现代微分几何.

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现代微分几何

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aaa
31
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E3中正交标架与矩阵对(a, A) 一一对应, E3 中全体正交标架的集合可与 E3 × SO(3) 等同起来,这是
一个 6 维的空间.
它表示中刚体运动 (x, y, z) = a + (x′, y′, z′)A
E3
,
(x′, y′, z′) = a + (x, y, z) A
3! 1
2 3! 2
3! 3
κ3
x y
=
s− κ
s 0 2
s 0 3 3!
κɺ +0
+ s3
o(s3 ) + o(s3
)
z
2! 3!
κτ 0 0 s2 + o(s3 )
3!
为r = r(s) 在 s = 0 处的标准展开式。
二．曲面论正则 2 参数曲面 r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) 曲纹网上曲面片为正则的
(3) a(t) 与确定方向垂直 ⇔ (a,a′,a′′) = 0 (证明见陈维桓)
一.曲线论 E3 中正则曲线 C 的方程为: r = r(t) a ≤ t ≤ b
1
∫ s = b r′(t) dt a
是曲线的不变量,它与坐标系选取无关,也与曲线保持定向的容许参数变换无关.
ds = r′(t) dt
1
κ
2
+[1 τ
d ds
( 1 )]2 κ
=
const
曲率、挠率均为常数的曲线必为螺旋线。κ = a τ = b
a2 + b2

微分几何课件

3、向量函数 r (t )的微商 r (t )仍为 t 的一个向量函数，如果函数 r (t ) 也是连续和可微的，则 r (t )的微商r (t ) 称为 r (t )的二阶微商。
( n) 类似可定义三阶、四阶微商。如r (t ), r (t ).
4、在区间 [t1,t2]上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次
微分几何
第一节
向量函数
向量函数的概念：给出一点集 G ，如果对于G 中的每一个点 x ，有一个确定的向量 r 和它对应，则说在 G上给定了一个向量函数，记作 r r ( x), x G, 例如设G是实数轴上一区间 [t0 , t ] ，则得一元向量函数 r r (t ). 设G是一平面域， (u, v) G，则得二元向量函数 r r (u, v). ( x, y, z ) G，得三元向量函数 r r ( x, y, z) 设G是空间一区域， 1、1 向量函数的极限
例书中的开圆和圆柱螺线。
z
3、曲线的参数方程
坐标式
M
x x(t ) y y (t ) z z (t )
at b
x
o
y
向量式 r (t ) x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3
例1、开圆弧
x a cos t y a sin t
t (0, 2 )
1、5 向量函数的积分
c b （1）当a<c<b时有 a r (t )dt a r (t )dt c r (t )dt b b （2）m 是常数时有 mr (t )dt m r (t )dt
a
b
a （3）如果 m 是常向量，则有

数学文化作业答案(全正确答案)

数学文化作业答案(全正确答案)1数学的研究对象是A、物质B、物质的运动C、自然界D、以上都不对 2一门学科，成功运用才能走向成熟。

D、数学 3研究对象不是物质或者物质运动形态的科学是C、数学4数学素养对于文科生并不重要正确答案：× 5通俗地说数学素养就是有条理地理性思维，周密地思考，求证，简洁，清晰，准确地表达。

正确答案：√ 6一个人不识字可以生活，不识数同样可以生活正确答案：× 7数学文化中的文化是指狭义的文化正确答案：× 8在我国数学文化最早是哪一年提出的？A、 9数学文化这个词最早出现于：B、 10数学文化这门课xx年被评为国家精品课程。

正确答案：×11“数学文化”中的文化是指广义文化。

正确答案：√ 12下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：B、提高数学能力 13以下不属于数学文化的侠义意思的是： A、数学思想B、数学精神C、数学方法D、数学教育 14数学是和其他的自然学科在同一个层次上的科学。

