河北地质大学201.年高等数学试题第10

填空题答案(每小题2分)1、2(,)k f x y 2、2(1)1x y y-+3、}0,),{(≥≥y y x y x 4、22{(,)1,1}x y x y ≤≥5、}0,01,04),{(22222≠+>--≥-y x y x y x y x 6、}0,),{(≠≤x x y y x 7、220x y <+1< 8、4 9、0 10、{(,)}x y y x =11、),(b a f x -12、),(2b a f x 13、2(,)x f a b ' 14、2(,)y f a b '15、2x16、317、1 18、0 19、2120、4π21、722、023、221yy x-24、)1(2--xy x e xy 25、)1(2++y xy e xy 26、22y x ydy xdx ++27、dy xy x dx xy y +++1128、dy yx ydx y x 2221+++29、1-+z e dy dx 30、1(2)3dx dy +31、=dz dy dx 2-32、33、2()e π 34、xy 16-35、22222()y x x y -+36、dy xy x dx xy y +++1137、211()(1)y dx dyy y++-38、39、40、41、42、sin cos ()xy dz e xy ydx xdy =+43、()z zydx xdy e xy+-44、du dy =45、12x y f e dx f e dy ''+46、y xy f xy f )()(2'47、y x y x -+48、(1)ln(1)1x xy xy xy xy ⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦49、x z -50、dz dx =51、⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,21,152、234011x y z ---==53、(1,1,2)54、(0,0)55、234011x y z ---==56、2360x y z ++-= 57、018236=-++z y x 58、240x y +-=59、245x y z +-=60、3(1)4(1)2(2)0x y z -+---=61、62、12 64、5 65、431+=l u ∂∂66、567、}0.2{68、33569、(8,8,12)70、)3,5,0(71、)2,2,2(72、()2,173、{}2,074、()⎰⎰a xa dy y x f dx ,075、⎰⎰xxdy y x f dx 240),(76、1102(,)ydy f x y dx -⎰⎰77、402(,)x dx f x y dy ⎰⎰78、211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰ 79、 41(1)2e -- 80、1281、282、33283、3 84、2 85、2 86、1 87、422111()4R a b π+88、8389、42a 90、)1(-e π91、2k R π92、20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰93、94、1210cos sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ+⎰⎰95、96、497、⎰⎰≤+≤+--11221y x y x dxdyy x 98、dxdy h b y a x c D ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---22221，其中222221:⎪⎭⎫⎝⎛-≤+c h b y a x D 99、⎰⎰⎰---+-2222442222),,(x x y x dz z y x f dy dx 100、dz z f d d ⎰⎰⎰2220202),sin ,cos (ρπθρθρρρθ101、⎰⎰⎰ππθϕϕϕθ2012)cos sin (sin dr r r f d d 102、22218a b c 103、2(sin sin )sin f r r drd d ϕθϕϕθΩ⎰⎰⎰104、22218a b c 105、343R π106、45π107、343R π108、45π109、sin 0d d f πθθρ⎰⎰、⎰⎰≤+--12122222122y x dxdy yx 111、6π 112、23113、2115、122+n a π116、)155(121-117、π118、π22119、π120、)21(31+121、0122、1/2 πa 4123、32π124、0125、-1126、127、0128、2y u xe y =-129、22sin cos u y x x y =+130、222x y u C =+131、2211222u x xy y =++132、2x y 133、xy c +134、2a π 135、π136、21 137、21- 138、π3-139、5125a π140、041、1142、1<143、1,1>≤ 144、1 145、21- 146、32147、991148、ln 2149、2150、2(1)n n +151、1-e 153、23e - 154、ln(1)0()10x x s x xx -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩155、2156、2ln 157、11x +158、 22l n 3- 159、 21(1)x x +- , 11x -<<160、1161、121+n 162、[4,6)163、11,1)1(01≤<-+-∑∞=+x n x n n n 164、11,12)1(012≤≤-+-∑∞=+x n x n n n165、11(1)2n n n n x n +∞=--∑ 11,22x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭ 166、22π 167、2π-168、1169、2(21)Ak π-170、22π171、2π-172、2)()(00+-+x f x f 173、23,1174、π94-175、32sin 41cos 23+--=x x x y 176、11ln 39y x x x =-177、2tan xe y = 178、()C x y +=2tan 179、232xy Ce =-180、2(1)y C x =+181、3322x y C +=182、2222x y xy C +-=183、352-=x e y 184、C ye x x =+-22185、2214cx y y=+186、2331sin 3x y x y y c ++=187、x y e e C -+=188、ln1y Cx x =+189、)1(sin 112--=x x y 190、y =191、2121()2x x c x c e -++192、x x e C e C y 321+=-.193、x e x C C y -+=)(21.194、)2sin 2cos (21x C x C e y x +=195、3,2--196、cos sin A x B x+197、xx e C e C y 3221+=198、)sin cos (21x C x C e y x +=199、12cos sin y C x C x x =++200、2 填空题(每小题2分)第八章 多元函数微分法及其应用1、设函数22(,)ln y f x y x y xy x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则(,)f kx ky = .2、设22(,)yf x y x y x+=-，则(,)f x y = .3、函数z =.4、函数y =的定义域为 .5、函数 z = 的定义域是.6、函数arcsinyz x=的定义域为.7、函数2222arcsin()ln(1)z x y x y =++--+221x y+的定义域是 . 8、2(,)limx y →= .9、(,)(0,0)sin limx y xyy →= .10、函数1(,)f x y x y=-的间断点为 . 11、设(,)f x y 在点(,)a b 处偏导数存在，则0(,)(,)limx f a x b f a b x→--= .12、设(,)f x y 在点(,)a b 处偏导数存在，则0(2,)(,)limx f a x b f a b x→+-= .13、设(,)f x y 在点(,)a b 处偏导数存在，则 0(,)(,)limx f a x b f a x b x→+--= .14、设(,)f x y 在点(,)a b 处偏导数存在，则0(,)(,)limx f a b y f a b y y→+--= .15、设22(,)(1)f x y x y =+-(,1)x f x '= . 16、设22(,)2xf x y xy x y=++ ，则(0,1)x f '= . 17、设2sin(),0,(,)0,0.xy xy y f x y xy ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则(0,1)x f = .18、设2222,0(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩，则()0,0x f =____________________.19. 设，则.20. 曲线在点（2，4，5）处的切线与横轴的正向所成的角度是 .21、设222(,,)23326f x y z x y z x y z =+++--，则在(1,1,1)处x y z f f f '''++= . 22、设ln z =z zy x x y∂∂-=∂∂ . 23、设2x yu y x=+，则u x ∂∂= . 24、设u=(),xy e x y -则___________uy∂=∂. 25、设u=(),xy e x y +则___________ux∂=∂. 26、设ln z =dz = . 27.设z =1n （1+xy ），则dz = . 28.设函数()2ln z x y =+，则d z = . 29、设z e x y z =++，则dz = .30、22ln(1)z x y =++，则12x y dz === .31、由方程xyz +=所确定的函数(,)z x y 在点(1,0,-1)处的全微分为 .32、设函数由方程所确定，则zx∂=∂ . 