高三数学一轮复习 第4讲 直线与圆锥曲线教案-人教版高三全册数学教案

第四讲 直线与圆锥曲线

一、考情分析

直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，主要涉及弦长、中点弦、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．

解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．

本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．

二、知识归纳

（一）直线与圆锥曲线问题的解决思路

“三十二字思路”：设而不求，求而不设；联立消元，二次判别；

韦达已知，解决问题；遇弦中点，点差优先．

（二）直线与椭圆

2222222222222010ykxmakbxmkaxambxyabab，显然，2220akb；

（1）当0时，直线与椭圆只有一个公共点，属于直线与椭圆相切；

（2）当0时，直线与椭圆有两个公共点，属于直线与椭圆相交；

（三）直线与双曲线

22222222222220100ykxmakbxmkaxambxyabab，，

（1）若2220bakbka时，直线平行于双曲线的渐进线，此时，

①当0m时，直线与渐进线重合，与双曲线无交点；

②当0m时，直线与双曲线只有一个公共点，属于一个交点的相交，而不是相切；

（2）若2220bakbka时，直线不平行于双曲线的渐进线，此时，

①当0时，直线与双曲线只有一个公共点，属于直线与双曲线相切；

②当0时，直线与双曲线有两个公共点，属于直线与双曲线相交；

（四）直线与抛物线

22222020ykxmkxmkpxmypxp，

（1）若0k时，直线平行于抛物线的对称轴，此时，直线与抛物线只有一个公共点，属于一个交点的相交，而不是相切；

（2）若0k时，直线不平行于抛物线的对称轴，此时， ①当0时，直线与抛物线只有一个公共点，属于直线与抛物线相切；

②当0时，直线与抛物线有两个公共点，属于直线与抛物线相交；

三、精典例析

例1：已知曲线22148xyC：，定点10M，，直线l经过点01，，斜率为t，与曲线C交于不同的两点AB、，设AB的中点为P，求直线MP的斜率k关于t的函数关系kft．

解析：设直线l的方程为1lytx：，112200,AxyBxyPxy，，，，，则：

222212290148ytxtxtxxy，

∴22t， 2904t，且1212002222xxyytxyt，

∵120022112222txtxtxytt，，

∴020212ykxtt；

故2233221122222kttt，，，，．

例2：已知椭圆222210xyabab的离心率36e，过点0Ab，和0Ba，的直线与原点的距离为23．

（1）求椭圆的方程． （2）已知定点10E，，若直线20ykxk与椭圆交于CD、两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过10E，点？请说明理由．

解析：（1）直线AB方程为：0bxayab，则：

22633312caaabbab　　，

∴椭圆方程为1322yx．

（2）假若存在这样的k值，设1122CxyDxy，，，，则：

22222131290330ykxkxkxxy　，

∴0)31(36)12(22kk，且1212221291313kxxxxkk，，

∵2121212122224yykxkxkxxkxx，

∴要使以CD为直径的圆过10E，点，当且仅当CEDE时，则：

121212121(1)(1)011yyyyxxxx．

∴05))(1(2)1(21212xxkxxk，

∴67k，经验证，67k时符合题意．

综上，存在67k，使得以CD为直径的圆过10E，点．

例3：已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆2210200xyx相切．过点4,0P作斜率为14的直线l，使得l和G交于AB、两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足2PAPBPC． （1）求双曲线G的渐近线的方程；

（2）求双曲线G的方程；

（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程．

解析：（1）设双曲线G的渐近线的方程为：ykx，则：

∵渐近线与圆2210200xyx相切，∴251521kkk．

故双曲线G的渐近线的方程为：12yx．

（2）设双曲线G的方程为：224xym，则：

2221438164044yxxxmxym，

∴8164 33ABABmxxxx， ，

∵ 2PAPBPC，PABC、、、共线且P在线段AB上，

∴

244164320PABPPCBAABABxxxxxxxxxxxx，

例4：（05年湖北卷）设AB、是椭圆223yx上的两点，点13N，是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于CD、两点．

（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

（2）试判断是否存在这样的，使得AB、、CD、四点在同一个圆上？并说明理由． 解析：（1）法1：显然，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为(1)3ykx，设1122()()AxyBxy，，，，则：

22222(1)3(3)2(3)(3)03ykxkxkkxkxy，

∴224[(3)3(3)]0kk，且21212222(3)(3)33kkkxxxxkk，，

∵点13N，是线段AB的中点，

∴2121(3)312xxkkkk，直线AB的方程是：

3140yxxy．

∴12，故的取值范围是12,．

法2：设1122()()AxyBxy，，，，则：

221112121212222233()()()()03xyxxxxyyyyxy，

∴12123()ABxxkyy；

∵点13N，是线段AB的中点，∴121226xxyy，，

∴1ABk，直线AB的方程是3140yxxy．

∵点13N，在椭圆的内部，∴2231312．

故的取值范围是12,．

（2）法1：∵直线CD垂直平分线段AB，

∴直线CD的方程为3120yxxy，

又设3344()()CxyDxy，，，，CD的中点00()Mxy，，则： 2222044403xyxxxy，

∴103，且341xx，03400113()2222xxxyx，，即1322M，．

∴2341||1()||2(3)CDxxk，

又22240481603xyxxxy，2012，

同理可得：2121||2(12)ABkxx，

∴当12时，2(3)2(12)ABCD．

假设在在12，使得AB、、CD、四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心，点M到直线AB的距离为：

0013|4||4|3222222xyd，

∴222229123||||||||22222ABCDMAMBd．

故当12时，AB、、CD、四点均在以M为圆心，2||CD为半径的圆上．

（注：上述解法中最后一步也可如下解法获得：

∵AB、、CD、共圆△ACD为直角三角形，A为直角2||||||ANCNDN，

∴2||222CDCDABdd，

∵ 2(3)2(3)32323912222222222CDCDdd

即A、B、C、D四点共圆．）

例5：（05年江西卷）如图，设抛物线2Cyx：的焦点为F，动点P在直线20lxy：上运动，过P作抛物线C的两条切线PAPB、，且与抛物线C分别相切于AB、两点．

（1）求△APB的重心G的轨迹方程；（2）证明：PFAPFB．

解析：（1）设切点22001101AxxBxxxx，，，，则：

切线PA的方程为：20020xxyx，切线PB的方程为：21120xxyx，

联立，解得：P点的坐标为01012xxPxx，；

∴△APB的重心G的坐标为：PPGxxxxx310，

22220101010101()43333PPPGyyyxxxxxxxxxyy，

∴234PGGyyx，

∵点P在直线20lxy：上运动，

∴从而得到重心G的轨迹方程为：221(34)20(42)3xyxyxx．

（2）法1：∵22010001111114244xxFAxxFPxxFBxx，，　，，　，，

∴cos||||FPFAAFPFPFA x y

O A B

P F l