高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。
方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。
题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。
方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。
例题：已知函数f(x)=x-3x。
1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y-16=0）2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。
提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式关系。
将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。
答案：m的范围是(-3,-2)）练1：已知曲线y=x-3x。
1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。
（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0）2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。
题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。
方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。
（答案：2ex-y-e=0）练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。
（答案：2x-y-1=0或y=0）2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。
曲线的知识点归纳总结高中高中数学中，曲线是一个非常重要的知识点。
它涉及到许多不同的数学概念和技巧，是高考的重点内容之一。
在本文中，我们将对曲线相关的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、曲线的定义和基本性质曲线是由一系列点组成，这些点在某一函数的作用下不断移动，从而形成连续的线条。
曲线的基本性质包括曲线的形状、位置和大小。
掌握曲线的定义和基本性质是理解曲线相关问题的基础。
二、曲线的几何性质和概念1. 曲线方程：曲线可以用方程来表示，因此曲线方程是曲线的一个重要概念。
同学们需要掌握如何根据曲线的形状找到合适的方程，并理解方程中各个变量的意义。
2. 曲线的形状和位置：通过改变方程中的参数，我们可以控制曲线的形状和位置。
同学们需要掌握如何根据不同的参数值得到不同的曲线形状，并理解这些变化与几何、代数概念之间的关系。
3. 曲线的对称性：了解曲线的对称性可以帮助我们更好地理解曲线的形状，并找到解决问题的捷径。
同学们需要掌握常见曲线的对称性，如圆、椭圆、抛物线等。
三、曲线的代数性质和概念1. 函数关系：曲线与函数密切相关，同学们需要掌握如何将曲线与函数建立联系，并理解函数在曲线中的应用。
2. 极限和连续性：在研究曲线的过程中，同学们需要了解极限和连续性的概念和方法，如极限存在定理、连续函数的性质等。
3. 曲线的渐近线：当曲线接近某直线时，该直线称为曲线的渐近线。
了解曲线的渐近线可以帮助我们更好地理解曲线的形状和变化。
四、应用和解题技巧1. 解决曲线问题的通用步骤：同学们需要了解解决曲线问题的通用步骤，如审题、分析、建立方程、求解等，以确保解题过程的准确性和效率。
2. 常见问题的解题技巧：同学们需要掌握一些常见问题的解题技巧，如几何法、代数法、三角变换等，以应对不同类型的问题。
3. 拓展思维：除了课本上的内容，同学们还可以通过阅读相关书籍、参加课外辅导等方式拓展自己的思维，了解更多有关曲线的知识和应用。
10.5 曲线与方程五年高考考点轨迹与轨迹方程 1．（2013福建．18,13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10，0)，点C 的坐标为(O ，10).分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为921,,,A A A 和,,,21 B B ⋅9B 连结,i OB 过i A 作x 轴的垂线与i OB 交于点≤∈1*,(N i P i ).9≤i(1)求证：点)91,(≤≤⋅∈i N i p i 都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线L 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若AOCM 与△OCN 的面积比为4:1，求直线L 的方程．2．（2013四川．20 ，13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点分别为),0,1(),0,1(21F F -且椭圆C 经过点⋅)31,34(P(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A(O ，2)的直线L 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且,||1||1||2222AN AM AQ +=求点Q 的轨迹方程．3．（2012辽宁．20,12分）如图，椭圆,0(1:220>>=+b a by a x C a ，b 为常数），动圆.,:121221a t b t y x C <<=+点21,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线1AA 与直线B A 2交点M 的轨迹方程；(2)设动圆22222:t y x C =+与0C 相交于D C B A ,,,四点，其中b ⋅=/<<212,t t a t 若矩形ABCD 与矩形ABCD 的面积相等，证明：222t t l +为定值．智力背景斯太纳——从牧童或长为几何学家 斯太纳是瑞士的大数学家，是世界数学史上具有传奇色彩的一个人物．1796年出生于瑞士北部伯尔尼州的一个小镇上，斯太纳到了14岁还是个一字不识的文盲，但 他不甘于这种状况，经过长期的勤奋研究，出版了《几何图形相互关系的系统发展》和《用直尺和一个固 定圆完成的几何作图》两本书．1834年，他被选为柏林科学院院士；同年又被聘为柏林大学教授，直到他 逝世，后人把他评为“自欧几里得以来最伟大的几何学家”．4．（2011天津，18．