2019年高考数学(理)考点一遍过 考点09 函数与方程含解析

考点09 函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. （2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.一、函数的零点 1．函数零点的概念对于函数(),y f x x D =∈，我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数(),y f x x D =∈的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f (x )=x 2＋1，由于方程x 2＋1=0无实数根，故该函数无零点． 3．二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的零点4．零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.5．常用结论(1)若连续不断的函数()f x 是定义域上的单调函数，则()f x 至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)函数()()()F x f x g x =-有零点⇔方程()0F x =有实数根⇔函数()y f x =与()y g x =的图象有交点； (4)函数()()F x f x a=-有零点⇔方程()0F x =有实数根⇔函数()y f x =与y a =的图象有交点⇔{|()}a y y f x ∈=，其中a 为常数.二、二分法 1．二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]，验证()()0f a f b ⋅<，给定精确度ε； ②求区间(a ，b )的中点c ； ③计算f (c )；a ．若f (c )=0，则c 就是函数的零点；b ．若f (a )·f (c )<0，则令b =c (此时零点x 0∈(a ，c ))； c ．若f (c )·f (b )<0，则令a =c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a −b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④. 【速记口诀】定区间，找中点；中值计算两边看， 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口．考向一 函数零点（方程的根）所在区间的判断函数零点的判定方法(1)定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数()y f x =必须在区间[a ，b ]上是连续的，当()()f a f b ⋅0<时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．(2)方程法：判断方程()0f x =是否有实数解．(3)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如()()()f x g x h x -=，作出()y g x =和()y h x =的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点.典例1 函数()e x f x x -=-的零点所在的区间为 A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【规律总结】首先确定函数是连续函数，然后结合函数零点存在性定理求解函数零点所在的区间即可.判断函数零点所在区间的方法：一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．典例2 在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________. 【答案】3,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】令()321f x x x =--， 3275310288f ⎛⎫=--=-<⎪⎝⎭， ()120f =-<， ()28530f =-=>，故下一步可以断定根所在区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭，故填3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.1．若函数()21f x ax a =+-在区间()1,1-上存在一个零点，则a 的取值范围是A ．13a >B ．13a >或1a <- C ．113a -<<D ．1a <-2．已知函数()32113f x x x =-+．（1）证明方程f （x ）=0在区间（0，2）内有实数解；（2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f （x ）=0，x ∈[0，2]的实数解x 0在哪个较小的区间内．考向二 函数零点个数的判断判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.典例3 函数f (x )=2x ＋lg(x ＋1) −2的零点有 A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个【答案】B【解析】解法一：因为f (0)=1＋0−2=−1<0，f (2)=4＋lg3−2=2+lg3>0，所以由函数零点存在性定理知，f (x )在(0,2)上必定存在零点．又f (x )=2x ＋lg(x ＋1)−2在(−1，＋∞)上为增函数，故f (x )=0有且只有一个实根，即函数f (x )仅有一个零点． 解法二：在同一坐标系中作出h (x )=2−2x 和g (x )=lg(x ＋1)的图象，如图所示，由图象可知h (x )=2−2x 和g (x )=lg(x ＋1)有且只有一个交点，即f (x )=2x ＋lg(x ＋1)−2与x 轴有且只有一个交点，即函数f (x )仅有一个零点．3．函数()()22log f x x x =-的零点个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4考向三 函数零点的应用问题高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略． 1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：①求出零点，直接比较大小； ②确定零点所在区间；③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.典例4 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩,设()21()(4)f x x x =⊗+-，若函数()y f x k =+恰有三个零点，则实数k 的取值范围是 A ．(−2,1) B ．[0,1] C ．[−2,0) D ．[−2,1)【答案】D【解析】由新定义可得2224,(1)(4)1()1,(1)(4)1x x x f x x x x ⎧+--+≥⎪=⎨---+<⎪⎩，即24,23()1,23x x x f x x x +≤-≥⎧=⎨--<<⎩或.其图象如图所示，所以由()y f x k =+恰有三个零点可得，−1<−k ≤2，所以−2≤k <1.故选D.4．已知函数()()1115ln (1)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x kx =恰有两个不同的实根时，实数k 的取值范围是 A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,5e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,5e⎡⎤⎢⎥⎣⎦1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A ．21y x =+ B ．lg y x = C ．cos y x =D ．e 1xy =-2．已知函数()32log f x x x=-，在下列区间中包含()f x 零点的是 A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3D ．()3,43．命题7:12p a -<<，命题:q 函数()12x f x a x=-+在()1,2上有零点，则p 是q 的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()22,52,x x a f x x x x a+>⎧=⎨++≤⎩，若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是A ．[)1,1- B ．[)1,2- C ．[)2,2-D ．[]0,25．设方程()10lg x x =-两个根分别为12,x x ，则 A ．1201x x << B ．121x x = C ．121x x >D ．120x x <6．已知函数()f x 满足()()11f x f x +=- ，且()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()()log 2a g x f x x =-+有 4 个零点，则实数a 的取值范围是 A ．()1,5 B ．(]1,5 C ．()5,+∞D ．[)5,+∞7．已知函数()245,1ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()12f x kx =-恰有四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是A ．12⎛⎝B ．1e 2⎛⎝C ．12⎛⎝⎭D ．12⎛⎝⎦8．已知定义域为R 的函数()f x 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时， ()sin πf x x =，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是__________．9．已知函数()221,02,0x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩，若函数()()3g x f x m =+有3个零点，则实数m 的取值范围是__________．10．已知函数()()210f x ax mx m a =++-≠.（1）若()10f -=，判断函数()f x 的零点个数；（2）若对任意实数m ，函数()f x 恒有两个相异的零点，求实数a 的取值范围； （3）已知12,x x ∈R 且12x x <，()()12f x f x ≠，求证：方程()()()1212f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12,x x 上有实数根.1．（2018年高考新课标I 卷理科）已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）2．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减3．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）已知函数211()2(e e)x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．14．(2016年高考天津卷理科) 已知函数()()()24330log 110a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩,,(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x的方程()||2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A ．72(,]43B ．23[,]34C ．123[,]{}334D ．123[,){}3345．（2018年高考新课标Ⅲ卷理科）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 6．（2018年高考浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．7．（2018年高考天津卷理科）已知0a >，函数()222,0,22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤⎪=⎨-+->⎪⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________. 8．（2015年高考湖北卷理科）函数()()2()|ln |224coscos 2sin 1f x x x x x =---+π的零点个数为_________． 9．（2017年高考江苏卷理科）设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n-==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是_________． 10．（2016年高考山东卷理科）已知函数()224x x mf x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩,,，其中0m >．若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b=有3个不同的根，则实数m 的取值范围是_________．变式拓展【名师点睛】本题主要考查函数的零点存在性定理，一次函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化化归能力和计算求解能力.求解时，由题意分类讨论0a =和0a ≠两种情况即可求得最终结果. 2．【答案】（1）见解析；（2）31,2⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（1）∵()010f =>，()1203f =-<， ∴()()10203f f ⋅=-<， 又∵函数()32113f x x x =-+是连续函数， ∴由函数的零点存在性定理可得方程()0f x =在区间()0,2内有实数解．（2()1103f =>，由此可得()()11209f f ⋅=-<，则下一个有解区间为()1,2，31028f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，由此可得()3110224f f ⎛⎫⋅=-< ⎪⎝⎭，则下一个有解区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，所求实数解0x 在较小区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内. 【思路分析】（1）通过()0f 与()2f 的乘积小于0，利用零点的存在性定理证明即可；（2）利用二分法求解方程的近似解的方法，转化求解即可． 3．【答案】C【解析】函数的零点满足：()22log x x =，即2log x x =2log y x =与y =点的个数，在同一个平面直角坐标系中绘制两个函数的图象如图所示，观察可得，函数图象的交点个数为3个，故函数()()22log f x x x =-的零点个数为3. 本题选择C 选项.【名师点睛】先将原问题转化为两个函数图象的交点个数问题，再绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．故答案为C.【名师点睛】（1）本题考查了函数与方程的关系，函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象进行解答．即由方程f （x ）=kx 恰有两个不同的实数根，等价于y =f （x ）与y =kx 的图象有2个不同的交点，数形结合求出k 的取值范围．（2）零点问题是高中数学的一个重要问题，常用的方法有方程法、图象法、方程+图象法.1．【答案】C【解析】选项A 中，函数无零点，不合题意，故A 不正确. 选项B 中，函数不是偶函数，不合题意，故B 不正确. 选项C 中，函数是偶函数又存在零点，符合题意，故C 正确. 选项D 中，函数不是偶函数，不合题意，故D 不正确. 综上可知选C. 2．【答案】C【解析】由题意，函数()32log f x x x=-为单调递减函数，且()3322log 21log 20,2f =-=->()3213log 3033f =-=-<，所以()()230f f ⋅<，所以函数()32log f x x x=-在区间()2,3上存在零点，故选C ．【名师点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，解答时根据函数的单调性，利用函数的零点存在性定理判定是解答的关键，着重考查学生的推理与运算能力．考点冲关4．【答案】B【解析】由题意得()22,32,x x ag x x x x a-+>⎧=⎨++≤⎩，若()0g x =，则应有2x =或1x =-或2x =-，若函数()g x 有三个不同的零点，则应满足12a -≤<，故选择B ．【名师点睛】函数()y f x =的零点等价于方程()0f x =的实根，等价于函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标.