极射赤平投影基本作图方法
§1 极射赤平投影的基本原理
一、投影要素
1、投影球—以任意长为半径的球，球面即球表面
2、赤平面—过投影球球心的水平面
3、基圆—赤平面与球面相交的大圆，或称赤平大圆
凡过球心的平面与球面相交的大圆，统称为大圆，不过球心的一球面与球面相交所成的圆统称小圆。
4、极射点—球上两极发射点，分上半球投影和下球投影。
二、平面和直线的投影的解析
（一）平面投影
1、过球心的平面投影
任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层面、断层面、节理面或轴面等），必然于球面相交成球面大圆，球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面，在赤平面上这些穿透点的连线即为该平面的相应大圆的赤平投影，简称大圆弧。
1）直立大圆（平面）——为基圆直径
2）水平大圆（平面）——为基圆本身
3）倾斜大圆（平面）——以基圆直径为弧的大圆弧
性质：球面大圆投影后在赤平面上仍为一个圆。
2、不过球心的平面投影
不过球心的平面与球面相交成直径小于球直径的小圆、球面小圆投影仍为一个小圆。
1）直立小圆（平面）——部分为基圆内一条弧，部位为基圆外一条弧
2）水平小圆（平面）——为基圆的同心圆
3）倾斜小圆（平面）
①全部位于圆基内的小圆
②部位于基圆内，部分在基圆外
③全部在基圆外
性质：1）球面大圆或球面小圆投影在赤平面仍为一个圆
2）半径角距相等的球面小圆（即面积相等的小圆），其投影小圆面积不等，近基圆圆心处，远离圆在大。
3）任何过极射点（P）的球面大圆或小圆其赤平投影均为一条直线。
4）球面大圆或小圆在赤平面上的投影圆的圆心（R’）与作图圆心（C）是不重合的；只有水平球面大圆和水平球面小圆投影后，投影圆心（R’）作图圆心（C）与基圆的圆心O点重合，并且投影圆的圆心（R’）与基圆圆心（O）愈远，R’与C分离愈大。
（二）直线投影
过球心的直线无限延伸心交于球面两点，称极点。
1、铅直线投影点为基圆圆心
第３６卷第３６期 ２ ０ １ ０年１ ２月 山 西 建 筑 ＳＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩＴＥＣＴＵＲＥ ＶｏＪ．３６ Ｎｏ．３６ Ｄｅｃ． ２０１０ －３５７・
文章编号：１００９—６８２５（２０ｌ ｏ】３６—０３５７—０２
ＭＡＴＬＡＢ在极射赤平投影中的应用
潘冀川 贾振华 郑德超
摘 要：结合ＭＡＴＬＡＢ７．０数学工具，介绍了赤平投影在ＭＡＴＬＡＢ中的实现方法，实现了节理统计的功能，能够绘制节理
玫瑰花图和等密图，为实现边坡稳定性分析等工程问题提供相应的基础资料。
关键词：ＭＡＴＬＡＢ，极射赤平投影，玫瑰花图，等密图
中图分类号：ＴＵ１９８ 文献标识码：Ａ
极射赤平投影的应，｝Ｊ十分Ｊ 泛，如应力场的分析，节理统计
的分析等。但是由于投影所使用的吴氏网精度小，手工绘图的误
差又难以避免，因此结果并不是很准确。而ＭＡＴＬＡＢ因其在科学 计算和绘图方面的强大功能，若能对面和线的投影做出正确的数
学解析，并结合极射赤平投影的原理，那么就可以编写相应的程
序，用ＭＡＴＬＡＢ做出赤平投影 并给出相应的结果，从而大大提
高赤平投影的精确性。
本文叶１首先分析了线、面、两直线确定平面、两平面交线、两
平面夹角在ＭＡＴＬＡＢ的实现方法，在此基础上实现了玫瑰花图和
等密图自动绘制。
１ 赤平投影在ＭＡＴＬＡＢ中的实现方法
１。１ 基础函数
１）给定Ａ，Ｂ两点，求解线段ＡＢ的巾垂线方程 ＋ ＋Ｃ＝０。
在ＭＡＴＬＡＢ中建立函数文件ｚｈｏｎｇｅｈｕｉｘｉａｎ，根据基本的代数
运算即可求得Ａ，Ｂ，Ｃ的值，这样就可以得到中垂线方程。
２）给定Ａ，Ｂ，Ｃ三点，求解其外接圆的圆心和半径。
先求出ＡＢ，ＡＣ的中垂线方程，联立求得圆心坐标（ａ，ｂ），然
后即可求得半径ｒ 在ＭＡＴＬＡＢ中建立函数文件ｏｕｔｔｒａｎｇｌｅ：利用 ＭＡＴＩ ＡＢ函数语句ｆｕｎｃｔｉｏｎ［ａ，ｂ，ｒ］＝ｏｕｔｔｒａｎｇｌｅ（ｘ１，Ｙｌ，Ｘ２，Ｙ２，Ｘ３，
极射赤平投影CAD图解
一、序言
岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理
（一）投影要素
极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：
1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
极射赤平投影基本作图方法
§1 极射赤平投影的基本原理
一、投影要素
1、投影球—以任意长为半径的球，球面即球表面
2、赤平面—过投影球球心的水平面
3、基圆—赤平面与球面相交的大圆，或称赤平大圆
凡过球心的平面与球面相交的大圆，统称为大圆，不过球心的一球面与球面相交所成的圆统称小圆。
4、极射点—球上两极发射点，分上半球投影和下球投影。
二、平面和直线的投影的解析
（一）平面投影
1、过球心的平面投影
任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层面、断层面、节理面或轴面等），必然于球面相交成球面大圆，球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面，在赤平面上这些穿透点的连线即为该平面的相应大圆的赤平投影，简称大圆弧。
1）直立大圆（平面）——为基圆直径
2）水平大圆（平面）——为基圆本身
3）倾斜大圆（平面）——以基圆直径为弧的大圆弧
性质：球面大圆投影后在赤平面上仍为一个圆。
2、不过球心的平面投影
不过球心的平面与球面相交成直径小于球直径的小圆、球面小圆投影仍为一个小圆。
1）直立小圆（平面）——部分为基圆内一条弧，部位为基圆外一条弧
2）水平小圆（平面）——为基圆的同心圆
3）倾斜小圆（平面）
①全部位于圆基内的小圆
②部位于基圆内，部分在基圆外
③全部在基圆外
性质：1）球面大圆或球面小圆投影在赤平面仍为一个圆
2）半径角距相等的球面小圆（即面积相等的小圆），其投影小圆面积不等，近基圆圆心处，远离圆在大。
3）任何过极射点（P）的球面大圆或小圆其赤平投影均为一条直线。
4）球面大圆或小圆在赤平面上的投影圆的圆心（R’）与作图圆心（C）是不重合的；只有水平球面大圆和水平球面小圆投影后，投影圆心（R’）作图圆心（C）与基圆的圆心O点重合，并且投影圆的圆心（R’）与基圆圆心（O）愈远，R’与C分离愈大。
（二）直线投影
过球心的直线无限延伸心交于球面两点，称极点。
1、铅直线投影点为基圆圆心
