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1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征一．学习要点：棱柱、棱锥和棱台的几何结构特征 二．学习过程： 1．多面体观察·探索·研究：多面体的哪些性质可以作为它的特征性质？多面体的每个面都是多边形.（圆柱、圆锥、球等其他几何体就不具有这种性质.多面体的有关概念：（a ） 多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体. （b ） （c ） （d ） （e ） (f)凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果 其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体.特别说明：我们所说的多面体，如果没有特别说明，指的都是凸多面体. (g)多面体的分类：按照围成它的面的个数分为四面体、五面体、六面体…… (h)几何体的截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形，叫做这个几何体的截面. 2．棱柱观察·探索·研究：棱柱有哪些性质？哪些性质可以作为棱柱的特征性质？ (1) 棱柱的特征性质：棱柱有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行. (2)棱柱的有关概念：(a)棱柱：将一个多边形上各点沿着同一方向移动相同的距离所形成的几何体. (b)棱柱的底面：棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的底面. (c)棱柱的侧面：除底面外的各面叫做棱柱的侧面. (d)棱柱的侧棱：两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱. (e)棱柱的高：棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的高. (3)棱柱的表示法：棱柱ABCDE 11111A B C D E ，或棱柱1AC ． (4)棱柱的分类：按底面多边形的边数分类： 三棱柱、四棱柱、五棱柱……按侧棱与底面的位置关系及底面的形状分类： ✦ 斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱. ✦ 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱. ✦ 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. (5) 特殊的四棱柱：平行六面体：底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体.直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体.长方体：底面是矩形的直平行六面体叫做长方体. 正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体.3.棱锥(1)棱锥的特征性质：棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形. (2) 棱锥的有关概念：(a)棱锥的侧面：棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面. (b)棱锥的顶点：棱锥的各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点. (c)棱锥的侧棱：棱锥的相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. (d)棱锥的底面：多边形叫做棱锥的底面. (e)棱锥的高：顶点到底面的距离叫做棱锥的高. (3)棱锥的表示法：棱锥S ABCDE ，或棱锥S AC ． (4)棱锥的分类：(5)按底面多边形的边数分类： 三棱锥、四棱锥、五棱锥……四棱柱 平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体(6)正棱锥与非正棱锥：正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，它的顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥.棱锥的斜高：正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高.4. 棱台(1)棱台的有关概念：(a) 棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台. (b)棱台的底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面. (c)棱台的侧面：棱台中除上、下底面的其他各面叫做棱台的侧面. (d)棱台的侧棱：棱台的相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱. (e)棱台的高：棱台两底面间的距离叫做棱台的高. (f) (g)(2) 例1 四棱台的高和斜高.课堂练习：1．教材第8、10页练习题2．下列说法正确的是（）A．棱柱的侧面都是矩形B．棱柱的侧棱不全相等C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体D．棱柱至少有两个面平行3．用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面的形状是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．一般平行四边形4．长方体的全面积等于11，所有的棱长之和是24，则这个长方体的对角线长为（）A．BC．5D．65．具备下列哪个条件的多面体是棱台（）A．两底面是相似多边形的多面体B．侧面是梯形的多面体C．两底面平行的多面体D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体6．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，使它们重叠起来组成一个新的长方体，在这些长方体中，最长的对角线的长度是（）AB．C．D．7．已知正三棱锥P111A B C的底面边长为2，侧棱长为3．正三棱台ABC111A B C的下底边长为7，把正三棱锥的底面与正三棱台的上底面重叠，恰好能够拼成一个正三棱锥，求棱台和新的三棱锥的侧棱长.PCBAA1B1C1。
高一数学必修2（人教B 版）第一章各节同步检测1-1-2棱柱、棱
锥和棱台的结构特征（第二课时）
一、选择题
1．棱锥至少由多少个面围成( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [答案] B
[解析] 三棱锥有四个面围成，通常称为四面体，它是面数最少的棱锥．
2．四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别是1、2，侧棱长为2，则该四棱台的高为( )
A.
6
2 B.
3
2
C.1
2 D.22
[答案] A
[解析] 如图所示，由题意知，四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1为正四棱台，
设O 1、O 分别为上、下底面的中心，连结OO 1、OA 、O 1A 1，过点A 1作A 1E ⊥OA ，E 为垂足，则A 1E 的长等于正四棱台的高，
又OA ＝2，O 1A 1＝22
， ∴AE ＝OA －O 1A 1＝
22
， 在Rt△A 1EA 中，AA 1＝2，AE ＝22
， ∴A 1E ＝AA 2
1－AE 2
＝
2－12＝62
. 3．过正棱台两底面中心的截面一定是( ) A ．直角梯形
B ．等腰梯形
C ．一般梯形或等腰梯形
D ．矩形 [答案] C
[解析] 过正棱台两底面中心的截面与两底面的交线一定平行且不相等．当截面过侧棱时，截面是一般梯形；当截面不过侧棱时，由对称性，截面与两侧面的交线一定相等，所以截面是等腰梯形．故选C.
4．一个正三棱锥的底面边长为3，高为6，则它的侧棱长为( ) A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．4 [答案] C
[解析] 如图所示，正三棱锥S －ABC 中，
O 为底面△ABC 的中心，SO 为正三棱锥的高，SO ＝6， AB ＝3，∴OA ＝3，
在Rt△SOA 中，SA ＝SO 2
＋OA 2
＝6＋3＝3.
5．棱台的上、下底面面积分别为4和16，则中截面面积为( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 [答案] C
[解析] 设中截面的面积为S ，则 S ＝(4＋16)2
4
＝9.
