不等式证明中的几种新颖方法

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浅谈不等式证明的几种常见方法

作者：钟毅

来源：《西部论丛》2018年第09期

内容摘 要：在当今的教育改革背景下，高中数学越来越重视技巧的归纳、总结与应用。不等式的证明是高中数学的重点、难点，也是将来学习高等数学的重要基础，为了能使证明过程有规律可循，本文主要从高中数学的角度，在相应的概念或预备知识的基础上，总结归纳出不等式的几种常见的证明方法，然后通过具体的应用实例体现其优越性.

关键词：不等式证明；常见方法；比较法；分析法；基本不等式法；导数法

引言 不等式的证明既是高中数学的重难点，也是将来学习高等数学的重要基础，不等式证明是一种技巧性都很强的题型，需要有较强的分析能力，严谨的逻辑推理能力. 由于不等式的多样性，故证明不等式，需要做到因题而异，应充分分析、判断一道不等式的条件特点，再选择适当的方法，才可以使问题迎刃而解.为此，在这里介绍几种常见方法及其适用范围.

本题的是用作差比较法思想，借助一个新构造的作差函数，并通过导数性质判断函数的单调性来证明构造函数的最大值是0，从而得出证明的结果，这种方法是用导数证明不等式最常用的方法.

综上所述，不等式证明作为高中数学的一个重、难点，同时也是历年高考中常见的题型之一，但在不同的条件下，不等式证明方法过程是有较大不同的，它需要我们具备严密的推理能力和较强的分析、解题能力，因此，在高中数学教学中，教师要特别注重引导学生锻炼分析和解决数学实际问题的能力，促使学生可以更好的掌握这一题型，从而全面提升学生的数学学习效果。 龙源期刊网

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构造函数法在不等式证明中运用

不等式的证明历来是高中数学的难点，也是考察学生数学能力的主要方面。不等式的证明方法多种多样，根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法。本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式。

一、 构造函数利用判别式证明不等式

①构造函数正用判别式证明不等式

在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。

例1. 设：a、b、c∈R，证明：0)(322cbabcaca成立，并指出等号何时成立。

解析：令bcbcacbaaf33)3()(222

⊿＝2222)(3)33(4)3(cbbcbccb

∵b、c∈R，∴⊿≤0

即：0)(af，∴0)(322cbabcaca恒成立。

当⊿＝0时，0cb，此时，0)(3)(222caabcacaaf，

∴cba时，不等式取等号。

例2. 已知：Rcba,,且2,2222cbacba，求证： 34,0,,cba。

解析：22222cbacba 消去c得：012)2(22bbaba，此方程恒成立，

∴⊿＝043)12(4)2(222bbbbb，即：340b。

同理可求得ca,34,0

② 构造函数逆用判别式证明不等式

对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：2222211)()()()(nnbxabxabxaxf

