[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷2.doc

考研数学二（常微分方程）模拟试卷20(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设φ1 (χ)，φ2 (χ)为一阶非齐次线性微分方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．（分数：2.00）A.C[φ1 (χ)＋φ2 (χ)]B.C[φ1 (χ)－φ2 (χ)]C.C[φ1 (χ)－φ2 (χ)]－φ2 (χ) √D.[φ1 (χ)－φ2 (χ)]＋Cφ2 (χ)解析：解析：因为φ1 (χ)，φ2 (χ)为方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个线性无关解，所以φ1 (χ)－φ2(χ)为方程y′＋P(χ)y＝0的一个解，于是方程y＋P(χ)y＝Q(χ)的通解为C[φ1(χ)－φ2(χ)]＋φ2 (χ)，选C．3.设y＝y(χ)为微分方程2χydχ＋(χ2－1)dy＝0满足初始条件y(0)＝1的解，则χ)dχ为( )．（分数：2.00）A.－ln3B.ln3C.√解析：解析：由2χydχ＋(χ2－1)dy＝0得＝0，积分得ln(χ2－1)＋lny＝lnC，从而y＝，由y(0)＝1得C＝－1，于是y＝，故，因此选D．4.微分方程y〞－y′－6y＝(χ＋1)e -2χ的特解形式为( )．（分数：2.00）A.(aχ＋b)e -2χB.aχ2 e -2χC.(aχ2＋bχ)e -2χ√D.χ2 (aχ＋b)e -2χ解析：解析：因为原方程的特征方程的特征值为λ1＝－2，λ2＝3，而－2为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为χ(aχ＋b)e －2χ，选C．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设连续函数f(χ)满足f(χ)＝＋e χ，则f(χ)＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2e 2χ－e χ）解析：6.微分方程(2χ＋3)y〞＝4y′的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝1χ3＋6C 1χ2＋9C 1χ＋C 2）解析：解析：令y′＝p，则，两边积分得lnp＝ln(2χ＋3) 2＋lnC 1，或y′＝C 1(2χ＋3) 3，于是y＝ C 1χ3＋6C 1χ2＋9C 1χ＋C 2．7.yy〞＝1＋y ′2满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝0的解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln｜y＋[*]｜＝±χ）解析：解析：令y′＝p，则yp ＝1＋p 2，即，解得ln(1＋p 2 )＝lny 2＋lnC 1，则1＋p 2＝C 1 Y 2，由y(0)＝1，y′(0)＝0得y′＝± ， ln｜y＋＋C 2＝±χ，由y(0)＝1得C 2＝0，所以特解为ln｜y＋｜＝±χ．8.微分方程y〞＋4y＝4χ－8的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝C 1 cos2χ＋C 2 sin2χ＋χ－2）解析：解析：微分方程两个特征值为λ1＝－2i，λ2＝2i，则微分方程的通解为y＝C 1cos2χ＋C 2sin2χ＋χ－2．9.设y＝y(χ)过原点，在原点处的切线平行于直线y＝2χ＋1，又y＝y(χ)满足微分方程y〞－6y′＋9y ＝e 3χ，则y(χ)＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y(χ)＝2χe 3χ＋2 e 3χ）解析：解析：由题意得y(0)＝0，y′(0)＝2， y〞－6y′＋9y＝e 3χ的特征方程为λ2－6λ＋9＝0，特征值为λ1＝λ2＝3，令y〞＝6y′＋9y＝e 3χ的特解为y 0 (χ)＝aχ2 e 3χ代入得以a＝，故通解为y＝(C 1＋C 2χ)e 3χ＋χ2 e 3χ．由y(0)＝0，y′(0)＝2得C 1＝0，C 2＝2，则y(χ)＝2χe 3χ＋χ2 e 3χ．10.微分方程2y〞＝3y 2满足初始条件y(－2)－1，y′(－2)＝1的特解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：χ＝－[*]）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．求的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．正确答案：因为x2+x3+o(x3)，cosx=x2+o(x3)，从而x2-x2+x3-x3+o(x3)=1+x2-x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用2．求e-x2带皮亚诺余项的麦克劳林公式．正确答案：把t=-x2代入et=1+t++o(tn)(t→0)即得e-x2=1-x2+o(x2n)(x→0)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用3．求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式．正确答案：由于(arctanx)’==1-x2+x4+o(x5)，由该式逐项积分即得arctanx=∫0x=∫0x(1-t2+t4)dt+o(x6)=x-x3+x5+o(x6)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用4．求极限正确答案：因x4+o(x4)，cosx-ex2=-(1+x2)+o(x2)=x2+o(x2)．又sinx2～x2(x →0)，所以涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用5．确定常数a和b的值，使f(x)=x-(a+bex2)sinx当x→0时是x的5阶无穷小量．正确答案：利用ex2=1+x2++o(x5)，sinx=x-+o(x6)，可得f(x)=x-[a+b+bx2+x4+o(x5)]+o(x6)]=(1-a-b)x+x5+o(x5)．不难看出当1-a-b=0与-b=0同时成立f(x)才能满足题设条件．由此可解得常数a=，并且得到f(x)=x5+o(x5)，f(x)是x的5阶无穷小(x→0)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用6．设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且=e4，求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)．正确答案：1)先转化已知条件．由=e4知从而再用当x→0时的等价无穷小因子替换ln[1+f(x)]～f(x)，可得2)用a(1)表示当x→0时的无穷小量，由当x→0时的极限与无穷小的关系=4+o(1)，并利用xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)．从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f’(0)=0，…，f(n-1)(0)=0，=4，故f(n)(0)=4n!．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用7．设0＜x＜正确答案：由带拉格朗日余项的泰勒公式cosx=1-x4cos(θx)，0＜θ＜1，可得1-cosx=x2(x2cosθx)．注意当0＜x＜，故涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用8．设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：∈(0，1)，有｜f’(c)｜≤2a+b.正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：∈[0，1]，∈(0，1)，有f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+f’’(ξ)(x-c)2，(*)其中ξ=c+θ(x-c)，0＜θ＜1．在(*)式中，令x=0，得f(0)=f(c)+f’(c)(-c)+f’’(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1-c)+f’’(ξ2)(1-c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面两式相减得f(1)-f(0)=f’(c)+[f’’(ξ2)(1-c)2-f’’(ξ1)c2]．从而f’(c)=f(1)-f(0)+[f’’(ξ1)c2-f’’(ξ2)(1-c)2]，两端取绝对值并放大即得｜f’(c)｜≤2a+b[(1-c)2+c2]≤2a+b(1-c+c)=2a+b．其中利用了对任何c∈(0，1)有(1-c)2≤1-c，c2≤c，于是(1-c)2+c2≤1．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用9．设f(x)在[a，b]三次可微，证明：∈(a，b)，使得f(b)=f(a)+(b-a)2f’’’(ξ)．