高中数学选择性必修二 高二上学期数学期末测试卷(A卷 夯实基础)同步单元AB卷(含答案)

高二级第一学期期末考试试卷数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．圆22240x y x y ++-=的半径为（ ）A ．3BC ．5 2．“()210x x -=”是“0x =”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．45,1︒B ．90︒，不存在C ．135,1︒-D ．180︒，不存在4．已知函数y =M ，集合(){}|lg 1 N x y x ==-，则M N ⋂= ( )A ．[)0,2B ．()0,2C ．[)1,2D ．(]1,25．设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则以下结论错误．．的是（ ） A ．若αβ∥，α⊂m ，则m β∥ B ．若,,m m n αβαβ=∥∥ ，则m n ∥C ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥D ．若,m m αβ⊥∥，则 αβ⊥6．函数222xy x =-+在[]2,2-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设为等差数列的前项和,且,则=4a （ ）A ．28B ．14C ．7D ．28．将函数的图象向右平移 个单位长度后得到的图象，则（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知函数()2,0{ ,0x b x f x lgx x +≤=>，若1410f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则b =（ ） A ．3 B ．2 C ．0 D ．1-10．已知，是椭圆上的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是A ．B ．C ．D ．11．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为直角三角形),则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．2412．设P 是椭圆192522=+y x 上一点，M N ，分别是两圆：22(4)1x y ++=和22(4)1x y -+=上的点，则||||PM PN +的最小值、最大值的分别为 （ ） A ．9，12 B ．8，11 C ．8，12 D ．10，12第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知sin α=，则cos2α=__________． 14．已知双曲线14222=-by x 的右焦点为(3,0)，则该双曲线的渐近线方程为________. 15．已知向量，，若向量，则__________．16．已知函数()f x 满足2f x f x +=（）（），且()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时， ()2f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()()log 2a g x f x x =-+有个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：(共70分，解答过程要有必要文字说明与推理过程．)17．(本小题满分10分) 在中， .（1）求的值； （2）求的面积。

（人教版）高中数学必修二（全册）同步练习+单元检测卷汇总课后提升作业一棱柱、棱锥、棱台的结构特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.3.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.由一个棱柱与一个棱锥构成D.不能确定【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.【解析】选B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同. 【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )【解析】选D.A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等.6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1【解析】选 B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有( )A.20条B.15条C.12条D.10条【解析】选 D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.8.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.二、填空题(每小题5分，共10分)9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤.答案：①③④⑤10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8，所以AA″==.【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，所以AA″===10.【能力挑战题】如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

2021-2022学年上学期期末卷01高二数学·全解全析【解析由214y x =化为24x y =，抛物线焦点在y 轴正半轴，且2p =， 则准线方程为1y =-. 故选：A .2.【答案】D【解析】当4k =时，直线1l 的斜率不存在，直线2l 的斜率存在，两直线不平行；当4k ≠时，两直线平行的一个必要条件是334kk k-=--，解得3k =或5k =，但必须满足截距不相等，经检验知3k =或5k =时两直线的截距都不相等. 故选：D . 3.【答案】C【解析】联立2010x y x y -=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩. 把12x y =-⎧⎨=-⎩代入280x ky ++=得3k =.故选：C4.【答案】B【解析】①当0b =时，a 与c 不一定共线，故①错误；②当a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内， 故②错误；由空间向量基本定理知③正确；④当a ，b 不共线且c a b λμ=+时，a ，b ，c 共面，故④错误． 故选：B ． 5.【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中573a a =，所以7723a d a -=，所以()72+0a d =，即80a =， 又等差数列{}n a 中10a >，公差0d <，所以等差数列{}n a 是单调递减数列，所以1278910...0...a a a a a a >>>>=>>，所以等差数列{}n a 的前n 项和为n S 取得最大值，则n 的值为7或8. 故选:B .6.【答案】D【解析】设该高阶等差数列的第8项为x ， 根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得341295y x y -=⎧⎨-=⎩，则14146x y =⎧⎨=⎩. 故选：D 7.【答案】B【解析】设P 为第一象限的交点，1||PF m =、2||PF n =， 则12m n a +=、22m n a -=，解得12m a a =+、12n a a =-，在12PF F ∆中，由余弦定理得：2221241cos 22m n mn F c F P +-∠==，∴2224m n mn c +-=，∴22212121212()()()()4a a a a a a a a c ++--+-=，∴2221234a a c +=，∴22122234a a c c+=，∴2221314e e +=，设112sin e α=，21e α，则12112sin )6e e πααα+==+，当3πα=时，1211e e +，此时1e =2e，12e e +=故选：B8.