鄂州高中必修五解三角形测试题

高中数学必修5解三角形测试题及答案一、选择题：〔每题 5分，共60分〕1．在VABC 中，AB 3,A 45,C 75，那么BC=A ．33 B ． 2C ．2D ．3 32．以下关于正弦定理的表达或变形中错误的选项是．．A ．在VABC 中,a:b:c=sinA:sinB:sinCB ．VABC 中,a=bsin2A=sin2Ba =b+cC ．VABC 中,sin AsinB+sinCD ．VABC 中,正弦值较大的角所对的边也较大sinAcosB B 的值为3．VABC 中,假设 a,那么bA ．30B ．45C ．60D ．90ab c，那么VABC 是4．在VABC 中，假设 =cosCcosAcosBA ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形5．以下命题正确的选项是A ．当a=4,b=5,A=30时，三角形有一解。

B ．当a=5,b=4,A=60时，三角形有两解。

A 〕B 〕B 〕〔B 〕．等腰直角三角形D 〕C ．当a= 3,b=2,B=120时，三角形有一解。

D ．当a=3 6,A=60时，三角形有一解。

2,b=26．ABC 中,a=1,b=3,∠A=30°,那么∠B 等于〔 B 〕A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°7． 符 合 下 列 条 件 的 三 角 形 有 且 只 有 一 个 的 是〔 D〕A ．a=1,b=2,c=3B ．a=1,b=2,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100°D ．b=c=1,∠B=45°8． 假设 (a+b+c)(b+c － a)=3abc, 且sinA=2sinBcosC, 那 么 ABC 是〔 B〕A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A=,a= 3,b=1，3c=那么(B)(A)1(B)2(C)3－1(D)3uur10．〔2021 重庆理〕设ABC 的三个内角A,B,C ，向量m ( 3sinA,sinB)，ruurr1cos(AB)，那么C =〔n(cosB,3cosA)，假设mgnC 〕A ．B ．25C ．D ．66 3 311．等腰△ABC 的腰为底的2倍，那么顶角A 的正切值是〔 D 〕Ａ． 3Ｂ．3Ｃ． 15Ｄ．1528712．如图：D,C,B 三点在地面同一直线上 ,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),那么A 点离地面的高度 AB 等于〔A 〕Aasin sinasin sin A ．)B ．)sin(cos(asin cosacos sin C ．)D ．)sin(cos(αβBD C题号 1234567891011 12答案二、填空题：〔每题 5分，共 20分〕13．a 2，那么 abc _______2_______sinAsinBsinA sinC14．在ABC 1 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.中，假设S ABC =4415．〔广东2021理〕点A,B,C 是圆O 上的点， 且AB4, ACB450 ，那么圆O 的面积等于8．rrr rrr16．a2,b4,a 与b 的夹角为3，以a,b 为邻边作平行四边形，那么此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____2 3________三、解答题：〔 17题10分，其余小题均为 12分〕17．在ABC 中，c 2,b2 3 ,B450，解三角形ABC 。

解三角形测试题一、选择题：1、 ABC 中 ,a=1,b=3 , ∠A=30 ° ,则∠ B 等于（）A ．60°B ． 60°或 120°C ． 30°或 150°D ． 120°2、切合以下条件的三角形有且只有一个的是（）A ． a=1,b=2 ,c=3B ． a=1,b= 2 ,∠ A=30 °C ． a=1,b=2,∠ A=100 °C ． b=c=1, ∠ B=45 °3、在锐角三角形 ABC 中，有（）A ． cosA>sinB 且 cosB>sinA B ． cosA<sinB 且 cosB<sinAC ． cosA>sinB 且 cosB<sinAD ． cosA<sinB 且 cosB>sinA4、若 (a+b+c)(b+c －a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么 ABC 是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5、设 A 、B 、C 为三角形的三内角 ,且方程 (sinB － sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC － sinB)=0 有等根，那么角 B（）A ．B>60°B ．B ≥60°C ． B<60 °D ．B ≤60°6、知足 A=45,c= 6,a=2 的△ ABC 的个数记为 m,则 a m 的值为（）A ． 4B ． 2C ． 1D ．不定7、如图： D,C,B 三点在地面同向来线上,DC=a, 从 C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α (α <β),则 A 点离地面的高度AB 等于 （）a sin sin asinsinAA ．)B ．)sin(cos(DCBC ．a sin cos a cos sinsin(D ．cos())8、两灯塔 A,B 与大海察看站C 的距离都等于 a(km), 灯塔 A 在C 北偏东30°,B 在 C 南偏东 60° ,则 A,B 之间的相距（）A ． a (km)B ．3 a(km)C ．2 a(km)D ． 2a (km)二、填空题：9、A 为ABC 的一个内角 ,且 sinA+cosA=7ABC 是______ 三角形 ., 则1210、在 ABC 中， A=60 °, c:b=8:5, 内切圆的面积为 12π,则外接圆的半径为 _____. 11、在ABC 1中，若 S ABC =(a 2+b 2－ c 2),那么角∠ C=______.412、在ABC31中， a =5,b = 4,cos(A －B)=,则 cosC=_______.32三、解答题： 13、在ABC 中 ,求分别知足以下条件的三角形形状：① B=60 ° ,b 2=ac ；② b 2tanA=a 2tanB ； ③ sinC=sin A sin B④ (a 2－ b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A － B).cos A cos B14、已知ABC 三个内角1 1= －2 A 、 B 、 C 知足 A+C=2B,+, 求cos AcosCcos BcosAC的值.215、二次方程ax2－ 2 bx+c=0,此中a、b、c是一钝角三角形的三边,且以 b 为最长 .①证明方程有两个不等实根；②证明两个实根α,β都是正数；③若 a=c,试求 |α－β |的变化范围 .16、海岛O 上有一座海拨1000 米的山 , 山顶上设有一个察看站A, 上午11 时 ,测得一轮船在岛北60°东 C 处 ,俯角30° ,11 时 10 分 ,又测得该船在岛的北60°西 B 处 ,俯角 60° .①这船的速度每小时多少千米？②假如船的航速不变,它何时抵达岛的正西方向？此时所在点 E 离岛多少千米？参照答案解三角形一、 BDBBD AAC二、（ 9）钝角（ 10）143（ 11）（ 12）1 348三、（ 13）剖析：化简已知条件，找到边角之间的关系，便可判断三角形的形状. ①由余弦定理cos 60 a 2c2b2a2 c 2b21 a 2c2ac ac( a c) 20 ，2ac2ac2a c .由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形.②由b 2 tan A a 2tan B b 2 sin Acos Aa 2 sin B sin B cos A b2sin 2 Bsin Acos A sin B cos B,sin 2 A sin 2B, cos B sin A cosB a2sin 2 A∴ A=B 或 A+B=90 °，∴△ ABC 为等腰△或 Rt△.③sin C sin Asin B ，由正弦定理：cos A cos Bc(cos A cos B)a b, 再由余弦定理：a2b2 c 2a2 c 2 b 2a b c2bcc2ac(a b)( c 2a22)0,c2a22,ABC为Rt .④由条件变形为sin( A B)a2 b 2b bsin( A B)a2b2sin( A B)sin( A B)a2,sin Acos B sin 2Asin 2 A sin 2B,或.sin( A B)sin( A B)b2cos Asin B sin 2B ABAB90∴△ ABC是等腰△或 Rt△.