正确答案：将f(x)在x0=展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得其中ξ1，ξ2∈(a，b)．上面两式相减得f(b)-f(a)=[f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)](b-a)3．注意：[f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)]介于f’’’(ξ1)与f’’’(ξ2)之间，由导函数取中间值定理，可得∈(a，b)，使得因此得证．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用10．在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数：(Ⅰ)f(x)=tanx(x3)；(Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x3)．正确答案：(Ⅰ)设tanx=A+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx为奇函数，A0=0，A2=0)，又tanx=，则[A1x+A3x3+o(x3)][1-x2+o(x3)]=x-x3+o(x3)，即A1x+(A3-A1)x3+o(x3)=x-x3+o(x3)．比较系数可得A1=1，A3-A1=A1=1，A3=因此tanx=x+x3+o(x3)．(Ⅱ)已知sinu=u-a3+o(u3)(u→0)，令u=sinxsin(sinx)=sinx-sin3x+(sin3x)．再将sinx=x-x3+o(x3)，代入得sin(sinx)=x3+o(x3)=x-x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用11．求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：(Ⅰ)f(x)=(Ⅱ)f(x)=exsinx．正确答案：通过求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)及f(n+1)(x)而得．(Ⅰ)由f(x)=，可得对m=1，2，3，…有f(m)(x)=2(-1)mm!f(m)(0)=2(-1)mm!．故f(x)=1-2x+2x2-…+2(-1)nxn+2(-1)n+1(Ⅱ)用归纳法求出f(n)(x)的统一公式．可归纳证明f(n)(x)=，n=1，2，…，因此涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用12．用泰勒公式求下列极限：正确答案：(Ⅰ)用et，ln(1+t)，cost，sint的泰勒公式，将分子、分母中的函数在x=0展开．由于xcosx=x[1-x2+o(x2)]=x-x3+o(x3)，sinx=x-x3+o(x3)，因此，xcosxsinx=x3+o(x3)=x3+o(x3)．再求分子的泰勒公式．由x2e2x=x2[1+(2x)+o(x)]=x2+2x3+o(x3)，ln(1-x2)=-x2+o(x3)，x2e2x+ln(1-x2)=2x3+o(x3)．因此(Ⅱ)由ln(1+x)=x-x2+o(x2)(x→0)，令x=，即得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用13．用泰勒公式确定下列无穷小量当x→0时关于x的无穷小阶数：(Ⅰ)(Ⅱ)∫0x(et-1-t)2dt．正确答案：(Ⅰ)=x2+o(x2)，因此当x→0时是x的二阶无穷小量．(Ⅱ)因et-1-t=t2+o(t2)，从而(et-1-t)2=[ t2+o(t2)]2=t4+o(t4)，代入得∫0x)(et-1-t)2dt=x5+o(x5)．因此x→0时∫0x(et-1-t)2dt是x的五阶无穷小量．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用14．设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当∈(0，+∞)时｜f(x)｜≤M0，｜f’’’(x)｜≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证F’’(X)在(0，+∞)上有界．正确答案：分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形．1)当x＞1时考察二阶泰勒公式f(x+1)=f(x)+f’(x)+(x＜ξ＜x+1)，f(x-1)=f(x)-f’(x)+f’’’(η)(x-1＜η＜x)，两式相加并移项即得f’’(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)+[f’’’(η)-2f’’’(ξ)]，则当x＞1时有｜f’’(x)｜≤4M0+M3．2)当0＜x≤1时对f’’(x)用拉格朗日中值定理，有f’’(x)=f’’(x)-f’’(1)+f’’(1)=f’’’(ξ)(x-1)+f’’(1)，其中ξ∈(x，1)．｜f’’(x)｜≤｜f’’’(ξ)｜｜x-1｜+｜f’’(1)｜≤M3+｜f’’(1)｜(x∈(0，1]).综合即知f’’(x)在(0，+∞)上有界．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用15．设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．正确答案：把函数f(x)在x=0与x=1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(ξ1)x2 (0＜ξ1＜x)，f(x)=f(1)+f’(1)(x-1)+f’’(ξ2)(x-1)2(x＜ξ2＜1)．在公式中取x=并利用题设可得两式相减消去未知的函数值即得f’’(ξ1)-f’’(ξ2)=8｜f’’(ξ1)｜+｜f’’(ξ2)｜≥8．故在ξ1与ξ2中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)使｜f’’(ξ)｜≥4．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用16．设f(x)在(x0-δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(0)=0，k=2，3，…，n-1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)=f(x0)=hf’(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：正确答案：这里m=1，求的是f(x0+h)-f(x0)=hf’(x0+θh)(0＜θ＜1)当h→0时中值θ的极限．为解出θ，按题中条件，将f’(x0+θh)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n-1阶泰勒公式得f’(x0+θh)=f’(x0)+f’’(x0)θh+f(3)(x0)(θh)2+…+f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)=f’(x0)+f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)(h→0)，代入原式得(x0+h)-f(x0)=hf’(x0)+f(n)(x0)θn-1hn+o(hn) ①再将f(x0+h)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式f(x0+h)-f(x0)=f’(x0)h+…+f(n)(x0)hb+o(hn)=f’(x0)h+f(n)(x0)hn+o(hn)(h→0)，②将②代入①后两边除以hn得令h→0，得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用17．求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(x)=excosx(x3)；(Ⅱ)f(x)=(x3)；(Ⅲ)f(x)=，其中a＜0 (x2)．正确答案：(Ⅰ)ex=1+x+x3+o(x3)，cosx=1-x2+o(x3)，相乘得excosx=1+x+x3+o(x3)=1+x-x3+o(x3)．(Ⅱ)f(x)=[1-x+x2-x3-(1+2x+(2x)2+(2x)3)+o( x3)]=(-3x-3x2-9x3)+o(x3)=-x-x2-3x3+o(x3)．(Ⅲ) 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用18．求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(x)=sin3x；(Ⅱ)f(x)=xln(1-x2)．正确答案：(Ⅰ)(Ⅱ) 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用19．确定下列无穷小量当x→0时关于x的阶数：(Ⅰ)f(x)=ex-1-x-xsinx；(Ⅱ)f(x)=cosx-1．正确答案：(Ⅰ)用泰勒公式确定无穷小的阶．原式=1+x++o(x3)-1-x-x3+o(x3)，所以x→0时ex-1-x-xsinx是x的3阶无穷小．(Ⅱ)用泰勒公式确定无穷小的阶．