【答案】D【解析】在①中，∵1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=， 且111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ， ∴111AC BD ⊥， 同理，11DC BD ⊥， ∵1111AC DC C ⋂=，且111,A C DC ⊂平面11AC D ， ∴直线1BD ⊥平面11AC D ，正确； 在②中，∵11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊄平面11AC D ，∴1//B C 平面11AC D ，∵点P 在线段1B C 上运动，∴P 到平面11AC D 的距离为定值，又11A C D 的面积是定值， ∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，正确； 在③中，∵11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角. 易知1AB C 为等边三角形， 当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为3π.故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，错误；在④中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则(),1,P a a ，()10,1,1C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ， 所以()1,0,1C P a a =-，()11,1,1D B =-.由①正确：可知()11,1,1D B =-是平面11AC D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值为：1111C P D B C P D Ba ⋅==⋅， ∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D ，正确. 故选：D9.【答案】CD【解析】对于A ：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，有11B B BC BC +=，()11//B B BC A D ∴+，故A 错误；对于B ：111111A A A D A B A D A B BD +-=-=，1AB AD ==，60BAD ︒∠=，21BD =，又2111A B =，∴()22111111A A A D A BA B +-=，故B 错误；对于C ：11A B AD AB AD DB -=-=，()111AC A B AD ⋅-=()11()()()()AB AD AA AB AD AB AD AB AD AA AB AD ++⋅-=+⋅-+⋅-，由题知，1AB AD ==，12AA =，1145BAA DAA ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，所以，()221111AC A B AD AB AD AA ⋅-=-+10AB AA AD ⋅-⋅=，故C 正确； 对于D：AC AB AD =+，111AC AC AA AB AD AA =+=++，21AC =()21AB AD AA ++222111||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅112211cos6021cos 45︒︒+⨯⨯⨯+⨯21cos 459︒+⨯=．所以13AC =．故D 正确，故选：CD． 10.【答案】ABC【解析】由圆22:4O x y +=可得圆心()0,0O ，半径2r ，对于A ：因为2PQ OP OQ ===，所以POQ △是边长为2的等边三角形， 若PQ 中点为M ，则OM PQ ⊥，且OM =所以点M 的轨迹是以()0,0O所以点M 的轨迹方程为223x y +=，故选项A 正确；对于B ：设()00,P x y ，BP 中点为(),x y ，则00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以00222x x y y =-⎧⎨=⎩，因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上，所以22004x y +=，所以()()222224x y -+=，所以()2211x y -+=即BP 中点轨迹方程为()2211x y -+=，故选项B 正确； 对于C ：设()00,P x y ，CP 的中点(),x y ，则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以00232x x y y =-⎧⎨=⎩，因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上，所以22004x y +=，所以()()222324x y -+=，即22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以CP 的中点轨迹方程为22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故选项C 正确；对于D ：设AP 的中垂线与OP 的交点为M ，由垂直平分线的性质可得MA MP =，所以21MO MA MO MP OP OA +=+==>=，所以点M 的轨迹是以O ，A 为焦点，长轴长为2的椭圆，故选项D 不正确； 故选：ABC .11.【答案】ACD 【解析】对于选项A ，令2y t x+=，则2y tx =-， 因为点(),P x y 在圆22:(1)(1)2C x y -+-=上，所以直线2y tx =-与圆22:(1)(1)2C x y -+-=有交点，因此圆心到直线的距离d =≤7k ≤-或1k ，故A 正确； 对于选项B ，由10kx y k ---=，得()()110k x y --+=，因此直线10kx y k ---=过定点()1,1P -，因为213312PM k +==-，111312PN k +==---，且313-<<，所以12k ≤-或32k ≥，故B 错误；对于选项C ，圆222(0)x y r r +=>的圆心直线l的距离2d =因为点(),P a b 是圆222(0)x y r r +=>外一点，所以222a b r +>，因此2d r =<，即直线与圆相交，故C 正确；对于选项D ，到点()1,0N 的距离为1点在圆()2211x y -+=上， 由题意可知，圆()2211x y -+=与圆222:(4)(4)(0)M x y r r -+-=>相交， 故圆心距5d MN ==，且11r d r -<<+，解得46r <<，故D 正确. 故选：ACD .12.【答案】BCD【解析】22:21n n C x y a n +=++的圆心为()0,0，半径为r =所以圆心到直线:n l y x =d ==则()()2224421n n n A B r d a =-=+，所以121n n a a +=+，则()1121n n a a ++=+所以()111122n n n a a -+=+=，得21n n a =- ，故A 错，B 正确；前n 项和为()12122212n n n S n n +-=-=---，故C 正确；由()()11111111122111221212121212121ii n nnni i n n i i i i i i i a a +++++===+-⎛⎫==-=-= ⎪------⎝⎭∑∑∑，故D 正确． 故选：BCD13.【答案】1【解析】圆C ：()()22211x k y k -++-=的圆心为()21,k k -因为圆C 与x 轴和y 轴均相切，所以211k k -== 解得1k = 故答案为：114.【答案】14【解析】因为四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点G 是棱CD 的中点，所以AG AC CG =+，且12CG =，1AC =，1BC =，所以()AC CG A BC AG BC BC BC C CG ⋅=⋅⋅+=+⋅ 111cos60cos120244AC BC G BC C ⋅=-⋅⋅+⋅==， 故答案为：1. 