评论：这种判断三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理或余弦定理将已知条件转变为只含边的式子或只含角的三角函数式，而后化简观察边或角的关系，进而确立三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至能够混用.如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试一试看.（14）剖析：A C2B,B60,A C120再代入三角式解得 A或 C.解：A C2B,180B2B,B60 .A C120 .∴由已知条件化为：1122.cos(120A)cos A22cos(120A)cos Acos Acos(120A),设A C, 则A60, C60.代入上式得：cos(60) 2cos(60) 2 2 cos(60) cos(60) .化简整理得42 cos22cos3 2 0( 2 cos2)( 22 cos3)0,cos2,即 cos AC2.注：此题有多222种解法 . 即能够从上式中消去B、C 求出cosA，也能够象本例的解法 .还能够用和、差化积的公式，同学们能够试一试 .（ 15）剖析：证明方程有两个不等实根，即只需考证△＞0 即可 .要证α，β为正数，只需证明α β＞ 0 ，α + β＞ 0即可.解：① 在钝角△ ABC中，b边最长 . 1 cos B0且 b2 a 2c22ac cos B,(2b) 24ac2b 24ac2(a2c22ac cosB) 4ac2(a c)24ac cos B0. （此中2( a c) 2且4ac cos B0∴方程有两个不相等的实根. ②2b0,c0,∴两实根α、β都是正数 .a a2b2b2③ a=c 时， a ,() 2 a 222() 244c a21a2(a 2 c 22ac cos B) 4a 24 cos B,1cos B0,0 4 cos B4,所以 0|| 2 .a 2（ 16）剖析：这是一个立体的图形，要注意绘图和空间的简单感觉.解：①如图：所示. OB=OA tan 303(千米 )， OC 3 （千米）3则 BC OB 2OC 22OB OC cos12013（千米）3船速 v 131039 （千米/小时）3260②由余弦定理得：cos OBC OB 2BC 2OC 2 5 13,sin EBO sin OBC2OB BC261 (5 13)2339,cos EBO5 13,sin OEB sin[180( EBO30 )]262626sin(EBO30 )sin EBO cos30cos EBO sin 3013 .13再由正弦定理，得OE=1.5 （千米），BE 39 (),BE5（分钟） . 6千米v答：船的速度为 239 千米/小时；假如船的航速不变，它 5 分钟抵达岛的正西方向，此时所在点 E离岛千米.。

一、选择题1．在ABC 中，内角,A ,B C 的对边分别为,a ,b c ，已知3b =，22cos c a b A -=，则a c +的最大值为（ ）A ．3B ．23C ．32D ．22．在△ABC 中，若2223a c b ab -+=，则C ＝( )． A ．45°B ．30°C ．60°D ．120°3．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π4．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2a B c=，21sin sin (2cos )sin 22A B C A -=+，则A =（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 5．如图所示，在DEF 中，M 在线段DF 上，3DE =，2DM EM ==，3sin 5F =，则边EF 的长为（ ）A ．4916 B ．15716C ．154D 576．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值是 A ．518B ．34C ．32D ．787．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知3a =cos sin b A B =，则A =（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 8．已知锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22sin sin sin sin B A A C -=⋅，3c =，则a 的取值范围是（ ）A ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,2C ．()1,3D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭9．在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，3ABCS =，则2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）A ．263B ．239C ．83D ．2310．在ABC 中，tan sin 2A BC +=，若2AB =，则ABC 周长的取值范围是( ) A ．(2,22⎤⎦ B ．(22,4⎤⎦C ．(4,222⎤+⎦D ．(222,6⎤+⎦11．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22b c ac =+，则角C 的取值范围是（ ） A ．π(0,)4B ．ππ(,)42C ．ππ(,)43D ．π,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭12．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15，山脚A 处的俯角为45，已知60BAC ∠=，则山的高度BC 为（ ）A ．700mB ．640mC ．600mD ．560m二、填空题13．在ABC 中，2a =，3b =，1cos 3C =，则ABC 的外接圆半径为___________. 14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得45m CD =，135ADB ∠=，15BDC DCA ∠=∠=，120ACB ∠=，则A 、B 两点的距离为______m .15．在ABC 中，6B π=，D 为边AB 上的一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACD 的面积为15，则BC =_____________.16．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC 的面积为S ，若,,B A C 成等差数列，3cos cos 3S a B b A =+，3c =，则a =__________. 17．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a +c ＝2b ，3sin B ＝5sin A ，则C ＝_____．18．在相距3千米的A ，B 两个观察点观察目标点C ，其中观察点B 在观察点A 的正东方向，在观察点A 处观察，目标点C 在北偏东15︒方向上，在观察点B 处观察，目标点C 在西北方向上，则A ，C 两点之间的距离是______千米．19．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，若()231a b b a +=，1c =3a b -的取值范围是______.20．在ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠所对的边长分别为a ，b ，c .设a ，b ，c 满足222b c bc a +-=和132c b =，则tan B =______ 三、解答题21．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；（2）若ABC 的面积43ABCS=a 的取值范围.22．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C +c cos A（1）求角B 的大小；（2）若线段BC 上存在一点D ，使得AD ＝2，且AC 6=，CD 3=-1，求S △ABC .23．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．若272,cos 7b c C -==，再从条件①与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题： （1）求,b c 的值；（2）求角A 的值及ABC 的面积． 条件①：7cos cos 14a B b A ac +=；条件②：72cos 27b C ac =-． 24．如图所示，某镇有一块空地OAB ，其中3km,60,90OA OAM AOB =∠=∠=.