因式分解(二)

1 代数（六）

因式分解（二）

——十字相乘、分组分解

【知识要点】

1.十字相乘法

（1）二次项系数为1的二次三项式qpxx2中，如果能把常数项q分解成两个因式ba,的积，并且ba等于一次项系数中p，那么它就可以分解成

bxaxabxbaxqpxx22

（2）二次项系数不为1的二次三项式cbxax2中，如果能把二次项系数a分解成两个因数21,aa的积，把常数项c分解成两个因数21,cc的积，并且1221caca等于一次项系数b，那么它就可以分解成：2112212212ccxcacaxaacbxax221cxaaxa。

2．分组分解法

（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22abab没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

22abab=22()()()()()()(1)ababababababab，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

【典型例题】

例1 把下列各式分解因式

（1）2914xx= （2）212xx=

（3）2812xx= （4）2710xx=

（5）228xx= （6）2922xx=

因式分解方法大全（二）

因式分解四个注意：

因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”

⑸拆项、添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

⑹配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：x²+3x-40

⑺应用因式定理

对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．

例如：f(x)=x x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(事实上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)

注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；

2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

⑻换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

因式分解（二）

一、分组分解法

（一）分组后能直接提公因式

例题1 分解因式：bnbmanam

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.

例题2 分解因式：bxbyayax5102

对应练习题 分解因式：

1、bcacaba2 2、1yxxy

（二）分组后能直接运用公式

例题3 分解因式：ayaxyx22 例题4 分解因式：2222cbaba

对应练习题 分解因式：

3、yyxx3922 4、yzzyx2222

综合练习题 分解因式：

（1）3223yxyyxx （2）baaxbxbxax22

（3）181696222aayxyx （4）abbaba4912622

二、十字相乘法

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解.

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和.

例题1 分解因式：652xx 例题2 分解因式：672xx

对应练习题 分解因式：

(1)24142xx (2)36152aa (3)542xx

（二）二次项系数不为1的二次三项式——2axbxc

条件：（1）21aaa 1a

1c

（2）21ccc 2a 2c

1 因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知abc，，是ABC的三边，且222abcabbcca，

则ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bnbmanam

2 例2、分解因式：bxbyayax5102

练习：分解因式1、bcacaba2 2、1yxxy