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人教版高中必修2(B版)1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征教学设计一、教学目标1.了解棱柱、棱锥和棱台的概念和基本结构特征。
2.掌握棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积计算方法。
3.培养学生的观察能力、创新意识和团队协作精神。
二、教学内容本课程主要涉及以下内容：1.棱柱、棱锥和棱台的概念和基本结构特征。
2.棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积计算方法。
3.棱柱、棱锥和棱台的应用实例。
三、教学方法和过程设计1. 活动设计（1）引入新知识通过运用具有启发性的实例，引导学生探究棱柱、棱锥和棱台的基本结构特征和应用场景。
（2）合作探究以小组讨论的形式，让学生深入理解棱柱、棱锥和棱台的基本结构特征和表面积、体积计算方法，并创造性地应用所学知识解决实际问题。
（3）课堂辅助辅助材料如书籍、视频和PPT等工具，将帮助学生更好地理解所学知识。
（4）课堂展现通过分组展示、写作和口头报告等形式，让学生展示所掌握的知识和技能，同时不断提高自己的表达和沟通能力。
2. 教学过程（1）引入新知识教师运用生动具体引入实例，让学生了解棱柱、棱锥和棱台的结构和特征，钩起学生的兴趣。
（2）合作探究教师将学生分组，让每组成员进行讨论，合作解决棱柱、棱锥和棱台的表面积、体积等计算问题。
每个小组在选择问题的同时，应该拥有一个不同的角度和思路。
（3）课堂辅助教师通过向学生讲解PPT、播放视频等多种方式，来尽可能清晰众多的知识点和数据内容，为学生更好地掌握知识奠定基础。
（4）课堂展现教师组织学生进行分组展示和口头汇报，以审核和巩固所学知识为目的。
四、教学评价圆桌会议在最后一节课上，将以评价圆桌会议的方式梳理课程进展，评价学生所学内容、方法以及兴趣，同时也可以聆听到学生对教学的反馈。
通过这种方式，我们有机会回顾整个学习过程，探索如何在未来对知识进行拓展。
五、拓展思考棱柱、棱锥和棱台在多种不同领域有着广泛的应用，例如，建筑、制造、地质、科学和艺术等领域。
请从学生的知识点出发，与学生一起考虑这些应用领域，并将这些信息与他们的实际研究目标联系起来。
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征教学目标：理解棱锥、棱台的基本概念教学重点：理解棱锥、棱台的基本概念教学过程：1．“一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形”是棱锥的本质特征．正棱锥是一种特殊棱锥．正棱锥除具有棱锥的所有特征外，还具有：①底面为正多边形；②顶点在过底面正多边形的中心的铅垂线上．“截头棱锥”是棱台的主要特征，因此，关于棱台的问题，常常将其恢复成相应的棱锥来研究．2．正棱锥的性质很多，但要特别注意：(1)平行于底面截面的性质如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：①棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段．②所得的截面和度面是对应边互相平行的相似三角形．③截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比．(2)有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形和两个角：正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形．四个直角三角形是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握．3．棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的，掌握它的性质，就得从这个特征入手同棱锥一样，棱台也有很多重要性质，但要强调两点：(1)平行于底面的截面的性质：设棱台上底面面积为S1，下底面面积为S2，平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下两底的比为m∶n，则截面面积S满足下列关系：(2)有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形：正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底面边长的一半，组成三个直角梯形和两个直角三角形(上、下底面内各一个直角三角形)．正棱台中的所有计算问题的基本依据就是这三个直角梯形、两个直角三角形和两个重要的角，必须牢固掌握．4．