《概率论与数理统计》笔记(考研特别版)

概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、 随机事件及其概率运算律名称 表达式交换律A B B A +=+ BA AB =结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()(分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+德摩根律B A B A =+ B A AB +=2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+条件概率公式 )()()(A P AB P A B P =乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P =全概率公式∑==ni iiA B P A P B P 1)()()(贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞==1)()()()()(i ijj j j A B P A P A B P A P B A P伯努力概型公式 n k p p C k P k n kk n n ,1,0,)1()(=-=-两件事件相互独立相应公式)()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ；1)()(=+A B P A B P二、随机变量及其分布1、分布函数性质)()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤<2、 散型随机变量分布名称 分布律0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k二项分布),(p n Bn k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-泊松分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ几何分布)(p G,2,1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k超几何分布),,(n M N H),min(,,1,,)(M n l l k C C C k X P nNkn MN k M +===--3..续型随机变量分布名称密度函数 分布函数均匀分布),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(指数分布)(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ 正态分布),(2σμN+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπ ⎰∞---=xt t ex F d21)(222)(σμσπ标准正态分布)1,0(N+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ⎰∞---=xt t ex F d21)(222)(σμσπ三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 ∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j i2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布 +∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质(1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y C o v Y X C o v =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X a b C o v d bY c aX Cov =++8、常见数学分布的期望和方差分布 数学期望方差0-1分布),1(p B p)1(p p - 二行分布),(p n B np)1(p np -泊松分布)(λP λλ几何分布)(p G p1 21pp -超几何分布),,(n M N H N M n1)1(---N mN N M N M n均匀分布),(b a U 2b a + 12)(2a b - 正态分布),(2σμN μ2σ指数分布)(λEλ1 21λ五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<-2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E nX n11)(11(1)若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有： ⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b Xa P nk knk k-Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X nX 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。

2021年《概率论与数理统计》考研复习笔记与辅导讲义第1章随机事件和概率一、考研辅导讲义1．随机现象与样本空间（1）随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象．（2）样本空间随机现象的一切可能的基本结果，组成的集合，称是由基本结果构成的样本空间，记作，又称样本点．（3）随机事件样本空间的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母A，B，C等表示．注：①随机事件是由样本空间中的样本点组成，由一个样本点组成的子集是最简单件，称为基本事件．②随机事件既然由样本点组成，因此，随机事件是由基本事件组成．③如果一次试验的结果为某一基本事件出现，就称该基本事件出现或发生．如果组成事件A的一个基本事件出现或发生，也称事件A出现或发生．④把Ω看成一事件，则每次试验必有Ω中某一基本事件（即样本点）发生，也就是每次试验Ω必然发生，称Ω为必然事件．⑤把不包含任何样本点的空集看成一个事件，称为不可能事件．（4）随机变量表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母X，Y，Z，或者ξ，η等表示．2．事件间的关系（1）包含关系如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记为或．（2）事件相等若与同时成立，则称事件A与事件B相等，记作A＝B．（3）互斥事件（互不相容事件）若事件A与事件B满足关系，即A与B同时发生是不可能事件，则称事件A和事件B为互斥或互不相容，即两互斥事件没有公共样本点．注：事件的互斥可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：①若n个事件中任意两个事件均互斥，即，i≠j，i，j ＝1，2，…，n，则称这n个事件是两两互斥或两两互不相容．②如果可数无穷多个事件…中任意两个事件均互斥，即，i≠j，i，j＝1，2，…，n，…，则称这可数无穷个事件是两两互斥或两两互不相容．【例】对任意两个互不相容的事件A与B，必有（）．A．如果P（A）＝0，则P（B）＝0B．如果P（A）＝0，则P（B）＝1C．如果P（A）＝1，则P（B）＝0D．如果P（A）＝1，则P（B）＝1【答案】C查看答案【解析】．（4）对立事件如果事件A与事件B有且仅有一个发生，则称事件A与事件B为对立事件或互逆事件，记为或．注：①如果A与B为对立事件，则A，B不能同时发生，且必有一个发生，即A、B满足A∪B＝Ω且．②在样本空间中，集合是由所有不属于事件A的样本点构成的集合．【例】设随机事件A和B满足条件，则（）．A．B．C．D．【答案】A查看答案【解析】，所以即而，故，也就有即A∪B＝Ω．3．事件间的运算（1）事件的交（积）如果事件A与事件B同时发生，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交或积，记为A∩B或AB，即集合A∩B是由同时属于A与B的所有公共样本点构成．注：事件的交可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：（2）事件的并如果事件A与事件B至少有一个发生，则称这样一个事件为事件A与事件B的并或和，记为A∪B，即集合A ∪B是由属于A与B的所有样本点构成．注：事件的并可推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：（3）完备事件组如果有限个事件满，且，则称为Ω的一个完备事件组或完全事件组．注：可以推广完备事件组到可数无穷多个事件的情形：且．（4）事件的差事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，记为A－B．即在样本空间中集合A－B是由属于事件A而不属于事件B的所有样本点构成的集合．显然．（5）事件的运算规律交换律结合律分配律对偶律【例】A，B，C为任意三随机事件，则事件（A－B）∪（B－C）等于事件（）．A．A－CB．A∪（B－C）C．（A∪B）－CD．（A∪B）－BC【答案】D查看答案【解析】因，故．而图1-14．概率的概念及基本性质（1）概率的公理化定义设为一个样本空间，F为的某些子集组成的一个事件域．如果对任一事件F,定义在F上的一个实值函数满足：①非负性公理：若F,则，②正则性公理：③可列可加性公理：若互不相容，则，则称为事件A的概率，称三元素F为概率空间．（2）概率性质①；②若两两互斥，则有③；④，则P（A）≤P（B）；⑤0≤P（A）≤1【例】若A，B为任意两个随机事件，则（）．【2015数一、数三】A．B．C．D．【答案】C查看答案【解析】由于，按概率的基本性质，有且，从而．（3）事件独立性设A，B两事件满足等式P（AB）＝P（A）P（B），则称A与B相互独立．注：对n个事件，如果对任意k（1＜k≤n），任意满足等式则称为相互独立的事件．事实上，n个事件相互独立需要个等式成立．（4）相互独立的性质①A与B相互独立A与或与B或与相互独立．将相互独立的n个事件中任何几个事件换成它们相应的对立事件，则新组成的n个事件也相互独立．【例】设，，为三个随机事件，且与相互独立，与相互独立，则与相互独立的充分必要条件是（）．[数三2017研]A．与相互独立B．与互不相容C．与相互独立 D．与互不相容【答案】C查看答案【考点】相互独立【解析】由，得．【例】已知随机事件A，B，C中，满足P（AB）＝1．则事件（）．A．相互独立B．两两独立，但不一定相互独立C．不一定两两独立D．一定不两两独立【答案】A查看答案【解析】讨论事件的独立性，可等价的考虑A，B，C的独立性．因为P（AB）＝1．可知P（A）＝P（B）＝1，而概率等于1的事件与所有的事件相互独立．所以成立：P（AB）＝P（A）P（B）；P（AC）＝P（A）P（C）；P （BC）＝P（B）P（C）．又因P（AB）＝1．所以事件AB与C也相互独立，P（ABC）＝P（AB）P（C）＝P（A）P（B）P（C）．总之A，B，C相互独立．②当0＜P（A）＜1时，A与B独立P（B|A）＝P（B）或成立．③若相互独立，则必两两独立，反之，若两两独立，则不一定相互独立．④当相互独立时，它们的部分事件也是相互独立的．【例】设随机事件A与B相互独立，且，则（）．A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【答案】B查看答案【解析】因为事件A，B相互独立，则．故于是，则．（5）概率的运算公式①加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）－P（BC）－P（AC）＋P （ABC）．②减法公式P（A－B）＝P（A）－P（AB）；③乘法公式当P（A）＞0时，P（AB）＝P（A）P（B|A）；当＞0时，有④全概率公式设为Ω的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件A，有【例】甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中一半白球一半黑球．现从甲袋中任取2球与从乙袋中任取一球混合后，再从中任取一球为白球的概率为（）．A．B．C．D．【答案】C查看答案【解析】设事件A为最后取出的球为白球，事件B为球来自甲袋，显然，为球来自乙袋．且B，构成一个Ω的完备事件组，由全概率公式，因为最后三个球中二个球是从甲袋中来．所以取出的球来自甲袋概率为，当然．，这是因为已知取出的球来自甲袋的条件下，取出的为白球的概率，就相当于从甲中取出一白球的概率，甲中5个球2个为白，故，同理．因为乙中半白半黑，总之⑤贝叶斯公式设为Ω的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件A，且P （A）＞0有【例】设A、B为随机概率，若，则的充分必要条件是（）．[数一2017研]A．B．C．D．【答案】A查看答案【考点】概率公式计算【解析】因为，得，化简得．A项，，因为，所以．5．古典概型、几何概型、条件概率及伯努利试验（1）古典型概率当试验结果为有限n个样本点，且每个样本点的发生具有相等的可能性，称这种有限等可能试验为古典概型．此时如果事件A由个样本点组成，则事件A的概率称P（A）为事件A的古典型概率．【例】袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球．以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．求P｛X ＝1︱Z＝0｝；解：由于本题是有放回地取球，则基本事件总数为．（2）几何型概率当试验的样本空间是某区域（该区域可以是一维，二维或三维等等），以L（Ω）表示样本空间Ω的几何度量（长度、面积、体积等等）．L（Ω）为有限，且试验结果出现在Ω中任何区域的可能性只与该区域几何度量成正比．称这种拓广至几何度量上有限等可能试验为几何概型．此时如果事件A的样本点表示的区域为，则事件A的概率称这种P（A）为事件A的几何型概率．【例】在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为______．【答案】【解析】本题是几何型概率．不妨假定随机地取出两个数分别为X和Y．显然X与Y是两个相互独立的随机变量．如果把（X，Y）看成平面上的一个点的坐标，则由于0＜X＜1，0＜Y＜1，所以（X，Y）为平面上正方形0＜X＜1，0＜Y＜1中的一个点．而X与Y两个数之差的绝对值小于的点（X，Y）对应于正方形中的区域．图1-2在区间（0，1）中随机选取的所有可能的两个数X和Y．这些（X，Y）点刚好是图1-3单位正方形中满足的点的区域，就是图中阴影标出的区域D．根据几何型概率（3）条件概率设A，B为两事件，且P（A）＞0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．【例】设A、B为两个随机事件，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，如果P（A|B）＝1，则（）．【2016数三】【答案】A查看答案【解析】根据条件得P（AB）＝P（B），则【例】设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，P（AB）＝，P＝，则P（AB|）＝______．【答案】【解析】由条件概率的定义知，P（AB︱）＝，其中P（）＝1－P （C）＝1－＝，P（AB）＝P（AB）－P（ABC）＝－P（ABC），由于A，C互不相容，即AC＝Ø，ABC AC，得P（ABC）＝0，代入得P（AB）＝，故将P（）＝和P（AB）＝，代入公式，得P（AB）＝＝．（4）伯努利试验如果试验E只有两个可能的结果：A及，并且P（A）＝p，（其中0＜p＜1），把E独立地重复n次的试验就构成了一个试验，这个试验称作n重伯努利试验，又称n次独立重复试验，并记作B．一个伯努利试验的结果可以记作ω＝（ω1，ω2，…，ωn）其中的ωi（1≤i≤n）的全体就是这个伯努利试验的样本空间Ω，对于ω＝（ω1，ω2，…，ωn）∈Ω，如果ωi（1≤i≤n）中有k个为A，则必有n－k个为，于是由独立性即得如果要求“n重伯努利试验中事件B出现k次”这一事件的概率为【例】设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为．【2016数三】【答案】【解析】根据题意，取球次数恰好为4，则前三次恰好取到三种颜色中的两种，第四次取到剩下一种颜色的球．故前三次中取到的两种颜色取到的次数分别为1次和2次．综上，取球次数恰好为4的概率为【例】在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，则在第n次成功之前恰失败了m次的概率为______．图1-3【答案】【解析】为了分析试验的结构，可以作图形分析：“第n次成功之前失败了m次”这事件意味着第n次成功前有（n－1）次成功和m次失败．总共做了（n ＋m）次试验．最后一次是成功，前n＋m－1次试验中有m次失败和（n－1）次成功，故事件的概率应为。