本题先画出函数()g x 的图象，再确定分点a 的取值范围，这里要特别注意端点值能否取得等号. 5．【答案】A【解析】作出函数()10,lg x y y x ==-的图象，由图象可知，两个根一个小于1-，一个区间()1,0-内，不妨设121,10x x <--<<，则两式相减得：()()()()()12121212lg (lg )lg lg lg 10100x xx x x x x x ----=-+-==-<，即1201x x <<，故选A ． 6．【答案】D【解析】由题意可知函数()f x 是周期为2的偶函数，结合当[]1,0x ∈-时，()2f x x =，绘制函数()f x 的图象如下图所示，函数()g x 有4个零点，则函数()f x 与函数()log 2a y x =+的图象在区间[]1,3-内有4个交点，结合函数图象可得：当3x =时，()log 321a +≤，求解对数不等式可得：5a ≥，即实数a 的取值范围是[)5,+∞.本题选择D 选项.【名师点睛】由题意确定函数()f x 的性质，然后将原问题转化为两个函数的图象有4个交点的问题求解实数a 的取值范围即可.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 7．【答案】C【解析】方程()12f x kx =-恰有四个不相等的实数根转化为()y f x =的图象与12y kx =-的图象有四个不同的交点，如图所示，直线12y kx=-过定点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，且过点()1,0时，函数()y f x=的图象与12y kx=-的图象有三个不同的交点，此时1012012k--==-；设直线12y kx=-与ln(1)y x x=>切于点()00,lnx x，则过该切点的切线方程为()001lny x x xx-=-，把点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭代入切线方程，可得1ln12x--=-，解得ex=，所以切点为1e,2⎫⎪⎭，则切线的斜率为=所以方程()12f x kx=-恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是1e2⎛⎝⎭，故选A．【名师点睛】本题主要考查了根的存在性与根的个数的判定问题，其中把方程()12f x kx=-恰有四个不相等的实数根转化为()y f x=的图象与12y kx=-的图象有四个不同的交点，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了转化与化归的思想方法，以及数形结合思想的应用．8．【答案】7【解析】因为函数()f x的定义域为R的奇函数，且当30,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sinπf x x=，所以()00,f=()()110f f-=-=，又周期为3，如图所示，画出函数()f x的函数图象，由图象可知，在区间[]0,6上的零点为0,1,2,3,4,5,6，所以共有7个零点.【名师点睛】本题考查了三角函数图象、周期函数、奇函数和零点的综合应用，关键是画出函数图象，利用图象来判定零点个数，属于难题.根据定义域为R 和奇函数的定义可得()00f =，利用周期为3和30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sin πf x x =可画出函数图象，根据图象判定零点个数.9．【答案】1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】作出函数()y f x =的图象，如图所示，因为()()3g x f x m =+有三个零点，所以031m <-<，解得103m -<<，即实数m 的取值范围是1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】作出函数()y f x =的图象，结合函数的图象，即可求解．本题主要考查了函数的零点问题的判定，其中解答中把函数的零点个数问题转化函数的图象与x 轴的交点个数，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及数形结合思想方法的应用． 10．【答案】（1）见解析；（2）01a <<；（3）见解析.【解析】（1）()10,f -=10,a m m ∴-+-=1a ∴=，()21f x x mx m ∴=++-，∴()()22412m m m ∆=--=-,当2m =时，0∆=，函数()f x 有一个零点； 当2m ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点.（2）已知0a ≠，则()2410m a m ∆=-->对于m ∈R 恒成立,即2440m am a -+>恒成立，∴216160a a ∆=-<',从而解得01a <<.故实数a 的取值范围是(0,1).【思路点拨】（1）利用判别式判定二次函数的零点个数；（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利用判别式处理即可； （3）利用零点的定义，将方程()()()1212f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12,x x 上有实数根，转化为函数()()g x f x =-()()1212f x f x ⎡⎤+⎣⎦在区间()12,x x 上有零点，结合零点存在性定理可以证明. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．1．【答案】C【解析】画出函数()f x 的图象，e xy =在y 轴右侧的图象去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C ．直通高考【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图象，再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果. 2．【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确；函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确；()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是看解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x 即可；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可. 3．【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+， 设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee e x x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.判别式()()()()()2242143244734143a a a a a a ∆=---=-+=--，因为1334a≤≤，所以0∆≥．当3a−2＜0，即a＜23时，方程()2221320x a x a+-+-=有一个正实根、一个负实根，满足要求；当3a−2=0，即a=23时，方程()2221320x a x a+-+-=的一个根为0，一个根为23-，满足要求；当3a−2＞0，即23＜a＜34时，因为− (2a−1)＜0，此时方程()2221320x a x a+-+-=有两个负实根，不满足要求；当a=34时，方程()2221320x a x a+-+-=有两个相等的负实根，满足要求．综上可知，实数a的取值范围是123[,]{}334．故选C．5．【答案】3【解析】0πx≤≤，ππ19π3666x∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x+=+=，或π5π362x+=，解得π4π,99x=或7π9，故有3个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出π36x+的范围，再由函数值为零，得到π36x+的取值可得零点个数.6．【答案】(1,4) (]()1,34,+∞【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．7．【答案】()48，【解析】分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+；当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-.令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--，则原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.【名师点睛】本题的核心是考查函数的零点问题，由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 8．【答案】2【解析】因为()()()2()|ln 4coscos 2sin 12|221cos sin 2sin f x x x x x x x x =---++⋅-π=- ()|ln 1|x +()sin 2n 1||l x x =-+，所以函数f (x )的零点个数为函数y =sin 2x 与y =|ln(x ＋1)|图象的交点的个数．函数y =sin 2x 与y =|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．9．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 10．【答案】(3，＋∞)【解析】函数()f x 的大致图象如图所示，根据题意知只要24m m m >-即可，又m ＞0，解得m ＞3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．。

考点04 函数及其表示（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.一、函数的概念1．函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y＝f()，∈A中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域，与的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f()|∈A}叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.2．必记结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．②函数的自变量习惯上用表示，但也可用其他字母表示，如：f()＝2−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有m n 个．二、函数的三要素1．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝0的定义域是{|≠0}.(5)y＝a(a>0且a≠1)，y＝sin，y＝cos的定义域均为R.(6)y＝log a(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).(7)y＝tan的定义域为π{|π,}2x x k k≠+∈Z.2．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f()的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y＝＋b(为常数且≠0)的值域为R.(2)反比例函数kyx=(为常数且≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y＝a2＋b＋c(a，b，c为常数且a≠0)，当a>0时，二次函数的值域为24[,)4ac ba-+∞；当a<0时，二次函数的值域为24(,]4ac ba--∞.求二次函数的值域时，应掌握配方法：2 224()24b ac b y ax bx c a xa a-=++=++.(4)y＝sin的值域为[−1,1]．三、分段函数1．分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．必记结论分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．考向一求函数的定义域在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大.1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)抽象函数：①若已知函数f()的定义域为[a，b]，则复合函数f(g())的定义域由a≤g()≤b求出．②若已知函数f(g())的定义域为[a，b]，则f()的定义域为g()在∈[a，b]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.典例1 函数()()2lg 31f x x =+的定义域是 A ．(),1-∞B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】要使函数()()2lg 31f x x =++有意义，则需10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得113x x <⎧⎪⎨>-⎪⎩，据此可得：函数()()2lg 31f x x =+的定义域为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故本题选择B 选项.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．本题求解时要注意根号在分母上，所以需要10x ->，而不是10x -≥.1．函数y =__________．典例2 若函数()1f x +的定义域是[]1,1-________． 【答案】1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【名师点睛】根据“若已知函数f ()的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g ())的定义域由a ≤g ()≤b 求出．若已知函数f (g ())的定义域为[a ，b ]，则f ()的定义域为g ()在∈[a ，b ]时的值域”解相应的不等式或不等式组即可顺利解决.2．已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，则函数1f x y +=__________．考向二 求函数的值域求函数值域的基本方法 1．观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． 2．利用常见函数的值域：一次函数的值域为R ；反比例函数的值域为{|0}y y ≠；指数函数的值域为(0,)+∞；对数函数的值域为R ；正、余弦函数的值域为[1,1]-；正切函数的值域为R . 3．分离常数法： 将形如cx dy ax b+=+(a ≠0)的函数分离常数，变形过程为： ()c bc bc ax b d d cx d c a a a ax b ax b a ax b ++--+==++++，再结合的取值范围确定bc d a ax b-+的取值范围，从而确定函数的值域. 4．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数()0)f x ax b ac =++≠，可以令0)t t =≥，得到2t d x c-=，函数()f x ax =0)b ac +≠可以化为2()a t d y tb c-=++(t ≥0)，接下求解关于t 的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制． 5．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． 6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． 7．单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域． 8．基本不等式法：利用基本不等式a b +≥(a >0，b >0)求最值．若“和定”，则“积最大”，即已知a ＋b ＝s ，则ab ≤22()24a b s +=，ab 有最大值24s ，当a＝b 时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab ＝t ，则a b +≥=a ＋b有最小值，当a ＝b 时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”． 9．判别式法：将函数转化为二次方程：若函数y ＝f ()可以化成一个系数含有y 的关于的二次方程a (y )2＋b (y )＋c (y )＝0，则在a (y )≠0时，由于，y 为实数，故必须有Δ＝b 2(y )－4a (y )·c (y )≥0，由此确定函数的值域．利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围. 10．