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=，挖出的泥土堆放在OAM △地带上形成假山，剩下的OBN△地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN 的周围安装防护网.设AOM θ∠=.（1）当3km 2AM =时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；（2）若=15θ，问此时人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的多少倍？（3）为节省投入资金，人工湖OMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN 的面积最小？最小面积是多少？25．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知1b =，面积28sin a S A=，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）6B π=;（2）B C =.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26．已知半圆O 的直径MN 为2，A 为直径延长线上一点，且2OA =.B 为半圆周上任意一点，以AB 为边，作等边ABC ，角AOB 等于何值时，四边形OACB 的面积最大?最大面积为多少?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由正弦定理化边角，利用诱导公式两角和的正弦公式化简可得B 角，然后用余弦定理得2()33a c ac +-=，再利用基本不等式变形后解不等式得a c +的最大值．【详解】因为22cos c a b A -=，所以由正弦定理得，2sin sin 2sin cos C A B A -=，因为A B C π+=-，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B A B A +-=，化简得(2cos 1)sin 0B A -=，因为sin 0A ≠，所以2cos 10B -=，解得1cos 2B =，因为(0,)B π∈，所以3B π=，因为b =222232cos a c ac B a c ac =+-=+-，所以2()33a c ac +-=，所以222313()()()44a c a c a c ≥+-+=+，当且仅当a c =时取等号，所以a c +≤a c +的最大值为故选：B ． 【点睛】方法点睛：本题考查主要正弦定理、余弦定理，在三角形问题中出现边角关系时可用正弦定理化边为角，然后由利用三角函数恒等变换公式如诱导公式，两角和与差的正弦公式等化简变形得出所要结论．2．B解析：B 【分析】根据余弦定理，可以求出C 角的余弦值，进而根据C 为三角形内角，解三角方程可以求出C 角．【详解】∵222a c b -+=，∴2222a b c cosC ab +-==又∵C 为三角形内角 ∴30C =︒. 故选B ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题．3．D解析：D 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．C解析：C 【分析】先利用余弦定理化简条件得sin sin B C =，再利用三角恒等变换即求得B ，C ，再求A 角. 【详解】∵cos 2a B c =，∴22222a c b aac c+-=，解得b c =，∴sin sin B C =． ∵212cos sin sin (2cos )sin222A AB C A --=+=，易知2cos 0A -≠，∴1sin sin 2B C =，又sin sin B C =，∴sin sin 2B C ==，即4B C π==，∴2A π=.故选：C ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的综合，属于中档题.5．D解析：D 【分析】利用余弦定理求得cos EMD ∠，由此求得cos EMF ∠，进而求得sin EMF ∠，利用正弦定理求得EF . 【详解】在三角形DEM 中，由余弦定理得2222231cos 2228EMD +-∠==-⨯⨯，所以1cos 8EMF ∠=，由于0EMF π<∠<，所以sin EMF ∠==. 在三角形EFM中，由正弦定理得283sin sin 45EF EMEF EMF F=⇒==∠. 故选：D 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.6．D解析：D 【解析】设顶角为C ，∵l=5c ， ∴a=b=2c ，由余弦定理得：222222447cos 22228a b c c c c C ab c c +-+-===⨯⨯． 故答案为D.7．D解析：D 【分析】由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B =,1cos A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=,由正弦定理有sin sin a b A B=, 又a =即1sin cos A A=.所以tan A =因为A 为ABC 的内角，则3A π=.故选：D 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.8．D解析：D 【分析】由正弦定理可得三边的关系，再由余弦定理可得312cos a B=+，结合三角形为锐角三角形可得a 的取值范围. 【详解】∵22sin sin sin sin B A A C -=⋅， ∴由正弦定理可得22b a ac -=，∵由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2222cos a c ac B a ac +-=+， 又3c =，∴可得312cos a B=+，∵锐角ABC 中，若B 是最大角，则B 必须大于 3π，所以,3B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以1cos 02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题.9．B解析：B 【分析】由三角形的面积公式可得，4c =，再由余弦定理可得a =，最后由正弦定理可得结果.11c sin6042︒=⋅⋅⋅=∴=ABCSc由余弦定理可得：22212cos 1612413,2=+-=+-⨯⨯=∴=a b c bc A a由正弦定理可得：2sin sin sin 2sin sin ++=====++a b c a b c sinA B C A B C 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题目. 10．C解析：C 【解析】由题意可得：cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 则：21sin22C =，即：1cos 1,cos 0,222C C C π-=∴==. 据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则：()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，据此有：a b +≤△ABC的周长：2a b c ++≤+ 三角形满足两边之和大于第三边，则：2,4a b a b c +>∴++>， 综上可得：ABC周长的取值范围是(4,2+. 本题选择C 选项.11．D解析：D 【分析】由22b c ac =+，并结合余弦定理，可求得2cos c a c B =-，进而结合正弦定理可得sin sin 2sin cos C A C B =-，由()sin sin A B C =+，代入并整理得sin C ()sin B C =-，结合△ABC 为锐角三角形，可得出2B C =，从而可得π02ππ2B BC ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即可求出答案.由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B c ac +-=+，即2cos c a c B =-， 由正弦定理可得，sin sin 2sin cos C A C B =-， 又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+， 所以sin sin cos sin cos 2sin cos C B C C B C B =+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-，因为π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,22B C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以C B C =-，即2B C =.