原式=1-x4+o(x4)，所以x→0时cosx+cosx-1是x的4阶无穷小．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用20．求下列极限：正确答案：(Ⅰ)(用泰勒公式)由于当x→0时分母是x3阶的无穷小量，而当x →0时ex=1+x++o(x3)，sinx=x-+o(x3)，从而当x→0时，exsinx=x+x2+x3+o(x3)，exsinx-x(1+x)=x3+o(x3)．因此(Ⅱ)由于f(x)=arctanx在点x=0有如下导数因此当x →0时f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’’(0)x3+o(x3)，arctanx=x-x3+o(x3)arctanx-sinx=x3+o(x3)，ex2-1=1+x2++o(x4)-1=x2+o(x3)，ln(1+x)=x-+o(x2)，[ln(1+x)]2==x2-x3+2xo(x2)-x2o(x2)++[o(x2)]2=x2-x3+o(x3)，[ln(1+x)]2-ex2+1=-x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用21．确定常数a和b的值，使得正确答案：(用泰勒公式)因为ln(1-2x+3x2)=-2x+3x2-(-2x+3x2)2+o((-2x+3x2)2)=-2x+3x2-2x2+o(x2)=-2x+x2+o(x 2)，于是可以改写为由此即得a-2=0，b+1=6，故a=2，b=5．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用22．设f(x)=x2sinx，求f(n)(0)正确答案：f(x)=x2+o(x2n+2)，f(2n+1)(0)=(-1)n-1.(2n+1)!=(-1)n-1(2n+1)2n，n=1，2，…f(2n)(0)=0，n=1，2，…，f(1)(0)=0．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用23．设f(x)在x=0处二阶可导，又I==1，求f(0)，f’(0)，f’’(0)．正确答案：由题设易知，[ef(x)-1]=0，且＞0，0＜｜x｜＜δ时f(x)≠0．进一步有=f(0)=0．由ef(x)-1～f(x)，cosx-1～x2(x→0)．用等价无穷小因子替换．原条件改写成=1．由极限与无穷小关系得，x→0时=1+o(1)，(o(1)为无穷小)，即xf(x)=x2+o(x2) (x→0)．由泰勒公式唯一性得f(0)=0，f’(0)=0，f’’(0)=.2!=-1．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用24．设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．正确答案：f(x)在x=a可展开成f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)2+…+f(n)(a)(x-a)n+o((x-a)n)(x→a)．由x→a时f(x)是(x-a)的n阶无穷小(a)=f’(a)=…=f(n-1)(a)=0，f(n)(a)≠0．又f(x)在x=a邻域(n-1)阶可导，f(n-1)(x)在x=a可导．由g(x)=f’(x)在x=a处n-1阶可导g(x)=g(a)+g’(a)(x-a)+…+g(n-1)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)，即f’(x)=f’(a)+f’’(a)(x-a)+…+f(n)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)=f(n)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)．因此f’(x)是x-a的n-1阶无穷小(x→a)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用25．设f(x)在x=a处四阶可导，且f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=0，但f(4)(a)≠0，求证：当f(4)(a)＞0(＜0)时x=a是f(x)的极小(大)值点．正确答案：f(x)-f(a)=f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)2+f’’’(a)(x-a)3+f(4)(a)(x-a)4+o((x-a)4)=f(4)(a)(x-a)4+o ((x-a)4)=(x-a)4[ f(4)(a)+o(1)]其中o(1)为无穷小量(x→a时)，因此，＞0，当0＜｜z-a｜＜δ时因此f(4)(a)＞0(＜0)时f(a)为极小(大)值．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用26．设f(x)，g(x)在x=x0某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证：曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)-g(x)=o((x-x0)2)(x→x0)．正确答案：相交与相切即f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)．若又有曲率相同，即亦即｜f’’(x0)｜=｜g’’(x0)｜．由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或f’’(x0)=g’’(x0)=0或f’’(x0)与g’’(x0)同号，于是f’’(x0)=g’’(x0)．因此，在所设条件下，曲线y=f(x)，y=g(x)在(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率f(x0)-g(x0)=0，f’(x0)-g’(x0)=0，f’’(x0)-g’’(x0)=0．f(x)-g(x)=f(x0)-g(x0)+[f(x)-g(x)]’｜x=x0(x-x0)+[f(x)-g(x)]’’｜x=x0(x-x0)2+o(x-x0)2=o((x-x0)2) (x→x0)．即当x→x0时f(x)-g(x)是比(x-x0)2高阶的无穷小．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用。

考研数学二（常微分方程）模拟试卷24(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设线性无关的函数y 1．y 2，y 3都是二阶非齐次线性微分方程y”+py’+qy=f(x)的解，C 1、C 2是任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 2 +C 2 y 2一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2一(1一C 1—C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一C 1—C 2 )y 3√解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.—x+y—1)的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：4.微分方程(y 2 +x)dx一2xydy=0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y 2 =x(ln|x|+C)）解析：5. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：6.方程y"一3y’+2y=2e x的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 2x一2xe x）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：8.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：9.求下列方程通解或满足给定初始条件的特解：1)y’+1=xe x+y．4)(1+x)y”+y’=0 5)yy”一(y’) 2 =y 4，y(0)=1．y’(0)=0 6)y"+4y’+1=0 7)y"+9y=cos(2x+5) 8)y"'一3y”+9y’+13y=e 2x sin2x（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：2)x(csc(x+y)一cot(x+y))=C 3)y=(x+C)cosx 4)y=C 1ln|1+x|+C 2) 解析：10.已知y 1 =3，y 2 =3+x 2，y 3 =3+e x．是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：所求方程为(2x一x 2)y”+(x 2一2)y’+2(1一x)y=6(1-x)．通解为： y=C 1 x 2 +C 2 e x +3)解析：11.已知函数y=e 2x +(x+1)e x是二阶常系数线性非齐次方程y”+ay’+by=ce x的一个特解，试确定常数a，b，c及该方程的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：a=一3，b=2,c=一1．y=C 1 e 2x +C 2 e x +xe x)解析：12.设有微分方程y’一2y=φ(x)，其中φ试求在(一∞,+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，1)，(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：13.已知y"+(x+e 2y )y '3 =0。

