高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式学案苏教版4教案

3.3 几个三角恒等式1．能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式．(重点) 2．能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 降幂公式阅读教材P 121例3，完成下列问题． sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α.1．若cos α＝－35，且π＜α＜3π2，则cos α2＝________.【解析】 ∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 【答案】 －552．若tan α2＝3，则cos α＝________.【解析】 ∵tan2α2＝1－cos α1＋cos α＝9，∴cos α＝－45.【答案】 －45教材整理2 积化和差与和差化积公式 阅读教材P 126链接以上内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ．( ) (2)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2sin A cos B ．( ) (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos 2α－cos 2β.( ) 【解析】 (1)正确．(2)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝－2sin A sin B ，故错． (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)，故错．【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理3 万能公式阅读教材P 126～P 127的“链接”内容，完成下列问题．设tan α2＝t ，则sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t2.1．若tan α＝3，则sin 2α＝________，cos 2α＝________.【解析】 ∵tan α＝3，∴sin 2α＝2tan α1＋tan 2α＝35，cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45. 【答案】 35 －452．若tan α＝1，则tan α2＝________.【解析】 tan α＝2tanα21－tan 2α2，∴tan 2 α2＋2tan α2－1＝0，解得tan α2＝－1± 2.【答案】 －1± 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]【精彩点拨】 先降幂；再和差化积，或积化和差求解．【自主解答】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70°＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.[再练一题]1．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值.【导学号：06460081】【解】 ∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①又∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②∵sin α－β2≠0，∴由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.设tan 2＝t ，求证：1＋sin θ＋cos θ＝2(t ＋1)．【精彩点拨】 利用万能公式，分别用t 表示sin θ，cos θ，代入待证等式的左端即可证明．【自主解答】 由sin θ＝2tan θ21＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ221＋tan2θ2＝＋t21＋t2， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan θ21＋tan2θ2＝＋t1＋t2， 故1＋sinθ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．在万能代换公式中不论α的哪种三角函数包括sin α与cos α都可以表示成tanα2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.[再练一题]2．已知cos θ＝－35，且180°＜θ＜270°，求tan θ2.【解】 ∵180°＜θ＜270°，∴90°＜θ2＜135°，∴tan θ2＜0.由cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1－tan2θ21＋tan2θ2＝－35，解得tan2θ2＝4. 又tan θ2＜0，∴tan θ2＝－2.[探究共研型]探究【提示】 把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式． 探究2 在上述转化过程中，要用到哪些公式？【提示】 降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋θ)，其中tan θ＝ba.求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．【精彩点拨】化简f x的解析式→fx ＝A ωx ＋φ＋B→ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22.∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减．1．研究函数性质的一般步骤： (1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质． 2．对三角函数式化简的常用方法： (1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，化为“一个角”的函数．[再练一题]3．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．【解】 (1)∵f (x )＝3sin 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．[构建·体系]1．sin 37.5°cos 7.5°＝________.【解析】 原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14. 【答案】2＋142．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝________.【解析】 原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°.【答案】 tan 20° 3．已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2等于________． 【导学号：06460082】【解析】 因为sin α＝55>0，cos α＝255>0， 所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一、三象限．所以tan α2>0，故tan α2＝1－cos α1＋cos α＝1－2551＋255＝5－2.【答案】 5－24．已知tan α＝－12，则sin 2α的值等于________．【解析】 sin 2α＝2sin α·cos αcos 2α＋sin 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－45.【答案】 －455．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，π3上的最小值与最大值．【解】 (1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3 ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋4.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵0＜x ≤π3，∴π6＜2x ＋π6≤5π6，当x ＝π3时，2x ＋π6＝5π6，函数f (x )取得最小值为5.当x ＝π6时，2x ＋π6＝π2，函数f (x )取得最大值为6.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二十八) 几个三角恒等式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题 1．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ； ②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ； ③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ； ⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确的等式有________．(填序号) 【解析】 只有⑤正确． 【答案】 ⑤2．若A ＋B ＝120°，则sin A ＋sin B 的最大值是________． 【解析】 sin A ＋sin B ＝2sin A ＋B2cosA －B2＝3cosA －B2≤3，∴最大值为 3. 【答案】33．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值是________．【解析】 y ＝2sin x cos π3＝sin x ≤1，∴最大值为1.【答案】 14．求sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25°的值为________．【解析】 原式＝2sin 5°cos 30°－2sin 30°sin 5°＝－cos 30°sin 30°＝－2cos 30°＝－2×32＝－ 3. 【答案】 － 35．若α是第三象限角且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2＝________. 【导学号：06460083】【解析】 易知sin α＝－513，α为第三象限角， ∴cos α＝－1213.∴tan α2＝sin α2cos α2＝2sin α2cosα22cos2α2＝sin α1＋cos α＝－5131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－5. 【答案】 －56．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.【解析】 cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β. ∴cos 2α－sin 2β＝13.【答案】 137．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.【解析】 sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos 2α－cos 2β)＝－12(2cos 2α－1－2cos 2β＋1)＝cos 2β－cos 2α＝－m .【答案】 －m8．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12sin2x －π6＋sin －π6＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值为－34.【答案】 －34二、解答题9．化简：－sin α－cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)．【解】 原式＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2 α2－2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22×2sin 2 α2＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2 α2－cos 2 α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sin α2＝cos α. 10．求函数f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期与最值． 【解】 f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝sin x ·2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1]， ∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝－14. [能力提升]1．sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值是________．【解析】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 160°2＋32(sin 100°－sin 60°)＝1－12(cos 40°＋cos 20°)＋32cos 10°－34＝1－cos 30°cos 10°＋32cos 10°－34＝14. 【答案】 142．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos (A ＋B )]＝12cos(A －B )， 又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1， ∴sin A sin B 有最大值12. 【答案】 123．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2＝________. 【解析】 ∵α是第三象限角，∴α2为第二、四象限角，∴tan α2＜0， ∴tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1＋451－45＝－3， ∴原式＝1－31＋3＝－12. 【答案】 －124．如图3­3­1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．图3­3­1【解】 在直角三角形OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α.在直角三角形OAD 中，DA OA ＝tan 60°＝ 3.∴OA ＝33DA ＝33sin α， ∴AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－33sin αsin α ＝sin αcos α－33sin 2α＝12sin 2α－36(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2α＋12cos 2α－36＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－36.∵0<α<π3， ∴当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，取最大值36.∴当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36.。