15.-【解析】如图，取1PF 的中点A ，连接OA ，12OA OF OP ∴=+，212OA F P =， ∴12OFOP F P +=，11()0PF OF OP +=，∴120PF F P =，∴12PF F P ⊥，12||2||PF PF =，不妨设2||PF m =，则1||PF ， 21||||2PF PF a m +==，1)ma ∴==，12||2F F c =，2222242334(3cm m m a∴=+==⨯-，∴2229c a=-=，e ∴=-16.【答案】20202021-【解析】由题意可知，对任意的n *∈N ，0n a >且22n n n S a a =+.当1n =时，则21112a a a =+，解得11a =.当2n ≥时，由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，上述两式作差得22112n n n n n a a a a a --=-+-，可得()()1110n n n n a a a a --+--=， 所以，11n n a a --=，所以，数列{}n a 是等差数列，且首项和公差均为1，则11n a n n =+-=，()12n n n S +=， 则()()()()211211111112nn n n n n a c n n n n n S +⎛⎫=+ ⎪++=--⎝+=⎭-， 因此，数列{}n c 的前2020项之和为202011111111202011223342020202120212021T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：20202021-. 17.【解析】（1）因为11n n n S S a +=++，所以11n n n S S a +-=+，即11n n a a +=+， 所以数列{}n a 是首项为1a ，公差为1的等差数列.选①.由4713a a +=，得113613a d a d +++=，即12139a d =-， 所以1213914a =-⨯=，解得12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+， 即数列{}n a 的通项公式为1n a n =+.选②.由1a ，3a ，7a 成等比数列，得()()211126a d a a d +=+，则2221111446a a d d a a d ++=+，所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+.选③.因为10111091010452S a d a d ⨯=+⨯=+， 所以11045165a +⨯=，所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-=+.（2）由题可知122n n na n +=，所以2323412222n n n T +=+++⋅⋅⋅+， 所以234112*********n n n n n T ++=+++⋅⋅⋅++，两式相减，得23411111111222222n n n n T ++=++++⋅⋅⋅+-2311111111112222222n n n -++⎛⎫=+⨯++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111111133212222212nn n n n ++-++=+⨯-=--， 所以332n n n T +=-.18.【解析】（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，则,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：则(0,0,0)A ，()2,0,0B ，()0,0,4P ，()2,4,0C ，()0,4,0D ，连BD，则BD =BP =BD BP ，PBD △是等腰三角形，而M 是PD 上一点，且BM PD ⊥，于是得M 是PD 的中点，即()0,2,2M ， 因此，()2,4,0AC =，()0,2,2AM =，()2,0,0AB =，设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则240220n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1z =，得()2,1,1n =-，所以点B 到平面ACM的距离为46AB n h n⋅===. （2）由(1)知，()2,2,2BM =-，()2,4,4PC =-，则4cos ,||||12BMPC BM PC BM PC ⋅-〈〉===所以异面直线BM 与PC 19.【解析】（1）证明：因为直线()():2129120l k x k y k ++-+-=，所以()()292120k x y x y -+++-=．令2902120x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得36x y =⎧⎨=⎩，所以不论k 取何值，直线l 必过定点()3,6P ．（2）由（1）知：直线l 经过圆C 内一定点()3,6P ，圆心()2,3C ， 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则12ABCSAB d=== 因为(0,d∈，所以d =ABC 面积的最大值为4． 20.【解析】（1）证明：连接BO ，AB BC ==O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且 2BO =， 又 2PA PC PB AC ====，,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+，则PO OB ⊥， OB AC O =，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC, （2）解：建立以 O 为坐标原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0A -，(0,0,P ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤，则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+， 则平面PAC 的法向量为()1,0,0m =， 设平面MPA的法向量(,,),n x y z = 则(0,2,PA =-- 20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM xy λλ⋅=-++=，令1z =，则y =(11x λλ+=-，二面角M PA C --为30︒，∴3cos302m n m n︒⋅==⋅， 即31=+⨯13λ= 或 3λ=( 舍 )，设平面MPA 的法向量(23,n =，(0,2,PC =-， 设PC 与平面PAM 所成的角为θ，则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>===+所以PC 与平面P AM21.【解析】（1）由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b ，∴{}n a 是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；{}n b 是以6 1.57.5+=为首项，1.5为公差的等差数列，∴()2015%nn a =+，6 1.5n b n =+.（2）设今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为n S ， ∴()()11n n n S a b a b =-++-()()1212n n a a a b b b =+++-+++()()220 1.0520 1.0520 1.057.596 1.5n n =⨯+⨯++⨯-++++()()()20 1.051 1.057.56 1.51 1.052n n n +⨯-=-++-2327420 1.0542044n n n =⨯---， 当5n =时，63.5n S ≈.∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.22.【解析】（1）12c e a ==，1AF a c =-=，∴2a =，1c =，2223b a c =-=，∴22143x y +=； （2）设()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,B x y --，CF ：1x my =-联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴()234690m y my +--=，∴122122934634y y m m y y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩()()()()()()22121211212212121212121121232321212y y x y my y my k x my y y y k y x y my y my my y y x ----+-=====+-+++-1221211229627333434343993434m m m y y m m m m my y m m -⎛⎫---+ ⎪++⎝⎭+===--++++。