有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域. 11．导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.典例3 求下列函数的值域： （1）243,[1,1]y x x x =-+∈-；（2）y x =-（3）2(1)1x y x x =>-.【答案】（1）[0，8]；（2）1(,]2-∞；（3）[4,)+∞. 【解析】（1）2243(2)1y x x x =-+=--， ∵1-≤≤1，∴3-≤−2≤1-， ∴1≤(−2)2≤9，则0≤(−2)21-≤8．故函数243,[1,1]y x x x =-+∈-的值域为[0，8]． （2）f ()的定义域为1(,]2-∞，令21(0)2t t x t -==≥，得21122y t t =--+，故1(,]2y ∈-∞.（3）22(1)2(1)11124111x x x y x x x x -+-+===-++≥---.当且仅当＝2时“＝”成立.故2(1)1x y x x =>-的值域为[4,)+∞.3．已知函数f ()＝12(－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b ](b ＞1)，则实数b 的值为 ．考向三 求函数的解析式求函数解析式常用的方法 1．换元法：已知复合函数f (g ())的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 2．配凑法：由已知条件f (g ())＝F ()，可将F ()改写成关于g ()的表达式，然后以替代g ()，便得f ()的表达式； 3．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 4．方程组法：已知关于f ()与1()f x或f (－)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f ().典例4 已知1)f x =+，则()f x = A ．21(1)x x -≥ B ．21x - C ．21(1)x x +≥D ．21x +【答案】A【名师点睛】在方法二中，用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ≥，如果忽略了这一点，在求()f x 时就会出错.4．已知2(1)f x x -=，则()f x 的表达式为 A ．2()21f x x x =++ B ．2()21f x x x =-+ C ．2()21f x x x =+-D ．2()21f x x x =--考向四 分段函数分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略： 1．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算． 2．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． 3．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式． 4．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．5．求奇偶性、周期性：利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.典例5 已知2,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则4()3f ＋4()3f -等于A ．－2B ．4C ．2D ．－4【答案】B【解析】∵4()3f ＝83，4()3f -＝1()3f -＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝43，∴4()3f ＋4()3f -＝4.故选B ．【名师点睛】分段函数的应用： 设分段函数1122(),()(),f x x I f x f x x I ∈⎧=⎨∈⎩.(1)已知0，求f (0)：①判断0的范围，即看0∈I 1，还是0∈I 2； ②代入相应解析式求解． (2)已知f (0)＝a ，求0：①当0∈I 1时，由f 1(0)＝a ，求0；②验证0是否属于I 1，若是则留下，反之则舍去；③当0∈I 2时，由f 2(0)＝a ，求0，判断是否属于I 2，方法同上； ④写出结论． (3)解不等式f ()＞a ：11()()x I f x a f x a ∈⎧>⇔⎨>⎩或22()x I f x a∈⎧⎨>⎩.5．已知函数f ()＝10xx x a x -≤⎧⎨>⎩,,，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．4典例6 已知函数()2e ,021,0x x f x x x x -⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若()()1f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】函数()1e =()ex x f x -=在(],0-∞上为减函数，函数221y x x =--+的图象开口向下，对称轴为1x =-，所以函数()221f x x x =--+在区间()0,+∞上为减函数，且02e 0201-=--⨯+.所以函数()f x 在(),-∞+∞上为减函数.由()()1f a f a -≥-得1a a -≤-，解得12a ≤.故选A ．【思路点拨】判断分段函数()2e ,021,0x x f x x x x -⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩两段的单调性，当0x ≤时，()1e =()e x x f x -=为指数函数，可判断函数()1e =()ex x f x -=在(],0-∞上为减函数；第二段函数221y x x =--+的图象开口向下，对称轴为1x =-，可得函数()221f x x x =--+在区间()0,+∞上为减函数.0x =时，两段函数值相等.进而得函数()f x 在(),-∞+∞上为减函数.根据单调性将不等式()()1f a f a -≥-变为1a a -≤，从而解得12a ≤即可 【名师点睛】（1）分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的大小；（2）抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“f ”，转化成解不等式，要注意函数定义域的运用.6．已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是A ．f ()是偶函数B ．f ()是增函数C ．f ()是周期函数D ．f ()的值域为[－1，＋∞)1．函数()()ln 21f x x =++的定义域为A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．1,22⎛⎤-⎥⎝⎦D ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭2．设函数()()422,4log 1,4x x f x x x -⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()18f a =，则a =A ．1 B1 C ．3 D ．11-3．如图为函数()y f x =的图象，则该函数可能为A ．sin xy x=B ．cos xy x=C ．sin xy x=D ．sin x y x=4．若函数y ＝f ()的定义域是[0,2]，则函数g ()＝()2ln f x x的定义域是A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)5．已知函数()[]24,,5f x x x x m =-+∈的值域是[]5,4-，则实数m 的取值范围是 A ．(),1-∞-B ．(]1,2- C ．[]1,2-D ．[]2,56．已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-7．已知()sin π1xf x x x =+-，记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]π3,e 3=-=-，则()()2y f x f x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦的值域为 A ．{}1B ．{}12，C ．{}01，D ．{}01,2，8．函数()f x =的值域为__________．9．已知函数()(0)f x ax b a =->,()()43ff x x =-，则()2f =__________．10．设函数()2,0,0,x x f x x ⎧<⎪=≥则使得()()f x f x >-成立的x 的取值范围是__________．1．（2017年高考山东卷理科）设函数y =的定义域为A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则AB =A ．（1,2）B ．(1,2]C ．（−2,1）D ．[−2,1)2．（2017年高考天津卷理科）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[-D．39[]16- 3．（2018年高考江苏卷）函数()f x =________．4．（2018年高考浙江卷）已知λ∈R ，函数f ()=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f ()<0的解集是___________．若函数f ()恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 5．（2018年高考江苏卷）函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πcos ,02,21,20,2x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f 的值为________．6．（2017年高考江苏卷）记函数()f x =D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ． 7．（2016年高考江苏卷）函数y__________．8．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的的取值范围是_________.【名师点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 2．【答案】()1,1-【解析】由题意得210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<，即函数1f x y +=域为()1,1-． 3．【答案】3【解析】∵f ()＝12(－1)2＋1，∈[1，b ]，且b ＞1，则f (1)＝12(1－1)2＋1＝1，f (b )＝12(b －1)2＋1，∴函数值域为[1，12(b －1)2＋1]．由已知得12(b －1)2＋1＝b ，解得b ＝3(b ＝1舍去)．4．【答案】A【解析】∵2(1)f x x -=，∴22()[(1)1](1)21f x f x x x x =+-=+=++.故选A ． 5．【答案】B【解析】根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2，故选B ．1．【答案】D【解析】要使函数()()ln 21f x x =++有意义，需满足240210x x ⎧->⎨+>⎩，解得122x -<<，即函数()()ln 21f x x =+的定义域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D ．2．【答案】A【解析】当4a ≤时，431228a --==，43a -=-，得1a =， 当4a >时，()21log 18a -+=，得1821a -=-，这与4a >矛盾，故此种情况下无解， 由上知1a =，故选A ．【名师点睛】该题考查的是分段函数中已知函数值求自变量的问题，在解题的过程中，需要时刻关注自变量的取值范围，在明显感觉解是不符合要求时可以不解确切值，只说无解即可. 3．【答案】B【解析】由图可知，πx =时，0y <，而A ，C ，D 此时对应的函数值0y =，故选B. 【名师点睛】识图常用的方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型分析解决问题．4．【答案】D【解析】∵f ()的定义域为[0,2]，∴要使f (2)有意义，必有0≤2≤2，∴0≤≤1，∴要使g ()有意义，应有01ln 0x x ≤≤⎧⎨≠⎩，∴0<<1，故选D ．5．【答案】C 【解析】22424f x x x x =-+=--+（）（），∴当2x =时，24f =（）， 由245f x x x =-+=-（），解得51x x ==-或，∴要使函数()24f x x x =-+在[]5m ，上的值域是[]54-，，则12m -≤≤，故选C ． 6．【答案】C 【解析】由()()1121f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭,可得()12f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得()()()2221722,22f x x f x x f x x -=-⇒-=-∴-=,故选C ． 7．【答案】B【名师点睛】本题考查了函数的中心对称性，得到()()22f x f x +-=，从而可将函数的两个量转换为一个量的讨论，()f x 为整数时易得解，()f x 不为整数时，设为整数加小数部分的结构代入即可. 8．【答案】[)0,2【解析】由y =440x -≥，且444x -<，故函数()f x =为[)0,2.10．【答案】()(),10,1-∞-.【解析】由()()f x f x >-，得20x x <⎧⎪⎨>⎪⎩或()20x x ≥⎧⎪>-，得1x <-或01x <<，即x的取值范围是()(),10,1-∞-，故答案为()(),10,1-∞-.【名师点睛】本题主要考查分段函数的解析式、由分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.1．【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故{|22}{|1}A B x x x x =-≤≤<= {|21}x x -≤<，选D ．2．【答案】A 【解析】不等式()||2xf x a ≥+可化为()()2x f x a f x -≤+≤ (*)， 当1x ≤时，(*)式即22332x x x a x x -+-≤+≤-+，即2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（当14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（当34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+． 又3232()22x x x x --=-+≤-x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤． 综上，47216a -≤≤．故选A ． 【名师点睛】首先将()||2xf x a ≥+转化为()()22x x f x a f x --≤≤-，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围． 3．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数()f x 有意义，则需2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[)2,+∞.【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 4．【答案】(1,4) (]()1,34,+∞【解析】由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，故不等式f ()<0的解集是()1,4,当4λ>时，()40f x x =->，此时()2430,1,3f x x x x =-+==，即在(),λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由()243f x x x =-+在(),λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(]()1,34,+∞.【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5． 【解析】由()()4fx f x +=得函数()f x 的周期为4，所以()()()111516111,22f f f =-=-=-+=因此()()1π15cos 242f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()ff a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.8．【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()()12g x f x f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 当0x ≤时，()()13222g x f x f x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭； 当102x <≤时，()()11222x g x f x f x x ⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭；当12x >时，()())11222x g x f x f x -⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，写成分段函数的形式：()())132,021112,0222122,2x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪⎛⎫=+-=++<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭三段区间内均单调递增，且)01111,201,22142g -⎛⎫-=++>⨯> ⎪⎝⎭，可知的取值范围是1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.。

