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不等式的几种证明方法

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不等式证明的几种常用方法

一、比较法

（1）差值比较法

要证明a＞b,只要证明a-b＞0。

①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；

②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；

③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 󰀀

【例一】

求证：233xx

证明：222233223333xxxx

23330244x

233xx

(2)商值比较法

已知a,b都是正数，要证明a＞b,只要证明a/b＞1

①作商：将左右两端作商；

②变形：化简商式到最简形式；

③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。

应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

【例二】

已知a,b>0，求证abbaabab

证明： = ∵a,b>0+,当a＞b时，＞1,a-b＞0，＞1;

当a≤b时,≤1,a-b≤0, ≥1.

∴ ≥1, 即abbaabab

二、综合法

利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：A-B1-

B2- B3… Bn-B，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。重点：基本不等式 󰀀󰀀

【例三】

已知a,b,c是不全等的正数，求证 a(c2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)＞6abc.

证明： 222abab，222acac，222cbbc

222abcabc，222bacabc，222cababc

a(c2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)6abc.

又因为a,b,c是不全等的正数

所以有a(c2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)＞6abc.

三、分析法

分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明A-B的逻辑关系为：B-B1-B2- B3 … Bn-A，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

【例四】

求证：6372

证明: 成立＋＜＋所以成立＜因为＜只需证＜只需证＜只需证＋＜＋即证）＋＜（）＋只需证（＋＜＋欲证：证法63721814181418141821421829142963726372222󰀀

󰀀四、反证法

有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。 󰀀󰀀

【例五】

已知a，b∈R，且a+b=1. 求证：2252222ba.

证明：假设225)2()2(22ba，则 2258)(422baba.

由a+b=1，得ab1，于是有22512)1(22aa.

所以0)21(2a，这与0212a矛盾.

所以2252222ba.

五、换元法

换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。

(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，常用的三角代换方法有： 已知222ayx，可设sin,cosayax；

已知122yx，可设sin,cosryrx(10r)；

已知12222byax，可设sin,cosbyax；

已知12222byax，可设tan,secbyax；

(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。 󰀀󰀀

【例六】

已知a，b∈R，且a+b=1. 求证：2252222ba

证明：∵1ab，

所以可设ta21，tb21，

∴左边＝22221122(2)(2)22abtt

22255252522222ttt＝右边.

当且仅当t=0时，等号成立.

点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元.即可设ta21，tb21

六、放缩法

放缩法是要证明不等式A

(1)不等式的传递性；

(2)等量加不等量为不等量；

(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。

常用的放缩技巧有：

①舍掉(或加进)一些项；

②在分式中放大或缩小分子或分母； ③应用均值不等式进行放缩。 󰀀󰀀

【例七】

已知a，b∈R，且a+b=1. 求证：2252222ba.

证明：∵1ab

∴左边＝222222222abab2125422ab＝右边.

点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式22222baba

除此之外，还有一些证明方法，如：判别式法、数形结合法、归纳法。。。

【判别式法的例题】

已知a，b∈R，且a+b=1. 求证：2252222ba.

设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有1322)3()2(222aaaay，

所以013222yaa，

因为Ra，所以0)13(244y，即225y.

故2252222ba.

不等式的证明关键还是得做题，基本不等式等结论要记住，可以直接用。我觉得你在平时做题时做完题目之后可以反思一下这一题可以用什么方法，为什么会用这种方法。不等式的证明要注重方法。多做几条题目就会有所体会的。O(∩_∩)O加油吧！！

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a十b十c柯西不等式证明

a十b十c柯西不等式证明

a十b十c柯西不等式证明

摘要：

1.柯西不等式的基本概念

2.柯西不等式的证明方法

3.柯西不等式在实际问题中的应用

正文：

一、柯西不等式的基本概念

柯西不等式（Cauchy Inequality）是一种在数学中广泛应用的不等式，主要用于证明其他不等式或解决实际问题。柯西不等式的基本形式为：(a + b +

c)(x + y + z) ≥ (ax + by + cz)。其中，a、b、c 和 x、y、z 是实数。

二、柯西不等式的证明方法

柯西不等式有多种证明方法，其中最常见的是利用平方法。以下是柯西不等式的证明过程：

证明：(a + b + c)(x + y + z) ≥ (ax + by + cz)

= ax + ay + az + bx + by + bz + cx + cy + cz

= (ax + by + cz) + (ay - bx) + (az - bz)

= (ax + by + cz) + (ay - bx) + (az - bz)

根据平方的非负性，上式成立，因此柯西不等式得证。

三、柯西不等式在实际问题中的应用

柯西不等式在实际问题中有广泛的应用，例如在解决三角形的余弦定理问题、证明矩阵的谱范数不等式等。下面以一个简单的例子来说明柯西不等式在实际问题中的应用： 例：已知实数 a、b、c 满足 a + b + c = 1，求证：|ax + by + cz| ≤ √(a + b + c)

证明：由柯西不等式，有：

(a + b + c)(x + y + z) ≥ (ax + by + cz)

当且仅当 ax = by = cz 时，等号成立。

因为 x + y + z ≥ 0，所以：

|ax + by + cz| ≤ √(a + b + c)

