第34届全国中学生物理竞赛决赛试题

12π2π第34 届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答一、（35 分）如图，质量分别为ma、m b 的小球a 、b 放置在光滑绝缘水平面上，两球之间用一原长为l0 、劲度系数为k的绝缘轻弹簧连接。

（1）t 时，弹簧处于原长，小球a 有一沿两球连线向右的初速度v，小球b 静止。

若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内，求两球在任一时刻t(t ) 的速度。

（2）若让两小球带等量同号电荷，系统平衡时弹簧长度为L，记静电力常量为K 。

求小球所带电荷量和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率（极化电荷的影响可忽略）。

参考解答：（1）如图，t 时刻弹簧的伸长量为ul l有d 2udt2式中ku ①mamb ②mamb为两小球的约化质量。

由①②式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f2π③最后一步利用了②式。

t 时刻弹簧的伸长量u 的表达式为u A sin t B cos t ④式中A 、B 为待定常量。

t 时，弹簧处于原长，即u B将 B 代入④式得a 相对于b 的速度为u A sin t ⑤vdradrbduA cos t ⑥a dt dt dtt 时有专业知识--整理分享kL = - va (0) v 0 0 A⑦由⑥⑦式得v a v 0 cost⑧系统在运动过程中动量守恒小球 a 相对于地面的速度为m a v 0m av am b vb⑨v a v av b⑩由③⑧⑨⑩式可得， t 时刻小球a 和小球b 的速度分别为m (m m ) mvbcosa b 0t a vmm m 0 a (m m )a bmvaa⑫m 0a bab（2）若两球带等量同号电荷，电荷量为 q ，系统平衡时有q 2K 2k 0 (L 0 l 0 ) ⑬由⑬式得设t 时刻弹簧的长度为 L （见图 II ），有q L 0 ⑭d 2 L q 2dt 2k 0 (L l 0 ) K L 2⑮图 II令 xLL 0 为t 时刻弹簧相对平衡时弹簧长度 L 0的伸长量，⑮式可改写为d 2x q 2xdt 2 k 0 x k 0 (L 0 l 0 ) KL2L⑯系统做微振动时有x因而xxx 2LLOL⑰b a L 0WORD格式-可编辑专业知识--整理分享WORD格式-可编辑12π2πL3L利用上式，⑯式可写为d 2x q2q2x 2dt2k0 (L0 l0 ) K L2k2KL3x OL⑱x20 0 0略去OL，并利用⑬或⑭式，⑱式可写为d 2 x q2 3L 2lk 2K x 0 0 kx ⑲dt2 0由⑲式知，3Ll，系统的微振动服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f ⑳最后一步利用了②式。

第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题，满分200分。

一、选择题：本题共5小题，每小题6分。

在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意。

把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内。

全部选多的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。

1．下述实验或现象中，能够说明光具有粒子性的是A ．光的双缝干涉实验B ．黑体辐射C ．光电效应D ．康普顿效应2．系统1和系统2质量相等，比热容分别为C 1和C 2，两系统接触后达到共同温度T ；整个过程中与外接（两系统之外）无热交换．两系统初始温度T 1和T 2的关系为A ．()2121C T T T T C =−−B ．()1122C T T T T C =−− C ．()1122C T T T T C =−+D ．()2121C T T T T C =−+3．假设原子核可视为均匀球体．质量数为A 的中重原子核的半径R 可近似地用公式1/30R R A =表示，其中R 0为一常量．对于核子数相同的原子核，下列说法正确的是A ．质量密度是基本相同的B ．电荷密度是基本相同的C ．表面积是基本相同的D ．体积是基本相同的4．一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）对地球的张角能覆盖赤道上空东经0θθ−∆到东经0θθ+∆之间的区域．已知地球半径为R 0，地球表面处的重力加速度为g ，地球自转周期为T ．Δθ的值等于A ．1/32024arcsin R T g π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1/320242arcsin R T g π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1/32024arccos R T g π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1/320242arccos R T g π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．有3种不同波长的光，每种光同时发出、同时中断，且光强都相同，总的光强为I ，脉冲宽度（发光持续时间）为τ，光脉冲的光强I 随时间t 的变化如图所示．该光脉冲正入射到一长为L 的透明玻璃棒，不考虑光在玻璃棒中的传输损失和端面反射损失．在通过玻璃棒后光脉冲的光强I 随时间t 的变化最可能的图示是（虚线部分为入射前的总光强随时间变化示意图）二、填空题。

第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷解析版一、选择题．本题共5小题,每小题6分．在每小题给出的4个选项中,有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．下述实验或现象中,能够说明光具有粒子性的是( ）A．光的双缝干涉实验B．黑体辐射C．光电效应D．康普顿效应2．系统l和系统2质量相等，比热容分别为C1和C2,两系统接触后达到共同温度T；整个过程中与外界(两系统之外）无热交换.两系统初始温度T1和T2的关系为( )A．T1=C2C1）（T－T2－T B．T1=错误!C．T1=错误!D．T1=错误!3．假设原子核可视为均匀球体。