正确答案：× 15数学的研究可以用到不同的自然科学。

正确答案：√ 16对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。

正确答案：× 17数学文化的研究对象是人。

正确答案：√ 18大学生素质文化教育这个词是何时提出来的D、上世纪九十年代19何时首推建立32个“国家大学生素质文化教育基地”C、1999年 xx年 1数学素养不包括 A、从数学的角度看问题B、控制问题中的因素 C、有条理地理性思考D、解决问题时的逻辑能力 2数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的正确答案：√ 3数学训练能提高一个人的 A、推理能力B、抽象能力C、分析和创造能力D、以上都正确 4企业招考员工的题和数学推理往往有关正确答案：√ 5下面哪一项不是通过学习数学文化得到的？ A、了解思想B、引起兴趣C、学会方法D、解题方法 6数学素养的高低决定一个人工作的成效正确答案：√ 7数学不仅是一些知识还是一种素质。

微分几何(第一课)

在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
Manfredo P.do Carmo 1963年于加利福尼亚大学伯克利分校获得博士学位，目前就职于巴西国家数学与应用数学研究所(IMPA)。
后续书籍
本书系统地论述了微分几何的基本知识。全书共八章并两个附录。作者以较大的篇幅，即前三章和第六章介绍了流形、多重线性函数、向量场、外微分、李群和活动标架法等基本知识和工具。在有了上述宽广而坚实的基础之后，论述微分几何的核心问题，即联络、黎曼几何以及曲面论等。第七章复流形，既是当前十分活跃的研究领域，也是第一作者研究成果卓著的领域之一，包含有作者独到的见解和简捷的方法。第八章Finsler几何是本书第二版新增的一章，它是第一作者近来提倡的研究课题，其中Chefn联络具有突出的性质，使得黎曼几何成为Finsler几何的特殊情形。最后两个附录，介绍了大范围曲线论和曲面论，以及对微分几何与理论物理关系的论述，为这两个活跃的前沿领域提出了不少进一步的研究课题。此书可作为高等院校数学和理论物理等专业高年级、研究生选修课和研究生课教材，或学习参考书，也可供从事数学和物理等相关学科研究人员参考。

近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学分支和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。

数学文化作业答案(全正确答案)

1数学的研究对象是（）A、B、C、D、2一门学科，成功运用（）才能走向成熟。

D、3研究对象不是物质或者物质运动形态的科学是（）C、4数学素养对于文科生并不重要正确答案：×5通俗地说数学素养就是有条理地理性思维，周密地思考，求证，简洁，清晰，准确地表达。

正确答案：√6一个人不识字可以生活，不识数同样可以生活正确答案：×7数学文化中的文化是指狭义的文化正确答案：×8在我国数学文化最早是哪一年提出的？A、9数学文化这个词最早出现于：B、10数学文化这门课2002年被评为国家精品课程。

正确答案：×11“数学文化”中的文化是指广义文化。

正确答案：√12下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：B、13以下不属于数学文化的侠义意思的是：A、B、C、D、14数学是和其他的自然学科在同一个层次上的科学。

正确答案：×15数学的研究可以用到不同的自然科学。

正确答案：√16对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。

（）正确答案：×17数学文化的研究对象是人。

正确答案：√18大学生素质文化教育这个词是何时提出来的D、19何时首推建立32个“国家大学生素质文化教育基地”C、20数学文化一词在中国最早何时出现？A、1数学素养不包括（）A、B、C、D、2数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的正确答案：√3数学训练能提高一个人的A、B、C、D、4企业招考员工的题和数学推理往往有关正确答案：√5下面哪一项不是通过学习数学文化得到的？A、B、C、D、6数学素养的高低决定一个人工作的成效正确答案：√7数学不仅是一些知识还是一种素质（素养）。

