湖北省稳派名校高三数学10月联合调研考试试题 文(含解析)新人教A版

说明： 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知全集{}2250,M x x x x Z =+<∈,集合{}0,N a =, 若MN ≠Φ，则a 等于（ ） A.1- B.2 C.1-或2 D. 1-或2- 2. 已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a ＝( ) A.1- B.1 C. 2 D.2-3．已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A. 23n a n =-B. 23n a n =+C. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ D. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩4．有关命题的说法中正确的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+=”； B ．命题“若2230x x --=，则3x =”的p ⌝形式是“若2230x x --≠，则3x ≠”； C ．若p q ⌝∨⌝为真命题，则p 、q 至少有一个为真命题；D ．对于命题:p 存在x R ∈，使得210x x ++<，则:p ⌝对任意x R ∈，均有210x x ++≥。

5. 如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩 形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为（ ）23正视图侧视图2 A32 B32 C22 D26．若对正数x ，不等式211ax x≤+都成立，则a 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.2 D.127．已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边长分别为是a 、b 、c ，设向量(),sin a b C =+m ，()3,sin sin a c B A =+-n ，若m n ，则角B 的大小为（ ）A.56π B. 6π C. 23π D.3π8．已知各项均为正数的的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39a =，313S =，则{}n a 的公比q 等于（ ）A ．43-B ．3 C.3或43- D.139．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A ．(sin )(cos )f f αβ>B ．(cos )(cos )f f αβ<C ．(cos )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ<10．点P 是函数22ln y x x =-的图象上任意一点，则点P 到直线31y x =-的最小距离是 ． A ．1010 B ．(22ln 21010- C ．(2ln 21010+ D ．ln 1010非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上. 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-，则=λ ． 12．设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++= ． 13．一个底面是等腰直角三角形的直棱柱，侧棱长与 底面三角形的腰长相等，其体积为4，它的三视图中俯视图俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的对角线长为 ． 14．在数列{}n a 中,21n n a =-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++,(1,2,,7;1,2,,12i j ==)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 。

2021年高三数学10月阶段性考试试题文（含解析）新人教A版【试卷综析】本次试卷考查的范围是三角函数和数列。

试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。

整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）【题文】1．已知集合，，则A． B． C． D．【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】B 解析：=[﹣1，+∞），=（﹣∞，2]，则 [﹣1，2]．故选：B．【思路点拨】求解函数的值域化简集合M，N，然后直接取交集得答案．【题文】2．复数=A．2i B．-2i C．2 D．-2【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4【答案解析】A 解析：复数==2i．故选A．【思路点拨】通过通分，分母实数化，多项式展开求解即可．【题文】3．已知下面四个命题：①；②；③；④。

其中正确的个数为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【知识点】向量的三角形法则．F1【答案解析】C 解析：对于①，与是互为相反向量，∴，正确；对于②，根据向量的三角形合成法则知，正确；对于③，根据向量的减法法则知﹣=，∴错误；对于④，根据平面向量数量积的定义知=0正确．综上，正确的命题是①②④．故选：C．【思路点拨】根据平面向量的加法与减法运算法则、以及平面向量数量积的概念，对4个命题进行分析判断，从而得出正确的结论．【题文】4．已知数列中，，且数列是等差数列，则等于A． B． C．5 D．【知识点】等差数列的通项公式．D2【答案解析】B 解析：∵数列{an}中，a3=2，a7=1，且数列是等差数列，设公差为d，则 =+4d，解得 d=．故 =+4d=+4d=，∴a11=．故选 B．【思路点拨】设公差为d，则由 =+4d，解得 d=，再由 =+4d 求出a11 的值．【题文】5．在中,已知,则的面积是A． B． C．或 D．【知识点】正弦定理的应用．C8【答案解析】C 解析：在△ABC中，由余弦定理可得42=+BC2﹣2×4×BC×cos30°，解得BC=4，或BC=8．当BC=4时，△ABC的面积为ABBCsinB =×4×4×=4，当BC=8时，△ABC的面积为ABBCsinB =×4×8×=8，故选C．【思路点拨】在△ABC中，由余弦定理可得BC的值，再由△ABC的面积为ABBCsinB 运算求得结果．【题文】6．命题函数在区间上是增函数；命题函数的定义域为R.则是成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案解析】D 解析：y′=；∵函数y=lg（x+﹣3）在区间[2，+∞）上是增函数；根据函数y=lg（x+﹣3）知，x+﹣3＞0；∴x2﹣a≥0在[2，+∞）上恒成立，∴，即函数x+在[2，+∞）是增函数；∴，∴a＞2；由x2﹣a≥0在[2，+∞）上恒成立得a≤x2恒成立，∴a≤4；∴2＜a≤4；y=lg（x2﹣ax+4）函数的定义域为R，所以不等式x2﹣ax+4＞0的解集为R；∴△=a2﹣16＜0，∴﹣4＜a＜4；显然2＜a≤4是﹣4＜a＜4的既不充分又不必要条件；∴p是q成立的既不充分也不必要条件．故选D．【思路点拨】先根据函数单调性和函数导数符号的关系，及对数式中真数大于0，一元二次不等式的解和判别式△的关系即可求出命题p，q下的a的范围，再根据充分条件，必要条件的概念判断p，q的关系即可．【题文】7．已知向量，若为实数，∥，则=A． B． C．1 D．2【知识点】平面向量共线的坐标表示．F2【答案解析】B 解析：∵向量，∴=（1+λ，2）∵∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴=故选B．【思路点拨】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．【题文】8．已知函数的图象的一个对称中心是点，则函数＝的图象的一条对称轴是直线【知识点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．C5【答案解析】D 解析：∵的图象的一个对称中心是点，∴f（）=sin+λcos=+λ=0，解得λ=﹣，∴g（x）=﹣sinxcosx+sin2x=sin2x+=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+可得x=+，k∈Z，∴函数的对称轴为x=+，k∈Z，结合四个选项可知，当k=﹣1时x=﹣符合题意，故选：D【思路点拨】由对称中心可得λ=﹣，代入g（x）由三角函数公式化简可得g（x）=﹣sin （2x+），令2x+=kπ+解x可得对称轴，对照选项可得．【题文】9．如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l，n ∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则=A． B． C． D．【知识点】归纳推理．M1【答案解析】A 解析：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n﹣3，即an=3n﹣3，令Sn=+++…+=++…+=1+…+﹣=，∴+++…+=．故选C．【思路点拨】根据图象的规律可得出通项公式an，根据数列{}的特点可用列项法求其前n 项和的公式，而则+++…+=是前xx项的和，代入前n项和公式即可得到答案．【题文】10．对于定义域为[0,1]的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有②③若，，都有成立；则称函数为理想函数. 下面有三个命题：若函数为理想函数，则；函数是理想函数；若函数是理想函数，假定存在，使得，且，则；其中正确的命题个数有A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案解析】A 解析：（1）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0）即f（0）≤0，由已知∀x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，∴f （0）=0（2）显然f（x）=2x﹣1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0，故f（x）=2x﹣1满足条件①②③，所以f（x）=2x﹣1为理想函数．（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．故f（x0）=x0．∴三个命题都正确，故选D．【思路点拨】（1）首先，根据理想函数的概念，可以采用赋值法，可考虑取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f （0）=0；（2）要判断函数g（x）=2x﹣1，（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2x﹣1，是否满足理想函数的三个条件即可；（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，f（n）=f （n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．，根据f[f（x0）]=x0，则f（x0）=x0．二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.）【题文】11．过原点作曲线的切线，则切线的方程为 .【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11【答案解析】y=ex 解析：y′=ex，设切点的坐标为（x0，ex0），切线的斜率为k，则k=ex0，故切线方程为y﹣ex0=ex0（x﹣x0），又切线过原点，∴﹣ex0=ex0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex，故答案为y=ex．【思路点拨】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（ x0，ex0），再求出在点切点（ x0，ex0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题．【题文】12．角的终边过P,则角的最小正值是 .【知识点】任意角的三角函数的定义．C1【答案解析】解析：∵sin=，cos=﹣，∴P（，﹣）为第四象限，由cosα==cos（2π﹣）=cos（），sinα=﹣=sin得角α的最小正值是α=，故答案为：．【思路点拨】依题意可得P（，﹣）为第四象限，从而可得角α的最小正值．【题文】13．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】200 解析：由三视图可知该几何体为平放的四棱柱，其中以侧视图为底．底面为等腰梯形，梯形的上底长为2，下底长为8，梯形的高为4，棱柱的高为10．∴梯形的面积为，∴棱柱的体积为20×10=200．故答案为：200．【思路点拨】由三视图可知该几何体为四棱柱，然后根据棱柱体积公式计算体积即可．【题文】14．已知数列的前n项和为，且，则=___．【知识点】数列递推式．D1【答案解析】-128 解析：∵sn=2（an+1），∴当n=1时，a1=2（a1+1），解得a1=﹣2，当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2an﹣2an﹣1，∴=2；∴数列{an}是﹣2为首项，2为公比的等比数列，∴an=﹣2n．∴a7=﹣27=﹣128．故答案为：﹣128．【思路点拨】当n=1时，可求得a1=﹣2，当n≥2时，可求得=2；从而可得数列{an}是﹣2为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为：an=﹣2n，问题可解决．【题文】15．设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为___________．【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】解析：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=（a2+b2）x+y为直线方程的斜截式y=﹣（a2+b2）x+z．由图可知，当直线y=﹣（a2+b2）x+z过C时直线在y轴上的截距最大，z最大．联立，得C（1，4），∴a2+b2+4=8，即a2+b2=4．∵（a+b）2≤2（a2+b2）=8，∴．∴a+b的最小值为．故答案为：【思路点拨】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a2+b2=4，由不等式求出a+b的范围，则答案可求．【题文】16．二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.已知四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度_________．【知识点】类比推理．M1【答案解析】解析：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l，三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S，∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr4【思路点拨】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．【题文】17．设是等比数列，公比，为的前n项和。

