2016-2017学年高中数学人教B版选修1-2学业分层测评6 分析法及其应用 Word版含解析

章末综合测评(二) 推理与证明(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.).数列，，，，，，…中的等于( )－＝，故＝＋×＝.【解析】观察知数列{}满足：＝，＋【答案】.用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋＝至少有一个实根”时，要做的假设是( ).方程＋＋＝没有实根.方程＋＋＝至多有一个实根.方程＋＋＝至多有两个实根.方程＋＋＝恰好有两个实根【解析】方程＋＋＝至少有一个实根的反面是方程＋＋＝没有实根，故应选.【答案】.下列推理过程是类比推理的是( ).人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼.通过检测溶液的值得出溶液的酸碱性.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】为归纳推理，，均为演绎推理，为类比推理.【答案】.下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是°归纳出所有三角形的内角和都是°；③由()＝，满足(－)＝－()，∈，推出()＝是奇函数；④三角形内角和是°，四边形内角和是°，五边形内角和是°，由此得凸多边形内角和是(－)·°..①③④.①②.②④.①②④【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理.【答案】.设＝＋，＝，则，的大小关系是( )>＝>(＋)<【解析】因为＝＋>＝>，故>.【答案】.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④·＝；⑤由·＝·(≠)，可得＝.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是( )个个个个【解析】①③正确；②④⑤错误.【答案】.证明命题：“()＝＋在(，＋∞)上是增函数”.现给出的证法如下：因为()＝＋，所以′()＝－.因为>，所以>，<<.所以－>，即′()>.所以()在(，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( )【导学号：】.综合法.分析法.反证法.以上都不是【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法.。

学业分层测评(十二)
(建议用时：分钟)
[学业达标]
一、选择题
.如图--所示流程图中，判断正整数是奇数还是偶数，判断框内的条件是(
)
图--
.余数是?
.余数是？
.余数不为?
.余数是?【解析】依据判断框的出口进行选择，出口为“是”时为偶数.故判断框内应
该填“余数是？”.
【答案】
.进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成
以下几个步骤：.打开电子信箱；.输入发送地址；.输入主题；.输入信件内容；.
点击“写邮件”；.点击“发送邮件”.则正确的是( )
→→→→→
→→→→→
→→→→→
→→→→→
【解析】依题意知发送电子邮件的步骤应是：→→→→→.
【答案】
.如图--，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，
连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点向结点传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信
息量是( )
图--
【解析】由→有条路线，条路线单位时间内传递的最大信息量为＋＋＋＝.
【答案】
.小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用分钟，收拾床褥用分钟，听广
播用分钟，吃早饭用分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为( )
【导学号：】分钟分钟
分钟分钟
【解析】把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用＋＋＝(分钟).
【答案】
.执行下面的程序框图，若输入的，，分别为，，，则输出的＝( )
图--
【解析】当＝时，＝＋＝，＝，＝；
当＝时，＝＋＝，＝，＝；
当＝时，＝＋＝，＝，＝；。

