2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛_D题(抢渡长江)_论文

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）D 题（抢渡长江）参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。

各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

设竞渡在平面区域进行, 且参赛者可看成质点沿游泳路线 (x (t ), y (t )) 以速度 ()(cos ()sin ())u t u t u t θθ=，前进，其中游速大小u 不变。

要求参赛者在流速 )0,()(v t v =给定的情况下控制 θ (t ) 找到适当的路线以最短的时间 T 从起点 (0,0) 游到终点 (L, H )，如图1。

这是一个最优控制问题:H T y y t u dt dyL T x x v t u dtdx t s T Min =====+=)(,0)0(),(sin )(,0)0(,)(cos ..θθ可以证明，若 θ (t ) 为连续函数, 则 θ (t ) 等于常数时上述问题有最优解。

证明见: George Leitmann, The Calculus of Variations and Optimal Control , Plenum Press, 1981. pp. 130 – 135, p. 263, Exercise 15.13. （注：根据题意，该内容不要求同学知道。

）1. 设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，即令 )sin cos ()(θθu u t u ，=，而流速)0,()(v t v =， 其中 u 和 v 为常数, θ 为游泳者和x 轴正向间的夹角。

于是游泳者的路线 (x (t ), y (t )) 满足cos ,(0)0,()sin ,(0)0,()dxu v x x T L dtdy u y y T H dtθθ⎧=+==⎪⎪⎨⎪===⎪⎩ （1） T 是到达终点的时刻。

令θcos =z ，如果 (1) 有解, 则⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=221,1)()(,)()(zTu H t z u t y v uz T L t v uz t x （2） 即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且L T uz v ===+ （3） 若已知L, H, v, T , 由（3）可得zTvTL u vT L H vT L z -=-+-=,)(22 （4） 图1由（3）消去 T 得到)(12v uz H z Lu +=- （5） 给定L, H, u , v 的值，z 满足二次方程02)222222222=-+++u L v H uvz H z u L H （ （6）（6）的解为12z z ==， （7） 方程有实根的条件为22LH H vu +≥ （8）为使（3）表示的T 最小，由于当L, u, v 给定时,0<dzdT， 所以(7) 中z 取较大的根, 即取正号。

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛(大专组)D题(抢渡长江)参考答案参考答案2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛(大专组)D题(抢渡长江)参考答案本题考查的是大学生数学建模竞赛中的抢渡长江问题。

该问题描述了在抢渡长江时，船只的数量和速度等参数，要求求解最短的渡河时间。

本文将针对该问题进行详细的分析和解答。

问题描述：抢渡长江问题中，有n艘船需要运送k辆汽车和m名乘客，航速分为上行速度和下行速度，求解最短的渡河时间。

解题思路：1. 确定问题的数学模型。

2. 利用已知条件和问题要求，建立数学模型。

3. 分析模型并求解。

数学模型：设n艘船分别为船1、船2、...、船n，上行速度分别为a1、a2、...、an，下行速度分别为b1、b2、...、bn，每艘船的运力分别为ci（载重量或人数）。

k辆汽车的载重量分别为w1、w2、...、wk，m名乘客的人数分别为p1、p2、...、pm。

设渡河的最短时间为T。

建立模型求解：首先，考虑乘客和汽车分开运输的情况。

由于每艘船的运力不同，可以将n艘船进行组合，使每组船的总运力等于或略大于汽车和乘客的总重量。

然后计算每组船来回渡河的总时间，最后选择时间最短的组合作为答案。

具体步骤如下：Step 1:将m名乘客和k辆汽车分别按照降序排列。

Step 2:遍历所有可能的船的组合方式。

每种组合方式都计算来回渡河的总时间。

Step 3:选择时间最短的组合方式作为答案。

实例分析：假设有5艘船，船的速度分别为[15, 20, 22, 25, 30]，每艘船的运力分别为[50, 60, 70, 80, 90]，有3辆汽车，汽车的载重量依次为[25, 35, 45]，有5名乘客，乘客的人数依次为[50, 45, 40, 35, 30]。