因此，柯西不等式在实际问题中的应用得到了证明。

总结：柯西不等式是一种在数学中具有广泛应用的不等式，通过平方法可以很容易地证明。

证明不等式的几种方法

证明不等式的几种方法

昭 通 学 院

学 生 毕 业 论 文

论文题目 证明不等式的几种方法

姓 名

学 号 201103010128

学 院 数学与统计学院

专 业 数学教育

指导教师

2014年3月6日

1 证明不等式的几种方法

摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。

关键词：不等式; 证明; 方法

1.引言

在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。

2.不等式证明的常用方法

2.1 比较法

比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。具体地说欲证BA)(BA,直接将差式BA与0比较大小；或若当RBA,时，直接将商式BA与1比较大小1。

差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0ba,则ba;若0ba,则ba.”其一般步骤为：

1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。

2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。

3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。

应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。

高等数学中证明不等式的几种方法

高等数学中证明不等式的几种方法

教育教学论坛EDUCATIONTEACHINGFORUM2019年3月第10期Mar.2019NO.10

高等数学中证明不等式的几种方法

收稿日期：2018-08-22作者简介：佘智君（1976-），女（汉族），讲师，主要从事于计算数学与应用软件

的研究。不等式的证明是高等数学的重要内容，同时也是高等数学教学中的一个难点，学生遇到不等式的证明时经常不知道如何下手。不等式的证明方法灵活多样，技巧性强，所以证明不等式之前要对具体问题具体分析，根据题设及不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，这样才能使证明过程简化。一、利用函数的单调性利用单调性证明不等式是高等数学中最常用的一种方法，其基本思路是将不等式作适当的变形，作辅助函数f（x），再利用导数确定该函数的单调性，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性，从而使不等式得到证明。例题1证明：ln（1+x）＞x1+x（-1＜x＜0）证明：设f（x）=ln（1+x）-x1+x∴f忆（x）=x（1+x）2∴f忆（x）＜0（-1＜x＜0）∴f（x）在（-1＜x＜0）内单调下降又∵f（0）=0∴f（x）＞0（-1＜x＜0）故ln（1+x）＞x1+x（-1＜x＜0）二、利用微分中值定理证明不等式利用微分中值定理证明不等式的关键是不等式经过恒等变形后一端可化成函数值之差的形式，即f（b）-f（a），则可考虑拉格朗日中值定理，这时构造辅助函数f（x），使得f（x）在［a，b］上满足中值定理的条件，然后利用中值定理得到所要的结论。例题2证明：x-yx＜lnxy＜x-yy（0＜y＜x）证明：设f（x）=lnx，而f（x）=lnx在（y，x）满足拉格朗日中值定理∴埚ξ∈（y，x）使lnx-lny=f忆（ξ）（x-y）=1ξ（x-y）∵0＜y＜ξ＜x∴1x＜1ξ＜1y∴x-yx＜lnxy＜x-yy三、利用泰勒公式如果已知条件或不等式中含一阶及二阶等高阶导数时，一般用泰勒公式。利用泰勒公式证明不等式时，要注意两点：其一是函数展到第几阶；其二是用皮亚诺余项，还是用拉格朗日余项的泰勒公式。例题3设f（x）在[01]上具有二阶导数，且f″（x）≤1，f（0）=f（1）=a，证明：埚x∈［0，1］，使f′（x）≤12证明：将f（0）及f（1）在x∈［0，1］内展开成一阶泰勒公式f（0）=f（x）+f忆（x）（0-x）+12f义（ξ1）（0-x）2（0＜ξ1＜x）f（1）=f（x）+f忆（x）（1-x）+12f义（ξ2）（1-x）2（x＜ξ2＜1）两式相减，同时f（0）=f（1）=a，得f忆（x）+12f义（ξ2）（1-x）2-12f义（ξ1）x2=0f忆（x）≤12f″（ξ2）（1-x）2+12f义（ξ1）x2≤佘智君（贵州大学数学与统计学院公共数学部，贵州贵阳550025）摘要：本文通过不同的实例，介绍了证明不等式的四种常用方法。关键词：不等式；单调性；泰勒公式；凹凸性；辅助函数中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2019）10-0194-02

不等式的常见证明方法

不等式的常见证明方法

不等式常见的三种证明方法

渠县中学 刘业毅

一用基本不等式证明

设cba,,都是正数。求证：.cbacabbacabc

证明：.22cbacabcbacabc•

.22bcababccababc•

.22acabbaccabbac•

).(2)(2cbacabbacabc

.cbacabbacabc

点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。

思维训练：设cba,,都是正数。求证： .222cbacbaacb

二 放缩法证明不等式

已知，对于任意的n为正整数，求证：

1+221+321++n21<47

分析：通过变形将数列{n21}放缩为可求数列。

解： n21=nn•1<)1(1nn=11n—n1（n2）

1+221+321++n21<1+221+231+341++)1(1nn

=1+41+(21—31+31—41++11n—n1)

=45+21—n1

=47—n1

点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。

思维训练：设cba,,都是正数，a+b>c,求证：aa1+bb1>cc1

三 构造函数法证明

证明不等式3ln3121112lnnnn（n为正整数）

分析：显然要构造一个含n的不等式，然后用叠加法证明。我们构造一个函数,1)(',ln1)(2xxxfxxxxf可得这个函数在x=1时取得最小值0.及对x>0有不等式xx11ln，如果令x=kk1，则有111lnkkk，如果令x=1kk，则kkk11ln，即kkkk1ln)1ln(11，然后叠加不等式即可。

解：设函数xxxxfln1)(，则易证0)(xf，即不等式xx11ln对于x>0恒成立，

令x=kk1，则有111lnkkk，令x=1kk，则kkk11ln，即kkk11ln成立。从而有kkkk1ln)1ln(11。