届高考数学一轮复习讲义专题五直线与圆锥曲线-精选

第四讲 直线与圆锥曲线

一、考情分析直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，主要涉及弦

长、中点弦、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充

分重视韦达定理和判别式的应用．

解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，

根的分布找范围，曲线定义不能忘”．

本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教

给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，

掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性

品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数

学”的水平．

二、知识归纳

（一）直线与圆锥曲线问题的解决思路

“三十二字思路”：设而不求，求而不设；联立消元，二次判别；

韦达已知，解决问题；遇弦中点，点差优先．

（二）直线与椭圆

，显然，；

（1）当时，直线与椭圆只有一个公共点，属于直线与椭圆相切；

（2）当时，直线与椭圆有两个公共点，属于直线与椭圆相交；

（三）直线与双曲线

，

（1）若时，直线平行于双曲线的渐进线，此时，

①当时，直线与渐进线重合，与双曲线无交点；

②当时，直线与双曲线只有一个公共点，属于一个交点的相交，而

不是相切；

（2）若时，直线不平行于双曲线的渐进线，此时，

①当时，直线与双曲线只有一个公共点，属于直线与双曲线相切；

②当时，直线与双曲线有两个公共点，属于直线与双曲线相交；

（四）直线与抛物线

，

（1）若时，直线平行于抛物线的对称轴，此时，直线与抛物线只

有一个公共点，属于一个交点的相交，而不是相切；

（2）若时，直线不平行于抛物线的对称轴，此时，

①当时，直线与抛物线只有一个公共点，属于直线与抛物线相切；

②当时，直线与抛物线有两个公共点，属于直线与抛物线相交；

三、精典例析例1：已知曲线，定点，直线经过点，斜率为，与曲线交于不同的

两点，设的中点为，求直线的斜率关于的函数关系．

解析：设直线的方程为，，则：

，

∴， ，且

∵，

∴；

故．

例2：已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．

§9.1 直线的方程

最新考纲

考情考向分析

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点．题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．

2．斜率公式

(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.

(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.

3．直线方程的五种形式

名称 方程 适用范围

点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式

y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线

两点式 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)

截距式 xa＋yb＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)

(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ )

(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ³ )

(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ³ )

(4)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ³ )

(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( ³ )

(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )

卜人入州八九几市潮王学校圆锥曲线方程及性质

一．【课标要求】

1．理解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2．经历从详细情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、HY方程、几何图形及简单性质；

3．理解双曲线的定义、几何图形和HY方程，知道双曲线的有关性质

本讲内容是圆锥曲线的根底内容，也是高考重点考察的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考察的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的根本概念、HY方程及几何性质等根底知识和处理有关问题的根本技能、根本方法

对于本讲内容来讲，预测2021年：

〔1〕1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；

〔2〕可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三．【要点精讲】

1．椭圆

〔1〕椭圆概念

平面内与两个定点1F、2F的间隔的和等于常数〔大于21||FF〕的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的间隔叫椭圆的焦距。假设M为椭圆上任意一点，那么有21||||2MFMFa

椭圆的HY方程为：22221xyab〔0ab〕〔焦点在x轴上〕或者12222bxay〔0ab〕〔焦点在y轴上〕。

注：①以上方程中,ab的大小0ab，其中222cab； ②在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn〔0m，0n，mn〕当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆

〔2〕椭圆的性质

①范围：由HY方程22221xyab知||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；

第4讲 圆锥曲线论之张直角弦及其应用

一、 知识点

1. 张直角弦

（1） 与中心的张角为直角的弦（倾斜角）；

（2） 与中心的张角为直角的弦（离心角）；

（3） 与顶点的张角为直角的弦（倾斜角）；

（4） 与顶点的张角的直角的弦（离心角）；

2. 其他：互相垂直的弦中点所在直线过定点

【题型1 与中心的张角为直角的弦（倾斜角）】

例1 设椭圆E：，过点,两点，O为坐标原点

（1） 求椭圆E的方程

（2） 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B，且,若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由；

（3） 求的取值范围；

（4） 求的取值范围；

【题型2 与中心的张角为直角的弦（离心角）】

（1） 例2 已知椭圆,过原点的两条直线和分别与椭圆交于A,B和C,D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S，设和的斜率之积为，求面积S的值。

（2） 已知椭圆C：的离心率为,短轴长为2，若A,B是椭圆上两个动点，O为坐标原点，OA,OB的斜率分别为,问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由。

（3） 已知椭圆C：的右顶点为N，长轴长为，P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，且重心的横坐标为，的面积为，直线与椭圆C交于A,B两点，以OA,OB为邻边作平行四边形OAMB，且，试判断是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由。

例3 已知椭圆C：,动圆P：(圆心P 为椭圆C上异于左右顶点的任意一点)，过原点O作两条射线与圆P相切，分别交椭圆于M,N两点，且切线长的最小值为

（1） 求椭圆C的方程

（2） 求证：的面积为定值

（3） 求证：为定值

例4 已知直线与椭圆C:交于两不同点，且的面积，其中O为坐标原点。

（1） 证明：和均为定值；

（2） 设线段PQ的中点为M，求的最大值

（3） 椭圆C上是否存在点D,E,G，使得，若存在，判断三角形DEG的形状，若不存在，请说明理由。