13分）在平面直角坐标系xOy 中，点P(a ，b)(a>b>0)为动点，21,F F 分别为椭圆122=+by a x 的左、右焦点，已知21PF F ∆为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线2PF 与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足,2.-=BM AM 求点M 的轨迹方程．5．（2011安徽．21,13分）设A>0，点A 的坐标为(1，1)，点B 在抛物线2x y =上运动，点p 满足,B λ= 经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足,MP λ=QM求点P 的轨迹方程．解读探究知识清单1．“曲线的方程”与“方程的曲线”在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x ，y ）=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．事实上，曲线可以看作一个点集C ，以一个二元方程的解作为坐标的点组成一个点集F 上述定义中C CF F C ⇔⎩⎨⎧⊆⇔⊆⇔)2(,)1(条件条件.F = 2直接法求动点的轨迹方程的步骤 (1)①____——建立适当的坐标系；(2)②____——设轨迹上的任一点P （x ，y ）； (3)③____——列出动点P 所满足的关系式；(4)④ ——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x 、y 的方程式，并化简；(5)⑤ 一-证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 【知识拓展】1．求轨迹方程时，要注意检验曲线上的点与方程的解是否为一一对应的关系，若不是，则应对方程加上一定的限制条件，检验可以从以下两个方面进行；一是方程的化筒是否为同解变形；二是是否符合题目的实际意义．2．求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．·知识清单答案智力背景姜伯驹 1937年生，浙江苍南A.1957年毕业于北京大学数学力学系，曾任美国普林斯顿高等研究所、巴黎高等科学研究所研究员、联邦德国海德堡大学客座教授，1985年当选第三世界科学院院士．姜氏空间：数学家姜伯驹关于尼尔森数计算的研究成果被国际上命名为“姜氏空间”，另外还有以他命名的“姜氏子群”．突破方法方法1 定义法求轨迹方程运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．例1 （2012山东青岛二模，18，12分）等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么． 解题思路解析 设另一端点C 的坐标为(x ，y).依题意，得｜AC ｜=｜AB ｜，由两点间距离公式，得,)52()34()2()4(2222-+-=-+-y x整理得 .10)2()4(22=-+-y x这是以点A(4，2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线，即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点．因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3，5). 又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点， 所以,225,423=/+=/+y x 且即点C 不能为（5，-1）． 故端点C 的轨迹方程是10)2()4(22=-+-y x （除去点(3，5)和（ 5, -1）. 它的轨迹是以点A(4，2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3，5)和（5，-1）两点．【方法点拨】 定义法求轨迹方程的步骤：方法2 相关点法例2（2011陕西．17，12分）如图，设P 是圆2522=+y x 上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且=||MD .||.54PD (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为54的直线被C 所截线段的长度，解题思路解析 (1)设M 的坐标为（x ，y ），P 的坐标为),,(P P y x 由已知得⎪⎩⎪⎨⎧==,45,y y x x P P∵ P 在圆上 ,∴,25)45(22=+y x 即C 的方程为.1162522=+y x （4分） (2)过点(3，0)且斜率为54的直线方程为),3(54-=x y （6分）设直线与C 的交点为),,(),,(2211y x B y x A 将直线方程)3(54-=x y 代入C 的方程，得 ,125)3(2522=-+x x 即.0832=--x x 2413,241321+=-=∴x x (10分) ∴ 线段AB 的长度为221221221))(25161()()(||x x y y x x AB -+=-+-=⋅=⨯=541412541 注：求AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分．【方法点拨】 相关点法求轨迹芳程的步骤：智力背景从倒数第一到数学大师的转变（一） 季理真，1964年出生在浙江温州一个普通的农村家庭．1980 年，季理真参加了在温州进行的全国统考．除了英语，他的数学是所有科目中考得最差的，化学最好．但在体检中，季理真因辨色能为差而被诊断为色弱，只能学数学和物理他被杭大的数学专业录取，“我不喜欢数学，在年级里成绩也比较差，对我而言，数学之路从来不是平坦的，但绝对是充满乐趣的！”方法3 参数法求轨迹方程例3（2012河南鹤壁二模．20，12分）设椭圆方程为+2x ,142=y 过点M(O ，1)的直线L 交椭圆于点A 、B ，0是坐标原点，L 上的动点P 满足),P (21P O OA O +=点N 的坐标为⋅)21,21(当L 绕点M 旋转时，求：(1)动点P 的轨迹方程；||)2(N 的最小值与最大值．解题思路解析 (1)直线L 过点M(O ，1)，当直线L 的斜率存在时，设其斜率为也k 则L 的方程为.1+=kx y设),,(),(2211y x B y x A 、由题设得点A 、B 的坐标分别为,(1x ),).