第二章 电阻率法基本理论

在理论研究中，根据问题的需要，常将拉普拉斯 方程转换成不同坐标系中的表达式。最常用的有： 在直角坐标系（x，y，z）中
2U x 2 2U y 2 2U z 2 0
（1.2.11）
在圆柱坐标系（r，，z）中
2U r 2 1 U 1 2U 2U 2 0 r r r 2 z 2
二、地表两个异性点 电流源的地中电流场
如图1.2.4所示，点电源A和B相 距2L，分别以+I和I向地下供电， 根据电场的迭加原理，由 （1.2.18）式便可写出A、B两电 极在M点形成的电位：
U
1 1 ( ) 2 AM BM
图1.2.4（a）表示在地面A、B连 线上电位及电场强度的变化曲线。 可见，越靠近电极，电位变化越快。 即在A电极附近电位迅速增高，在 B电极附近电位迅速降低，而在AB 1 1


（二）第二类边界条件
1 U jn 0 1 n

即在地面上（除A点外）电流密度法向分量等于零。 如果不为零,则电流就要流入空气。
（三）第三类边界条件（界面两边 为有限值时） 1.电位连续 U1=U2 2.电流密度法向分量连续
1 U1 1 U 2 j1n j2 n 或 1 n 2 n
U C 2 R R
C U C1 R
所以积分两次则得
C U C1 R
(12.14)
C、C1均为积分常数。当 R 时，U=0，故
C1应等于零。由于电流强度为I，故
另一方面，
U 1 C j E ( ) ( 2 ) R R I C 因此， 4 1 1
E U
1 U 0
（1.2.8）
将（1.2.8）和（1.2.2）式代入（1.2.5）式，便可得到 （1.2.9）
在电阻率均匀的介质中，ρ 为常数，上式变为
2U 0
（1.2.10）
上式称为拉普拉斯方程。也就是说，在均匀介质中， 稳定电流场的位满足拉普拉斯方程。
I j 2 4 R
将C1、C值代入（1.2.14）式，则有
I 1 U 4 R
以上就是均匀、各向同性无限介质中， 点源电场的电位分布公式。
（一）点电流源在地表 设地面为无限大平面，地下充满均匀、各向同性的 导电介质，当点电流源A在地表向地下供入电流I时， 地中电流线的分布便以A为中心向周围呈辐射状， 如图1.2.2所示。图1.2.2 地面上一个点电源的电场。 为了求距A为R的M点之电位，可用均匀无限介质中 点源电场的拉普拉斯方程解。另外，注意到半无限 介质中，电流密度应较无限介质中大一倍，则有
h 2 的两点为电位曲线
的拐点位置。不难想像，在地面上等位线是以 O 点为圆 心的同心圆簇。如果相邻等位线间的电位差相等，则等 位线在拐点附近密集而在 O 点附近和远处渐稀。
在x=0处，电场强度等于零。两侧的电场强
度E曲线以O点反对称，这是电流自O点向两 侧流出造成的。在电位曲线的拐点处，电场 强度出现极值。在x=0和 3 h 的地方，E有 2 三个拐点。电流密度的分布规律与电场强度 完全相同，两者只在量值上差一个系数 。
1.2.1 一、
稳定电流场
稳定电流场的基本定律
导电介质中的稳定电流场遵守欧姆定律及克希霍夫定律等基本 定律。这些定律又分为积分形式和微分形式。电法勘探中，由于 电流呈不规则三度分布，故必须应用这些定律的微分形式。 1． 欧 姆 定 律 一段均匀导体上的电流强度 I 与这段导体两端的电位差Δ U 成正 比，而与其电阻成反比，即

I j 2 2 R
从而可得
因此M点电位及电场强度分别 为：
1 C 2
1 I 1 E 2 R2
图1.2.2 地面上一个点电源的电场
1I 1 U 2 R
可见，地中点源电流场的电位、 电流密度和电场强度均与供电 电流强度I成正比，而U与R成 反比，E及j与R的平方成反比。
（二）点电流源在地下
第二章 电阻率法基本理论

在地球表面，除了存在大地电场和自然电场外， 我们还可以通过电极向地下供直流电以建立稳定电 场，然后测量电极附近的电场分布。由于此电场与 地下介质的性质及分布有关，因而可以据此研究地 下介质的分布状态及变化规律，这类方法称为直流 电法。直流电法中以岩、矿石电阻率差异为基础， 通过研究稳定电场在地下半空间的分布规律来寻找 矿产或解决其它地质问题的方法，称为电阻率法。 本章将讨论稳定电流场的基本规律和点电流源电场 以及电场的正演模拟方法等。
3.电场强度切向分量连续
E1t E2t
或
U1 U 2 或 t t
2
j1t 1 j t 2
电流密度在分界面上的变化，见图1.2.1。
图1.2.1 分界面上电流密度折向图
§ 2.2均匀介质中的点电流源电场
在直流电法工作中，为建立地下电场，总是需要两 个接地的电极A和B，电流从A极输入地下，又通过 B极从地下流出，形成闭合电路。这两个电极称为 供电电极。当两电极的大小比它们与观测点的距离 小得多时，可以把这两个电极看成两个“点”，所 以它们被称为点电源。 如果我们着眼于研究某一个电极周围的电场，可将 另一个电极置于很远，以至在研究范围内其影响可 忽略不计的地方，这个距离在数学上称为无穷远， 这时我们研究范围内的电场就是一个点电源的电场。
一、一个点电流源的地中电流场
假设在电阻率为的均匀各向同性的无限介质
中， 所谓均匀各向同性是指电阻率在介质中均匀 分布，且其导电性与空间方向无关，即电阻 率在介质中处处相等。有一点电流源A，其 电流强度为I，求距离A点为R处M点的电位公 式。此问题具有球形对称性，故选用球坐标， 把原点置于A点。由于任一点的电位与方位 角 和极角 无关，
三、地下电流随深度的分布规律

