现代微分几何.

123
12
3
21
22
23
123
aaa
31
32
33
E3中正交标架与矩阵对(a, A) 一一对应, E3 中全体正交标架的集合可与 E3 × SO(3) 等同起来,这是
一个 6 维的空间.
它表示 中刚体运动 (x, y, z) = a + (x′, y′, z′)A
E3
,
(x′, y′, z′) = a + (x, y, z) A
3! 1
2 3! 2
3! 3
κ3
x y
=
s− κ
s 0 2
s 0 3 3!
κɺ +0
+ s3
o(s3 ) + o(s3
)
z
2! 3!
κτ 0 0 s2 + o(s3 )
3!
为r = r(s) 在 s = 0 处的标准展开式。
二．曲面论 正则 2 参数曲面 r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) 曲纹网上曲面片为正则的
(3) a(t) 与确定方向垂直 ⇔ (a,a′,a′′) = 0 (证明见陈维桓)
一.曲线论 E3 中正则曲线 C 的方程为: r = r(t) a ≤ t ≤ b
1
∫ s = b r′(t) dt a
是曲线的不变量,它与坐标系选取无关,也与曲线保持定向的容许参数变换无关.
ds = r′(t) dt
1
κ
2
+[1 τ
d ds
( 1 )]2 κ
=
const
曲率、挠率均为常数的曲线必为螺旋线。κ = a τ = b
a2 + b2

3、向量函数 r (t )的微商 r (t )仍为 t 的一个向量函数，如果函数 r (t ) 也是连续和可微的，则 r (t )的微商r (t ) 称为 r (t )的二阶微商。
( n) 类似可定义三阶、四阶微商。如r (t ), r (t ).
4、在区间 [t1,t2]上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次
微分几何
第一节
向量函数
向量函数的概念：给出一点集 G ，如果对于G 中的每一个 点 x ，有一 个确定的向量 r 和它对应，则说在 G上给定了一个向 量函数，记作 r r ( x), x G, 例如 设G是实数轴上一区间 [t0 , t ] ，则得一元向量函数 r r (t ). 设G是一平面域， (u, v) G，则得二元向量函数 r r (u, v). ( x, y, z ) G，得三元向量函数 r r ( x, y, z) 设G是空间一区域， 1、1 向量函数的极限
例书中的开圆和圆柱螺线。
z
3、曲线的参数方程
坐标式
M
x x(t ) y y (t ) z z (t )
at b
x
o
y
向量式 r (t ) x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3
例1、 开圆弧
x a cos t y a sin t
t (0, 2 )
1、5 向量函数的积分
c b （1）当a<c<b时有 a r (t )dt a r (t )dt c r (t )dt b b （2）m 是常数时有 mr (t )dt m r (t )dt
a
b
a （3）如果 m 是常向量，则有

数学文化作业答案(全正确答案)1数学的研究对象是A、物质B、物质的运动C、自然界D、以上都不对 2一门学科，成功运用才能走向成熟。

D、数学 3研究对象不是物质或者物质运动形态的科学是C、数学4数学素养对于文科生并不重要正确答案：× 5通俗地说数学素养就是有条理地理性思维，周密地思考，求证，简洁，清晰，准确地表达。

正确答案：√ 6一个人不识字可以生活，不识数同样可以生活正确答案：× 7数学文化中的文化是指狭义的文化正确答案：× 8在我国数学文化最早是哪一年提出的？A、 9数学文化这个词最早出现于：B、 10数学文化这门课xx年被评为国家精品课程。

正确答案：×11“数学文化”中的文化是指广义文化。

正确答案：√ 12下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：B、提高数学能力 13以下不属于数学文化的侠义意思的是： A、数学思想B、数学精神C、数学方法D、数学教育 14数学是和其他的自然学科在同一个层次上的科学。