高级中学2021-2021学年高二数学(shùxué)上学期期末考试试题〔含解析〕第I卷一、选择题：z满足(mǎnzú)，那么(nà me)〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】首先根据所给的等式表示出z，是一个复数除法的形式，进展复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的一共轭复数，分子和分母同时进展乘法运算，得到最简形式．【详解】解：，应选：D．【点睛】此题考察复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的一共轭复数，把复数整理成整式形式，再进展复数的乘法运算，合并同类项，得到结果．，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进展计算即可．【详解(xiánɡ jiě)】解：，，，，，应选(yīnɡ xuǎn)：【点睛】此题主要考察集合的根本运算，求出集合的等价条件是解决(jiějué)此题的关键，属于中档题．，那么(nà me)f(f(10)=A. lg101B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【详解】因为，所以.所以,应选B.【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，表达考纲中要求理解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.的前项和为，且，，那么〔〕A. 2021B. 2021C. 2021D. 2021【答案】B 【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】首先根据条件(tiáojiàn)构造关于，方程组，求出数列(shùliè)的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得；【详解】解：因为144a a +=，258a a +=，所以解得，，应选：B【点睛】此题考察等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于根底题. 5.，，，那么的大小关系是〔 〕A.B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，分别得出,,a b c 的大致范围，即可得出结果． 【详解】∵，，．∴b a c <<． 应选A【点睛】此题考察了指数与对数函数的单调性，考察了推理才能与计算才能，属于根底题型．与直线(zhíxiàn)切于点，那么(nà me)直线l 的方程(fāngchéng)为〔 〕 A.B.C.D.【答案(dá àn)】A 【解析】 【分析】 利用点与圆心连线的直线与所求直线垂直，求出斜率，即可求过点()1,3P 与圆C 相切的直线方程； 【详解】圆可化为：，显然过点()1,3P 的直线不与圆相切，那么点P 与圆心连线的直线斜率为 ，那么所求直线斜率为 ，代入点斜式可得 ，整理得320x y -+=．应选A.【点睛】此题考察直线方程，考察直线与圆的位置关系，考察分类讨论的数学思想，属于中档题． 7.如图，正方体中，、分别是边和的中点，那么和所成的角是〔 〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】B 【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)异面直线所成角的定义，把直线1BC 平移和直线EF 相交，找到异面直线EF 与1BC 所成的角，解三角形即可求得结果．【详解】如图，取的中点，连接，，在正方体1111ABCD A B C D 中，设正方体边长为2， 易证〔或者补角〕为异面直线EF 与1BC 所成的角， 在中，，，，由余弦定理得，即，所以异面直线EF 与1BC 所成的角为.应选：B.【点睛】此题考察异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法〔平移法〕的应用，表达了转化的思想和数形结合的思想方法，属于根底题．的图像大致为〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析(jiě xī)】试题(shìtí)分析：x xx xe eye e--+=-为奇函数且时，函数(hánshù)无意义，可排除，又在是减函数，应选.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.，〔其中，，〕的一局部图象如下图，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为〔〕A. B.C. D.【答案(dá àn)】A 【解析(jiě xī)】由图象(tú xiànɡ)可知A=1，周期(zhōuqī)，所以，又过点，所以，即，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到，应选A.在1x =处有极值10，那么点为〔 〕 A. B.C. ()3,3-或者()4,11-D. 不存在【答案】B 【解析】【详解】试题分析：，那么，解得或者，当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去.当,,1x =为极小值点,符合,应选B考点：1.用导数研究函数的极值；2.函数在某一点取极值的条件.【易错点睛】此题主要考察用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数获得有极值的条件，是函数获得极值的必要不充分条件.求解之后要注意检验，此题中，当3,3a b =-=时，，此时()f x 在定义域R 上为增函数，无极值，不符合题意，舍去.此题容易错选A，认为两组解都符合，一定要注意检验.11.分别(fēnbié)为双曲线的左右(zuǒyòu)焦点，其中点为抛物线的焦点(jiāodiǎn)，设与的一个(yī ɡè)交点为P，假设，那么1C的离心率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设位于第一象限，那么由题意可得，且双曲线的抛物线的焦点为准线方程为由抛物线的定义可得：即有即代入双曲线的方程可得：即为，化为解得可得应选B点睛：，此题主要考察的是抛物线的简单性质和双曲线的简单性质．设()P m n ，位于第一象限，求出抛物线的焦点和准线方程，可得2pc =，再由抛物线的定义，求得，代入抛物线的方程可得n ，代入双曲线的方程，再由双曲线和离心率公式，化简整理计算即可得到所求的值． 12.且，假设(jiǎshè)当时，不等式恒成立(chénglì)，那么的最小值是〔 〕 A.B.C. 2D.【答案(dá àn)】A 【解析(jiě xī)】 【分析】 推导出，从而，令，那么时，，，由此利用导数性质结合分类讨论思想能求出a 的最小值．【详解】解：且1a ≠，当1x 时，不等式恒成立，，两边取自然对数，得：(1)x lna lnx -，令()(1)p x lnx x lna =--，那么1x 时，()0p x ，，当，即时，，递增，当1x 时，，与()0p x 矛盾； 当，即时，令，得，，()0p x '>，()p x 递增； ，，()p x 递减．