在锐角△ABC 中，π02ππ2B B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即π022π3π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ64C <<.故选：D. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】可知ADM ∆为等腰直角三角形，可计算出AM 的长度，在ACM ∆中，利用正弦定理求出AC 的长度，然后在ABC ∆中，利用锐角三角函数求出BC ，即可得出答案.【详解】根据题意，可得在Rt ADM ∆中，45MAD ∠=，400DM =，所以，sin 45DMAM ==因为在ACM ∆中，451560AMC ∠=+=，180456075,AMC ∠=--=180756045ACM ∠=--=，由正弦定理，得sin sin AM AMCAC ACM∠===∠在Rt ABC∆中，()sin 600BC AC BAC m =∠==，故选C. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用余弦定理求出并求出再利用正弦定理可求得的外接圆半径【详解】由余弦定理可得则为锐角所以因此的外接圆半径为故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使用解析：8【分析】利用余弦定理求出c，并求出sin C，再利用正弦定理可求得ABC的外接圆半径.【详解】由余弦定理可得3c===，1cos3C =，则C为锐角，所以，sin3C==，因此，ABC的外接圆半径为2sin8crC===.故答案为：8.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14．【分析】在中利用正弦定理计算出分析出为等腰三角形可求得然后在中利用余弦定理可求得【详解】在中在中由正弦定理可得在中由余弦定理可得因此故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边解析：【分析】在BCD△中，利用正弦定理计算出BD，分析出ACD△为等腰三角形，可求得AD，然后在ABD △中，利用余弦定理可求得AB . 【详解】在ACD △中，150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=，15DCA ∠=，15DAC ∴∠=，()45AD CD m ∴==，在BCD △中，15BDC ∠=，135BCD ACB ACD ∠=∠+∠=，30CBD ∴∠=，由正弦定理可得sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，)45212BD m ⨯∴==，在ABD △中，()45AD m =，)BD m =，135ADB ∠=， 由余弦定理可得22222cos 455AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=⨯，因此，)AB m =.故答案为： 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.15．【分析】先由面积公式求出即得再由余弦定理求出进而利用正弦定理求出再在中利用正弦定理即可求出【详解】在中解得是锐角三角形则由余弦定理可得即则在中由正弦定理可得即则则在中即解得故答案为：【点睛】本题考查【分析】先由面积公式求出sin ACD ∠，即得cos ACD ∠，再由余弦定理求出AD ，进而利用正弦定理求出sin A ，再在ABC 中利用正弦定理即可求出. 【详解】 在ACD △中，11sin 42sin 22ACDS AC CD ACD ACD =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠=解得sin ACD ∠=ACD △是锐角三角形，1cos 4ACD ∴∠=,则由余弦定理可得222142242164AD =+-⨯⨯⨯=，即4AD =， 则在ACD △中，由正弦定理可得sin sin AD CDACD A=∠2sin A =，则sin A =则在ABC 中，sin sin BC ACA B=412=，解得BC =.【点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的应用，解题的关键是先在ACD △中，利用面积公式和正余弦定理解出sin A .16．【分析】由三角形内角和为及内角的等差关系可得再由面积公式和正弦定理可得再由余弦定理可得解【详解】由成等差数列可知即解得由可知根据正弦定理知即因此由余弦定理得故故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形【分析】由三角形内角和为π及内角的等差关系可得3A π=，再由面积公式和正弦定理可得4b =，再由余弦定理可得解.【详解】由,,B A C 成等差数列可知2A B C =+，即3A π=，解得3A π=.cos cos S a B b A =+1sin cos cos 2ab C a B b A =+，1sin sin sin cos 2A b C AB ⋅=sin cos sin B AC +=，即sin b A =4b =，由余弦定理得22212cos 169243=132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯，故a =.【点睛】本题主要考查了解三角形的相关知识，涉及等差中项的应用，属于基础题.17．【分析】由正余弦定理可得的余弦值进而求出的值【详解】因为则由正弦定理可得所以又所以由余弦定理可得又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用考查了运算能力属于中档题 解析：23π 【分析】由正余弦定理可得C 的余弦值，进而求出C 的值. 【详解】因为3sin 5sin B A =，则由正弦定理可得35b a =，所以35a b =， 又2a c b +=，所以725c b a b =-=，由余弦定理可得22222294912525cos 32225b b b a bc C ab b b+-+-===-⋅⋅， 又因为(0,)C π∈， 所以23C π=， 故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题．18．【分析】在中则再由正弦定理列出方程即可求解【详解】由题设可知在中所以由正弦定理得即解得故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用其中解答中熟练应用正弦定理列出方程是解答的关键着重考查运算与求【分析】在ABC 中，75CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，则60ACB ∠=︒，再由正弦定理列出方程，即可求解. 【详解】由题设可知，在ABC 中，75CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，所以60ACB ∠=︒， 由正弦定理得sin sin AB AC ACB CBA =∠∠，即3sin 60sin 45AC=，解得AC =．. 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中熟练应用正弦定理，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.19．【分析】根据结合余弦定理可得再根据正弦定理将化简成关于的三角函数表达式再根据锐角求得的取值范围结合三角函数的性质求解值域即可【详解】因为故所以又锐角故由正弦定理所以又锐角故解得即故故答案为：【点睛】解析：(【分析】根据()21a b b +=，结合余弦定理可得6C π=b -化简成关于A 的三角函数表达式，再根据锐角ABC 求得A 的取值范围，结合三角函数的性质求解值域即可. 【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+.所以222cos 2a b c C ab +-===.又锐角ABC ，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112cos 2cos 2sin 226A A A A A A π⎫⎫⎛⎫=-=-=-⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭. 又锐角ABC ，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，即663A πππ<-<.(2sin 6b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：( 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用、边角互化求取值范围的问题，需要将所给的边的表达式利用正弦定理转换为角的表达式，同时结合角度的范围求解.