概率论与数理统计重点笔记
概率论与数理统计是数学中的重要分支，它涉及到随机现象的
规律性和统计规律的研究。

在学习概率论与数理统计时，重点笔记
可以包括以下内容：
1. 概率论的基本概念，包括样本空间、随机事件、事件的概率、事件的运算规律等内容。

重点理解事件的概率定义、概率的性质和
概率的运算法则。

2. 随机变量及其分布，重点掌握随机变量的定义、离散随机变
量和连续随机变量的概念，以及它们的分布律、密度函数、分布函
数等。

还要重点理解常见的离散分布（如二项分布、泊松分布）和
连续分布（如正态分布、指数分布）。

3. 大数定律和中心极限定理，重点掌握大数定律和中心极限定
理的表述和应用，理解随机变量序列的收敛性质，以及大样本时样
本均值的渐近正态性质。

4. 参数估计，包括点估计和区间估计的基本概念和方法，重点
理解最大似然估计、矩估计等常用的参数估计方法。

5. 假设检验，理解假设检验的基本思想、原理和步骤，掌握显著性水平、拒绝域、接受域等相关概念，重点理解假设检验的错误类别和势函数的概念。

6. 相关性和回归分析，重点理解相关系数、回归方程、残差分析等内容，掌握相关性和回归分析的基本原理和方法。

总之，在学习概率论与数理统计的过程中，重点笔记应该围绕着基本概念、常用分布、极限定理、参数估计、假设检验和回归分析展开，全面理解这些内容并掌握其应用是十分重要的。

希望以上内容能够帮助你更好地理解概率论与数理统计。

概率论与数理统计第二章笔记一、引言概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和统计规律性。

在第二章中，我们将深入探讨随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。

二、随机变量及其分布1. 随机变量的定义及分类在概率论与数理统计中，随机变量是描述随机现象数值特征的变量。

根据随机变量可取的值的性质，可以分为离散随机变量和连续随机变量。

离散随机变量只取有限个或无限可数个值，而连续随机变量则可以取在一定范围内的任意一个值。

2. 随机变量的分布及特征随机变量的分布是描述其取值的概率规律。

对于离散随机变量，常见的分布包括二项分布、泊松分布等；对于连续随机变量，则有均匀分布、正态分布等。

通过对随机变量的分布进行分析，可以推导出其数字特征，如均值、方差等。

三、随机变量数字特征1. 随机变量数字特征的意义随机变量的数字特征是对其分布的定量描述，包括均值、方差、标准差等。

这些数字特征可以帮助我们更直观地理解随机变量的分布规律，从而作出合理的推断和决策。

2. 随机变量数字特征的计算对于离散随机变量，其均值、方差的计算可通过对其分布进行加权平均；对于连续随机变量，则需要进行积分计算。

这些计算方法在实际问题中起着重要作用，例如在风险评估、市场预测等方面的应用。

四、总结和回顾概率论与数理统计第二章主要介绍了随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。

通过对离散和连续随机变量的分类和分布进行深入讨论，我们对随机现象的规律性有了更清晰的认识。

通过数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，为实际问题的分析和决策提供了有力工具。

个人观点和理解在学习概率论与数理统计第二章的过程中，我深刻认识到随机变量和其分布对于随机现象的定量分析至关重要。

通过对数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，这对于我在日常生活和工作中的决策和分析将有着实质性的帮助。