2021年高三数学10月月考试题文（含解析）新人教A版一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，那么集合等于（）A、 B、 C、 D、【答案解析】C解析：解：由题意可知为A、B中所有元素组成的集合. C正确.2．求的值是 ( )A、 B、 C、 D、【答案解析】 B 解析：解：由题意可知B正确.3．函数且的图象一定过定点（）A、 B、 C、 D、【答案解析】B 解析：解：由指数函数的定义可知当，这时，所以函数的图像一定过定点.4．曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．【知识点】导数与切线.B11【答案解析】B 解析：解：由题意可知过点，，在点处的导数为3，所以切线方程为，所以B正确. 【思路点拨】根据函数的导数，可求出函数在该点处的切线斜率，再列出切线方程.【题文】5．命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【知识点】命题.A2【答案解析】D 解析：解：由命题的否定，可知全称量词要变成特称量词，所以D为正确选项. 【思路点拨】根据命题间的关系可变换，注意全称量词与特称量词的相应变化.【题文】6．下列函数在定义域内为奇函数的是（）A. B. C. D.【知识点】函数的奇偶性.B4【答案解析】A 解析：解：由奇函数的定义可知当时，函数为奇函数，而只有A正确.【思路点拨】根据函数的奇偶性的定义对每一个选项分别进行分析，最后可找出正确结果. 【题文】7．计算 （ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】对数函数.B7【答案解析】 B 解析：解：由对数的运算性质可知22164516544log 25log 5log 5log 4log 25log 4log 51==∴⋅=⋅=，所以正确选项为B.【思路点拨】根据对数函数的运算法则与换底公式，可化简对数求出结果. 【题文】8．函数的图象如图1所示，则的图象可能是（ ）【知识点】导数.B11【答案解析】D 解析：解：由题意可知，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数的导数在上的值大于0，在上的值小于0，根据答案可知D 正确.【思路点拨】根据导数与函数的增减性可知，导数值的正负，再选出正确选项. 【题文】9．在中，，．若点满足，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【知识点】向量的加减运算.F1【答案解析】D 解析：解：由题可()2233BC AC AB b c BD BC b c =-=-∴==-又()22213333AD AC BD AC BC c b c b c =+=+=+-=+，所以正确选项为D.【思路点拨】根据向量的加减运算可表示出所求向量，注意运算法则的运用.【题文】10．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度B ．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度C ．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 【知识点】三角函数的图像与性质.C3【答案解析】A 解析：解：根据三角函数的图像变换可知，横坐标伸长到原来的2倍可得，再向右平行移动个单位长度，所以A 正确.【思路点拨】根据三角函数的图像变换方法，可依次进行变换，再找出正确选项. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 【题文】11.函数是周期函数，它的周期是__ ．【知识点】三角函数的周期.B4【答案解析】解析：解：由正切函数的周期公式可知,所以周期为. 【思路点拨】由正切函数的周期公式可求出函数的周期.【题文】12．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ． 【知识点】弧度制.C1【答案解析】2 解析：解：由扇形的面积公式可知，再由，所以所对的圆心角弧度数为2. 【思路点拨】根据已知条件中的面积可求出弧长，再利用弧度制的概念可求出弧度数.【题文】13．已知命题，命题成立，若“p∧q”为真命题，则实数m 的取值范围是_ _ ． 【知识点】命题的关系.A2【答案解析】-2<m<0 解析：解：由命题的真假可知p 且q 成立，则p 与q 都是真命题，所以2200020100,4022m m m m x mx m m <<<⎧⎧⎧⇒⇒⇒-<<⎨⎨⎨++>∆<-<-<<⎩⎩⎩【思路点拨】根据已知条件，可先判定两个命题的真假，再分别求出两个命题中m 的取值范围，最后求出结果.【题文】14.．【知识点】三角函数的二倍角公式.C6【答案解析】 解析：解：由三角函数化简可知【思路点拨】根据已知式子我们可向公式的方向列出条件，结合二倍角公式进行化简.【题文】15. 已知下列给出的四个结论:①命题“若,则方程有实数根”的逆否命题为:“若方程 无实数根,则≤0”； ②；③在△ABC 中,“”是“”的充要条件； ④设则是为偶函数”的充分而不必要条件；则其中正确命题的序号为_________________(写出所有正确命题的序号).【知识点】充要条件.A2【答案解析】①②④解析：解：①因为命题的逆否为，即否定条件又否定结论.所以①正确. ②当时，成立. ③因为时，在三角形中角A，所是“”是“”的充分条件，而不是必要条件，所以③不正确. ④中当时，为偶函数，而当为偶函数时，可以为与终边相同或相反的无数个角.所以正确序号为①②④【思路点拨】根据每个小项进行分析，对充分必要关系进行计算，最后找出正确结果.三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．【题文】16．（本小题满分12分）（1）已知中，分别是角的对边，，则等于多少？（2）在中，分别是角的对边，若，求边上的高是多少？【知识点】解三角形.C8【答案解析】(1) 或 (2) 解析：解：（1）由正弦定理：，则：，解得：……… 3分又由于是三角形中的角，且由于，于是：或…… 6分（2）由余弦定理：，这样，…… 9分由面积公式，解得：……１２分【思路点拨】根据已知条件，利用正弦余弦定理分别求出三角形的角与边.【题文】17．（本小题满分12分）已知函数，（1）求函数的极值；（2）若对，都有≥恒成立，求出的范围；（3），有≥成立，求出的范围；【知识点】导数与极值.B11;B12因此极大值是，极小值是……… 6分（2），……… 7分因此在区间的最大值是，最小值是，≥……… 10分（3）由（2）得：≥……… 12分【思路点拨】根据函数求出函数的导数，再利用导数等于0求出极值点，根据极值点的两侧异号的条件求出极值，及最值.【题文】18．（本小题满分12分）(1)求函数的对称轴所在直线的方程；(2)求函数单调递增区间.【知识点】两角和与差的三角函数；二倍角公式.C5;C6【答案解析】(1) (2) 解析：解：(Ⅰ)… … … 6分令，解得，… … … 8分 (II)由 ,得函数的 单调递增区间为 … … … 12分【思路点拨】求三角的对称轴、周期、单调区间等问题，我们要把函数向一个函数的方向去转化，然后再分别求解.【题文】19．（本小题满分12分）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其它费用为每小时1250元. (1)请把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数,并指明定义域； (2)为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【知识点】导数与最值.B3;B11【答案解析】(1) (2) 函数，在x=50处取得极小值，也是最小值.故为使全程运输成本最小，轮船驶. 解析：解：(1)由题意得：… … … 6分(2)由（1）知，令，解得x=50,或x=-50(舍去).… … …8分当时，，当时，（均值不等式法同样给分，但要考虑定义域）， … … … 10分因此，函数，在x=50处取得极小值，也是最小值.故为使全程运输成本最小，轮船应以50海里/小时的速度行驶. … … … 12分【思路点拨】根据题意列出函数式，再利用导数求出函数的最值. 【题文】20．（本小题满分13分）（1）在中，分别是角的对边，其中是边上的高，请同学们利用所学知识给出这个不等式：≥的证明. （2）在中，是边上的高，已知，并且该三角形的周长是； ①求证：；②求此三角形面积的最大值.【知识点】不等式；余弦定理和正弦定理.C8;E1【答案解析】(1)略(2) 解析：解：要证明：≥，即证明：≥，利用余弦定理和正弦定理即证明：≥，即证明：即证明：≥，完全平方式得证. … … … 6分 (2) ，使用正弦定理，.… … 9分 （3）≥，解得：≤，于是：≤，最大值… … 13分【思路点拨】利用正弦定理和余弦定理进行证明，再利用基本不等式求出最大值. 【题文】21．（本小题满分14分）已知函数．(I)判断的单调性；(Ⅱ)求函数的零点的个数；(III)令，若函数在(0，)内有极值，求实数a的取值范围.【知识点】导数；函数与方程.B9;B11【答案解析】(I) 在上单调递增. (II) 在内有且仅有2个零点.(III) 解析：解：(I)设，其中在上单调递增.(II)因为，又因为在上单调递增.故在内有唯一的零点.又因为为函数的一个零点，因此在内有且仅有2个零点.则有两个不同的根，且一根在内,不妨设，由于，所以,…………………12分由于,则只需，即………13分解得:………………………………………………………14分【思路点拨】利用函数的导数可判定函数的单调性，再根据单调与值的正负可求出零点的个数，最后再根据导数求出a的取值范围.1•36198 8D66 赦x31202 79E2 秢->37006 908E 邎.40216 9D18 鴘39239 9947 饇29138 71D2 燒28692 7014 瀔•l。