§3.3 几个三角恒等式学习目标 1.理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过程.2.掌握积化和差、和差化积、万能公式的结构特征.3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换．知识点一 积化和差与和差化积公式思考1 如何用sin(α＋β)，sin(α－β)表示sin αcos β和cos αsin β？答案 ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， 即sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．思考2 若α＋β＝θ，α－β＝φ，则如何用θ，φ表示α，β？ 答案 α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2.梳理 (1)积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式 sin α＋sin β＝2sin α＋β2cosα－β2.sin α－sin β＝2cos α＋β2sinα－β2.cos α＋cos β＝2cosα＋β2cosα－β2.cos α－cos β＝－2sin α＋β2sinα－β2.知识点二 万能代换公式思考 结合前面所学倍角公式，能否用tan α2表示sin α？答案 sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cosα2cos2α2＋sin2α2＝2tanα21＋tan 2α2，即sin α＝2tanα21＋tan 2α2.梳理 万能公式 (1)sin α＝2tanα21＋tan 2 α2.(2)cos α＝1－tan 2α21＋tan 2 α2.(3)tan α＝2tanα21－tan 2 α2.知识点三 半角公式思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用α2替换α，结果怎样？答案 结果是cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin2α2＝cos2α2－sin2α2.思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.答案 ∵cos2α2＝1＋cos α2，∴cos α2＝±1＋cos α2，同理sin α2＝±1－cos α2，∴tan α2＝sinα2cosα2＝±1－cos α1＋cos α.思考3 利用tan α＝sin αcos α和倍角公式又能得到tan α2与sin α，cos α怎样的关系？答案 tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cos α2cos α2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sinα2cos α2＝sin α2·2sin α2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.梳理 半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2. (2)cos α2＝±1＋cos α2. (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.特别提醒：(1)半角公式中，根号前面的符号由α2所在的象限相应的三角函数值的符号确定．(2)半角与倍角一样，也是相对的，即α2是α的半角，而α是2α的半角．1．若α≠k π，k ∈Z ，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α恒成立．( √ )2．cos αsin β＝12[]sin (α＋β)＋sin (α－β).( × )类型一 积化和差与和差化积公式 命题角度1 积化和差公式的应用 例1 求下列各式的值． (1)sin37.5°cos7.5°； (2)sin20°·sin40°·sin80°；(3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°. 解 (1)sin37.5°cos7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12(sin45°＋sin30°)＝2＋14. (2)sin20°·sin40°·sin80°＝－12[cos 60°－cos(－20°)]·sin80°＝－14sin80°＋12sin80°cos20°＝－14sin80°＋12×12(sin100°＋sin60°)＝－14sin80°＋14sin80°＋38＝38.(3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝12[sin 90°＋sin(－50°)]－12[cos 60°－cos(－40°)] ＝12－12sin50°－14＋12cos40°＝14. 反思与感悟 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应用sin(α＋β)与sin(α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应用cos(α＋β)与cos(α－β)的和或差．跟踪训练1 化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)． 解 原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos(－2θ)]＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－cos2θ＝sin θ＋2sin θcos2θ＝sin θ＋sin3θ－sin θ ＝sin3θ.命题角度2 和差化积公式的应用例2 已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．解 因为cos α－cos β＝12，所以－2sinα＋β2sinα－β2＝12.① 又因为sin α－sin β＝－13，所以2cosα＋β2sinα－β2＝－13.②因为sinα－β2≠0，所以由①②得－tanα＋β2＝－32，即tanα＋β2＝32. 所以sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2sin 2 α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan 2 α＋β2＝2×321＋94＝1213.反思与感悟 和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式．跟踪训练2 求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值．解 方法一 原式＝12(1－cos40°)＋12(1＋cos100°)＋sin20°·cos50°＝1＋12(cos100°－cos40°)＋12(sin70°－sin30°)＝34－sin70°·sin30°＋12sin70°＝34. 方法二 原式＝(sin20°＋cos50°)2－s in20°·cos50° ＝(2sin30°·cos10°)2－12(sin70°－sin30°)＝cos 210°－12cos20°＋14＝1＋cos20°2－12cos20°＋14＝34.类型二 利用万能公式化简求值例3 (1)已知cos θ＝－35，并且180°＜θ＜270°，求tan θ2的值；(2)已知2sin θ＋cos θsin θ－3cos θ＝－5，求3cos2θ＋4sin2θ的值．解 (1)∵180°＜θ＜270°， ∴90°＜θ2＜135°，∴tan θ2＜0.∵cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2 θ2＝－35，∴tan2θ2＝4，∴tan θ2＝－2. (2)∵2sin θ＋cos θsin θ－3cos θ＝－5，∴2tan θ＋1tan θ－3＝－5，∴tan θ＝2. 又cos2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35，sin2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝45， ∴3cos2θ＋4sin2θ＝－95＋165＝75.反思与感悟 (1)万能公式是三角函数中的重要变形公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示为“单角”的正切的有理式的形式．(2)万能公式左右两边的角的取值范围不同，在解三角函数方程时，要避免漏解．跟踪训练3 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，求sin2θ－2cos 2θ的值．解 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，∴tan θ＝12.sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 类型三 三角恒等式的证明例4 求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ.证明 要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. ∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ， 右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ， ∴左边＝右边，∴原等式成立．反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练4 证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.证明 ∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tan α21＋tan 2 α2＋1－tan 2α21＋tan 2α2＝tan2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为________．答案63解析 由题意知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)＝________________________.答案 －79解析 cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2＝2cos π3cos α＋β2＝cos α＋β2＝13，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×19－1＝－79.3．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.答案 2解析 对已知等式两边平方，得sin α＝45，又450°＜α＜540°，∴cos α＝－35，∴tan α＝－43，又tan α＝2tanα21－tan 2α2，且α2∈(225°，270°)，∴tan α2＝2.4．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－tan α2·(1＋cos α)1－cos α(0＜α＜π)．解 ∵tan α2＝sin α1＋cos α，∴(1＋cos α)tan α2＝sin α.又∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2α2，∴原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－22sin α2cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.∵0＜α＜π，∴0＜α2＜π2，∴sin α2＞0.∴原式＝－22cosα2.1．本节重点学习了积化和差公式、和差化积公式及万能公式等，一定要清楚这些公式的形式特征．同时要理解公式间的关系，立足于公式推导过程中记忆公式． 2．三角恒等式的证明类型(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式：条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头凑法．一、填空题1．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝________.答案 －12解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35，tan α2＝sin α1＋cos α＝－351－45＝－3.原式＝1－31＋3＝－12.2．已知2sin x ＝1＋cos x ，则tan x2＝________.答案 12解析 由2sin x ＝1＋cos x ，得12＝sin x 1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos 2x 2＝tan x2.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin C ，则△ABC 为________三角形．(填三角形的形状)答案 直角解析 由cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin C ，得2cosB ＋C2cosB －C2＝2sinB ＋C2cosB －C2，两边同除以2cosB －C2，得sinB ＋C2＝cosB ＋C2，即tanB ＋C2＝1，∵0＜B ＋C ＜π，∴0＜B ＋C 2＜π2， ∴B ＋C 2＝π4，即B ＋C ＝π2，∴A ＝π2， ∴△ABC 为直角三角形． 4．若π＜α＜2π，则1－cos (α－π)2＝________.答案 －cos α2解析 ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2＜0，原式＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.5．若tan θ＝3，则sin2θ－cos2θ的值是________． 答案 75解析 因为tan θ＝3，所以sin2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2×31＋32＝35，cos2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－321＋32＝－45，所以sin2θ－cos2θ＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝75. 6．若tan θ＋1tan θ＝m ，则sin2θ＝________.答案 2m解析 因为tan θ＋1tan θ＝m ，即tan 2θ＋1tan θ＝m ，所以sin2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2m. 7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜θ＜π，则tan θ2＝________. 答案 5解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ＜0，不符合π2＜θ＜π. ∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213， tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5. 8．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.答案 －m解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos2α－cos2β) ＝－12(2cos 2α－1－2cos 2β＋1)＝cos 2β－cos 2α＝－m . 9．函数f (x )＝sin x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan x tan x 2的最小正周期是________． 答案 2π 解析 f (x )＝sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2tan 2 x 21－tan 2x 2 ＝sin x ·1＋tan 2 x 21－tan 2 x 2＝sin x ·sin 2 x 2＋cos 2 x 2cos 2 x 2－sin 2 x 2＝sin x cos x＝tan x . 因为函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2且x 2≠k π＋π2，k ∈Z ， 即x ≠k π＋π2且x ≠2k π＋π，k ∈Z .显然有f (0)＝0， 而f (π)无意义，所以T ＝2π.10．已知α，β为锐角，且α－β＝π6，则sin αsin β的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析 ∵α－β＝π6，∴sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)] ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos (α＋β)－32＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β＋π6－32. ∵α，β为锐角，且α－β＝π6， ∴0＜π6＋β＜π2，即0＜β＜π3，∴π6＜2β＋π6＜5π6， ∴－32＜cos ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π6＜32， ∴0＜－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β＋π6－32＜32， ∴sin αsin β的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 11．若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin β·cos(α＋β)＝－513，则tan α2＝________.答案 －5解析 ∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－513， 又∵α是第三象限角，∴cos α＝－1213. ∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－513＝－5. 二、解答题12．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos2x. 证明 ∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2 ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边． ∴原等式成立．13．已知在△ABC 中，A ＞C ，且B ＝60°，能否利用log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1求出A 和C 的大小？若能，请求出；若不能，请说明理由． 解 ∵在△ABC 中，A ＞C ，B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.①∵log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1，∴sin A sin C ＝14. ∵sin A sin C ＝12[cos(A －C )－cos(A ＋C )]， ∴12[cos(A －C )－cos(A ＋C )]＝14， ∴cos(A －C )＝12＋cos(A ＋C )＝12＋cos120°＝0. 又∵0°＜A －C ＜180°，∴A －C ＝90°. ②由①②，得A ＝105°，C ＝15°.。