质量数为A的中重原子核的半径R可近似地用公式R=R0A1/3表示，其中R0为一常量。

对于核子数相同的原子核，下列说法正确的是( )A．质量密度是基本相同的B．电荷密度是基本相同的C．表面积是基本相同的D．体积是基本相同的4．一颗人造地球通讯卫星（同步卫星)对地球的张角能覆盖赤道上空东经θ0－Δθ到东经θ0+Δθ之间的区域。

已知地球半径为R0，地球表面处的重力加速度大小为g，地球自转周期为T . Δθ的值等于（）A．arcsin（错误!)1/3B．2 arcsin( 错误!）1/3C．arccos ( 错误!)1/3D．2arccos （错误!）1/3 5．有3种不同波长的光，每种光同时发出、同时中断,且光强都相同,总的光强为I,脉冲宽度(发光持续时间）为τ,光脉冲的光强I随时间t的变化如图所示。

该光脉冲正入射到一长为L的透明玻璃棒，不考虑光在玻璃棒中的传输损失和端面的反射损失.在通过玻璃棒后光脉冲的光强I随时间t的变化最可能的图示是(虚线部分为入射前的总光强随时间变化示意图）( )二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．6．(10分）如图，一个球冠形光滑凹槽深度h=0。

第 34 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017 年 9 月 16 日一、（ 40 分）一个半径为 r 、质量为 m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为 R 、质量为 M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。

重力加速度大小为g 。

试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内R 底部附近作无滑滚动。

二、（ 40 分）星体 P （行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线rkP1 cosC式中， r 是 P 到太阳 S 的距离，是矢径 SP 相对于极r轴 SA 的夹角（以逆时针方向为正） ，kL 22,L 是 BAGMmS10 11 m 3 kg 1 s 2 为 P 相对于太阳的角动量， G 6.67 R E引 力 常 量 ， M 1.99 1030 kg为 太 阳 的 质 量 ，D2 EL 2为偏心率， m 和 E 分别为 P 的质量12M 2 3G m和机械能。

假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于 C 、 D 两点，如图所示。

已知地球轨道半径R E 1.49 1011 m ，彗星轨道近日点 A 到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。

求彗 星（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；（2）经过 C 、 D 两点时速度的大小。

已知积分公式 xdx 2 3/21/2x a x a2a x a C ，式中 C 是任意常数。

3三、（ 40 分）一质量为 M 的载重卡车 A 的水平车板上载有一质量为m 的重物 B，在水平直公路上以速度v0做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为L （L0 ）。

因发生紧急情况，卡车突然制动。

已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为BLA1 ，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为 2 （2 1 ）。