高三10月调研考试 数学（文）试题一、选择题1．已知集合，，若，则=（ ）A. 0或B. 1或C. 0或3D. 1或3 2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz的共轭复数是（ ） A. 2i - B. 2i + C. 2i -- D. 2i -+ 3．命题“x R ∀∈， x x 322=”的否定是（ ）A. x R ∀∉， 223x x ≠B. x R ∀∈， 223x x ≠C. x R ∃∉， 223x x ≠D. x R ∃∈， 223x x ≠4．函数2xx y e=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A. B.C. D.5．已知函数是奇函数，且在区间上满足任意的，都有，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6．函数)2sin()(ϕ-=x A x f 的图象关于点)0,34(π成中心对称，则ϕ最小的ϕ的值为（ ） A ．3π B ．6π C ．3π- D ．6π- 7．设的内角的对边分为，.若是的中点，则( )A. B. C. D. 8．已知函数，则的极大值为（ ）A. 2B.C.D.9．已知数列2、6、10、14、）项A ．23B ．24C ．19D ．25 10．已知的边的垂直平分线交于，交于，若，，则的值为（ ）A. 3B.C.D.11．设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦( ) A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 20112．设函数()3235f x x x ax a =--+-，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 15,34⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 13,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 53,42⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题13．已知集合，则A 的子集有________个。

高三数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：集合，逻辑，函数，导数，不等式，数列，向量，三角函数(不含解三角形)。

密封线内不要答题一、单选题(本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项),则其共轭复数z=1.复数D .1—2iC .1+2iA .2+iB .2-i },则A N (@B )=2.已知全集U =R ,A ={x |x ²+2x <3},B .{x |-3<x ≤0}A .{x |-3<x <0}D .{x |O ≤x <1}C .{x |-3<r <2}3.命题“Vx∈(1,2),α²-a>0”为真命题的一个必要不充分条件是D .a <2C .a <0A .a ≤1B .a <14.如图所示，向量O A =a ,O B =b ,式=c ,A ,B ,C 在一条直线上，且A B =-2 C B ,则5.已知曲线y =x +k l n (1+x )在x =1处的切线与直线z +2y =0垂直，则k 的值为C .-3D .-6A .4B .26.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+2)=-f(x),当1<r<2时，f(x)=logzx+1,则D .-l o g z 3-1A .l o g z 3B .l o g z 3-1C .-l o g 237.已知),化简√2-2sin 2a-√1+cos 2a的结果是B .-√2s i n D .一√2c os aa A .√2s i n a 【高三数学“第1页(共4页)C .√2 c os a 】3在(0,π)上8.已知向量m =(2s in x,V3cos²x),n=(cosx,-2),若关于x 的方程的两根为x ),X 2(x i <x₂),则s i n (x i -x 2)的值为C .A .D .二、多选题(本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求)9.在公比q 为整数的等比数列(a ,}中，S ,是数列(a n }的前n 项和，若a 1·a s =32,a z +a y =12,则下列说法正确的是B .q =2A.数列Sz,S,S6,…是等比数列 D.数列(lg (S,+2)}是等差数列C .S ₆=12610.已知实数x ,y ,z 满足2⁴=3,3⁹=4,4*=5,则下列结论正确的是D .x +y >2√2C .y <x B .x y z >2A .11.函数f (x )=A s i n (w x +p )(其中A >0,w >0,l y l <x)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是A .B .函数f (x )的零点为(,0),k ∈ZC .若I f (x i )·f (x ₂)I =4,则,k ∈Z,则D .若12.已知数列{a n }的前n 项和S ,=n ²,b ,=(-1)°a ,a n +l ,数列(b n )的前n 项和T 。

2021年高三数学10月检测试题文新人教A版第I卷（选择题共50分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．设全集为，集合，则( )2.已知命题222:2:232p x R q a y x axx∃∈===-++，使；命题是函数在区间递增的充分但不必要条件.给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“”是真命题；③命题“”是真命题；④命题“”是假命题。

其中正确说法的序号是（）②④ B.②③ C.②③④ D.①②③④3、已知函数若,则等于（）A．或B． C． D．1或4、已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则( )A. B. C. D.5、已知向量为单位向量，其夹角为，则A.－1B.0C.1D.26、函数).2||)(sin()(πϕωϕω<>>+=，，其中AxAxf的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位7、函数的图象大致形状是（）已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f’(x)>0的解集为( )A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)9、在△中,角所对的边分别为,且满足,则的最大值是( )A． B. C. D. 210、已知是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设，，，则的大小关系是( )A. B. C. D.第II卷（非选择题共100分）填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11、已知向量，若向量的夹角为，则________；12、若，则满足不等式的ｍ的取值范围为．13、函数，的值域是 .14、已知函数的最小正周期是，则．15．已知函数为奇函数，且对定义域内的任意x都有．当时，。