属于中档题.20．【分析】先利用余弦定理求得再由正弦定理结合已知条件求得的关系式求得即可【详解】由得又因为得由正弦定理得又因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用属于中档题 解析：12【分析】先利用余弦定理求得3A π=，再由正弦定理()sin sin sin sin A B c C b B B+==结合已知条件，求得tan B 的关系式，求得tan B 即可.【详解】由222b c bc a +-=得2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为()0A π∈，得3A π=.由正弦定理，得()sin sin sin sin A B c C b B B +==sin cos cos sin 1sin 2tan 2A B A B B B +==+又因为12c b =+，所以1=2tan 2B +12+1tan 2B =. 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用，属于中档题.三、解答题21．（1）π3；（2）[)4,+∞. 【分析】（1）由条件和正弦定理化简得到2cos sin sin 0A C C -=，求得1cos 2A =，即可求解； （2）由（1）和三角形的面积公式，求得16bc =，结合余弦定理和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为22cos b c a C -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C -=， 又()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣，所以()2sin cos cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +-=， 所以2cos sin sin 0A C C -=，因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =， 因为()0,πA ∈，所以，π3A =. （2）由（1）知π3A =，所以11πsin sin 223ABC S bc A bc ====△16bc =，由余弦定理得22222π2cos 2cos3a b c bc A b c bc =+-=+- 22216b c bc bc bc bc =+-≥-==，当且仅当4b c ==时取等号，所以216a ≥， 因为0a >，所以a 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.22．（1）3π；（2）32+. 【分析】（1）由2b cos B ＝a cos C +c cos A ，利用正弦定理与两角和的正弦公式算出2sin B cos B ＝sin （A +C ），再根据诱导公式化简可得cos B 12=，结合B ∈（0，π）可得角B 的大小. （2）由余弦定理求得cos C 的值，可得C 的值，利用三角形内角和公式求得A 的值，再利用正弦定理求得AB 的值，从而求得S △ABC 12=⋅AB ⋅AC ⋅sin A 的值. 【详解】（1）∵2b cos B ＝a cos C +c cos A ，∴根据正弦定理，可得2sin B cos B ＝sin A cos C +sin C cos A ， 即2sin B cos B ＝sin （A +C ）.又∵△ABC 中，sin （A +C ）＝sin （180°﹣B ）＝sin B ＞0 ∴2sin B cos B ＝sin B ，两边约去sin B 得2cos B ＝1，即cos B 12=， ∵B ∈（0，π）， ∴B 3π=.（2）∵在△ACD 中，AD ＝2，且AC =CD =1，∴由余弦定理可得：cos C 222==， ∴C 4π=，∴A ＝π﹣B ﹣C 512π=，由sin sin AC AB B C=，可得sin sin 34ABππ=，∴AB ＝2， ∴S △ABC 12= ⋅AB ⋅AC ⋅sin A 12= ⋅2⋅⋅sin （46ππ+）=⋅（sin4πcos 6π+cos 4πsin 6π）=⋅4+）= 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.23．（1）6,4b c ==； （2）3A π=，S =【分析】（1）选用条件①：由正弦定理求得a =2b c -=，即可求解； 选用条件②：由正弦定理求得cos B =，得出sin 14B =，再由cos C =，求得得sin 7C =，结合正弦定理，即可求解； （2）由余弦定理求得A 的值，结合面积公式，即可求解． 【详解】（1）选用条件①：因为cos cos 14a Bb A ac +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C +=，可得sin sin C C =， 又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得a =又由cos C =，由余弦定理得2222a b c ab +-=， 将2b c -=代入上式，解得6,4b c ==． 选用条件②：因为2cos 27b C a =-，由正弦定理得2sin cos 2sin 7B C A C =-2sin()7B C C =+-2(sin cos cos sin )B C B C C =+即2cos sin sin 07B C C -=， 又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得cos B =，则sin B =，又由cos C =，可得221sin 1cos C C由正弦定理sin sin b cB C =，得sin 3sin 2b Bc C ==， 又由2b c -=，可得6,4b c ==．（2）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=．所以ABC的面积为11sin 64222S bc A ==⨯⨯⨯= 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.24．（1）9km ；（23）15θ=︒时，OMN 的面积最小，最小面积为(2272km 4.【分析】（1）利用余弦定理求得 OM ，结合勾股定理求得θ，判断出OAN 是等边三角形，由此求得防护网的总长度. （2）结合正弦定理求得MNAM，由此求得人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的倍数.（3）求得,OM ON ，由此求得三角形OMN 面积的表达式，结合三角函数最值的求法，求得当15θ=︒时，OMN 的面积最小为(2272km 4.【详解】（1）在三角形OAM中，由余弦定理得2OM ==，所以222279944OM AM OA +=+==，所以三角形OAM 是直角三角形，所以90,30OMA θ∠=︒=︒.由于30MON ∠=，所以60AON A ∠=∠=︒，所以OAN 是等边三角形，周长为339⨯=，也即防护网的总长度为9km . （2）15θ=︒时，在三角形OAM 中，由正弦定理得sin 60sin 60sin15sin15OM AM AM OM ⋅︒=⇒=︒︒︒，在三角形OMN 中，180********ONA ∠=︒-︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin 30sin 60sin 30sin 30sin 75sin 75sin 75sin15MN OM OM AM MN ⋅︒⋅︒⋅︒=⇒==︒︒︒︒︒.所以sin 60sin 30sin 60sin 30sin 60sin 302sin 601sin 75sin15cos15sin15sin 302MN AM ︒⋅︒︒⋅︒︒⋅︒====︒=︒︒︒︒︒以O 为顶点时，OMN 和OAM △的高相同，所以3OMN OMNOAMOAMS MNS SSAM===，即人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △.（3）在三角形OAN 中，180603090ONA θθ∠=︒-︒-︒-=︒-，由正弦定理得()333sin 60sin 60sin 90cos cos 2cos ON ON θθθθ⋅︒==⇒==︒︒-.在三角形OAM 中，18060OMA θ∠=︒-︒-，由正弦定理得()()()333sin 60sin 60sin 18060sin 60sin 60OM OM θθθ⋅︒==⇒==︒︒-︒-+︒+︒.所以()11271sin 302416sin 60cos OMNSOM ON θθ=⋅⋅⋅︒==⋅+︒⋅ ()27116sin cos 60cos sin 60cos θθθ=⋅︒+︒⋅2727161622422==2727168444222==2727842==.由于()0,60AOM θ∠=∈︒︒，所以当26090,15θθ+︒=︒=︒时，OMN S △最小值为(22722727km 444-==. 