因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析：1 -3
7 2
2-21=-19
7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.
第四章 因式分解
3．公式法（二）
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识．对于公式逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。
学生活动经验基础：通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验。本节课的学习模式与前者基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以及要求分解彻底。这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．
二、教学任务分析
学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
本节课的具体教学目标为：
1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．
2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：复习回顾——学习新知——落实基础——范例学习——随堂练习——自主小结——作业布置．
第一环节 复习回顾
活动内容：
活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法．
注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容．
第二环节 学习新知
活动内容：
活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如222baba的多项式称为完全平方式．
1 因式分解一提公因式法
【知识要点】
1、分解因式的概念
把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式 。
2、分解因式与整式乘法的关系
分解因式与整式乘法是 的恒等变形。
3．分解因式的一些注意点
（1）结果应该是 的形式；（2）必须分解到每个因式都不能 为止；
（3）如果结果有相同的因式，必须写成 的形式。
4．公因式
多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的 .
5.提公因式法
如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.
6.确定公因式的方法
(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为 ;
(2)字母公因式:应取多项式中各项字母为 .
《重点辨析》
提取公因式时的注意点
多项式的形式 注意点
多项式的首项系数为负数 (1)首项为负数,一般要提出“-”号;(2)在括号内的多项式的各项都要变号.如)(cbammcmbma
公因式是多项式 公因式是多项式时,可把这个因式作为一个整体提出,如)23)(()(2)(3nmbabanbam
多项式的某一项恰是公因式 提公因式后,括号内的项数,不增不减,特殊是某一项为1,千万不要漏掉此项,如)1(bammmbma
底数需调整为同底数幂 32)()(abba可调整为:32)()(baba或32)()(abab
1 十字相乘法、分组分解法
【知识要点】
1.十字相乘法
（1）二次项系数为1的二次三项式qpxx2中，如果能把常数项q分解成两个因式ba,的积，并且ba等于一次项系数中p，那么它就可以分解成
bxaxabxbaxqpxx22
（2）二次项系数不为1的二次三项式cbxax2中，如果能把二次项系数a分解成两个因数21,aa的积，把常数项c分解成两个因数21,cc的积，并且1221caca等于一次项系数b，那么它就可以分解成：2112212212ccxcacaxaacbxax221cxaaxa。
2．分组分解法
（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22abab没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：
22abab=22()()()()()()(1)ababababababab，
这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
【典型例题】
例1 把下列各式分解因式
（1）2914xx= （2）212xx=
（3）2812xx= （4）2710xx=
（5）228xx= （6）2922xx=
姓 名：
