高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积优化训练北师大版4教案

2.5 从力做的功到向量的数量积一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点: 运算律的理解三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】（学生阅读教材P107—108，师生共同讨论）思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对Array一般的向量a和b，如何定义这种运算？1.力做的功：W = |F|•|s|cos是F与s的夹角2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a•b = |a||b|cos，并规定0与任何向量的数量积为0。

3.[展示投影]由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题： ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定。

②两个向量的数量积称为内积，写成a•b ；今后要学到两个向量的外积a×b ，而ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。

③在实数中，若a 0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中，若a 0，且a•b=0，不能推出b=0。

2.5 从力做的功到向量的数量积整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.图1我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功W=|F||s|cosθ.功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义,掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W可由下式计算:W=|F||s|cosθ,其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？ 推进新课 新知探究 提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a ,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2A.b+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cos θ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cos θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a .方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ＜2π时，cos θ＞0,从而a ·b ＞0;当2π＜θ≤π时,cos θ＜0,从而a ·b ＜0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); ③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab =bca =c .但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .图3(3)对于实数a 、b 、c 有(a ·b)c=a (b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立. 讨论结果①是数量,叫数量积.②数量积满足a ·b =b ·a .(交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); (a .+b )·c =a ·c+b·c (分配律).③1°(a+b )2=(a +b )·(a +b )=a ·a +a .·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;2°(a .+b )·(a .-b )=a .·a .-a .·b +b ·a .-b ·b =a .2-b 2. 提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b|Cos θ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. 1°e ·a =a ·e =|a |cos θ. 2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |. 特别地a ·a =|a |2或|a |=a a ∙.4°cos θ=||||b a ba ∙. 5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.应用示例思路1例1 已知|a .|=3,|b |=4,且a 与b 的夹角θ=150°,求a ·b . 活动:本例是让学生熟悉向量数量积的基本概念. 解:a ·b =|a ||b |cos θ=3×4×c os150°=12×(-23)=-63. 点评:直接利用向量数量积的定义.例 2 已知平面上三点A 、B 、C 满足||=2,||=1,||=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A.BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,||2+||2=||2,∴△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°, 从而sin∠A.BC=23,sin∠BAC=21 ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°. 故·+·+·=2×1×c os120°+1×3c os90°+3×2c os150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ). 解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a .·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cos θ-6|b |2=62-6×4×c os60°-6×42 =-72.例3 已知|a |=3,|b |=4,且a .与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直? 解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0.∴k=±43 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a .-k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练(007海南三亚)设a 、b 、c 是非零向量,下列命题正确的是( ) A.(a .·b )·c =a .·(b ·c )B.|a .-b |2=|a .|2-2|a .||b |+|b |2C.若|a .|=|b |=|a .+b |,则a 与b 的夹角为60°D.若|a |=|b |=|a .-b |,则a .与b 的夹角为60°解析:设θ是a .和b 的夹角,∵|a |=|b |,∴|a -b |2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=2|a |2-2a ·b =|a |2. ∴cos θ=21. 又∵0≤θ≤180°,∴θ=60°. 答案:D例4 在△A.BC 中,设边BC,CA.,A.B 的长度分别为a,b,c.证明a 2=b 2+c 2-2bcCosA., b 2=c 2+a 2-2cacosB, c 2=a 2+b 2-2acosC.图5证明:如右图,设=c ,=a ,=b ,则a 2=|a |2=||2=·=(AC -AB )·(AC -AB )=(b -c )·(b -c ) =b ·b +c ·c -2b ·c=|b |2+|c |2-2|b ||c |cosA. =b 2+c 2-2bccosA.同理可证其他二式,我们把这个结果称为余弦定理,以后我们还要专门讨论它的意义.思路2 例1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,CD =c ,=d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a .,试问四边形ABCD 的形状如何？ 解:∵+BC +CD +=0, 即a +b +c +d =0, ∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即A.B=CD,且BC=DA., ∴四边形A.BCD 是平行四边形. 故=-CD ,即a =-c . 又a ·b =b ·c =-a .·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,四边形ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |=|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的 A.BCD,若AB =a ,BC =b ,则CA =a +b ,DB =a -b 由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC=60°,b 与DB 所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a .|,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2. ∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=-21|b |2-|b |2=-23|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(-21)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙,代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b .又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练设向量c =m a +n b (m,n∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a .⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c ∴|c |2=n b ·c.由已知|c |2=16,b ·c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |c os120°=-4, ∴|b |·4·(-21)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b , ∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m.①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12.②联立①②，得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4. 例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.图6证明:菱形ABCD 中,=(如图6), 由于AC =AD +AB ,BD =AD -AB , 可得·BD =(AD +AB )·(AD -AB ) =(AD )2-(AB )2=|AD |2-|AB |2=0,所以⊥BD ，即菱形的两条对角线互相垂直.例4 已知单位向量e 1,e 2的夹角为60°,求向量a =e 1+e 2,b =e 2-2e 1的夹角. 解:由单位向量e 1、e 2的夹角为60°,得e 1·e 2=c os60°=21, 所以a ·b =(e 1+e 2)·(e 2-2e 1) =-2e 1·e 1-e 1·e 2+e 2·e 2 =-2-21+1=-23.① 又|a |2=|e 1+e 2|2=|e 1|2+2e 1·e 2+|e 2|2=3,|b |2=|e 2-2e 1|2=4|e 1|2-4e 1·e 2+|e 2|2=3, 所以|a |=|b |=3.②由①②可得cos θ=213323||||-=⨯-=∙b a b a 又0＜θ＜π,所以θ=120°. 知能训练课本本节练习1—5. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解. 作业课本习题2—53、5.设计感想本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下: 两个向量a .与b 的向量积是一个新的向量c :(1)c 的模等于以a .及b 两个向量为边所作成的平行四边形的面积; (2)c 垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a .、b 、c 三向量成右手系——设想一个人站在c 处观看a .与b 时,a .按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b ，如图8.图8向量a 与b 的向量积记作a ×b .设a 与b 两个向量的夹角为θ,则|a .×b |=|a ||b |sin θ.在上面的定义中已默认了a 、b 为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则 a ×b =0.向量的向量积服从以下运算律: (1)a ×b =-b ×a ;(2)a ×(b +c )=a ×b +a ×c ; (3)(m a )×b =m(a ×b ). 二、备用习题1.已知a ,b ,c 是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( ) ①|a ·b |=|a ||b ⇔|a ∥b ②a 与b 反向⇔a ·b =-|a ||b | ③a ⊥b ⇔|a +b |=|a -b | ④|a |=|b |⇔|a ·c |=|b ·c |A..1B.2C.3D.4 2.有下列四个命题:①在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 是锐角三角形; ②在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 为钝角三角形; ③△ABC 为直角三角形的充要条件是·=0; ④△ABC 为斜三角形的充要条件是·BC ≠0.其中为真命题的是( )A..①B.②C.③D.④ 3.设|a |=8,e 为单位向量,a 与e 的夹角为60°,则a 在e 方向上的投影为( ) A..43 B.4 C.42D.8+23 4.设a ,b ,c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a ·b )c -(c ·a .)b =0;②|a |-|b |＜|a .-b |;③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2. 其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④ 5.在△A.BC 中,设=b ,AC =c ,则22)(|)||(|c b c b ∙-等于( ) A..0 B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________. 7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求: (1)(a -3b )·(2a +b ); (2)|3a -4b |.9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3144337+. 9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos3π=1. ∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21. 又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12. ∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |cos θ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23cos θ, ∴cos θ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147.。