Ｅ囝圜　Ｅｄｕｃａｔ．ｉ．ｏｎ　Ｓｐａｃ￣　●　不等式的几种巧妙证明　河北机百顽＇业　葶蘸　ｆ摘要１在数学分析中，很重零钓一部分就是理论约证确，而往往这种证。日祧人们认为是枯燥无味酌。其实不然，教学中香很多新颖有趣酌实　例等待蔷我们的挖掘。本文就用厂己种不等式的巧妙证。目来说０目教学的英，激发六家学习数学酌积极性。　【关键词１中值定理荤揭性凹凸性积分性质不等武　在数学分析中，不等式是一个庞大的家族，其证明方法也是多　种多样，本文主要探讨如何用微积分的基础知识，解决不等式的证　明问题。以下是几个利用微积分的知识证明不等式的典型例题，让　读者自己体会一种豁然开朗的感觉。　一、利用函数的单调增减性　解题程序：　（１】移项（有时需要作简单的恒等变形），使数值　不等式一端为　０”，另一端即为所作辅助函数ｆ（×）；　（２）求｛　（ｘ）并验证ｆ（ｘ）在指定区间的增减性　（３）求出区间端点的函数　值（或极限值），作比较即得所证。　例１、证明：当０＜　＜　２　ｒ＜ｓ　Ｙ　２时，，ｒ…………。　只证ｓｉｎ。　ｓ　昙　舒　。令　：　．．．厂，（　）＝—Ｘ—Ｃ—Ｏ—Ｓ—Ｘ—　－—Ｓ—ｉｌ—ｌＸ＝—Ｃ—Ｏ　ＳＸ（　—ｔａｎ　）＜０　．・ｔａｎｔａｎ　ｔａｎＸ＞　），　‘・‘．，‘　，＝——————　——一＝＿广Ｌ　一　Ｊ＜　・‘　＞　Ｊ，　．。．ｆ（Ｘ）是减函数，又　／（　）＝　刀　‘　时　的一．．　２　２　冗　ｓｉｆ—ｔｘ一一２＞０　上　，　Ｏ　，故当０＜Ｘ　Ｓｌｎ　＞～　于是　。　二、利用微分中值定理　运用中值定理一般适用的题型有　＜１＞不等式一端可以写成　／（６）一／（口）—ｆ（ｂ）—－ｆ（ａ）　ｂ—ａ　或ｇ（６）～ｇ（　），＜２＞欲证命题是区间内“至少存在”　点∈使命题成立。解题程序：　（１）在【ａ，ｂ】上由题意作两函数ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）；　（２）写出微分中值公式：　＿厂（６）一‘厂（引，，，　、　二　：　——　：—　一一　Ｌ　或ｇ（６）一ｇ（　）ｇ，（　）　（３）根据需要对＿厂　（　），ｇ　（　）进行放缩。　例　、设。　’ｏ＜　＜　＜　，求证：　一日　＞（ｃ。ｓ　—ｃ。ｓｙ）口　ｌｒｌａ　ｏ　址　在Ｉｘ，ｙ　厂　）　ｇ　（　），　令／（ｆ）＝　，ｇ【　ｃｏ　，由题设条件可知，ｆ（ｔ），ｇ（ｔ　（０＜×＜ｙ）上满足柯西中值定理条件，于是有　二　：二　：　＝　ｇ（　）一ｇ（　）　即ＣＯＳＸ—ＣＯＳＹ　—ｓｉｎ　，ｕ＜　＜Ｙ＜　，故　ｄ　一口　＝（ｃｏｓｘ－ｃｏｓｙ）ａ４ｌｎａ．面１＞（ｃｏｓｘ－ｃｏｓｙ）ｎ　ｌｎ口＞（ｃ。ｓ　Ｓ１ｎ亡　ｃｏｓｙ）ａ　Ｉｎａ　明不等式　１Ｐ　，≤１。　例３、设０≤　≤ｌ，　＞１，证明不等式——＜　Ｐ＋ｆ】一　＜。　令Ｆ　（　）＝。，得　＝　２．而Ｆ　（　２）＝　（ｐ一１）【（　２）　一２＋（　２）　一　】＞。　．而　（‘・。Ｐ＞１），故Ｆ（　）在　：　２处取极小值。　．．．Ｆ（１）：Ｆ（０）：１，Ｆ（吉）　，　・‘・Ｆ　）在［ｏ，１】上最大值为’，最小值为　，　故　（１－ｘ）　。　四、利用函数图形的凹凸性　证明此类不等式主要运用凹凸函数性质，观察所证不等式，做　出辅助函数，再求一Ｉ阶导，得出凹凸性，即得证。　例４：ｘｌｎｘ＋ｙｌｎｙ＞（　＋　）ｌｎ　—　，（　＞ｏ，Ｙ＞ｏ，　≠Ｙ）　／（，）＝ｔｉｎｔ，（，＞ｏ）ｆ’（，）：Ｉｎｔ＋ｌ，ｆ”（，）：　０．　故ｆ（ｔ）在（Ｘ，Ｙ）或（Ｙ，ｘ），Ｘ＞０，Ｙ＞Ｏ是曲的，于是　＿，（　）＋／（．ｙ）１＞ｓｔｙ：目口　１ｎｘ＋　Ｉｎ　＞　＋　）ｌｎ　五、利用泰勒展开式　解题程序：（１）写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展示　（２）恰当选择等式两边×与Ｘ。（不要认为展开式～定以ｘ。最合　适，有时以ｘ为佳）；　（３）根据所给的最高阶导数的大小或界对展开式进行放缩。　例５、设ｌ　ｉ　ｍ。ｆ　（ｘ）＝１，且Ｊｒ　）＞０，证明ｆ（ｘ）＞ｘ，　≠ｏ）　０　．且，Ｌ　）＞ｕ．证明　Ｊ一，＾’　＾　ｕ　由ｌ　ｉｍｆ　（ｘ）一，可　。）＝０。　（０）＝　１．？／（　）二阶可导，．．．／（　）在　：０处可展成一阶泰勒公式。　厂（　）＝＿，（Ｏ）＋ｆ　（Ｏ）　＋ｘ２＝！ｆ　（　）　ｒ￣ｑｚ…ｆ＂（ｘ）＞Ｏ，所以／　）＞０’，于是ｆｉｘ）＞＿厂（０）＋厂，（０　＝　，　即／【　）＞Ｘ。　六、利用定积分的性质　证明定积分不等式，通常用到的定理　定积分中值定理，定积　）　分比较定理，估值定理，函数的单调性，微分中值定理，泰勒公　：　式；常用到的不等式：（１）ｄ２＋６　２ａ６；（２）　＞ｏ，口＋　２；（３）　柯西不等式　【ｆ＿厂（　）ｇ（　）出］　≤（ｆ厂　）　）（ｆｇａ　（　）　）。　（一）已知被积函数连续的命题。　证　令Ｆ（　）＝Ｘ　＋（１一　）　，Ｆ　（　）＝ｐｘ　一＋ｐＯ—　）　（一１）＝ｐ［ｘ　－０一　）　】，　）：ｐ（ｐ－１）ｘ　Ｉ２＋Ｐ（Ｐ—１）（１一　）　＿。。　圜　州。　１７０　孳　ｂ，　ｆ（ｘ　０　ｆ（ｘ）ｄｘｆ例６设／（　）在【口，］上连续，且　）＞，证明：『　Ｉ　—　函数　）＝　）　～　八叫　

构造函数法证明不等式的八种方法

一、构造函数法是一种常用的数学证明方法，通过巧妙地构造函数，并对其性质进行分析，可以证明各种数学不等式。下面就列举八种常用的构造函数法证明不等式的方法。

1.构造平方函数法：对于形如x^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

2.构造递增函数法：对于形如a≥b的不等式，可以构造f(x)=x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

3.构造递减函数法：对于形如a≤b的不等式，可以构造f(x)=-x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

4.构造两个函数之差法：对于形如a-b≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=(x-a)(x-b)，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

5. 构造函数的和法：对于形如(a+b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2+b^2+2ab，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

6.构造函数的积法：对于形如(a·b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2·b^2，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

7.构造函数的倒数法：对于形如1/(a·b)≥0的不等式，可以构造f(x)=1/x和g(x)=a·b，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。 8.构造指数函数法：对于形如e^x≥1的不等式，可以构造f(x)=e^x和g(x)=1，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

以上就是八种常用的构造函数法证明不等式的方法。在实际证明过程中，需要注意选择合适的函数，并结合函数的性质进行分析，以确定不等式的成立情况。此外，还需要注意构造的函数在给定范围内是否满足所要求的性质，以确保证明的正确性。