考点07 指数与指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.（4）知道指数函数是一类重要的函数模型.一、指数与指数幂的运算1．根式（1）n次方根的概念与性质（2）根式的概念与性质正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．2．实数指数幂 （1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是*(0,,,1)m nmna a a m n n >∈>N 且. 于是，在条件*0,,,1a m n n >∈>N 且下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定*1(0,,,m nm naa m n a-=>∈N 且1)n >.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数,r s ，均有下面的运算性质： ①(0,,)rsr sa a aa r s +=>∈Q ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈Q ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈Q . （3）无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.一般地，无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 【注】指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x ； (3)系数：a x 的系数是1.2．指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象与性质轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0，1)点．3．有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域形如()xf y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()xf y a =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论． 求形如()xy f a=的函数的值域，要先求出xu a=的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．(2)判断复合函数()xy f a=的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数uy a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()x f y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()x f y a =在[m ，n ]上是减函数． (3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性． 二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．考向一 指数与指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.典例1 化简并求值： （1）)2933425125-⨯ （211113342a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）12；（2）ab. 【解析】（1）()922923343103343221825255252125----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2112232335433111271111233333342a b a b a b a ab b ab a b a b a b a b ---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭====⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭. 【名师点睛】把根式化为分数指数幂，再按照幂的运算法则进行运算即可．1．已知13a a-+=，则1122a a-+=__________.考向二 与指数函数有关的图象问题指数函数y =a x(a ＞0，且a ≠1)的图象变换如下：【注】可概括为：函数y=f(x)沿x轴、y轴的变换为“上加下减，左加右减”．典例2 函数y=a x－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是【解析】当x=1时，y=a1－a=0，所以y=a x－a的图象必过定点(1，0)，结合选项可知选C.2．函数（且）与函数在同一个坐标系内的图象可能是A．B．C ．D ．考向三 指数函数单调性的应用1．比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 2．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．典例3 设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论.3．已知213311,,ln323a b c ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>典例4 设函数11()7,0()22,0xx x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(3,)-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞【答案】C4．若221m n>>，则 A ．11m n>B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．π1m n ->考向四 指数型函数的性质及其应用1．指数型函数中参数的取值或范围问题应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a 的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论． 2．指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.典例5 函数()2e 1ex xf x +=的图象 A ．关于原点对称 B ．关于直线y =x 对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称【答案】D【解析】∵()2e 11e e e x x x x f x +==+，∴()11e e ()e ex xx xf x f x ---=+=+=，∴f (x )是偶函数，∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．5．若函数f (x )=3x ＋3－x 与g (x )=3x －3－x 的定义域均为R ，则A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数典例6 2221()2x x y -+=的值域是A ．1(,)2-∞B ．(0,)+∞C ．1(0,]2D ．[4,)+∞【答案】C【解析】易知函数2221()2x x y -+=的定义域为R .令t =x 2－2x ＋2，则y =1()2t .又t =x 2－2x ＋2=(x －1)2＋1，x ∈R ，∴当x =1时，t min =1，无最大值． ∴t ≥1， ∴0＜y ≤(12)1， 故所求函数的值域为1(0,]2．6．若关于x 的不等式1220x x a +--->的解集包含区间()0,1，则a 的取值范围为 A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞ C ．7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞1．计算：114333122x x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．3B ．2C ．2x +D ．12x +2．设全集{}|e 1x U x =>，函数()1f x x =-的定义域为A ，则U A ð为 A ．(]0,1 B ．()0,1 C ．()1,+∞D ．[)1,+∞3．函数()1(1)x x a y a x+=>的图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．4．已知实数,x y 满足1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+ C ．11x y>D ．33x y >5．已知函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是A ．12 B ．13 C ．14D ．236．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，且0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f 的解集为 A ．)41,41(- B ．)21,21(- C ．)2,2(-D ．)1,1(-7．设函数()2a fx x -=与()(1x g x a a =>且2a ≠)在区间()0+∞，上具有不同的单调性，则()0.21M a =-与0.11N a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是A ．M N =B ．M N ≤C ．M N <D ．M N >8．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c++的取值范围是A ．()16,32B ．()18,34C ．()17,35D ．()6,79．若3log 21x ≥，则函数()1423xx f x +=--的最小值为A ．4-B ．3-C ．329-D ．010．已知14742a b c ===，则111a b c-+=__________． 11．已知函数()sin cos f x a x b x =-，若ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数13ax b y ++=的图象恒过定点__________． 12．已知函数()xf x a b =+()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则ba =__________． 13．已知函数()242x x a af x a a-+=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围.1．（2017年高考新课标Ⅰ卷理科）已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．（2017年高考北京卷理科）已知函数1()3()3x x f x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数3．(2016年高考新课标Ⅲ卷理科)已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .5．（2016年高考天津卷理科）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（–∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是 .6．（2015年高考山东卷理科）已知函数()(01)xf x a b a a =+>≠,的定义域和值域都是]0,1[-，则b a +=.1【解析】由题意得21112223a a a a --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，∴211225a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，11220a a-+>，∴ 11225a a-+=.2．【答案】C【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数的图象过()0,1-点，故排除A ，D ；二次函数的对称轴为直线11x a =-，当01a <<时，指数函数递减，101a <-，C 符合题意； 当1a >时，指数函数递增，101a >-，B 不合题意，故选C ．【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,,x x x →→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.变式拓展【名师点睛】由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a ,b ,c 的范围，然后比较其大小即可.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 4．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得m n >， 因为,m n 的符号不确定，所以0,0m n <<时可排除选项A 、B ；3,12m n ==时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断π1m n ->正确，故选D ．【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而作出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.1．【答案】D考点冲关【解析】原式11143333122122x x x x x --=⋅+⋅=+.2．【答案】A【解析】由题意得{}|0U x x =>，{}{}|10|1A x x x x =->=>，所以{01}U A x =<≤ð，故选A ． 3．【答案】A 【解析】函数()1(1)x x a y a x+=>的定义域为()(),00,-∞+∞．当1x <-时，由题意可得0y <，故可排除B ，D ； 又当x →+∞时，由于1a >，故y →+∞，故排除C ． 故选A ．【名师点睛】由函数的解析式判断函数图象的形状时，主要利用排除法进行．解题时要注意以下几点： （1）先求出函数的定义域，根据定义域进行排除；（2）利用函数的性质进行判断，即根据函数的单调性、奇偶性、对称性进行排除； （3）根据函数图象上的特殊点的函数值进行判断或根据函数的变化趋势进行判断． 4．【答案】D【解析】由指数函数的性质得1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y ⇔＞，对于A ，当3π3π44x y ==-，时，满足x y ＞，但tan tan x y >不成立． 对于B ，若()()22ln 2ln 1x y +>+，则等价为22x y ＞成立，当11x y ==-，时，满足x y ＞，但22x y ＞不成立． 对于C ，当32x y ==，时，满足x y ＞，但11x y>不成立． 对于D ，当x y ＞时，33x y >恒成立. 故选D ．【名师点睛】利用指数函数即可得出,x y 的大小关系，进而判断出结论．本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．属于基础题． 5．【答案】B【解析】函数()2(0)xf x x =<的值域为01（，），即01D =（，），则在区间()1,2-上随机取一个数x x D ∈，的概率()101.213P -=--＝故选B ．7．【答案】D【解析】由题意，因为()2af x x -=与()xg x a =在区间()0,+∞上具有不同的单调性，则2a >，所以()0.211M a =->，0.111N a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以M N >，故选D ．