33、设sin xy z e x -=，则2z x y ∂∂∂在点12,π⎛⎫⎪⎝⎭处值为= .34、设44224z x y x y =+-,则2zx y∂∂∂= .35、函数arctan y z x =的偏导数2zx y∂∂∂＝_______________.36、设ln(1)z xy =+，则 dz = . 37、函数xz xy y=+的全微分是_______________________.38、arccosyu x=，则u 在点处的全微分为____________________. 39、若(,)y f x y x =，则f x ∂∂=________, fy∂∂= . 40、设2(,)yf x y u x =，则u x ∂∂=_______________________. 41、设(,)u f x y =，且22(,),(,)1f x x x f x x x ∂∂==，则2(,)f x x y∂∂=___________________. 42、设sin xy z e =，则dz= . 43、设z =1n （1+xy ），则 dz= . 44、arcsinyu x=,则u 在点(1,0)处的全微分为 . 45、设(,)f x y 有连续偏导数，(,)x y u f e e =，则d u = . 46、已知2()z f xy =，其中f 为任意可微函数，则zx∂=∂.47、设arctan yx=，则dy dx =.48、设(1)x z xy =+，则zx∂∂= .49、设(,)z x y 为由方程22ln()0xz xyz xyz -+=确定的函数，则z x∂=∂.50、由方程xyz +=所确定的函数z(x,y)在点()1,0,1-处的全微分 .51、曲线23,,23t t x t y z ===在点 处的切线与平面20x y z ++=平行.52、曲线3333,3,3x t t y t z t t =-==+在对应于1t =的点处的切线方程是 . 53、曲线cos ,sin ,2tttx e t y e t z e ===相应于点0t =处的切向量T →是 . 54、设函数(,)z f x y =由方程2222390x y z xy z +++--=确定，则函数的驻点是 . 55、曲线3333,3,3x t t y t z t t =-==+在对应于1t =的点处的切线方程是 . 56、椭球面222236x y z ++=在点()1,1,1处的切平面方程为 .57、求曲面222131227x y z ++=在点()1,2,3处的法线方程为 . 58、曲面23z z e xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程为 . 59、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 .60、曲面23221x y z +=+在M （1，1，2）点处的切平面方程为 . 61、函数(,,)f x y z 在点0000(,,)P x y z 处关于(cos ,cos ,cos )l αβγ=的方向导数存在，则fl∂∂= . 62、函数222u x y z x y z =+++-+，从点()0,0,0到 ()1,1,1的方向导数等于= . 63、函数ln(u x =+在()1,0,1A 处沿A 指向点B ()3,2,2-的方向导数Aux ∂∂= . 64、函数23u xy z xyz =+-在点0P (1,1,2)沿方向11,222l →⎧⎪⎫=⎨⎬⎭⎪⎩的方向导数为 . 65、函数u xyz =在点(1,1,1)M处沿l =的方向导数是 .66、函数23u xy z xyz =+-在点0P (1,1,2)沿方向11,222l →⎧⎪⎫=⎨⎬⎭⎪⎩的方向导数为 . 67、函数22ln()z x y =+在点(1,0)处的梯度为 . 68、给定函数u xyz =和点(1,2,1)A -，(1,0,1)B -，则所给函数在点A 沿AB →方向的方向导数为 .69、数量场22(,,)(23)f x y z x y z =++在(1,2,1)-点处的梯度为 . 70、函数423u xyz y x z =+-+-在点0M (1,1,1)的梯度是.71、函数222u x y z =++在点0M (1,1,1)的梯度是.72、函数在点P （1，1）处的梯度grad.73、函数22ln()z x y =+在（1，0）处的梯度为 .第九章 重积分74、交换积分次序得 .75、交换二次积分的积分次序：2220(,)yy dy f x y dx ⎰⎰= . 76、改变二次积分的积分次序212(,)x dx f x y dy -=⎰ .77、改变二次积分的积分次序2220(,)yydy f x y dx =⎰⎰ .78、交换积分次序1(,)f x y dx ⎰= .79、积分222y xdx e dy -⎰⎰值等于 .80、二重积分66cos yxdy dx xππ⎰⎰的值等于 . 81、设2224,{(,)|,0Dd D x y x y a a σπ==+≤>⎰⎰},则a=__________.82、设22224,{(,)|4,0Dd D x y a x y a a σπ==≤+≤>⎰⎰},则a=__________.83、设:01,04,D x y ≤≤≤≤则D= .84、设:0,0,2D x y ππ≤≤≤≤则sin cos Dx ydxdy =⎰⎰ .85、已知D 由sin y x =（0πx ≤≤）及x 轴围成，则d d Dx y =⎰⎰ .86、设D 是平面区域01,02x y ≤≤≤≤，则二重积分Dxydxdy =⎰⎰ .87、设区域D 为 222x y R +≤，则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰= .88、设D 是平面区域01,01x y ≤≤≤≤，则二重积分22()Dx y dxdy +=⎰⎰ .89、设D 是以a 为半径，坐标原点为圆心的圆，则二重积分((Dxy dxdy ⎰⎰＝______________.90、设一个半径为１的圆形薄片的面密度为22(,)xy x y e ρ+=，则此薄片的质量为(,)Dm x y d ρσ==⎰⎰ .91、在区域222:D x y R +≤上，(,)f x y k =，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰ .92、设(,)f x y是连续函数，二次积分0(,)(adx f x y dy ⎰其中0)a >在极坐标下的二次积分为 .93、积分11(,)dx f x y dy ⎰⎰化为极坐标系下的累次积分为 ．94、设D 是由曲线221x y +=与直线1x y +=所围成的在第一象限内的部分，(,)f x y 为连续函数，当把(,)DI f x y d σ=⎰⎰写成极坐标下的累次积分时，I = .95、设({}22(,)1,0,0D x y x y x y =+≤≥≥，二重积分D⎰⎰化成极坐标下的二次积分为 .96、极限22222201lim(4)R x y R x y dxdy R π→+=--⎰⎰= .97、曲面220,1,1z x y z x y =++=+=所围立体的体积可用二重积分表示为.98、椭球2222221x y z a b c++=被平面()z h h c =<分成两部分，其中一小部分的体积可用二重积分表示为.99、设(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰其中Ω是由222,0,2x y z z z +===所围成，则在直角坐标系下，I 可化为三次积分I =.100、设(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由222,0,2x y z z z +===所围成，则在柱面坐标系下，I 可化为三次积分I =.101、2221()x y z f x dxdydz ++≤⎰⎰⎰可用球坐标的三次积分表示为.102、设:0,0,0,x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤则xyzdv Ω=⎰⎰⎰ .103、积分()f y dxdydz Ω⎰⎰⎰在球坐标系下的三次积分为 .（其中，Ω是由上半球面z =0z =所围成的区域，()f y 在Ω上连续）104、已知:0,0,0x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤，则xyzdv Ω=⎰⎰⎰ .105、已知Ω由球面2222x y z R ++=围成，则三重积分dv Ω=⎰⎰⎰ .106、已知Ω由球面2221x y z ++=围成，则三重积分222()x y z dv Ω++=⎰⎰⎰ .107、已知Ω由球面2222x y z R ++=围成，则三重积分dv Ω=⎰⎰⎰ .108、已知Ω由球面2221x y z ++=围成，则三重积分222()x y z dv Ω++=⎰⎰⎰ .109、设22:0,3()z z x y y Ω≥≤+≤将三重积分f Ω⎰⎰⎰写成柱坐标系下的三重积分，则I= .110、球面2222x y z ++=包含在柱面2212x y +=内的面积可用二重积分表示为.111、密度为1的旋转抛物体：221x y z +≤≤（记为Ω）绕z 軸的旋转惯量I= . 第十章 曲线积分与曲面积分112、设L 为连接(1,1)及(2,2)两点的直线段，则曲线积分()Lx y dS +=⎰ .113、设L 为连接(0,0)及(1,1)两点的直线段，则曲线积分()Lx y dS +=⎰ .114、设L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则曲线积分()Lx y ds +=⎰.115、设L 为圆周cos ,sin (02)x a t y a t t π==≤≤，则曲线积分22()Lx y ds +=⎰. 116、设L 是抛物线2y x =上点(0,0)点(1,1)之间的一段弧，则曲线积分Lyds =⎰.117、平面曲线L 为下半圆周：y =对弧长的曲线积分22()Lx y ds +⎰= .118、设平面曲线L 为下半圆周y =()22Lx y ds +⎰= .119.设L 是221x y +=的下半圆周，则曲线积分22()d Lx y s +⎰的值 .120、设L 以为顶点(0,0),(1,0),(0,1)O A B 的三角形围线，则曲线积分22()Lx y ds +⎰= .121、曲线积分()()LP x dx Q y dy +=⎰。