假设，即，当时，()p x 递增，()()10p x p =，矛盾； 假设，即，当时，，成立．综上，a 的取值范围(fànwéi)是．故a 的最小值是e ． 应选(yīnɡ xuǎn)：A ．【点睛】此题考察实数值的最小值的求法，考察导数与函数的单调性、极值(jí zhí)、最值，着重考察学生的逻辑推理才能以及运算求解才能，属于中档题．第二卷二、填空题：在点处的切线(qiēxiàn)方程为______． 【答案】【解析】 【分析】利用导数求出曲线xy xe =在点()0,0处的切线的斜率，然后利用点斜式可写出所求切线的方程.【详解】依题意得，因此曲线xy xe =在处的切线的斜率等于，所以函数xy xe =在点()0,0处的切线方程为y x =. 故答案为：y x =．【点睛】本小题主要考察直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等根底知识，考察运算求解才能．属于根底题．的左、右焦点分别为，椭圆上的点P 满足 ，那么的面积为_______.【答案】【解析】由椭圆(tuǒyuán)定义得，由得，因为(yīn wèi)，所以(suǒyǐ)，即12PF F ∆为直角三角形，其面积(miàn jī)为15.，那么________【答案】【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算可得； 【详解】解：因为2sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故答案为：2425【点睛】此题考察诱导公式及二倍角公式的应用，属于根底题.是定义在R 上的偶函数，当时，，假设，那么不等式的解集为________【答案】【解析】 【分析】()f x 是定义(dìngyì)在R 上的偶函数，说明(shuōmíng)奇函数，假设(jiǎshè)0x >时，，可得()f x x为增函数，假设(jiǎshè)，()f x x为增函数，根据，求出不等式的解集；构造函数，利用导数可得函数的单调性，结合()20f =及函数的奇偶性即可求得不等式的解集．详解】解：由题意，令()()f x g x x=， 时，．在递增， ，，那么是奇函数，且()g x 在递增，又，当时，，当时，；根据函数的奇偶性，可得当时，()0>g x ，当时，()0<g x ．∴不等式()0x f x >的解集为或者．故答案为：()()2,02,-+∞．【点睛】此题考察函数奇偶性的应用，考察函数的单调性，构造函数是关键，属于中档题． 三、解答题：17.中，．〔1〕求的值；〔2〕假设，求以及的值．【答案(dá àn)】〔1〕；〔2〕7，.【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】〔1〕利用(lìyòng)余弦定理可求cos B的值；〔2〕先利用同角三角函数关系式求出角的正弦值，再借助于正弦定理求出b，代入条件求出，进而求出三角形的面积．【详解】〔1〕由余弦定理及得：.〔2〕因为,A B为三角形内角，所以，，由正弦定理得：，又∵．，解得或者〔舍〕．．【点睛】此题主要考察余弦定理以及同角三角函数根本关系式，并涉及到三角形的面积公式和计算才能，属于中档题目．{}n a 满足，且．〔1〕求证：数列是等差数列；〔2〕设，求数列(shùliè)的前n 项和n S ．【答案】〔1〕证明(zhèngmíng)见解析；〔2〕【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】 〔1〕根据112nn na a a +=+，得到，根据等差数列的定义，即可得出结论成立；〔2〕先由〔1〕得，推出，根据裂项求和的方法，即可得出结果. 【详解】〔1〕因为112nn na a a +=+，所以，即 ，又11a =，所以，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列．〔2〕由〔1〕得，所以*1,21n a n n =∈-N ， 所以，所以∴数列{}n b 的前n 项和21n nS n =+． 【点睛】此题主要考察由递推关系证明等差数列，以及数列的求和，熟记等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消的方法求数列的和即可，属于常考题型.19.如图,是平行四边形，，,平面平面ABCD.〔1〕证明(zhèngmíng)：；〔2〕假设(jiǎshè)，求平面(píngmiàn)与平面(píngmiàn)所成二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】〔1〕推导出，取BC的中点F，连结EF，可推出，从而平面⊥；〔2〕以B为坐标ABCD，进而，由此得到平面BCE，从而BD CE原点，，所在直线分别为x，轴，以过点B且与EF平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值．【详解】〔1〕∵ABCD是平行四边形，且⊥∴，故，即BD BC取BC的中点F，连结EF.=∵BE CE⊥∴EF BC又∵平面BCE ⊥平面ABCD∴EF ⊥平面ABCD ∵平面ABCD∴EF BD ⊥ ∵平面(píngmiàn)BCE∴BD ⊥平面(píngmiàn)BCE ， ∵平面(píngmiàn)BCE∴BD CE ⊥〔2〕∵10BE CE ==,由〔Ⅰ〕得以B 为坐标(zuòbiāo)原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，那么∴设平面ADE 的法向量为，那么，即得平面ADE 的一个法向量为由〔1〕知BD ⊥平面BCE ，所以可设平面BCE 的法向量为设平面ADE 与平面BCE 所成二面角的平面角为，那么即平面ADE 与平面BCE 所成二面角的平面角的余弦值为.【点睛】用空间向量求解立体几何问题的注意点〔1〕建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标．〔2〕用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论．.〔1〕当，求函数()f x 的极值(jí zhí)；〔2〕当0a >时，在定义域内恒成立(chénglì)，务实数a 的值.【答案(dá àn)】〔1〕，不存在(cúnzài)极大值；〔2〕1a =【解析】 【分析】〔1〕求出1a =的函数的导数，求出单调增区间和减区间，从而得到函数的极值； 〔2〕利用转化思想，当0a >时，在定义域内恒成立，即进而求解；【详解】解：〔1〕因为21()ln 2f x x a x =-的定义域为所以当1a =时，，令解得，即()f x 在上单调递增， 令解得，即()f x 在上单调递减，所以()f x 在1x =处获得极小值，1()2f x =极小值，不存在极大值， 〔2〕因为21()ln 2f x x a x =-定义域为()0,∞+，因为0a >，令，解得，即()f x 在上单调递增，令，解得，即()f x 在上单调递减，所以，要使1()2f x ≥在定义域内恒成立，即即10a alna --， 令，，当(0,1)a ∈时，，当(1,)∈+∞a 时，， ∴当1a =时在1a =处取极大值，，，假设(jiǎshè)使10a alna --，只能(zhī nénɡ)取1a =，故答案(dá àn)为1a =【点睛】此题考察导数(dǎo shù)的应用，利用导数研究函数的极值与单调性，属于中档题.〔〕，，2F 是椭圆的左右焦点，以1F ，2F 及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为的正三角形.〔1〕求椭圆方程；〔2〕过1F 分别作直线，，且，设1l 与椭圆交于A ，两点，2l 与椭圆交于B ，两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据题意，分析可得，计算可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；〔2〕根据题意，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，借助根与系数的关系分析可得四边形ABCD面积，综合即可得答案．