么。
想办法解决。
训练检测与能力挑战计算下面各题。
1、1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋1002、1＋2＋3＋…＋49＋50＋49＋…＋3＋2＋13、1990＋1991＋…＋2006＋2007＋20084、4＋6＋8＋…＋96＋985、求首项是1，公差是2的等差数列的前50项的和。
6、一个有30项的等差数列，首项是1，公差是4，这个等差数列的和是多少？7、一个有50项的等差数列，末项是2007，公差是2，这个等差数列的和是多少？8、一个等差数列的首项是1，末项是1997，公差是2，这个等差数列的和是多少？课后巩（1）、5＋10＋15＋…＋215＋220固（2）、求首项是7，末项是99，公差是4的等差数列的和。
教学内容：简单的数列问题（一）世界著名的数学家高斯（1777年～1855年），幼年时代聪明过人。
上小学时，有一天数学老师出了一道题让全班同学计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快地说出了正确答案5050。
那些正忙着把这100个数一个一个相加求和的同学大吃一惊!小高斯有什么窍门呢？原来小高斯通过细心观察，发现1～100这一串数中，1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51＝101。
即：与这串数首末两端距离相等的每两个数的和，都等于首末两数的和，这样的和为101的数共有100÷2＝50对。
于是小高斯就把这道题巧算为：1＋2＋3＋…＋99＋100＝（1＋100）×100÷2＝5050像1，2，3，…，99，100这样的一串数我们称为“等差数列”，下面介绍有关等差数列的概念。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
从第一项开始，后项与前项之差都相等的数称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。
例如：（1）5，6，7，8， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）4，12，20，28， (804)（4）1，4，8，16， (256)其中（1）是首项为5，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为4，末项为804，公差为8的等差数列；（4）中前后两项的差都不相等，它不是等差数列。
从高斯的故事我们知道，要想求出像1，2，3，…，99，100这一等差数列的和，只要用第一个数1与最后一个数100相加求和，再乘以这串数的个数100，最后除以2。
由此，我们得到等差数列的求和公式为：数列和＝（首项＋末项）×项数÷2[例1]计算1＋2＋3＋…＋1999[分析与解]这串加数组成的数列1，2，3，…，1999是等差数列，公差是1，首项是1，末项是1999，项数是1999。
根据等差数列求和公式可解得：原式＝（1＋1999）×1999÷2＝[例2]求首项是5，公差是3的等差数列的前1999项的和。
[分析]等差数列中首项、末项、公差的关系是：末项＝首项＋公差×（项数－1）[解] 末项＝5＋3×（1999－1）＝5999和＝（5＋5999）×1999÷2＝[例3]计算3＋7＋11＋…＋99[分析]这串加数组成的数列是等差数列，公差是4，首项是3，末项是99，但是我们发现项数从题中看不出来，这时就需要先求出项数。
根据上例中介绍的等差数列中首项、末项、公差的关系，可以得到：项数＝（末项－首项）÷公差＋1[解] 项数＝（99－3）÷4＋1＝25原式＝（3＋99）×25÷2＝1275[例4] 计算（1）2000－3－6－9－…－51－54（2）（2＋4＋6＋…＋96＋98＋100）－（1＋3＋5＋…＋95＋97＋99）（3）1991－1998＋1985－1982＋…＋11－8＋5－2[分析与解] （1）利用第一讲中的知识，“某数连续减去几个数，等于减去这几个数的和”，可将原式转化为：2000－（3＋6＋9＋…＋51＋54），所以，此题关键是求3＋6＋9＋…＋51＋54的和。
3＋6＋9＋…＋51＋54＝（3＋54）×[（54－3）÷3＋1]÷2＝57×9＝513从而，原式＝2000－513＝1487。
（2）同学们可能已经发现和式2＋4＋…＋98＋100，1＋3＋5＋…＋97＋99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法。
这样做，很自然，也比较简便。
有其他更为简单的解法吗？再看题，你会冒出一个好想法：运用加减法性质，先做减法：2－1，4－3，6－5，…，100－99，它们的差都等于1，然后计算等于1的差数有多少个。
由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减（以大减小），共得50个差数1，从而，原式＝（2－1）＋（4－3）＋…＋（98－97）×（100－99）＝50（3）利用求解题（2）的经验，容易发现1991－1988＝3，1985－1982＝3，…，5－2＝3这样，此题就归结为计算上述差的个数。