2.5 从力做功到向量数量积备课资料一、向量向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时角速度与线速度之间关系等这类问题需要,就必须引进两向量乘法另一运算——向量向量积.定义如下:两个向量a.与b向量积是一个新向量c:(1)c模等于以a.及b两个向量为边所作成平行四边形面积;(2)c垂直于平行四边形所在平面;(3)其指向使a.、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a.与b时,a.按逆时针方向旋转一个小于180°角而到达b，如图8.图8向量a与b向量积记作a×b.设a与b两个向量夹角为θ,那么|a.×b|=|a||b|sinθ.在上面定义中已默认了a、b为非零向量,假设这两个向量中至少有一个是零向量,那么a×b=0.向量向量积服从以下运算律:(1)a×b=-b×a;(2)a×(b+c)=a×b+a×c;(3)(m a)×b=m(a×b).二、备用习题a,b,c是非零向量,那么以下四个命题中正确个数为( )①|a·b|=|a||b⇔|a∥b②a与b反向⇔a·b=-|a||b|③a⊥b⇔|a+b|=|a-b| ④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|A..1B.2C.32.有以下四个命题:①在△ABC中,假设AB·BC＞0,那么△ABC是锐角三角形;②在△ABC中,假设AB·BC＞0,那么△ABC为钝角三角形;③△ABC为直角三角形充要条件是AB·BC=0;④△ABC为斜三角形充要条件是AB·BC≠0.其中为真命题是( )A..①B.②C.③D.④3.设|a|=8,e为单位向量,a与e夹角为60°,那么a在e方向上投影为( )3 A..43 B.4 C.42 D.8+2 a,b,c是任意非零平面向量,且它们相互不共线,有以下四个命题:①(a ·b )c -(c ·a .)b =0;②|a |-|b |＜|a .-b |;③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2.其中正确是( )A.①②B.②③C.③④D.②④5.在△A.BC 中,设AB =b ,AC =c ,那么22)(|)||(|c b c b •-等于( ) A..0 B.21S △ABC △ABC △ABC i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),那么实数m=_____________.a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,那么a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 夹角为150°,求:(1)(a -3b )·(2a +b );(2)|3a -4b |. 9.|a |=2,|b |=3,a 与b 夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 夹角为锐角,求实数λ取值范围.10.解：|a |=2,|b |=1,a 与b 夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 夹角余弦值. 解答:8.(1)-30+303;(2)3144337+. 9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量数量积定义,得a ·b =2×1×cos3π=1. ∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21.又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12.∴|n |=23.设m 与n 夹角为θ,那么m ·n =|m ||n |c osθ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23c osθ,∴cos θ=-147,即向量m 与向量n 夹角余弦值为-147.。

2.5从力做的功到向量的数量积 一、新旧知识连接：力做的功：||||cos W F S F S θ==u u r u r u r r r g g ， θ是F r 与S u r 的夹角 二、我能自学： ②.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a b =r r g 并规定0r 与任何向量的数量积为0。

⋅③. 两向量所成角θ的判断，向量夹角的概念：θ范围④．讨论向量的投影（射影）向量a b r r 在上的投影⑤．讨论θ，0,,,0,222πππθθθπθθπ===<<<<得到数量积的相关性质；⑥．数量积相关运算律 。

三、巩固训练1．判断下列各题正确与否：①若a = 0，则对任一向量b ，有a •b = 0.②若a ≠ 0，则对任一非零向量b ，有a •b ≠ 0.③若a ≠ 0，a •b = 0，则b = 0.④若a •b = 0，则a 、b 至少有一个为零.⑤ 若a ≠ 0，a •b = a •c ，则b = c .⑥若a •b = a •c ，则b = c 当且仅当a ≠ 0时成立.⑦对任意向量a 、b 、c ，有(a •b ) •c ≠ a • (b •c ).⑧对任意向量a ，有a 2 = |a |2.2.2.()1(,120,32220+-==求的夹角为与3.已知b a 、都是非零向量，且b a b a 573-+与垂直， 274--与垂直，求的夹角。

4．设两个向量1e ρ、2e ρ，满足2||1=e ρ，1||2=e ρ，1e ρ、2e ρ的夹角为60°，若向量2172e e t ρρ+与向量21e t e ρρ+的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解：421=e ρ，122=e ρ，121=⋅e e ρρ ∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+⋅++=+⋅+t t e t e e t e t e t e e e t ρρρρρρρρ ∴ 071522<++t t 217-<<-t 设)(722121e t e e e ρρρρ+=+λ )0(<λ 14,21472722-=-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒λλλt t t t∴ -=t 214时，2172e e t ρρ+与21e t e ρρ+的夹角为π， ∴ t 的取值范围是)21,214()214,7(----Y 。