结论概率论与数理统计第二章所介绍的内容为我们提供了深入了解随机现象规律性的基础，并且为日后的学习和实践奠定了坚实的基础。

概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、随机事件与其概率2、概率的定义与其计算二、随机变量与其分布1、分布函数性质bP=≤)FX(b)()P-aX≤b<=)F(()bF(a2、离散型随机变量3..连续型随机变量三、多维随机变量与其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 ∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j i2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布 +∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E =)()]([X E X E E =)()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=±b X aE b aX E ±=±)()()()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =±2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质(1))(),(X D X X Cov =),(),(X Y Cov Y X Cov =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++8五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<-2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E nX n11)(11(1)若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有： ⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b Xa P nk knk k-Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X nX 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结第一章概率论的基本概念定义：随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件．事件关系：1．A⊂B，A发生必导致B发生．2．A Y B和事件，A，B至少一个发生，A Y B发生．3．A I B记AB积事件，A，B同时发生，AB发生．4．A－B差事件，A发生，B不发生，A－B发生．5．A I B=Ø，A与B互不相容(互斥)，A与B不能同时发生，基本事件两两互不相容．6．A Y B=S且A I B=Ø，A与B互为逆事件或对立事件，A与B中必有且仅有一个发生，记B=ASA-=．事件运算：交换律、结合律、分配率略．德摩根律：BABA IY=，BABA YI=．概率：概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A)．概率性质: 1．P(Ø)=0．2．(有限可加性)P(A1Y A2Y…Y A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)，A i互不相容．3．若A⊂B，则P(B－A)=P(B)－P(A)．4．对任意事件A，有)A(1)A(PP-=．5．P(A Y B)=P(A)+P(B)－P(AB)．泊松分布：记X~π（λ），!}{kekXPkλλ-==，Λ,2,1,0=k．泊松定理：!)1(limkeppCkknkknnλλ--∞→=-，其中λ=np．当20≥n，05.0≤p应用泊松定理近似效果颇佳．随机变量分布函数：}{)(xXPxF≤=，+∞<<∞-x．)()(}{1221xFxFxXxP-=≤<．连续型随机变量：⎰∞-=x ttfxF d)()(，X为连续型随机变量，)(x f为X的概率密度函数，简称概率密度．概率密度性质：1．0)(≥xf；2．1d)(=⎰+∞∞-xxf；3．⎰=-=≤<21d)()()(}{1221xxxxfxFxFxXxP；4．)()(xfxF='，f(x)在x点连续；5．P{X=a}=0．均匀分布：记X~U(a，b)；⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它，，1)(bxaabxf；⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=bxbxaabaxaxxF，，，1)(．性质：对a≤c<c+l≤b，有abllcXcP-=+≤<}{指数分布：⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它，，1)(xexfxθθ；⎩⎨⎧>-=-其它，，1)(xexFxθ．无记忆性：}{}{tXPsXtsXP>=>+>．正态分布：记),(~2σμNX；]2)(ex p[21)(22σμσπ--=xxf；ttxF x d]2)(ex p[21)(22⎰∞---=σμσπ．性质：1．f(x)关于x=μ对称，且P{μ-h<X≤μ}=P{μ<X≤μ+h}；2．有最大值f(μ)=(σπ2)-1．标准正态分布：]2exp[21)(2xx-=πϕ；⎰∞--=Φx ttx d]2ex p[21)(2π．即μ=0，σ=1时的正态分布X~N(0，1)性质：)(1)(xxΦ-=-Φ．正态分布的线性转化：对),(~2σμNX有)1,0(~NXZσμ-=；且有)(}{}{)(σμσμσμ-Φ=-≤-=≤=xxXPxXPxF．正态分布概率转化：)()(}{1221σμσμ-Φ--Φ=≤<xxxXxP；1)(2)()(}{-Φ=-Φ-Φ=+<<-ttttXtPσμσμ．3σ法则：P=Φ(1)－Φ(-1)=68.26%；P=Φ(2)－Φ(-2)=95.44%；P=Φ(3)－Φ(-3)=99.74%，P多落在(μ-3σ，μ+3σ)内．上ɑ分位点：对X~N(0，1)，若zα满足条件P{X>zα}=α，0<α<1，则称点zα为标准正态分布的上α分位点．常用0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10上ɑ分位点：3.090 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282Y服从自由度为1的χ2分布：设X密度函数f X(x)，+∞<<∞-x，若Y=X2，则⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=)]()([21)(yyyfyfyyf XXY，，若设X~N(0，1)，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--21)(221yyeyyfyY，，π定理：设X密度函数f X(x)，设g(x)处处可导且恒有g′(x)>0(或g′(x)<0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，且有⎩⎨⎧<<'=其他，，)()]([)(βαyyhyhfyf XYh(y)是g(x)的反函数；①若+∞<<∞-x，则α=min{g(−∞)，g(+∞)}，β=max{g(−∞)，g(+∞)}；②若f X(x)在[a，b]外等于零，g(x)在[a，b]上单调，则α=min{g(a)，g(b)}，β=max{g(a)，g(b)}．应用：Y=aX+b~N(aμ+b，(|a|σ)2)．第二章多维随机变量及其分布二维随机变量的分布函数：分布函数(联合分布函数)：)}(){(),(yYxXPyxF≤≤=I，记作：},{yYxXP≤≤．),(),(),(),(},{112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP+--=≤<≤<．F（x，y）性质：1．F（x，y）是x和y的不减函数，即x2>x1时，F（x2，y）≥F（x1，y）；y2>y1时，F（x，y2）≥F（x，y1）．2．0≤F（x，y）≤1且F（−∞，y）=0，F（x，−∞）=0，F（−∞，−∞）=0，F（+∞，+∞）=1．3．F（x+0，y）=F（x，y），F（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）关于x右连续，关于y也右连续．4．对于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2>x1，y2>y1，有P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2}≥0．离散型（X，Y）：≥ijp，111=∑∑∞=∞=ijjip，ijyyxxpyxFii∑∑=≤≤),(．连续型（X，Y）：vuvufyxF y x dd),(),(⎰⎰∞-∞-=．f(x，y)性质：1．f(x，y)≥0．2．1),(dd),(=∞∞=⎰⎰∞∞-∞∞-Fyxyxf．3．yxyxfGYXPG⎰⎰=∈dd),(}),{(．4．若f(x，y)在点(x，y)连续，则有),(),(2yxfyxyxF=∂∂∂．n维：n维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展，性质与二维类似．边缘分布：F x(x)，F y(y)依次称为二维随机变量（X，Y）关于X和Y的边缘分布函数，F X(x)=F(x，∞)，F Y(y)=F(∞，y)．离散型：*ip和j p*分别为（X，Y）关于X和Y的边缘分布律，记}{1iijjixXPpp==∑=∞=*，}{1jijijyYPpp==∑=∞=*．连续)(xfX ，)(yfY为（X，Y）关于X和Y的边缘密度函数，记型：⎰∞∞-=yy x f x f X d ),()(，⎰∞∞-=xy x f y fYd ),()(．二维正态分布：]})())((2)([)1(21exp{121),(2222212121212221σμσσμμρσμρρσπσ-+-------=y y x x y x f ．记(X ，Y )~N (μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)]2)(exp[21)(21211σμσπ--=x x f X ，∞<<∞-x ．]2)(exp[21)(22222σμσπ--=y y f Y ，∞<<∞-y ．离散型条件分布律： jij j j i j i p p y Y P y Y x X P y Y x X P *=======}{},{}{．*=======i ij i j i i j p p x X P y Y x X P x X y Y P }{},{}{．连续型条件分布： 条件概率密度：)(),()(y f y x f y x f Y Y X =|| 条件分布函数：x y f y x f y Y x X P y x F xY Y X d )(),(}{)(⎰∞-==≤=||| )(),()(x f y x f x y f X X Y =||y x f y x f x X y Y P x y F yX X Y d )(),(}{)(⎰∞-==≤=|||含义：当0→ε时，)|(d )|(}|{||y x F x y x f y Y y x X P Y X xY X =≈+≤<≤⎰∞-ε．均匀分布：若⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x Ay x f ，则称(X ，Y)在G 上服从均匀分布．