中国地质大学(北京)继续教育学院 现代远程学历教育 2016年秋季入学测试《高等数学、大学英语》综合模拟题高等数学部分：一：选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.1、函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ B ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y xy xC.(){}21,22≤+<y x y x D(){}21,22<+≤y x y x2、.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ C ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a3. 函数xy y x z 333-+=的极小值是（ B ）. A.2 B.2- C.1 D.1-4. 设，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz＝（ D ）.A.22B.22-C.2D.2- 5. 幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ C ）.A.x -11B.x -22C.x -12D.x -21 6. 微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ D ）.A.xce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y =7. 点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ C ）.A.12B.13C.14D.15y x z sin =8. 设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ B ）.A.6πB.4πC.3πD.2π9. 函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ A ）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y xy xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y xD.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 10. 点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ B ）.A.3B.4C.5D.611. 函数22232y x xy z --=的极大值为（ A ）.A.0B.1C.1-D.21 12. 设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz（）.A.6B.7C.8D.913. 若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ C ）.A.1≤rB.1≥rC.1<r D.1≤r14. 幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ D ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-15. 级数∑∞=14sin n n na 是（ B ）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定16. 微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ A ）.A.cx e y =B.xce y = C.x e y = D.x cxe y =17. 幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ D ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 18、二阶行列式 2 -3 的值为（ D ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、22 19、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ C ）A 、i-j+2kB 、8i-j+2kC 、8i-3j+2kD 、8i-3i+k二、填空题：把答案填在题中的横线上.1、 一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为_0622=+--z y x ．2、已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13.若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝3．3、已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为90°．4、若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为 x 2＋(y －1)2＝1,5、设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为x 23－y 212＝1；渐近线方程为y ＝±2x ．6、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是5ln ，最小值是 0 ； 7、=⎰-113cos xdx x0 ；8、微分方程023=+'-''y y y 的通解是：xx e C e C 221+9、函数()xy z sin =的全微分是()()xdy ydx xy +cos .10、设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂y x z219622--y y x . 11、曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为488=--z y x .12、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321_____218arcsin ,182cos ar ______。