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.【解析】因为图中阴影部分表示的集合为，由题意可知{}{}02,1A x x B x x =<<=<，所以{}{}021x x x x =<<≥，故选 2.【解析】依题意得，当时，()3c o s 30f x x ππ'=-<-<，函数是减函数，此时()()03s i n 000f x f π<=-⨯=，即有恒成立，因此命题是真命题，应是“()000,,02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭”.综上所述，应选 3.【解析】由()()()()224f x f x f x f x -=+⇒=+，因为，所以，，所以 ()()()22224log 20log 2044log 20log 15f f f f ⎛⎫=-=--=-=- ⎪⎝⎭.故选 4. 【解析】由题意知，代入回归直线方程得，故选 5.【解析】tan 11tan 41tan 2πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，，，，则22sin sin cos 2sin sin 2cos 42αααααπα++=⎛⎫-⎪⎝⎭105⎛=-=- ⎝⎭，故选 6.【解析】因为，则函数即图象的对称轴为，故可排除；由选项的图象可知，当时，，故函数()323a f x x ax cx =++在上单调递增，但图象中函数在上不具有单调性，故排除本题应选 7. 【解析】依题意得，故，所以sin 2sin 108842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， sin 2444f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称.故选8.【解析】过点作于点，在中，易知， 梯形的面积()115221122S =++⨯=,扇形的面积221244S ππ=⨯⨯=，则丹顶鹤生还的概率12152415102S S P S ππ--===-，故选 9. 【解析】由()()cos sin 0f x x f x x '+>知()0cos f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以在上是增函数，所以，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，得，所以不正确；易知，即()03cos 0cos 3f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，得，所以不正确；易知，即()04cos 0cos 4f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，得，所以不正确；易知，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以正确.故选 10.【解析】因为，依题意，得()()()00,1230,24120,f c f b c f b c '=>⎧⎪'=++<⎨⎪'=++>⎩则点所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中，，.()22132T b c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭表示点到点的距离的平方，因为点到直线的距离d ==，又()22214.563252PA ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭，所以，故选二、填空题：（7题，每题5分）11. 11【解析】由2201520140x x -+<，解得，故.由，解得，故.由，可得，因为101121024,22048==，所以整数的最小值为11.12. 【解析】由于()()13134x x x x ++-≥+--=，则有，即，解得，故实数的取值范围是.13.（1）0.0125；（2）72【解析】（1）由频率分布直方图知()201200.0250.00650.0030.003x =-⨯+++，解得.（2）上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有名学生可以申请住宿.14.【解析】()sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，平移后得到函数 ，则由题意得,,66t k t k k Z ππππ+==-∈，因为，所以的最小值为.15.1 【解析】由题意得()()()222cos sin 2cos sin 12cos sin sin x x x x x y x x''----'==，在点处的切线的斜率1212cos2 1.sin 2k ππ-==又该切线与直线垂直，直线的斜率，由，解得16.【解析】若命题为真，则216402a a ∆=-<⇒>或.若命题为真，因为，所以.因为对于，不等式恒成立，只需满足，解得或.命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假.①当真假时，可得22,2616a a a a ><-⎧⇒<<⎨-<<⎩或；②当时，可得22,2116a a a a -≤≤⎧⇒-≤≤-⎨≤-≥⎩或. 综合①②可得的取值范围是.17.【解析】由，解得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故该函数的最小值为()ln2ln 22ln 222ln 2.f e a a =-+=-+因为该函数有零点，所以，即，解得故的取值范围是.三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.【解析】（1）2)6cos()6sin(3)(++++=ππx x x f +2…2分+2………………4分 =1 ……………………………………………………… 6分（2）………………… 7分13sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx …………………8分 从而当时，即时…………………………………… 10分而当时，即时…………………12分19.【解析】（1）根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分平均数的估计值为：(82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.02)5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ …………………………6分（2）从图中可知，体能测试成绩在的人数为（人），分别记为；体能测试成绩在人数为（辆），分别记为，从这人中随机抽取两人共有种情况：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B ，，，，，，，.……………………9分抽出的人中体能测试成绩在的情况有共6种，………………………………………………………１１分故所求事件的概率.…………………………………12分20.【解析】（1）∵，，∴，∴ a x a x x f 3)1(323)(2++-=' ……………………………………1分∵ ∴∴ ……………………2分∴，显然在附近符号不同，∴是函数的一个极值点 ………………………………………3分∴ 即为所求 ………………………………………………………4分（2）∵，，∴，若函数在不单调， 则03)1(323)(2=++-='a x a x x f 应有二不等根 …………………………5分∴ 036)1(122>-+=∆a a ∴ ……………………………7分∴或………………………………… ……………8分（3）∵，∴x x x x x m x f 33-3)()(32-=+=，∴，设切点，则纵坐标，又，∴ 切线的斜率为1253)1(3003020-+-=-x x x x ，得……10分设，∴由0，得或，∴在上为增函数，在上为减函数，∴ 函数的极大值点为，极小值点为，∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=021)1(021)0(g g ∴ 函数有三个零点 ……………12分 ∴ 方程有三个实根∴ 过点可作曲线三条切线 ……………………………13分21.【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，sin 9sin309sin 510AC BCA ABC AB ∠︒∠===.………………………………7分 （Ⅱ）∵，∴， 9sin sin(180)sin 10BAD ABC ABC ∠=︒-∠=∠=， 在中，由正弦定理，得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠， ∴95sin sin AB BAD BD ADB⨯∠===∠分 22.【解析】（Ⅰ）=1﹣x+lnx ，求导得：，由，得.当时，；当时，.所以，函数在上是增函数，在上是减函数.…………5分(Ⅱ) 令2)1(ln 2ln )(2)()(++-=-+-=-+-=x m x mx x x x g x x G x h 则因为，所以，由得当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数. 所以，在上的最大值为()1()1ln 101h m m=-+?+，解得 所以当时恒成立. ………………………10分 （Ⅲ）由题意知， .由（Ⅰ）知()ln 1(1)f x x x f =-+?，即有不等式. 于是 l n 21221b a a a a a =++?++=+ 即 ………14分。

2013～2014年度湖北省部分重点中学高三十月联考数学（文科）试题★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B 铅笔将答题卡上的方框涂黑。

2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U =N ，集合P ={}，6，4，3，2，1Q={}1,2,3,5,9则()P C Q =U I ( ) A ．{}3,2,1B ．{}6,4C ．{}9,5D {}6,4,3,2,1 2．如果映射f ：A →B 满足集合B 中的任意一个元素在A 中都有原象，则称为“满射”．若集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，则从A 到B 的不同满射的个数为 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．83．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f = （ ）A ．－2B ．2C ．5D ． 264. 为了得到函数 133xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图象，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移 3 个单位长度B ．向右平移 3 个单位长度C ．向左平移 1 个单位长度D ．5. 已知函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，k R ∈，则()()f k f k +-的值一定A ．等于0B ．不小于0C ．小于0D ．不大于06. 函数()()3213ax a x b x b +-+-+的图象关于原点成中心对称，则 f (x )（ ）A ．有极大值和极小值B ．有极大值无极小值C ．无极大值有极小值D ． 无极大值无极小值7．若),0(π∈α，且)4sin(2cos 3α-π=α，则α2sin 的值为 A ．1或1817-B ．1C ．1817D ．1817-8．已经函数21()()sin ,23x f x x a R a a =-∈++，则()f x 在[0，2π]上的零点个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．函数y = x 2－2x 在区间[a ,b ]上的值域是[－1,3],则点(a ,b )（ ）A ．线段AB 和线段AD B ．线段AB 和线段CDC ．线段AD 和线段BC D ．线段AC 和线段BD10．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()f x =又()cos2xg x π=，则集合{}|()()x f x g x =等于A ．1|4,2x x k k z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．1|2,2x x k k z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．1|4,2x x k k z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭D ．{}|21,x x k k z =+∈二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 11．函数1y x x=+的极大值为 ; 12．函数 ()22lg 35y x kx k =+++的值域为R ，则k 的取值范围是 ;13.()32,0x x f x x -⎧-≤⎪=>,若()01f x >，则0x 的取值范围是 ;14.. 已知点G 是△ABC 的重心，若∠A=120°，2-=⋅，则||的最小值是 15. 在△ABC 中，∠C=60°，AB=23，AB 边上的高为38，则AC+BC= 16. 若函数()()4cos ,02log 1,0xx f x x k x π⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩的值域为[)1,-+∞，则实数k 的取值范围是 ;17. 已知向量δβα,,满足|α|=1，|β-α|=|β|，)()(δ-β⋅δ-α=0，若对每一个确定的||,δβ的最大值为m ，最小值为n ，则对任意的β，m n -的最小值为 .三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 函数1)6x sin(A )x (f +π-ω=(A ＞0,ω＞0)的最小值为-1，其图象相邻两个对称中心之间的距离为2π. （1）求函数)x (f 的解析式; （2）设),0(π∈α，则13)2(f +=α，求α的值.19. 已知函数()1ln sin g x x x θ=+⋅在[)1,+∞上为增函数，且()0,θπ∈,()1ln ,m f x mx x m R x-=--∈ （1）求θ的值.（2）若[)()()1,f x g x -+∞在上为单调函数，求m 的取值范围. 20. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三内角A 、B 、C 所对边的边长，且若是3C π=，a b cλ+=（其中λ＞1）（1）若λ=ABC ∆为Rt ∆（2）若298AC BC λ⋅=u u u r u u u r ，且3c =，求λ的值.21. 设函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x ≠时，()()0,12xf x f <=-（1）求证：()f x 是奇函数;（2）试问：在22x -≤≤时 ，()f x 是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由.（3）解关于x 的不等式211()()()()22f bx f x f b x f b ->-22. 设函数1()2ln f x x m x x=-- ()m R ∈. （1）讨论()f x 的单调性.（2）若()f x 有两个极值是1x 和2x ，过点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在m ，使得2k m =-?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.2013～2014年度湖北省部分重点中学高三十月联考数学（文科）答案一、选择题 BCDDD AABAB 二、填空题 11. －2 12. (][),22,-∞-+∞U 13．(,1)(1,)-∞-+∞U 14.3215. 211 16. [-1，1] 17.21 三、解答题 18. 解：（1）∵函数f （x ）最小值为-1∴1-A=-1 即A=2∵函数图象的相邻对称中心之间的距离为2π ∴T=π 即2=ω故函数f （x ）的解析式为)6x 2(Sin 2)x (f π-=+1 （2）∵131)6(Sin 2)2(f +=+π-α=α∴2Sin （3)6=π-α 23)6(Sin =π-α 则36π=π-α ∴2π=α π=π-α326 π=α65即所求π=απ=α652或19. ．解：（1）由题意，01sin 1)(2,≥+•-=x x x g θ在[1，+∞]上恒成立，即0sin 1sin 2≥•-•xx θθ. 0sin ),,0(φΘθθ∴∈p .故01sin ≥-•x θ在[1，+∞]上恒成立，只须011sin ≥-•θ，即1sin ≥θ，只有1sin =θ，结合),0(p ∈θ，得2p=θ. （2）由（1），得x x m mx x g x f ln 2)()(--=-.22,2)()((x m x mx x g x f +-=-∴. )()(x g x f -Θ在其定义域内为单调函数，022≥+-∴m x mx 或者022≤+-m x mx 在[1，+∞]恒成立. 022≥+-m x mx 等价于x x m 2)1(2≥+，即212x x m +≥，而xx x x 12122+=+，1,1)12(max ≥∴=+m xx .022≤+-m x mx 等价于x x m 2)1(2≤+，即212x x m +≤在[1，+∞]恒成立，而0],1,0(122≤∈+m x x .综上，m 的取值范围是),1[]0,(+∞-∞Y .20.解：3=λΘ C b a 3=+∴ 由正弧定理得 233==+SinC SinB SinA 3π=C Θ 23)32(=-+∴B Sin SinB π232123=-+SinB CosB SinB 232323=+∴CosB SinB 则23)6(=+πB Sin 则66ππ=+B 或ππ326=+B 6π=∴B 或2π=B .若6π=B 则2π=A ABC ∆为∆Rt若2π=B ABC ∆亦为∆Rt .（2）289λ=• 则28921λ=•b a 249λ=∴ab 又λ3=+b a Θ由余弧定理知Cosc ab c b a •=-+2222 即9222==-+c ab b a 即93)(2=-+ab b a 故949922=-λλ 9492=λ 42=λ 即2=λ.21. 解：（1）设0x y ==可得()00f =，设y x =-，则()()()0f f x f x =+- 所以()f x 为奇函数.（2）任取12x x <，则210x x ->，又()()()()2211211f x f x x x f x x f x =-+=-+⎡⎤⎣⎦ 所以()()()21210f x f x f x x -=-< 所以()f x 为减函数。

