高中函数题型及解题方法

高中函数题型总结

高中数学中的函数是一个重要的内容，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。函数题型是高中数学中经常出现的题型之一，涉及到函数定义、函数性质、函数图像、函数的运算以及函数的应用等内容。本文将对高中函数题型进行总结。

高中函数题型主要包括以下几个方面：

1. 函数定义题型：此类题型一般要求根据给定的条件写出函数的表达式或者定义域、值域等。例如，已知函数f(x)的定义域为x≥1，且f(x) = 2x + 3，求f(2)的值。

2. 函数性质题型：此类题型要求根据函数的性质进行判断、证明或计算。例如，已知函数f(x)是奇函数，求证g(x) = f(x) +

f(-x)是偶函数。

3. 函数图像题型：此类题型要求根据函数图像求函数的性质、方程或者函数值等。例如，已知函数f(x)的图像上存在过点A(2,3)，点B(0,1)，点C(-1,2)，求函数f(x)的解析式。

4. 函数的运算题型：此类题型要求对函数进行四则运算、复合运算等。例如，已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2，求f(x) +

g(x)的值。

5. 函数的应用题型：此类题型要求将函数的概念应用到实际问题中，进行建模和求解。例如，已知某产品的销售量与价格之间的关系可以用函数模型表示，求函数的最大值或最小值。

在解答高中函数题型时，我们可以采用以下几个方法：

1. 熟练掌握函数的基本概念和性质：包括对函数定义、定义域、值域、奇偶性、单调性、图像的特点等的理解和应用。

2. 理清题意，仔细读题：准确理解题目中所给的条件和要求，并将其转化为数学的语言和符号。

3. 运用已学过的知识进行解答：根据所给的题目进行分类，运用相应的方法和公式进行解答。可以通过列方程、画图、代入等方法求解。

4. 灵活运用求解思路：对于复杂的函数题目，可以尝试将其拆分成多个简单的小问题，分步进行求解。

在解答过程中，我们需要注意以下几个方面：

高一函数零点题型归纳

函数零点是高中数学中的一个重要概念，它涉及到函数的值、图像、单调性等多个方面。以下是高一函数零点的一些常见题型及其解题方法：

一、判断零点个数

例题：函数

f(x) = x^{2} - 2x

f(x)=x

2

−2x在区间

( - 3,3)

(−3,3)内的零点个数为( )

A.

0

0 B.

1

1 C.

2

2 D.

3

3

解析：首先确定函数的对称轴为

x = 1

x=1，然后判断函数的开口方向为向上。接下来，根据对称轴和区间端点的距离，可以确定函数在区间内的零点个数。

二、求函数的零点

例题：函数

f(x) = \log_{2}(x - 3)

f(x)=log

2

(x−3)的零点是( )

A.

2

2 B.

3

3 C. 4

4 D.

5

5

解析：对数函数的零点即为使对数内部表达式等于1的x值。因此，令

x - 3 = 1

x−3=1，解得

x = 4

x=4。

三、判断零点所在区间

例题：函数

f(x) = x^{3} - x^{2} - x

f(x)=x

3

−x

2

−x在区间

( - 1,2)

(−1,2)内的一个零点所在的区间是( )

A.

(0,1)

(0,1) B.

(1,2)

(1,2) C.

( - 1,0)

(−1,0) D.

(0,2)

(0,2)

解析：先确定函数在给定区间端点的函数值，然后判断其正负性。如果端点函数值异号，则该区间内必存在零点。

四、应用题中的零点问题

例题：某商品的成本价为每件30元，售价不超过50元时，售价y(元)与售价的整数部分x满足关系式：

y = x + 20

y=x+20，当成本价与售价相等时，每月最多可售出该商品____件。

解析：根据题意，当成本价与售价相等时，即

30 = x + 20

30=x+20，解得

x = 10

x=10。由于售价的整数部分为10，则售价为30元。再根据一次函数的性质，当斜率大于0时，函数单调递增，因此每月最多可售出该商品33件。

高中数学解题方法

数学是研究现实世界中空间形式和数量关系的科学.数和形是数学中最基本的两大概念，也是整个数学发展过程中的两大柱石，而数和形是相互联系，也是可以相互转化的.把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质转化成数量关系问题，这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法.其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.

数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取“胸中有图，见数想图”，以开拓自己的思维视野.

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.

以下就对“以形助数”试做一番探讨：

一、与方程的根有关的问题

例1.若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间，求k的取值范围. 分析：令f（x）=x2+2kx+3k，其图像与x轴的交点的横坐标就是方程f（x）=0的根，由y=f（x）的图像可知，要使两根都在-1，3之间，只需f（-1）>0，f（3）>0，f（-b2a）=f（-k）a.1个 b.2个 c.3个 d.1个或2个或3个

分析：判断方程的根的个数等价于判断图像y=a|x|与y=|logax|的图像交点个数，出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（b）.

二、与不等式有关的问题

例3.解不等式x+2>x.

解：令y1=x+2，y2=x，则不等式x+2>x的解，就使y1=x+2在y2=x的上方的那段对应的横坐标，如图，不等式的解集为{x|xa≤x1，两函数图象如图1所示，显然当x∈（1，2）时，

1函数性质的八大题型综合应用

题型梳理

【题型1 函数的单调性的综合应用】

【题型2 函数的最值问题】

【题型3 函数的奇偶性的综合应用】

【题型4 函数的对称性的应用】

【题型5 对称性与周期性的综合应用】

【题型6 类周期函数】

【题型7 抽象函数的性质】

【题型8 函数性质的综合应用】

命题规律

从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是

高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，

解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等

函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；

对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.

知识梳理

【知识点1 函数的单调性与最值的求解方法】

1.求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2.函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增

异减”的原则.

(3)函数单调性的几条常用结论：

①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；

②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；

2③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)

为增函数，1

f(x)为减函数；

④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1

f(x)为增函数．

3.求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.