高中数学第三章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式导学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

3 几个三角恒等式课堂导学三点剖析1。

三角函数恒等式应用举例【例1】 运用三角函数变换证明tan 2α=ααααcos 1sin sin cos 1+=-. 思路分析：由于角不一致，首先应统一角度，即运用倍角公式设法将tan2α变成角α的三角函数.证明：tan 2α=2cos2sin αα =αααααsin cos 12cos2sin 22sin 22-=. tan 2α=2cos2sin αα=.cos 1sin 2cos 22cos 2sin 22ααααα+= ∴tan 2α=αααcos 1sin sin cos 1+=-a 成立。

温馨提示这组公式的结构特征是用cosα与sinα表示2α的正切值,可称为半角公式. 2．三角函数变换的应用【例2】 将下列各式化简为Asin(ωx+φ）的形式：（1）cosx —sinx ；(2）3sinx+3cosx ；(3)3sinx-4cosx;（4)asinx+bcosx(ab≠0).思路分析：本题主要考查两角和（差）的正余弦公式的恒等变形。

解：（1）cosx —sinx=-（sinx-cosx ） =2-(22sinx-22cosx) =2-（sinxcos 4π-cosxsin 4π） =2-sin(x —4π).本题化简结果不唯一,也可这样变换：cosx —sinx=2(22cosx —22sinx ） =2（sinxcos 43π+cosxsin 43π）=2sin （x+43π).（2)3sinx+3cosx=23(23sinx+21cosx ） =23（sinxcos 6π+cosxsin 6π) =23sin(x+6π).(3)3sinx —4cosx=5（53sinx 54-cosx ）令cosφ=53,φ为第一象限角，则sinφ=54。

高中数学第3章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式课前导引苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第3章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式课前导引苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.3 几个三角恒等式课前导引问题导入如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形.C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形。

记∠COP=α,当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？最大面积是多少？思路分析：在Rt△OBC 中，OB=cos α,BC=sin α.在Rt△OA D 中，OA DA=tan 3π=3, 所以OA=33DA=33BC=33sin α.所以AB=OB —OA=cos α33-sin α.设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB·BC=（cosα33-sin α）·sinα=sin α·cosα33-sin 2α=21sin2α-63（1—cos2α）=21sin2α+63cos2α—63=31 (23sin2α+21cos2α）-63=31sin （2α+6π）-63. 由于0＜α＜3π, 所以当2α+6π=2π， 即α=6π时，S max =636331=-。

因此,当α=6π时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为63. 知识预览1.万能代换设tan 2α=t ，则sinα=212t t +，cosα=2211t t +-,tanα=212t t -。

1 3.3 几个三角恒等式一览众山小诱学导入三角函数的变换是解决三角函数有关问题的主要工具，在某种意义上讲，能否熟练地掌握变换的一般方法与技巧是能否解决三角问题的标志.从总体上讲，三角函数的变换是在“求同变异”的过程中完成的，因此，准确地分析条件与结论，进而选择适当的方法去解决这种差异，是我们考虑问题的出发点，从而使问题的解决有着明确的思维方向.虽然我们已经学过了几类三角函数恒等变换的公式和等式，但只有这些公式或等式还是有诸多问题不能得到解决，还需要引入几个常见的三角恒等式，以解决更多的三角函数变换的问题. 问题:根据你所学的三角公式和等式，利用tan 2α表示sinα？导入：综合利用二倍角公式和同角三角函数关系式来求解.由二倍角公式不难得出sinα=2sin 2αcos 2α，然后将等式右边分母视为“sin 22α+cos 22α”，再利用同角三角函数关系式即可求解.温故知新1.两角和与差的三角公式有哪些?答:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. 2.二倍角公式有哪些？答:sin2α=2sin αcos α,cos2α=cos 2α-sin 2α,tan2α=αα2tan 1tan 2-. 3.二倍角余弦公式有哪些变形？答:cos2α=2cos 2α-1,cos2α=1-2sin 2α,cos 2α=22cos 1α+,sin 2α=22cos 1α-.。

1．公式的常见变形11＋co α＝2co2错误!；1－co α＝2in2错误!；21＋in α＝in错误!＋co错误!2；1－in α＝in错误!－co错误!23tan 错误!＝错误!＝错误!2．辅助角公式a in ＋b co ＝错误!in＋φ，其中in φ＝错误!，co φ＝错误!【思考辨析】判断下面结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1＝3in ＋4co 的最大值是7×2设α∈π，2π，则错误!＝in错误!×3在非直角三角形中有：tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C．√4设错误!错误!错误!错误!α∈0，π．∴00，∴00∴错误!tan ＋错误!≥2错误!＝错误!当tan ＝错误!，即＝错误!时取等号即函数的最小值为错误!15．已知函数f＝2co2ω－1＋2错误!co ωin ω0＜ω＜1，直线＝错误!是f图象的一条对称轴．1试求ω的值；2已知函数＝g的图象是由＝f图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移错误!个单位长度得到的，若g错误!＝错误!，α∈错误!，求in α的值．解f＝2co2ω－1＋2错误!co ωin ω＝co 2ω＋错误!in 2ω＝2in错误!1由于直线＝错误!是函数f＝2in错误!图象的一条对称轴，∴in错误!＝±1∴错误!ω＋错误!＝π＋错误!∈Z，∴ω＝错误!＋错误!∈Z．又0＜ω＜1，∴－错误!＜＜错误!又∵∈Z，从而＝0，∴ω＝错误!2由1知f＝2in错误!，由题意可得g＝2in错误!，即g＝2co 错误!∵g错误!＝2co错误!＝错误!，∴co错误!＝错误!又α∈错误!，∴错误!＜α＋错误!＜错误!，∴in错误!＝错误!∴in α＝in错误!＝in错误!co 错误!－co错误!in 错误!＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!。