2.5 从力做的功到向量的数量积5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列命题中正确的个数有（ ）①a ²0=0 ②0²a=0 ③0-= ④|a ²b |=|a ||b | ⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ²b ≠0 ⑥a ²b =0，则a 与b 中至少有一个为0 ⑦a 与b 是两个单位向量，则a 2=b 2A.7B.5C.4D.2解析：7个命题中只有③⑦正确.对于①,两个向量的数量积是一个实数，应有0²a =0；对于②,应有0²a =0；对于④,由数量积定义，有|a ²b |=|a ||b |²|cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a ²b |=|a ||b |；对于⑤,若非零向量a 、b 垂直，有a ²b =0；对于⑥,由a ²b =0可知a ⊥b ，可以都非零.答案：D2.已知|a |=3，|b |=6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角为60°时，分别求a ²b . 解：①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ=0°，∴a ²b =|a ||b |cos0°=3³6³1=18；若a 与b 反向，则它们的夹角θ=180°，∴a ²b =|a ||b |cos180°=3³6³（-1）=-18.②当a ⊥b 时，它们的夹角θ=90°，∴a ²b =0.③当a 与b 的夹角是60°时，有a ²b =|a ||b |cos60°=3³6³21=9. 3.已知|a |=10，|b |=12，a 与b 的夹角为120°，求a ²b .解：由定义，a ²b =|a ||b |cos θ=10³12³cos120°=-60.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.给出下列命题：①在△ABC 中，若²＜0，则△ABC 是锐角三角形；②在△ABC 中，若²＞0，则△ABC 是钝角三角形；③△ABC 是直角三角形AB ²BC =0；④△ABC 是斜三角形一定有AB ²BC ≠0.其中，正确命题的序号是____________________.解析：①∵AB ²BC <0，∴BA ²BC =-AB ²BC >0.∴∠B 是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.∴推不出△ABC 是锐角三角形.故命题①是假命题. ②∵²>0，∴²=-²<0.∠A 是钝角，因而△ABC 是钝角三角形.故命题②是真命题.③△ABC 是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B、∠C.而AB ²BC =0仅能保证∠B 是直角.故命题③是假命题.④一方面，当△ABC 是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故AB ²BC ≠0.故命题④是真命题.答案：②④2.若向量a 、b 、c 满足a +b +c =0，且|a |=3,|b |=1,|c |=4，则a ²b +b ²c +a ²c =____________. 解法一：∵a +b +c =0,∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2a ²b +2b ²c +2a ²c =0.∴2(a ²b +b ²c +a ²c )=-(a 2+b 2+c 2)=-(|a |2+|b |2+|c |2)=-(32+12+42)=-26.∴a ²b +b ²c +a ²c =-13.解法二：根据已知条件可知|c |=|a |+|b |,c =-a -b ，所以a 与b 同向，c 与a +b 反向.所以有a ²b +b ²c +a ²c =3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.答案：-133.已知a 、b 是两个非零向量，同时满足|a |=|b |=|a -b |，求a 与a +b 的夹角.解法一：根据|a |=|b |，有|a |2=|b |2.又由|b |=|a -b |，得|b |2=|a |2-2a ²b +|b |2,∴a ²b =21|a |2 . 而|a +b |2=|a |2+2a ²b +|b |2=3|a |2,∴|a +b |=3|a |.设a 与a +b 的夹角为θ，则cos θ=23||3||||21||||||)(22=+=++a a a a b a a b a a ， ∴θ=30°.解法二：设向量a =(x 1，y 1),b =(x 2,y 2),∵|a |=|b |,∴x 12+y 12=x 22+y 22.由|b |=|a -b |，得x 1x 2+y 1y 2=21(x 12+y 12)，即a ²b =21(x 12+y 12). 由|a +b |2=2(x 12+y 12)+2³21(x 12+y 12)=3(x 12+y 12)，得|a +b |=3(x 12+y 12). 设a 与a +b 的夹角为θ，则cos θ=233)(21)(||||)(21212121221212121=+++++=++y x y x y x y x b a a b a a ， ∴θ=30°.解法三：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB.∵|a |=|b |，即||=||，∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OD =a +b ，BA =a -b .而|a |=|b |=|a -b |，即|OA |=|OB |=|BA |.∴△AOB 为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a 与a +b 的夹角为30°.4.若(a +b )⊥(2a -b )，(a -2b )⊥(2a +b )，试求a 与b 的夹角的余弦值.解：由(a +b )⊥(2a -b ),(a -2b )⊥(2a +b )有⎪⎩⎪⎨⎧=-∙-=-∙+⎩⎨⎧=+∙-=-∙+,0232,02,0)2()2(,0)2()(2222b b a a b b a a b a b a b a b a 即 ∴a 2=85b 2,|a |2=85|b |2, |a |=85|b |. 