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程与差分方程）模拟试卷1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

12 设线性无关的函数y1，y2与y3均为二阶非齐次线性微分方程的解，C1和C2是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )（A）C1y1+C2y2+y3．（B）C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．（C）C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．（D）C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．3 如果函数y1(x)与y2(x)都是以下四个选项给出方程的解，设C1与C2是任意常数，则y=C1y1(x)+C2y2(x)必是( )的解．（A）)y”+y’+y2=0．（B）y”+y’+2y=1．（C）（D）x+y+∫0x y(t)dt=1．4 设是某二阶常系数非齐次线性方程的解，则该方程的通解是( )5 设y1(x)和y2(x)是微分方程y”+p(x)y+q(x)y=0的两个特解，则由y1(x)，y2(x)能构成该方程的通解的充分条件为( )．（A）y1(x)y’2(x)一y’1(x)y2(x)=0．（B）y1(x)y’2(x)-y2(x)y’1(x)≠0．（C）y1(x)y’2(x)+y’1(x)y2(x)=0．（D）y1(x)y'2(x)+y2(x)y’1(x)≠0．6 微分方程y"-y=e x+x的特解形式为y*=( )（A）Ae x+Bx．（B）Axe x+Bx+C．（C）Ae x+Bx+C（D）Axe x+Bx2+C．7 微分方程y”+4y=cos 2x的特解可设为y*=( )（A）Acos 2x．（B）Axcos 2x．（C）x(Acos 2x+Bsin 2x)．（D）Acos 2x+Bsin 2x．二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8 解下列一阶微分方程．9 求下列微分方程满足初始条件的特解：(1)(y+x3)dx一2xdy=0，且(2)x2y’+xy=y2，且y|x=1=1；(3)xy’+(1一x)y=e2x(x＞0)，且y|x=1=0；(4)10 设y=e x是微分方程xy’+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y|x=ln2=0的特解．11 求满足方程f’(x)+xf’(一x)=x的f(x)．12 已知f(x)连续，且满足∫01f(ux)du=，求f(x)．13 如果F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数，且F(x)G(x)=一1,f(0)=1，求f(x)．14 设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A．已知求L的方程．15 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1)求曲线L的方程；(2)求L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L及两坐标轴所围图形的面积最小16 求微分方程xdy+(x一2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小．17 求解下列微分方程：(1)(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0；(4)(5x4+3xy2一y3)dx+(3x2y一3xy2+y2)dy=0．18 设可微函数f(x)满足方程求f(x)的表达式．19 按要求求下列一阶差分方程的通解或特解． (1)求y x+1-2y x=2x的通解； (2)求y x+1一2y x=3x2满足条件y x(0)=0的解； (3)求2y x+1+10y x一5x=0的通解．20 求下列可降阶的高阶微分方程的通解． (1)x2y”=(y’)2+2xy’；(2)(1+x)y”+y’=ln(x+1)；(3)1+yy”+(y’)2=0；(4)y”=1+(y’)2．21 求下列微分方程的初值问题．22 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．23 已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+e x都是微分方程(x2一2x)y”一(x2一2)y’+(2x一2)y=6x一6的解，求此方程的通解．24 求微分方程y"+4y’+4y=e ax的通解，其中a是常数．25 求微分方程y"+2y’+y=xe x的通解．26 设有方程y”+(4x+e2y)(y’)3=0． (1)将方程转化为x为因变量，y作为自变量的方程； (2)求上述方程的通解．27 求微分方程y”+a2y=sin x的通解，其中常数a＞0．28 求方程y"+4y=3|sinx|满足初始条件．一π≤x≤π的特解．29 求微分方程y”+y=x+cosx的通解．30 设函数y=y(x)满足微分方程 y"-3y’+2y=2e x，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合，求y=y(x)的表达式．31 设f(x)为连续函数，且f(x)=sinx一∫0x(x一t)ft)dt，求f(x)．32 利用代换将y"cos x-2y’sin x+3ycos x=e x化简，并求原方程的通解．33 设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为y=∫0xφ(t)f(x-t)dt．34 设函数f(x)连续，且满足f(x)=e x+∫0x tf(t)dt一x∫0x f(t)dt，求f(x)的表达式·35 设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=一1，已知曲线积分∫L[xe2x-6f(x)]sin ydx一[5f(x)-f'(x)]cos ydy 与积分路径无关，求f(x)．36 设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=1，且 [xy(x+y)-Ax)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0 为一全微分方程，求f(x)．37 设y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3e x是某三阶常系数齐次线性微分方程的解，试确定该微分方程的形式.38 已知y1=xe x+e2x，y2=xe x+e-x，y3=xe x+e2x—e-x是某二阶线性非齐次方程三个解，求此微分方程．39 求解欧拉方程x3y"'+x2y”一4xy’=3x2．。

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编4一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (02年)设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时．函数的极限．（A）不存在（B）等于1（C）等于2（D）等于32 (03年)已知是微分方程的表达式为3 (04年)微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为（A）y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．（B）y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．（C）y*=(ax2+bx+c+Asinx．（D）y*=ax2+bx+c+Acosx．4 (06年)函数y=C1e x+C2e-2x+xe x满足的一个微分方程是（A）y"一y’一2y=3xe x．（B）y"-y’一2y=3e x．（C）y”+y’一2y=3xe x．（D）y"+y'-2y=3e x．5 (08年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是（A）y"'+y"-4y’-4y=0．（B）y"'+y"+4y’+4y=0．（C）y"'一y”一4y’+4y=0．（D）y"'-y"+4y’一4y=0．6 (10年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则7 (11年)微分方程y"一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为（A）a(eλx+e-λx)．（B）ax(eλx+e-λx)．（C）x(aeλx+be-λx)．（D）x2(aeλx+be-λx)．