独立定若P {X ≤x ，Y ≤y }=P {X ≤x }P {Y ≤y }，即F (x ，y )=F x (x )F y (y )，则称随机变量X 和Y 是相互独立的．义：独立条件或可等价为：连续型：f(x，y)=f x(x)f y(y)；离散型：P{X=x i，Y=y j}=P{X=x i}P{Y=y j}．正态独立：对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互对立的充要条件是：参数ρ=0．n维延伸：上述概念可推广至n维随机变量，要注意的是边缘函数或边缘密度也是多元(1~n-1元)的．定理：设（X1，X2，…，X m）和（Y1，Y2，…，Y n）相互独立，则X i和Y j相互独立．又若h，g是连续函数，则h（X1，X2，…，X m）和g（Y1，Y2，…，Y n）相互独立．Z=X +Y分布：若连续型(X，Y)概率密度为f(x，y)，则Z=X+Y为连续型且其概率密度为⎰∞∞-+-=yyyzfzfYXd),()(或⎰∞∞-+-=xxzxfzfYXd),()(．f X和f Y的卷积公式：记⎰∞∞-+-==yyfyzfzfffYXYXYXd)()()(*⎰∞∞--=xxzfxfYXd)()(，其中除继上述条件，且X和Y相互独立，边缘密度分别为f X(x)和f Y(y)．正态卷积：若X和Y相互独立且X~N(μ1，σ12)，记Y~N(μ2，σ22)，则对Z=X+Y有Z~N(μ1+μ2，σ12+σ22)．1．上述结论可推广至n个独立正态随机变量．2．有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布．伽马分布： 记),(~θαΓX ，0>α，0>θ．⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他，，00)(1)(1x e x x f x θαααθ，其中⎰+∞--=Γ01d )(te t t αα．若X 和Y 独立且X ~Γ(α，θ)，记Y ~Γ(β，θ)，则有X+Y~Γ(α+β，θ)．可推广到n 个独立Γ分布变量之和．XYZ =：⎰∞∞-=xxz x f x z f X Y d ),()(，若X 和Y 相互独立，则有⎰∞∞-=xxz f x f x z f Y X X Y d )()()(．XYZ =分布： ⎰∞∞-=x xzx f x z f XY d ),(1)(，若X 和Y 相互独立，则有⎰∞∞-=x xz f x f x z f Y X XY d )()(1)(．大小分布：若X 和Y 相互独立，且有M =max{X ，Y }及N =min{X ，Y }，则M 的分布函数：F max (z )=F X (z )F Y (z )，N 的分布函数：F min (z )=1－[1－F X (z )][1－F Y (z )]，以上结果可推广到n 个独立随机变量的情况．第四章 随机变量的数字特征数学期望：简称期望或均值，记为E (X )；离散型：kkk p x X E ∑=∞=1)(．连续型：⎰∞∞-=xx xf X E d )()(．定理： 设Y 是随机变量X 的函数：Y =g (X )(g 是连续函数)． 1．若X 是离散型，且分布律为kk k p x g Y E )()(1∑=∞=． 2．若X 是连续型，概率密度为⎰∞∞-=xx f x g Y E d )()()(．P{X=x k}=p k，则：f(x)，则：定理推广：设Z是随机变量X，Y的函数：Z=g(X，Y)(g是连续函数)．1．离散型：分布律为P{X=x i，Y=y j}=p ij，则：ijjiijpyxgZE),()(11∑∑=∞=∞=．2．连续型：⎰⎰∞∞-∞∞-=yxyxfyxgZE dd),(),()(期望性质：设C是常数，X和Y是随机变量，则：1．E(C)=C．2．E(CX)=CE(X)．3．E(X+Y)=E(X)+E(Y)．4．又若X和Y相互独立的，则E(XY)=E(X)E(Y)．方差：记D(X)或Var(X)，D(X)=Var(X)=E{[X－E(X)]2}．标准差(均方差)：记为σ(X)，σ(X)= ．通式：22)]([)()(XEXEXD-=．kkkpXExXD21)]([)(-∑=∞=，⎰∞∞--=xxfxExXD d)()]([)(2．标准化变量：记σμ-=xX*，其中μ=)(XE，2)(σ=XD，*X称为X的标准化变量．)(*=XE，1)(*=XD．方差性质：设C是常数，X和Y1．D(C)=0．2．D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X)．3．D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X－E(X))(Y－)(xD是随机变量，则：E(Y))}，若X，Y相互独立D(X+Y)=D(X)+D(Y)．4．D(X)=0的充要条件是P{X=E(X)}=1．正态线性变换：若),(~2iiiNXσμ，i C是不全为0的常数，则),(~22112211iiniiininnCCNXCXCXCσμ∑∑+++==Λ．切比雪夫不等式：22}{εσεμ≤≥-XP或221}{εσεμ-≥<-XP，其中)(X E=μ，)(2XD=σ，ε为任意正数．协方差：记)]}()][({[),Cov(YEYXEXEYX--=．X与Y的相关系数：)()(),Cov(YDXDYXXY=ρ．D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)．性质：1．Cov(aX，bY)=ab Cov(X，Y)，a，b是常数．2．Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)．系数性质：令e=E[(Y－(a+bX))2]，则e取最小值时有)()1(]))([(22minYDXbaYEeXYρ-=+-=，其中)()(XEbYEa-=，)(),Cov(0XDYXb=．1．|ρXY|≤1．2．|ρXY|=1的充要条件是：存在常数a，b使P{Y=a+bX}=1．|ρXY|越大e越小X和Y线性关系越明显，当|ρXY|=1时，Y=a+bX；反之亦然，当ρXY=0时，X和Y不相关．X和Y相互对立，则X和Y不相关；但X和Y不相关，X和Y不一定相互独立．定义：k阶矩(k阶原点矩)：E(X k )．n维随机变量X i的协方差矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nnnnnncccccccccΛMMMΛΛ212222111211C，),Cov(jiijXXc==E{[X i－E(X i)][X j－E(X j)]}．k+l阶混合矩：E(X k Y l )．k阶中心矩：E{[X－E(X)] k }．k+l阶混合中心矩：E{[X－E(X)]k[Y－E(Y)]l}．n维正态分布：)}()(21ex p{det)2(1),,,(1T221μXCμXC---=-nnxxxfπΛ，T21T21),,,(),,,(nnxxxμμμΛΛ==μX．性质：1．n维正态随机变量(X1，X2，…，X n)的每一个分量X i (i=1，2，…，n)都是正态随机变量，反之，亦成立．2．n维随机变量(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布的充要条件是X1，X2，…，X n的任意线性组合l1X1+l2X2+…+l n X n服从一维正态分布(其中l1，l2，…，l n不全为零)．3．若(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布，且Y1，Y2，…，Y k是X j (j=1，2，…，n)的线性函数，则(Y1，Y2，…，Y k)也服从多维正态分布．4．若(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布，则“X i 相互独立”与“X i 两两不相关”等价．第五章大数定律及中心极限定理弱大数定理：若X1，X2，…是相互独立并服从同一分布的随机变量序列，且E(Xk)=μ，则对任意ε>0有11lim1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμknknXnP或→μPX，knkXnX11=∑=．定义：Y1，Y2，…，Y n ，…是一个随机变量序列，a是一个常数．若对任意ε>0，有1}|{|lim=<-∞→εaYPnn则称序列Y1，Y2，…，Y n ，…依概率收敛于a．记aY Pn−→−伯努利大数定理：对任意ε>0有1lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εpnfP An或lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εpnfP An．其中f A是n次独立重复实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率．中心定理设X1,X2,…,Xn,…相互独立σμnnXknk)(1-∑=N(0，1)或nXσμ-~N(0，1)或X~N(μ，n2σ)．~近似的极限定理一：并服从同一分布，且E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2 >0，则n→∞时有定理二：设X1,X2,…,Xn,…相互独立且E(X k)=μ k，D(X k)=σk2 >0，若存在δ>0使n→∞时，}|{|1212→-∑+=+δδμkknknXEB，则nknkknkBX)(11μ==∑-∑~N(0，1)，记212knknBσ=∑=．定理三：设),(~p n bnη，则n→∞时，Npnpnpn~)1()(--η(0，1)，knknX1=∑=η．第六章样本及抽样分布定义：总体：全部值；个体：一个值；容量：个体数；有限总体：容量有限；无限总体：容量无限．定义：样本：X1,X2,…,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量，称从F得到的容量为n的简单随机样本．频率直方图：图形：以横坐标小区间为横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组图形特点：外轮廓接近宽，纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形．距Δ=大区间/小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位）．于总体的概率密度曲线．纵坐标：频率/组距（总长度：<1/Δ；小区间长度：频率/组距）．定义：样本p分位数：记x p，有1．样本x i中有np个值≤x p．2．样本中有n(1－p)个值≥x p．箱线图：x p选择：记⎪⎩⎪⎨⎧∈+∉=++NnpxxNnpxxnpnpnpp当，当，][211)()()1]([．分位数x0.5，记为Q2或M，称为样本中位数．分位数x0.25，记为Q1，称为第一四分位数．分位数x0.75，记为Q3，称为第三四分位数．图形：图形特点：M为数据中心，区间[min，Q1]，[Q1，M]，[M，Q3]，[Q3，max]数据个数各占1/4，区间越短数据密集．四分位数间距：记IQR=Q3－Q1；若数据X<Q1－1.5IQR 或X>Q3+1.5IQR，就认为X是疑似异常值．抽样分布：样本平均值：iniXnX11=∑=样本方差：)(11)(11221212XnXnXXnSiniini-∑-=-∑-===样本标准2SS=样本k阶kinikXnA11=∑=，k≥1样本k阶kinikXXnB)(11-∑==，k≥2min Q1 M Q3 max差： (原点)矩：中心矩：经验分布函数： )(1)(x S nx F n =，∞<<∞-x ．)(x S 表示F 的一个样本X 1,X 2,…,X n 中不大于x 的随机变量的个数．自由度为n 的χ2分布： 记χ2~χ2（n ），222212nX X X +++=Λχ，其中X 1,X 2,…,X n 是来自总体N (0，1)的样本．