由2a 2+a ²b -b 2=0得a ²b =b 2-2a 2=|b |2-2|a |2=|b |2-2³85|b |2=41-|b |2， ∴cos θ=1010||85||41||||22-=-=∙b b b a b a . ∴a 、b 的夹角的余弦值为1010-. 5.已知|a |=5,|b |=12，当且仅当m 为何值时，向量a +m b 与a -m b 互相垂直?解：若向量a +m b 与a -m b 互相垂直，则有(a +m b )²(a -m b )=0，∴a 2-m 2b 2=0.∵|a |=5,|b |=12,∴a 2=25,b 2=144.∴25-144m 2=0. ∴m=±125. ∴当且仅当m=±125时，向量a +m b 与a -m b 互相垂直. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若向量a 、b 、c 为任意向量，m∈R ，则下列等式不一定成立的是( )A.（a +b ）+c =a +（b +c ）B.（a +b ）²c =a ²c +b ²cC.（a ²b ）c =a （b ²c ）D.m （a +b ）=m a +m b解析：根据向量的加、减、乘运算法则解答此题.（a ²b ）²c ≠a ²（b ²c ）.答案：C2.已知a 、b 、c 为任意非零向量，若a =b ，则下列命题：①|a |=|b |；②a 2=b 2；③a 2=a ²b ；④c ²（a -b ）=0.正确的有( )A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④解析：a =b ⇒|a |=|b |；a 2=b 2；a 2=a ²b ；c ²（a -b ）=0，而四个命题均不能推出a =b 成立.答案：D3.对任意向量a 、b ，|a ||b |与a ²b 的大小关系是( )A.|a ||b |＜a ²bB.|a ||b |＞a ²bC.|a ||b |≥a ²bD.两者大小不定解：|a ||b |-a ²b =|a ||b |-|a ||b |cos θ=|a ||b |（1-cos θ）.∵θ∈［0，π］，∴-1≤cos θ≤1，1-cos θ∈［0，2］.又|a |≥0，|b |≥0，1-cos θ≥0，∴|a ||b |≥a ²b .答案：C4.设a 、b 、c 是任意的非零向量，且相互不共线，则①（a ²b ）c -（c ²a ）b =0；②a 2=|a |2；③（b ²c ）a -（c ²a ）b 不与c 垂直；④（3a +2b ）²（3a -2b ）=9|a |2-4|b |2中，是真命题的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解析：命题①中，a ²b 的运算结果为数，故（a ²b ）c 为一向量，同理（a ²c ）b 也是一向量，向量之差为向量.故①不正确.由数量积的性质知②正确.又［（b ²c ）a -（c ²a ）b ］²c =（b ²c ）（a ²c ）-（c ²a ）（b ²c ）=0，而（a ²c ）b 与（b ²c ）a 不可能同时为零向量,故命题③不正确，④正确.答案：D5.下列命题：①△ABC 为锐角三角形，则必有²＞0；②若a ²b =0，则a ⊥b ；③若a ²b =a ²c ，且a ≠0，则b =c ；④ |a ²b |=|a ||b |⇔a ∥b .其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析：命题①：AB ²BC =|AB ||BC |²cos（π-∠ABC）＜0，不正确.命题②：当a 、b 为0时，a ²b =0a ⊥b ，不正确.命题③：a ²b =a ²c ，即|a ||b |²cos θ1=|a ||b |²cos θ2，又a ≠0，∴|b |cos θ1=|c |cos θ2不一定有b =c .故不正确.命题④：|a ²b |=||a ||b |cos θ|=|a |²|b |²|cos θ|=|a ||b |⇒|cos θ|=1⇒θ=0或π，故a ∥b .另外当a 、b 中有一个为0时，也有a ∥b .故正确.答案：A6.已知e 为单位向量，|a |=4，a 与e 的夹角为32π，则a 在e 方向上的投影为________________.解析：投影为||e e a ∙=|a |²cos 32π=-2. 答案：-27.向量α、β满足|α+β|=|α-β|，则α与β的夹角是_________________.解析：∵|α+β|=|α-β|，∴|α+β|2=|α-β|2，即α2+2α²β+β2=α2-2α²β+β2.∴α²β=0.又α、β均为非零向量，故α与β的夹角为90°.答案：90°8.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互间的夹角均为120°.（1）求证：（a -b ）⊥c ；（2）若|k a +b +c |=1（k∈R ），求k 的值.（1）证明：∵（a -b ）²c =a ²c -b ²c =|a ||c |²cos120°-|b ||c |cos120°，又|a |=|b |=|c |，∴（a -b ）²c =0，即（a -b ）⊥c .（2）解：由|k a +b +c |=1，得|k a +b +c |2=12，即（k a +b +c ）2=1， ∴k 2a 2+b 2+c 2+2b ²c +2k a ²b +2k a ²c =1.又a ²b =a ²c =b ²c =21-，∴k 2-2k=0.解得k=2或0.9.已知|a |=3,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,c =3a +5b ,d =m a -3b .(1)当m 为何值时,c 与d 垂直?(2)当m 为何值时,c 与d 共线?解：（1）由向量垂直的条件得c ²d =0，c ²d =（3a +5b ）²（m a -3b ） =3m a 2+（5m-9）a ²b -15b 2=27m+3（5m-9）-60，∴42m -87=0. ∴m=1429即m=1429时c 与d 垂直（2）由向量共线的条件是c =λd∴3a +5b =λ（m a -3b ）.∴3a +5b =m λ²a -3λ²b∵a 与b 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=-=,59,35,53,3m m λλλ解得即当m=59-时c 与d 共线。