高三数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合，逻辑，函数，导数，不等式，数列，向量，三角函数（不含解三角形）.一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复数2i1i z =-+，则其共轭复数z =（）A.2i +B.2i- C.12i+ D.12i-【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算法则、共轭复数的定义运算即可得解.【详解】解：由题意：()()()21i 2i=i=12i 1i 1i 1i z -=---++-，∴由共轭复数的定义得12i z =+.故选：C.2.已知全集U =R ，{}223A x x x =+<，20x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则()U A B = ð（）A.{}30x x -<< B.{}30x x -<≤ C.{}32x x -<< D.{}01x x ≤<【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合,A B ，再利用补集、交集的定义求解作答.【详解】解不等式223x x +<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，即{|31}A x x =-<<，解不等式20x x-≤，得02x <≤，即{|02}B x x =<≤，{|0U B x x =≤ð或2}x >，所以(){}30U A B x x ⋂=-<≤ð.故选：B3.命题“()1,2x ∀∈，20x a ->”为真命题的一个必要不充分条件是（）A.1a ≤B.1a <C.a<0D.2a <【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合恒成立问题可知1a ≤，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断.【详解】因为20x a ->，即2x a >，且()1,2x ∈，则()21,4x ∈，由题意可得1a ≤，选项中只有选项D 满足{}|1a a ≤是{}|2a a <的真子集，所以命题“()1,2x ∀∈，20x a ->”为真命题的一个必要不充分条件是2a <.故选：D.4.如图所示，向量OA a = ，OB b = ，OC c =，,,A B C 在一条直线上，且2AB CB =- ，则（）A.1433c a b=-+B.1322c a b=-+C.5322c a b=-D.3122c a b=-【答案】B 【解析】【分析】根据向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：()33132222=+=+=+-=-+uuu r uu r uuu r uu r uu u r uu r uu u r uu r uu r uuu r OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB ，即1322c a b =-+ .故选：B.5.已知曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，则k 的值为（）A.4B.2C.3- D.6-【答案】B 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线斜率为12+k，结合垂直关系运算求解即可.【详解】因为11'=++k y x ，可得1|12='=+x k y ，即曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线斜率为12+k ，且直线20x y +=的斜率为12-，由题意可得：11122⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭k ，解得2k =.故选：B.6.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，当12x <<时，()2log 1f x x =+，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2log 3B.2log 31- C.2log 3- D.2log 31--【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得4为()f x 的周期，根据题意结合周期性运算求解.【详解】因为()()2f x f x +=-，则()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，可知4为()f x 的周期，且20231425322=⨯-，可得222023133log 1log 32222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f .故选：C.7.已知π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭-的结果是（）A.αB.αC.αD.α【答案】A 【解析】【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.【详解】因为πcos2sin4ααα⎛⎫===-=-⎪⎝⎭，且π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π4π,4α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，可得πsin04α⎛⎫->⎪⎝⎭，)π2sin sin cos4ααα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭；α=，且π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得cos0α<，α=；)sin cosαααα=-=.故选：A.8.已知向量()22sinm x x=，()cos,2n x=-，若关于x的方程12m n⋅=在()0,π上的两根为()1212,x x x x<，则()12sin x x-的值为（）A.14- B.4- C.12- D.2【答案】B【解析】【分析】利用数量积的坐标运算、正弦型函数的图象与性质、同角三角函数基本关系式运算即可得解.【详解】解：由题意，)22sin cos sin21cos2m n x x x x x⋅=-=-+1π12sin2cos22sin22232x x x⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可得：π1sin234x⎛⎫-=⎪⎝⎭，设()πsin23f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，()0,πx∈当0πx<<时，ππ5π2333x-<<-.且由ππ232x-=，得()f x在()0,π上的对称轴为5π12x=.∵方程12m n⋅=-()0,π上的两根为()1212,x x x x<，∴()11π1sin 234f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()22π1sin 234f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且由125π212x x +=得125π6x x +=，∴215π6x x =-.∴()12115ππsin sin 2cos 263x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵当0πx <<时，1π1sin 2034x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴1π203x ->，即有1π6x >.又∵12x x <，∴1π5π612x <<，则1ππ0232x <-<，∴由1π1sin 234x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：1πcos 234x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()12115ππsin sin 2cos 2634x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：B.【点睛】三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和求法：1.思路：函数()sin y A ωx φ=+图象的对称轴和对称中心可结合sin y x =图象的对称轴和对称中心求解.2.方法：利用整体代换的方法求解，令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈，可解得对称轴方程；令πx k ωϕ+=，Z k ∈，可解得对称中心横坐标，纵坐标为0.对于()cos y A x ωϕ=+、()tan y A x ωϕ=+，可利用类似方法求解（注意()tan y A x ωϕ=+的图象无对称轴）.二、多选题（本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求）9.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1432a a ⋅=，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A.数列246,,,S S S 是等比数列B.2q =C.6126S = D.数列(){}lg 2n S +是等差数列【答案】BCD 【解析】【分析】根据等比数列的性质得到231432a a a a ==，即可得到关于2a 和3a 方程组，结合条件解得1a 和q ，从而得到n S ，再逐一分析各个选项，即可求解.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，则231432a a a a ==，由23233212a a a a =⎧⎨+=⎩，解得：2348a a =⎧⎨=⎩或2384a a =⎧⎨=⎩，则322a q a ==或12，又q 为整数，所以2q =，且24a =，38a =，所以B 选项正确；又212a a q ==，所以()12122212n n n S +-==--，则32226S =-=，542230S =-=，7622126S =-=，所以C 选项正确；因为6424S S S S ≠，所以246,,,S S S 不是等比数列，所以A 选项错误；又有()()211lg 2lg 2lg 2lg 2211n n n n S S n n ++++-+=-=+--=，所以数列(){}lg 2n S +是公差为1的等差数列，所以D 选项正确；故选：BCD.10.已知实数x ，y ，z 满足23x =，34y =，45z =，则下列结论正确的是（）A.43y <B.2xyz > C.y z<D.x y +>【答案】BD 【解析】【分析】根据指数和对数的转化得到2log 3x =，3log 4y =，4log 5z =，对于A 选项，根据3443>即可判断；根据对数的换底公式得到2log 5xyz =，即可判断；对于C 选项，利用作差法和换底公式结合基本不等式即可判断；对于D 选项：根据基本不等式即可判断.【详解】因为23x =，34y =，45z =，所以2log 3x =，3log 4y =，4log 5z =，对于A 选项：因为3443>，则3433log 4log 3>，即33log 44>，所以34log 43y =>，故A 选项错误；对于B 选项：23422log 3log 4log 5log 5log 42xyz =⋅⋅=>=，故B 选项正确；对于C 选项：()234lg 4lg 3lg 5lg 4lg 5log 4log 5lg 3lg 4lg 3lg 4y z --=-=-=，因为0lg3lg 4lg5<<<，所以22lg 3lg 5lg15lg 3lg 522+⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()22522lg 4lg16lg15lg 4222⎛⎫⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2lg 4lg 3lg 50->，即0y z ->，所以y z >，故C 选项错误；对于D 选项：因为2log 31x =>，3log 41y =>，所以23log 3log 4x y +=+>==，故D 选项正确；故选：BD.11.函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π<ϕ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.2π3ϕ=-B.函数()f x 的零点为ππ,032k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z C.若()()124f x f x ⋅=，则12π2k x x -=，k ∈ZD.若00π37π232122x x f f ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎝⎭⎝⎭，则0sin 13x =【答案】ACD 【解析】【分析】根据正弦函数的图象与性质求得A 和ω，代入点7π,212⎛⎫⎪⎝⎭，求得ϕ，从而得到()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦的函数的性质判断ABC 选项，对于D 选项：利用三角恒等变换得到()0x θ+=，其中3tan 2θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再结合同角三角函数关系即可求解.