(221⋅y x y 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=②①14,122y x kx y 的解． （2分）将①代入②并化简得，,032)4(22=-++kx x k所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+,48,42221221k y y k k x x于是⋅++-=++=+=)44,4()2,2()(21222121k k k y y x x设点P 的坐标为(x ，y)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=,44,422k y kk x消去参数k 得.0422=-+y y x ③（5分）当直线L 的斜率不存在时，A 、B 的中点坐标为原点(0，0)，也满足方程③，所以动点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x （6分） (2)由点P 的轨迹方程知,1612≤x 即⋅≤≤-4141x （7分） 所以22222441)21()21()21(||x x y x NP -+-=-+-=,127)61(32++-=x （10分）故当41=x 时，||NP 取得最小值，最小值为;41（11分）当61-=x 时，||取得最大值，最大值为⋅621 （12分） 【方法点拨】 参数法求轨迹方程的步骤：三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：45钟 分值：50分 一、选择题（每题5分，共10分）1．（2013青海玉树一模，3）方程022=-y x 对应的图象是( )2．（2013河北廊坊二模．6）有一动圆P 恒过定点F(a ，0)(a>0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为 ( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 二、填空题（每题5分，共15分） 3．（2013山东聊城一模，13）在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A(l ，0)、B(2，2)，若点C 满足),0(OA B t OA OC -+=其中,R t ∈则点C 的轨迹方程是4．（2013广东阳江5月，12）已知点),0,3(),0,2(B A -动点),(y x P 满足,62-=⋅x 则动点P ．的轨迹是 5．（2012山东枣庄一模．14）已知△ABC 的顶点B(O ，0，C(5，0)，AB 边上的中线长l CDl =3，则顶点A 的轨迹方程为智力背景从倒数第一到数学大师的转变（二） 人到中年的他，说自己做事做人终于开始从容起来，“对于数学终于找到了感觉，就像从大一时数学成绩的倒数第一前进到大四的名列前茅，需要一个过程，数学是 很好玩的，并且是会有收获的，当数学家是一件美事，”2007年12月17日，杭州第四届世界华人数学家 大会晨兴数学奖颁奖仪式上，美国密歇根大学数学系教授、第四届晨兴奖银奖获得者季理真在发表获奖感言时这样表达对数学的热爱．三、解答题（共25分）6．（2013北京大兴一模）已知动点P 到点A （-2，0）与点B(2，0)的斜率之积为,41-点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ 、BQ 与直线x=4分别交于M 、N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D ．求证，A 、D 、N 三点共线．7．（2013北京东城一模．19）如图所示，直线1l 与2l 相交于点,,21l l M ⊥ 点,1l N ∈以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，||AM ,3||,17==AN 且,6||=NB 建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．B 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试时间：45分钟 分值：50分 一、选择题（每题5分，共10分）1．（2013陕西延安3月．7）已知函数1)(2+=x x f 的定义域为[a ，b]（a<b ），值域为[1，5]，则在平面直角坐标系内，点(a ，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是 ( )A ．8B ．6C ．4D ．2 2．（2013福建厦门二模．8）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 ( )A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 二、填空题（每题5分，共15分）3．（2013云南保山一模．14）动圆与1:221=+⋅y x OC 外切，与0128:222=+-+x y x C 内切，则动圆圆心的轨迹是4．（2013四川成都二模．15）P 是椭圆12222=+by a x 上的任意一点，21F F 、是它的两个焦点，0为坐标原点，有一动点Q 满足,21PF PF O +=则动点Q 的轨迹方程是 5．（2013吉林长春5月．16）设集合y x y x A （+-=2)3(|),{(},54)42=-==-+-=C y x y x B },51)4()3(|),{(622},|41|3|2|),{(λ=-+-y x y x 若,)(;∅=/C B A 则实数λ的取值范围是 ． 三、解答题(共25分）6．（2013黑龙江绥化一模，20）已知定点F(O ，1)和直线=y l :1,1-过定点F 与直线1l 相切的动圆的圆心为点C ．(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线2l 交轨迹于两点P 、P ，交直线1l 于点R ，求Q R RP .⋅的最小值． 7．（2013湖北恩施二模．21）在直角坐标平面上，0为原点，M 为动点，.552,5||OM ON OM ==过点y MM M ⊥1作轴于点,1M 过N 作x NN ⊥1轴于点.N 0,111+=M N 记点T 的轨迹为曲线C，点A(5，0)、B(l，O)，过点A作直线L交曲线C于两个不同的点P、Q(点Q在A与P之间)．(1)求曲线C的方程；(2)是否存在直线L，使得｜BP｜=｜BQ｜，并说明理由，智力背景谷超豪的数学人生（一）谷超豪，1926年生，浙江温州人.1948年毕业于浙江大学．1959年获苏联莫斯科大学物理数学科学博士学位，在苏联留学的时候，谷超豪就因为研究K展空间的新方法而受到了学术界的关注，当时他的主攻方向是微分几何，在1956年中国制订科学发展规划时，谷超豪就是规划的参与制订者之一，当时他和数学界的一些学者联合提出数学领域要重点发展微分方程、概率论和计算数学.。