2.5 从力做功到向量数量积问题导学1．向量数量积定义及几何意义活动与探究1|a|＝5，|b|＝4，a与b夹角θ＝120°．(1)求a·b；(2)求a在b上射影．迁移与应用(1)在题设不变情况下，求b在a上射影；(2)把“a与b夹角θ＝120°〞换成“a∥b〞，求a·b．(1)数量积符号同夹角关系：①假设a·b＞0⇔θ为锐角或零角；②假设a·b＝0⇔θ＝π2或a与b至少有一个为0；③假设a·b＜0⇔θ为钝角或平角．(2)求平面向量数量积方法①假设向量模及其夹角，那么直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ．②假设一向量模及另一向量在该向量上射影，可利用数量积几何意义求a·b．2．平面向量数量积运算活动与探究2|a|＝4，|b|＝5，且a与b夹角为60°，求①a·b；②(a＋b)2；③(a－b)2；④a2－b2；⑤(2a＋3b)·(3a－2b)．迁移与应用1．假设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b夹角为45°，那么a·a＋a·b＝__________．2．向量a与b夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a ＋b)＝__________．向量数量积运算中要注意问题：(1)两向量数量积是数量，不是向量，注意区分其运算性质与数乘向量、实数与实数乘积差异．(2)向量数量积与代数式运算三个相近公式． (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2； (a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2．(3)向量数量积表示中“·〞，既不能省略，也不能写成“×〞． 3．求向量模 活动与探究3(1)向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，那么|2a －b |＝( )．A ．0B ．2 2C ．4D ．8(2)|a |＝|b |＝5，向量a 与b 夹角为π3，求|a ＋b |，|a ＋2b |．迁移与应用平面向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －2b )，求|3a ＋b|，|a －2b|．求向量模常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量模，可以实现实数运算与向量运算相互转化．4．求向量夹角问题 活动与探究4|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 夹角；(2)a －b 与a ＋b 夹角余弦值． 迁移与应用1．假设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a·(a ＋b )＝1，那么向量a ，b 夹角大小为__________．2．非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|． 求：(1)a 与a ＋b 夹角； (2)a 与a －b 夹角． 向量夹角求法：(1)求向量夹角要利用公式cos θ＝a·b|a||b|，通常分别要求a·b 与|a|·|b|值．(2)对于不方便单独求出a·b与|a|·|b|值问题，可寻求两者关系，转化条件解方程(组)．(3)要注意向量夹角取值范围为[0，π]，涉及到具体几何图形问题要注意向量方向，区分几何图形内角与向量夹角关系．5．解决有关垂直问题活动与探究5a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，假设对两个不同时为零实数k，t，使得a＋(t－3)b与－k a＋t b垂直，试求k最小值．迁移与应用a，b是两个非零向量，假设a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a与b夹角θ．向量垂直应用(1)理论依据：a⊥b⇔a·b＝0．(2)利用向量垂直求参数取值，通常是由向量垂直，转化为数量积为0，再利用方程或函数思想来求解．当堂检测1．假设|a|＝5，|b|＝6，〈a，b〉＝60°，那么a·b＝( )．A．15 B．15 3 C．15 2 D．102．|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，那么a与b夹角为( )．A．150° B．120° C．60°D．30°3．两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，那么下面结论正确是( )．A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b4．假设|a|＝1，|b|＝2，a与b夹角为60°，那么|a＋3b|＝__________．5．两个非零向量a，b，夹角θ＝120°，且(a－3b)⊥(7a＋5b)，问是否存在实数λ，满足(a－4b)⊥(λa－b)课前预习导学 【预习导引】1．(1)夹角 (2)[0°，180°] (3)垂直 (4)同向 反向 垂直a ⊥b预习交流1 120° 120°2．(1)|a ||b |cos θ a·b |a ||b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ (3)F·s预习交流2 提示：无关．由向量射影定义知，a 在b 方向上射影为|a |cos θ，其中θ为a ，b 夹角，所以a 在b 方向上射影只与|a |与a ，b 夹角有关．预习交流3 C 解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22＝－12 2.3．(2)|e 1||e 2|cos θ cos θ (3)a ·e |a |cos θ (4)a ·b＝0 (5)|a | (6)a ·b|a ||b | (7)≤ 等号预习交流4 (1)120° (2)74．(1)a ·b ＝b·a (2)a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c (3)λ(a·b ) a ·(λb )预习交流5 (1)提示：假设a ，b ，c 为实数，当b ≠0时，ab ＝bc ⇒a ＝c ，但对于向量数量积，该推理不正确，即a·b ＝b·cDa ＝c .由下列图很容易看出，虽然a·b ＝b·c ，但a≠c .(2)提示：对实数a ，b ，c 而言，(ab )c ＝a (bc )；但对向量a ，b ，c 而言，(a·b )c ＝a (b·c )未必成立，这是因为(a·b )c 表示一个与c 共线向量，而a (b·c )表示一个与a 共线向量，而c 与a 不一定共线，所以(a·b )c ＝a (b·c )未必成立．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 解：(1)a·b ＝|a||b|·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；(2)a 在b 上射影为|a |·co s θ＝a·b |b|＝－104＝－52.迁移与应用 解：(1)b 在a 上射影为|b |cos θ＝a·b |a|＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b ＝|a||b|cos 0°＝20.当θ＝180°时，a·b ＝|a||b|cos 180°＝－20.活动与探究2 解：①a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×5×12＝10；②(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝16＋20＋25＝61； ③(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝16－20＋25＝21； ④a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝16－25＝－9；⑤(2a ＋3b )·(3a －2b )＝6|a |2＋5|a ||b |cos 60°－6|b |2＝6×16＋5×4×5×12－6×25＝－4.迁移与应用 1．1＋22 解析：a ·a ＋a ·b ＝1＋1×1×cos45°＝1＋22.2．0 解析：b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝2|a ||b |cos 120°＋|b |2＝2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋42＝－16＋16＝0. 活动与探究3 (1)B 解析：|2a －b |＝2a －b2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4×0＋4＝2 2.(2)解：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a·b＝25＋25＋25＝5 3.|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝25＋4×252＋4×25＝175＝57.迁移与应用 解：∵a ⊥(a －2b )， ∴a·(a －2b )＝0， ∴a 2－2a·b ＝0，∴a·b ＝12.|3a ＋b |＝3a ＋b2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×1＋6×12＋4＝4.|a －2b |＝a －2b2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝12－4×12＋4×22＝15.活动与探究4 解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a 与b 夹角为θ，那么cos θ＝a ·b|a ||b |＝121×22＝22，∴θ＝45°.∴a 与b 夹角为45°.(2)|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－2×12＋12＝22，|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋2×12＋12＝102.设a －b 与a ＋b 夹角为φ，那么cos φ＝a －b ·a ＋b|a －b ||a ＋b |＝1222×102＝55. ∴a －b 与a ＋b 夹角余弦值为55.迁移与应用 1．135° 解析：设夹角为θ，∵a ·(a ＋b )＝1，∴|a |2＋a·b ＝1，即2＋2×1×cos θ＝1， ∴cos θ＝－22，∴a ，b 夹角为135°.2．解：如下图，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA→，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|， 所以四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC →＝a ＋b ，BA→＝a －b .(1)由于|a|＝|b|＝|a ＋b|，即|OA→|＝|AC →|＝|OC →|， 所以∠AOC ＝60°，即a 与a ＋b 夹角为60°. (2)∵∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.又|OA→|＝|OB →|， ∴∠OAB ＝30°，即a 与a －b 夹角为30°. 活动与探究5 解：∵a ⊥b ， ∴a·b ＝0.又a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，∴[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.∴－k a 2＋t a·b ＋(t －3)(－k )a·b ＋(t －3)t b 2＝0， ∴－4k ＋(t －3)t ＝0.∴k ＝14(t 2－3t )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －322－916(t ≠0)． ∴当t ＝32时，k 取最小值－916.迁移与应用 解：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b ·7a －5b ＝0，a －4b ·7a －2b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0，即2a ·b ＝b 2，代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2b 2＝12.∴θ＝60°. 【当堂检测】1．A 2．B 3．B 4．43 5．解：由(a －3b )⊥(7a ＋5b )， 得(a －3b )·(7a ＋5b )＝0.即7|a |2－15|b |2－16a ·b ＝0，①由(a －4b )⊥(λa －b )，得(a －4b )·(λa －b )＝0， 即λ|a |2＋4|b |2－(1＋4λ)a ·b ＝0.②又a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－12|a ||b |，③把③代入①得|a |＝|b |， 再代入②得 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫λ＋4＋1＋4λ2|a |2＝0. ∵|a |＞0，∴λ＋4＋1＋4λ2＝0，即λ＝－32.故存在实数λ＝－32，使(a －4b )⊥(λa －b )．。