正确答案：√8专业“数学素养”有几点？（）B、9以下不是开数学文化课的指导思想的的是：C、10用数学方法可以解决实际生活中的问题。

正确答案：√11数学文化是以浅显数学知识为载体，讲述数学的思想、精神、方法、观点的一门课程。

正确答案：√12目前社会并不重视数学素养。

现代微分之父

数学史里上程又碑一个
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荣耀的一生
• 印度数学会名誉会员（1950年） • 美国国家科学院院士（1961年）（吴健雄之后当选的第二位华裔院士） • 巴西科学院通信院士（1971年） • 第三世界科学院创始成员(1983年) • 英国皇家学会国外会员(1985年) • 意大利国家科学院外籍院士(1988年) • 法国科学院外籍院士(1989年) • 首批中国科学院外籍院士（1994年）
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工作阶段
担以任纯第粹年一数陈任学省所为身长主在的加数州学大研学究伯所克（利分校）筹，建 1981 MSRI • 美身光（替丼应国受远了家普科年聘为在。迁林年学退加美。。往斯初院休州留。美顿，推为大学国高中丼止学时。级央为。伯的正研研院在克导是的究究士利师陈教年所院分）省授夏所迁身职年校。的位，长往，教硕在奥台陈授士芝加本湾省，年导哥海，身直，师大默陈被到陈孙学之省接邀身省 • 了研长院陈究（一究，数省院批院主学身工。年青第持研回作，年一数究到，应拓届学所上为美扑院所正海研）国学士一式。究之数家。切成员邀学。此工立。，家后作，年到奥两。陈，普斯三他省南年林瓦年还身京抗斯尔中入任中战顿德，选代央胜高维他中理研利等布培央所究后研伦养， 1943 O Veblen 1946 1948 • 讲大校华授学内大微、迁学年分南至的夏几开云数离何大南学开。学昆教法合明授国组，。经的任过西由美南北年国联京，回合大因国大学抗，学、战受教清随聘为授华学清， 1937 1938 •

