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人教高中数学B版必修1 函数的应用(Ⅱ) 精讲精析

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3·4 函数的应用（Ⅱ）

要点精讲

函数模型在解题中的应用

一）常见的函数模型

1．一次函数模型：现实生活中很多问题都可联系一次函数模型进行解决，如物体匀速直线运动中位移和时间的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等，都可以通过直线来直观地刻画其变量之间的关系.

解析式：y=kx+b,k≠0.其中参变量k有时称为比例系数.

2．二次函数模型：抛体运动中位移和时间的关系（如掷铅球），匀加速直线运动中位移和时间的关系（如研究汽车刹车后的滑行）等，都可以通过二次曲线来刻画其变量之间的关系.

解析式：y=ax2+bx+c,a≠0.

3．幂函数模型：在气象学、工程学等科学与生产实践中蕴含着幂函数关系，这是一种应用十分广泛的函数模型，二次函数模型就是其中一种重要的模型.

解析式：y=axn+b，a·b≠0.

4．指数函数模型：细胞分裂、人口增长、利润增长、银行储蓄等经济生活和社会生活中都蕴含着指数函数关系.

解析式：y=a·bx+c，a·b≠0.

5．对数函数模型：对数函数模型在生产、生活及航天等领域有着比较广泛的应用.

解析式：y=logax，a>0且a≠1.

二）实际问题的函数刻画

生活中的许多实际问题，都可转化为函数问题.通过建立函数模型，可以把实际问题转化为函数问题，进而利用函数的有关性质对函数问题进行处理和研究，得到数学结论，从而达到解决实际问题的目的.用函数来刻画实际问题是解决实际问题的第一步，也是最重要和最困难的一步，关键要做到以下几点：

第一：认真读题.可以先大致浏览全题，理解问题背景，初步把握变量之间的数量关系；明确问题；

第二：翻译.一要明确题目中涉及的概念、术语的意思及它们之间的联系，比如“利润”、“产量”的含义及两者之间的联系（利润=产量×（售价-成本））；二要设出相应的变量，用数学符号表述它们之间的联系，得到数学等式或方程；设变量时一般要遵循“问什么就设什么”的原则；

第三：解题原则：以问题解决为中心.即为了解决问题需要我们做什么就做什么，反映在解答顺序上是“就问题找条件”；数学结论要注意还原为实际问题的答案.

三）数学建模

1．数学建模是一种新的数学学习方式，有助于培养同学们的探究能力和创新能力，有助于体验数学在解决实际问题中的作用，体验数学的应用价值.比如今年牙买加选手博尔特打破百米世界纪录后，美国《连线》杂志就发表了文章，介绍数学家绘制的人类短跑速度纪录曲线，那么这根曲线到底是哪个函数的图像的一部分呢？我们就可以进行不同的假设，进行函数模拟，然后进行检验，最后数学家们认为，人类短跑速度并未达到人类的极限；再如，今年四川发生大地震之前的2006年，陕西师范大学的三位数学教师就公开发表学术论文，表明他们用数学的方法得到一个结论：云南和四川发生6.7级以上强震的最有可能的年份就是2008年，„„类似的例子很多，都体现了数学是有巨大应用价值的.

2．数学建模的一般过程：

①实验——通过实验等方法采集数据、列表、绘制散点图；

②假设——分析图表信息，根据散点分布情况，选择适当的函数类型；再通过代入已有的部分散点信息，得到近似的函数模型；

③检验——通过另外一些散点信息，检验这个模型的准确性；

④修正——如果检验时相差很大，则对模型进行

3．在实际建模过程中，要学会化整为零，分步骤、有层次地完成，要求掌握计算器的使用.

这部分内容常见的数学模型有:

(1) 平均增长率问题：如果原产值为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值或产量；

(2) 储蓄中的复利问题：如果本金为a元，每期利率为r，本金和为y，存期为x，则；

(3) 根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系；

(4) 通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等.