3．3几个三角恒等式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解．(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题．(3)揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识．2．过程与方法让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．通过例题讲解，总结方法．通过做练习，巩固所学知识．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力，●重点难点重点：积化和差公式、和差化积公式、万能公式及半角公式的推导．难点：综合运用公式进行三角恒等变换．(教师用书独具)●教学建议1．关于积化和差公式的教学建议教师首先让学生复习两角和与差的正、余弦公式，观察公式左边的结构形式，如：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.引导学生自己导出三角函数的积化和差公式及sin αcos β＝12[sin(α－β)＋sin(α＋β)]等等．2．关于和差化积问题的教学建议教师要强调把两个三角函数式的和差化为积的形式，最后结果应是几个三角函数式的积的最简形式．●教学流程错误!⇒错误!⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用三角函数的积化和差与和差化积公式进行三角函数式的求值计算的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握解决三角函数式化简问题中的化简技巧及化简要求.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握三角恒等式证明的基本思路和方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式．2.能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点)积化和差与和差化积公式【问题导思】利用两角和与差的正弦公式能否用sin(α＋β)与sin(α－β)表示sin αcos β和cos α·sin β？【提示】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋β＝sin αcos β＋cos αsin βsin α－β＝sin αcos β－cos αsin β，∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，即sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2万能代换公式【问题导思】结合前面所学倍角公式，能否用tan α2表示sin α？【提示】 sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cosα2cos2α2＋sin2α2＝2tanα21＋tan 2α2，即sin α＝2tanα21＋tan 2α2. 设tan α2＝t ，则sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t 2.三角函数式求值问题 求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.【思路探究】 首先将三角函数化为余弦形式，代入特殊值后进行积化和差． 【自主解答】 原式＝cos 10°cos 30°cos 50° cos 70°＝32cos 10°cos 50°cos 70° ＝32[12(cos 60°＋cos 40°)·cos 70°] ＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316.1．三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角运算及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用．同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性，从而达到解题的目的．2．求值主要方法有：①消去法；②方程法；③比例性质法等．求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50°的值．【解】 法一 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70°＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.法二令x＝sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°，y＝cos220°＋sin250°＋cos 20°sin 50°，则x＋y＝2＋sin 70°，①x－y＝－cos 40°＋cos 100°＋sin(－30°)＝－2sin70°sin 30°－12，即x－y＝－12－sin 70°，②①＋②得2x＝2－12＝32，∴x＝34.即sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝34.三角函数式化简问题化简(1tanα2－tanα2)(1＋tan α·tanα2)．【思路探究】题目中有角α2，也有角α，利用正切的半角公式的有理表达式可以把α2的三角函数转化为α的三角函数，然后将角α的正切转化为α的正、余弦函数，化简即得．【自主解答】(1tanα2－tanα2)(1＋tan αtanα2)＝(1＋cos αsin α－1－cos αsin α)(1＋sin αcos α·1－cos αsin α)＝2cos αsin α(1＋1－cos αcos α)＝2cos αsin α·1cos α＝2sin α.1．三角恒等变换常用技巧：(1)常值代换；(2)切化弦，弦化切；(3)降幂变倍角，升幂变半角；(4)角的变换；(5)公式的正用、逆用和变形用．2．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．化简：cos2A＋cos2(2π3＋A)＋cos2(4π3＋A)．【解】 原式＝1－cos 2A2＋1－cos 4π3＋2A 2＋1－cos 8π3＋2A2＝32－12[cos 2A ＋cos(4π3＋2A )＋cos(8π3＋2A )] ＝32－12[cos 2A ＋2cos(2π＋2A )cos 2π3] ＝32－12[cos 2A －cos(2π＋2A )]＝32.三角恒等式的证明 求证：sin αsin(60°＋α)sin(60°－α)＝14sin 3α.【思路探究】 恒等式的左边是函数积的形式且各三角函数的角不一样，应根据积化和差公式对左边变形整理，进行角的统一．【自主解答】 左边＝sin α[－12(cos 120°－cos 2α)]＝14sin α＋12sin αcos 2α ＝14sin α＋14[sin 3α＋sin(－α)]＝14sin 3α＝右边， ∴原等式成立．1．当对三个或三个以上的正弦或余弦函数因式的积通过积化和差公式进行化简时，选择因式的依据是使两因式的和或差是特殊角或与其他因式的角相同或相关．2．证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证．在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2·cos B 2cos C2.【证明】 由A ＋B ＋C ＝180°， 得C ＝180°－(A ＋B )， 即C 2＝90°－A ＋B 2. ∴cos C 2＝sin A ＋B 2.∴sin A ＋sin B ＋sin C＝2sin A ＋B 2·cos A －B 2＋sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2·cos A －B 2＋2sin A ＋B 2·cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2(cos A －B 2＋cos A ＋B 2)＝2cos C 2·2cos A 2·cos(－B2) ＝4cos A2cos B 2cos C2. ∴原等式成立.进行三角恒等变换时忽略角的取值范围致误已知α为第三象限角，且cos α2＞0，tan α＝3，求tan α2的值．【错解】 ∵tan α＝3， ∴2tan α21－tan 2α2＝3，∴3tan2α2＋2tan α2－3＝0， ∴tan α2＝－13＋103或tan α2＝－13－103.【错因分析】 本题由于忽略角的取值范围而导致错误，应对α2的范围进行讨论．【防范措施】 在进行三角恒等变换时，忽略了角的取值范围，出现前、后取值范围不一致的情况．【正解】 ∵tan α＝3，所以2tanα21－tan 2α2＝3，∴3tan2α2＋2tan α2－3＝0， ∴tan α2＝－13＋103或tan α2＝－13－103.∵cos α2＞0，α为第三象限角， ∴α2为第四象限角， 所以tan α2＜0，∴tan α2＝－13－103.1．三角函数式化简结果的三大要求 (1)能求值的求值；(2)不能求值的要保证三角函数的种类最少、项数最少、次数最低； (3)分式的分母中尽量不含根号． 2．三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，一直到探求出已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．1．sin 105°＋sin 15°＝________.【解析】 原式＝2sin 105°＋15°2·cos 105°－15°2＝2sin 60°cos 45°＝62.【答案】622．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是________．【解析】原式＝12[sin 90°＋sin(－50°)]－12[cos 60°－cos(－40°)]＝12－12sin 50°－14＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. 【答案】 143．化简cos α＋cos(120°－α)＋cos(120°＋α)＝________. 【解析】 cos α＋cos(120°－α)＋cos(120°＋α) ＝cos α＋2cos αcos 120° ＝cos α－cos α＝0. 【答案】 04．求证：(1)sin(α＋β)·sin(α－β)＝cos 2β－cos 2α； (2)cos α－cos βsin α＋sin β＝tan β－α2. 【证明】 (1)∵左边＝－12[cos 2α－cos 2β]＝－12[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝cos 2β－cos 2α＝右边， ∴原等式成立．(2)∵左边＝－2sin α＋β2sin α－β22sin α＋β2cos α－β2＝－sinα－β2cosα－β2＝－tan α－β2＝tan β－α2＝右边，∴原等式成立.一、填空题1．sin 37.5°cos 7.5°＝________.【解析】 原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin30°)＝12×(22＋12)＝2＋14.【答案】2＋142．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝________.【解析】 原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°.【答案】 tan 20°3．函数f (x )＝sin(2x －π3)cos(2x ＋π3)的周期是________．【解析】 ∵f (x )＝12[sin 4x ＋sin(－2π3)]＝12sin 4x －34， ∴T ＝2π4＝π2.【答案】 π24．(2013·临沂高一检测)求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝________. 【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos(－10°)＋sin 60°－sin 80°＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】325．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于________．【解析】 ∵cos α＋cos β＝13，∴2cos α＋β2cos α－β2＝13，∵α－β＝23π，∴cos α－β2＝12.∴cos α＋β2＝13则cos(α＋β)＝2cos 2(α＋β2)－1＝－79.【答案】 －796．已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为________．【解析】 设该等腰三角形顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝π2－α2，∴sin β＝sin(π2－α2)＝cos α2.∵2cos2α2－1＝cos α，∴cos α2＝cos α＋12＝31010. 【答案】310107．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )， 又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.1sin 40°＋cos 80°sin 80°＝________. 【解析】 原式＝2cos 40°＋cos 80°sin 80°＝cos 40°＋2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°＋cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝ 3.【答案】 3 二、解答题9．已知θ∈(π，32π)且sin θ2＝35，求：(1)sin θ1＋cos θ；(2)sin θ＋2cos θ. 【解】 ∵sin θ2＝35，θ∈(π，32π)，∴θ2∈(π2，34π)．∴cos θ2＝－1－sin 2 θ2＝－ 1－352＝－45.设t ＝tan θ2＝sinθ2cos θ2＝35－45＝－34.(1)sin θ1＋cos θ＝2t 1＋t 21＋1－t 21＋t2＝2t 2＝t ＝－34. (2)sin θ＋2cos θ＝2t 1＋t 2＋2·1－t 21＋t 2＝2t ＋2－2t21＋t2＝2×－34＋2－2×－3421＋－342＝－25.10．求函数f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)]的最小正周期与最值．【解】 f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)]＝sin x ·2cos(x ＋π6)sin(－π6) ＝－sin x cos(x ＋π6) ＝－12[sin(2x ＋π6)＋sin(－π6)] ＝－12sin(2x ＋π6)＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. ∵sin(2x ＋π6)∈[－1,1]， ∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝－14. 11．已知3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，求证：sin 2α＝1. 【证明】 ∵3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)， ∴3sin α－π12cos α－π12＝sin α＋π12cos α＋π12. ∴3sin(α－π12)cos(α＋π12)＝sin(α＋π12)cos(α－π12)． ∴32(sin 2α－sin π6)＝12(sin 2α＋sin π6)． ∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12，∴sin 2α＝1.(教师用书独具)求函数f (x )＝sin 52x 2sin x 2－12的值域． 【思路探究】 先通分，再将sin 52x －sin x 2和差化积，约去分母sin x 2，再变形为只含一个三角函数符号的形式．然后在函数f (x )的定义域内求值域．【自主解答】 f (x )＝sin 5x 2－sin x 22sin x 2＝sin3x2＋x－sin3x2－x2sinx2＝2cos3x2sin x2sinx2＝2cos3x2cosx2＝cos(3x2＋x2)＋cos(3x2－x2)＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1＝2(cos x＋14)2－98.∵sinx2≠0，∴x2≠kπ，即x≠2kπ(k∈Z)．∴－1≤cos x＜1.当cos x＝－14时，f(x)min＝－98，当cos x趋于1时，f(x)趋于2.故函数f(x)的值域是[－98，2)．通过和差化积、积化和差等三角变换，改变函数式结构，并最终使函数解析式中只含一个三角函数符号，是上述变换过程的基本内容．一般对同名异角三角函数的和或差，可考虑和差化积；对异角正、余弦函数的积，可考虑积化和差．已知函数f(x)＝sin(2x－π6)＋2sin2(x－π12)(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．【解】(1)f(x)＝sin(2x－π6)＋2sin2(x－π12)＝sin(2x－π6)＋1－cos(2x－π6)＝sin(2x－π6)－sin[π2－(2x－π6)]＋1＝sin(2x－π6)－sin(－2x＋2π3)＋1＝2cos－π6＋2π32sin4x－π6－2π32＋1＝2sin(2x－5π12)＋1，∴f(x)的最小正周期T＝π.(2)由(1)知：当sin(2x－5π12)＝1时，f(x)max＝2＋1，此时，2x－5π12＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋11π24(k∈Z)，∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是：{x |x ＝k π＋11π24，k ∈Z }.。