数学中的微分几何理论应用

数学中的微分几何理论应用微分几何是研究曲面和流形的一门分支学科，它是数学的中心领域之一，涉及到了微积分、拓扑学、代数学和数学物理等多个学科的知识。

微分几何的应用十分广泛，不仅在数学中有着重要的地位，而且在物理学、计算机科学和工程学等领域也有非常重要的应用。

微分几何理论在工程学领域的应用在工程学领域中，微分几何理论被广泛应用于计算机图形学、计算机视觉和机器人学等领域。

比如说，在计算机图形学中，通过微分几何理论的研究，可以设计出曲面的形状，使得它们具有更加逼真的外观和自然的触感。

在计算机视觉和图像处理领域，微分几何理论可以用于分析图像的形状和变换。

机器人技术中也广泛应用了微分几何理论。

例如，通过计算机模拟，可以使用微分几何理论分析机器人的运动学问题，从而为机器人的控制和编程提供更加有效的帮助。

此外，微分几何理论还可以用于机器人的路径规划和避障。

微分几何理论在物理学中的应用微分几何理论在物理学中应用广泛，最突出的应用是爱因斯坦的广义相对论。

广义相对论是描述宏观物质和引力作用的物理学理论，是相对论的重要分支。

在广义相对论中，爱因斯坦使用微分几何理论定义了四维时空中的弯曲，并用它来描述引力场的本质。

除了广义相对论，微分几何还在其他物理领域中得到了广泛的应用。

例如，在量子力学中，狄拉克方程（Dirac equation）利用了包括微分几何在内的多个数学领域的知识，来描述带电粒子的行为。

微分几何还在宇宙学、粒子物理学和黑洞研究中得到了广泛的应用。

微分几何理论在其他领域中的应用除了工程学和物理学领域之外，微分几何理论还在其他领域中得到了广泛的应用。

在自然语言处理和机器学习中，微分几何可以用于度量空间中的相似性和距离计算。

在量子场论中，微分几何被用于研究量子场的空间和时间依赖性。

在生物学和医学中，微分几何理论可以用于研究分子结构和生物分子的相互作用。

总结微分几何理论的应用涉及到了多个领域，代表着数学和其他学科的交叉应用。

微分几何学主要概念梳理

微分几何学主要概念梳理微分几何学是数学中的一个分支，主要研究曲线、曲面以及高维空间中的几何性质。

通过对曲线、曲面的切线、法线等几何属性进行分析和推导，微分几何学揭示了空间中各种物体的形状、运动以及它们之间的相互关系。

在本文中，我们将对微分几何学的主要概念进行梳理，以加深对该学科的理解。

一、曲线的参数化表示在微分几何学中，曲线是指在空间中沿某一路径延伸的对象。

为了方便对曲线进行研究和描述，常常使用参数方程的形式来表示曲线。

例如，对于二维平面上的曲线，可以使用参数 t 来表示曲线上不同点的位置，然后利用参数方程 x= f(t) 和 y= g(t) 来确定曲线上各点的坐标。

二、曲线的切线和法线在微分几何学中，切线和法线是曲线上两个重要的概念。

切线是曲线上某一点处的切线方向，它表示了曲线在该点的切向变化情况。

而法线则垂直于切线，与切线共同确定了曲线上点的切平面。

这两个概念在研究曲线的性质和变化时起着重要的作用。

三、曲率与曲率半径曲率是描述曲线弯曲程度的一个量，用来衡量曲线在某一点的弯曲程度。

它的定义是在曲线上取一点 P，然后找出通过该点附近的两个相邻点 A 和 B，计算这三个点构成的线段 AB 所对应的圆的曲率半径。

曲率半径越小，曲线的弯曲程度越大；曲率半径越大，曲线越趋向于直线。

四、曲面的参数化表示与曲线类似，曲面也可以使用参数方程来进行表示。

对于二维平面上的曲面，可以用参数 u 和 v 来确定曲面上不同点的位置，然后利用参数方程 x= f(u,v)、y= g(u,v) 和 z= h(u,v) 来确定曲面上各点的坐标。

五、曲面的切平面和法向量与曲线类似，曲面上的每一点都有一个切平面和法向量。

切平面是与曲面在该点处相切且与曲面平行的平面，它切割了曲面上的一个局部区域。

而法向量是垂直于切平面的向量，它指示了曲面在该点处的法向变化方向。

六、高斯曲率和平均曲率高斯曲率和平均曲率是曲面上的两个重要概念。

高斯曲率描述了曲面上某一点处曲率的内禀性质，它与曲面的弯曲程度相关。

数学文化作业答案(全正确答案)

1数学的研究对象是（）A、物质B、物质的运动C、自然界D、以上都不对2一门学科，成功运用（）才能走向成熟。

D、数学3研究对象不是物质或者物质运动形态的科学是（）C、数学4数学素养对于文科生并不重要正确答案：×5通俗地说数学素养就是有条理地理性思维，周密地思考，求证，简洁，清晰，准确地表达。

正确答案：√6一个人不识字可以生活，不识数同样可以生活正确答案：×7数学文化中的文化是指狭义的文化正确答案：×8在我国数学文化最早是哪一年提出的？A、1990.09数学文化这个词最早出现于：B、1990.010数学文化这门课2002年被评为国家精品课程。

正确答案：×11“数学文化”中的文化是指广义文化。

正确答案：√12下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：B、提高数学能力13以下不属于数学文化的侠义意思的是：A、数学思想B、数学精神C、数学方法D、数学教育14数学是和其他的自然学科在同一个层次上的科学。

正确答案：×15数学的研究可以用到不同的自然科学。

正确答案：√16对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。

（）正确答案：×17数学文化的研究对象是人。

正确答案：√18大学生素质文化教育这个词是何时提出来的D、上世纪九十年代19何时首推建立32个“国家大学生素质文化教育基地”C、1999年20数学文化一词在中国最早何时出现？A、1990年1数学素养不包括（）A、从数学的角度看问题B、控制问题中的因素C、有条理地理性思考D、解决问题时的逻辑能力2数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的正确答案：√3数学训练能提高一个人的A、推理能力B、抽象能力C、分析和创造能力D、以上都正确4企业招考员工的题和数学推理往往有关正确答案：√5下面哪一项不是通过学习数学文化得到的？A、了解思想B、引起兴趣C、学会方法D、解题方法6数学素养的高低决定一个人工作的成效正确答案：√7数学不仅是一些知识还是一种素质（素养）。

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现代微分几何
大纲号：11040201学分：3 学时：48 执笔人：谭康海，孙和军审订人：赵培标
课程性质：专业基础课
一、课程的地位与作用
现代微分几何是以数学分析为主要工具研究空间形式的一门学科，是几何学的一个分支，也是应用性很强的一门数学专业课；它在科学技术的许多领域中有着日趋广泛的渗透和应用。

二、课程的教学目标与基本要求
1．教学目标
通过本课程的学习使学生为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础，并培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。

2．基本要求
（1）掌握经典微分几何的基本内容：Frenet标架建立的方法及其中有关向量的关系；掌握空间曲线研究的基本内容；理解曲面的概念及其参数表示，掌握曲面研究的基本内容；）理解曲面上的测地曲率和测地线的概念，掌握测地曲率的计算公式和测地线的方程。

（2）掌握现代微分几何的基本问题：流形上的微积分。

现代微分几何.

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