【点睛】求面积最值的实际问题，可转化为三角函数求最值来求解.25．2+【分析】利用三角形的面积公式，结合已知面积变形可得1sin sin 4B C =，再利用所选条件结合正弦定理求出另外两边，可得三角形的周长.【详解】由三角形的面积公式可知，1sin 2S ab C =， 21sin 28sin a ab C A∴=， 整理得4sin sin ,b A C a =由正弦定理得:4sin sin sin sin ,B A C A =因为sin 0A ≠，4sin sin 1,B C ∴=1sin sin 4B C ∴=， 若选择条件（1）由6B π=：得1sin 2B =，则1sin 2C =， 又,,A B C 为三角形的内角，6B C π∴==，2,3A π∴= 由正弦定理得sin sin sin a b c A B C== 代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2若选择条件（2）B C =，则由B C =，得sin sin ,B C =又1sin sin 4B C =，1sin sin 2B C ∴== 又,,A B C 为三角形的内角，,6B C π∴==23A π∴=. 由正弦定理得:sin sin sin a b c A B C ==， 代入1,bc ==解得a =∴三角形的周长为2【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式和正弦定理求出三角形的另外两边是解题关键.26．150︒2+ 【分析】 2OA =，B 为半圆周上任意一点，那么OAB 是直角三角形，254cos AB α=-，三角形sin OAB S α=，三角形2ABC S AB =，可得四边形OACB 面积，利用三角函数的有界性，可求得面积的最大值.【详解】ABC 2AB ，半径1,2OB OA == 过B 作BE 垂直OA ，则sin sin BE OB αα=⋅=由余弦定理：2222cos 54cos AB OB OA OB OA αα=+-⋅⋅=-设所求的四边形面积S ，则)154cos sin 2AOB ABC S SS OA BE ααα=+=⋅⋅+-=()12sin 2sin 602ααα⎛⎫==-︒ ⎪ ⎪⎝⎭，()sin 601α∴-︒=时，max 2S =+，150α⇒=︒.。

第一章 解三角形一、选择题1．在ABC ∆中； (3) a =03,30;c C ==(4)则可求得角045A =的是（ ） A ．（1）、（2）、（4） B ．（1）、（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4） 2．在ABC ∆中；根据下列条件解三角形；其中有两个解的是（ ） A ．10=b ； 45=A ； 70=C B ．60=a ；48=c ； 60=B C ．14=a ；16=b ； 45=A D ． 7=a ；5=b ； 80=A 3．在ABC ∆中；若； 45=C ； 30=B ；则（ ）A ； BC D4．在△ABC ；则cos C 的值为（ ）A. D. 5．如果满足 60=∠ABC ；12=AC ；k BC =的△ABC 恰有一个；那么k 的取值范围是（ ）A B ．120≤<k C ．12≥k D ．120≤<k 或二、填空题6．在ABC ∆中；5=a ；60A =； 15=C ；则此三角形的最大边的长为 ．7．在ABC ∆中；已知3=b ；；30=B ；则=a _ _．8．若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +；则a 的取值范围是 ．9．在△ABC 中；AB=3；AC=4；则边AC 上的高为10. 在ABC △中；（1）若A A B C 2sin )sin(sin =-+；则ABC △的形状是 .（2）若ABC △的形状是 .三、解答题11. 已知在ABC ∆中；cos 3A =；,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边.(Ⅰ)求tan 2A ； (Ⅱ)若sin()23B π+=；c =ABC ∆的面积. 解:12. 在△ABC 中；c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边；58222bcb c a -=-；a =3； △ABC 的面积为6； D 为△ABC 内任一点；点D 到三边距离之和为d 。

⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围 解：13．在ABC ∆中；,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列.（I ）求B 的值； （II ）求22sin cos()A A C +-的范围。

数学必修5第一章《解三角形》测试卷班级： 姓名： 座号： 成绩：一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1. 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于（ ）A.1:2:3B.3:2:1C.2D.22．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°3．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（ ）A. 1公里B. sin10°公里C. cos10°公里D. cos20°公里4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．32 5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．135<<xB ．13＜x ＜5C ．2＜x ＜5D ．5＜x ＜56． 在ABC ∆中，60A ∠=，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ）A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定7．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）A. 90B. 120C. 135D. 1508．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）A. 3400米B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 9．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（ ）A ．090B ．060C ．0120D ．015010．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰 好3km ，那么x 的值为（ ） A. 3 B. 23 C. 23或3 D. 311．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形12．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于 他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三 辆车的距离2d 之间的关系为（ ）A. 21d d >B. 21d d =C. 21d d <D. 不能确定大小二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分）13．在ABC ∆中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，已知a =2b =，ABC ∆的面积S=3，则C =14．在△ABC 中，已知AB =4，AC =7，BC 边的中线72AD =，那么BC = 15．在△ABC 中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________16．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．17．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的 面积为 。