【详解】对A ：由函数图象得2A =，且函数()f x 的周期T 满足：37ππ3π41264T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，解得：2ω=，即()()2sin 2f x x ϕ=+，代入点7π,212⎛⎫⎪⎝⎭得：7ππ22π122k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，解得：2π2π,3k k ϕ∈=-+Z ，又π<ϕ，所以2π3ϕ=-，故A 选项正确；则()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对B ：令()0f x =，得2π2π3x k -=，k ∈Z ，解得：ππ32k x =+，k ∈Z ，所以函数()f x 的零点为ππ32k x =+，k ∈Z ，故B 选项错误；对C ：因为()[]2π2sin 22,23f x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，又()()124f x f x ⋅=，即()12f x =，且()22f x =，则21π22T k x x k -=⋅=，k ∈Z ，所以C 选项正确；对D ：又00π37π232122x x f f ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎝⎭⎝⎭，即00π2π37π2π2sin 22sin 223321223x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⨯--=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则0000π2sin 3sin 2sin 3cos 2x x x x ⎛⎫+--=+= ⎪⎝⎭()0x θ+=，其中3tan 2θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故213cos 13θ=，所以0π2π2x k θ+=+，k ∈Z ，即0π2π2x k θ=+-，k ∈Z ，则0π213sin sin 2πcos 213x k θθ⎛⎫=+-==⎪⎝⎭，所以D 选项正确；故选：ACD.12.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()11nn n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和n T 满足22n T tn n >-对任意*n ∈N 恒成立，则下列命题正确的是（）A.21n a n =-B.当n 为奇数时，2322n T n n =-+-C.2284n T n n =+ D.t 的取值范围为(),2-∞-【答案】AC 【解析】【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥可判断A ；求出n b ，分n 为奇数、n 为偶数，求出n T 可判断BC ；分n 为奇数、为偶数，利用22n T tn n >-分离t ，再求最值可判断D.【详解】当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，适合上式，所以21n a n =-，故A 正确；所以()()()()1122111nnn n n b n a a n +=---+=，当n 为奇数时，123n nT b b b b =++++ ()()()()1335577923212121n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯++----+ ()()2437112341n n =⨯++++---⎡⎤⎣⎦()2323144122n n n +--=⨯⨯--2221n n =--+，故B 错误；当n 为偶数时，123n nT b b b b =++++ ()()()()1335577923212121n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯+---+-+ ()4371121n =⨯++++-⎡⎤⎣⎦ 321422n n+-=⨯⨯()22222n n n n =+=+，所以()()222222284n T n n n n =+=+，故C 正确；当n 为奇数时，n T =2221n n --+，若22n T tn n >-，则222212tn n n n ->-+-，即2222112-+=-+<t n n n，所以2min 12t n ⎛⎫<-+⎪⎝⎭，而2122n-+>-，即(],2t ∞∈--；当n 为偶数时，则22n T tn n >-得22222>-+n tn n n ，即2442+=+<t n n n ，而422n+>，即(],2t ∞∈-，综上所述，(],2t ∞∈--，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是分类讨论、分离参数求最值．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知平面向量()1,2a =-r ，()3,4b = ，那么b 在a上的投影向量坐标为______.【答案】()1,2-【解析】【分析】利用向量的运算和投影向量的计算公式即可.【详解】()3,4b =，所以5b == ，同理可得：a ==且13245a b =⨯-⨯=-r r g，·cos ,5a b a b a b==-，b 在a上的投影向量为：()cos ,1,2a b a b a a⨯⨯=-=- 故答案为：()1,2-14.已知函数()21e 12xf x ax =+-在()0,∞+上是增函数，则a 的最小值是______.【答案】e -【解析】【分析】由于()21e 12xf x ax =+-在()0,∞+上是增函数，则()e 0x f x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，可得以()e 0xf x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，即e x a x ≥-在()0,∞+上恒成立，令()e x h x x =-，求导确定单调性即可得最值从而可得a 的取值范围，即可得所求.【详解】因为函数()21e 12x f x ax =+-在()0,∞+上是增函数，所以()e 0xf x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，即e xa x≥-在()0,∞+上恒成立，令()e xh x x =-，()0,x ∈+∞，则()()2e 1x x h x x=-'-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，函数()h x 递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 递减，则()()max 1e h x h ==-，故e a -≥，所以a 的最小值是e -.故答案为：e -.15.购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则______种购物策略比较经济.【答案】乙【解析】【分析】设第一次和第二次购物时价格分别为12,p p ，每次购n kg ，根据条件，求得按甲策略购买的平均价格x ，若按第二种策略，设每次花钱m 元钱，则可求得按乙策略购买的平均价格y ，利用作差法，即可比较x ，y 的大小，进而可求得答案.【详解】设第一次和第二次购物时价格分别为12,p p ，按甲策略，每次购n kg ，按这种策略购物时，两次的平均价格121222p n p n p p x n ++==，按乙策略，第一次花m 元钱，能购物1kg m p 物品，第二次仍花m 元钱，能购物2kg m p 物品，两次购物的平均价格121222=11++m y m m p p p p =，比较两次购物的平均价格1212121212221122+p p p p p p x y p p p p ++-=-=-+221212121212()4()02()2()p p p p p p p p p p +--==≥++，因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，故答案为：乙.16.已知函数()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩若关于x 的方程()1f x a x =-，a ∈R 有4个不同的实数根，则a 的取值范围为______.【答案】(](61,3- 【解析】【分析】作出()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩与()1f x a x =-的图象，即可判断【详解】作出()2222ln ,1ln ,01ln ,0,43,1043,0,43,3143,3x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x ⎧>⎧⎪⎪-<≤⎪⎪>⎪⎪==++-<<⎨⎨++≤⎪⎪----≤≤-⎪⎪++<-⎪⎪⎩⎩的图象，因为,11,1ax a x y a x a ax x ->⎧=-=⎨-≤⎩的图象是过定点(1,0)，并且是绕着该点旋转的两条关于1x =对称的的射线.当0a =时，1y a x =-为x 轴，两函数图象只有3个交点，不符合题意.当a<0时，1y a x =-的是两条向下的射线，两图象只有1个交点，不符合题意.故0a >，先考虑[1,)+∞时两图象的交点情形，当1a =时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩,与|ln |y x =刚好只交于(1,0)点.证明如下：当1x ≥时，在点(1,0)处，由ln y x =，故1y x '=，令1x =，则1k =，所以切线方程为：1y x =-；当01x <≤时，在点(1,0)处，由ln y x =-，故1y x'=-，令1x =，则1k =-，所以切线方程为：1y x =-；所以当1a =时在(0,)+∞，两图象只有一个交点，此时考虑(,0)x ∈-∞，当3x <-，两函数图象必有一个交点，当0x =时，21|01|0403-<+⋅+，所以两函数图象在(1,0)-有一个交点，当31x -≤≤时，联立得221,340,Δ916043y x x x y x x =-⎧∴++==-<⎨=---⎩，无解，所以没有交点；所以当1a =时，只有3个交点，不合题意.当1a >时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩，两射线更加陡峭，两函数图象在1x >时，没有交点，在(0,1)有一个交点，则在(0,)+∞有两个交点，另外两个交点要在(,0)-∞取得，当2|01|0403a -<+⋅+，即3a ≤时，在(1,0)-和(,3)-∞-各一个交点；故在(1,3]a ∈时，两图象有4个交点.当1a <时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩，两射线趋于平缓，则两函数图象在(1,)+∞有一个交点，在(0,1)没有交点，则在(0,)+∞有2个交点，另两个必须在(,0)-∞取得，若y a ax =-与243y x x =---相切，则联立得222,(4)(3)0,Δ(4)4(3)043y a ax x a x a a a y x x =-⎧∴+-++==--+=⎨=---⎩，21240,642,1,642a a a a a ∴-+=∴=±<∴=- ；此时两函数图象在(,0)-∞有三个公共点.所以在6421a -<<时，两函数图象在(0,)+∞有2个交点，在(,0)-∞也有2个公共点，符合题意；当0642a <<-，两函数图象在(0,)+∞有2个交点，在(,0)-∞也有3个公共点，不符合题意；综上所述，a 的取值范围为(](642,1)1,3- .故答案为：(](642,1)1,3-四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数()3f x ax bx =+在1x =处有极值2.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[]2,3-上的最值.【答案】（1）1a =-，3b =（2）最小值是18-，最大值是2.【解析】【分析】（1）利用极值和极值点列方程求解即可；（2）根据导数求出函数的单调区间，然后比较极值和端点处函数值的大小即可.【小问1详解】()3f x ax bx =+，()23f x ax b '=+.∵函数()3f x ax bx =+在1x =处取得极值2，∴()12f a b =+=，()130f a b '=+=，解得1a =-，3b =，∴()33f x x x =-+，经验证在1x =处取得极大值2，故1a =-，3b =.【小问2详解】()()()311f x x x '=-+-，令()0f x ¢>，解得11x -<<，令()0f x '<，解得1x >或1x <-，因此()f x 在[)2,1--上单调递减，在()1,1-上单调递增，在(]1,3上单调递减，()()3181f f =-<-，故函数()f x 的最小值是18-，()()221f f -==，故函数()f x 的最大值是2.18.