8 (17年)微分方程y”一4y’+8y=r2x(1+cos2x)的特解可设为y’=（A）Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．（B）Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．（C）Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)．（D）Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)．二、填空题9 (04年)微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足y|x=1=的特解为_______．10 (05年)微分方程xy’+2y=3xlnx满足y(1)=的解为______．11 (06年)微分方程的通解是_______．12 (07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y"一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．13 (08年)微分方程(y+x2e-x)dx—xdy=0的通解是y=______．14 (10年)3阶常系数线性齐次微分方程y"'一2y"+y’一2y=0的通解为y=_______．15 (11年)微分方程y’+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=________．16 (12年)微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y|x=1=1的解为y=______．17 (13年)已知y1=e3x一xe3x，y2=e x一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y'|x=0=1的解为y=______．18 (15年)设函数y=y(x)是微分方程y"+y'-2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3,则y(x)=______．19 (16年)以y=x2一e x和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为__________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[考研类试卷]考研数学二（微分方程）模拟试卷1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设非齐次线性微分方程y'＋P(x)y＝Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是（A）C[y1(x)－y2(x)]．（B）y1(x)＋C[y1(x)－y2(x)]．（C）C[y1(x)＋y2(x)]．（D）y1(x)＋C[y1(x)＋y2(x)]．2 设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y"＋p(x)y'＋q(x)y＝f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）C1y1＋C2y2＋y3．（B）C1y1＋C2y2－(C1＋C2)y3．（C）C1y1＋C2y2－(1－C1—C2)y3．（D）C1y1＋C2y2＋(1－C1－C2)y3．3 若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于（A）e x ln2．（B）e2x In2．（C）e x＋ln2．（D）e2x＋ln2．二、填空题4 微分方程y'＋ytanx＝cosx的通解为________．5 微分方程xy'＋y＝0满足初始条件y(1)＝2的特解为_______．6 微分方程xy"＋3y'＝0的通解为_______．7 微分方程y"＝2y'＋2y＝e2的通解为________．8 设Y＝e x(C1sinx＋C1cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9 求微分方程y'＋ycosx＝(lnx)e－sinx的通解．10 求微分方程满足初始条件的特解．11 求微分方程x2y'＋xy＝y2满足初始条件的特解．12 求微分方程的通解．13 设有微分方程y'－2y＝ψ(x)，其中试求在(－∞，＋∞)内的连续函数y＝y(x)，使之在(－∞，1)和(1，＋∞)内都满足所给方程，满足条件y(0)＝0．14 设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f'(u，v)＋f'(u，v)＝uv．求y(x)＝e－2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解．15 求微分方程y"'＋6y"＋(9＋a2)y'＝1的通解，其中常数a＞0．16 设函数y＝y(x)满足微分方程y"－3y'＋2y＝2e x，其图形在点(0，1)处的切线与曲线y＝x2－x＋1在该点处的切线重合，求函数y＝y(x)．17 求微分方程y"＋5y'＋6y＝2e－x的通解．18 求微分方程y"＋4y'＋4y＝e－2x的通解．19 求微分方程y"－2y'＝e2x满足条件y(0)＝1，y'(0)＝1的解．20 求微分方程y"＋2y'－3y＝e－3x的通解．21 设函数y＝y(x)满足条件求广义积分∫0＋∞y(x)dx．22 求连续函数f(x)，使它满足f(x)＋2∫0x f(t)dt＝x2．23 已知连续函数f(x)满足条件，求f(x)．24 设函数f(f)在[0，＋∞)上连续，且满足方程，求f(t)．25 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．26 设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动，物体B从点(－1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件．27 假设： (1)函数y＝f(x)(0≤x＜＋∞)满足条件f(0)＝0和0≤f(x)≤e x－1； (2)平行于y轴的动直线MN与曲线y＝f(x)和y＝e x－1分别相交于点P1和P2； (3)曲线y＝f(x)、直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度．求函数y＝f(x)的表达式．28 设曲线l位于xOy平面的第一象限内，l上任一点M处的切线与Y轴总相交，交点记为A．已知，且l过点，求l的方程．29 设对任意x＞0，曲线y＝f(x)上的点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于，求f(x)的一般表达式．30 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的．设该人群的总人数为N，在t＝0时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k＞0，求x(t)．31 设函数f(x)在[1，＋∞)上连续，若由曲线y＝f(x)，直线x＝1，x＝t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为．试求y＝f(x)所满足的微分方程，并求该方程满足条件的解．32 设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z＝h(t)－(设长度单位为厘米，时间单位为小时)．已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0．9)，问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?33 设y＝f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，0为坐标原点，若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式．34 在xOy坐标平面上，连续曲线l过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)． (1)求l的方程； (2)当l与直线y＝ax所围成平面图形的面积时，确定a的值．。