第二章平面向量§5从力做的功到向量的数量积（第1课时）一、教学目标：1、通过实例，理解向量数量积运算的含义、几何意义、物理意义。

2、掌握向量数量积的重要性质。

3、体会平面向量数量积运算与向量投影的关系。

4、由物理问题实例引入，使学生体会到数学与物理的密切联系，认识到数学和其他知识的联系，感受数学作为解决问题的工具的作用。

二、教学重点：1、对向量数量积的运算含义、几何意义的理解和运用。

2、探究向量数量积的性质，并理解。

三、教学难点：对向量数量积的含义与向量投影概念的理解。

四、教学工具：多媒体、黑板、直尺五、教学方法情景创设、提出问题、思考交流、探究讨论、讲解答疑六、教学过程提问引入问题1: 我们前面共同研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？问题2:什么叫力做功？实例分析：如图所示，一物体在拉力F的作用下沿光滑的斜坡运动的位移是S，在运动过程中物体受到哪几个力的作用？请分析这些力做功的情况。

由公式W＝|F| |S| cosθ可知拉力F与位移S的夹角θ∈（0º，90º），W＞0，拉力做正功支持力N与位移S的夹角θ＝90º，W＝0，支持力不做功。

重力G与位移S的夹角θ∈（90º，180º），W＜0，重力做负功。

提问：在这个公式中功W、力F、位移S分别是什么量？力对物体所做的功W（数量）可以看作力F（向量）和位移S（向量）进行某种运算的结果。

引入课题―――向量的数量积。

平面向量数量积的定义已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cosθ叫作a和b的数量积（或内积），记作a●b=|a||b|cosθ注：a●b中的“●”不能少，也不能用“×”代替， a●b是向量的一种运算，a×b是向量的另一种运算。

思考：向量的数量积是一个什么量？由数量积公式可看出，a●b的结果是一个数量，这个数量的大小与这两向量的长度以及夹角有关。

5 从力做的功到向量的数量积(一)学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一 两向量的夹角思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？思考2 △ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？梳理 (1)夹角：已知两个____________a 和b ，作OA →＝a ， OB →＝b ，则__________＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角(如图所示)．当θ＝0°时，a 与b ________； 当θ＝180°时，a 与b ________.(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定零向量可与任一向量垂直．知识点二 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力F 的作用下产生位移s ，如图．思考1 如何计算这个力所做的功？思考2 力做功的大小与哪些量有关？梳理 (1)数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把______________叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝____________.(2)数量积的特殊情况当两个向量相等时，a·a＝__________.当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝________________________.知识点三平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫作向量b在向量a上的射影？什么叫作向量a在向量b上的射影？思考2 向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？梳理(1)射影：若非零向量a，b的夹角为θ，则________叫作向量b在a方向上的射影(简称为投影)．(2)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影____________的乘积．知识点四平面向量数量积的性质思考1 向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别？思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？梳理向量的数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝____________＝____________.(2)a⊥b⇔____________.(3)________＝a·a.(4)cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)．(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|____|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．类型一求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．反思与感悟 求平面向量数量积的步骤：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．跟踪训练1 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 2类型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方． 跟踪训练2 已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值．类型三 求向量的夹角例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．反思与感悟 当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的射影为－3，b 在a 方向上的射影为－32，求a与b 的夹角θ.1．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的射影为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－22．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．53．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝________. 4．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________． 5．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．在a·b ＝|a||b |cos θ中，|b |cos θ和|a |cos θ分别叫作b 在a 方向上的射影和a 在b 方向上的射影，要结合图形严格区分． 4．求射影有两种方法(1)b 在a 方向上的射影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的射影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的射影为a ·b |a|，a 在b 方向上的射影为a ·b|b |. 5．两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.答案精析问题导学 知识点一思考1 存在夹角，不一样．思考2 如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ， ∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°， 故向量a 与b 的夹角为120°.梳理 (1)非零向量 ∠AOB 同向 反向 知识点二思考1 W ＝|F ||s |cos θ.思考2 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．梳理 (1)|a ||b |cos θ |a ||b |cos θ (2)|a |2|e 1||e 2|cos θ＝cos θ 知识点三思考1 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ. |b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的射影，|a |cos θ叫作向量a 在b 方向上的射影．思考2 由射影的定义知，二者不一定相同． 梳理 (1)|b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ 知识点四思考1 向量的线性运算的结果是向量，而向量的数量积运算的结果是数量． 思考2 由两个非零向量的夹角决定．当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数． 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数． 梳理 (1)a ·e |a |cos θ (2)a ·b ＝0 (3)|a | (5)≤ 题型探究例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 跟踪训练1 D例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝a ＋b2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝a －b2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝a ＋b2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝4×25＋4×252＋25＝57.|a －2b |＝a －2b2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.跟踪训练2 20例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 的夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝m ＋n2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝n －3m2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.跟踪训练3 θ＝120° 当堂训练1．D 2.A 3.11 4.－25 5．(1)12 (2)－12 (3)12。

2.5从力做的功到向量的数量积 一、新旧知识连接：力做的功：||||cos W F S F S θ==， θ是F 与S 的夹角二、我能自学：②.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a b = 并规定0与任何向量的数量积为0。

⋅③. 两向量所成角θ的判断，向量夹角的概念：θ范围④．讨论向量的投影（射影）向量a b 在上的投影⑤．讨论θ，0,,,0,222πππθθθπθθπ===<<<<得到数量积的相关性质；⑥．数量积相关运算律 。

三、巩固训练1．判断下列各题正确与否：①若a = 0，则对任一向量b ，有a •b = 0.②若a ≠ 0，则对任一非零向量b ，有a •b ≠ 0.③若a ≠ 0，a •b = 0，则b = 0.④若a •b = 0，则a 、b 至少有一个为零.⑤ 若a ≠ 0，a •b = a •c ，则b = c .⑥若a •b = a •c ，则b = c 当且仅当a ≠ 0时成立.⑦对任意向量a 、b 、c ，有(a •b ) •c ≠ a • (b •c ).⑧对任意向量a ，有a 2 = |a |2.2.2.()1(,120,32220b a b a -==求的夹角为与3.已知都是非零向量，且573-+垂直， b a b a 274--与垂直，求b a 、的夹角。

4．设两个向量1e 、2e ，满足2||1=e ，1||2=e ，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解：421=e ，122=e ，121=⋅e e∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+⋅++=+⋅+t t e t e e t e t e t e e e t∴ 071522<++t t 217-<<-t 设)(722121e t e e e +=+λ )0(<λ 14,21472722-=-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒λλλt t t t∴ -=t 214时，2172e e t +与21e t e +的夹角为π， ∴ t 的取值范围是)21,214()214,7(---- 。