高中数学 3.3 几个三角恒等式互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导 1.积化和差公式sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］； cosαsinβ=21［sin （α+β)-sin(α-β)］；cosαcosβ=21［cos(α+β)+cos(α-β)］；sinαsinβ=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］.公式的推导如下：∵sin（α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(S α+β)， sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(S α-β)， cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(C α+β)， cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C α-β). 则公式S α+β+S α-β,S α+β-S α-β, C α+β+C α-β,C α+β-C α-β得：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ, sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ, cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ, cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinα·sinβ. 即sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］① cosαsinβ=21［sin(α+β)-sin(α-β)］② cosαcosβ=21［cos(α+β)+cos(α-β)］③sinαsinβ=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］④公式①②③④叫做积化和差公式.2.积化和差公式的规律（1）两角的正弦，余弦的积都可化成±［f(α+β)±f(α-β)］的形式.(2)如果两角的函数同为正弦或余弦，那么“f”表示余弦；如果一为正弦一为余弦，那么“f”表示正弦.（3）如果两角函数中有余弦函数，那么在后面的“±”处取“+”，无余弦函数时，取“-”.（4）仅当两角函数均为正弦函数时，前面的“±”才取“-”，其他情况均为“+”.3.和差化积公式sinθ+sinφ=2sin2ϕθ+cos2ϕθ-;sinθ-sinφ=2cos2ϕθ+sin2ϕθ-;cosθ+cosφ=2cos2ϕθ+cos2ϕθ-;cosθ-cosφ=-2sin2ϕθ+sin2ϕθ-.在积化和差公式①②③④中，若令α+β=θ,α-β=φ,那么α=2ϕθ+,β=2ϕθ-,把α,β的值代入公式①②③④乘以2,再把公式反用，就能得出和差化积公式.4.和差化积公式的特点（1）公式的左边全是同名函数的和或差，前两个是正弦的和与差，后两个是余弦的和与差，右边积的系数前三个是2，最后一个是-2.（2）左边的角前面一个是θ，后面一个是φ，积式中的角，前面一个是原来两角和之半，即2ϕθ+，后面一个是原来两角差之半，即2ϕθ-.（3）正弦和的积式为正弦乘以余弦，正弦差的积式为余弦乘以正弦，余弦和的积式全为余弦，余弦差的积式全为正弦.5.学习积化和差与和差化积要注意的几个问题（1）积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想.（2）不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”，都是指三角函数间关系而言，并不是指角的关系.（3）只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式.如果是一正弦与一余弦的和与差，可先用诱导公式化为同名函数后，再运用和差化积公式化成积的形式.（4）三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用.（5）积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替作用，如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑二倍角公式的变形应用进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而有利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.（6）为了能把三角函数式化成积的形式，有时需要把某些数当作三角函数值，如把21-cosα化为积的形式，将21看作cos 3π. 活学巧用【例1】 求下列各式的值 （1）cos125πsin 12π； （2）2cos50°cos70°-cos20°. 解析:（1）方法一：cos125πsin 12π=21［sin （125π+12π）-sin （125π-12π）］ =21（sin 2π-sin 3π）=21（1-23）=21-43.方法二：cos125πsin 12π=cos 125πcos 125π=cos 2125π=265cos1π+=4321223126cos1-=-=-π（2）原式=cos（50°+70°）+cos（50°-70°）-cos20°=cos120°+cos20°-cos20°=cos120°=-21. 【例2】求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解法一：原式=21sin10°·sin50°·sin70° =21sin10°·(-21)(cos120°-cos20°) =41sin10°(21+cos20°) =81sin10°+41sin10°cos20° =81sin10°+81［sin30°+sin(-10°)］=161. 解法二：原式=cos20°cos40°cos60°cos80°=21cos20°cos40°cos80° =︒20sin 21·sin20°cos20°cos40°cos80° =︒20sin 41·sin40°cos40°cos80° =︒20sin 81sin80°cos80° =︒20sin 161·sin160°=16120sin 1620sin =︒︒. 【例3】︒170sin 21-2sin70°的值等于（ ）A.1B.-1C.2D.-2解析：原式=︒︒--=︒︒-︒-=︒︒︒-10sin 2)10sin 21(2110sin 2)10sin 30(sin 2110sin 210sin 20cos 1=1. 答案：A【例4】 化简下列各式.（1）sin104°+sin16°；(2)cos(α+4π）+cos(α-4π)； (3)sin75°-sin15°；(4)cos75°-cos23°.解析：(1)sin104°+sin16°=2sin 216104︒+︒cos 216104︒-︒ =2sin60°cos44°=3cos44°.(2)cos(α+4π)+cos(α-4π) =2cos2)4()4(cos 2)4()4(παπαπαπα--+-++ =2cos αcos 4π=2cos α.(3)sin75°-sin15°=2cos 21575sin21575︒-︒︒+︒ =2cos45°sin30°=2·22·21=22. (4)cos75°-cos23°=-2sin 22375sin22375︒-︒︒+︒=-2sin49°sin26°. 【例5】 化简.7cos 5cos 3cos cos 7sin 5sin 3sin sin AA A A AA A A ++++++解析：原式=)5cos 3(cos )7cos (cos )5sin 3(sin )7sin (sin A A A A A A A A ++++++=AA A A AA A A cos 4cos 23cos 4cos 2cos 4sin 23cos 4sin 2•+•+=)cos 3(cos 4cos )cos 3(cos 4sin A A A A A A ++=tan4A【例6】 已知A 、B 、C 为三角形的三个内角，且方程(x 2-1)sinB-(x 2-x)sinC-(x-1)sinA=0有两个相等的实数根，求tan2A ·tan 2C的值. 解析：原方程化为：（sinB-sinC ）x 2+(sinC-sinA)x+sinA-sinB=0易得两相等实根为x 1=x 2=1, 由韦达定理可得 2sinB=sinA+sinC ，即4sin2C A +·cos 2C A +=2sin 2C A +·cos 2CA -， 即2cos 2C A +=cos 2CA -，即2(cos 2A cos 2C -sin 2A sin 2C )=cos 2A cos 2C +sin 2A sin 2C，∴cos 2A cos 2C =3sin 2A sin 2C ，∴tan2A ·tan 2C =31. 【例7】若x-y=A （定值），则sinxsiny 的最大值是（ ）A.sin22A B.21cosA C.cosA D.cos 22A解析：sinxsiny=-21［cos(x+y)-cos(x-y)］=-21cos(x+y)+21cosA ∴当cos(x+y)=-1时, sinxsiny 有最大值21 (1+cosA)=cos 22A . 答案：D。