考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编2(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 2.(2010年试题，2)设y 1，y 1是一阶非齐次微分方程y " +p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy 1 +μy 2是该方程的解，λy 1一μy 2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．（分数：2.00）3.(2003年试题，二) 2.00）4.(1998年试题，二)已知函数y=y(x)在任意点x 2.00）B.2πC.π5.(2011年试题，一)微分方程y "一λ2 y=e λx +e -λx (λ>0)的特解形式为( )．（分数：2.00）A.a(e λx +e -λx )B.ax(e λx +e一-λx )C.x(ae λx +be -λx )D.x 2 (ae λx +be -λx )6.(2008年试题，一)在下列微分方程中，以y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1，C 2，C 3为任意常数)为通解的是( )．（分数：2.00）A.y """ +y ""一4y " -4y=0B.""" +y "" +4y " +4y=0C.""" -y "" -4y " -4y=0D.""" -y "" +4y " -4y=07.(2006年试题，二)函数y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x满足的一个微分方程是( )．（分数：2.00）A.y ""一y "一2y=3xe xB.y ""一y "一2y=3e xC.y "" +y "一2y=3xe xD.y ""一y "一2y=3e x8.(2004年试题，二)微分方程y "" +y=x 2 +1+sinx的特解形式可设为( )．（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.)y * =x(ax 2 +bx+c+Asinx+Bcosx)C.y * =ax 2 +bx+c+AsinxD.y * =ax 2 +bx+c+Acosx9.(2000年试题，二)具有特解y 1=e -x，y 2=2xe -x,y 3=3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )．（分数：2.00）A.y """一y ""一y " +y=0B.y """ +y ""一y "一y=0C.y """一6y "" +11y "一6y=0D.y """一2y ""一y " +2y=0二、填空题(总题数：11，分数：22.00)10.(2012年试题，二)微分方程ydx+(x一3y 2 )dy=0满足条件y｜x=1 =1的解为y= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________11.(2011年试题，二)微分方程y " +y=e -x满足条件y(0)=0的解为y= 1（分数：2.00）填空项1:__________________12.(2008年试题，二)微分方程(y+x 2 e -x )dx一xdy=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________13.(2006年试题，一) 2.00）填空项1:__________________14.(2005年试题，一)微分方程xy " +2y=xlnx满足 2.00）填空项1:__________________15.(2004年试题，一)微分方程(y+x 2 )dx一2xdy=0满足 2.00）填空项1:__________________16.(2001年试题，一) 2.00）填空项1:__________________17.(2002年试题，一)微分方程xy "" +y 12 =0满足初始条件 2.00）填空项1:__________________18.(2010年试题，9)三阶常系数线性齐次微分方程y """一2y "" +y "一2y=0通解为y= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________19.(2007年试题，二)二阶常系数非齐次线性微分方程y ""一4y "+3y=2e 2x的通解为y= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________20.(1999年试题，一)微分方程y ""一4y=e 2x的通解为 1.（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x0，y0)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学2．设有三元方程xy－zlny＋exz＝1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z＝z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y＝y(x，z)和z＝z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z＝x(y，x)和z＝z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x＝x(y，z)和y＝y(x，2)．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微分学3．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学4．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(x0，y)在y＝y0处的导数等于零．B．f(x0，y)在y＝y0处的导数大于零．C．f(x0，y)在y＝y0处的导数小于零．D．f(x0，y)在y＝y0处的导数不存在．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学填空题5．设z＝ex－f(x－2y)，且当y＝0时，z＝x2，则＝________。

考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C1，C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2-(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3．正确答案：D解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为y3+C1(y1-y3)+C2(y2-y3)，而且y3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y1-y3与y2-y3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)．知识模块：常微分方程填空题2．当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=，且y(0)=π，则y(1)=______．正确答案：解析：首先尝试从△y的表达式直接求y(1)．为此，设x0=0，△x=1，于是△y=y(x0+△x)-y(x0)=y(1)-y(0)=y(1)-π，代入△y的表达式即得y(1)-π=π+αy(1)=2π+α．由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小，而不知道α的具体表达式，因而从上式无法求出y(1)．由此可见，为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α．利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知，函数y(x)在任意点x处的微分这是一个可分离变量方程，它满足初始条件y｜x=0=π的特解正是本题中的函数y(x)，解出y(x)即可得到y(1)．将方程分离变量，得求积分可得由初始条件y(0)=π可确定知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3．求f(x)=3x带拉格朗日余项的n阶泰勒公式．正确答案：由于f(m)(x)=3x(ln3)m，f(m)(0)=(ln3)n，则涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用4．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，证明：∈(a，b)使得f(b)-(b-a)2f’’(ξ)．正确答案：在处展开成分别令两式相加由导函数的中间值定理在η1，η2之间(ξ∈(s，b))，使得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用5．设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(x)≡0，f(n)(x)≠0.正确答案：由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得f(x)=f(0)+f’(0)x+…+f(n)(0)xn+xn+1．若f(n+1)(x)≡0，f(n)(x)≠0，由上式f(x)=f(0)+f’(0)x+…+f(n)(0)xn 是n次多项式．反之，若f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(an≠0)是n次多项式，显然f(n)(x)=ann!≠0，f(n+1)(x)≡0．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用6．设f(x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f’’(x)在(0，+∞)上有界，求证：f’(x)在(0，+∞)上有界.正确答案：按条件，联系f(x)，f’’(x)与f’(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式＞0，h＞0有f(x+h)=f(x)+f’(x)h+f’’(ξ)h2，其中ξ∈(x，x+h)．