8．【答案】B【解析】画出函数()f x 的大致图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b+=． 结合图象可得45c <<，故16232c <<． ∴1822234a b c <++<．故选B ．【名师点睛】解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象．解题中有两个关键：一是结合图象得到222a b+=；二是根据图象判断出c 的取值范围，进而得到16232c<<的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围．10．【答案】3【解析】由题设可得111214,27,24a b c ===，则1121472a b -=÷=，即111113222422a b a b c --+=⇒=⨯=，即1113a b c-+=，故答案为3. 11．【答案】()1,3【解析】∵ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 图象的对称轴为π4x =，∴()π02f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即b a -=，∴0a b +=．在13a xb y ++=中，令1x =，则133a b y ++==．∴函数13ax b y ++=的图象恒过定点()1,3．故答案为()1,3．12．【答案】4【解析】当1a >时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的图象过点(−1, −1)和点(0,0)，所以101a b a b -⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，该方程组无解；当01a <<时，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 的图象过点(−1,0)和点(0, −1)，所以1001a b a b -⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得所以4b a =． 13．【答案】（1）2a =；（2）()1,1-；（3）10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，即242422x x x xa a a a a a a a---+-+=-++. 整理可得2a =．（注：本题也可由()00f =解得2a =，但要进行验证）（2）由（1）可得()22221212222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++， ∴函数()f x 在R 上单调递增， 又211x +>，∴22021x -<-<+， ∴211121x -<-<+．∴函数()f x 的值域为()1,1-．（3）当[]1,2x ∈时，()21021x xf x -=>+． 由题意得()212221x x xmf x m -=≥-+在[]1,2x ∈时恒成立， ∴()()212221xx x m +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立．令()2113xt t =-≤≤，则有()()2121t t m t tt+-≥=-+，∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数， ∴max 21013t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. ∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【名师点睛】解决函数中恒成立问题的常用方法：（1）分离参数法．若所求范围的参数能分离出来，则可将问题转化为()a f x ≥（或()a f x ≤）恒成立的问题求解，此时只需求得函数()f x 的最大（小）值即可．若函数的最值不可求，则可利用函数值域的端点值表示． （2）若所求的参数不可分离，则要根据方程根的分布或函数的单调性并结合函数的图象，将问题转化为不等式进行处理．1．【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}AB x x x x =<<{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.2．【答案】A【解析】()()113333xx x x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数. 3．【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．5．【答案】13(,)22【解析】由题意知()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(2)a f f ->可化为1(2)2)a f f ->，则122a -<112a -<，解得1322a <<，即a 的取值范围为13(,)22．6．【答案】23-【解析】当01a <<时，函数()(01)xf x a b a a =+>≠,是减函数，在定义域]0,1[-上，值域为11,b b a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，所以1110b b a+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，则()13=2=22a b ++--；当1a >时，函数()(01)x f x a b a a =+>≠,是增函数，在定义域]0,1[-上，值域为11b b a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，所以1011b b a+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，此方程组无解.综上，得3=2a b +-.。

高考数学函数与方程必考考点总结2019年高考数学函数与方程必考考点总结函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．典型例题1：2二二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系典型例题2：3三二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，2、零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．3、数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．典型例题4：已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法1、直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．2、分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．3、数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．。

（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>； （2）顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->； （3）顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>； （4）顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质标准方程图 形几 何范 围对称性关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称性 质焦点准线方程顶 点 坐标原点(0，0)离心率2．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程焦半径公式3．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则抛物线方程焦点弦公式其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径． 对于抛物线22(0)y px p =>，由(,)2p A p ，(,)2pB p -，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ． 4．必记结论直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图： （1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.（2）|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥122x x p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . （3）1|AF |＋1|BF |为定值2p.（4）弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．（5）以AB 为直径的圆与准线相切．（6）焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.考向一 抛物线的定义和标准方程1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F （抛物线的焦点），一条定直线l （抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）.2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PF p x =+或2PF py =+，使问题简化． 典例 1 平面内动点P 到点()0,2F 的距离和到直线l ：2y =-的距离相等，则动点P 的轨迹方程为是_____________. 【答案】28x y =【解析】由题意知，该点轨迹是以()0,2F 为焦点，2y =-为准线的抛物线，其中4p =，所以方程为28x y =.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题. 典例2 抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则p = A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C本题选择C 选项.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p 的值即可.1．已知F 是抛物线24y x =的焦点，,M N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 的中点到准线的距离为 A ．32B ．2C ．3D ．4考向二 求抛物线的标准方程1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. 典例3 若点A ,B 在抛物线y 2=2px (p >0)上,O 是坐标原点,若正三角形OAB 的面积为4,则该抛物线的方程是 A ．y 2=23x B ．y 2=xC ．y 2=2xD ．y 23x 【答案】A典例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程． （1）过点(32)-，；（2）焦点在直线240x y --=上．2．顶点在原点，且过点()44-，的抛物线的标准方程是 A ．24y x =-B ．24x y =C ．24y x =-或24x y =D ．24y x =或24x y =-考向三 抛物线的简单几何性质及其应用确定及应用抛物线性质的关键与技巧：(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.典例5 已知等腰三角形OPM 中，OP ⊥MP ，O 为抛物线2y =2px (p >0)的顶点，点M 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，则点P 与抛物线的焦点F 之间的距离是A ．22pB ．52p C ．2pD ．2p【答案】B【解析】由题意得222,P P P P P y x x px x p =∴=∴=因此点P 与抛物线的焦点F 之间的距离为522P p px +=，选B. 【名师点睛】（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．（2）解答本题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．3．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点()01,M y 在抛物线C 上，054y MF =，则tan FAM ∠= A ．25 B ．52 C ．45D ．54考向四 焦点弦问题与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键.典例6 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1,y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |=7，求AB 的中点M 到抛物线准线的距离.典例7 已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9.（1）求该抛物线的方程;（2）O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.4．过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线l 与抛物线交于A B ，两点，以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，则p =A ．1B ．2C ．3D ．4考向五 抛物线中的最值问题1.抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解.2.有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E （E 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值.典例8 如图,已知点及抛物线24x y =上的动点,则的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．【答案】A典例9 已知抛物线的方程为x 2=8y ,F 是焦点,点 A (-2,4),在此抛物线上求一点P ,使|PF |+|PA |的值最小. 【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A (-2,4)在抛物线x 2=8y 的内部.如图所示,设抛物线的准线为l ,过点P 作PQ ⊥l 于点Q ,过点A 作AB ⊥l 于点B ,连接AQ .5．已知抛物线24y x =，过焦点F 作直线与抛物线交于点A ，B ，设AF m =∣∣，BF n =∣∣，则m n +的最小值为 A ．2B ．3C 3D ．41．抛物线214y x =的准线方程是 A ．1y =- B ．1y = C ．1x =-D ．1x =2．已知,m n ∈R ，则“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．以x 轴为对称轴,通径长为8,顶点为坐标原点的抛物线方程是 A ．y 2=8xB ．y 2=-8xC ．y 2=8x 或y 2=-8xD ．x 2=8y 或x 2=-8y4．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝ A ．0 B ．3 C ．2D ．45．已知点M (-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y 2=2x 的焦点为F ,点Q 是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是A ．72 B ．3 C ．52D ．26．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，M 为抛物线C 上的一点，O 为原点，若OFM △为等腰三角形，则OFM △的周长为 A ．4B ．251+C ．52+或4D ．51+或47．F 是抛物线22y x =的焦点，以F 为端点的射线与抛物线相交于点A ，与抛物线的准线相交于点B ，若4FB FA =，则FA FB ⋅= A ．1 B ．32 C ．2D ．948．曲线22y x =上两点()()1122,,A x y B x y 、关于直线y x m =+对称，且1212x x ⋅=-，则m 的值为 A ．32 B ．2 C ．52D ．39．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,抛物线上的两个动点A ,B 始终满足∠AFB =60°,过弦AB 的中点H 作抛物线的准线的垂线HN ,垂足为N ,则HNAB的取值范围为A ．