【详解】解：〔1〕由题设可得：23a cbc=⎧⎪⎨=⎪⎩，，，，故椭圆(tuǒyuán)方程为221 43x y+=；〔2〕由〔1〕可知(kě zhī)椭圆22143x y+=的焦点(jiāodiǎn)当其中一条(yī tiáo)直线斜率不存在时，令，那么当直线斜率存在时，设直线，代入椭圆方程得：，那么，；所以弦长，设直线的斜率为，不妨设，那么，，∴因为(yīn wèi)0k>，，，，，综上，四边形ABCD面积(miàn jī)的取值范围是．故()min 288 49ABCDS=【点睛】此题考察(kǎochá)椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程时要注意分析直线的斜率是否存在，属于中档题．.〔1〕当时，讨论(tǎolùn)函数()f x 的单调性.〔2〕当时，证明：对任意的，有.【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕证明见解析；【解析】【分析】〔1〕求出原函数的导函数，对a 分类求解原函数的单调区间；〔2〕利用分析法证明(zhèngmíng)，把要证的不等式转化为证明成立(chénglì)，即证．令，，由导数(dǎo shù)求出()g x 的最大值和的最小值，由()g x 的最大值小于()h x 的最小值得(zhí dé)答案．【详解】〔1〕解：由定义域为()0,∞+，得， 当时，， 当时，，()f x 为增函数，当时，，()f x 为减函数； 当时，，二次方程有两根，，， 当时，()0f x '>，()f x 为增函数，当时，()0f x '<，()f x 为减函数．综上可得，当1a >-时，()f x 在上单调递增，在上单调递减；当1a =-时，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；〔2〕证明：要证， 即证， 即， ，， 也就是证0lnx lnx x x +-， 即证lnx x lnx x-． 令()lnx g x x =，那么(nà me)， 当时，，()g x 为增函数，当时，，()g x 为减函数(hánshù)，∴； 令()h x x lnx =-，， 当(0,1)x ∈时，，()h x 为减函数(hánshù)，当(1,)x ∈+∞时，，()h x 为增函数， ，∴lnx x lnx x-成立(chénglì)， 故对任意的，有2()(1)1lnx f x a x a x<--+-+． 【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，考察了利用导数求函数的最值，表达了分类讨论的数学思想方法，考察逻辑推理才能和运算才能，属于难题．内容总结（1）〔2〕证明见解析。

期末复习4 数列姓名： 分数：一、选择题(共8题)1．在等比数列{}n a 中，251,9a a ==-，则8a =（ ） A ．27±B ．81±C ．27D ．812．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369a a +=，则8S =（ ） A ．12B ．24C ．36D ．483．已知数列{}n a 满足11(1),1n n n a na a ++==，则15=a （ ） A ．111B ．113C ．115D ．1174．已知数列{}n a ，如果121321,,,...,,...n n a a a a a a a ----是首项为1，公比为12的等比数列，则n a =( ) A ．1212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11122n⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．111122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知等差数列{}n a 满足2584a a a -+=，则数列{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．9B ．18C ．36D ．726．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，且225959236a a a a ++=，则其前13项之和为（ ） A ．21B ．26C ．36D ．397．利用数学归纳法证明不等式11112321nn +++⋅⋅⋅+<-（2n ≥，n *∈N ）的过程中，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．21k -项D ．2k 项8.已知等差数列{}n a 的公差为d ，则“0d >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件二、多选题（共4题）.9．等差数列{}n a的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（ ）A ．100a =B ．1n n a a +<C ．当0n S >时，n 的最小值为20D ．216<S S10．在等差数列{}n a 中，410a a =，公差0d >，则使其前n 项和n S 取得最小值的正整数n 是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．711.对于公差为1的等差数列{}n a ，11a =，公比为2的等比数列{}n b ，12b =，则下列说法正确的是（ ） A ．n a n =B ．12n n b -=C ．数列{}ln n b 为等差数列D ．数列{}n n a b 的前n 项和为()1122n n +-+12．已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，且满足101a <<，2020202110a a ->，20202021101a a -<-，则（ ）A ．1q >B ．2019202110a a -<C ． 2021T 的值是n T 中最小的D ．使1n T <成立的最大正整数n 的值为4039三、填空题（共4题）13．等差数列{}n a 中，若34a =，公差2d =-，则5a =________. 14．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠， 且1a 、3a 、9a 成等比数列，15921018a a a a a a ++=++_____.15．在正项数列{}n a 中，1238a a a =，且21121log log 2n n a a ++=，令1log log n n n a a b +=则数列{}n b 的前2020项和2020S =___________．16．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第41项为 _________．四、解答题(共4题)17.已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，数列{}n b 的前n 项的和为2n S n =.(1)证明：数列{}1n a +是等比数列；(2)设c n =b n .(a n +1)，求数列{}n c 的前n 项的和n T .18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 已知2103n S n n =-+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项的和n T .19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 和1a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n =2nn a b ，求{}n b 的前n 项和nT ．20.在等差数列{}n a 中，35a =，且221n n a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且231n n S b =-.令13nn n n n b c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和nT .(21n ++-(21n ++-)(322n ++-6+.18．设数列n 的前项和为n S ， 已知n .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项的和n T . 