《高等数学（二）》期末考试试卷考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟班号 学号 姓名 得分一、选择题（单选题，每题4分，共28分）1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1n n u 收敛的（ ）A ．充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（ ）正确（其中∑==ni i n u s 1）A ．0lim =∞→s n n B. s n n lim ∞→存在C. s n n lim ∞→ 可能不存在D.{}为单调数列s n3、设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤ ,2,1(=n ）则下列命题正确的是（ ）A ．若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散C.若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散D.若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛4、下列级数中条件收敛的是（ ）A ．1)1(1+-∑∞=n n n n B. n n n 1)1(1∑∞=- C. 211)1(n n n∑∞=- D. n n n ∑∞=-1)1( 5、幂级数∑∞=-12)2(n nn x 的收敛区间为（ ）A.（1,3）B.[]3,1C.[)3,1D.(]3,16、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径为（ ）A. 0B. 1C. +∞D. 37、点A （-3,1,2）与B （1，-2,4）间的距离是（ ） A. 29 B. 23 C. 29 D. 23二、填空题（每题4分，共20分）1、球心在点（1，-2,3），半径为3的球面方程为 .2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是 .3、二元函数229y x z --=的定义域是 .4、y x y x y x F --=22),(，则)3,1(F = . 5、幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为是 .三、计算题（每小题5分，共35分）1、求函数的一阶偏导数（1）)ln(222y x x z += （2）xy e u =2、求函数32y x z =，当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分3，y x z 2)31(+=，求x z ∂∂，yz ∂∂4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数，求dxdy5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值6、计算积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成.四、应用题1、建造容积为V 的开顶长方形水池，长、宽、高各应为多少时，才能使表面积最小？（10分）2、把正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个数.（7分）《课程名称》期末考试试卷标准答案考试形式：闭卷考试考试时间：120分钟备注：1.A4页面设置.2.试题内容以小四号字宋体，行距1.5倍.3.每道题应标明分数、解题步骤与评分标准，给出主要步骤（论述题给出基本要点）的得分比例.。