第34届物理竞赛复赛试题及答案一、单项选择题（共20题，每题5分，共100分）1. 下列哪项不是粒子物理学的基本假设？A. 充分性原理B. 相对性原理C. 不确定性原理D. 费马原理2. 北极星光谱线的移位现象最初是哪个科学家通过实验发现的？A. 胡克B. 辛普森C. 赫尔曼D. 亨德里克3. 相对论中的洛伦兹变换具有以下哪一个性质？A. 反演不变性B. 时空相对性C. 相对性原理D. 矛盾性原理4. 某气体的绝热指数为1.4，再加压的条件下这个气体的温度A. 不变B. 上升C. 下降D. 不确定5. 看物体原来的颜色为白光，看物体反射的颜色为蓝色，这个现象的解释是？A. 物体的原来颜色是蓝色B. 物体反射的辐射更多地集中在较短波长的光区C. 物体反射的辐射更多地集中在较长波长的光区D. 环境光强烈时物体的颜色会发生变化6. 电子在磁场中作匀速圆周运动，则其动能与势能的变化情况如何？A. 动能不变，势能减小B. 动能增大，势能减小C. 动能减小，势能增大D. 动能不变，势能增大7. 像肉眼所能看见的太阳周围的白光，几乎全部来自于？A. 太阳的干扰光B. 太阳的热光C. 太阳的黑体辐射D. 太阳的光谱线8. 一个空气球放在零摄氏度的水中充气，如果它充满气体后体积为1mA. 它在水中漂浮B. 它在水中沉底C. 它在水中升起，但不漂浮D. 它不会对水位高度产生影响，但会影响它周围的水流9. 求一光束入射角为60度，折射角为45度的光线不透明物体的表面上，光的速度在透明物体的内部为1660m/s，这个透明物体的折射率是多少？A. 2.5B. 约1.73C. 约1.25D. 约0.7510. 一个理想氧化铝晶体会使垂直于晶面上的光线进行多少次反射？A. 1次B. 2次C. 3次D. 4次11. 下列哪个现象可以被理解为对牛顿第二定律的否定？A. 物体保持匀速直线运动B. 物体在匀速直线运动的基础上变向C. 物体静止不动D. 物体改变了速度12. 下列哪个现象可以被认为是孤立系统中机械能守恒的例证？A. 弹性碰撞B. 重物下落C. 摆动D. 手摇电筒发光13. 下列哪个动量的变化是最大的？A. 两个物体同向碰撞B. 两个物体相对碰撞C. 两个物体撞击后分别继续沿直线运动D. 两个物体进行纯旋转14. 一个摩擦系数为0.2的物体放在斜面上，角度为20度，有多大的力可以使物体静止？A. 约0.17NB. 约0.34NC. 约2.0ND. 约9.8N15. 均匀带电球面的电场强度在球心处的方向是？A. 垂直于球面B. 与球心连线方向相同C. 与球心连线方向相反D. 没有固定方向16. 某飞行物从高空坠落，开始时垂直速度0m/s，最终速度达到400m/s，下落时间为20s，飞行物的高度是多少？A. 约4kmB. 约8kmC. 约16kmD. 约32km17. 当球被踢出一个斜向上发射，物体的速度是否因高度的增加而增加压力吗？A. 是的B. 不是的18. 均匀带电圆环电场强度在环心处的方向是？A. 沿环半径方向B. 沿环切线方向C. 沿环正对方向D. 沿环法线方向19. 在静电场中无线积分可用于计算？A. 电场强度B. 磁场强度C. 感应电流D. 电荷20. 均速直线运动的物体在运动过程中，它？A. 总是以恒定速度运动B. 可以运动，但速度变化C. 速度与时间无相关性D. 总是以恒定加速度运动二、问答题（共5题，每题20分，共100分）21. 两球间有一距离，它们的引力大小是多少？22. 在磁场中，如果一个电子沿着磁场方向运动，是什么力恰好与它运动方向垂直？23. 在一个喇叭中发出的是什么类型的波？24. 跳伞让人成为了空气阻力的受害者，如果比重不同的气体相互作用，哪个气体在空气中起到的作用最小，为什么？25. 解释重力势能的大小和高度之间的关系。

第34 届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答一、（35分）如图，质量分别为a b m m 、的小球a b 、放置在光滑绝缘水平面上，两球之间用一原长为0l 、劲度系数为0k 的绝缘轻弹簧连接。

（1）0t =时，弹簧处于原长，小球a 有一沿两球连线向右的初速度0v ，小球b 静止。

若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内，求两球在任一时刻(0)t t >的速度。

（2）若让两小球带等量同号电荷，系统平衡时弹簧长度为0L ，记静电力常量为K 。

求小球所带电荷量和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率（极化电荷的影响可忽略）。

参考解答：（1）如图，t 时刻弹簧的伸长量为u l l =-有202d uk u dtμ=- ①式中a b a bm m m m μ=+②为两小球的约化质量。

由①②式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为2πf ω=③最后一步利用了②式。

t 时刻弹簧的伸长量u 的表达式为sin cos u A t B t ωω=+④式中A B 、为待定常量。

0t =时，弹簧处于原长，即(0)0u B == 将0B =代入④式得sin u A tω=⑤a 相对于b 的速度为cos a b adr dr duv A t dt dt dtωω'=-== ⑥0t =时有0(0)0av v A ω'=-= ⑦由⑥⑦式得0cos av v t ω'= ⑧系统在运动过程中动量守恒0a a a b b m v m v m v =+⑨小球a 相对于地面的速度为a ab v v v '=+ ⑩由③⑧⑨⑩式可得，t 时刻小球a 和小球b 的速度分别为01cos b aa a ab m m v v m m m ⎡⎤⎫=+⎢⎥⎪⎪+⎢⎥⎭⎣⎦⑪01cos ab ab m v v m m ⎡⎤⎫=-⎢⎥⎪⎪+⎢⎥⎭⎣⎦⑫（2）若两球带等量同号电荷，电荷量为q ，系统平衡时有200020()q K k L l L =- ⑬由⑬式得q L = ⑭设t 时刻弹簧的长度为L （见图II ），有 220022()d L q k L l K dt Lμ=--+ ⑮图II令0x L L =-为t 时刻弹簧相对平衡时弹簧长度0L 的伸长量，⑮式可改写为22200002200()1d x q x k x k L l K dt L L μ-⎛⎫=---++ ⎪⎝⎭⑯系统做微振动时有0xL因而22000112x xx O L L L -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⑰利用上式，⑯式可写为22220000223000()2d x q q x k L l K k K x O dt L L L μ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⑱略去20x O L ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，并利用⑬或⑭式，⑱式可写为2200002300322L l d x q k K x k x dt L L μ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭ ⑲由⑲式知，00320L l ->，系统的微振动服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f = ⑳最后一步利用了②式。