典型例题

例1. 2000年我国人均国民生产总值约为900美元，如果按7.5%的年平均增长率，经过10年，在2010年可否达到翻一番即人均1800美元的水平？

解：

按7.5%的年平均增长率，经过10年后，人均国民生产总值为

900×（1+7.5%）10

=900×2.061=1854.93>1800，故可以达到翻一番的目标.

答：10年后可以达到翻一番的目标.

例2. 某摩托车生产企业上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0

I．写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

II．为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

解：

I 由题意得，

y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]×1000(1+0.6x) xpNy)1(xray)1(=-60x2+20x+200(0

II 可转化为求解不等式组

故本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式为

y=-60x2+20x+200(0

例3. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可以销售100件，现在他采用提高售价、减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，问他将销售价每件定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？

解：

设每件提高x 元，0≤x≤10，则每件获利为x+2元，每天销售量为（100-10x)件，每天获总利润为y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200=-10（x-4）2+360.

故对0≤x≤10，当x=4时ymax=360.

答：他将销售价定为每件14元时才能使每天获得的利润最大.

例4. 建造一个容积为8m3，深2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为多少？

解：

设池底的长为x m，依题意可知其宽为.从而其总造价为

由于该函数当时为减函数，当时为增函数，故当时函数有最小值为1760.

答：水池的最低总造价为1760元.

(1.21)100010013yxx10,3xx4320480802xx421204y4x4x2x

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高中新课程数学(新课标人教b版)高一必修一《函数的应用》评估训练

高中新课程数学(新课标人教b版)高一必修一《函数的应用》评估训练

1

双基达标 限时20分钟

1．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过 ( )．

A．12小时 B．4小时

C．3小时 D．2小时

解析 设共分裂了x次，则有2x＝4 096，

∴2x＝212，又∵每次为15分钟，

∴共15×12＝180(分钟)，即3个小时．

答案 C

2．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：

①前5分钟温度增加的速度越来越快；

②前5分钟温度增加的速度越来越慢；

③5分钟以后温度保持匀速增加；

④5分钟以后温度保持不变．

其中正确的说法是 ( )．

A．①④ B．②④

C．②③ D．①③

解析 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即前5 min每当t增加一个单位增量，则y相应的增量越来越小，而5 min后y关于t的增量保持为0，故选B.

答案 B

3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，第7年它们发展到 ( )．

A．300只 B．400只

C．500只 D．600只

2 解析 当x＝1时，y＝100，得a＝100，∴当x＝7时，y＝100·log28＝300.

答案 A

4．一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，则成本y随经过的年数x变化的函数关系式为________．

解析 由公式y＝N(1－p%)n可得，其中N＝a，n＝x.

答案 y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)．

5．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．

解析 ∵ 1＝0.5a＋b1.5＝0.25a＋b，∴ a＝－2b＝2，

高中数学第10讲 函数图像及其变换(教案)新人教版必修1

高中数学第10讲 函数图像及其变换(教案)新人教版必修1

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1 / 5 函数图像与变换

教学目标：掌握常见函数图像及其性质〔高考要求B〕，熟悉常见的函数图像〔平移、对称、翻折〕变换〔高考要求B〕.

教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折〞等手段进行函数图像变换。

教学过程：

一.知识要点：

1.常见函数图像及其性质：

〔1〕平移变换：

①y=f(x) →y＝f(x±a)(a>0)图象横向 平移a个单位，〔左+右—〕.

②y=f(x) →y＝f(x)±b(b>0)图象纵向 平移b个单位，(上+下—)

③假设将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；

④假设将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象.

〔2〕对称变换：

①y=f(x) →y=f(－x)图象关于y轴对称; 假设f(－x)=f(x),那么函数自身的图象关于y轴对称.

②y=f(x) →y=－f(x)图象关于x轴对称.

③y=f(x) →y=－f(－x)图象关于原点对称; 假设f(－x)=－f(x),那么函数自身的图象关于原点对称.

④y=f(x) →y=f－1(x)图象关于直线y=x对称.

