-2003初中数学竞赛

2003年全国初中数学竞赛第二试
A卷
一、（本题满分20分）
试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位
数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这
个四位数．
二、（本题满分25分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．设线段PA，PB的中点分别为M，N．
求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF．
三、（本题满分25分）
已知实数a，b，c，d互不相等，且 a + 1/b = b
+ 1/c = c +1/d = d + 1/a = x，试求x 的值．
B卷
一、同A卷第一题
二、（本题满分25分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．求证：∠PAE=∠PBF．
三、（本题满分25分）
已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16．
⑴这样的四边形有几个？
⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．
C卷
一、同A卷第三题，分值为20分。

二、同B卷第二题。

三、同B卷第三题。

2003年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题一、选择题(每小题3分，共30分)1、在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为(3，0)，(0，4)，则△OAB 的内心坐标为A 、(32，23)B 、(72，2)C 、(1，1)D 、(72，1) 2、把(1a -( ) ABC 、D 、3、一辆汽车的油箱里装有30升汽油，汽车每行驶100千米耗油6升，在行驶过程中，油箱中剩油量y(升)与行驶路程x(千米)的函数关系可用图象表示为( )4、如图，以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB=4，BC=1，则下列整数与圆环面积最接近的是()A 、10B 、13C 、16D 、195、如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB=AD ，DE 是⊙O 的切线，∠ADE=55°，则∠C 等于( )A 、110°B 、100°C 、115°D 、120°6、如图，半圆的直径EF=8，正方形ABCD 的顶点A 、D 在半圆上，一边BC 在EF 上，则这个正方形的面积等于( )A 、16B 、15.4C 、12.8D 、127、某商店出售一种商品，下列几种方案中，最后价格最低的方案是( )A 、先提价10%，再降价10%B 、先降价10%，再提价10%C 、先提价20%，再降价20%D 、先提价30%，再降价30%8、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是平行于AB 的弦，且AC 交BD 于点E ，∠AED=α，则DCE ABES S ∆∆等于( ) A 、cos α B 、sin α C 、cos 2α D 、sin 2α9、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则化简二次根式的结果是( )A 、a+bB 、-a-bC 、a-b+2cD 、-a+b-2c10、已知⊙O 的半径为r ，AB 、CD 为⊙O 的两条直径，且 AC =60°，P为 BC上的任意一点，PA 、PD 分别交CD 、AB 于点E 、F ，则AE ·AP+DF ·DP 等于A 、3r 2B 、2C 、4r 2D 、2二、填空题(每小题3分，共30分)11、关于x 的一元二次方程(k-1)x 2-2x+3=0有实数根，则k 的取值范围是____。

2003年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30分）1．D由⎩⎨⎧=-+=--,072,0634z y x z y x 解得⎩⎨⎧==.2,3z y z x 代入即得.2．D因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.3．C如图所示，∠B +∠BMN +∠E +∠G =360°，∠FNM +∠F +∠A +∠C =360°， 而∠BMN +∠FNM =∠D ＋180°，所以∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =540°.4．D显然AB 是四条线段中最长的，故AB =9或AB =x 。

（1）若AB =9，当CD =x 时，222)51(9++=x ，53=x ；当CD =5时，222)1(59++=x ，1142-=x ； 当CD =1时，222)5(19++=x ，554-=x .（2）若AB =x ，当CD =9时，222)51(9++=x ，133=x ；当CD =5时，222)91(5++=x ，55=x ；当CD =1时，222)95(1++=x ，197=x .故x 可取值的个数为6个.5．B设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k +1，k +2，…，k +（n －1），由题意可知1002)1(=-+n n kn ，即()[]20012=-+n k n .N MAB CEFG O C DAB因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n <2k +（n －1），且n 与2k +（n －1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n =5或n =8. 当n =5时，k =18；当n =8时，k =9. 共有两种不同方案.6．23-. 4341442141212222--=-+--=---++x x x x x x ＝234)31(32-=-+-。

2003年全国初中数学竞赛
嘉兴市评奖结果公告
2003年全国初中数学竞赛于2003年4月6日举行。

嘉兴市由嘉兴市教育局教研室、嘉兴市教育学会中学数学分会、嘉兴市数学会联合组织，共有6270名学生参加了本次竞赛，经成绩评定，确定嘉兴市团体优胜奖15名，个人一等奖68名、二等奖124名、三等奖127名。

现将结果公布如下：
团体优胜：
海盐县武原中学平湖市东湖中学
嘉兴三中求是实验中学
邵逸夫中学秀洲现代实验学校
嘉善泗洲中学桐乡六中
嘉兴市洪波中学嘉善四中
嘉兴秀中分校嘉善一中
海宁一中海盐县元通中学
海盐县实验中学
个人获奖：
一等奖
二等奖
嘉兴市教育局教研室嘉兴市教育学会中学数学分会
嘉兴市数学会
2003年5月8日。