正确答案：× 15数学的研究可以用到不同的自然科学。

正确答案：√ 16对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。

正确答案：× 17数学文化的研究对象是人。

正确答案：√ 18大学生素质文化教育这个词是何时提出来的D、上世纪九十年代19何时首推建立32个“国家大学生素质文化教育基地”C、1999年 xx年 1数学素养不包括 A、从数学的角度看问题B、控制问题中的因素 C、有条理地理性思考D、解决问题时的逻辑能力 2数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的正确答案：√ 3数学训练能提高一个人的 A、推理能力B、抽象能力C、分析和创造能力D、以上都正确 4企业招考员工的题和数学推理往往有关正确答案：√ 5下面哪一项不是通过学习数学文化得到的？ A、了解思想B、引起兴趣C、学会方法D、解题方法 6数学素养的高低决定一个人工作的成效正确答案：√ 7数学不仅是一些知识还是一种素质。

在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域 的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意 曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换 把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。
Manfredo P.do Carmo 1963年于加利福尼亚 大学伯克利分校获得博士学位，目前就职于 巴西国家数学与应用数学研究所(IMPA)。
后续书籍
本书系统地论述了微分几何的基本知识。全书共八章 并两个附录。作者以较大的篇幅，即前三章和第六章 介绍了流形、多重线性函数、向量场、外微分、李群 和活动标架法等基本知识和工具。在有了上述宽广而 坚实的基础之后，论述微分几何的核心问题，即联络、 黎曼几何以及曲面论等。第七章复流形，既是当前十 分活跃的研究领域，也是第一作者研究成果卓著的领 域之一，包含有作者独到的见解和简捷的方法。第八 章Finsler几何是本书第二版新增的一章，它是第一作 者近来提倡的研究课题，其中Chefn联络具有突出的 性质，使得黎曼几何成为Finsler几何的特殊情形。最 后两个附录，介绍了大范围曲线论和曲面论，以及对 微分几何与理论物理关系的论述，为这两个活跃的前 沿领域提出了不少进一步的研究课题。 此书可作为高等院校数学和理论物理等专业高年级、 研究生选修课和研究生课教材，或学习参考书，也可 供从事数学和物理等相关学科研究人员参考。


近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲 面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、 拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系， 这些数学分支和微分几何互相渗透，已成为现 代数学的中心问题之一。

微分几何(第三版)梅向明黄敬之编[1]第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数«Skip Record If...»具有固定方向的充要条件是«Skip Record If...»× «Skip Record If...»= «Skip Record If...»。

分析：一个向量函数«Skip Record If...»一般可以写成«Skip Record If...»=«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»的形式，其中«Skip Record If...»为单位向量函数，«Skip Record If...»为数量函数，那么«Skip Record If...»具有固定方向的充要条件是«Skip Record If...»具有固定方向，即«Skip Record If...»为常向量，（因为«Skip Record If...»的长度固定）。

证对于向量函数«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»为其单位向量，则«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»具有固定方向，则«Skip Record If...»为常向量，那么«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»×«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»×«Skip Record If...»）=«Skip Record If...»。

1数学的研究对象是（）A、B、C、D、2一门学科，成功运用（）才能走向成熟。

D、3研究对象不是物质或者物质运动形态的科学是（）C、4数学素养对于文科生并不重要正确答案：×5通俗地说数学素养就是有条理地理性思维，周密地思考，求证，简洁，清晰，准确地表达。

正确答案：√6一个人不识字可以生活，不识数同样可以生活正确答案：×7数学文化中的文化是指狭义的文化正确答案：×8在我国数学文化最早是哪一年提出的？A、9数学文化这个词最早出现于：B、10数学文化这门课2002年被评为国家精品课程。

正确答案：×11“数学文化”中的文化是指广义文化。

正确答案：√12下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：B、13以下不属于数学文化的侠义意思的是：A、B、C、D、14数学是和其他的自然学科在同一个层次上的科学。