设函数()()π2πcos 12f x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的值域和单调递增区间；（2）当()135f α=，且π2π63α<<时，求cos 2α的值.【答案】（1）[]51,32,266k k ππππ⎡⎤--++⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z .（2）750-【解析】【分析】（1）根据辅助角公式和三角函数的图象与性质即可得到答案；（2）代入得4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再求出3cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式即可得到答案.【小问1详解】()πsin 12sin 13f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域是[]1,3-.令πππ2π2π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，解得5ππ2π2π66k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .【小问2详解】由()π132sin 135f αα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π2π63α<<，所以πππ23α<+<，所以π3cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2πππ4324sin 22sin cos 23335525ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⨯⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以222ππ37cos 22cos 12133525αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2π2π2π12π7cos 2cos 2cos 2sin 233323250αααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+⨯-++⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦19.已知0a >且1a ≠，函数()x x x x a a f x b a a---=++在R 上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 为奇函数；②()315f =-；③()315f -=-.（1）从中选择的两个条件的序号为______，依所选择的条件求得=a ______，b =______.（2）在（1）的情况下，关于x 的方程()4xf x m =-在[]1,1x ∈-上有两个不等实根，求m 的取值范围.【答案】（1）选择①②，12a =，0b =（2）172,20⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）通过单调性分析可知一定满足①②，进而结合奇偶性和()315f =-列方程求解即可；（2）参变分离可得()241241x x m =++-+，[]1,1x ∈-，41x r =+，换元转化为22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，进而结合对勾函数的单调性求解即可.【小问1详解】因为()x xx xa a f xb a a ---=++在R 上是单调递减函数，故②()315f =-，③()315f -=-不会同时成立，故函数一定满足①函数()f x 为奇函数.因为函数的定义域为R ，所以()00f =，则()10f <，()10f ->，故一定满足②.选择①②，()()0x x x xx x x x a a a a f x f x b b a a a a-------+=+++=++，即0b =，而()11315a a fb a a ---=+=-+，解得12a =.【小问2详解】由（1）可得()111422141122x xx x x x f x --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝=⎝⎭⎭，由()4x f x m =-，则14414x x x m -=-+，即()14244121441x x x x x m -=+=++-++，令41x r =+，因为[]1,1x ∈-，所以5,54r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，显然，函数()22g t t t =+-在54⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，所以()min 2g t g==，又517420g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1755g =，要使22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，则17220m -<≤，所以m的取值范围是172,20⎛⎤- ⎥⎝⎦.20.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，a =，2b =，且cos sin 3a C c A b +=.（1）求ABC ∠的正弦值；（2）BC ，AC 边上的两条中线AD ，BE 相交于点G ，求DGE ∠的余弦值.【答案】（1）7（2）266-【解析】【分析】（1）运用正弦定理对cos sin 3a C c Ab +=进行转化，得出角A ，再由正弦定理解出ABC ∠的正弦值；（2）运用余弦定理以及向量知识求出c 、BE 、AD 的值，根据题意得到G 为重心，从而得出AG 、BG ，进而得出DGE ∠的余弦值.【小问1详解】解：因为3cos sin 3a C c Ab +=，由正弦定理可得，sin cos sin sin sin 3A C C A B +=，即sin cos sin sin sin cos cos sin 3A C C A A C A C +=+，整理得sin sin cos sin 3C A A C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以sin cos 3A A =，即tan A =.又因为()0,πA ∈，所以π3A =.由正弦定理sin sin a b A B =，得32sin 212sin 7b A ABC a ⨯∠===.【小问2详解】由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，即22212222c c =+-⨯⨯⨯，所以3c =.在ABE 中，由余弦定理得22213213cos 607BE =+-⨯⨯⨯︒=，则BE =.在ABC 中，2AB AC AD += ，所以222219223421922444AB AB AC AC AB AC AD +⨯⨯⨯++⋅+⎛⎫+==== ⎪⎝⎭，解得192AD =.由AD ，BE 分别为边BC ，AC 上的中线可知G 为ABC 的重心，可得233BG BE ==，233AG AD ==.在ABG中，由余弦定理得222cos 2266GA GB AB AGB GA GB +-∠==-⋅，又因为AGB DGE ∠=∠，所以cos cos 266DGE AGB ∠=∠=-.21.数列{}n a 满足1231111123n n a a a a a n+++++=-L ，*n ∈N ，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设121321n n n n n S a a a a a a a a --=⋅+⋅+⋅++⋅ ，13n n b S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2024n m T <对任意*n ∈N 都成立的最小正整数m .（参考公式：()()22221211236n n n n ++++++=，*n ∈N ）【答案】（1）n a n=（2）1012【解析】【分析】（1）先写出12311111231n n a a a a a n -++++=-- ，结合题中条件的式子，两式相减可得出n a 与1n a +之间的递推关系，从而解决问题；（2）先分析出121321n n n n n S a a a a a a a a --=⋅+⋅+⋅++⋅ 中各项所满足的通项公式，根据通项公式求解出n S ，裂项求解出n T ，从而求解出满足题意m 的值.【小问1详解】解：1231111123n n a a a a a n+++++=-L ，当2n ≥时，12311111231n n a a a a a n -++++=-- ，作差，得11n n n a a a n +=-，即11n n a a n n +=+.因为11a =，22a =，所以2121a a =，满足11n n a a n n +=+，即n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，即1n a n =，n a n =.【小问2详解】由题意，()()121321n S n n n n =⋅+⋅-+⋅-++⋅ ，即()()()12123131n S n n n n n n =⋅+⋅+-+⋅+-++⋅+- .设()21k d k n k kn k k =+-=+-，1,2,3,,k n = ，则()()()222121231212n n S d d d n n n n =+++=++++++++-+++ ()()()()()()11121122266n n n n n n n n n n n ++++++=⋅+-=，()()()()()1211312112n n b S n n n n n n n ===-+++++，()()()()()111111111122323341122122n T n n n n n n =-+-++=-<⨯⨯⨯⨯+++++ .因为2024n m T <对任意*n ∈N 都成立，所以120242m ≥，即1012m ≥，m 的最小值为1012.22.设函数()e x f x ax =-，a ∈R ，()cos sin e xx x g x -=.（1）讨论()g x 在区间()0,π上的单调性；（2）若()()2f x g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增（2）(],2-∞.【解析】【分析】（1）求导得到()2cos ex x g x -'=，再分别解不等式()0g x '<和()0g x '>，即可得到()g x 在区间()0,π上的单调性；（2）根据条件得到0x ≥时，2sin cos e 20e x x x x ax -+-≥，构造函数()2sin cos e 2e x x x x h x ax -=+-（0x ≥），求导得到()22cos 2e 2ex x x h x a '=+-，再利用导数研究函数的单调性，从而得到()h x '在[)0,∞+上单调递增和()()042h x h a ''≥=-分类讨论2a ≥和2a <即可求解.【小问1详解】由题意得：()2cos e xx g x -'=，()0,πx ∈.由()0g x '<，得π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()0g x '>，得π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.【小问2详解】由0x ≥时，()()2f x g x ≥，得2cos sin e 2e x x x x ax --≥，即2sin cos e 20ex x x x ax -+-≥.设()2sin cos e 2e x x x x h x ax -=+-，0x ≥，则()22cos 2e 2ex x x h x a '=+-，设()()x h x ϕ='，则()32π4e 2sin 2cos 44e e e x x x xx x x x ϕ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭'=+=当[)0,x ∈+∞时，34e 4x ≥，π4x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭()0x ϕ'>，所以()x ϕ即()h x '在[)0,∞+上单调递增，则()()042h x h a ''≥=-.①当2a ≤时，则()()0420h x h a ''≥=-≥，所以()h x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00h x h ≥=恒成立，符合题意.②当2a >时，则()0420h a '=-<，且x →+∞时，()h x '→+∞，则必存在正实数0x 满足当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 在()00,x 上单调递减，此时()()000h x h <=，不符合题意.综上，a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】关键点睛：利用导数证明不等式时，一般需要对结论进行合适的转化，本题转化为只需证明()2sin cos e 2e x xx x h x ax -=+-在[)0,∞+上的最小值大于0即可，对不等式适当变形，构造函数是解决问题的第二个关键所在，一般需利用导数研究函数的单调性及最值，.。

