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《实变函数论》纯答案

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1. 证明：

BAABU

的充要条件是AB

.

证明：若

BAABU

，则

ABAABU

，故AB

成立.

反之，若AB

，则

BAABABBUU

，又xB，若xA，则



xBAAU

，若xA，则

xBABAAU

.总有

xBAAU

.故



BBAAU

，从而有

BAABU

。 证毕

2. 证明cABABI

.

证明：xAB，从而,xAxB

，故,cxAxB

，从而xAB，

所以cABABI

.

另一方面，cxABI

，必有,cxAxB

，故,xAxB

，从而xAB，

所以 cABABI

.

综合上两个包含式得cABABI

. 证毕

3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9.

证明：定理4中的（3）：若AB



（），则AB



II

.

证：若xA

I

，则对任意的，有xA



，所以AB



（）成立

知xAB



，故xB

I

，这说明AB



II

.

定理4中的（4）：()()()ABAB



UUUUU

.

证：若()xAB



UU

，则有'

，使

''()()()xABAB





UUUU

.

反过来，若()()xAB



UUU

则xA

U

或者xB

U

.

不妨设xA

U

，则有'

使

'''()xAABAB





UUU

.

故()()()ABAB



UUUUU

.

综上所述有()()()ABAB



UUUUU

.

定理6中第二式()

ccAA

IU

. 1证：()cxA

I

，则xA

I

，故存在'

，

'xA



所以

'ccxAA



U

从而有()

ccAA

IU

.

反过来，若

cxA

U

，则'

使

'cxA



，故

'xA



，

xA

I

，从而()cxA

I

()

ccAA

IU

. 证毕

定理9：若集合序列

12,,,,

nAAAKK

单调上升，即

1nnAA



（相应地

1nnAA



）对一切n

都成立，则

1lim

n

n

nA



U

（相应地）

1lim

n

n

nA



I

.

证明：若

1nnAA



对nN成立，则

im

imAA

I

.故从定理8知

11liminf

nim

n

mimmAAA



UIU

另一方面,mn

，令

mi

imSA

U

，从

1mmAA



对mN成立知

11

111()()

mimimiim

imimimimSAAAAAAS



UUUUUU

.故定理8表明

1

111limsupliminf

nimmn

nn

mimmmAASSAA



IUIU

故

1limlimsupliminf

nnnm

nnn

mAAAA



U

.

4. 证明

ABBABBUU

的充要条件是B.

证：充分性 若B，则

ABBAAAAAUUUU

必要性 若

ABBABBUU

，而B则存在xB.

所以

xABBABBUU

即所以,xABxBU

这与xB矛盾，

所以xB.

4. 设

1,2,3,4,1,2,3,4SA

,求

FA

.又如果1

;1,2,3,,Sn

n





L

01

;A

n



为奇数

,

111

1,,,,

321A

i



LL,问

01,FAFA

是什么.

解:若

1,2,3,4,1,2,3,4SA

,则



,1,2,3,4,1,2,3,4FA

. 2若

011111

;1,2,3,,;1,,,,

3521SnA

nni





LLL为奇数

, 则从111111

1,,,,,,,

3521242c

ii



LLLL

,

易知111111

,,1,,,,,,,,

3521242FAS

ii





LLLL.



111

1,,,,

321A

i



LL. 令11

;1,2,,;1,2,

212BiCi

ii





LL

.

°

1,FASAKABKCKAUU@为的子集，或

.

证明: 因为11

1,,,,,

321AB

i



LL

的任何子集

1FA

.

所以有

1BFA

,而cBC

,故

1CFA

,又

1FA

.

任取B

的一子集A

,

1AAFAU

,且

1ACFAU

.

显°

SA

,故只用证°

A

的确是一个

域.

(1) °

,ccSSA

,且B

的子集A

,若K,则

°

,cKAAACUU

(BA

是B

的子集,故°°c

c

AACFAUU)

又B

的子集A

,c

ccc

ACACABUII

.

显然是B

的子集,所以°c

c

ACABAUIU

.

又若

nA

为B

的子集

1,2,3,,

nnKCL

或.

则°°

111nnnn

nnnAKAKAK







UUUUUU

.

这里°

1n

nAAB

U

是B

的子集. 3

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实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案

实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案

第一章习题参考解答

1

第一章习题参考解答

3．等式)()(CBACBA成立的的充要条件是什么？

解： 若)()(CBACBA，则 ACBACBAC)()(.

即，AC.

反过来, 假设AC, 因为BCB. 所以, )(CBABA. 故,

CBA)()(CBA.

最后证，CBACBA)()(

事实上，)(CBAx, 则Ax且CBx。若Cx，则CBAx)(；若Cx，则Bx，故CBABAx)(. 从而, CBACBA)()(.

AACBACBAC)()(. 即 AC.

反过来，若AC，则 因为BCB所以)(CBABA 又因为AC，所以)(CBAC故 )()(CBACBA 第一章习题参考解答

2 另一方面，AxCBAx)(且CBx，如果Cx则 CBAx)(；如果,Cx因为CBx，所以Bx故BAx. 则 CBAx)(. 从而CBACBA)()(

于是，)()(CBACBA

4．对于集合A，定义A的特征函数为AxAxxA,0,1)(， 假设nAAA,,,21是一集列 ，证明：

（i）)(inflim)(inflimxxnnAnnA

（ii）)(suplim)(suplimxxnnAnnA

证明：（i）)(inflimnnmNnnnAAx，N0n，0nm时，mAx.