【答案】（1）6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩（2）22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩ 【分析】 （1）由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）化简n a 的表达式，分25n ≤≤、6n ≥两种情况求n T 的表达式，综合即可得解. （1）解：当1n =时，116a S ==-，当2n ≥时，()()()22110311013211n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦. 16a =-不满足211n a n =-，因此，6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩.（2）解：6,1112,25211,6n n a n n n n =⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≥⎩.当25n ≤≤时，()()27112161032n n n T n n +--=+=-+-，16T =满足2103n T n n =-+-；当6n ≥时，()()()2251211552210472n n n T T n n n +--=+=-+=-+.综上所述，22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩.19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 和1a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n=2nn a b ，求{}n b 的前n 项和nT ． 【答案】（1）21n a n =-； （2）13(23)2n nT n =-+﹒ 【分析】(1)根据n a 和n S 关系可求{}n a 的通项公式；(2)根据{}n b 通项公式可知，其前n 项和采用错位相减法求解﹒ （1）12n a a +，①当1n =，11a =①2(1)4n n a S +=，211(1)4n n a S --+=(2)n ≥， 因此当2n ≥时：2211(1)(1)4n n n n n a a a S S --+-+=-=2211224n n n n a a a a ---+-=，①11()(2)0n n n n a a a a --+--=， ①10n n a a ->+，①2n ≥时120n n a a ---=，即12n n a a --= ①数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-；（2）211=(21)222n n n n n a n b n -==-⋅， 1231111=135(21)2222n nT n ⨯+⨯+⨯+-⨯……① 234111111=135(21)22222n n T n +⨯+⨯+⨯+-⨯……① ①－①得：1231111111=222(21)222222n n n T n ++⨯+⨯+⨯--⨯ 1111(1)1122=(21)12212n n n -+-+--⨯-11111=1(21)222n n n -++---⨯①1131(23)222n n T n +=-+ ∴13(23)2n nT n =-+﹒20.在等差数列{}n a 中，35a =，且221n n a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且231n n S b =-.令13nn n n n b c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .n c ++1113521n ⎫⎛-++⎪ -⎭⎝。

2022-2023学年第一学期高二期末考试数学参考答案命题人：董凯 审核人：张晓敏一、单选题(每小题5分，共40分) 1.D 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B 7.C 8.C 二、多选题(每小题5分，共20分；漏选得2分，错选得0分) 9.BD 10.AC 11.AB 12.BC 三、填空题(每小题5分，共20分) 13.5914.3215.316.0或12四、解答题(共70分)17.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 因为a 3=b 3，a 4=b 4，所以a 2+d =b 2q ，a 2+2d =b 2q ². 又因为a 2=0，b 2=1， 所以d =q ，2d =q ². 即有2q =q ²，解得q =2，所以d =2，且a 1=-2，b 1=21. 于是a n =2(n -2)，b n =2n -2. (2) S n =1·b 1+2b 2+3b 3+…+(n -1)b n -1+nb n ①2S n = b 2+2b 3+… +(n-1)b n +2nb n ②①－②得-S n =b 1+b 2+b 3+… +b n -2nb n =2n -2(2-2n )-12，所以S n =2n -2(2n -2)+12.18. 解：(1)当2a =时，()ln 22f x x x x =−+，()ln 1f x x '=− 由()0f x '<得0x e <<﹐由()0f x '>得x e >， 所以()f x 在() 0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，且()e eln e 2e 22e f =−+=−()11ln12120f =−⨯+= ()2222ln 222f e e e e =−+=则函数()f x 的最小值为2e −，最大值为2．(2) 由题得0x >，若()0f x ≥恒成立，则ln 20x ax −+≥，即2ln x a x+≥恒成立令()2ln g x x x =+，则()22122x g x x x x−'=−=， 当02x <<时，()0g x '<；当2x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，则()()min 21ln 2g x g ==+，所以1ln2a ≤+， 故a 的取值范围为(],1ln 2−∞+．19.(1)证明：连接AC ，交DE 于点G ，连接GF . 底面为菱形，且为中点，21=∴GA GC F 为AP 上一点，且满足FA PF 21=， PC GF //∴，又DEF GF 平面⊂,DEF PC 平面⊄， ∴//PC 平面DEF ．(2)解：取AB 的中点为O ，连接PO DO ,，底面为菱形， 且︒=∠60DAB ，平面平面，ABP DO 平面⊥∴，AB PB AP 22==，AB PO ⊥∴ 以OD OB OP ,,所在的直线分别为z y x ,,轴，建立如图所示的坐标系O-xyz ， 则)0,31,32(−F ，)0,1,0(B ，)3,0,0(D ，)23,23,0(E . ∴)3,31,32(),23,23,0(−−==DF DE . 设平面DEF 的一个法向量为),,(z y x m =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DF m DE m ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−−=−03313202323z y x z y . 取3=z ，则)3,1,5(=m ，易得平面DEB 的一个法向量为)0,0,1(=m ， 所以29295295,cos ==>=<n m n m所以二面角B DE F −−的余弦值为29295 20.解：(1)数列{}n a 满足()123212=n a a n a n ++⋯+−2n ≥时,()()12132321n a a n a n ++⋯+−−﹣＝ ∴()212n n a −=∴221n a n =− 当1n =时,12a =,上式也成立∴221n a n =− ABCD E BC ABCD PAB ⊥ABCD(2)21121(21)(21)2121n a n n n n n ==−+−+−+ ∴数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−++− ⎪ ⎪ ⎪−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121n n n =−=++21.