特别是，取h=1，ξ∈(x，x+1)，有f(x+1)=f(x)+f’(x)+f’’(ξ)，即f’(x)=f(x+1)-f(x)-f’’(ξ)．由题设，｜f(x)｜≤M0，｜f’’(x)｜≤M2(∈(0，+∞))，M0，M2为常数，于是有｜f’(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+即f’(x)在(0，+∞)上有界．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用7．设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f’’(x)＜0((x∈(a，b))，求证：∫abf(x)dx．正确答案：联系f(x)与f’’(x)的是泰勒公式．x0∈[a，b]，f(x0)=.将f(x0)在∈[a，b]展开，有f(x0)=f(x)+f’(x)(x0-x)+f’’(ξ)(x0-x)2(ξ在x0与x之间)＜f(x)+f’(x)(x0-x)(∈[a，b]，x≠0)．两边在[a，b]上积分得∫abf(x0)dx＜∫abf(x)dx+∫abf’(x)(x0-x)dx=∫abf(x)dx+f(x0-x)df(x)=∫abf(x)dx-(b-x0)f(b)-(x0-a)f(a)+∫abf(x)dx≤2∫abf(x)dx.因此f(x0)(b-a)＜2∫abf(x)dx，即=∫abf(x)dx．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用8．求微分方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的通解．正确答案：这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为两边同时积分，可求得其通解为ln｜y2-1｜=-ln｜x2-1｜+C’，即(x2-1)(y2-1)=C，其中C 为任意常数．涉及知识点：常微分方程9．求解下列方程：(Ⅰ)求方程xy’’=y’lny’的通解；(Ⅱ)求yy’’=2(yt2-y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．正确答案：(Ⅰ)此方程不显含y．令p=y’，则原方程化为xp’=plnp．当p≠1时，可改写为，其通解为ln｜lnp｜=ln｜x｜+C’，即lnp=C1x，即y’=eC1x．这样，原方程的通解即为y=eC1x+C2，其中C1≠0，C2为任意常数．当p=1时，也可以得到一族解y=x+C3．(Ⅱ)此方程不显含x．令p=y’，且以)，为自变量，，原方程可化为=2(p2-p)．当p≠0时，可改写为，解为p-1=C1y2．再利用p=y’，以及初始条件，可推出常数C1=1．从而上述方程为变量可分离的方程y’=1+y2 其通解为y=tan(x+C2)．再一次利用初始条件y(0)=1，即得C2=．所以满足初始条件的特解为涉及知识点：常微分方程10．设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，(*)求f(t)．正确答案：因f(t)连续∫0tf(s)sinsds可导f(t)可导．于是这是一阶线性微分方程的初值问题．方程两边乘μ=e-∫sintdt=eccost，得[ecostf(t)]’=-4sintcostecost．积分得ecostf(t)=4fcostd(ecost)=4(cost-1)ecost+ C．由f(0)=1得C=e．因此，f(t)=e1-cost+4(cost-1)．涉及知识点：常微分方程11．设f(x)连续，且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．正确答案：令tx=s，原方程改写成∫0xf(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0)，即∫0xf(s)ds=xf(x)+x2sinx．①f(x)=xf’(x)+f(x)+(x2sinx)’，即f’(x)= ②(x=0时两端自然成立，不必另加条件．)将②直接积分得f(x)==-xsinx+cosx+ C．涉及知识点：常微分方程12．求下列方程的通解：(Ⅰ)y’’3y’=2-6x；(Ⅱ)y’’+y=ccosxcos2x．正确答案：(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为λ2-3λ=λ(λ-3)=0，所以通解为=C1+C2e3x．再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具有形式y*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得[y*(x)]’’-3[y*(x)]’=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x．比较方程两端的系数，得解得A=1，B=0，即特解为y*(x)=x2．从而，原方程的通解为y(x)=x2+C1+C2e3x，其中C1，C2为任意常数．(Ⅱ)由于cosxcos2x=(cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出y’’+y=cosx与y’’+y=cos3x的特解y1*(x)与y2*(x)，相加就是原方程的特解．由于相应齐次方程的特征方程为λ2+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C1cosx+C2sinx；同时y’’+y=cosx的特解应具形式：y1*(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得A=0，B=．y1*(x)=sinx．另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具形式y2*(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得C=，D=0．这样，即得所解方程的通解为y(x)=cos3x+C1cosx+C2sinx，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程13．设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点．若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L 上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的极坐标方程．正确答案：曲边扇形的面积公式为S=∫0θr2(θ)dθ．又弧微分于是由题设有两边对θ求导，即得r2(θ)=所以r所满足的微分方程为注意到为方程的通解，再由条件r(0)=2，可知C=-π／6，所以曲线L的方程为. 涉及知识点：常微分方程14．设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．正确答案：设L的方程为y=y(x)，过点M(x，y(x))的切线与y轴的交点为A(0，y(x)-xy’(x))，又=x2+[y(x)-(y(x)-xy’(x))]2=x2+x2y’2，=(y-xy’)2，按题意得x2+x2y’2=(y-xy’)2，即2xyy’-y2=-x2．又初始条件这是齐次方程，则方程化成分离变量得积分得ln(1+u2)=-lnx+C1，1+u2=代入u=得y2+x2=Cx．由初始条件，得C=3．因此L的方程为y2+x2=3x．涉及知识点：常微分方程15．在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．正确答案：若将此曲线记为y=y(x)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求y’’≥0，故曲率又由于过(x，f(x))点的法线方程为X-x+y’(x)[Y-y(x)]=0，它与x轴交点Q的横坐标X0=x+y’(x)y(x)，所以，线段的长度为这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为y(1)=1，y’(1)=0．解二阶方程的初值问题得y=(ex-1+e1-x)．涉及知识点：常微分方程16．设热水瓶内热水温度为T，室内温度为T0，t为时间(以小时为单位)．根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与T-T0成正比．又设T0=20℃，当t=0时，T=100℃，并知24小时后水瓶内温度为50℃，问几小时后瓶内温度为95℃?正确答案：温度变化的速率即，牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，写出来它就是温度T所满足的微分方程：=-k(T-T0)，其中k为比例常数，且k ＞0．其通解为T=T0+Ce-kt.再由题设：T0=20，T(0)=100，T(24)=50，所以(ln8-ln3)．这样，温度T=20+．若T=95，则t==1．58，即在1．58小时后热水的温度降为95℃．涉及知识点：常微分方程17．从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为V，海水的比重为ρ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系y=y(v)．