(0,3] B ．[3,+∞) C ．[1,+∞)D ．(0,1]10．若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线﹣y 2=1的右顶点重合，则p =_________.11．已知点()()121,,9,A y B y 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，210y y >>，点F 是它的焦点，若5BF AF =，则212y y +的值为__________．12．已知等腰梯形ABCD 的顶点都在抛物线22(0)y px p =>上，且∥AB CD ，2,4,AB CD ==60ADC ∠=︒，则点A 到抛物线的焦点的距离是_________．13．已知抛物线C :y 2=ax (a >0)的焦点为F ,点A (0,1),射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,若|FM |∶|MN |=1∶3,则实数a 的值为_________. 14．已知抛物线的焦点为,准线方程是.(1)求此抛物线的方程; (2)设点在此抛物线上,且,若为坐标原点,求△OFM 的面积.15．已知M ,N 是焦点为F 的抛物线()220y px p =>上两个不同的点,线段MN 的中点A 的横坐标为42p -. (1)求|MF |+|NF |的值;(2)若p =2,直线MN 与x 轴交于点B ,求点B 的横坐标的取值范围. 16．设A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两点,且满足OA ⊥OB (O 为坐标原点).求证:(1)A ,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值; (2)直线AB 经过一个定点.17．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 轴上，且抛物线上有一点(),5P m 到焦点的距离为6.(1)求该抛物线C 的方程；(2)已知抛物线上一点()4,M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ME ⊥，判断直线DE 是否过定点，并说明理由.1．（2018新课标I 理）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．82．（2016新课标全国I 理科）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42|DE|=5C 的焦点到准线的距离为 A ．2B ．4C ．6D ．83．（2017新课标全国I 理科）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．104．（2016浙江理科）若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______________． 5．（2017新课标全国II 理科）已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________．6．（2018新课标Ⅲ理）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．7．（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24，-，39()24，B ，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ． （1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PA PQ ⋅的最大值．8．（2016新课标全国III 理科）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点． （1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．9．（2018新课标Ⅱ理）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．10．（2018北京理）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．1．【答案】C【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程的应用，其中熟记抛物线的定义、标准方程，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，属于基础题．根据抛物线的方程求出准线方程，再利用抛物线的定义，列出方程求出,M N 的中点的横坐标，再求出线段MN 的中点到抛物线的准线的距离． 2．【答案】C【解析】∵抛物线的顶点在原点，且过点()44-，，∴设抛物线的标准方程为22x py =（0p >）或22y px =-（0p >），【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题．依题意，设抛物线的标准方程为22x py =（0p >）或22y px =-（0p >），将点()44-，的坐标代入抛物线的标准方程，求得p 即可．注意，本题也可用排除法，因为抛物线经过点()44-，，且该点在第三象限，所以抛物线的开口朝上或朝左，观察各选项知选项C 符合题意. 3．【答案】C【解析】由抛物线的定义知00524p MF y y =+=，解得02y p =， 又点()01,M y 在抛物线C 上，代入22x py =解得011,2y p ==.过点M 作抛物线的准线的垂线，设垂足为E ,则tan tan FAM AME ∠=∠=14554AE ME==. 故选C.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.先利用抛物线的定义和已知条件求出011,2y p ==，再过点M 作抛物线的准线的垂线，设垂足为E ,最后解直角三角形AME 得tan FAM ∠的值. 4．【答案】B【解析】设过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线l 与抛物线交于()()1122,,A x y B x y ，两点，则变式拓展12AB x x p =++，又因为以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，所以1268AB x x p p =++=+=，解得2p =.故选B.【名师点睛】涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量. 5．【答案】D【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.1．【答案】A 【解析】抛物线的标准方程为24x y =，焦点在y 轴上，24p ∴=，即2p =，12p∴=，则准线方程为1y =-.故选A.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质，先将其转换为标准方程，然后求出准线方程，属于基础题. 2．【答案】C【解析】若“0mn <”，则2n x y m =-中的0nm->，所以“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”，则2n x y m=-中的0nm->，即0mn <，则“0mn <”成立，故是充分必要条件.故答案为C.【名师点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断. 3．【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为y 2=±2px (p >0),则2p =8,所以抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-8x .故选C. 4．【答案】B考点冲关【解析】抛物线y 2＝4x ，2p ∴=，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，4MF ∴=，即有42M px +=，3M x ∴=. 故选B.【名师点睛】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法，抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解. 5．【答案】C【解析】抛物线的准线方程为x =12-，当MQ ∥x 轴时，|MQ|-|QF|取得最小值，此时|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+12|=52. 6．【答案】D【名师点睛】本题考查抛物线的性质.由题意可知，满足要求的点有两个，所以进行分类讨论.本题的关键就是求出M 的坐标，求出周长，所以只需设出M 的坐标，结合各自的等量关系，求坐标，得到周长. 7．【答案】D【解析】由题意得1(,0)2F ，设点A 的横坐标为m ，则由抛物线的定义，可得13214m +=，则14m =，所以3,34FA FB ==，所以9cos04FA FB FA FB ⋅==．故本题选D . 8．【答案】A【名师点睛】这是属于圆锥曲线中的中点弦问题，可以联立，由根与系数的关系得到中点坐标，代入已知直线.还有解决中点弦问题和对称问题，可以利用点差法，由两式作差直接得中点坐标和直线斜率的关系. 9．【答案】D【解析】过A ,B 分别作抛物线准线的垂线AQ ,BP ,垂足分别为Q ,P ,设|AF|=a ,|BF|=b ，则由抛物线的定义，得|AQ|=a ,|BP|=b ,所以|HN|=.在△ABF 中，由余弦定理得|AB|2=a 2+b 2-2ab cos 60°=a 2+b 2-ab ，所以()()22222212322321a bHN a b a bAB aba b ab a b ab a b aba b +++====+-+-+--+,因为a+b ≥2,所以()211321aba b ≤-+,当且仅当a =b 时等号成立,故HNAB的取值范围为(0,1].故选D. 10．【答案】4【解析】由双曲线﹣y 2=1可得a=2,则双曲线的右顶点为(2,0),则22p=,所以p=4. 11．【答案】10【解析】由抛物线的定义可得1,922p p AF BF =+=+，依据题设可得595222p p p +=+⇒=，则22122414,49366y y y =⨯==⨯=⇒=（舍去负值），故21210y y +=，应填10.12．【答案】7312【解析】由题意可设()(),1,3,2A m D m +，因此()42333,2312p m p m pm⎧⎪⎨⇒=⎪⎩=+==，因此点A到抛物线的焦点的距离是337323412p m +=+=. 13．【答案】【解析】依题意得焦点F 的坐标为(,0),设M 在抛物线的准线上的射影为K ,连接MK ,由抛物线的定义知|MF |=|MK |,因为|FM |∶|MN |=1∶3,所以|KN |∶|KM |=2∶1,又01404FN k a a --==-,k FN =-=-2,所以4a=2,解得a =.14．【解析】(1)因为抛物线的准线方程为，15．【解析】(1)设()()1122,,,M x y N x y ,则128x x p +=-,而12p MF x =+,22pNF x =+, ∴128MF NF x x p +=++=.(2)当p =2时,抛物线方程为24y x =. ①若直线MN 的斜率不存在,则B (3,0).②若直线MN 的斜率存在,设A (3,t )(t ≠0),则由(1)知21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，整理得()2212124y x y x =--,∴()1212124y x y x y y +--=⋅,即2MN k t=,∴直线()2:3MN y t x t-=-, ∴B 点的横坐标为232t -,由22(3)4y t x t y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2222120y ty t -+-=,由Δ>0得0<t 2<12,∴232t -∈(−3,3).综上,点B 的横坐标的取值范围为(]3,3-.【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解能力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题的能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键. 16．【解析】(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则=2px 1,=2px 2.则直线AB 的方程为()11122py y x x y y -=⋅-+,∴y =·x -·+y 1=·x +.又y 1y 2=-4p 2, ∴y =·x -(x -2p ).∴直线AB 过定点(2p ,0).17．【解析】(1)由题意设抛物线方程为22(0)x py p =>，其准线方程为2py =-， 1121k k k k k k⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+()44x k -+=()1244k x k k ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，化简得12y k x k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭4142k k k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭()48x ++. ∴直线DE 过定点()4,8-.【名师点睛】（1）本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题. （2）定点问题：对满足一定条件曲线上两点连接所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法：①特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.②分离参数法：一般可以根据需要选定参数λ∈R ，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式()()()2123,,,0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，()(),1,2,3i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组()()()123,0,0,0f x y f x y f x y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，从而求得该定点.1．【答案】D【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出()()1,2,4,4M N ，之后借助于抛物线的方程求得()1,0F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果. 2．【答案】B【解析】如图，设抛物线方程为22y px =(p >0)，圆的半径为r ,,AB DE 分别交x 轴于,C F 点，则||22AC =A 点纵坐标为22A 点横坐标为4p ，即4||OC p=，由勾股定理知直通高考2222||||||DF OF DO r +==，2222||||||AC OC AO r +==，即22224(5)()2)()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因. 3．【答案】A【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin p AB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=． 4．【答案】9【解析】1109M M x x +=⇒=.【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离． 5．【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则||2,||4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线||||||32AN FF'BM +==，由抛物线的定义有：||||3MF MB ==，结合题意，有||||3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 6．【答案】2【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法得到1212124y y k x x y y -==-+，取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，由抛物线的性质得到()12MM AA BB '=''+，进而得到斜率. 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．8．【解析】由题可知)0,21(F ．设1:l y a =，2:l y b =，则0≠ab ，且2(,)2a A a ，2(,)2b B b ，1(,)2P a -，1(,)2Q b -，1(,)22a b R +-． 记过A ，B 两点的直线为l ，则直线l 的方程为0)(2=++-ab y b a x ． （1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab ．记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ， 9．【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=． 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 10．【解析】（1）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．。