所以1)(xmA，所以1)(inf0xmAnm故1)(infsup)(inflimxxmnAnmNbAn

NnAxnninflim，有nkAxnnnm

有0)(inf0xAxmnkmAnmAk，故0)(infsupxmAnmNb ，即)(inflimxnAn=0 ，从而)(inflim)(inflimxxnnAnnA

实变函数论与泛函分析课后答案

实变函数论与泛函分析课后答案

.

. 第一章习题参考解答

3．等式)()(CBACBA成立的的充要条件是什么？

解： 若)()(CBACBA，则 ACBACBAC)()(.

即，AC.

反过来, 假设AC, 因为BCB. 所以, )(CBABA. 故,

CBA)()(CBA.

最后证，CBACBA)()(

事实上，)(CBAx, 则Ax且CBx。若Cx，则CBAx)(；若Cx，则Bx，故CBABAx)(. 从而, CBACBA)()(.

AACBACBAC)()(. 即 AC.

反过来，若AC，则 因为BCB所以)(CBABA 又因为AC，所以)(CBAC故 )()(CBACBA

另一方面，AxCBAx)(且CBx，如果Cx则 CBAx)(；如果,Cx因为CBx，所以Bx故BAx. 则 CBAx)(. 从而CBACBA)()(

于是，)()(CBACBA

4．对于集合A，定义A的特征函数为AxAxxA,0,1)(， 假设nAAA,,,21是一集列 ，证明：

（i）)(inflim)(inflimxxnnAnnA

（ii）)(suplim)(suplimxxnnAnnA

证明：（i）)(inflimnnmNnnnAAx，N0n，0nm时，mAx.

所以1)(xmA，所以1)(inf0xmAnm故1)(infsup)(inflimxxmnAnmNbAn .

. NnAxnninflim，有nkAxnnnm

有0)(inf0xAxmnkmAnmAk，故0)(infsupxmAnmNb ，即)(inflimxnAn=0 ，从而)(inflim)(inflimxxnnAnnA

西南大学《实变函数论》网上作业及参考答案

西南大学《实变函数论》网上作业及参考答案

1：[单选题]1.开集减去闭集是（ ）

A:A.开集

B:B.闭集

C:C.既不是开集也不是闭集

参考答案：A

2：[单选题]2.闭集减去开集是（ ）

A:开集

B:闭集

C:既不是开集也不是闭集

参考答案：B

3：[单选题]

A:开集

B:闭集

C:可测集

参考答案：C

4：[单选题]6.可数集与有限集的并是（ ）

A:有界集

B:可数集

C:闭集

参考答案：B

5：[判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。

参考答案：正确

6：[单选题]1.开集减去闭集是（）。

A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集

参考答案：A

7：[单选题]5.可数多个开集的并是（ ）

A:开集

B:闭集

C:可数集

参考答案：A

8：[判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。

参考答案：错误

9：[判断题]6.闭集一定是可测集合。

参考答案：正确

10：[判断题]10.开集一定是可测集合。

参考答案：正确

11：[判断题]4.连续函数一定是可测函数。

参考答案：错误

12：[判断题]

参考答案：正确

13：[判断题]2.有界集合的测度一定是实数。

参考答案：正确

14：[判断题]1.可数集合是零测集

参考答案：正确

15：[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。

参考答案：错误

16：[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。

参考答案：错误

1：[单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是

A:0

B:2

C:4

参考答案：C

2：[单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是

A:0

B:2

C:4

参考答案：A

3：[单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（ ）

A:0

B:1

C:2

参考答案：A 4：[单选题]1.[0,1] 中的全体无理数构成的集合的测度是（ ）

《实变函数论与泛函分析(曹广福)》1到5章课后习题答案

《实变函数论与泛函分析(曹广福)》1到5章课后习题答案

第一章习题参考解答

1

第一章习题参考解答

3. 等式(A  B)  C  A  (B  C) 成立的的充要条件是什么？

解： 若(A  B)  C  A  (B  C)，则 C  (A  B)  C  A  (B  C)  A .

即， C  A .

反过来, 假设 C  A , 因为 B  C  B . 所以, A  B  A  (B  C) . 故,

( A  B)  C  A  (B  C) .

最后证， A  (B  C)  (A  B)  C

事实上， x  A  (B  C) , 则 x  A 且 x  B  C 。若 x  C ，则 x (A  B)  C ；

若 x  C ，则 x  B ，故 x  A  B  (A  B)  C . 从而, A  (B  C)  (A  B)  C .

C  (A  B)  C  A  (B  C)  A    A . 即 C  A .

反过来，若 C  A ，则 因为 B  C  B 所以 A  B  A  (B  C) 又因为C  A ，

所以C  A  (B  C) 故 (A  B)  C  A  (B  C)

另一方面，x  A  (B  C)  x  A 且 x  B  C ，如果 x  C 则 x (A  B)  C ；

如果 x  C, 因为 x  B  C ，所以 x  B 故 x  A  B . 则 x (A  B)  C . 从而

A  (B  C)  (A  B)  C

于是， (A  B)  C  A  (B  C)

1,

x  A

4. 对于集合 A，定义 A 的特征函数为  A (x)  