切线的判定和性质

切线的性质和判定专题训练

一、选择题 1．下列命题正确的是( ) A. 经过半径外端的直线是圆的切线 B. 直线和圆有公共点，则直线和圆相交 C. 过圆上一点有且只有一条圆的切线 D. 圆的切线垂直于半径 2．如图，PA切⊙O于点A，若∠APO=30°，OP=2，则⊙O半径是( )

A. B. 1 C. 2 D. 4

3．如图，AB、AC分别与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的动点，则∠BPC的度数是( )

A. 65° B. 115° C. 65°和115° D. 130°和150°

4．如图，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C=36°，则∠ABD的度数是( )

A. 72° B. 63° C. 54° D. 36°

5．如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，且∠BAC=45°，AB=2，则⊙O的面积为_____。

6. 如图，已知AB是⊙O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则∠D=____，∠C=_____，若⊙O的 半径为R，则AC=_____。

7. 已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ和圆的位置关系是（ ）

二．计算与证明：

1. 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。

2. 如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。

求证：AC与⊙O相切。

3. 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。

4、如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

切线性质定理证明过程，证明圆的切线的几种方法

切线长度定理:从圆外的一点引向圆的两条切线长度相等，圆心与此点的连线平分两条切线的夹角。

证明圆的切线的性质定理

我们大多数情况下用反证法来证明切线的性质定理：

假设圆O的切线l与OA不垂直，作OM垂直于l于M，因“垂线段短”，故OA＞OM，即圆心到切线的距离小于半径，这与“切线到圆心的距离等于半径”矛盾，故直线l与圆O一定垂直。

圆的切线的性质

切线的主要性质有以下几点：

1、切线和圆唯有一个公共点；

2、切线和圆心的距离等于圆的半径；

3、切线垂直于经过切点的半径；

4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心；

6、从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 以上内容是圆的切线的性质定理及其证明方法。掌握和熟悉这一重要内容和核心考点，对考生处理数学几何问题很有帮助。为此，考生必须努力学习。

连接圆心和切点，按照直线与圆相切的定义，可证切线与过切点的半经垂直

证明圆的切线的迅速方式？

1、已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接按照“经过直径的一端,还垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明。口诀是“见半径，证垂直”。

2、条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后按照“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“连半径，证垂直”。

3、已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后按照“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“作垂直，证半径”。

如何证明圆的切线？

切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线是圆的切线。切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。根据这两个定理，我们可以得到证明圆的切线在大多数情况下的思路。

三角形的切线的性质和判定

一、定义

在三角形中，如果一条直线与三角形的一条边相切且不过该边的端点，则这条直线称为三角形的切线。

二、性质

1. 切线与切点之间的夹角等于切线与三角形外接圆半径（或内切圆半径）所对的圆心角的一半。

2. 切线与切点之间的夹角小于切线与三角形外接圆（或内切圆）的切点所对的圆心角。

3. 切线与三角形的另外两边所成的角相等。

4. 与同一条边相切的切线之间平行。

三、切线的判定

判断某条直线是否是三角形的切线可以按照以下方法进行：

1. 切点与切线所连接的直线垂直。

2. 切线与三角形的另外两边所成的角相等。

3. 切点在该边的延长线上。

四、应用

掌握三角形的切线的性质和判定对于解决相关题目很有帮助，例如可以用来判断两条直线是否相交于三角形内部，或者计算三角形的某个角的大小，等等。

结论

三角形的切线具有一些独特的性质，对于解决与三角形相关的问题非常重要。掌握切线的判定方法可以帮助我们进一步理解和应用三角形的性质。

切线的性质和判定（教学设计）

邯郸市第二十五中学 王兴红

本节课教材选自人教版九年级数学第二十四章圆，第二单元“点和圆、直线和圆的位置关系”第二节“直线和圆的位置关系”第二课时，本节课在初中平面几何教学中占有重要地位，在教学中一方面要注意让学生分清定理的条件和结论，更重要的是体会相关辅助线的做法和定理的选择应用。对培养学生的逻辑推理能力和信息获取甄别能力，有很重要的意义。

一 教学目标

1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；

2、通过判定定理和切线判定方法学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；

3、通过学生自己自主学习，培养学生学习的主动性和积极性．

二、教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；

三、教学难点 ：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．

三 教法及学法

自学指导法、小组合作。

四 教学设计（围绕学生自主学习的六环节进行）

教学环节 教学过程 学生现状及活动 教师调控 教学方法

一、复习旧知，引入新课

和圆有关的位置关系

1：点和圆的位置关系

2：直线和圆的位置关系

3：判断和圆有关位置关系关键数量特征是什么？ 前一阶段学生的学习中，对点和圆的位置关系的判断掌握较好，而在判断直线和圆的位置关系的过程中，容易出现两个错误：1、相交和相离混淆问题。2、圆心到直线的距离理解不透 通过复习巩固抓住学生的疑难点进行复习，重点强调“圆心的直线的距离”、“利用图形直观判断法”

对比法

问答法

二、自主学习、感知新知

阅读课时练72页，自主学习内容

1：已知点A是⊙O上的任意一点。

（1）过点A作直线l垂直于OA

（2)直线l和⊙O相切吗？为什么？

归纳：切线的判断：经过半径的 ，并且 于半径的直线是圆的切线

2：已知直线l是⊙O的切线，A为切点，判断OA与直线l的位置关系