高中数学 3.3 几个三角恒等式互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.积化和差公式sin αcos β=21［sin(α+β)+sin(α-β)］； cos αsin β=21［sin （α+β)-sin(α-β)］；cos αcos β=21［cos(α+β)+cos(α-β)］；sin αsin β=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］.公式的推导如下：∵sin（α+β)=sin αcos β+cos αsin β(S α+β)， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β(S α-β)， cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β(C α+β)， cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β(C α-β). 则公式S α+β+S α-β,S α+β-S α-β, C α+β+C α-β,C α+β-C α-β得：sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β, sin(α+β)-sin(α-β)=2cos αsin β, cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β, cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin α·sin β. 即sin αcos β=21［sin(α+β)+sin(α-β)］① cos αsin β=21［sin(α+β)-sin(α-β)］② cos αcos β=21［cos(α+β)+cos(α-β)］③sin αsin β=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］④公式①②③④叫做积化和差公式. 2.积化和差公式的规律（1）两角的正弦，余弦的积都可化成 ±［f(α+β)±f(α-β)］的形式.(2)如果两角的函数同为正弦或余弦，那么“f”表示余弦；如果一为正弦一为余弦，那么“f”表示正弦. （3）如果两角函数中有余弦函数，那么在后面的“±”处取“+”，无余弦函数时，取“-”. （4）仅当两角函数均为正弦函数时，前面的“±”才取“-”，其他情况均为“+”. 3.和差化积公式sin θ+sin φ=2sin2ϕθ+cos2ϕθ-;sin θ-sin φ=2cos 2ϕθ+sin 2ϕθ-;cos θ+cos φ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-;cos θ-cos φ=-2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.在积化和差公式①②③④中，若令α+β=θ,α-β=φ,那么α=2ϕθ+,β=2ϕθ-,把α,β的值代入公式①②③④乘以2,再把公式反用，就能得出和差化积公式.4.和差化积公式的特点（1）公式的左边全是同名函数的和或差，前两个是正弦的和与差，后两个是余弦的和与差，右边积的系数前三个是2，最后一个是-2.（2）左边的角前面一个是θ，后面一个是φ，积式中的角，前面一个是原来两角和之半，即2ϕθ+，后面一个是原来两角差之半，即2ϕθ-.（3）正弦和的积式为正弦乘以余弦，正弦差的积式为余弦乘以正弦，余弦和的积式全为余弦，余弦差的积式全为正弦.5.学习积化和差与和差化积要注意的几个问题（1）积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想.（2）不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”，都是指三角函数间关系而言，并不是指角的关系. （3）只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式.如果是一正弦与一余弦的和与差，可先用诱导公式化为同名函数后，再运用和差化积公式化成积的形式.（4）三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用.（5）积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替作用，如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑二倍角公式的变形应用进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而有利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.（6）为了能把三角函数式化成积的形式，有时需要把某些数当作三角函数值，如把21-cos α化为积的形式，将21看作cos 3π. 活学巧用【例1】 求下列各式的值 （1）cos125πsin 12π；（2）2cos50°cos70°-cos20°. 解析:（1）方法一：cos125πsin 12π=21［sin （125π+12π）-sin （125π-12π）］ =21（sin 2π-sin 3π）=21（1-23）=21-43.方法二：cos125πsin 12π=cos 125πcos 125π=cos 2125π=265cos1π+=4321223126cos1-=-=-π（2）原式=cos（50°+70°）+cos （50°-70°）-cos20°=cos120°+cos20°-cos20°=cos120°=-21. 【例2】求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解法一：原式=21sin10°·sin50°·sin70° =21sin10°·(-21)(cos120°-cos20°) =41sin10°(21+cos20°) =81sin10°+41sin10°cos20° =81sin10°+81［sin30°+sin(-10°)］=161. 解法二：原式=cos20°cos40°cos60°cos80°=21cos20°cos40°cos80° =︒20sin 21·sin20°cos20°cos40°cos80° =︒20sin 41·sin40°cos40°cos80° =︒20sin 81sin80°cos80° =︒20sin 161·sin160°=16120sin 1620sin =︒︒. 【例3】︒170sin 21-2sin70°的值等于（ ）A.1B.-1C.2D.-2解析：原式=︒︒--=︒︒-︒-=︒︒︒-10sin 2)10sin 21(2110sin 2)10sin 30(sin 2110sin 210sin 20cos 1=1.答案：A【例4】 化简下列各式.（1）sin104°+sin16°；(2)cos(α+4π）+cos(α-4π)； (3)sin75°-sin15°；(4)cos75°-cos23°. 解析：(1)sin104°+sin16°=2sin 216104︒+︒cos 216104︒-︒ =2sin60°cos44°=3cos44°.(2)cos(α+4π)+cos(α-4π) =2cos2)4()4(cos 2)4()4(παπαπαπα--+-++ =2cos αcos 4π=2cos α.(3)sin75°-sin15°=2cos 21575sin21575︒-︒︒+︒ =2cos45°sin30°=2·22·21=22. (4)cos75°-cos23°=-2sin 22375sin22375︒-︒︒+︒=-2sin49°sin26°. 【例5】 化简.7cos 5cos 3cos cos 7sin 5sin 3sin sin AA A A AA A A ++++++解析：原式=)5cos 3(cos )7cos (cos )5sin 3(sin )7sin (sin A A A A A A A A ++++++=AA A A AA A A cos 4cos 23cos 4cos 2cos 4sin 23cos 4sin 2∙+∙+=)cos 3(cos 4cos )cos 3(cos 4sin A A A A A A ++=tan4A【例6】 已知A 、B 、C 为三角形的三个内角，且方程(x 2-1)sinB-(x 2-x)sinC-(x-1)sinA=0有两个相等的实数根，求tan2A ·tan 2C的值. 解析：原方程化为：（sinB-sinC ）x 2+(sinC-sinA)x+sinA-sinB=0易得两相等实根为x 1=x 2=1,由韦达定理可得 2sinB=sinA+sinC ，即4sin2C A +·cos 2C A +=2sin 2C A +·cos 2CA -， 即2cos 2C A +=cos 2CA -，即2(cos2A cos 2C -sin 2A sin 2C )=cos 2A cos 2C +sin 2A sin 2C ， ∴cos 2A cos 2C =3sin 2A sin 2C ，∴tan 2A ·tan 2C =31.【例7】若x-y=A （定值），则sinxsiny 的最大值是（ ）A.sin22A B.21cosA C.cosA D.cos 22A解析：sinxsiny=-21［cos(x+y)-cos(x-y)］=-21cos(x+y)+21cosA ∴当cos(x+y)=-1时, sinxsiny 有最大值21 (1+cosA)=cos 22A . 答案：D。