考点10 函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.一、常见的函数模型二、几类函数模型的增长差异三、函数模型的应用解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.用框图表示如下：考向一二次函数模型的应用在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.典例1 山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售.（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；（2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？【解析】（1）由题意得，与之间的函数关系式为：.（3）设利润为，则由（2）得，，因此当时，.又因为，所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润，为元.1．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元/件）可近似看作一次函数y kx b =+的关系（图象如下图所示）．（1）根据图象，求一次函数y kx b =+的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S 元, ①求S 关于x 的函数表达式；②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．考向二 指数函数、对数函数模型的应用（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为()1xy N p =+(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.典例2 一片森林原来面积为a ,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为2a .为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林面积为2a . （1）求p %的值;（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年? （3）今后最多还能砍伐多少年?【解析】（1）由题意得()101%2a a p -=,即()1011%2p -=, 解得1101%1()2p =- .（2）设经过m, 则()1%2ma p a -=,即1102111())2210,2(m m ==，解得m =5,故到今年为止,已砍伐了5年.典例 3 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量()mg /L P 与时间()h t 之间的关系为0ektP P -=．已知5h 后消除了10%的污染物，试求：（1）10h 后还剩百分之几的污染物．（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈） 【解析】（1）由0ektP P -=，可知0t =时，0P P =，当5t =时，()5500110%e e 0.9kk P P P --=-=⇒=，所以1ln0.95k =-， 当10t =时，1ln0.910ln0.815000ee 81%P P P P ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭===，所以10个小时后还剩81%的污染物． （2）当050%P P =35， 所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时．2．盐化某厂决定采用以下方式对某块盐池进行开采：每天开采的量比上一天减少%p，10天后总量变为原来的一半，为了维持生态平衡，剩余总量至少要保留原来的116，已知到今天为止，剩余的总量是原来的（1）求%p的值；（2）到今天为止，工厂已经开采了几天？（3）今后最多还能再开采多少天？考向三分段函数模型的应用（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．典例4 某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完.据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满足：，产品每件的销售利润为(单位：元)（日销售量线上日销售量线下日销售量）.（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元？【解析】（1）由题意可得：当时，日销售量为，日销售利润为：；当时，日销售量为，日销售利润为：；当时，日销售量为，日销售利润为：.综上可得：3．某种商品的市场需求量1y （万件）、市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：170y x =-+，2220y x =-．当12y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若该商品的市场销售量P （万件）是市场需求量1y 和市场供应量2y 两者中的较小者，该商品的市场销售额W （万元）等于市场销售量P 与市场价格x 的乘积． ①当市场价格x 取何值时，市场销售额W 取得最大值；②当市场销售额W 取得最大值时，为了使得此时的市场价格恰好是新的市场平衡价格，则政府应该对每件商品征税多少元？考向四 函数模型的比较根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.典例5 某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系. 模拟函数1:by ax c x=++；模拟函数2:x y m n s =⋅+.（1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量. 【解析】（1）若用模拟函数1：by ax c x=++， 则有1012221333a b c b a c b a c ⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩，解得125,3,22a b c ==-=，即32522x y x =-+，当4x =时，13.75y =． 若用模拟函数2：xy m n s =⋅+，则有23101213mn smn s mn s=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得18,,142m n s =-==，即3142xy -=-，当4x =时，13.5y =．所以选用模拟函数1较好． （2）因为模拟函数1：32522x y x =-+是单调增函数，所以当12x =时，生产量远大于他的最高限量； 模拟函数2：3142xy -=-也是单调增函数，但生产量14y <，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：3142xy -=-好．当6x =时，3614213.875y -=-=，所以预测6月份的产量为13.875万件.4．某创业投资公司拟开发某种新能源产品，估计能获得万元到万元的投资利益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过收益的．（1）请分析函数2150xy =+是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因． （2）若该公司采用函数模型1032x ay x -=+作为奖励函数模型，试确定最小正整数的值．1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用 A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数D ．对数型函数2．已知三个变量123,,y y y 随变量x 变化的数据如下表：则反映123,,y y y 随x 变化情况拟合较好的一组函数模型是A ．21232,2,log xy x y y x === B ．212322,,log x y y x y x === C ．21223log ,,2xy x y x y ===D ．212232,log ,x y y x y x ===3．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为%p ；超过280万元的部分按()2%p +征税．现有一家公司的实际缴税比例为()0.25%p +，则该公司的年收入是 A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元D ．320万元4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )(参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg20.30≈) A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年D ．2023年5．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3e cm bt y a -=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ）min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一. A ．8B ．16C ．24D ．326．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为 A ．6.5元 B ．8.5元 C ．10.5元D ．11.5元7．衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小,若它的体积V 随时间t 的变化规律是1100e t V V -=（e 为自然对数的底数），其中0V 为初始值.若03V V =，则t 的值约为 ____________.(运算结果保留整数，参考数据：lg30.4771,≈ lge 0.4343)≈8．某种产品的产销量情况如图所示，其中：表示产品各年年产量的变化规律；表示产品各年的销售量变化情况.有下叙述：（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去； （2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量； （4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.你认为较合理的是 （把你认为合理结论的序号都填上）.9．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x 万元之间的函数关系为32x w +=（其中推广促销费不能超过5万元）.已知加工此农产品还要投入成本33w w ⎛⎫+⎪⎝⎭万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为304w ⎛⎫+⎪⎝⎭元/件. （1）试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费） （2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？10．某电动小汽车生产企业，年利润=（出厂价-投入成本）⨯年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万/辆，年销售量为10000辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为x （01x <<），则出厂价相应提高的比例为0.75x .同时年销售量增加的比例为0.6x .（1）写出本年度预计的年利润y （万元）与投入成本增加的比例x 的函数关系式；（2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？11．在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是,经过一定时间后,温度将满足=,其中是环境温度,称为半衰期.现有一杯用195F 热水冲的速溶咖啡,放在75F 的房间内,如果咖啡降到105F 需要20分钟,问降温到95F 需要多少分钟?(F 为华氏温度单位,答案精确到0.1，参考数据:）12．习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”. 目前我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.十九大后，某行业计划从 2018 年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为 (01)x x <<. （1）设n 年后（2018 年记为第 1 年）年产能为 2017 年的a 倍，请用,a n 表示x ; （2）若10%x =，则至少要到哪一年才能使年产能不超过 2017 的 25%？ 参考数据：lg20.301=,lg30.477=.13．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度V （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4尾/立方米时， V 的值为2千克/年；当420x ≤≤时， V 是x 的一次函数，且当20x =时， 0V =．（1）当020x <≤时，求V 关于x 的函数的表达式．（2）当养殖密度x 为多大时，每立方米的鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．1．（2014湖南理科）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- CD12．（2015四川理科）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系e kx by +=（e 2.718=为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0 C 的保鲜时间是192小时，在22 C的保鲜时间是48小时，则该食品在33 C 的保鲜时间是_________小时.1．【解析】（1）由题意可得400600300700k b k b =⨯+=⨯+⎧⎨⎩，解得11000k b =-=⎧⎨⎩，所以所求的表达式为．（2）①由（1）得．②由①可知，，其图象开口向下，对称轴为，所以当时，．即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．（3）设今后最多还能再开采n()11%16np a -≥， 即51021122n ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5102n ≤，得25n ≤， 故今后最多还能再开采25天．3．【解析】（1）令12y y =，得70220x x -+=-， 故30x =，此时1240y y ==．答：平衡价格是30元，平衡需求量是40万件．②设政府应该对每件商品征税t 元，则供应商的实际价格是每件()x t -元， 故()2220y x t =--，令12y y =，得()70220x x t -+=--，由题意可知上述方程的解是35x =，代入上述方程得7.5t =． 答：政府应该对每件商品征税7.5元． 4．【解析】（1）对于函数模型，当时,为增函数,, 所以恒成立,但当时,,即不恒成立,故函数模型不符合公司要求.(2)对于函数模型,即，当,即时单调递增,为使对于恒成立,即要,即,为使对于恒成立, 即要,即恒成立, 即恒成立,又,故只需,所以.综上,,故最小的正整数的值为1．【答案】D【解析】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速度也是越来越快的，也不满足要求；对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D. 2．【答案】B【解析】从题表格可以看出，三个变量123,,y y y 都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量1y 的增长速度最快，呈指数函数变化，变量3y 的增长速度最慢，呈对数型函数变化，故选B. 3．