Step 1:乘客和汽车按照降序排列得到：[50, 45, 40, 35, 30]和[45, 35, 25]。

Step 2:遍历所有可能的船的组合方式：船1, 船2运送乘客和汽车，船3运送乘客和汽车，船4运送乘客，船5运送乘客和汽车。

抢渡长江的数学模型摘 要本文就竞渡策略问题建立了竞渡路线优化模型.模型一根据问题一给出的条件为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择了游泳方向，并算出了他的成绩为15分10秒，游泳方向为和正河岸成︒86.121，并且求出了冠军的速度大小为1.54米/秒，和正河岸的夹角为︒46.117。

然后分析了1934年和2002年能到达终点的人数的百分比差别之大的原因，并给出了能够成功到达终点的选手的条件，其中2002年达到终点的选手的最小速度为1.43米/秒。

在对随后问题的分析过程中，我们提出了依据水速的变化来变竞渡者速度的方向的思路， 然后基于此思路建立了模型二，模型三，在保证能到达终点的前提条件下，提出了竞渡策略,使得到达终点的时间最短。

而模型四又提出了一种比较理想化的竞渡策略，即依据水速的变化随时变换人的速度方向，并根据所得的结果提出了一个较合理的水速分布函数，而根据实际情况分析了水速的另一个更为合理的分布函数，建立了改进后的模型五。

利用LINGO 和MATHMATIC 数学软件较好地解决了问题，得到了问题优化解，提出了竞渡策略。

在模型二中，求出三个不同区域的速度方向分别为︒︒︒===11.126,09.118,11.126321ααα最小时间s T 0228.904min =，并画出最优路线如图3。

在模型三中，也求出了三个不同区域的速度方向分别为︒︒︒===26.127,59.114,26.127321ααα，最小时间秒4776.892min =T ，也绘出最优路线如图4所示）。

在模型四中，求得最小时间为885.747秒。

在最后又将本文所建立的模型做了一些推广，它们可以应用到航空,航天和航海等。

一、问题提出中国第一大江——长江万里奔腾龙跃武汉，引出了一道亮丽的风景“渡江大赛”。

在看似简单的渡江大赛中玄机不断，奥妙百出。

玄机一：同一条江为何在1934年的横渡长江游泳竞赛活动中，44人参加就有40人到达终点，而在2002年的“武汉抢渡长江挑战赛”中186名选手（其中专业人员近一半），仅34人到达终点，相差如此悬殊，其中奥秘耐人寻味。

抢渡长江决胜策略摘要本文解决了在抢渡长江比赛中，如何选择正确的路径使得到达终点的时间最短，同时解释了1934年和2002年成功游到终点人数的百分比相差悬殊的问题。

通过建立非线性规划模型，采用三角函数，Taylor定理和逼近法等，运用Matl ab6.5求解得到以下结果：2002年某参赛选手是以的速度沿与岸成的方向获得了第一名,当游泳者以且与水流速度成的方向行进时能取得最好成绩秒;另外，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游,则不能到达终点，1934年的游泳者速度方向与水流方向可以成锐角，而2002年同样游速的游泳者至少要以才能到达终点，因此，1934年的游泳者到达终点的人数的百分比远远超过2002年；若考虑竞渡区域中心水流速度较快，则在竞渡过程中需变换两次方向。

本模型具有广泛的实用性，可推广到航海、航天、军事等领域。

关键词非线性规划三角函数 Taylor定理逼近法问题的重述1934年9月9日，武汉举办横渡长江游泳竞赛活动，全程约5000米。

有4 4人参加横渡，40人到达终点。

2002年5月1日，“武汉国际抢渡长江挑战赛”再现江城。

当日江水的平均流速为1.89米/秒。

参赛选手共186人，仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。

由于路线选择错误，大部分选手被江水冲到下游，未能准确到达终点。

假设竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从起点的正对岸到终点的距离为 1000米。

试通过数学建模分析上述情况, 并回答以下问题：1）假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。

试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。

如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。

2）在1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？用数学模型说明为什么 1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。