第3章 三角恒等变换1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换．观察条件及目标式中角之间的联系，消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地利用条件得出结论，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧． 一、利用条件中的角表示目标中的角例1 设α，β为锐角，且满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．分析 利用变换β＝α－(α－β)寻找条件与所求之间的关系． 解 ∵α，β为锐角，且tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－tan 2(α－β)1＋tan 2(α－β)＝－1010， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，sin α＝1－cos 2α＝35.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝_________________________.分析 要求tan2α的值，注意到sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcos α＋cos2αsin α，代入到sin3αsin α＝135，首先求出cos2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan2α.解析 由sin3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos2α＝135.∵2cos 2α＋cos2α＝1＋2cos2α＝135.∴cos2α＝45.∵α为第四象限的角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， ∴2α可能在第三、四象限，又∵cos2α＝45，∴2α在第四象限，∴sin2α＝－35，tan2α＝－34.答案 －34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值． 分析 转化为已知一个角⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 这个角的三角函数．解 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，且0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4 求函数f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值．分析 观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x )．解 f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos[(x －20°)＋60°]＝12sin(x －20°)－32sin(x －20°)－cos(x －20°)cos60°＋sin(x －20°)sin60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝22sin(x －65°)， 当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22.2 三角函数化简求值的“主角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招： 第一招 单角化复角例1已知sin α＝12，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为________．解析 因为sin α＝12，α为第二象限的角，所以cos α＝－32，所以tan α＝－33. 所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－331＋(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－2332＝－33.答案 －33点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式，如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．第二招 复角化单角例2化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解 原式＝sin (2α＋β)－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin[α＋(α＋β)]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β－α)sin α＝sin βsin α.点评 由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可． 第三招 复角化复角例3已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解 因为π4<α<3π4，π2<π4＋α<π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45.又因为0<β<π4，3π4<3π4＋β<π，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝6365.点评 由已知条件求出sin α或cos α过程较烦琐，故需要找到α＋β与π4＋α和3π4＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.3 三角恒等变换的几个技巧有关三角的题目是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助． 一、灵活降幂例13－sin70°2－cos 210°＝________. 解析3－sin70°2－cos 210°＝3－s in70°2－1＋cos20°2＝3－cos20°3－cos20°2＝2. 答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等．二、化平方式 例2化简求值：12－1212＋12cos2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 解 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以cos α>0， sin α2>0，故原式＝12－121＋cos 2α2＝12－12cos α＝sin2α2＝sinα2.点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α，1－cos 2α，1＋sin 2α，1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α，2sin 2α，(sin α＋cos α)2，(sin α－cos α)2. 三、灵活变角例3已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________. 解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余． 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4已知tan θ＝－12，则cos2θ1＋sin2θ的值是________．解析 cos2θ1＋sin2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3414＝3. 答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cosθ的二次齐次弦式比．五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos2αcos4α·co s8α…cos2n －1α的值例5求值：sin10°sin30°sin50°sin70°. 解 原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.4 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin2x 的最值．解 原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin2x＝1－14sin 22x 2－sin2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12sin2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin2x ＝14sin2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14. 例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合．解 原函数化简得：y ＝sin2x ＋2cos 2x ＋1＝sin2x ＋1＋cos2x ＋1＝sin2x ＋cos2x ＋2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.当2x ＋π4＝2k π＋3π2，k ∈Z ， 即x ＝k π＋5π8，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋5π8，k ∈Z }． 点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求最值． 二、利用正弦、余弦函数的有界性求解 例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域．解 原函数整理得：sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域．解 原函数整理得：sin x －y cos x ＝－4y －3， ∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3， ∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y2. ∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式．解 y ＝cos2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1.当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a <－2，－a22－2a －1，－2≤a ≤2，1－4a ，a >2.点评 形如y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决．例6 试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值．解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值．注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2)．四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x 的最值．解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义可证函数y ＝t －1t在[1,3]上为增函数．故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求PQ的最小值．解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －xh，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ，∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ， ∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2.从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin2θ)24sin2θ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2θ4＋1sin2θ. 设t ＝sin2θ(0<t <1)．∴y ＝1＋t 4＋1t.∵函数y ＝1t ＋t4在区间(0,1]上是单调减函数，∴当sin2θ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q min ＝94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决．5 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题盘点 一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值． [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)．所以α＋β＝π4或3π4.[剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值． [正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．[错解] 由题意知tan α，tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝5π4.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0.角α，β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7，可知tan α<0，tan β<0.∵α，β∈(0，π)，∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝5π4.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C . [错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45， 由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时， cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665. 当cos A ＝－45时， cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665. [剖析] 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确． [正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45， 当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3. ∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B >π3.故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A ，B 是△ABC 的内角矛盾． ∴cos A ＝45， cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x 的奇偶性． [错解] f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2x21＋2sin x 2cos x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1 ＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x 2， 由此得f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数．[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错．[正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ， 显然该定义域不关于原点对称．因此，函数f (x )为非奇非偶函数．温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数．上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错．五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值．[错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数．∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2.∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π4，k ∈Z . [剖析] ∵x ＋θ与x －θ是不同的角．∴函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理．[正解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数．∴f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立．即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立．∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0.∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立．即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立．∴cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0. ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .。

第 8 课时：§3.3 几个三角恒等式【三维目标】：一、知识与技能1. 能运用两角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆). 揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.2.能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解.3.能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题.4.梳理公式体系，通过本章知识结构图，进一步加强对各公式之间内在联系的理解。

5.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、过程与方法1.让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.2.通过总结知识结构图，发展学生推理能力和运算能力，进一步培养学生观察、类比、推广、特殊化和化归思想方法。

3.通过解决问题，引导学生明确三角变换是三角函数式的结构形式变换；角的变换；不同三角函数之间的变换。

4.通过恒等变换公式的简单应用，提升解决问题的基本能力。

5.提高三角变换的能力三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.2.让学生经历数学探索和发现的欲望和信心，体验成功的感觉．3.通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点.4.通过知识结构图和公式应用使学生了解三角恒等变换及三角函数与数学变换的内在联系，培养学生严谨，规范的数学思维品质，发展正向、逆向思维和发散思维能力。