正确答案：×15数学的研究可以用到不同的自然科学。

正确答案：√16对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。

（）正确答案：×17数学文化的研究对象是人。

正确答案：√18大学生素质文化教育这个词是何时提出来的D、19何时首推建立32个“国家大学生素质文化教育基地”C、20数学文化一词在中国最早何时出现？A、1数学素养不包括（）A、B、C、D、2数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的正确答案：√3数学训练能提高一个人的A、B、C、D、4企业招考员工的题和数学推理往往有关正确答案：√5下面哪一项不是通过学习数学文化得到的？A、B、C、D、6数学素养的高低决定一个人工作的成效正确答案：√7数学不仅是一些知识还是一种素质（素养）。

正确答案：√8专业“数学素养”有几点？（）B、9以下不是开数学文化课的指导思想的的是：C、10用数学方法可以解决实际生活中的问题。

正确答案：√11数学文化是以浅显数学知识为载体，讲述数学的思想、精神、方法、观点的一门课程。

正确答案：√12目前社会并不重视数学素养。

数 学 史 里上 程又 碑 一 个
• ·
• · -
•
•
•
•
•
荣耀的一生
• 印度数学会名誉会员（1950年） • 美国国家科学院院士（1961年）（吴 健雄之后当选的第二位华裔院士） • 巴西科学院通信院士（1971年） • 第三世界科学院创始成员(1983年) • 英国皇家学会国外会员(1985年) • 意大利国家科学院外籍院士(1988年) • 法国科学院外籍院士(1989年) • 首批中国科学院外籍院士（1994年）
•
•
工作阶段
担以 任纯 第粹年 一数陈 任学省 所为身 长主在 的加 数州 学大 研学 究伯 所克 （利 分 校 ）筹 ，建 1981 MSRI • 美 身光（替丼应 国 受远 了家普 科 年 聘为 在 。 迁 林 年 学退加美。。往斯初 院休州留 。美顿， 推为大学 国高中 丼止学时 。级央 为。伯的正 研研 院在克导是的 究究 士 利师陈教年所院 分）省授夏所迁 身职 年校。的位，长往 ，教 硕 在奥台 陈 授 士 芝加 本 湾 省，年导 哥海， 身直，师 大默陈 被到陈孙 学之省 接邀身 省 • 了研长院陈究（ 一究，数省院 批院主学身工。年 青第持研回作 ， 年一数究到， 应 拓届学所上为 美 扑院所正海研）国 学士一式。究之数 家。切成 员邀学 。此工立 。，家 后作，年 到奥 两。陈， 普斯 三他省南年林瓦 年还身京抗斯尔 中入任中战顿德 ，选代央胜高维 他中理研利等布 培央所究后研伦 养 ， 1943 O Veblen 1946 1948 • 讲大校华 授学内大 微、迁学年 分南至的夏 几开云数离 何大南学开 。学昆教法 合明授国 组，。经 的任 过 西由 美 南北年国 联京，回 合大因国 大学抗， 学、战受 教 清 随 聘为 授华学清 ， 1937 1938 •