§5从力做的功到向量的数量积1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难)点[基础·初探]教材整理向量的夹角及数量积阅读教材P93～P96内容，完成下列问题．1．向量的夹角(1)射影|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(也叫投影)．(2)数量积已知两个非零向量a与b，我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．(3)规定零向量与任一向量的数量积为0.(4)几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积．(5)性质①若e 是单位向量，则e·a ＝a·e ＝|a |cos θ.②若a⊥b ，则a·b ＝0；反之，若a·b ＝0，则a⊥b ，通常记作a⊥b ⇔a·b ＝0. ③|a|＝a·a ＝a 2. ④cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)．⑤对任意两个向量a ，b ，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b 时等号成立． (6)运算律已知向量a ，b ，c 与实数λ，则： ①交换律：a·b ＝b·a ；②结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量的数量积仍是一个向量．( ) (2)若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( )(3)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ>0⇔a ·b >0.( ) (4)对于任意向量a ，b ，总有(a ·b )2＝a 2·b 2.( ) (5)a ·b a 2＝ba.( ) 【解析】 (1)×.两向量的数量积是一个数量．(2)×.∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝0，∴a ＝0或b ＝0或cos θ＝0. (3)√.(4)×.由数量积定义知，错； (5)×.a ·b a 2＝|a ||b |cos θ|a 2|＝|b |cos θ|a |. 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型]已知|a |；(2)(a ＋b )2；(3)(a－b )2；(4)a 2－b 2.【精彩点拨】 利用两个向量的数量积公式a·b ＝|a||b|cos θ，|a |2＝a 2及运算律计算．【自主解答】 由题知θ＝60°，|a|＝4，|b|＝5. (1)a·b ＝|a||b|cos θ＝4×5×cos 60°＝10. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝42＋2×10＋52＝61. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝42－20＋52＝21. (4)a 2－b 2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9.1．求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求出|a |和|b |；③利用数量积的定义：a·b ＝|a ||b |cos θ求解．要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．2．若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．[再练一题]1．已知|a |＝10，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°.求： (1)a·b ；(2)a 在b 方向上的射影； (3)(a －2b )·(a ＋b )； (4)(a －b )2.【解】 (1)a·b ＝|a ||b |cos 120°＝10×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－20.(2)a 在b 方向上的射影为|a |cos 120°＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－5. (3)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2＋a·b －2a·b －2b 2＝a 2－a·b －2b 2＝|a |2－|a ||b |cos 120°－2|b |2＝100－10×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2×42＝88.(4)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |cos 120°＋|b |2＝100－2×10×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＝100＋40＋16＝156.(1)|a ＋b |； (2)|3a －4b |.【精彩点拨】 利用公式|a |2＝a 2进行计算．【自主解答】 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. (1)因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2·a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－4)＋22＝12， 所以|a ＋b |＝2 3.(2)因为|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， 所以|3a －4b |＝419.1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活运用a 2＝|a |2，最后勿忘开方．2．一些常见等式应熟记： (a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2； (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．[再练一题]2．已知|a |＝4，|b|＝3，(2a －3b )(2a ＋b )＝61，求|a ＋b |.【导学号：66470054】【解】 因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4a 2＋2a ·b －6a ·b －3b 2＝61， 所以4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又因为|a |＝4，|b |＝3，所以4×42－4a ·b －3×32＝61， 所以a ·b ＝－6.|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13.[探究共研型]探究1 【提示】 [0，π]．探究2 设a 与b 都是非零向量，若a ⊥b ，则a ·b 等于多少？反之成立吗？ 【提示】 a ·b ＝0⇔a ⊥b .探究3 |a ·b |与|a |·|b |的大小关系如何？为什么？对于向量a ·b ，如何求它们的夹角θ？【提示】 |a ·b |≤|a |·|b |，|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|. 由|cos θ|≤1，可得|a ·b |≤|a |·|b |.求夹角θ时先求两个向量a ，b 夹角的余弦值．然后根据向量夹角的取值范围求角．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝2e 1＋e 2与b ＝2e 2－3e 1的夹角θ.【精彩点拨】 先求|a |，|b |及a ·b ，再由公式cos θ＝a ·b|a ||b |求解． 【自主解答】 ∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝cos 60°＝12，∴a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(2e 2－3e 1) ＝－6e 21＋e 1·e 2＋2e 22＝－72.又∵a 2＝(2e 1＋e 2)2＝4e 21＋4e 1·e 2＋e 22＝7，b 2＝(2e 2－3e 1)2＝4e 22－12e 1·e 2＋9e 21＝7，∴|a |＝|b |＝7，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝23π.1．求向量a ，b 的夹角θ有两步：第一步，利用公式cos θ＝a·b|a||b|求cos θ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cos θ有两种情形，一种是求出a·b ，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b ，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算．2．两向量垂直⇔a·b ＝0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决．[再练一题]3．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )(a ＋b )＝12.(1)求a 与b 的夹角；(2)求a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．【解】 (1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以|a |2－|b |2＝12.又因为|a |＝1，所以|b |＝|a |2－12＝22，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝121×22＝22.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.(2)因为(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12，所以|a －b |＝22.又因为(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52，所以|a ＋b |＝102. 设a ＋b 与a －b 的夹角为α，则cos α＝a －b a ＋b|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55. [构建·体系]1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中正确的是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c【解析】 由向量数量积的运算性质，知A ，C ，D 错误． 【答案】 B2．设向量a·b ＝40，|b |＝10，则a 在b 方向上的射影为( ) A ．4 B ．4 3 C ．4 2D ．8＋32【解析】 a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉．由a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝40且|b |＝10，得|a|cos θ＝4.【答案】 A3．已知|a |＝3，|b |＝23，a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角是________.【导学号：66470055】【解析】 设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－33×23＝－12.又因为0°＜θ＜180°，所以θ＝120°. 【答案】 120°4．单位向量i ，j 相互垂直，向量a ＝3i －4j ，则|a |＝________.【解析】 因为|a |2＝a 2＝(3i －4j )2＝9i 2－24i ·j ＋16j 2＝9＋16＝25，所以|a |＝5. 【答案】 55．已知|a |＝1，|b |＝2，设a 与b 的夹角为θ.(1)若θ＝π3，求|a －b |；(2)若a 与a ＋b 垂直，求θ. 【解】 (1)∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|a|2－2|a||b|cos π3＋|b |2＝1－22×12＋2＝3－2，∴|a －b |＝3－ 2.(2)若a 与a ＋b 垂直，则a·(a ＋b )＝0， ∴a 2＋a·b ＝0. ∵a·b ＝－|a|2＝－1. ∴cos θ＝a·b |a||b|＝－11×2＝－22.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。