会议筹备优化模型摘要能否成功举办一届全国性的大型会议，取决于会前的筹备工作是否到位。

本文为某会议筹备组，从经济、方便、满意度等方面，通过数学建模的方法制定了一个预订宾馆客房、租借会议室和租用客车的合理方案。

首先，通过对往届与会情况和本届住房信息有关数据的定量分析，预测到本届与会人数的均值是662人，波动范围在640至679之间。

拟预订各类客房475间。

其次，为便于管理、节省费用，所选宾馆应兼顾客房价位合适，宾馆数量少，距离近，租借的会议室集中等要素。

为此，依据附件4，借助EXCEL计算，得出7号宾馆为10个宾馆的中心。

然后，运用LINGO软件对选择宾馆和分配客房的0-1规划模型求解，得出分别在1、2、6、7、8号宾馆所预订的各类客房。

最后，建立租借会议室和客车的整数规划模型，求解结果为：某天上下午的会议，均在7、8号宾馆预订容纳人数分别为200、140、140、160、130、130人的6个会议室；租用45座客车2辆、33座客车2辆，客车在半天内须分别接送各两趟，行车路线见正文。

注：表中有下画线的数字，表示独住该类双人房间的个数。

关键词：均值综合满意度EXCEL 0-1规划LINGO软件1．问题的提出1.1基本情况某一会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议。

本着经济、方便和代表满意的原则，从备选10家宾馆中的地理位置、客房结构、会议室的规模（费用）等因素出发，同时，依据会议代表回执中的相关信息，初步确定代表总人数并预定宾馆和客房；会议期间在某一天上下午各安排6个分组会议，需合理分配和租借会议室；为保证代表按时参会，租用客车接送代表是必需的（现有45座、36座、33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元）。

1.2相关信息（见附录）附件1 10家备选宾馆的有关数据。

附件2 本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人）。

附件3 以往几届会议代表回执和与会情况。

附件4 宾馆平面分布图。

2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）D题圈养湖羊的空间利用率规模化的圈养养殖场通常根据牲畜的性别和生长阶段分群饲养，适应不同种类、不同阶段的牲畜对空间的不同要求，以保障牲畜安全和健康；与此同时，也要尽量减少空间闲置所造成的资源浪费。

在实际运营中，还需要考虑市场上饲料价格和产品销售价格的波动以及气候、疾病、种畜淘汰、更新等诸多复杂且关联的因素，但空间利用率是相对独立并影响养殖场经营效益的重要问题。

湖羊是国家级绵羊保护品种，具有早期生长快、性成熟早、四季发情并且可以圈养等优良特性。

湖羊养殖场通常建有若干标准羊栏，每一标准羊栏所能容纳的羊只数量由羊的性别、大小、生长阶段决定。

湖羊养殖的生产过程主要包括繁殖和育肥两大环节。

人工授精技术要求高，因此湖羊繁殖大多采用种公羊和基础母羊自然交配的方式。

怀孕母羊分娩后给羔羊哺乳，羔羊断奶后独立喂饲，育肥长成后出栏。

自然交配时将若干基础母羊与一只种公羊关在一个羊栏中，自然交配期约为3周，然后将种公羊移出。

受孕母羊的孕期约为5个月，每胎通常产羔2只。

母羊分娩后哺乳期通常控制在6周左右，断奶后将羔羊移至育肥羊栏喂饲。

一般情况下，羔羊断奶后经过7个月左右育肥就可以出栏。

母羊停止哺乳后，经过约3周的空怀休整期，一般会很快发情，可以再次配种。

按上述周期，正常情况下，每只基础母羊每2年可生产3胎。

在不考虑种公羊配种能力差异的情况下，种公羊与基础母羊一般按不低于1:50的比例配置。

种公羊和母羊在非交配期原则上不关在同一栏中。

某湖羊养殖场设置标准羊栏，规格是：空怀休整期每栏基础母羊不超过14只；非交配期的种公羊每栏不超过4只；自然交配期每栏1只种公羊及不超过14只基础母羊；怀孕期每栏不超过8只待产母羊；分娩后的哺乳期，每栏不超过6只母羊及它们的羔羊；育肥期每栏不超过14只羔羊。

原则上不同阶段的羊只不能同栏。

养殖场的经营管理者为保障效益，需要通过制定生产计划来优化养殖场的空间利用率。