E (χ2 )=n ，D (χ2 )=2n ． χ12+χ22~χ2（n 1+n 2）． ⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他，，00)2(21)(2122y e x n y f y n n ．χ2分布的分位点： 对于0<α<1，满足αχχαχα==>⎰∞y y f n P n )(222d )()}({，则称)(2n αχ为)(2n χ的上α分位点．当n 充分大时(n >40)，22)12(21)(-+≈n z n ααχ，其中αz 是标准正态分布的上α分位点．自由度为n 的t 分布：记t ~t (n )，n Y Xt /=， 其中X~N (0，1)，Y~χ2(n )，X ，Y 相互独立．2)1(2)1(]2[]2)1([)(+-+Γ+Γ=n n t n n n t h π h (t )图形关于t =0对称；当n充分大时，t 分布近似于N (0，1)分布．t 分布对于0<α<1，满足ααα==>⎰∞t t h n t t P n t )(d )()}({，则称)(n tα为)(n t 的上α的分位点：分位点．由h(t)对称性可知t1－α(n)=－tα(n)．当n>45时，tα(n)≈zα，zα是标准正态分布的上α分位点．自由度为(n1，n2)的F分布：记F~F(n1，n2)，21nVnUF=，其中U~χ2(n1)，V~χ2(n2)，X，Y相互独立．1/F~F(n2，n1)⎪⎩⎪⎨⎧>+ΓΓ+Γ=+-其他，，]1)[2()2()](2)([)(2)(21211)2(221212111xnynnnynnnny nnnnψF分布的分位点：对于0<α<1，满足αψαα==>⎰∞yynnFFPnnF),(2121d)()},({，则称),(21n nFα为),(21nnF的上α分位点．重要性质：F1－α(n1，n2)=1/Fα(n1，n2)．定理一：设X1,X2,…,X n 是来自N(μ，σ2)的样本，则有),(~2nNXσμ，其中X是样本均值．定理二：设X1,X2,…,X n 是来自N(μ，σ2)的样本，样本均值和样本方差分别记为X，2S，则有1．)1(~)1(222--nSnχσ；2．X与2S相互独立．定理三：设X1,X2,…,X n 是来自N(μ，σ2)的样本，样本均值和样本方差分别记为X，2S，则有)1(~--ntnSXμ．定理设X1,X2,…,X n1与X，Y，21S，22S，则有四： Y 1,Y 2,…,Y n 2分别是来自N (μ1，σ12)和N (μ2，σ22)的样本，且相互独立．设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为 1．)1,1(~2122212221--n n F S Sσσ．2．当σ12=σ22=σ2时，)2(~)()(21121121-++-----n n t nn S Y X w μμ，其中2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w，2wwS S=．第七章 参数估计定义：估计量：),,,(ˆ21nX X X Λθ，估计值：),,,(ˆ21nx x x Λθ，统称为估计．矩估计法： 令)(llX E =μ=li n i l X n A 11=∑=(kl ,,2,1Λ=)(k 为未知数个数)联立方程组，求出估计θˆ． 设总体X均值μ及方差σ2都存在，则有X A ==1ˆμ，212212122)(11ˆX X n X X n A A i n i i n i -∑=-∑=-===σ．最大似然估计法：似然函数：离散：);()(1θθini x p L =∏=或连续：);()(1θθini x f L =∏=，)(θL 化简可去掉与θ无关的因式项． θˆ即为)(θL 最大值，可由方程0)(d d=θθL 或0)(ln d d=θθL 求得．当多个未知参数θ1，θ1，…，θk时：可由方程组0d d=L iθ或0ln d d=L iθ（k i ,,2,1Λ=）求得．最大似然估计的不变性：若u=u(θ)有单值反函数θ=θ(u)，则有)ˆ(ˆθuu=，其中θˆ为最大似然估计．截尾样本取样：定时截尾样本：抽样n件产品，固定时间段t0内记录产品个体失效时间(0≤t1≤t2≤…≤t m≤t0)和失效产品数量．定数截尾样本：抽样n件产品，固定失效产品数量数量m记录产品个体失效时间(0≤t1≤t2≤…≤t m)．结尾样本最大似然估计：定数截尾样本：设产品寿命服从指数分布X~e（θ），θ即产品平均寿命．产品t i时失效概率P{t=t i}≈f(t i)d t i，寿命超过t m的概率θm tmettF-=>}{，则)(}){()(1imimnmmntPttFCL=-∏>=θ，化简得)(1)(m t sm eL---=θθθ，由0)(lndd=θθL得：m t s m)(ˆ=θ，其中s(t m)=t1+t2+…+t m+(n－m)t m，称为实验总时间．定时截尾样本：与定数结尾样本讨论类似有s(t0)=t1+t2+…+t m+(n－m)t0，)(01)(t sm eL---=θθθ，m t s)(ˆ0=θ，．无偏性：估计量),,,(ˆ21nXXXΛθ的)ˆ(θE存在且θθ=)ˆ(E，则称θˆ是θ的无偏估计量．有效性：),,,(ˆ211nXXXΛθ与),,,(ˆ212nXXXΛθ都是θ的无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθDD≤，则1ˆθ较2ˆθ有效．相合性：设),,,(ˆ21nXXXΛθθ的估计量，若对于任意0>ε有1}|ˆ{|lim=<-∞→εθθPn，则称θˆ是θ的相合估计量．置信区间：αθθθ-≥<<1)},,,(),,,({2121nnXXXXXXPΛΛ，θ和θ分别为置信下限和置信上限，则),(θθ是θ的一个置信水平为α-1置信区间，α-1称为置信水平，10<<α．正态设X1，枢轴量W W分布a，b不等其中样本置信区间：X2，…，X n是来自总体X~N(μ，σ2)的样本，则有μ的置信区间：式置信水平置信区间)1,0(~NnXσμ-⇒ασμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-12znXP⇒)(2ασznX±zα/2为上α分位点θ置信区间的求解：1．先求枢轴量：即函数W=W(X1，X2，…，X n；θ)，且函数W的分布不依赖未知参数．如上讨论标注2．对于给定置信水平α-1，定出两常数a，b使P{a<W<b}=α-1，从而得到置信区间．(0－1)分布p 的区间估计：样本容量n>50时，⇒--∞→)1,0(~)1()(lim NpnpnpXnn{}⇒-≈<--αα1)1()(2zpnpnpXnP)2()(222222<++-+XnpzXnpznαα⇒若令22αzna+=，)2(22αzXnb+-=，2X nc=，则有置信区间(aacbb2)4(2---，aacbb2)4(2-+-）．单侧置信区间：若αθθ-≥>1}{P或αθθ-≥<1}{P，称(θ，∞)或(∞-，θ)是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间．正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为α-1）待估其他枢轴量W的分布置信区间单侧置信限一个正态总体μσ2已知)1,0(~NnXZσμ-=)(2ασznX±ασμznX+=，ασμznX-=μσ2未知)1(~--=ntnSXtμ⎪⎭⎫⎝⎛±2αtnSXαμtnSX+=，αμtnSX-=σ2μ未知)1(~)1(2222--=nSnχσχ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2212222)1(,)1(ααχχSnSn2122)1(αχσ--=Sn，222)1(αχσSn-=两个正态总体μ1－μ2σ12，σ22已知)1,0(~)(22212121NnnYXZσσμμ+---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+±-2221212nnzYXσσα2221212122212121nnzYXnnzYXσσμμσσμμαα+--=-++-=-μ1－μ2σ12=σ22=σ2未知)2(~)()(21121121-++---=--nntnnSYXtwμμ2)1()1(212222112-+-+-=nnSnSnSw()12112--+±-nnStYXwα2wwSS=121121121121----+--=-++-=-nnStYXnnStYXwwααμμμμσ12/σ22μ1，μ2未知)1,1(~2122212221--=nnFSSFσσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-212221222211,1ααFSSFSSασσ-=1222122211FSS，ασσFSS122212221=单个总体X ~N (μ，σ2)，两个总体X ~N (μ1，σ12)，Y ~N (μ2，σ22)．第八章 假设实验定义： H 0：原假设或零假设，为理想结果假设；H 1：备择假设，原假设被拒绝后可供选择的假设．第Ⅰ类错误：H 0实际为真时，却拒绝H 0．第Ⅱ类错误：H 0实际为假时，却接受H 0．显著性检验：只对犯第第Ⅰ类错误的概率加以控制，而不考虑第Ⅱ类错误的概率的检验．P {当H 0为真拒绝H 0}≤α，α称为显著水平．拒绝域：取值拒绝H 0．临界点：拒绝域边界．双边假设检验：H 0：θ=θ0，H 1：θ≠θ0．右边检验：H 0：θ≤θ0，H 1：θ>θ0．左边检验：H 0：θ≥θ0，H 1：θ<θ0． 正态总体均值、方差的检验法(显著性水平为α)原假设H 0 备择假设H 1 检验统计量 拒绝域 1 σ2已知 μ≤μ0 μ>μ0 nX Z σμ0-=z ≥z αμ≥μ0 μ<μ0 z ≤－z α μ=μ0μ≠μ0 |z |≥z α/2 2 σ2未知 μ≤μ0 μ>μ0 nS X t 0μ-=t ≥t α(n －1)μ≥μ0μ<μ0 t ≤－t α(n －1) μ=μ0 μ≠μ0 |t |≥t α/2(n －1) 3σ1，σ2 已μ1－μ1－222121n n Y X Z σσδ+--=z ≥z α μ1－μ1－z ≤－z α μ1－μ1－|z |≥z α/2 4 σ12μ1－μ1－1211--+--=nn S Y X t w δt ≥t α(n 1+n 2－2)=σ22μ1－μ1－2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S wt ≤－t α(n 1+n 2－2) μ1－μ1－|t |≥t α/2(n 1+n 2－2) 5 μ未知 σ2≤σ02 σ2>σ02 2022)1(σχSn -=χ2≥χα2(n －1) σ2≥σ02 σ2<σ02χ2≤χ21－α(n －1) σ2=σ02 σ2≠σ02χ2≥χ2α/2(n －1)或χ2≤χ21－α/2(n －1) 6 μ1，μ2 未知 σ12≤σ22σ12>σ22 2221S S F =F ≥F α(n 1－1，n 2－1) σ12≥σ22σ12<σ22F ≤F 1－α(n 1－1，n 2－1)σ12=σ22σ12≠σ22F ≥F α/2(n 1－1，n 2－1)或F ≤F 1－α/2(n 1－1，n 2－1) 7 成对 数据μD ≤0 μD >0 nS D t D 0-=t ≥t α(n －1)μD ≥0μD <0 t ≤－t α(n －1) μD =0μD ≠0|t |≥t α－2(n －1)检验方法选择： 主要是逐对比较法（成对数据）跟两个正态总体均值差的检验的区别，如上表即7跟3、4的区别，成对数据指两样本X 和Y 之间存在一一对应关系，而3和4一般指X 和Y 相互对立，但针对同一实体．关系： 置信区间与假设检验之间的关系：未知参数的置信水平为1－α的置信区间与显著水平为α的接受域相同．定义：施行特征函数(OC函数)：β(θ)=Pθ(接受H0)．功效函数：1－β(θ)．功效：当θ*∈H1时，1－β(θ*)的值．。