棱锥、棱台的侧面展开图的面积，即侧面积，是确定其侧面积公式的依据．(1)正棱锥的侧面是彼此全等的等腰三角形，由此可得其侧面积公式：(2)正棱台的侧面是彼此全等的等腰梯形，由此可得其侧面积公式：棱锥的全面积等于：S全=S侧+S底棱台的全面积等于：S全=S侧+S上底+S下底(3)棱柱、棱锥和棱台的侧面公式的内在联系必须明确，它有利认识这三个几何体的本质，也有利于区分这三个几何体，在正棱台侧面积公式中：当C'=C时，S棱柱侧=Ch可以联想：棱柱、棱锥都是棱台的特例．6．关于截面问题关于棱锥、棱台的截面，与棱柱截面问题要求一样，只要求会解对角面、平行于底面的截面(含中截面)、以及已给出图形的截面，或已给出全部顶点的截面，但对于基础较好，能力较强的同学，也可以解一些其他截面，比如：平行于一条棱的截面，与一条棱垂直的截面，与一个面成定角的截面，与一个面平行的截面等．作截面就是作两平面的交线，两平面的交线就是这两个平面的两个公共点的连线，或由线面平行、垂直有关性质确定其交线，这是画交线，即作截面的基本思路．课堂练习：小结：本节课学习了棱锥、棱台的基本概念。
人教版高中必修2(B版)1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征课程设计一、课程概述本课程将介绍棱柱、棱锥、棱台的结构特征和分类，并对其相关概念进行解释。
通过学习本课程，学生可以更好地理解立体几何形体的特点，加深对该领域的认识和理解。
二、教学目标1.理解棱柱、棱锥、棱台的定义和构成。
2.掌握棱柱、棱锥、棱台的特点和分类。
3.能够应用所学知识解决与立体几何形体相关的问题。
4.培养学生的几何思维，提高其空间想象能力。
三、教学内容1. 棱柱的结构特征和分类1.定义：棱柱是由若干个棱与平行的底面所包围而成的立体。
2.注：如果棱柱的底面是正方形，则棱柱称为正方体。
2. 棱锥的结构特征和分类1.定义：棱锥是由一个底面和若干个三角形侧面所包围而成的立体。
2.注：如果棱锥的底面是正三角形，则棱锥称为正三角锥。
3. 棱台的结构特征和分类1.定义：棱台是由两个平行的底面和若干个侧面所包围而成的立体。
2.注：如果棱台的底面是正方形，则棱台称为正方台。
本课程采用理论授课和练习相结合的方式进行教学。
理论授课部分主要讲解概念和公式，帮助学生理解基本原理；练习部分则通过大量的练习题，提高学生的学习兴趣和能力，巩固所学知识。
五、教学流程1. 课前准备1.教师准备教案和配套练习题。
2.学生做好课前预习，了解相关概念。
2. 授课内容1.棱柱的结构特征和分类–棱柱的定义和构成–正方体的概念和特点–棱柱的分类2.棱锥的结构特征和分类–棱锥的定义和构成–正三角锥的概念和特点–棱锥的分类3.棱台的结构特征和分类–棱台的定义和构成–正方台的概念和特点–棱台的分类3. 课堂练习1.给出一些实际问题，让学生应用所学知识解决问题。
2.提供大量的练习题，帮助学生巩固所学知识。
1.课堂表现：根据学生在课堂上的参与度和表现情况进行评分。
2.练习成绩：提供大量的练习题，根据学生的答题情况进行评分。
七、备注本课程教学以学生为中心，注重培养学生的独立思考能力和创新意识，在教学中引导学生进行自主学习和互动交流，并注重学生的动手实践能力。
课堂探究
知能点一：棱柱的有关问题
理解棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体的有关概念，掌握它们
的性质是解决问题的关键．
【例1】棱柱是“有两个面相互平行且全等的多边形，其余各面都是平行四边形的多面体”．这一概念正确吗？为什么？
通过构造法，说明题设所给的条件不一定是棱柱．
解：(1)有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，反例如下图．
概念辨析题，要紧扣标准定义，抓住不同点作为辨析突破口．
【例2】经过长方体同一顶点的三个面的对角线长分别为a ，b ，c ，那么这个长方体的对角线长为______．
充分利用长方体中的垂直关系．
解：设经过长方体同一顶点的三条棱的长为x ，y ，z ，则有x 2＋y 2＝a 2，x 2＋z 2＝b 2，y 2＋z 2＝c 2.
设长方体对角线的长为l ，则有
22222222221()()()2
l x y z x y x z z y ⎡⎤⎣⎦＝＋＋＝＋＋＋＋＋ 2221()2
a b c =＋＋
∴l =
熟练掌握长方体的有关概念及长方体的对角线的求法，特别在运算过程中要注意整体代换的运算技巧．
知能点二：棱锥的有关问题
对棱锥的考查，主要是针对正棱锥的定义和性质，特别是正棱锥中侧棱长、
高、斜高、底面边长之间的关系在计算中的应用．
【例3】正六棱锥的底面周长为24，H 是BC 的中点，S 为棱锥的顶点，O 为底面中心，
∠SHO ＝60°，求：(1)棱锥的高；(2)斜高；(3)侧棱长．
首先确定棱锥的高、斜高的位置，然后利用棱锥的结构特征在直角三角形中求
解．
解：∵正六棱锥的底面周长为24，
∴正六棱锥的底面边长为4.