河北工程大学<高等数学>练习题(上册)参考答案第一章测试题一．选择题1．D 2.C 3.C 4.A 5.B 二.填空题1. 22. 23.[]2,04.222+-x x 5. 2三.计算题 1. 原式()6193sin lim222=-+=→x x x x 2.原式11lim ==∞→nnn 3.原式()211cos 1cos 1021cos 1lim ---→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=e x x x x x4.原式3313231132lim 1=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=+∞→n n n 5.原式33131sinlim2=+=+∞→xx x x6.原式211sin 1sin tan sin tan sin 10sin 1sin tan 1lim e x x x x x x x x x x x =⎪⎭⎫⎝⎛+-+=⋅+-⋅-+→四(),2lim 23=-∞→xx x p x ()b ax x x x p +++=∴232(),12lim lim200=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=→→x b a x x x x p x x ⎩⎨⎧==∴01b a ()x x x x p ++=∴232五.1,2cos 2lim 1-=∴=--→x xx π 处连续,c o s 2lim 21∞=-→x x π 21=∴x 为无穷间断点()101,2c o s 2lim 11lim 11=∴==-=---+→→x f xx x x x π 为可去间断点2,1211lim2=∴+=--→x x x x 处连续六.设存在一点[]b a x ,∈,使()0>x f()()()b a x f b a ,,,0,∈'∴<∈ξξξξ之间至少存在一点，在由零点定理时，使()0='ξf又()[]b a x f ,在 无零点, ∴矛盾 ()[]上恒为负在b a x f ,∴ 七.设()()()a x f x f x +-=ϕ 则()()()()()()a f a f a a f f 2,00-=-=ϕϕ()()a f f 20= ()()00<∴a ϕϕ 由零点定理∴至少存在一点[]a ,0∈ξ, 使得()()()0=+-=a f f ξξξϕ, 即()()a f f +=ξξ高等数学习题解答第一章（7-11） 第极限存在准则 两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--ee e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim nx =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2, 2)131(-=a∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n nn n11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n第七节 无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3. 证明： 令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→t txx t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。