第一章 概率论的基本概念随机试验：1.可以在相同的条件下重复进行2.每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果3.进行一次试验之前不能确定哪个结果会出现样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 随机事件：试验E 的样本空间S 的子集，简称事件基本事件：由一个样本点（E 的每个结果）组成的单点集 频率：事件A 发生次数和试验次数的比值n A /n ，记作f n (A)概率：对事件A 赋予实数，P(A) 非负性，规范性，可列可加性性质i P(∅)=0.性质ii(有限可加性) 若A1,A2,…,An 是两两互不相容的事件，则有P(A 1⋃A 2⋃…⋃A n )=P (A 1)+P (A 2)+⋯+P(A n ).性质iii 设A,B 是两个事件，若A ⊂B,则有P(B-A)=P(B)-P(A);P(B)≥P(A). 性质iv 对于任一事件A,P(A)≤1.性质v(逆事件的概率) 对于任一事件A,有P(A )=1-P(A).性质vi(加法公式) 对于任意两事件 A,B 有P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB). 古典概型：样本空间只包含有限个元素，每个基本事件可能性相同A 的对立事件A̅及其概率：也称逆事件 两个互不相容事件的和事件的概率：两事件不能同时发生，概率的有限可加性 概率的加法定理：P(A ⋃B )=P(A)+P(B)-P(AB)条件概率：在事件A 发生的条件下事件B 发生的P(B|A)=P(AB)P(A).概率的乘法公式：P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A) 全概率公式：P (A )=∑P (A |B i )n i=1P(B i ) B i 是试验E 的S 的划分，A 为E 的事件 贝叶斯公式：P (B i |A )=P(A|B i )P(B i )∑P(A|B j )P(B j )nj=1,i=1,2,…,n.事件的独立性：P(AB)=P(A)P(B)，互相独立与互不相容不能同时成立设n 个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n 个事件的积事件的概率都等于各事件概率之积，则称n 个事件相互独立实际推断原理：概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的第二章 随机变量及其分布随机变量：设E 的样本空间S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S 上的单值函数，称随机变量分布函数：X 是随机变量，x 是任意实数，F (x )=P {X ≤x },−∞<x <∞称为X 的分布函数任意实数x 1,x 2(x 1<x 2),有 P {x 1<X ≤x 2}=P {X ≤x 2}−P {X ≤x 1}=F (x 2)−F(x 1) 基本性质：不减函数，0≤F(x)≤1且F(-∞)=0,F(∞)=1离散型随机变量：全部可能取到的值是有限个或可列无限多个其分布律： P {X =x k }=p k ,k =1,2,… 连续性随机变量:F (x )=∫f(t)dt x−∞ 非负可积函数f (x )概率密度：f(x)性质：f (x )≥0;∫f (x )dx ∞−∞=1伯努利试验：试验E 只有两个可能结果：A 及A（0−1）分布： P {X =k }=p k (1−p)1−k ,k =0,1 (0<p <1) 记为X ～b(1,p) n 重伯努利试验：将伯努利试验E 独立重复地进行n 次，以C i 为A 或A ，i=1,2,…,n.独立：P (C 1C 2…C n )=P (C 1)P (C 2)…P(C n )二项分布：P {X =k }=(n k )p k (1−p)n−k ,k =0,1,2,…,n. 记为X ～b(n,p) 泊松分布：P {X =k }=λk e −λk!,k =0,1,2,…,λ是常数，记为X ～π(λ)指数分布：f (x )={1θe −xθ,x >00,otherwise,记为X ～η(θ)均匀分布：f (x )={1b−a ,a <x <b,0,otherwise.,记为X ～U(a,b)正态分布：f (x )=√2πσ−(x−μ)22σ2,-∞<x<∞，其中μ,σ（σ>0）是常数，记作X ～N （μ，σ2）标准正态分布：X ～N(0,1)，概率密度为φ(x)，分布函数为Φ(x) 引理：若X ～N(μ，σ2)，则Z =X−μσ~N(0,1)随机变量函数的分布：Y=g(X)，分布函数法（先求分布函数，再对分布函数求导）第三章 多维随机变量及其分布二维随机变量（X ，Y ）：设X=X(e),Y=Y(e)是定义在样本空间S 上的随机变量构成的向量 （X ，Y ）的分布函数：联合分布函数：F (x,y )=P {(X ≤x )∩(Y ≤y )}≝P{X ≤x,Y ≤y}边缘分布函数：F X (x )=P {X ≤x }=P {X ≤x,Y <∞}=F(x,∞),F Y (y )=F(∞,y) 离散型随机变量（X ，Y ）的分布律：P{X =x i ,Y =y j }=p ij ,i,j =1,2,… 联合分布律 连续型随机变量（X ，Y ）的概率密度：f(x,y) 联合概率密度1. f (x,y )≥02. ∫∫f(x,y)dxdy ∞−∞=F (∞,∞)=1∞−∞3. 设G 是xOy 平面上的区域，点(X,Y)落在G 内的概率为∬f(x,y)dxdyG . 4. 若f(x,y)在点(x,y)连续，则有∂2yF(x,y)∂x ∂y=f(x,y)离散型随机变量（X ，Y ）的边缘分布律：P {X =x i }=∑p ij ∞i=0,i =1,2,…, Y 一样 连续型随机变量（X ，Y ）的边缘概率密度：f X (x )=∫f(x,y)dy ∞−∞,Y 一样 条件分布函数：F X|Y (x |y )=P {X ≤x |Y =y }=∫f(x,y)f X (x)dy y −∞ 在Y=y 条件下X 的条件分布函数条件分布律：P {X =x i |Y =y i }=P{X=x i ,Y=y i }P{Y=y i }=p ij p .j,i =1,2,… 在Y=y j 条件下X 的条件分布律条件概率密度：f X|Y (x |y )=f(x,y)f Y (y)在Y=y 的条件下X 的条件概率密度两个随机变量X ，Y 的独立性：F (x,y )=F X (x)F Y (y)对二维正态随机变量变量(X,Y)，X 和Y 相互独立的充要条件是参数ρ=0 Z=X+Y 、Z=Y/X 、Z=XY 的概率密度：Z=X+Y:f X+Y (z )={∫f X (z −y)f Y (y)dy∞−∞∫f X (x)f Y (z −x)dx∞−∞ Z=Y/X:f Y X(z )=∫|x|f(x,xz)dx ∞−∞=∫|x|f X (x)f Y (xz)dx ∞−∞Z=XY:f XY (z )=∫1|x|f(x,z x)dx ∞−∞=∫1|x|f X (x)f Y (zx)dx ∞−∞M=max{X ，Y}，N=min{X ，Y}的概率密度：分布函数：F max (z)=P{M≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=F X (z)F Y (z).F min (z)=P{N≤z}=1-P(N>z)=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}∙P{Y>z}=1-[1-F X (z)][1-F Y (z)].第四章 随机变量的数字特征数学期望：E (X )=∑x k p k ∞k=1E (X )=∫xf(x)∞−∞dx (积分绝对收敛)随机变量函数的数学期望：Y=g(X)(g 是连续函数)E(Y)=E[g(X)]=∑g(x k )∞k=1p k E(Y)=E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx ∞−∞E(Z)=E[g(X,Y)]=∑∑g(x i ,y j )p ij ∞i=1∞j=1E(Z)=E[g(X,Y)]=∫∫g(x,y)f(x,y)∞−∞dxdy ∞−∞数学期望的性质：1.设C 是常数，则有E(C)=C.2.设X 是一个随机变量，C 是常数，则有E(CX)=CE(X).3.设X,Y 是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).(可推广到任意有限个随机变量之和)4.设X,Y 是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)+E(Y).(可推广到任意有限个相互独立随机变量之积)方差：D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)]2}. 标准差：σ(x)=√D(X)方差的性质：1.设C 是常数，则D(C)=0.2.设X 是随机变量，C 是常数，则有D(CX)=C 2D(X),D(X+C)=D(X).3.