6．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( ) A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥 [答案] D
[解析] 如图正六棱锥中，O 是正六边形ABCDEF 的中心，OC ＝OD ＝CD ，而SD >OD ，∴SD >CD .
7．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )
A．至多只能有一个是直角三角形
B．至多只能有两个是直角三角形
C．可能都是直角三角形
D．必然都是非直角三角形
[答案] C
[解析] 如图，当直线PA与平面ABC垂直，且BC与平面PAB垂直时，∠PAC，∠PAB，∠PBC都是直角．
8．在侧棱长为23的正三棱锥S－ABC中，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝40°，过A作截面AEF，则截面的最小周长为( )
A．2 2
B．4
C．6
D．10
[答案] C
[解析] 将三棱锥沿SA剪开，展开如图．连结AA′交SB于E，交SC于F，则AA′即为△AEF的最小周长．
∵SA＝SA′＝23，∠ASA′＝120°，
∴AA′＝2×23s in60°＝6，故选C.
二、填空题
9．正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它的斜高为__________．
[答案]
73
6
[解析] 如图，∵上、下底面正三角形边长分别1、2 ∴O 1E 1＝
36，OE ＝3
3
，又OO 1＝2， ∴斜高E 1E ＝OO 21＋(OE －O 1E 1)2
＝736
.
10．正四棱锥S －ABCD 的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条侧棱作截面，则截面面积为__________．
[答案] 12
a 2
[解析] 截面三角形三边长分别为a 、a 、2a ，为等腰直角三角形．∴面积S ＝12a 2
.
11．正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，对角线长为9，则棱台的斜高等于__________．
[答案]
10
[解析] 如图，BDD 1B 1是等腰梯形，B 1D 1＝52，BD ＝72，BD 1＝9，∴OO 1＝
BD 21－(
BD ＋B 1D 12
)2
＝3，
又O 1E 1＝52，OE ＝7
2，在直角梯形OEE 1O 1中，
斜高E 1E ＝OO 2
1＋(OE －O 1E 1)2
＝10.
12．一个正三棱锥P －ABC 的底面边长和高都是4，E 、F 分别为BC 、PA 的中点，则EF 的长为__________．
[答案] 2 2
[解析] 如图在正△ABC 中，AE ＝23， 在正△PBC 中，PE ＝23，
在△PAE 中，AE ＝PE ＝23，PA ＝4，F 为PA 中点，∴EF ⊥PA ，∴EF ＝AE 2－(1
2
AP )2＝2 2.
三、解答题
13．如图中的晶体结构可看作由哪些简单几何体构成？
[解析] 图(1)可看作由2个四棱锥构成；图(2)可看作由四棱柱构成．
14．已知正四棱锥P －ABCD 中，底面积为36，一条侧棱长为34，求它的高和斜高． [解析] 如图，设PO 为四棱锥的高，E 为BC 中点，则PE ⊥BC ，PE 为斜高，正方形ABCD 的面积为36，
∴边长AB ＝6，∴OE ＝3，OB ＝32， ∴PO ＝PB 2
－BO 2
＝4，PE ＝PO 2
＋OE 2
＝5， ∴高为4，斜高为5.
15．正四棱台的体对角线是5cm ，高是3cm ，求它的两条相对侧棱所确定的截面的面积． [解析] 如图所示，过D 1作D 1E ⊥BD 于E ，则D 1E ＝3cm. ∵对角线BD 1＝5cm ， ∴在Rt△BD 1E 中，BE ＝4cm.
设棱台上、下底面的边长分别为a 、b ， 则BD ＝2b ，B 1D 1＝2a . 又∵四边形BDD 1B 1为等腰梯形，
且DE ＝
2
2
(b －a )＝BD －BE ＝2b －4， ∴2(a ＋b )＝8.
∴SBDD 1B 1＝1
2(B 1D 1＋BD )·D 1E
＝12
×2(a ＋b )×3＝12(cm 2
)． 16．如图在以O 为顶点的三棱锥中，过O 的三条棱两两交角都是30°，在一条棱上取A 、
B 两点，OA ＝4 cm ，OB ＝3 cm ，以A 、B 为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无
摩擦)，求此绳在A 、B 两点间的最短绳长．
[解析] 作出三棱锥的侧面展开图，如图A 、B 两点间最短绳长就是
线段AB 的长度．
在△AOB 中，∠AOB ＝30°×3＝90°，
OA ＝4 cm ，OB ＝3 cm ，
所以AB ＝OA 2
＋OB 2
＝5 cm.
所以此绳在A 、B 两点间的最短绳长为5 cm.
17．如图，正三棱台ABC －A
1B 1C 1中，已知AB ＝10，棱台一个侧面梯形的面积为203
3，O 1、O 分别为上、下底面正三角形中心，D 1D 为棱台
的斜高，∠D 1DA ＝60°.求上底面的边长．
[解析] 由AB ＝10，
则AD ＝
3
2AB ＝53， OD ＝13
AD ＝
53
3
. 设上底面边长为x ，则O 1D 1＝36
x . 过D 1作D 1H ⊥AD 于H ， 则DH ＝OD －OH ＝OD －O 1D 1＝533－3
6
x ， 在△D 1DH 中，D 1D ＝
DH
cos60°＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫533－36x ，
∴在梯形B 1C 1CB 中，S ＝1
2(B 1C 1＋BC )·D 1D ，
∴
2033＝12(x ＋10)·2⎝ ⎛⎭⎪⎫53
3
－36x ，
∴40＝(x＋10)(10－x)．∴x＝215，∴上底面的边长为215.。