在正六棱锥S －ABCDEF 中，如图，则SH ⊥BC ，O 是正六边形ABCDEF 的中心． 连接SO ，则SO ⊥底面ABCDEF .
(1)在Rt △SOH 中，OH BC =
=∠SHO ＝60°， ∴SO ＝OH ·tan60°＝6.
(2)同样在Rt △SOH 中，斜高2SH OH ＝＝(3)Rt △SOB 中，SO ＝6，OB ＝BC ＝4，
∴SB ==
正棱锥的顶点在底面上的射影是正多边形的中心，各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等．棱锥的高、斜高和斜足与底面中心的连线组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形，这都是解决正棱锥相关计算的关键．
知能点三：棱台的有关问题
考查棱台时其一是针对定义，判断几何体是否为棱台，求解时抓住棱台的
两条特征：一是棱台的侧棱延长后相交于一点，二是棱台的两底面平行；其二是针对正棱台，主要考查正棱台的侧棱、高、斜高及上、下底面边长的计算，求解时抓住基本量组成的直角梯形．
【例4】如图，正四棱台AC ′的高是17 cm ，两底面的边长分别是4 cm 和16 cm ，求这个棱台的侧棱长和斜高．
由于棱台是由棱锥平行于底面的平面截得的，因此正棱锥中的有关直角三角形
对应到正棱台中将转化为直角梯形，只要找出包含侧棱和斜高的直角梯形即可求解．
解：设棱台两底面的中心分别是O′和O，B′C′、BC的中点分别是E′、E.连接O′O、E′E、O′B′、OB、O′E′、OE，则OBB′O′、OEE′O′都是直角梯形．
在正方形ABCD中，BC＝16 cm，
则OB＝cm，OE＝8 cm；
在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4 cm，
则O B''＝，O′E′＝2 cm.
在直角梯形O′OBB′中，
BB'
=(cm)．
19
在直角梯形O′OEE′中，
EE'===(cm)．
即这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为
正棱台中两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的对角线的一半组成一个直角梯形．
知能点四：多面体的展开与多面体的截面
多面体是棱柱、棱锥、棱台等几何体的总称，考查时常针对多面体的定义、多面体的各面形状、多面体的截面形状与面积计算等出题，解答时以多面体的定义为依托，把握如何作出多面体截面的方法，其关键是找出截面与各面的两个公共点，再连线产生截面的边线．
【例5】长方体ABCD－A1B1C1D1(如图所示)的宽、长、高分别为3、4、5.现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．
本题实际上是考查平面上两点间最短线段的长度的求法，把长方体中含A 1C 1
的面展开．
解析：如图所示，对(1)(2)(3)三种展开图利用勾股定理可得AC 1、
(2)是最短路线，由相似比可得157
BE =，所以甲壳虫可以先在面ABB 1A 1内由A 到E ，再在面BCC 1B 1内由E 到C 1，其最短路程为74.
(1)立体图形平面化是解决空间问题最常用的思想方法．
(2)棱锥沿侧棱剪开，将其侧面展开在平面上，即构成由多个三角形拼成的平面多边形，利用其平面图形的特征可求解诸如棱锥侧面上的两点间距离最短的问题．
(3)在解决问题的过程中要注意平面图形与原立体图形的关系，确定常量，以便在求解中充分运用．
【例6】正三棱柱ABC －A ′B ′C ′的底面边长是4 cm ，过BC 的一个平面交侧棱AA ′于D ，若AD 的长是2 cm ，试求截面BCD 的面积．
正确作出截面，并正确利用正棱柱的性质．
解：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ．因为4AE =
=
所以4DE ==，所以S △BCD ＝12BC ·ED ＝12
×4×4＝8(cm 2)．所以截面BCD 的面积是8 cm 2.
根据条件知，截面为等腰三角形，只要求出等腰三角形底边上的高即可得到截面的面积．。