设X,Y 是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(X))}. 若X,Y 相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y).4.D(X)=0的充要条件是X 以概率1取常数E(X)，即P{X=E(X)}=1. 标准化的随机变量：X ∗=X−μσ.(数学期望为0，方差为1)协方差：Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}. 相关系数：ρXY =√D(X)D(Y)相关系数的性质：1.|ρXY |≤1.2.|ρXY |=1的充要条件是，存在常数a,b 使P{Y=a+bX}=1. X ，Y 不相关：当ρXY =0时.切比雪夫不等式：设随机变量X 具有E(X)=μ,方差D(X)=σ2，则对任意正数ε，不等式 P{|X −μ|≥ε}≤σ2ε2成立几种重要分布的数学期望和方差：(推导)矩：k 阶原点矩：E(X k ),k=1,2,…k 阶中心矩：E([X-E(X)]k ),k=2,3,… k+l 阶混合矩：E(X k Y l ),k,l=1,2,…k+l 阶混合中心矩：E([X-E(X)]k [Y-E(Y)]l ),k,l=1,2,…协方差矩阵：C =(c ij )=(Cov(X i ,Y j ))=E{[X i -E(X i )][X j -E(X j )]},i,j=1,2,…,n.第五章 大数定律及中心极限定理依概率收敛：设Y 1,Y 2,…,Y n ,…是一个随机变量序列，a 是一个常数.若对于任意正数ε，有lim n→∞P {|Y n −a |<ε}=1,则称序列Y 1,Y 2,…,Y n ,…依概率收敛于a,记为Y n P→a.伯努利大数定理：P(A)=P,频率nA n(n 次重复独立试验),对∀ε>0,lim n→∞P {|n A n−P|<ε}=1.辛钦大数定理：已知R.V . X 1,X 2,…,X n ,…相互独立且E(X i )=μ.(i=1,2,…)则∀ε>0,lim n→∞P {|1n ∑X k −μn k=1|<ε}=1.独立同分布的中心极限定理：设R.V .序列：X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，并且E(X k )=μ, D(X k )=σ2,k=1,2,…则k n k=1√nσ2̃N(0,1) 标准正态分布(高斯分布)近似计算 李雅普诺夫中心极限定理：棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设R.V. ηn ~B(n,p)，则对任意x 有{η−np √np (1−p )≤x}≈Φ(x) 二项分布(n→∞)→ 正态分布第六章 样本及抽样分布总体：试验的全部可能的观察值.简单随机样本：设X 是具有分布函数F 的随机变量，若X 1,X 2,…,X n 是具有同一分布函数F 的、相互独立的随机变量，则称X 1,X 2,…,X n 为从分布函数F 得到的容量为n 的简单随机样本,简称样本.统计量：不含未知参数的样本的函数g(X 1,X 2,…,X n ).样本平均值：X̅=1n∑X i ni=1 样本方差：S 2=1n −1∑(X i −X ̅)2n i=1=1n −1(∑X i 2ni=1−nX̅2) 样本k 阶原点矩：A k =1n∑X i k ni=1,k =1,2,…样本k 阶中心矩：B k =1n∑(X i −X̅)k ni=1,k =1,2,… χ2分布:χ2=X 12+X 22+⋯+X n 2,服从自由度为n 的χ2分布，记为χ2～χ2(n).χ2(n)分布的概率密度为f (y )={12n 2Γ(n 2)yn 2−1e −y 2,y >0 0, otℎerwiseGamma 函数：Γ(x )=∫e −t t x−1dt +∞0,(x >0)t 分布:设X ～N(0,1)，Y ～χ2(n),且X,Y 相互独立随机变量t=√n,服从自由度为n 的t 分布.记为t ～t(n).t(n)分布的概率密度函数为h (t )=Γ(n +12)√πnΓ(n 2)(1+t 2n )−n+12F 分布:设U ～χ2(n 1),V ～χ2(n 2)，且U,V 相互独立随机变量F=Un 1V n 2,服从自由度为(n 1,n 2)的F 分布，记为F ～F(n 1,n 2). 密度函数为ψ(y).密度函数图形轮廓：χ2分布,F 分布类似，t 分布对称上α分位点：χα2(n),t α(n),F α(n 1,n 2) F 1-α(n 1,n 2)=1Fα(n 1,n 2)：F 分布上分位点的重要性质，用来求表中未列出的常用上α分位点.关于样本均值、样本方差的重要结果1.设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X(不管服从什么分布，只要它的均值和方差存在)的样本，且有E(X)=μ,D(X)=σ2n .2.设总体X～N(μ,σ2),X1,X2,…,X n是来自X的样本，则有);1)X̅~N(μ,σ2n~χ2(n−1);2)(n−1)S2σ23)X̅与S2相互独立;~t(n−1);4）X̅−μS√n3.对于两个正态总体X～N(μ1,σ12),Y～N(μ2，σ22),有定理四的重要结果.第七章 参数估计矩估计量：θ̂i =θi(A 1,A 2,…,A k ),i=1,2,…,k 作为θi 的估计量，A i 是样本矩. 最大似然估计量：θ̂(X 1,X 2,…,X n ),使L(x 1,x 2,…x n ;θ̂)=max θ∈ΘL(x 1,x 2,…,x n ;θ) 估计量的评选标准：无偏性:若估计量θ̂=θ̂(X 1,X 2,…,X n )的数学期望E(θ̂)存在，且对于任意θ∈~Θ有E(θ̂)=θ. 有效性：θ̂1=θ̂1(X 1,X 2,…,X n )与 θ̂2=θ̂2(X 1,X 2,…,X n )都是θ的无偏估计量，若对于任意θ∈Θ，有D(θ̂1)≤D(θ̂2)且至少对于某一个θ∈Θ上式中的不等号成立. 相合性：设θ̂(X 1,X 2,…,X n )为参数θ的估计量，若对与任意θ∈Θ，当n →∞时θ̂(X 1,X 2,…,X n )依概率收敛于θ.参数θ的置信水平为1-α的置信区间：θ的两个矩估计量θ=θ(X 1,X 2,…,X n )θ=θ(X 1,X 2,…,X n )给定的值α(0<α<1)有 P{θ<θ<θ}=1-α. 称(θ,θ)为置信水平为(1-α)的置信区间.枢轴量：一个样本和参数的函数W(X 1,X 2,…,X n ;θ),W 的分布不依赖于θ及其它未知参数. 参数θ的单侧置信上限和单侧置信下限P{θ>θ}≥1-α,即(θ,+∞)为θ的单侧置信区间，θ为单侧置信下限. P{θ<θ}≥1-α,即(θ,+∞)为θ的单侧置信区间，θ为单侧置信上限. 单个正态总体均值置信区间：若σ2已知,找U=X−μσ√n~N(0,1),得到μ的一个置信水平为1-α的置信区间为(X √nz α2)若σ2未知,E(S 2)=σ2,将σ换成S=√S 2找T=X−μS √n~t(n −1),得到μ的一个置信水平为1-α的置信区间为(X ±√nt α2(n −1))单个正态总体方差置信区间：σ2的无偏估计为S 2，(n −1)S 2σ2~χ2(n −1) P{χ1−α22(n −1)<(n −1)S 2σ2<χα22(n −1)}=1−α P {(n −1)S 2χα22(n −1)<σ2<(n −1)S 2χ1−α22(n −1)}=1−α 得到σ2的一个置信水平为1-α的置信区间为((n −1)S 2χα22(n −1),(n −1)S 2χ1−α22(n −1)) 单侧置信上限与单侧置信下限σ2已知，关于μ的单侧置信区间选U=X−μσ√n~N(0,1)单侧置信上限为μ=X √n α单侧置信下限为μ=X√nασ2未知，选T=X−μS√n~t(n−1)单侧置信上限为μ=X√nα(n−1)单侧置信下限为μ=X√nα(n−1)关于σ2，选(n−1)S 2σ2~χ2(n−1)单侧置信上限为σ2=(n−1)S 2χ1−α2(n−1)单侧置信下限为σ2=(n−1)S 2χα2(n−1)两个正态总体均值差、方差比的置信区间、单侧置信上限与单侧置信下限第八章 假设检验原假设：H 0:μ=μ0备择假设:H 1:μ≠μ0(原假设被拒绝后可供选择的假设) 检验统计量：Z =X−μ0σ√n单边检验：(右边检验)H 0:μ=μ0,H 1:μ>μ0(左边检验)H 0:μ=μ0,H 1:μ<μ0 双边检验：形如H 0:μ=μ0, H 1:μ≠μ0的检验显著性水平:关于x 与μ0有无差异的判断是在显著性水平α之下作出的. 拒绝域：区域C 中取某个值时拒绝原假设，如|z|>z α2.显著性检验：只对犯第I 类错误的概率加以控制，而不考虑犯第II 类错误的概率的检验. 一个正态总体的参数的检验:μ的检验σ2已知：利用统计量Z=X−μ0σ√n~N(0,1)确定拒绝域|Z|≥z α2σ2未知：|t|=|X−μ0S √n|～t(n-1)σ2的检验：χ2分布χ2=(n−1)S 2σ02~χ2(n −1)k 1=χ1−α22(n −1),k 2=χα22(n −1) 拒绝域为(n−1)S 2σ02≤k 1 或(n−1)S 2σ02≥k 2。