数学中的微分几何理论应用微分几何是研究曲面和流形的一门分支学科，它是数学的中心领域之一，涉及到了微积分、拓扑学、代数学和数学物理等多个学科的知识。

微分几何的应用十分广泛，不仅在数学中有着重要的地位，而且在物理学、计算机科学和工程学等领域也有非常重要的应用。

微分几何理论在工程学领域的应用在工程学领域中，微分几何理论被广泛应用于计算机图形学、计算机视觉和机器人学等领域。

比如说，在计算机图形学中，通过微分几何理论的研究，可以设计出曲面的形状，使得它们具有更加逼真的外观和自然的触感。

在计算机视觉和图像处理领域，微分几何理论可以用于分析图像的形状和变换。

机器人技术中也广泛应用了微分几何理论。

例如，通过计算机模拟，可以使用微分几何理论分析机器人的运动学问题，从而为机器人的控制和编程提供更加有效的帮助。

此外，微分几何理论还可以用于机器人的路径规划和避障。

微分几何理论在物理学中的应用微分几何理论在物理学中应用广泛，最突出的应用是爱因斯坦的广义相对论。

广义相对论是描述宏观物质和引力作用的物理学理论，是相对论的重要分支。

在广义相对论中，爱因斯坦使用微分几何理论定义了四维时空中的弯曲，并用它来描述引力场的本质。

除了广义相对论，微分几何还在其他物理领域中得到了广泛的应用。

例如，在量子力学中，狄拉克方程（Dirac equation）利用了包括微分几何在内的多个数学领域的知识，来描述带电粒子的行为。

微分几何还在宇宙学、粒子物理学和黑洞研究中得到了广泛的应用。

微分几何理论在其他领域中的应用除了工程学和物理学领域之外，微分几何理论还在其他领域中得到了广泛的应用。

在自然语言处理和机器学习中，微分几何可以用于度量空间中的相似性和距离计算。

在量子场论中，微分几何被用于研究量子场的空间和时间依赖性。

在生物学和医学中，微分几何理论可以用于研究分子结构和生物分子的相互作用。

总结微分几何理论的应用涉及到了多个领域，代表着数学和其他学科的交叉应用。

微分几何学主要概念梳理微分几何学是数学中的一个分支，主要研究曲线、曲面以及高维空间中的几何性质。

通过对曲线、曲面的切线、法线等几何属性进行分析和推导，微分几何学揭示了空间中各种物体的形状、运动以及它们之间的相互关系。

在本文中，我们将对微分几何学的主要概念进行梳理，以加深对该学科的理解。

一、曲线的参数化表示在微分几何学中，曲线是指在空间中沿某一路径延伸的对象。

为了方便对曲线进行研究和描述，常常使用参数方程的形式来表示曲线。

例如，对于二维平面上的曲线，可以使用参数 t 来表示曲线上不同点的位置，然后利用参数方程 x= f(t) 和 y= g(t) 来确定曲线上各点的坐标。

二、曲线的切线和法线在微分几何学中，切线和法线是曲线上两个重要的概念。

切线是曲线上某一点处的切线方向，它表示了曲线在该点的切向变化情况。

而法线则垂直于切线，与切线共同确定了曲线上点的切平面。

这两个概念在研究曲线的性质和变化时起着重要的作用。

三、曲率与曲率半径曲率是描述曲线弯曲程度的一个量，用来衡量曲线在某一点的弯曲程度。

它的定义是在曲线上取一点 P，然后找出通过该点附近的两个相邻点 A 和 B，计算这三个点构成的线段 AB 所对应的圆的曲率半径。

曲率半径越小，曲线的弯曲程度越大；曲率半径越大，曲线越趋向于直线。

四、曲面的参数化表示与曲线类似，曲面也可以使用参数方程来进行表示。

对于二维平面上的曲面，可以用参数 u 和 v 来确定曲面上不同点的位置，然后利用参数方程 x= f(u,v)、y= g(u,v) 和 z= h(u,v) 来确定曲面上各点的坐标。

五、曲面的切平面和法向量与曲线类似，曲面上的每一点都有一个切平面和法向量。

切平面是与曲面在该点处相切且与曲面平行的平面，它切割了曲面上的一个局部区域。

而法向量是垂直于切平面的向量，它指示了曲面在该点处的法向变化方向。

六、高斯曲率和平均曲率高斯曲率和平均曲率是曲面上的两个重要概念。

高斯曲率描述了曲面上某一点处曲率的内禀性质，它与曲面的弯曲程度相关。

1数学的研究对象是（）A、物质B、物质的运动C、自然界D、以上都不对2一门学科，成功运用（）才能走向成熟。

D、数学3研究对象不是物质或者物质运动形态的科学是（）C、数学4数学素养对于文科生并不重要正确答案：×5通俗地说数学素养就是有条理地理性思维，周密地思考，求证，简洁，清晰，准确地表达。