2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）方程323223232xx+-+=-+的根是（ ）A ．3-B ．2C ．1-D ．02．（5分）设323(437)3770x x x +---=，则43277372x x x x +--+的值为（ ）A ．307B ．30C ．7D ．03．（5分）方程组224||||04||||0x x y y y x ⎧-+=⎨-+=⎩在实数范围内（ ） A ．有1组解B ．有2组解C ．有4组解D ．有多于4组的解4．（5分）设[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，x <>表示最接近x 的整数(0.5x n ≠+，n 为整数）．例如[3.4]3=，{3.4}4=， 3.43<>=．则不等式组{}23.24[]3{}235.624.343[]237.7x x x x x x x x ++<>+⎧⎨<>+++⎩的解为（ ） A ．2.2 3.6x ， 2.5x ≠，3.5B ．24x ， 2.5x ≠，3.5C ．2.2 3.6xD ．2x =，3 5．（5分）作自然数带余除法， 有算式27A B C ÷=． 如果100B <，且80215240A B C -++=，则A =（ ）A ． 2003B ． 3004C ． 4005D ． 43596．（5分）如图，由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分（小菱形）的面积为1，那么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为（ ）A ．400B ．300C ．200D ．1507．（5分）在1，2，3，…，200中既与96互质，又与75互质，而且与80也互质的所有整数的总和为（ ）A ．5468B ．6028C ．5828D ．50588．（5分）如图，::1:2:1BP PQ QC =，:1:2CG AG =，则::BE EF FG =（ ）A ．12:17:7B ．11:16:6C ．10:15:6D ．9:14:59．（5分）设23482222135357579959799S =+++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，24712221335579597T =+++⋯+⨯⨯⨯⨯，则123S T -=（ ） A ．48219603- B ．4829603- C ．48213201- D ．4823201- 10．（5分）设99n =…9（100个9），则3n 的10进位制表示中，含有的数字9的个数是（ ）A ．201B ．200C ．100D ．199二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）在实数范围内分解因式：4234x x -+= ．12．（5分）已知32521322232826a b b c c a a b b c c a +-++-+===-++-+-，则232437a b c a b c ++-=-++ ． 13．（5分）不等式232||3353||5x x x x ++>++的解是 ． 14．（5分）要使分式222424x x x x x x +----+和22222x x x x --+--都有意义，则x 的取值范围是 ．15．（5分）设215322x y xy x+-=，x ，y 是整数，则方程的非零整数解有 组． 16．（5分）如图，护城河在CC '处直角转弯，宽度保持为4米．从A 处往B 处，经过2座桥：DD '，EE '．设护城河是东西一南北方向的，A 、B 在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米．恰当地架桥可使A 到B 的路程最短．这个最短路程为 米．17．（5分）四边形ABCD 的四边长为34AB =，2(7)1BC m =-+，22(6)CD m n =+-，216DA n =+，一条对角线227(5)BD n =+-，其中m ，n 为常数，且07m <<，05n <<，那么四边形的面积为 ．18．（5分）设0x ≠，1x ≠，21P x =-，212x Q x-=，2(2)(1)x x R x -=-，且AP BQ CR s ++=对任意的x 都成立，其中A ，B ，c 为常数， 2422145(1)x x x s x x -+-=-．则AQ BR CP ++= (0,1)x ≠． 19．（5分）利用不等式33A B CABC ++，A ，B ，0C >，等号成立当且仅当A B C ==”解决以下问题：把长为8dm 宽为3dm 的长方形铁片的四角各剪去一个边长相同的正方形小铁片，折成一个无盖长方体盒子（折缝不计），要使所得到的盒子容积最大，剪去的4个正方形小铁片的边长应是x = dm ．20．（5分）以下算式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么这个算式的结果，非典不可怕” = ．可怕非典⨯抗⨯抗⨯抗⨯抗=非典不可怕．。

2003年全国初中数学联合竞赛试题一、选择题（42分）1.计算：( )2.在十边形的所有内角中,锐角的个数最多是( ) (A)0 (B)1 (C)3 (D)53.若函数y=kx(k>0)与函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直于x 轴于B,则ΔABC 的面积为( )(A)1 (B)2 (C)k (D)k 24.满足等式的正整数对(x,y)的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.设ΔABC 的面积为1,D 是边AB 上一点,且13AD AB =.若在边AC 上取一点E,使四边形DECB 的面积为34,则CE EA的值为( ) (A)12 (B)13 (C)14 (D)156.如图,在ABCD 中,过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。

若AB=4，BE=5，则DE 的长为（ ） (A)3 (B)4 (C)154 (D)165二、填空题（28分）1. 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点.若ΔABC 是直角三角形,则ac=_______. 2.设m 是整数,且方程3x 2+mx-2=0的两根都大于-95而小于37,则m=______. 3.如图,AA /、BB /分别是∠EAB ，∠DBC 的平分线. 若AA /=BB /=AB ，则∠BAC 的度数为________.4.已知正整数a 、b 之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a 、b 中较大的数是__ __.EDCBA EDC BAB 'A 'EDCBANMPFEDCBADCBA三、（20分）在ΔABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ；过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于P.设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N. 求证：（1）ΔDEM ≌ΔDFN.（2）∠PAE=∠PBF.四、（25分）已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且a +1b = b +1c = c + 1d= d +1a = x,试求x 的值.五、（25分）已知四边形ABCD 的面积为32，AB 、CD 、AC 的长都是整数，且它们的和为16。

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。

【数学竞赛】2003年全国初中数学联赛试卷第一试（4月13日上午8:30—9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.A .5-B .1C .5D .1[答]（ ）2.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是A .0B .1C .3D .5[答]（ ）3.若函数()0y kx k =>与函数1y x=的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为 A .1 B .2 C .k D .2k[答]（ ）4.满足等式2003的正整数对()x y ，的个数是A .1B .2C .3D .4[答]（ ）5.设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且13AD AB =．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为34，则CE EA的值为 A .12 B .13 C .14 D .15[答]（ ）6.如图，在□ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若AB =4，BE =5，则DE 的长为A .3B .4C .154D .165[答]（ ） D CA B E二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若△ABC 是直角三角形，则ac =__________．2.设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37，则m =____________． 3.如图，'AA ，'BB 分别是∠EAB ，∠DBC 的平分线．若''AA BB AB ==，则∠BAC 的度数为_____________．4.已知正整数a ，b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a ，b 中较大的数是_________．2003年全国初中数学联合竞赛试卷第二试（A ）（4月13日上午10:00—11:30）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．二、（本题满分25分）。