《高等数学一》试卷一． 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．22lim x x x x x →∞+=- ; 2．02sin lim x xx→= ;3．1lim(1)xx x→∞-= ; 4．'= ;5．(2)x xd e += ; 6．已知0'()1f x =, 则000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆=∆ ;7．函数0()2d xF x t ⎛=⎝⎰的单调增区间为 ; 8．21d 1x x =+⎰ ; 9．d x x= d(35ln )x -; 10．微分方程 0y y ''-=的通解是 . 二． 单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．函数()ln(1)arcsin f x x x =++的定义域是（ ）。

A ．（-1 , 1 ]B ．[ -1 , 1 ]C ．（-1 , 2 ]D ．[-1 , 2 ] 2．当0x →时，()tan sin f x x x =-是x 的（ ）。

A ．低阶无穷小B ．等阶无穷小C ．同阶但不等阶无穷小D ．高阶无穷小3．设()2,0sin ,0x a x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩在0x =上连续，则a 的值为（ ）。

A ．-1B ．0C ．1D ．2 4．函数()ln f x x =在0x =点（ ）。

A ．连续且可导B ．连续但不可导C ．不连续但可导D ．不连续且不可导 5．下列论述正确的是（ ）。

A ．驻点必是极值点B ．极值点必是最值点C ．可导的极值点必是驻点D ．极值点必是拐点 6．下列凑微分正确的是（ ）。

A ．()22d d x xxe x e = B ．()1d d ln 11x x x =++C ．21arctan d d 1x x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭D ．1cos 2d d(sin 2)2x x x = 7．设()F x 是()f x 的一个原函数，则有下面成立的是（ ）。

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(2009年首届全国大学生数学竞赛)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy 定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet 判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke 公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分一、多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein 判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1. 线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、欧氏空间1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： .4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7. 欧拉(Euler)方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7. 初等函数的幂级数展开式.8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。