【答案】D【解析】设该公司的年收入为a 万元，则280p %+（a ﹣280）（p +2）%=a （p +0.25）%，解得a =280220.25⨯-=320．故选D ． 4．【答案】B【解析】若2018年是第一年，则第n 年科研费为1300 1.12n ⨯，由1300 1.122000n ⨯>，可得lg1.3lg1.12lg2n +>，得0.050.19, 3.8,4n n n ⨯>>≥，即4年后，到2021年科研经费超过2000万元，故选B ． 5．【答案】B【解析】依题意有8eba -=12a ,即e =，两边取对数得8ln ln2,,b b y -==-∴=∴=24-8=16min .故选B ． 6．【答案】D【解析】设定价在进价的基础上增加x 元，日销售利润为y 元，则y =x [480﹣40（x ﹣1）]﹣200， 由于x ＞0，且520﹣40x ＞0，所以0＜x ＜13. 即y =﹣40x 2+520x ﹣200，0＜x ＜13．y 取最大值． ∴销售单价应定为5 6.511.5+=元.故选D. 7．【答案】11【解析】由题意，设一个樟脑丸的体积变为03V V =时，需要经过的时间为t ，11ln3ln310t --==-，8．【答案】（2），（3）【解析】产品产量、销售量均以直线上升，但表示年产量的直线斜率大，上升快，斜率小，上升慢，所以随着的增加，两者差距加大，出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重. 9．【解析】（1）由题意知303963184330223x y w w x w x w w w x ⎛⎫⎛⎫=+-+-=+--=-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， ∴()631805223x y x x =--≤≤+. （2）∵6318223x y x =--+， ∴()6313613633322323y x x x x ⎛⎫⎡⎤=-+=-++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦133272≤-⋅=. 当且仅当3x =时，上式取“=” ， ∴当3x =时，max 27y=.答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.11．【解析】依题意，可令，，，，代入式子得，解得.又若，代入式子得，则.∴()21221lg30.477110log 10log 610log 3110110125.96lg20.3010t ⎛⎫⎛⎫===+=⨯+=⨯+≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.答：降温到95F 约需要25.9分钟.12．【解析】（1）依题意得：()1nx a -=，则1x -=1x =（2）设n 年后年产能不超过2017年的25%，则()110%25%n-≤，即91104n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即91lglg 104n ≤，()2lg312lg2n -≤-，则2lg212lg3n ≥-，30123n ≥， ∵301131423<<，且*n ∈N ， ∴n 的最小值为14.答：至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.（2）依题意并由（1当04x <≤时，()f x 为增函数，故()()max 4428f x f ==⨯=； 当420x <≤故()()max 1012.5f x f ==．所以，当020x <≤时，()f x 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．1．【答案】D【解析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为(0)x x >,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.2．【答案】24【解析】由题意，得22192e 48e bk b +⎧=⎪⎨=⎪⎩，即11192e 1e 2bk ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 于是当x ＝33时，3311331e (e )e ()1922k bk b y +==⋅=⨯＝24(小时).。

2019年广东省高考数学真题（理科）及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x∣x2+2x=0,x∈R},N={x∣x2-2x=0,x∈R},则M∪N=A. {0}B. {0，2}C. {-2,0} D {-2,0,2}2.定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中，奇函数的个数是A. 4B.3C. 2D.13.若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是A. （2,4）B.（2,-4）C. (4,-2) D(4,2)4.已知离散型随机变量X的分布列为1 2 3P则X的数学期望E（X）=A. B. 2 C. D 35．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是A．4 B． C． D．66．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若α⊥β，m α，nβ，则m ⊥ n B．若α∥β，mα，nβ，则m∥nC．若m⊥ n，m α，n β，则α⊥β D．若m α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是A． = 1 B． = 1 C． = 1 D． = 18.设整数n≥4，集合X=｛1，2，3……，n｝。

令集合S=｛（x,y,z）|x，y，z∈X，且三条件x<y<z,y<z<x，z<x<y 恰有一个成立｝，若（x，y，z）和（z，w，x）都在s中，则下列选项正确的是A.（y，z，w）∈s，（x，y，w）SB.（y，z，w）∈s，（x，y，w）∈SC. （y，z，w）s，（x，y，w）∈SD. （y，z，w）s，（x，y，w）S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

必做题（9~13题）9.不等式x2+x-2<0的解集为。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A. (-∞，1)B. (-2，1)C. (-3，-1)D. (3，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．3.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3α=所以3.r R α==【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x <<<，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数234817x x x x x '=<<<（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()22221119q S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 显然极差变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．8.若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；10.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A.15B.5C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．11.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A.B. C. 2 D.【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．14.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】 【分析】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3π． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．15.V ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则V ABC 的面积为__________.【答案】【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 1. 【解析】 【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决． 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则A B B E x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．三、解答题：共70分。

函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。

函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。

②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。

【③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法① 代数法：函数)(x f y =的零点⇔0)(=x f 的根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（3）零点个数确定0∆>⇔)(x f y =有2个零点⇔0)(=x f 有两个不等实根； {0∆=⇔)(x f y =有1个零点⇔0)(=x f 有两个相等实根；0∆<⇔)(x f y =无零点⇔0)(=x f 无实根；对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定.1、 二分法（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤:① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε;②求区间(,)a b 的中点c ; ③计算()f c ;…(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;(ⅱ) 若()()0f a f c ⋅<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈); (ⅲ) 若()()0f c f b ⋅<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.【经典例题】1．函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3】2．函数 f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )A 、(－2，－1)B 、(－1,0)C 、(0,1)D 、(1,2)3．若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .4．设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数g (x )= |x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为 （ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 5．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）A 、4B 、5C 、6D 、76．函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内 （ ）)A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点7．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )A 、(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，32B 、(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，－34C 、⎝⎛⎭⎫－1，14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞D 、⎝⎛⎭⎫－1，－34∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 8．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .9．求下列函数的零点：（1）32()22f x x x x =--+； （2）4()f x x x=-.>10．判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1,]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度．/【课堂练习】1、在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为 （ ）A 、1(,0)4-B 、1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)242、若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ） A 、(0,1) B 、(1,1.25) C 、(1.25,1.75) D 、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )?4、函数f ()x =2x+3x 的零点所在的一个区间是 （ ）A ．（-2,-1）B 、（-1，0）C 、（0，1）D 、（1，2）5、设函数f ()x =4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是 （ ） A 、[-4,-2] B 、[-2,0] C 、[0,2] D 、[2,4]6、函数()x f =x -cos x 在[0，∞+﹚内 （ ）A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点 7、若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过，则()f x 可以是（ ）A 、()41f x x =-B 、2()(1)f x x =-C 、()1xf x e =- D 、1()ln()2f x x =- #8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )A 、3()8f x x =-B 、()ln 3f x x =+C 、2()2f x x =++D 、2()41f x x x =-++9、函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B 、⎪⎭⎫⎝⎛21,41C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,21D 、(1,2)10、01lg =-xx 有解的区域是 （ ） A 、(0,1] B 、(1,10]C 、(10,100]D 、(100,)+∞11、在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为 （ ）A 、1(,0)4-B 、 1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)24!12、函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为（ ）A 、1[0,]8B 、11[,]84C 、11[,]42D 、1[,1]213、设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）A 、(1,1.25)B 、(1.25,1.5)C 、(1.5,2)D 、不能确定 14、设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（ ） A 、[]4,2-- B 、 []2,0- C 、[]0,2 D 、[]2,415、函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩， 零点个数为（ ）A 、3 B 、2 C 、1 D 、016、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到）为 （ ）A 、B 、1.3C 、D 、 ^17、方程223xx -+=的实数解的个数为 .18、已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。