第一章 概率论的基本概念1 随机试验1.对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验.2.随机试验E 的所有结果构成的集合称为E 的样本空间，记为{}S e =， 称S 中的元素e 为基本事件或样本点.3.可以在相同的条件下进行相同的实验；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会实现.2.样本空间、随机事件1.对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本空间的元素，即E 的每个结果称为样本点.2.一般我们称S 的子集A 为E 的随机事件A ，当且仅当A 所包含的一个样本点发生称事件A 发生.如果将S 亦视作事件，则每次试验S 总是发生，故又称S 为必然事件。

为方便起见，记φ为不可能事件，φ不包含任何样本点.3.若A B ⊂，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必导致事件的发生。

若A B ⊂且B A ⊂，即A B =，则称事件A 与事件B 相等.4.和事件{}AB x x A x A A B =∈∈或：与至少有一发生.5.当AB φ=时，称事件A 与B 不相容的，或互斥的.这指事件A 与事件B 不能同时发生.基本事件是两两互不相容的.,{,{,,A A S A A SA A AB AA AB ===∅=∅的逆事件记为若则称互逆，互斥.6.,A B A B A B AB 当且仅当同时发生时，事件发生.也记作.,A B A B A B AB 当且仅当同时发生时，事件发生,也记作.7. 事件 A 的对立事件：设 A 表示事件 “A 出现”, 则“事件 A 不出现”称为事件 A 的对立事件或逆事件. 事件间的运算规律：,,, A B C 设为事件则有,A B B A AB BA ==（１）交换律：()(),A B C A B C =（２）结合律：()()AB C A BC = ()()()A B C A C B C ACBC ==（３）分配律：,de Morgan AB AB AB AB ==（４）律：3.频率和概率1.记()An n f A n=()A n A f A A n --其中n 发生的次数（频数）；n 总试验次数.称为在这次试验中发生的频率.频率 反映了事件A 发生的频繁程度. 2.频率的性质：10()12()1n n kkf A f S ≤≤=。