有限循环小数

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循环小数、有限小数、无限小数

教学内容：

义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学五年级上册40—44页

教学目标：

1．借助具体计算发现余数和商的特点，理解循环小数的特点，会用循环小数表示除法的商。

2．结合实例明确有限小数和无限小数的意义，能正确区分有限小数和无限小数，并渗透极限的数学思想。

3．通过选择生活中的数据信息，体现数学的文化价值，使学生感受数学与生活的密切联系，提高学生解决简单实际问题的能力。

4．培养学生的分析能力、分类能力和概括能力。

教学重难点：

重点：理解循环小数、无限小数、有限小数的意义。

难点：1．怎样判断除得的商是循环小数。

2．区分有限小数和无限小数。

教学准备：多媒体课件、实物投影台

教学过程：

一、拟定导学提纲，自主预习

1.设趣板题：

导入：同学们，在咱们民间祖祖辈辈流传一个故事，你们知道吗？（老师放慢语速提醒：“从前有座山„„”学生会很快接着往下说）。

1、让生说说为什么这个故事有什么特点？

2、揭示“循环”，让生举例生活中的循环现象。

3、引入到数学现象中。

4、课件展示三峡大坝和十三陵蓄能坝的高度信息，让学生提出问题：三峡大坝的高度约是十三陵蓄能坝的多少倍？列出算式：185÷75=，这节课咱们就来继续研究大坝的问题

【板书课题：循环小数、有限小数、无限小数】 2 2.出示目标：

本节课要达到以下学习目标：（出示目标：⑴借助具体计算发现余数和商的特点，理解循环小数的特点，会用循环小数表示除法的商。⑵结合实例明确有限小数和无限小数的意义，能正确区分有限小数和无限小数，并渗透极限的数学思想。）请大家齐声读一遍。

3. 出示自学指导：

过渡：为了完成本节课的学习目标。请同学们看自学指导：

（自学指导：认真看课本第40页“红点”的内容和44页“你知道吗？”的内容。重点看竖式计算的过程，思考：①商和余数有什么特点？②这个“商”的小数位数有多少 ？③你会计算8.05÷3.7吗？④在横式中怎样表示“商”？你发现了什么？它们和以前学过的小数有什么区别？）

有限小数+无限循环小数=分数？

证明：

1. 任何一个分数都可以化成一个循环小数。

方法：直接用除法很容易得到。

2. 任何一个小数都可以化成一个分数。

1) 对于有限小数，小数点每右移一位，同时在分母上就乘以10，直到小数变成整数为止。然后在进行约分化简。

2) 对于纯循环小数，利用19.0进行转化。以循环节为分子，以和循环节数字个数相同的9所组成的数为分母，再把这个分数进行约分化简，就得到了该纯循环小数所对应的分数。

例如：191929492317313570.20.30.730.1357993999999循环节循环节循环节循环节个个个个，，，

3) 对于混循环小数，可以先把该分数分为有限部分和无限部分，有限部分采用1)中方法，无限部分首先转化为纯循环小数，再采用2)中方法。然后二者通分相加。

例如：901019021011102.01.120.01.121.1

《循环小数》基础习题

1、 填空题。

（1）一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字（），这样的小数叫做（）。

（2）在…、、、…、这些数中，循环小数有（）。

（3）…保留整数是（），精确到百分位是（）。

2、判断题。

（1）÷≈（）

（2）…中不断重复出现的是“13”。（）

（3）循环小数都是无限小数。（）

（4）是循环小数。（）

3、计算下面各题，除不尽的用循环小数表示商。

（1）÷4

（2）÷6

（3）29÷11

4、在括号里填上“＞”、“＜”或“＝”。

（）

（） （） （）

5、鸵鸟奔跑时最高速度可达72千米/时，非洲野狗的速度最高可达55千米/时，鸵鸟的最高速度是非洲野狗的多少倍（得数用简便方法表示。）

参考答案：

1、（1）依次不断重复出现循环小数

（2）…、

（3） 2、（1）×

（2）√

（3）√

（4）×

3、（1）

（2）

（3）

4、＞＞＜＞

5、72÷55＝ 答：鸵鸟的最高速度是非洲野狗的倍。

循环小数及周期

知识要点：

纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9.9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。

混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0.9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

例1 计算：98.087.076.065.054.043.032.021.0

解：将以上循环小数化成分数后：

原式＝90819071906190519041903190219011

＝901（11+21+31+41+51+61+71+81）

＝90192×8÷2

＝4454

例2 3716写成循环小数后，小数点后500个数字之和是多少？

解：3716＝999432＝234.0 又因为：500÷3＝166……2，所以这个循环小数小数点后500个数字之和是：166×（4＋3＋2）+4+3＝1501。

例3 分母是31的所有最简真分数的和是61.0的多少倍？

解：分母是31的所有最简真分数的和为： 31303129313312311

＝311（1＋2＋3＋……29＋30）

＝31131×30÷2

＝15

61.0化成分数是6190116

15÷61＝90

所以，分母是31的所有最简真分数的和是61.0的90倍。

例4 132化成小数后，它小数部分前1000位数字偶位数字之和与奇位数字之和的差是多少？

解：132化成小数是653841.0，又因为1000÷6＝166……4

所以它小数部分前1000位数字偶位数字之和与奇位数字之和的差是：