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·广州高二检测)如图4-1-6所示流程图中，判断正整数x是奇数还是偶数，判断框内的条件是()图4-1-6A.余数是1？B.余数是0?C.余数是3?D.余数不为0?【解析】依据判断框的出口进行选择，出口为“是”时x为偶数.故判断框内应该填“余数是0？”.【答案】 B2.进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”.则正确的是()A.a→b→c→d→e→fB.a→c→d→f→e→bC.a→e→b→c→d→fD.b→a→c→d→f→e【解析】依题意知发送电子邮件的步骤应是：a→e→b→c→d→f.【答案】 C3.如图4-1-7，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是()图4-1-7A.26B.24C.20D.19【解析】 由A →B 有4条路线，4条路线单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.【答案】 D4.小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为( )【导学号：37820055】A.17分钟B.19分钟C.23分钟D.27分钟【解析】 把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用5＋4＋8＝17(分钟).【答案】 A5.(2014·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )图4-1-8A.203B.165C.72D.158【解析】 当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，a ＝2，b ＝32；当n＝2时，M＝2＋23＝83，a＝32，b＝83；当n＝3时，M＝32＋38＝158，a＝83，b＝158；n＝4时，终止循环.输出M＝15 8.【答案】 D 二、填空题6.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积为S＝πab，当a＝4，b＝2时，计算椭圆面积的流程图如图4-1-9所示，则空白处应为________.图4-1-9【解析】由S＝πab知，需要a，b的值，由已知a＝4，b＝2，而且用的是□框，故为赋值.【答案】a＝4，b＝27.如图4-1-10是计算1＋13＋15＋…＋199的程序框图，判断框中应填的内容是________，处理框中应填的内容是________.图4-1-10【解析】用i来表示计数变量，故判断框内为“i>99？”，处理框内为“i ＝i＋2”.【答案】i>99？i＝i＋28.(2014·辽宁高考)执行如图4-1-11所示的程序框图，若输入n＝3，则输出T ＝________.图4-1-11【解析】初始值：i＝0，S＝0，T＝0，n＝3，①i＝1，S＝1，T＝1；②i＝2，S＝3；T＝4；③i＝3，S＝6，T＝10；④i＝4，S＝10，T＝20，由于此时4≤3不成立，停止循环，输出T＝20.【答案】20三、解答题9.设计一个计算1＋2＋…＋100的值的程序框图.【解】程序框图设计如下：10.数学建模过程的流程图如图4-1-12.图4-1-12根据这个流程图，说明数学建模的过程.【解】数学建模的过程：根据实际情境提出问题，从而建立数学模型得出数学结果，然后检验是否合乎实际，如果不合乎实际，进行修改后重新提出问题.如果合乎实际，则成为可用的结果.[能力提升]1.某工厂加工某种零件的工序流程图如图4-1-13：图4-1-13按照这个工序流程图，一件成品至少经过几道加工和检验程序()A.3B.4C.5D.6【解析】由流程图可知加工零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工，每道工序完成都要对产品进行检验，粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工；返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品.由上可知一件成品至少要经过粗加工、检验、精加工、最后检验四道程序.【答案】 B2.执行两次如图4-1-14所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为()图4-1-14A.0.2，0.2B.0.2，0.8C.0.8，0.2D.0.8，0.8【解析】 第一次：a ＝－1.2<0，a ＝－1.2＋1＝－0.2，－0.2<0，a ＝－0.2＋1＝0.8>0，a ＝0.8≥1不成立，输出0.8.第二次：a ＝1.2<0不成立，a ＝1.2≥1成立，a ＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2.【答案】 C3.如图4-1-15所示算法程序框图中，令a ＝tan 315°，b ＝sin 315°，c ＝cos 315°，则输出结果为________.图4-1-15【解析】 程序框图的算法是求出a ，b ，c 三个数中的最大值.对于tan 315°＝－1，sin 315°＝－22，cos 315°＝22，故输出的结果为22.【答案】 224.A，B，C，D四位同学分别拿着5，3，4，2个暖瓶一起去打开水，热水龙头只有一个，怎么安排他们打水的顺序，才能使他们打完水所花的总时间(含每个人排队、打水的时间)最少？如果打满一瓶水需1分钟，那么他们打完水所花的总时间最少是多少分钟？【解】由题意可知A，B，C，D四人把自己手中的暖瓶打满水分别需要5分钟，3分钟，4分钟，2分钟，A用时最长，D用时最短.对于A和D来说，如果先安排A打水用去5分钟，这样A等于用了5分钟，而D除了等A打完水用5分钟外，再加上自己打完水用2分钟，共需要7分钟，那么两个人总共用了5＋5＋2＝12(分钟).若反过来将D安排在A前面，则D打完水用去2分钟，A等候2分钟，再加上自己打完水用去5分钟，两人总共用了2＋2＋5＝9(分钟).相比较，第二种方案用时少于第一种.由此可以得出这样的结论：把打水占用时间少的人安排在前面可以使打完水所花的总时间最短.按占用时间由少到多的顺序安排四人打水顺序为D，B，C，A.流程图如图所示.由流程图知他们打完水所花的总时间最少为2＋5＋9＋14＝30(分钟).D打完水（2分钟）→B排队、打完水（5分钟）→C排队、打完水（9分钟）→A排队、打完水（14分钟）。