数学必修5第一章《解三角形》测试卷班级： 姓名： 座号： 成绩：一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1. 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于（ ）A.1:2:3B.3:2:1C.2:3:1D.1:3:2 2．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°3．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（ ）A. 1公里 B . sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．32 5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．135<<xB ．13＜x ＜5C ．2＜x ＜5D ．5＜x ＜56． 在ABC ∆中，60A ∠=o ，6a =，3b =，则ABC ∆解的情况（ ）A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定7．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）A. 90oB. 120oC. 135oD. 150o8．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） A. 3400米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 9．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（ ）A ．090B ．060C ．0120D ．015010．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为（ ）A. 3B. 23C. 23或3D. 311．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形12．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于 他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三 辆车的距离2d 之间的关系为（ ）A. 21d d >B. 21d d =C. 21d d <D. 不能确定大小二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分）13．在ABC ∆中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，已知a =2b =，ABC ∆的面积S=3，则C =14．在△ABC 中，已知AB =4，AC =7，BC 边的中线72AD =，那么BC = 15．在△ABC 中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________16．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60o ，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15o ，这时船与灯塔的距离为 km ．17．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60o，另两边之比为8：5，则这个三角形的 面积为 。

必修5第一章《解三角形》综合测试题（A ）及解析第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的） 1.某三角形的两个内角为o 45和o 60，假设o 45角所对的边长是6，那么o60角所对的边长是 【 A 】A ．B ．C ．D ． 答案：A .解析：设o60角所对的边长是x ，由正弦定理得o o6sin 45sin 60x=，解得x =应选A .2.在ABC ∆中，已知a =10c =，o30A =，那么B 等于 【 D 】A ．o 105B ．o 60C ．o15 D ．o 105或o15 答案：D .解析：在ABC ∆中，由sin sin a c A C=，得sin sin 2c A C a ==，那么o 45C =或o135C =.故 当o45C =时，o105B =；当o135C =时，o15B =.应选D .3.在ABC ∆中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，那么AB BC ⋅的值等于 【 D 】 A ．19 B ．14- C ．18- D ．19- 答案：D .解析：由余弦定理得49253619cos 27535B +-==⨯⨯，故AB BC ⋅=||AB ⋅||cos(BC π)B -= 1975()1935⨯⨯-=-.应选D . 4.在ABC ∆中，sin <sin A B ，那么 【 A 】 A ．<a b B ．>a b C ．a b ≥ D ．a 、b 的大小关系不确信 答案：A .解析：在ABC ∆中，由正弦定理2sin sin a bR A B==，得sin 2a A R =，sin 2b B R =，由sin A <sin B ，得<22a bR R，故<a b .应选A .5.ABC ∆知足以下条件：①3b =，4c =，o 30B =；②12b =，9c =，o60C =；③b =，6c =，o60B =；④5a =，8b =，o30A =.其中有两个解的是 【 B 】 A ．①② B ．①④ C ．①②③ D ．②③ 答案：B .解析：① sin <<c B b c ，三角形有两解；②o<sin 60c b ，三角形无解；③b =sin c B ，三角 形只有一解；④sin <<b A a b ，三角形有两解.应选B .6.在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，且a =7cos 8A =，那么ABC ∆的面积是 【 A 】A B C ．2 D ．3 答案：A .解析：由2220b bc c --=，得(2)()0b c b c -+=，故2b c =或b c =-(舍去)，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及已知条件，得23120c -=，故2c =，4b =，又由7cos 8A =及A 是ABC ∆的内角可得sin A =1242S =⨯⨯=.应选A .7.设a 、1a +、2a +是钝角三角形的三边长，那么a 的取值范围为 【 B 】 A ．0<<3a B ．1<<3a C ．3<<4a D ．4<<6a 答案：B .解析：设钝角为C ，由三角形中大角对大边可知C 的对边为2a +，且cos C =222(1)(2)2(1)a a a a a ++-+⋅⋅+(3)(1)<02(1)a a a a -+=+，因为>0a ，故1>0a +，故0<<3a ，又(1)>+2a a a ++，故>1a ，故1<<3a .应选B .8.ABC ∆中，a 、b 、c 别离是三内角A 、B 、C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan A B ++tan A B =⋅，那么ABC ∆的面积为 【 C 】A ．32 B ． C ．2 D ．52答案：C .解析：由已知，得tan tan tan tan )A B A B +=-⋅，即tan()A B +=A 、B 是ABC ∆的内角，故o 120A B +=，那么o 60C =，由2224(5)24(5)c c c =+--⨯⨯-ocos60，解得72c =，故32b =，故113sin 4222ABC S ab C ∆==⨯⨯=.应选C .第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共30分）9.在ABC ∆中，1sin 3A =，cos B =1a =，那么b =_________.解析：由cos B =，得sin B ===，由sin sin a b A B =，得b =1sin 31sin 3a BA⨯==10.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c，假设c =b =，o 120B =，那么a =______.解析：由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2o62cos120a =+-，即24a -0=，解得a =(舍去负值).11.若是ABC ∆的面积是222S =，那么C =____________.答案：o30.解析：由题意得2221sin 2ab C =cos C C =，故tan 3C =，故o30C =.12.ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，假设o60A =，1b =，三角形的面积S =sin sin sin a b cA B C++++的值为____________.答案：3. 解析：由o 11sin sin6022S bc A c ===，得4c =.由余弦定理得22a b =+22cos c bc A - 13=，故a =.故osin sin sin 3sin 60a b c A B C ====，由等比性质，得sin sin sin sin a b c a A B C A ++==++13.一蜘蛛沿正北方向爬行x cm 捉到一只小虫，然后向右转o105，爬行10cm 捉到另一只小虫，这 时它向右转o135爬行回它的起点，那么x =____________.