正确答案：√6一个人不识字可以生活，不识数同样可以生活正确答案：×7数学文化中的文化是指狭义的文化正确答案：×8在我国数学文化最早是哪一年提出的？A、1990.09数学文化这个词最早出现于：B、1990.010数学文化这门课2002年被评为国家精品课程。

正确答案：×11“数学文化”中的文化是指广义文化。

正确答案：√12下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：B、提高数学能力13以下不属于数学文化的侠义意思的是：A、数学思想B、数学精神C、数学方法D、数学教育14数学是和其他的自然学科在同一个层次上的科学。

正确答案：×15数学的研究可以用到不同的自然科学。

正确答案：√16对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。

（）正确答案：×17数学文化的研究对象是人。

正确答案：√18大学生素质文化教育这个词是何时提出来的D、上世纪九十年代19何时首推建立32个“国家大学生素质文化教育基地”C、1999年20数学文化一词在中国最早何时出现？A、1990年1数学素养不包括（）A、从数学的角度看问题B、控制问题中的因素C、有条理地理性思考D、解决问题时的逻辑能力2数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的正确答案：√3数学训练能提高一个人的A、推理能力B、抽象能力C、分析和创造能力D、以上都正确4企业招考员工的题和数学推理往往有关正确答案：√5下面哪一项不是通过学习数学文化得到的？A、了解思想B、引起兴趣C、学会方法D、解题方法6数学素养的高低决定一个人工作的成效正确答案：√7数学不仅是一些知识还是一种素质（素养）。

在现代物理（从量子力学到量子场论与量子统计）中。物理 体系整体大范围性质愈演愈突出，局域性质也往往与整体性 质有关，受整体性质的约束，近年来。量子场论由定域局部 微扰向整体大范围非线性深入发展，使得微分几何这一数学 武器愈来愈重要。微分几何中联络、曲率、示性类等概念渗 透到现代理论物理的各方面，而不是只限于引力理论，电磁 规范理论、及其推广Yang-Mills 场论。现代物理学家需要 利用微分几何，尤其是大范围微分几何的成就来推动物理学 的发展，大范围微分几何中一些成就，例如Atiyah-Singer 指标定理，将场论的解析性质与场位型的拓扑性质联系起来， 在现代量子场论与量子统计中得到重要应用，各方面各种物 理模型，例如超对称场论模型也验证了Atiyah-Singer指标 定理的正确性。这些都说明现代物理学与现代微分几何学的 紧密关系。
微分几何
一、教学要求
48学时，共3学分，教学周2~13周，15周考 试。 成绩认定：平时成绩50%，期末试卷50%。 期末考试，闭卷，考核基本知识和基本技能 90%~95%，其他10%~5%。
考勤占总评成绩的3%即3分：签 名考勤表，要与班上学委或信息 员记载信息一致或者测验时，收 作业时，或者点名时候都可以作 为考勤记录； 作业等占总评成绩24%，即24分:: 合计10节,少1节扣2分. 作业：抄袭、字迹不清楚、题量 没有按规定去完成酌情扣分。对 于题目做的正确还是错误属于正 常现象不扣分。
微分形式（现称为黎曼测度）是加到流形上去的一个结 构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼测度。 Riemann意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与外 加的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作 出了杰出的贡献。其后，Levi-Civita等人进一步丰富 了经典的黎曼几何。 二十世纪二、三十年代E.Cartan开创并发展了 外微分形式与活动标架法，建立起李群与微分几何之间 的联系，从而为微分几何的发展奠定了重要基础且开辟 了广阔的园地，影响极为深远。 从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维 从理论的发展过程可以看到，除了微分几何本身研究中 所产生的研究问题外，其他数学学科及物理学、力学等 也推动了微分几何的发展。我们特别在这里强调一下理 论物理与微分几何的相互影响，黎曼几何与广义相对论 的