一、选择题（只有题干）1、求函数y=√1−e−2x的定义域解析：∵1−e2x≥0∴e2x≤1，则x≤0，即x∈(−∞，0]2、若f(x)=x sin2x，求f′′(0)解析：f′(x)=sin2x+2x cos2xf′′(x)=2cos2x+2[cos2x−2x sin2x]=4cos2x−4x sin2x∴f′′(0)=43、求极限lim x→0x+sin2x4x−sin x解析：由罗必达准则得lim x→0x+sin2x4x−sin x=limx→0x+2x4x−x=33=14、椭圆x2+4y2=4在点（1，√32）处的切线斜率为解析：对x2+4y2=4求导得2x+8y dydx=0整理得dy dx =−x4y即切线斜率为k=−√365、设f(x)=e x，则∫f′(ln x)xdx=解析：∫f′(ln x)xdx=∫f′(ln x)d ln x=f(ln x)+C由f(x)=e x得f(ln x)+C=e ln x+C=x+C6、曲线y=6x2−14x4的凹区间为解析：y′=12x−x3,y′′=12−3x2令y′′=0，解得x=2或−2，即当x∈(−2,2)时，y′′≥0，所以(−2,2)为凹区间7、二元函数z =ln (1+xy )的全微分dz =（） 解析： ðzðx=11+xy∙1y =1y+x ðzðy =11+x y∙x ∙(−1y 2)=−xy 2+xydz =ðzðx dx +ðzðy dy =1y+x dx −xx 2+xy dy8、下列级数中发散的是（） A ∑sin n n 2∞n=1 B ∑(−1)n 3n+1∞n=1C ∑3n+5n 2∞n=1D ∑4n 5n∞n=1答案：C 解析：∑3n n 2=∑3n∞n=1∞n=1因为∑3n ∞n=1发散，所以∑3n+5n 2∞n=1发散9、微分方程dydx =(2x +1)y 2的通解为 解析： 分离变量得1y 2dy =(2x +1)dx 对等式两侧求不定积分∫1y 2dx =∫(2x +1)dx 解得−1y=(x 2+x )+C 整理得y =−1x 2+x +C10、三阶行列式|1aa 21bb 21c c 2|的值 解析：|1a a 21b b 21cc 2|=|1a a 20b −a b 2−a 20c −ac 2−a 2| =(b −a )(b −c )|1a a 201b +a 01c +a|=(b −a )(c −a )|1aa 201b +a 00c −b|=(b −a )(c −a )(c −b ) 二、填空题 11、lim x→0∫ln (1+2t )dtx0x 2=______答案：1 解析：lim x→0∫ln (1+2t )dtx0x 2=lim x→0ln (1+2x )2x=lim x→02x 2x=112、二元函数f(x ，y)=x 2+3y 2−4x −6y +1的极小值______答案：-6 解析：由{ðf ðx =2x −4=0ðfðy=6y −6=0得{x =2y =1且ð2zðx 2=2，ð2z ðxðy=0，ð2z ðy 2=6则AC −B 2=12>0，A >0 ∴(2,1)为极小值点，极小值为-613、微分方程dydx +1x y =x 满足y|x=1=0的特解_______ 答案：y =13x 2−13x解析： 通解y =*∫xe∫1x dxdx +C+∙e−∫1xdx=1x (13x 3+C)=13x 2+Cxx =1，y =0代入，解得C =−13即特解y =13x 2−13x14、矩阵A =(112a 23a −125)中元素a 13的代数余子式A 13=4，则a =____答案：1 解析:A 13=(−1)1+3M 13=|a 2−12|=2a +2=4,∴a =115、幂级数∑n √nx −1)n ∞的收敛域______答案：(0,2] 解析:lim n→∞|a n+1a n |=lim n→∞√n n +1=1 所以，收敛半径 R =1. 当x =0时，级数∑√n∞ 发散.当x =2时，级数∑n √n∞ 收敛.因此所求级数的收敛域为(0,2].三、计算题16、设z =sin (u +v )，u =ye x ，v =x 2+y ，求∂z∂x ，∂2z∂y 2 解析：ðzðx =cos (ye x +x 2+y )(ye x +2x) ðzðy=cos (ye x +x 2+y )(e x +1) ð2zðy2=−sin (ye x +x 2+y )∙(e x +1)2 17、求齐次方程组{x 1−5x 2+2x 3−3x 4=05x 1+3x 2+6x 3−x 4=02x 1+4x 2+2x 3+x 4=0的基础解系，并用其表示方程组的通解。