正确答案：取沉放点为坐标原点O，Oy轴的正向铅直向下，则由牛顿第二定律得=mg-ρV-kv．由于v=，所以，此方程是一个既不显含自变量t，又不显含未知函数y的二阶方程，按照常规的办法，可以令v为未知函数，得到v所满足的一阶线性方程，这样所求得的是v与时间t的关系．然而题目所要求的是y与v的关系，注意，所以应将方程改写为直接求积分，则有再由题设，其初始条件应为v｜y=0=0，由此可定出C=，故所求的关系涉及知识点：常微分方程18．要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为h，上底面直径为2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数ρ．设水泥的比重为ρ，试求桥墩的形状．正确答案：首先建立坐标系，如图6．3所示，x轴为桥墩中心轴，y轴为水平轴．设桥墩侧面的曲线方程为y=y(x)．其次列出y(x)满足的方程．由于顶面的压强也为p，则顶面承受的压力为F=pπa2．考察中心轴上点x处的水平截面上所受总压力，它应等于压强×截面积=pπy2(x)，另一方面又等于顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pπa2+∫xhpπy2(s)ds．于是得pπy2(x)=pπa2+ρπ∫xhy2(s)ds．再将积分方程转化为微分方程的初值问题．将上述方程两边对x求导得2pπyy’=-ρπy2．又在(*)式中令x=h得y(h)=a，于是得到最后求解初值问题．这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得涉及知识点：常微分方程19．设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正方向运动，物体B从点(-1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，任意时刻B点的坐标(x，y)，试建立物体B的运动轨迹(y作为x的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件．正确答案：规定A出发的时刻t=0．1。

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷19一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 微分方程y〞－4y＝χ＋2的通解为( )．（A）(C1＋C2χ)e2χ－（B）(C1＋C2χ)e-2χ－（C）C1e-2χ＋C2e2χ－（D）C1e-2χ＋C2e2χ－2 设y(χ)是微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝1的解，则( )．（A）等于1（B）等于2（C）等于0（D）不存在3 二阶常系数非齐次线性微分方程y〞－2y′－3y＝(2χ＋1)e－χ的特解形式为( )．（A）(aχ＋b)e－χ（B）χ2e－χ（C）χ2(aχ＋b)e－χ（D）χ(aχ＋b)e－χ二、填空题4 微分方程χy′＝＋y的通解为_______．5 设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e-4χ＋χ2＋3χ＋2，则Q(χ)＝_______，该微分方程的通解为_______．6 以y＝C1e-2χ＋C2eχ＋cosχ为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_______．7 设y〞－3y′＋ay＝－5e-χ的特解形式为Aχe-χ，则其通解为_______．8 设f(χ)可导，且∫01[f(χ)＋χ(χt)]dt＝1，则f(χ)＝_______．9 设y＝y(χ)满足△y＝△χ＋o(△χ)，且有y(1)＝1，则∫02y(χ)dχ＝_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10 设y＝y(χ)二阶可导，且y′≠0，χ＝χ(y)是y＝y(χ)的反函数． (1)将χ＝χ(y)所满足的微分方程＝0变换为y＝y(χ)所满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝的解．11 设函数f(χ，y)可微，＝－f(χ，y)，f(0，)＝1，且＝e coty，求f(χ，y)．12 设函数f(χ)(χ≥0)可微，且f(χ)＞0．将曲线y＝f(χ)，χ＝1，χ＝a(a＞1)及χ轴所围成平面图形绕χ轴旋转一周得旋转体体积为[a2f(a)－f(1)]．若f(1)＝，求：(1)f(χ)； (2)f(χ)的极值．13 设函数f(χ)满足χf′(χ)－2f(χ)＝－χ，且由曲线y＝f(χ)，χ＝1及χ轴(χ≥0)所围成的平面图形为D．若D绕χ轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线y＝f(χ)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线χ＝1所围成的平面图形的面积．14 位于上半平面的上凹曲线y＝y(χ)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(χ，y)处的曲率与及1＋y′2之积成反比，比例系数为k＝，求y＝y(χ)．15 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．16 设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(χ，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(χ，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．17 用变量代换χ＝sint将方程(1－χ2)－4y＝0化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．18 用变量代换χ＝lnt将方程＋e2χy＝0化为y关于t的方程，并求原方程的通解．19 设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(χ，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程，并求函数y(χ)的极值．20 飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从χ轴上(χ0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(χ0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v． (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程．21 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长到400，求前12h后的细菌总数．22 某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖的水量为．设1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过．问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内(设湖中A的浓度是均匀的)?23 在t＝0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g／L，用管子以2L／min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L／min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L／min的速度输出．求在任意时刻t＞0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程．24 某人的食量是2500卡／天(1卡＝4．1868焦)，其中1200卡／天用于基本的新陈代谢．在健身运动中，他所消耗的为16卡／千克／天乘以他的体重．假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎样随时间变化．25 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?26 质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t＝10s时，速度等于50cm／s．外力为39．2cm／s2，问运动开始1min后的速度是多少?27 设非负函数f(χ)当χ≥0时连续可微，且f(0)＝1．由y＝f(χ)，χ轴，y轴及过点(χ，0)且垂直于χ轴的直线围成的图形的面积与y＝f(χ)在[0，χ]上弧的长度相等，求f(χ)．28 设函数f(χ)二阶连续可导，f(0)＝1且有f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2χ∫01f(tχ)dt＋e－χ＝0，求f(χ)．29 早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪1km，问降雪是什么时候开始的?。