⑤y=f(x) →y=－f－1(－x)图象关于直线y=－x对称.

⑥y=f(x) →y=f(2a－x)图象关于直线x=a对称；

⑦y=f(x) →y=2b－f(x)图象关于直线y=b对称.

⑧y=f(x) →y=2b－f(2a－x)图象关于点(a,b)对称.

假设f(x)=f(2a－x)(或f(a＋x)=f(a－x))那么函数自身的图象关于直线x=a对称.

假设函数()yfx的图象关于直线2abx对称()()famxfbmx

()()fabmxfmx

〔3〕翻折变换主要有

①y=f(x) →y＝f(|x|)的图象在y轴右侧(x>0)的部分与y＝f(x)的图象相同，在y轴左侧部分与其右侧部分关于y轴对称.

高中数学人教A版必修1第一章1.3函数的基本性质辅导讲义

高中数学人教A版必修1第一章1.3函数的基本性质辅导讲义

函数的基本性质

学生姓名： 年级： 上课日期：

内容

摘要 1. 函数的单调性

2. 函数的奇偶性

教学过程 考点一： 函数单调性

1.1 如下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(xfy的图象，根据图象说出)(xfy的单调区间，以及函数)(xfy的最值。

2.1 写出下列函数的单调区间并求其最值。

（1）22yxx （2）]3,1(,11xxy （3）

]5,0(,432xxxy531-2-5xOy

2.1证明：11)(xxf在区间上是单调增函数。

3.1 讨论函数f（x）=21xax（a≠21）在（－2，+∞）上的单调性.

增函数：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx ，当x1

减函数：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx ，当x1f(x2)，那么就说函数()fx 在区间D上是减函数。

1.1根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区间 ；减区间

)0,(

2.1．设函数f(x)是（-∞，+∞）上的减函数，若a∈R, 则 （ ）

A、f(a)>f(2a); B、f(a2)

C、 f(a2+a)

2.2 证明函数f(x)=xx1在，43内是单调递减；

2.3设二次函数f(x)=x2-(2a+1)x+3

（1）若函数f(x)的单调增区间为[2,+∞),求实数a的值；

高中数学第四章 指数函数与对数函数之函数的应用(二)(精讲)(必修第一册)(教师版含解析)

高中数学第四章 指数函数与对数函数之函数的应用(二)(精讲)(必修第一册)(教师版含解析)

4.5 函数的应用(二)

思维导图

常见考法

考点一 零点的求解

【例1】(2020·武威第六中学高二期末(文))若函数()fxaxb的零点是2(0a)，则函数2()gxaxbx的零点是( )

A．2 B．2和0 C．0 D．2和0

【答案】B

【解析】由条件知(2)0f，∴2ba，∴2()(2)gxaxbxaxx的零点为0和2.故选B.

【举一反三】

1．(2020·全国高三课时练习(理))已知函数f(x)＝22111log1xxxx，，，则函数f(x)的零点为( )

A．，0 B．－2，0 C． D．0

【答案】D

【解析】当1x时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当1x时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，

又因为1x，所以此时方程无解.综上所述，函数f(x)的零点只有0.故选：D （1）代数法：根据零点的定义，解方程()0fx，它的实数解就是函数()yfx的零点.

（2）几何法：若方程()0fx无法求解，可以根据函数()yfx的性质及图象求出零点.

2.已知函数221,1()1log,1xxfxxx，则函数()fx的零点为________．

【答案】0

【解析】当1x时，由()210xfx，解得0x；

当1x时，由2()1log0fxx，解得12x，又因为1x，所以此时方程无解．

综上，函数()fx的零点为0.

考点二 零点区间的判断

【例2】(2020·湖南娄底·高二期末)函数3()ln9fxxx的零点所在的区间为( )

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

【答案】C

【解析】可以求得，所以函数的零点在区间(2,3)内．故选C．

【举一反三】

1．(2020·宁县第二中学高二期中(文))函数f(x)=23xx的零点所在的一个区间是