解：(1) 动点M 为圆心的圆M 过点F ,且与直线l 相切, 动圆圆心到定点F (0,1)与定直线y =-1的距离相等,∴动圆圆心的轨迹为抛物线,其中F (0,1)为焦点,y =-1为准线, 122pp ∴=⇒=,∴动圆圆心轨迹方程为x 2=4y ． (2) 依题意可设()2212012,1,,,,44x x P x A x B x ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又22'114,42x y y x y x =∴=∴= 故切线PA 的斜率为1112k x =,故切线()221111111:24042PA y x x x x x x y x −=−⇒−−=同理可得到切线222:240PB x x y x −−=又()0,1P x −,∴2101240x x x +−=且2202240x x x +−=, 故方程20240x x x −−=有两根12,x x ∴124x x =−,1212121111224k k x x x x ∴=⨯==− PA PB ∴⊥又N 为线段AB 的中点,||2||AB NP ∴=又由2101240x x x +−=得到：211011024x x x +−=即1011102x x y +−=同理可得到2021102x x y +−=,故直线AB 方程为：01102x x y −+=,故直线过定点()0,1F .22.(1)解：由题意，函数2()(ln )f x x a x a x =−+，其中函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可得22(2)()()2a x a x a f x x a x x+='−=−−， 令()0f x '=，可得x a =或2ax =−，若0a >，则当(0,)x a ∈时，()0f x '<，当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 上(0,)a 单调递减，在(,)a +∞上单调递增，若0a <，则当(0,)2ax ∈−时，()0f x '<，当(,)2a x ∈−+∞时，()0f x '>，所以()f x 上(0,)2a −单调递减，在(,)2a−+∞上单调递增；(2) 解：由题意，函数2()(ln )f x x a x a x =−+且(2)()()x a x a f x x+−'=可得(1)1f a =−，2(1)2f a a ='−−，因为()()110f f '+=，可得2120a a a −+−−=， 解得1a =或3a =− (与0a >矛盾，舍去)，故2()ln f x x x x =−−由(1)知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()f x 在1x =时取得最小值，最小值min ()(1)0f x f ==，即()0f x ≥， 故对于任意0x >恒成立，有不等式2ln x x x −≥成立，当且仅当1x =时，“=”成立； (3) 证明：由(2)知当0x >时，有2ln x x x −≥成立，令*11,n x n N n +=>∈，则2111()()ln()n n n n n n+++−> 整理得，211ln()ln(1)ln n n n n n n ++>=+−， 所以[]222231...(ln 2ln1)(ln 3ln 2)...ln(1)ln ln(1)12n n n n n++++>−+−+++−=+.。

2023 年新高考II卷高二上期期末数学试题班级：_______ 姓名_______ 考号_______一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 ．已知椭圆的一个焦点为(1, 0) ，则实数m 的值为A. B. 2 C. D.2 ．已知等比数列{a n } 的各项均为正数，且a1 . a5 . a9 = 8 ，则log2 a1 + log2 a3 + log2 a5 + log2 a7 +log2 a9 =A ．3B ．4C ．5D ．63 ．已知函数x3 −f x2 + x −3 ，则fA . −1B ．1C . −5D ．54 ．已知双曲线的左、右焦点分别为F1, F2, 过左焦点F1 作斜率为2 的直线与双曲线交于1A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为，则b 的值是4A ．2B ．C ．D . ·i25 ．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈(1 匹=40 尺，一丈=10 尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5 尺，一月织了七匹一丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29 天，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则的值为28 1 15A ．15B ．C ．D .29 3 14试卷第1 页共4 页6 ．已知抛物线E : y2 = 4x ，圆C：x2 + y2 = 2x ，过圆心C 作直线l 与抛物线E 和圆C 交于四个点，自上而下依次为A, M, N, B ，若AM ，MN，NB成等差数列，则直线l 的斜率为A ．- 2B .±2C . ·22 D .±7 ．已知函数f (x) 是定义在R 上的可导函数，其导函数为f '(x) ，若f (2) = e2 ，且f (x) −f '(x) > 0 ，则关于x 的不等式f (ln x) ≥x 的解集为A ．(0, e]B ．(0, e2C ．[e, +∞)D ．e2 , +∞)8．设函数f (x) = e x −ax2 + ax(a∈R) (e = 2.718 为自然对数的底数），若恰好存在两个正整数m, n 使得f (m) < 0, f (n) < 0 ，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D .二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。

2024届统编版（数学高二上期末检测试题考生须知：1. 全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色 字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2. 请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知两条异面直线的方向向量分别是" =（3,1,2）, u =（3,2,-1）,则这两条异面直线所成的角。

满足（）19A. sin 0 = —4B. sin 。

=——14C. cos 0 =—4♦ 9D. cos u ——142.在平形六面体 ABCD-A.B.QD.中，其中 AB = 1, AD = 2,心=3, ZK4D = 90°, ^BAA. - ZDAA. = 60° ,则AG 的长为（）A. y/13B. ^23C. V33D. ^43V 2 V 2 33. 若双曲线亳-匕=1（。

〉0）的渐近线方程为尸土%,则。

的值为（）a 9 2A.2B.3C.4D.64. 已知等比数列｛%｝的前〃项和为S 〃，若公比q= 2,则 一=（）2 1A. 一 B. 一371 3C.— D.—3 75. 双曲线4x 2-3/ =2实轴长为（）A. 1B. ^2C.2D. 2^26.已知圆 G ： x 2 + y 2-2x + my + l = 0(mG/?)的面积被直线 x + 2y + l = 0 平分，圆 C 2 ： (x + 2)2+(y-3)2 =16,则圆G 与圆G 的位置关系是（）A湘离C.内切B.相交D.外切7.已知圆。

]的方程为3-。

尸+⑪-济=4,圆0的方程为尤2+(厂》+1)2=1,其中a,beR,那么这两个圆的位置关系不可能为()A.外离B.外切C.内含D.内切8.已知1=(4,—1,2),人=(—2,x,—1),若G lb，则实数"()1A. B.—22C.2D.一29.若圆G:(1—2)2+尸=1与圆：亍+》2+4工+6);+质=0有且仅有一条公切线，则以=()A.—23B.—3C.-12D.-13()[3+a?.n>3,n^J奇数()10.数列｛%｝满足。