从力做的功到向量的数量积●教学目标1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识. ●教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用●教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解●教学方法启发引导式启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。

●教具准备多媒体辅助教学●教学过程AB AC 与（2）AB C 与B （3）AC C 与B 的夹角。

）射影的概念cos b θ叫作向量b 在a 方向上的射影。

并提问：射影是向量还是数量？给出如下六个图形，让学生指出b 在a 方向上的射影，并判断其正负。

、两向量数量积的定义：cos a b a b a b θ•=与是非零向量,，0a •=规定:0。

提醒学生注意：a b •不能写成a b ⨯或ab 的形式。

提问学生：两个向量的和与差是向量还是数量？向量的数量积呢？若是数量，其正负如何确定？ cos a b a b θ•=>0另外，通过对特殊的情况的讨论，养学生严谨的学习态度。

直接给出向理数量积的定义，通过提问，比较向量和与差的运算，理解向量的数量积是数量而不是向量，其和由向量的夹abB1B Aa θbB1B AOaθB (B AO ABAOBcos a b =cos a b a b θ•==0 a b a b •= 时，a b a b •=-两个向量数量积的几何意义：b 与a 的数量积等于a a 与b 在a 的方向上的投影cos b θ的乘积或b b 与a 在b 的方向上的投影cos a θ向量数量积的物理意义：F 与其作用下物体位移的数量积•F s 、向量数量积的性质练习二，请完成下列练习，并通过观察，看看自己能8a =，e 为单位向量，当它们的夹角为时a 在e 方向上的投影及a e e a ••、 性质为：已知2a =，，a 与b 的交角为90θ=︒，则a b •= 性质为：1a =，，a 、b 共线，则a b •= 性质为：）已知3m =，4n =，且6m n •=，则m 与n 的性质为：因此，平面向量数量积的5个性质为：(1),cos •=•=是单位向量e a e e a a θ900a b a b =︒⇒⊥⇒•=就比较容易理解了。

【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 5 从力做的功到向量的数量积应用案巩固提升 北师大版必修4[A 基础达标]1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2中，是真命题的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选D.因为(a ·b )c 是与c 共线的向量，(c ·a )b 是与b 共线的向量，所以(a ·b )c 与(c ·a )b 不一定相等，排除①.因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直，所以排除③，故选D.2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C.因为a ·b ＝|a ||b |cos θ， 所以1×4cos θ＝2，即cos θ＝12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－32B.32 C ．±32D ．1解析：选B.因为3a ＋2b 与λa －b 垂直， 所以(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λ|a |2＋(2λ－3)a ·b －2|b |2＝0. 因为a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3， 所以a ·b ＝0，|a |2＝4，|b |2＝9， 所以12λ－18＝0，即λ＝32.4．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3 B.32C.33D. 3解析：选D.设|BD →|＝x ，则|BC →|＝3x ， AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝BC →·AD →＝|BC →|·|AD →|cos ∠ADB ＝3x ·1·1x＝ 3.5．若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，则|a －b －c |的最小值为( ) A.2－1 B ．1 C.2＋1D. 2解析：选A.因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ， 所以a ·b ＝0，所以|a －b |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2， 所以|a －b －c |≥|a －b |－|c | ＝2－1.6．已知单位向量e 1，e 2的夹角为120°，则|2e 1－e 2|＝________．解析：|2e 1－e 2|＝（2e 1－e 2）2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 22＝5－4×1×1×cos 120°＝7.答案：77．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，则向量AB →在向量AC →上的投影等于________． 解析：因为等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，所以∠BAC ＝120°，因此向量AB →在向量AC →上的投影为|AB →|cos 120°＝－12.答案：－128．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.答案：－8或59．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求(1)|a ＋b |；(2)|3a －4b |.解：由已知得a·b ＝4×2×cos 120°＝－4，a 2＝|a |2＝16，b 2＝|b |2＝4.(1)因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12， 所以|a ＋b |＝2 3.(2)因为|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， 所以|3a －4b |＝419.10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5. (1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值． 解：(1)由|3a －b |＝5得(3a －b )2＝5， 所以9a 2－6a ·b ＋b 2＝5. 因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1， 所以9－6a ·b ＋1＝5， 所以a ·b ＝56.所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15.所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a ·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203.所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439.因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4392＝339.所以3a －b 与a ＋3b夹角的正弦值为339. [B 能力提升]1.如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC .若|AB →|＝a ，|AD →|＝b ，则AC →·BD →＝( ) A ．a 2－b 2B ．b 2－a 2C ．a 2＋b 2D ．a ·b解析：选B.因为AD →⊥DC →，所以AC →在AD →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAD ＝|AD →|，又AB →⊥BC →，所以AC →在AB →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAB ＝|AB →|.所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AD →||AD →|－|AB →||AB →|＝b 2－a 2. 2．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝xe 1＋ye 2，x ，y ∈R.若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．解析：根据题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ||b |2＝x 2（xe 1＋ye 2）2＝x 2（xe 1）2＋（ye 2）2＋2xye 1·e 2＝x 2x 2＋y 2＋2xy cosπ6＝x 2x 2＋y 2＋3xy＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋3y x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋322＋14.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋322＋14≥14，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ||b |2≤4，所以0<|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2.答案：23．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|ka ＋b |＝3|a －kb |(k >0)． (1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 的夹角为60°，求k 的值． 解：(1)因为|ka ＋b |＝3|a －kb |，所以(ka ＋b )2＝3(a －kb )2， 且|a |＝|b |＝1，即k 2＋1＋2ka ·b ＝3(1＋k 2－2ka ·b )，所以a ·b ＝k 2＋14k.因为k 2＋1≠0，所以a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．(2)因为a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.所以k 2＋14k ＝12.所以k ＝1.4．(选做题)在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0， 由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝()AD →＋DP →·()BC →＋CP →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋13DC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23DC →＝AD →2－13AD →·DC →－29DC →2＝36－29×81＝18. (2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝AD →2－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6， 所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36.又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36，即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.。