3．3 几个三角恒等式整体设计教学分析本节主要内容为利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．在推导出了公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．本节后面的练习中之所以用证明的形式给出这个问题，只是为了让学生有一个正确完整的结论．和差化积、积化和差、万能代换以及半角公式都不要求记忆和运用，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度一降再降几乎不涉及了．三维目标1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用．2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心．重点难点教学重点：推导积化和差、和差化积公式．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sin α＋sin β，sin α－sin β，cos α＋cos β，cos α－cos β的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．思路2.(类比导入)我们知道log a m ＋log a n ＝log a (mn)，那么sin α＋sin β等于什么呢？ 推进新课新知探究和差化积公式的推导、万能公式的应用．在引入对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论，如log a m ＋log a n ＝log a (mn)．同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，如 sin α＋sin β＝？ 观察和角公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， 容易得到sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β.① 由此，有sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．①的左边已经是两个正弦的和，因此，只要进行简单的变形，就可以回答sin α＋sin β＝？这个问题了．令α＋β＝θ，α－β＝φ，代入①得 sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ2cos θ－φ2，从而有sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.②为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sin αcos β呢？想到sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.从方程角度看这个等式，sin αcos β，cos αsin β分别看成两个未知数．二元方程要求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sin αcos β的公式，列出sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β后，解相应地以sin αcos β，cos αsin β为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果．得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与前者没有什么区别．只需做个变换，令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2，代入①式即得②式．证明：(1)因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， 即sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．(2)由(1)可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β.① 设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2.把α、β的值代入①，即得sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ2cos θ－φ2.类似的还能得到sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2，cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2，cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2.以上四个公式我们称其为和差化积公式．教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程中，用到了换元的思想，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，把sin αcos β看作x ，cos αsin β看作y ，把等式看作x ，y 的方程，通过解方程求得x ，这就是方程思想的体现．利用前面所学的三角函数公式还能推出很多有用的恒等式，我们先来探究一个具体问题．设tan α2＝t.(1)求证：sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t 2；①(2)当t ＝2时，利用以上结果求3cos 2α2－2sin α＋sin 2α2的值． (1)证明：由二倍角公式，得sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2cos 2α2＋sin 2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2t1＋t 2，tan α＝2tanα21－tan2α2＝2t1－t 2.再由同角三角函数间的关系，得 cos α＝sin αtan α＝2t 1＋t 22t 1－t 2＝1－t21＋t2.(2)解：3cos2α2－2sin α＋sin 2α2＝2cos 2α2＋1－2sin α＝2＋cos α－2sin α ＝2＋1－t 21＋t 2－4t1＋t 2＝3＋t 2－4t 1＋t ＝－15. 公式①称为万能代换公式，利用万能代换公式，可以用tan α2的有理式统一表示α角的任何三角函数值．图1中的直角三角形可以帮助你更好地理解万能代换公式．图1应用示例思路1例1已知sinx －cosx ＝12，求sin 3x －cos 3x 的值．活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a －b)3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3＝a 3－b 3－3ab(a －b)，∴a 3－b 3＝(a －b)3＋3ab(a －b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx 与sinx±cosx 之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求解，即sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)3＋3sinxcosx(sinx －cosx)＝1116.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题．解：由sinx －cosx ＝12，得(sinx －cosx)2＝14，即1－2sinxcosx ＝14，∴sinxcosx＝38.∴sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)(sin 2x ＋sinxcosx ＋cos 2x) ＝12(1＋38)＝1116. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法.例2已知cos A cos 2B ＋sin A sin 2B ＝1，求证：cos B cos 2A ＋sin Bsin 2A＝1.活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A 、B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A 、B 角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a 2＋b 2＝1的形式，可利用三角代换．证法一：∵cos 4A cos 2B ＋sin 4A sin 2B ＝1，∴cos 4Asin 2B ＋sin 4Acos 2B ＝sin 2Bcos 2B.∴cos 4A(1－cos 2B)＋sin 4Acos 2B ＝(1－cos 2B)cos 2B ， 即cos 4A －cos 2B(cos 4A －sin 4A)＝cos 2B －cos 4B. ∴cos 4A －2cos 2Acos 2B ＋cos 4B ＝0.∴(cos 2A －cos 2B)2＝0.∴cos 2A ＝cos 2B.∴sin 2A ＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 2B ＋sin 2B ＝1. 证法二：令cos 2A cosB ＝cos α，sin 2AsinB ＝sin α，则cos 2A ＝cosBcos α，sin 2A ＝sinBsin α.两式相加得1＝cosBcos α＋sinBsin α，即cos(B －α)＝1.∴B－α＝2k π(k∈Z )，即B ＝2k π＋α(k∈Z )．∴cos α＝cosB ，sin α＝sinB. ∴cos 2A ＝cosBcos α＝cos 2B ，sin 2A ＝sinBsin α＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 4B cos 2B ＋sin 4B sin 2B＝cos 2B ＋sin 2B ＝1. 点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元．思路2例题 证明1＋sinx cosx ＝tan(π4＋x2)．活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x ，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角x2，三角函数的种类为正切．证法一：从右边入手，切化弦，得 tan(π4＋x 2)＝π4＋x 2π4＋x 2＝sin π4cos x 2＋cos π4sin x 2cos π4cos x 2－sin π4sin x 2＝cos x 2＋sinx 2cos x 2－sinx 2，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos x 2＋sin x2，得x 2＋sin x 22x 2＋sin x 2x 2－sin x 2＝1＋sinxcosx. 证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 1＋sinxcosx＝x 2＋sin x 22x 2＋sin x 2x 2－sin x 2＝cos x 2＋sin x 2cos x 2－sin x 2.由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos x2，得1＋tan x 21－tan x 2＝tan π4＋tanx 21－tan π4tanx 2＝tan(π4＋x 2)． 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ. 分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝2tan θ1－tan 2θ，此式右边就是tan2θ. 证明：原等式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝tan2θ.而上式左边＝sin4θ＋－cos4θsin4θ＋＋cos4θ＝2sin2θcos2θ＋2sin 22θ2sin2θcos2θ＋2cos 22θ＝2sin2θθ＋sin2θ2cos2θ2θ＋cos2θ＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.知能训练1．若sin α＝513，α在第二象限，则tan α2的值为( )A ．5B ．－5 C.15 D ．－152．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a2B.1－a2 C ．－1＋a2D ．－1－a23．已知sin θ＝－35，3π<θ<7π2，则tan θ2＝__________.答案：1．A 2.D 3.－3课堂小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．作业课本复习题9、10.设计感想1．本节主要学习了怎样推导半角公式，积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．备课资料一、1.一道给值求角类问题错解点击．解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．例题：若sin α＝55，sin β＝1010，α、β均为锐角，求α＋β的值． 错解：∵α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴cos β＝1－sin 2β＝31010.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22. ∵α，β均为锐角， ∴0°<α＋β<180°. ∴α＋β＝45°或135°.点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sin α＝55<12，sin β＝1010<12，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝22(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝22，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．2．如何进行三角恒等变式的证明． 三角恒等式证明的基本方法：师：如何利用同角三角函数的基本关系式对三角恒等式进行证明呢？ (1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简． (2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦．(4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)． (5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．(6)可采用比较法，即“左边右边＝1”或“左边－右边＝0”．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异； (2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系； (3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化． 二、备用习题1．已知tanx ＝－3，则sin2x ＝________，cos2x ＝________. 2．已知tan α＝2，则cos2α等于( ) A ．－13 B ．±13C ．－35D ．±353．下列各式化成和差的形式分别是： (1)sin(π3＋2x)cos(π3－2x)；(2)cos α＋β2sin α－β2.4．设α、β≠k π＋π2(k∈Z )，且cos2α＋sin 2β＝0.求证：tan 2α＝2tan 2β＋1.5．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，试求cosA －C2的值．6．不查表求值： tan6°tan42°tan66°tan78°. 参考答案： 1．－35 －45 2.C3．(1)34＋12sin4x ；(2)12(sin α－sin β). 4．证明：∵cos2α＋sin 2β＝0,∴1－tan 2α1＋tan 2α＋sin 2βsin 2β＋cos 2β＝0，即1－tan 2α1＋tan 2α＋tan 2β1＋tan 2β＝0. 化简得tan 2α＝2tan 2β＋1.5．解：由题设条件，知B ＝60°，A ＋C ＝120°， 设A －C2＝α，则A ＝60°＋α，C ＝60°－α. 代入1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，可得1＋α＋1－α＝－22，即2cos α－3sin α＋2cos α＋3sin α＝－22，可化为4cos 2α＋2cos α－3＝0， 解得cos α＝22或－324(舍去)． ∴co s A －C 2＝22.6．解：原式＝tan54°tan6°tan66°tan42°tan78°tan54°＝－＋tan54°＝tan18°tan42°tan78°tan54°＝－＋tan54°＝tan54°tan54°＝1.。

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3。

3 几个三角恒等式典题精讲例1 （江苏高考卷,14） cot20°cos10°+3sin10°tan70°—2cos40°=__________ 思路分析：本题方法不拘泥,要注意灵活运用公式。

解：cot20°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40° =︒︒︒+︒︒︒70cos 70sin 10sin 320sin 10cos 20cos —2cos40° =︒︒︒+︒︒20sin 20cos 10sin 310cos 20cos —2cos40° =︒︒+︒︒20sin )10sin 310(cos 20cos -2cos40° =︒︒︒+︒︒︒20sin )30cos 10sin 30sin 10(cos 20cos 2-2cos40° =︒︒︒-︒︒20sin 40cos 20sin 240sin 20cos 2=2. 绿色通道：在求解三角函数的问题中，要注意这样的规律，即要“三看”： (1）看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化，（2）看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式。

苏教版高中数学必修4第三章教案【精美整理版】第三章三角恒等变换第三章三角恒等变换 (1)3.1两角和与差的三角函数 (2)第1课时 (2)第2课时 (7)第3课时 (12)复习课1 (18)3.2 二倍角的三角函数 (23)第1课时 (23)第2课时 (28)3．3 几个三角恒等式 (33)复习课2 (38)本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］ (43)第三章三角恒等变换【学习导航】1．本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。

2．三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。

三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值变化的规律，是研究三角函数性质及其应用的一种工具。

学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理能力和运算能力。

3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。

以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的兴趣，体会数学是一个有机联系的整体，而不是各不相关的内容的堆积。

学习要求1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。

3.1两角和与差的三角函数第1课时【学习导航】学习要求1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；2、应用公式)(βα+C ，求三角函数值.3．培养探索和创新的能力和意识.【自学评价】1．探究βαβαcos cos )cos(+≠+反例：6cos 3cos )63cos(2cos πππππ+≠+=问题：βαβαcos ,cos ),cos(+的关系？解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2．探究：在坐标系中α、β角构造α+β角 3．探究：作单位圆，构造全等三角形4．探究：写出4个点的坐标 )0,1(1P ，)sin ,(cos 2ααP))sin(),(cos(3βαβα++P ，))sin(),(cos(4ββ--P ，5．计算31P P ，42P P 31P P =42P P =6．探究 由31P P =42P P导出公式 []22cos()1sin ()αβαβ+-++[][]22cos()cos sin()sin βαβα=--+--展开并整理得所以可记为 )(βα+C7．探究 特征①熟悉公式的结构和特点；②此公式对任意α、β都适用③公式记号)(βα+C8．探究 cos(α-β)的公式以-β代β得：公式记号)(βα-C【精典范例】例1 计算① cos105︒ ②cos15︒③cos 5πcos 103π-sin 5πsin 103π【解】例2已知sin α=53，cos β=1312求cos(α-β)的值.【解】学习札记例3已知cos(2α-β)=-1411,sin (α-2β)=734,且4π<α<2π,0<β<4π, 求cos(α+β)的值。