2021年高三数学10月月考试卷文（含解析）新人教A版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合那么集合等于（）A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】试题分析：，，故答案为C．考点：集合的并集．2．求的值是（）A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】试题分析：．考点：三角函数求值．3．函数且的图象一定过定点（）A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】试题分析：令，此时，所以得点与无关，所以函数且的图象过定点．考点：指数函数的性质．4．曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：，，曲线在点处的切线的斜率，切线方程为．考点：导数的几何意义．5．命题“，”的否定是（）A．， B．，C ．，D ．， 【答案】D 【解析】试题分析：命题“，”是全称命题，命题“，”的否定是， ． 考点：命题的否定．6．下列函数在定义域内为奇函数的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】试题分析：由奇函数的定义可知：，所以选A 考点：函数的性质． 7．计算 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】 试题分析：考点：对数运算． 8．在中，，．若点满足，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意可得：()a b AB AC AB AC AB BC AB BD AB AD 313231323232+=+=-+=+=+=，故答案为D ．考点：向量表示．9．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点 A ．横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B ．横坐标缩短到原的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C ．横坐标缩短到原的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D ．横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 【答案】A 【解析】试题分析：因为，所以横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）得到函数的图像，再向左平行移动个单位长度得到函数的图像，所以选A ． 考点：图像平移．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）10．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意可得：22121121==⇒=⇒⨯=⇒=rll l lr s α． 考点：扇形的面积公式．11．已知命题，命题成立，若“”为真命题，则实数m 的取值范围是_ _ ． 【答案】 【解析】试题分析：因为命题成立，所以； 又因为“”为真命题，所以． 考点：命题间的关系． 12．求值：23456cos coscos cos cos cos 777777ππππππ=_ _ ． 【答案】 【解析】 试题分析：原式7cos72cos 73cos 73cos 72cos 7cos 76cos 75cos 74cos 73cos 72cos 7cos ππππππππππππ-=7sin 473cos 72cos 72sin 7sin 73cos 72cos 7cos 7sin 73cos 72cos 7cos 222222222222ππππππππππππ-=-=-=6417sin 4447sin 7sin 44478sin 7sin 4474cos 74sin 2222222-=⨯⨯-=⨯⨯-=⨯-=πππππππ．考点：三角求值．13．已知下列给出的四个结论①命题“若,则方程有实数根”的逆否命题为“若方程 无实数根,则≤0”； ②；③在△ABC 中,“”是“”的充要条件； ④设则是为偶函数”的充分而不必要条件；则其中正确命题的序号为_________________（写出所有正确命题的序号）． 【答案】①②④【解析】试题分析：命题“若,则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根,则≤0”，①正确；②正确；在中，，反之或③错误；为偶函数，反之为偶函数,所以④正确．考点：命题真假的判断．三、解答题（题型注释）14．（1）已知中，分别是角的对边，，则等于多少？（2）在中，分别是角的对边，若，求边上的高是多少？【答案】（1）或；（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理列出关系式，把的值代入公式求出的值，即可确定的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把的值代入公式求出的值，利用三角形的面积公式即可求出边上的高．试题解析：（1）由正弦定理：，则：，解得：又由于是三角形中的角，且由于，于是：或（2）由余弦定理：，所以由面积公式，解得：考点：正、余弦定理的应用．15．已知函数，（1）求函数的极值；（2）若对，都有≥恒成立，求出的范围；（3），有≥成立，求出的范围；【答案】（1）极大值是，极小值是；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）利用导数求函数的极值即：先求函数的导数，再列表观察；由题意可得：只要满足即可，利用导数求函数的极值，进而比较得出函数的最大值;由题意可得：只要满足即可，利用导数求函数的极值，进而比较得出函数的最小值．试题解析：（1），解得，因此函数的极大值是，极小值是．（2）因为，所以，，因此由（1）可知：函数在区间的最大值是，最小值是，所以．由（2）得：函数在区间的最大值是，最小值是，所以，所以．考点：函数的极值问题以及恒成立问题．16．已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+， （1）求函数的对称轴所在直线的方程；（2）求函数单调递增区间． 【答案】（1）；（2） 【解析】 试题分析：（1）利用两角和、差的余弦公式和降幂公式化简，得到的形式； 根据得出函数的对称轴；（3）把看作一个整体代入相应的单调范围即：，注意首先应把化为正数,这也是容易出错的地方． 试题解析：（1）ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+1111(cos )(cos )sin 22224x x x x x =+-+令，解得，（2）由 ,得函数的 单调递增区间为考点：三角函数的化简及性质．17．某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0．5，其它费用为每小时1250元．（1）请把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数,并指明定义域； （2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【答案】（1）；（2）50． 【解析】 试题分析：（1）利用轮船每小时的燃料费与轮船的速度成反比且比例系数为0．5，其它费用为每小时1250元，可得全程运输成本与速度的函数；（2）根据导数确定函数的单调性，即可求出当速度达到多少时可使全程运输成本最小． 试题解析： （1）由题意得：2600750000(12500.5)300y x x x x=+=+，即：（2）由（1）知，令，解得,或（舍去）． 当时，，当时，，因此，函数，在处取得极小值，也是最小值．故为使全程运输成本最小，轮船应以海里/小时的速度行驶．考点：函数性质的应用． 18．（1）在中，分别是角的对边，其中是边上的高，请同学们利用所学知识给出这个不等式：≥的证明．（2）在中，是边上的高，已知，并且该三角形的周长是；①求证：；②求此三角形面积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 试题分析：（1）首先利用分析法证明可以得到≥，然后再利用正余弦定理和面积公式可得≥进而整理即可；（2）利用（1）的结论及三角的和与差的正弦公式转换得到，即可证明，最后利用三角形的面积公式求得结果． 试题解析：要证明：，即证明：，利用余弦定理和正弦定理即证明：，即证明：222222sin C 2(1cos C)2(1cosC)(1cosC)ab ab ab c c c -+-==，因为， 即证明：，完全平方式得证． （2）、 ，使用正弦定理，． ，解得：， 于是：，最大值考点：正、余弦定理的应用． 19．已知函数．（1）判断的单调性；（2）求函数的零点的个数； （3）令，若函数在（0，）内有极值，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增;（2）2；（3） 【解析】 试题分析：（1）首先表示出函数的解析式，然后根据导数判断单调性即可；（2）首先确定函数的定义域，并利用导数研究函数的单调性，结合函数的特殊值，由函数的零点存在性定理可判断零点的个数； 首先确定函数的定义域，化简其解析式并求其导数，根据可导函数极值存在的条件将问题转化为的导数在（0，）内有零点，然后再用一元二次方程根的分布理论去求解． 试题解析：（1）设， ，所以在上单调递增； 由（1）知：，且在上单调递增， 所以在上有一个零点， 又，显然是的一个零点， 所以在上有两个零点； 因为=， 所以， 设，则有两个不同的根，且一根在内, 不妨设，由于，所以, 由于,则只需，即 解得考点：函数的单调性、零点存在的判断以及性质的综合应用．26723 6863 档32358 7E66 繦28871 70C7 烇FL x Y 3807894BE 钾27447 6B37 欷:@。