可以这样计算，由于此数列为等差数列，公差是3，由求项数公式可求得项数为：（1991－2）÷3＋1＝664（个）这664个数两两配对做减法运算，共得到664÷2＝332个差数，因而44444444443444444444421”个“原式) (332)25()811()19821985()19981991(-+-+⋯+-+-=＝3×332＝996[思考] 还可以怎样计算出差的个数？（还可根据每个括号中被减数所组成的等差数列的项数。
）[例5] 2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋4×3－3×2＋2×1[解]原式＝1999×（2000－1998）＋1997×（1998－1996）＋…＋3×（4－2）＋2×1＝（1999＋1997＋…＋3＋1）×2＝（1999＋1）×[（1999－1）÷2＋1]÷2×2＝2000×1000＝[小结] 解简单的数列问题，首先要判断该数列是否为等差数列，再找出首项、末项、项数等相关量，最后运用相应公式正确求解。
【能力训练】1．计算：（1）1＋2＋3＋…＋76＋77＋78（2）1＋3＋5＋…＋95＋97＋99（3）2＋6＋10＋14＋…＋202＋206＋210（4）4＋7＋10＋…＋292＋295＋2982．求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3．求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4．计算：（1）4000－1－2－3－…－76－77－78（2）560－557＋554－551＋…＋500－497（3）204－198＋192－186＋…＋24－18＋12－6*5．计算：（1）（1＋3＋5＋...＋1999）－（2＋4＋6＋ (1998)（2）1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9＋10＋11－12＋…＋25＋26＋27－28参考答案【能力训练】1．（1）（1＋78）×78÷2＝3081（2）（1＋99）×50÷2＝2500（提示：1到100这一百个自然数中奇、偶数各一半）（3）（2＋210）×[（210－2）÷4＋1]÷2＝5618（4）（4＋298）×[（298－4）÷3＋1]÷2＝149492．（5＋93）×[（93－5）÷4＋1]÷2＝11273．末项＝13＋（30－1）×5＝158和＝（13＋158）×30÷2＝25654．（1）4000－（1＋2＋3＋ (78)＝4000－[（1＋78）×78÷2]＝4000－3081＝919（2）3×11＝33（等差数列560，557，554，551，…，500，497，共有（560－497）÷3＋1＝22项）（3）6×17＝102（等差数列204，198，192，…，12，6，共有（204－6）÷6＋1＝34项）*5．（1）1＋（3－2）＋（5－4）＋（7－6）＋（1999－1998）＝1＋999×1＝1000（2）（1＋2＋3＋4＋…＋25＋26＋27＋28）－2×（4＋8＋…＋24＋28）＝（1＋28）×28÷2－2×（4＋28）×[（28－4）÷4＋1]÷2＝29×14－16×14＝13×14＝182教学内容：简单的数列问题（二）上一讲中，我们学习了什么是等差数列，等差数列的求和公式，以及求项数、末项的公式。
这一讲，我们介绍如何利用这些公式，解决与等差数列有关的问题。
[例1]求所有被2除余数是1的三位数的和。
[分析]首先应分析一下被2除余数是1的三位数是哪些数。
能被2整除的三位数中最小的是100，所以被2除余数是1的三位数中最小的是101。
采用同样的办法可知，三位数中最大的被2除余1的数是999，而且这样的三位数前后两数都差2，因此它们构成一个等差数列，故可以利用等差数列求和公式求和。
[解]所求的三位数的和是101＋103＋105＋…＋999项数＝（999－101）÷2＋1＝898÷2＋1＝450和＝（101＋999）×450÷2＝247500答：所有被2除余数是1的三位数的和是247500由例1可以看出，解这种类型题目的关键是根据题意正确地找出满足条件的数列，然后求和。
[例2]1至100内所有不能被5或9整除的数的和是多少？[分析与解]如果要直接找出1至100内所有不能被5或9整除的数比较麻烦，因此我们采用间接的办法来解。
可以先分别找出能被5或9整除的数，并求出它们的和，然后再从1＋2＋3＋…＋100的和中减去它们的和，即为所求的解。
1至100内所有能被5整除的数是5，10，15，…，100，这个等差数列的项数＝（100－5）÷5＋1＝95÷5＋1＝20，因此5＋10＋15＋…＋100＝（5＋100）×20÷2＝105×20÷2＝10501至100内所有能被9整除的数是9，18，27，…，99，这个等差数列的项数＝（99－9）÷9＋1＝11，因此，9＋18＋27＋…＋99＝（9＋99）×11÷2＝108×11÷2＝594应该注意到，1至100内45，90这两个数既能被5整除，又能被9整除，因此在上面两个数列的求和中都有45、90这两个数。
所以，1至100内所有不能被5或9整除的数的和是：（1＋2＋3＋…＋100）－（5＋10＋15＋…＋100）－（9＋18＋27＋…＋99）＋（45＋90）＝5050－1050－594＋135＝3541由例2可以看出，解这种类型的题目时，如果直接找数列比较困难，那么可以采用间接的方法求解。
另外，解题时分析思考要周密细致，列算式时不要重复，也不要遗漏。