模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A．－1B．1C．－2 D．2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】 B2．已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵z＝11＋i＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋12i.【答案】 B3．观察：6＋15<211，5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，…，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是() A．a＋b＝22 B．a＋b＝21C．ab＝20 D．ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.【答案】 B4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝()A．－e B．－1C．1 D．e【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.【答案】 B5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A．②①③B．③②①C．①②③D．③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．【答案】 D6．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则()图1A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f′(x)的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点．【答案】 A7．曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()【导学号：05410080】A.94e2B．2e2C ．e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1,0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.【答案】 D8．已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( ) A ．a k ＋a k ＋1＋…＋a 2k B ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1 C ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k D ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【解析】 由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项．故选D.【答案】 D9．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2D ．a ≤13【解析】 由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A10．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x 则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a【解析】 由题意可得a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32； b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44| 10＝14.综上，a >b >c . 【答案】 A11．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n－1增加的项数是()A．1 B．2k＋1 C．2k－1 D．2k【解析】∵f(k)＝1＋12＋13＋……＋12k－1，又f(k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1.从f(k)到f(k＋1)是增加了(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．【答案】 D12．已知函数f(x)＝x3－ln(x2＋1－x)，则对于任意实数a，b(a＋b≠0)，则f(a)＋f(b)a＋b的值为()A．恒正B．恒等于0C．恒负D．不确定【解析】可知函数f(x)＋f(－x)＝x3－ln(x2＋1－x)＋(－x)3－ln(x2＋1＋x)＝0，所以函数为奇函数，同时，f′(x)＝3x2＋1x2＋1>0，f(x)是递增函数，f(a)＋f(b)a＋b＝f(a)－f(－b)a－(－b)，所以f(a)＋f(b)a＋b>0，所以选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．复数3＋ii2(i为虚数单位)的实部等于________．【解析】∵3＋ii2＝－3－i，∴其实部为－3.【答案】－314．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】 第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215．曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________． 【解析】 由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎜⎛π65π6⎝⎛⎭⎪⎫sin x －12d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －12x ⎪⎪⎪⎪5π6π6＝3－π3.【答案】3－π316．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________ .【导学号：05410081】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ， ∴由已知可得⎩⎨⎧f (－1)＝(－1)3＋3m (－1)2＋n (－1)＋m 2＝0，f ′(－1)＝3×(－1)2＋6m (－1)＋n ＝0， ∴⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝3或⎩⎨⎧m ＝2，n ＝9，当⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾，当⎩⎨⎧m ＝2，n ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 显然x ＝－1是极值点，符合题意，∴m ＋n ＝11. 【答案】 11三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值. 【导学号：05410082】【解】 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝5－5i5＝1－i. 因为z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝－2i ＋a －a i ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ， 所以⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，－(2＋a )＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)由f (2)≥0，得a ≥－54. 当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0， 所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19．(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由． 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2,2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列； 当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1(2n －1－1)2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1(2n －1－1)2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0， S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列．综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列．20．(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x＝0处有极值，求a的取值范围．【解】(1)因为f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，所以－1<m<3，又m∈Z，所以m＝0,1,2.而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，所以f(x)＝x4.(2)由(1)知g(x)＝14x4＋ax3＋92x2－b，则g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根．为使g(x)仅在x＝0处有极值，必须x2＋3ax＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式得a∈[－2,2]．这时，g(0)＝－b是唯一极值，所以a∈[－2,2]．21．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n＋1a n.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想到数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【解】(1)由S1＝a1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a1＋1a1，得a21＝1，因为a n>0，所以a1＝1.由S2＝a1＋a2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a2＋1a2，得a22＋2a2－1＝0，所以a2＝2－1，由S3＝a1＋a2＋a3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a3＋1a3，得a23＋22a3－1＝0，所以a3＝3－ 2.(2)猜想a n＝n－n－1(n∈N＋)．证明：①当n＝1时，a1＝1－0＝1，命题成立；②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ， 则n ＝k ＋1时，命题成立． 则①②知，n ∈N ＋，a n ＝n －n －1.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bx e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1， 从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e . 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x . 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )． 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e . 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若空间任意两个非零向量a，b，则|a|＝|b|，且a∥b是a＝b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a＝b⇒|a|＝|b|，且a∥b；所以，必要；当b＝－a时，有|a|＝|b|且a∥b，但a≠b，所以，不充分．故选B.【答案】 B2．下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．【答案】 C3．如图2-1-3所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90°的共有()图2-1-3A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【解析】 夹角为90°的共有BA →与BD →，BA →与BC →，DB →与DC →，BA →与DC →，DA →与DC →.【答案】 C4.在如图2-1-4所示的正三棱柱中，与〈AB →，AC →〉相等的是( )图2-1-4A ．〈AB →，BC →〉B ．〈BC →，CA →〉C ．〈C 1B 1→，AC →〉D ．〈BC →，B 1A 1→〉【解析】 ∵B 1A 1→＝BA →，∴〈BA →，BC →〉＝〈AB →，AC →〉＝〈BC →，B 1A 1→〉＝60°，故选D.【答案】 D5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( )A.BD →B ．BC 1→ C.BD 1→D ．A 1B →【解析】 ∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥面ACC 1A 1，故BD →为平面ACC 1A 1的法向量．【答案】 A二、填空题6．正四面体S -ABC 中，E ，F 分别为SB ，AB 中点，则〈EF →，AC →〉＝________.【解析】 如图所示，∵E ，F 为中点，∴EF ∥SA ，而△SAC 为正三角形，∴∠SAC ＝π3，∴〈EF →，AC →〉＝2π3.【答案】 2π37．下列命题正确的序号是________．①若a ∥b ，〈b ，c 〉＝π4，则〈a ，c 〉＝π4； ②若a ，b 是同一个平面的两个法向量，则a ＝b ；③若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；④异面直线的方向向量不共线．【导学号：32550022】【解析】 ①〈a ，c 〉＝π4或3π4，①错；②a ∥b ，②错；③当b ＝0时，推不出a ∥c ，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】 ④图2-1-58．如图2-1-5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【解析】 要求异面直线EF 与GH 所成的角就是求〈FE →，GH →〉，因为FE →与BA 1→同向共线，GH →与BC 1→同向共线，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉，在正方体中△A 1BC 1为等边三角形，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉＝60°.【答案】 60°三、解答题9.如图2-1-6，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，在以长方体的顶点为起点和终点的向量中，图2-1-6(1)写出所有的单位向量；(2)写出与AB →相等的所有向量；(3)写出与AD →相反的所有向量；(4)写出模为5的所有向量．【解】 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为长、宽、高分别为AB ＝3，AD＝2，AA 1＝1，所以AD 1＝12＋22＝ 5.(1)单位向量有：AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →.(2)与AB →相等的向量有：DC →，D 1C 1→，A 1B 1→.(3)与AD →相反的向量有：DA →，CB →，C 1B 1→，D 1A 1→.(4)模为5的向量有：AD 1→，A 1D →，BC 1→，B 1C →，D 1A →，DA 1→，C 1B →，CB 1→.图2-1-710．如图2-1-7所示，已知正四面体A -BCD .(1)过点A ，作出方向向量为BC →的空间直线；(2)过点A ，作出平面BCD 的一个法向量．【解】 如图所示，过点A 作直线AE ∥BC ，由直线的方向向量的定义可知，直线AE 即为过点A 且方向向量为BC →的空间直线．(2)如图所示，取平面BCD 的中心O ，由正四面体的性质可知，AO 垂直于平面BCD ，∴向量AO →可作为平面BCD 的一个法向量．[能力提升]1．(2016·福州高二检测)空间两向量a ，b 互为相反向量，已知向量|b |＝3，则下列结论正确的是( )A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3【解析】 ∵a ，b 互为相反向量，∴a ＝－b ，又∵|b |＝3，∴|a |＝3.【答案】 D2．(2016·天津高二检测)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →.其中互为相反向量的有n 对，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 AB →与C 1D 1→，AD 1→与C 1B →平行且方向相反，互为相反向量．【答案】 B图2-1-83．如图2-1-8所示，四棱锥D 1-ABCD 中，AD ＝DD 1＝CD ，底面ABCD 是正方形，DD 1⊥面ABCD ，E 是AD 1的中点，求〈AC →，DE →〉．【解】 取CD 1的中点F ，连接EF ，DF ，则EF →＝12AC →，∴〈AC →，DE →〉＝〈EF →，DE →〉，由AD ＝DD 1＝CD ，且D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥CD ，∴DE ＝DF ＝EF ＝22DD 1，∴△EFD 为正三角形，∠FED ＝π3，∴〈AC →，DE →〉＝〈EF →，DE →〉＝2π3.4．如图2-1-9，四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：【导学号：32550023】图2-1-9(1)直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．【解】 (1)由已知得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有AB →，BA →，CD →，DC →这4个．(2)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .又∵VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥VA .又AC ∩VA ＝A ，∴BD ⊥平面VAC .∴平面VAC 的法向量有BD →，DB →这2个．。