解析：由题意作出示用意如下图，那么ABC ∠=ooo18010575-=，BCA ∠=ooo18013545-=，10BC =，故ooo1807545A =--=xABCo135o105o 60，由正弦定理得o o10sin 45sin 60x =，解得x =cm ). 14.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，向量(3,1)m =-，(cos ,sin )n A A =， 假设m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，那么B =____________. 答案：6π或o30. 解析：由m n ⊥得0m n ⋅=sin 0A A-=，即sin 0A A =，故2sin()3A π-0=，故3A π=.由cos cos sin a B b A c C +=，得sin cos sin cos A B B A +=2sin C ，即2sin()sin A B C +=，故2sin sin C C =，故sin 1C =，又C 为ABC ∆的内角，故2C π=，故()()326B AC πππππ=-+=-+=.三、解答题（本大题共6小题，总分值80分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤） 15.（此题总分值12分）在ABC ∆中，已知2a=，c =o 45A =，解此三角形.解：由正弦定理，得sin sin 222c A C a ==⨯=o 60C ∠=或o120. 当o 60C ∠=时，oo180()75B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=+，那么1b =+.当o 120C ∠=时，oo180()15B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯⨯=-1b =.故1b =+，o 60C ∠=，o 75B∠=或1b =-，o 120C ∠=，o 15B ∠=.16.（此题总分值12分）如图，在四边形ABCD 中，已知BA AD ⊥，10AB =，BC =o 60BAC ∠=，o 135ADC ∠=，求CD 的长.解：在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BACBCA BC⋅∠∠=o2==，因>BC AB ，故>CAB BCA ∠∠，故o 45BCA ∠=，故o75B =，由正弦 定理，得o o10sin 751)sin 45AC ==+，在ACD ∆中，因o o9030CAD BAC ∠=-∠=，由正弦 定理，得o o sin 30sin135AC CD ==答：CD .17.（此题总分值14分）a 、b 、c 是ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC ∆的面积，假设4a =， 5b =，S =c .BCDAA解：由11sin 45sin 22S ab C C ==⋅⋅⋅=，得sin C =，那么1cos 2C =或1cos 2C =-. （1）当1cos 2C =时，由余弦定理，得211625245212c =+-⋅⋅⋅=，故c =； （2）当1cos 2C =-时，由余弦定理，得211625245612c =++⋅⋅⋅=，故c =.综上可知c .18.（此题总分值14分）在ABC ∆中，sin sin cos B A C =，其中A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角， 且ABC ∆最大边是12，最小角的正弦值是13. （1）判定ABC ∆的形状；（2）求ABC ∆的面积.解：（1）由sin sin cos B A C =依照正弦定理和余弦定理，得2222a b c b a ab+-=⋅，得222b c a +=，故ABC ∆是直角三角形.（2）由（1）知12a =，设最小角为α，那么1sin 3α=，故cos α=，故ABC S ∆=1111sin cos 121222233bc a a αα=⋅=⋅⋅⋅⋅=. 19.（此题总分值14分）海上某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东o75，距离为海里；在A处看灯塔C 在货轮的北偏西o30，距离为由A 处行驶到D 处时看灯塔B 在货轮的北偏东o120.求 （1）A 处与D 处之间的距离； （2）灯塔C 与D 处之间的距离. 解：由题意画出示用意，如下图.（1）ABD ∆中，由题意得o 60ADB ∠=，o45B ∠=，由正弦定理得oosin 45sin 60AD =24= (海里).（2）在ABD ∆中，由余弦定理，得2222CD AD AC AD AC =+-⋅ocos302224=+-224⨯⨯，故CD =海里).答：A 处与D 处之间的距离为24海里，灯塔C 与D 处之间的距离为.● 以下两题任选一题作答20.（此题总分值14分）在锐角ABC ∆中，边a 、b 是方程220x -+=的两根，A 、B 知足2sin()A B +0=，解答以下问题：（1）求C 的度数； （2）求边c 的长度；（3）求ABC ∆的面积.解：（1）由题意，得sin()A B +=ABC ∆是锐角三角形，故o 120A B +=，o60C =；（2）由a 、b 是方程220x -+=的两根，得a b +=2a b ⋅=，由余弦定理，得22222cos ()31266c a b ab C a b ab =+-=+-=-=，故c =（3）故1sin 2ABC S ab C ∆==122⨯=. 20.（此题总分值14分）ABC ∆中，a 、b 、c 别离是三内角A 、B 、C 的对边，假设AB AC BA BC ⋅=⋅1=.解答以下问题：（1）求证：A B =；（2）求c 的值； （3）假设||6AB AC +=，求ABC ∆的面积.证：（1）因AB AC BA BC ⋅=⋅，故cos cos bc A ac B =，即cos cos b A a B =.由正弦定理，得 sin cos sin cos B A A B =，故sin()0A B -=，因为<<A B ππ--，故0A B -=，故 A B =.解：（2）因1AB AC ⋅=，故cos 1bc A =，由余弦定理得22212b c a bc bc+-⋅=，即222b c a +-= 2；又由（1）得a b =，故22c =，故2c =.解：（3）由||6AB AC +=22||||2||6AB AC AB AC ++⋅=，即2226c b ++=，故22c b +4=，因22c =，故b =ABC ∆是正三角形，故面积2ABC S ∆==.。

第一章 解三角形一、选择题1．在中，,ABC ∆a =03,30;c C ==(4) 则可求得角的是（ ）045A =A ．（1）、（2）、（4） B ．（1）、（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4）2．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）ABC ∆A ．，， B ．，，　10=b 45=A 70=C 60=a 48=c 60=B C ．，， D ． ，，14=a 16=b 45=A 7=a 5=b 80=A 3．在中，若，，，则（ ）ABC ∆ 45=C 30=BA ； BC D4．在△ABC ，则的值为（ ）cos CA. D. 5．如果满足，，的△ABC 恰有一个，那么的取值范围是（　　）60=∠ABC 12=AC k BC =kA B ． C ． D ．或120≤<k 12≥k 120≤<k 二、填空题6．在中，，，，则此三角形的最大边的长为 ．ABC ∆5=a 60A = 15=C 7．在中，已知，，，则ABC ∆3=b 30=B 8．若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是 ．1a +2a +3a +a9．在△ABC 中，AB=3，AC=4，则边AC 上的高为10. 在ABC △中，（1）若A A B C 2sin )sin(sin =-+，则ABC △的形状是 .（2）若ABC △的形状是 .三、解答题11. 已知在中,分别是角所对的边.ABC ∆cos A =,,a b c ,,A B C(Ⅰ)求； (Ⅱ)若求的面积.tan 2A sin()2B π+=c =ABC ∆解:12. 在△ABC 中，分别为角A 、B 、C 的对边，，=3, △ABC 的面积为6，c b a ,,58222bcb c a -=-a D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。

⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围 解：13．在中，的对边分别为且成等差数列. ABC ∆,,A B C ,,,a b c cos ,cos ,cos a C b B c A （I ）求B 的值； （II ）求的范围。