研究地下电流随深度的分布规律对电法勘探来说具 有重大的意义。因为我们只能通过观测地面电场的 畸变规律来判断地下具有明显电阻率差异的地质体 的赋存状态。而地面电场与地下电流有着密切的关 系，当地下电流的分布改变时，地下电场将随之改 变，这些变化必将影响地面电场的分布。从这个意 义上说，地下电流实际上起着传递深部信息的作用。 流入地下深处的电流越多，反映到地面上的深部信 息就越强，对探测深部地质情况就越有利。
2 1 U 1 U (r ) (sin ) 0 2 2 r r sin sin
2
故球坐标系中的拉普拉斯方程简化为：
2 U (R )0 R R
2 U (R )0 R R 将上式积分一次： R2 U C R
再积分一次：
2．克希霍夫定律
（二）地中电流的连续性 对于稳定电流场，包含电流强度为I的电流源的任意 闭合面的通量表达式为

jn
s
dS I

式中S为包围电流源的闭合曲面，n为面元dS的单 位法线矢量。上式即电荷守恒定律，它表明电荷既 不能无中生有，也不能消灭。如果S面中不包含电 流源，上式成为
jn


故电场强度与电位有关系来自U E dlME gradU
势场是一种无旋场，在地中由导电岩石组成
的任一闭合迥路中，电流场所作的功恒等于 零，即 E dl 0
上式的微分形式为
L
rot E 0
4．均匀介质中稳定电流场的微分方程 由于稳定电流场是势场，它应是标量位的梯度，即
图1.2.3
地下电流源的电场分布示意图 如图1.2.3所示，当点电流源A位于地下h深度 时，地中电流分布不再呈辐射状。由在地表 电流密度的法向分量应等于零，为满足此边 界条件，可用镜像法求解，即假设在地面以 上也充满电阻率为ρ的介质，而在电源A与地 面对称位置上设一虚电流源A'，且使二者电 流相等。地中任一点的电位便为

2.2.1 均匀各向同性介质中的点电流 源电场
在求解简单地电条件下的位场分布时常用解
析法，即根据给定的边界条件解以下微分方 程。
div grad U 2U 0
这便是拉普拉斯方程。
在电法勘探的理论研究中，根据问题的需要，
常将拉普拉斯方程转换成不同坐标系中的表 达式。最常用的三种坐标系中拉普拉斯方程 的表达式如下：
s
dS 0
它说明在稳定电流场中电流是连续的，即在任何一 个闭合面内，无正电荷或负电荷的不断积累。其微 分形式为： 即在稳定电流场中，任何一点电流密度的散度恒等 于零。 divj 0 （三）稳定电流场的势场性 从稳定电流场的上述性质可知，电流在空间的分布 是稳定的，即不随时间而改变。因此，它和静电场 一样是一种势场。在稳定电流场中任一点M处的电 位U，等于将单位正电荷从M点移到无限远处，电 场力所作的功。
I 1 1 U ( ) 4 R R '
式中R'为M点与虚电源 A'间的距离。当观测点 M位于地面时，R=R'， 此时 I I 1 U 2 R 2 h 2 x 2
从上式可得到沿X方向的电 场强度Ex和电流密度jx
图1.2.3 地下电流源的电场分布示意图
U 由Ex x
I x Ex 2 [h 2 x 2 ]3/ 2
由j
E
电位分布曲线如图 1.2.3 上图所示，在 A 的正上方电位 具有极大值，向两边逐渐减小，在 电位等于极大值的一半， 在
x 3 h

I x jx 2 [ h 2 x 2 ]3 / 2 （1.2.24）
的两点上，
x
而在深为h的点上， 由A、B两极形成的 电流密度的垂直分 量方向相反，相互 抵消，而水平分量 方向相同，故有
当我们用两个电极向地下供电时，电流立即布满地下， 但电流密度的分布并不是到处一样，而是主要集中在 A、 B 连线附近的范围内。下面我们研究 A、B 连线的中垂面 上 深 度 为 h 的 某 点 M 处 的 电 流 密 度 。 令 AB=2L ，