线上教学内容与资源层面的认识一、可用于在线教学的大学数学网络教学资源1.国际网络教学资源（1）MITOCW2001年，麻省理工学院（MIT）实施OCW计划，将学校课程资源网络化，供世界各地学者和机构学习。

该计划成为了网络教学的开端[1]。

MIT网上免费公开课程项目启动后，计划在十年内把所有的课程内容放到互联网上，供全世界免费使用，进而推动MIT本身的教育教学，提升MIT的形象。

目前，该计划有2400门课程资源，超过5亿用户，已远超当初预期。

其中网站首页公开的本科阶段大学数学课程涵盖了应用数学、微积分、线性代数、数学分析、概率论和数理统计约150门课程资源。

（2）KhanAcademy （可汗学院）可汗学院是由孟加拉裔美国人萨尔曼·可汗于2006年创立的一家教育性非营利组织，利用网络影片进行免费授课，其内容涵盖数学、历史、金融、物理、化学、生物、天文学等众多科目，其中大学数学包括线性代数、概率论和数理统计、重积分、定积分等课程。

可汗学院开创了一些独具特色的教学模式：课程短小，每节课只有10分钟左右，课程之间按照从易到难逐步衔接；授课教师不出现在影片中，在电子黑板系统用彩笔一边写字一边录像，将录好的视频上传到网上；网站开发了一种在线练习系统，记录了学习者对每一个问题的完整练习记录，方便教师清楚地了解学习者的学习状况；课程进度由学习者根据学习情况自由安排。

可汗学院课程的讲授视频只有写屏画面和讲解的声音，由于营造了“面对面”的授课氛围而广受欢迎，可汗本人因此被美国《时代》杂志评为2012年百位世界最有影响力人士。

不过迈阿密大学教育学教授沃尔特·斯卡达也指出了“可汗模式”的不足，认为可汗的教学方式存在“过度简化”的缺陷，“他总是利用特定例子来解释概念，如果人们遇到其他例子时，可能会糊涂……这表面上看是个小问题，却可能为以后的学习埋下隐患。

”可汗学院在中国的推行主要依靠“网易公开课”平台。

高等数学作业册河北地质大学一、数列与级数1. 数列1.1 定义数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。

通常表示为：$a_1, a_2, a_3, \\ldots, a_n$。

其中，a a表示第a 项。

1.2 常见数列1.等差数列：$a_1, a_1+d, a_1+2d, \\ldots, a_1+(n-1)d$2.等比数列：$a_1, a_1r, a_1r^2, \\ldots, a_1r^{n-1}$3.斐波那契数列：$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \\ldots$ （每一项是前两项之和）2. 级数2.1 定义级数是数列的和，通常表示为：$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \\ldots + a_n$。

其中，a a表示前a项的和。

2.2 常用级数1.调和级数：$1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} +\\frac{1}{4} + \\ldots$2.几何级数：$1 + r + r^2 + r^3 + \\ldots$二、函数与极限1. 函数1.1 定义函数是一种映射关系，将一组元素从定义域映射到值域。

通常表示为：a=a(a)。

1.2 常用函数1.常数函数：a(a)=a（a为常数）2.一次函数：a(a)=aa+a（a和a为常数）3.二次函数：a(a)=aa2+aa+a（a,a,和a为常数）2. 极限2.1 定义极限是函数在某个点附近的趋势，用于描述函数的性质。

通常表示为：$\\lim\\limits_{x \\to a} f(x) = L$。

其中，a为极限值。

2.2 常用极限1.常数极限：$\\lim\\limits_{x \\to a} C = C$ （a为常数）2.多项式极限：$\\lim\\limits_{x \\to a} (x^n) =a^n$ （a为正整数）3.三角函数极限：$\\lim\\limits_{x \\to 0}\\frac{\\sin(x)}{x} = 1$三、导数与微分1. 导数1.1 定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。