微分几何主要习题解答第一章 曲线论 §2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r=0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e×'e=0，而（e×'e2)=22'e e --(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。

所以，)(t r具有固定方向。

6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n= 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

几何拓扑学近代微分几何一.微分几何在20世纪之前的状况在20世纪前，微分几何基本上是研究流形的局部性质，这是因为微分几何是以微分作为主要的工具而发展起来的，因此它的研究多为小范围的。

在18、19世纪，微分几何主要的研究对象是三维空间中的光滑曲面。

为了刻画曲面的几何形状和弯曲程度，数学家们引入了曲率的概念，其中就包括了曲面的法曲率、高斯曲率和测地曲率等各种曲率。

在19世纪初，Gauss（高斯）证明了“高斯曲率仅与曲面的内在度量有关”这一十分重要的内蕴几何定理。

曲面上每一点处的高斯曲率是两个主曲率（即在该点处最大和最小的法曲率）的乘积，而这个定理表明：虽然主曲率不是内蕴的几何量（依赖于曲面在三维空间中的嵌入方式），但是它们的乘积却可以仅仅用曲面内在的度量来确定。

在大学微分几何课程里，这个定理被称为“绝妙的定理”，它是后来Riemann（黎曼）创立高维的黎曼几何的思想基础。

Riemann（黎曼）在他著名的1854年的就职演讲中，提出了高维的黎曼流形的惊人思想，这种高维的微分流形完全独立于外在的几何空间而存在，并且局部又类似于欧氏空间（这就像光滑的曲面在局部很小邻域内的形状类似于切平面一样）。

用今天的微分几何语言来表达，在Riemann（黎曼）所定义的黎曼流形上，是微分流形，而是给定的黎曼度量，如果是上的任意一点，那么就是在点处切空间上的对称正定的双线性形式（也就是内积），并且映射是可微的。

黎曼度量的主要作用是计算上的切向量的长度和交角、以及其他的各种几何量和测地线方程。

黎曼几何就是黎曼流形的几何学，它是对Gauss（高斯）曲面论的一般性推广，而高斯曲率的进一步抽象化则是著名的黎曼曲率张量，这个张量可以用来刻画黎曼流形内在几何性质，特别是的“弯曲”形状。

在19世纪的后期和20世纪初，以Christoffel（克里斯托费尔）、Levi-Civita（列维-齐维塔）和Ricci（里奇）为代表的一些数学家为了深入解读Riemann（黎曼）深刻的几何思想，提出了一整套张量分析的方法，其中就包含了张量的协变导数的基本概念，它是微积分中偏导数概念的自然推广。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r=}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。

§4.直纹面和可展曲面1. 证明曲面r =}32,2,31{2432v u u uv u v u 是可展曲面.证法一： 已知曲面方程可改写为r =},2,{432u u u +v }32,,31{2u u ，令()a u r =},2,{432u u u ，()b u r =}32,,31{2u u ，则r =()a u r + v ()b u r ，且()b u r 0，这是直纹面的方程 ，它满足(',,')a b b r r r =23226412334013u u u u u u =0 ,所以所给曲面为可展曲面。

证法二：证明曲面的高斯曲率为零。

（略）2。

证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

证法一： 曲面的方程可改写为 r =()a v r + u ()b v r ，其中()a v r ={cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v}，()b v r ={-sinv, cosv,1} ，易见()b v r0，所以曲面为直纹面，又因为(',,')a b b r rr =2sin cos 2cos sin 2sin cos 1cos sin 0v v v v v v v v vv=0，所以所给曲面为可展曲面。

证法二：证明曲面的高斯曲率为零。

（略）3．证明正螺面r={vcosu,vsinu,au+b}(a0)不是可展曲面。

证法一：原曲面的方程可改写为r =()a u r+ v ()b u r ，其中()a u r={0,0,au+b},()b u r ={cosu,sinu,0}.易见()b u r0, 所以曲面为直纹面,又因为(',,')a b b r r r=00cos sin 0sin cos 0au u u u =a 0.故正螺面不是可展曲面。

