2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题 (理科)(解析版)

2011年普通高等学校全国统一考试（山东卷）

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

（1）设集合2{60}Mxxx，{13}Nxx≤≤，则MNI（ ）

A.[1,2) B. [1,2] C. (2,3] D. [2,3]

解析：{32}Mxx，[1,2)MNI，答案应选A。

（2）复数2(2izii为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

解析：22(2)34255iiizi对应的点为34(,)55在第四象限，答案应选D.

（3）若点(,9)a在函数3xy的图象上，则tan6a的值为（ ）

A.0 B. 33 C. 1 D. 3

解析：2393a，2a，tantan363a，答案应选D.

（4）不等式5310xx≥的解集是（ ）

A.[5,7] B. [4,6] C. (,5][7,)U D. (,4][6,)U

解析：当5x时，原不等式可化为2210x≥，解得6x≥；当35x≤≤时，原不等式可化为810≥，不成立；当3x时，原不等式可化为2210x≥，解得4x≤.综上可知6x≥，或4x≤，答案应选D。

另解1：可以作出函数53yxx的图象，令5310xx=可得4x=或6x，观察图像可得6x≥，或4x≤可使5310xx≥成立，答案应选D。

另解2：利用绝对值的几何意义，53xx表示实数轴上的点x到点3x与5x的距离之和，要使点x到点3x与5x的距离之和等于10，只需4x=或6x，于是当6x≥，或4x≤可使5310xx≥成立，答案应选D。

（5）对于函数()yfx，xR，“()yfx的图象关于y轴对称”是“()yfx是奇函数”的（ ）

A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件

解析：若()yfx是奇函数，则()yfx的图象关于y轴对称；反之不成立，比如偶函数()yfx，满足()yfx的图象关于y轴对称，但不一定是奇函数，答案应选B。

（6）若函数()sin(0)fxx在区间[0,]3上单调递增，在区间[,]32上单调递减，则

A.3 B. 2 C. 32 D. 23

解析：函数()sin(0)fxx在区间[0,]2上单调递增，在区间3[,]22上单调递减，

则23，即32，答案应选C。

另解1：令[2,2]()22xkkkZ得函数()fx在22[,]22kkx为增函数，同理可得函数()fx在223[,]22kkx为减函数，则当0,23k时符合题意，即32，答案应选C。

另解2：由题意可知当3x时，函数()sin(0)fxx取得极大值，则)03f，即cos03，即()32kkZ，结合选择项即可得答案应选C。

另解3：由题意可知当3x时，函数()sin(0)fxx取得最大值，

则2()32kkZ，36()2kkZ，结合选择项即可得答案应选C。

（7）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x（万元）

4

2

3 5

销售额y（万元） 49 26 39 54

根据上表可得回归方程ˆˆˆybxa中的ˆb为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为（ ）

A.63.6万元 B. 65.5万元

C. 67.7万元 D. 72.0万元

解析：由题意可知3.5,42xy，则$$429.43.5,9.1,aa$9.469.165.5y，答案应选B。

（8）已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线均和圆22:650Cxyx相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）

A.22154xy B. 22145xy C. 22136xy D. 22163xy

解析：圆22:(3)4Cxy，3,c而32bc，则22,5ba，答案应选A。

（9）函数2sin2xyx的图象大致是（ ）

解析：函数2sin2xyx为奇函数，且12cos2yx，令0y得1cos4x，由于函数cosyx2 x

A. O y

4

2 x

B. O y

4

2 x

C. O y

4

2 x

D. O y

4

为周期函数，而当2x时，2sin02xyx，当2x时，2sin02xyx，则答案应选C。

（10）已知()fx是R上最小正周期为2的周期函数，且当02x≤时，3()fxxx，则函数()fx的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为（ ）

A.6 B.7 C.8 D.9

解析：当02x≤时32()(1)fxxxxx，则(0)(1)0ff，而()fx是R上最小正周期为2的周期函数，则(2)(4)(6)(0)0ffff，(3)(5)(1)0fff，答案应选B。

(11)右图是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题：

①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；

②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；

③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。

其中真，命题的个数是

A.3 B.2 C.1 D.0

解析：①②③均是正确的，只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱，

让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②直四棱柱的两个侧面

是正方形或一正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真，

答案选A。

（12）设1234,,,AAAA是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()AAAARuuuuruuuur,

1412()AAAARuuuuruuuur,且112，则称34,AA调和分割12,AA，已知平面上的点,CD调和分割点,AB，则下面说法正确的是

A. C可能是线段AB的中点 B. D可能是线段AB的中点

C. C,D可能同时在线段AB上 D. C,D不可能同时在线段AB的延长线上

解析：根据题意可知112cd，若C或D是线段AB的中点，则12c，或12d，矛盾；

若C,D可能同时在线段AB上，则01,01,cd则112cd矛盾，若C,D同时在线段AB的延长线上，则1,1cd，1102cd，故C,D不可能同时在线段AB的延长线上，答案选D。

二、填空题：本大题共4小题·，每小题4分，共16分。

（13）执行右图所示的程序框图，输入2,3,5lmn，

则输出的y的值是 。

解析：1406375278,y

278105173,17310568yy。

答案应填：68.

（14）若62()axx展开式的常数项为60，

则常数a的值为 。

解析：62()axx的展开式6162()kkkkaTCxx

636()kkCax，令630,2,kk 正（主）视图

俯视图

开始

输入非负整数l，m，n

2220lmn702115ylmn105y105y105yy输出y

结束

226()1560,4Caaa，答案应填：4.

（15）设函数()(0)2xfxxx，观察：

1()()2xfxfxx，21()(())34xfxffxx，32()(())78xfxffxx，

43()(())1516xfxffxx，……

根据上述事实，由归纳推理可得：

当*nN，且2n≥时，1()(())nnfxffx 。

解析：2122()(())(21)2xfxffxx，3233()(())(21)2xfxffxx，

4344()(())(21)2xfxffxx，以此类推可得1()(())(21)2nnnnxfxffxx。

答案应填：(21)2nnxx。

16.已知函数()log(0,afxxxba且1)a。

当234ab时函数()fx的零点为0(,1)(*)xnnnN，

则n 。

解析：根据(2)log22log230aafba，

(3)log32log340aafba，而函数()fx在(0,)上连续，单调递增，故函数()fx的零点在区间(2,3)内，故2n。答案应填：2.

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17.（本小题满分12分）

在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知cos2cos2cosACcaBb，

（Ⅰ）求sinsinCA的值；（Ⅱ）若1cos,24Bb，求ABC的面积S。

解：（Ⅰ）在ABC中，由cos2cos2cosACcaBb及正弦定理可得

cos2cos2sinsincossinACCABB，

即sinsin2cossin2sincossincosABCBCBAB

则sinsinsincos2sincos2cossinABABCBCB

sin()2sin()ABCB，而ABC，则sin2sinCA，

即sin2sinCA。

另解1：在ABC中，由cos2cos2cosACcaBb可得

cos2cos2coscosbAbCcBaB