五下数学第5讲——公因数和公倍数(1)

1 第7讲 因数与倍数（公因数与公倍数2）

知识概述

这一讲我们主要介绍最小公倍数与最大公约数之间的关系。

定理一:两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质，即如果(a，b)＝d

那么(a÷d，b÷a)＝1

定理二:两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。即

[a，b]×(a，b)＝a×b。

定理三:两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。

例1、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少?

练习

1.某数与24的最大公因数是4，最小公倍数是168，这个数是多少?

2.甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，且小数不能整除大数，求这两个数。

3.四个连续奇数的最小公倍数为6435，这四个奇数中最大的一个为多少?

例2、两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个数的差。

练习2、

1.两个自然数的和是56，它们的最大公因数是7，求这两个数。

2 2、已知两个自然数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数。

3、两个数的和是70，它们的最大公因数是7，求这两个数的差是多少？

例3、两个数的最大公因数为21，最小公倍数为126，求这两个数的和。

练习3、

1.两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210，这两个数的和是77。求这两个数。

2.两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，这两个数的和是多少？

3.两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54。求这两个数的和。

例4、两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差是114，求这两个自然数。

3 练习4、

1.两个数的差是4，最大公因数与最小公倍数的积是252，求这两个数。

2.两个数的差是30，它们最小公倍数与最大公因数的差是450，求这两个数

3.两个自然数的差是2，它们的最大公因数与最小公倍数之和是86，求这两个数。

1 1.4 公因数、公倍数

 教学内容

教材第12-14页例认识公因数和求最大公因数，认识公倍数与求最小公倍数，课堂活动及练习四的相关内容。

 教材提示

本节课是在学生学习了找因数和找倍数的基础上，学习找两个数的公因数和公倍数。本节课共有三个知识点：

知识点一：公因数和公倍数的认识。

知识点二：最大公因数的认识和求最大公因数的方法。

知识点三：最小公倍数的认识和求最小公倍数的方法。

教材首先通过一个问题情境引入找公因数。把一个长方形剪成大小相等的正方形且没有剩余，实际就是求长和宽的公有的因数。通过找公因数而得到最大公因数。再通过分别找两个数的倍数中发现两个数公有的倍数。并发现公倍数的个数有无限个，但有最小的公倍数。并让学生学会用不同的方法来找最小公倍数。

在教学的过程中，要让学生学会用列举法找公因数和公倍数，而对于用短除法来找最在公因数和最小公倍数，则是这节课的重点，也是难点。在教学中，我们可以借助列举法来探讨用短除法的方法，并结合2、3、5的倍数特征来进行短除法练习。

 教学目标

知识与技能：

探索找两个数的公因数和公倍数的方法，会用列举法和短除法来找两个数的最大公因数和最小公倍数。经历找两个数的公因数的过程，理解最大公因数和最小公倍数的意义。

过程与方法：

经历知识的整理与探究过程，增强归纳、概括等数学能力，进一步发展数感。

情感、态度和价值观：

进一步发展与同伴进行合作交流的意识和能力，获得成功的体验。

 重点、难点

重点

找两个数的公因数和公倍数。 2 难点

用短除法找两个数的最大公因数和最小公倍数。

 教学准备

教师准备：课件。

学生准备：草稿本，长3厘米，宽2厘米的纸片，边长分别为6厘米和8厘米的正方形。

第1讲：公因数和公倍数

例题：

1、 有两根彩带，分别长45厘米和30厘米。现在要把这两根彩带剪成长度相等的短彩带且没有剩余，每段短彩带最长是多少厘米？

2、 有一批地砖，每块长45厘米，宽30厘米，至少要用多少块这样的地砖才能铺成正方形地？

3、 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是300，已知其中一个数是75，求另一个数是多少？

4、 暑假期间，小华、小明和小芳都去参加游戏训练。小华每隔3天去一次，小明每隔4天去一次，小芳每隔6天去一次。8月1日三人都参加了游泳训练后，几月几日他们又再次一起参加训练？

5、 把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1块，巧克力剩3块。你知道这个组最多有几位同学吗？

6、 从学校到少年宫的这段公路的一侧，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？

试一试：

1、 陆老师买了24枝、36本黑面抄分别平均奖给五（2）班的三好学生，结果正好全部分完，问五（2）班最多共有多少名三好学生？

2、 有一批强化地板，长150厘米，宽20厘米，至少要用多少块这样的地板才能铺成正方形地？

3、 两个数的最大公因数是21。最小公倍数是126，已知其中一个数是42，求另一个数是多少？

4、 甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙5天去一次，丙4天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会。问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？

5、 把64个苹果和78个梨，分别平均分给一个组的同学，结果苹果剩下4个，梨剩下3个。问这个组最多有几位同学？

6、 插一排彩旗共26面。原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。除起点一面不移动外，中间还有几面可以不移动？

课内作业：

1、 把一张长12厘米、宽20厘米的长方形纸，裁成同样大小，面积说可能大的正方形，裁完后约没有剩余，至少可以裁多少个？

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第五讲 最大公因数与最小公倍数 （教师版）

理论部分

典型例题与练习

例1、437与323的最大公约数是多少？

基本概念：

1、公约数和最大公约数

几个数公有的约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．．．．．。

例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。

一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。

2、公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，…

18的倍数有18，36，72，90，…

12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和

18的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。

3、最大公约数与最小公倍数的求法

A．最大公约数

求两个数的最大公约数一般有以下几种方法

（1）分解质因数法

（2）短除法

（3）辗转相除法

（4）小数缩倍法

（5）公式法

前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。

当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。

B．最小公倍数

求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法：

（1）分解质因数法