证法二：证明曲面的高斯曲率为零。

,
汇报人：
01
02
03
04
05
06
微分几何是研究光滑曲线和曲面的 学科
微分几何的基本概念包括：切向量、 曲率、测地线等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
主要研究对象是光滑曲线和曲面的 局部性质
微分几何在物理学、工程学、计算 机科学等领域有广泛应用
微分几何主要研究光滑曲线和曲面的性质 微分几何的研究对象包括曲线、曲面、流形等 微分几何的研究对象还包括曲线和曲面上的向量场、联络等 微分几何的研究对象还包括曲线和曲面上的微分方程和积分等
如向量场、流形等。
切线定理在微分几何中有广泛 的应用，如曲面的切线场、曲
面的曲率等。
切面定理是微分几何的基本定理之一，描述了曲面与切面的关系。
切面定理指出，曲面上的每一点都有一个唯一的切面与之对应。
切面定理在微分几何中具有重要的应用，如曲面的局部参数化、曲面的微分几何性质等。
切面定理是微分几何中研究曲面的一个重要工具，对于理解曲面的性质和几何结构具有 重要意义。
面的变化量
微分几何在计算 机图形学中的应 用：模拟曲线和 曲面的变化量， 实现三维建模和
动画制作
微分几何在数 学分析中的应 用：研究曲线 和曲面的变化 量，解决数学
问题
曲面积分：对曲面上的函数进 行积分，得到曲面上的积分值
曲线积分：对曲线上的函数进 行积分，得到曲线上的积分值
曲线积分分为第一类曲线积 分和第二类曲线积分
物理中的应用：如计算流体力学中 的流量、压力等
计算机图形学中的应用：如计算曲 面的曲率、法线等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
工程中的应用：如计算结构力学中 的应力、应变等

1数学的研究对象是（）A、物质B、物质的运动C、自然界D、以上都不对2一门学科，成功运用（）才能走向成熟。

D、数学3研究对象不是物质或者物质运动形态的科学是（）C、数学4数学素养对于文科生并不重要正确答案：×5通俗地说数学素养就是有条理地理性思维，周密地思考，求证，简洁，清晰，准确地表达。

正确答案：√6一个人不识字可以生活，不识数同样可以生活正确答案：×7数学文化中的文化是指狭义的文化正确答案：×8在我国数学文化最早是哪一年提出的？A、1990.09数学文化这个词最早出现于：B、1990.010数学文化这门课2002年被评为国家精品课程。

正确答案：×11“数学文化”中的文化是指广义文化。

正确答案：√12下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：B、提高数学能力13以下不属于数学文化的侠义意思的是：A、数学思想B、数学精神C、数学方法D、数学教育14数学是和其他的自然学科在同一个层次上的科学。

正确答案：×15数学的研究可以用到不同的自然科学。

正确答案：√16对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。

（）正确答案：×17数学文化的研究对象是人。

正确答案：√18大学生素质文化教育这个词是何时提出来的D、上世纪九十年代19何时首推建立32个“国家大学生素质文化教育基地”C、1999年20数学文化一词在中国最早何时出现？A、1990年1数学素养不包括（）A、从数学的角度看问题B、控制问题中的因素C、有条理地理性思考D、解决问题时的逻辑能力2数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的正确答案：√3数学训练能提高一个人的A、推理能力B、抽象能力C、分析和创造能力D、以上都正确4企业招考员工的题和数学推理往往有关正确答案：√5下面哪一项不是通过学习数学文化得到的？A、了解思想B、引起兴趣C、学会方法D、解题方法6数学素养的高低决定一个人工作的成效正确答案：√7数学不仅是一些知识还是一种素质（素养）。