学业分层测评（四）（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1。

(2016·保定高二检测)下面几种推理中是演绎推理的为( ）A.由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B。

猜想数列错误!，错误!，错误!,…的通项公式为a n＝错误!（n∈N＋)C.半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝πD。

由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为（x－a）2＋(y－b）2＋（z－c）2＝r2【解析】A,B为归纳推理，D为类比推理，C为演绎推理.【答案】C2.已知△ABC中，∠A＝30°,∠B＝60°，求证:a＜b。

证明:∵∠A＝30°，∠B＝60°,∴∠A＜∠B,∴a＜b，画线部分是演绎推理的( )A。

大前提B。

小前提C.结论D。

三段论【解析】结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提。

【答案】B3。

“因为对数函数y＝log a x是增函数(大前提），而y＝log错误!x 是对数函数（小前提），所以y＝log错误!x是增函数（结论)。

”上面推理错误的是( ）A。

大前提错导致结论错B。

小前提错导致结论错C.推理形式错导致结论错D.大前提和小前提都错导致结论错【解析】大前提y＝log a x是增函数错误，当0<a〈1时,函数y ＝log a x是减函数。

【答案】A4。

在△ABC中，E，F分别为AB,AC的中点，则有EF∥BC,这个问题的大前提为（）【导学号:37820014】A.三角形的中位线平行于第三边B。

三角形的中位线等于第三边的一半C.EF为中位线D.EF∥CB【解析】三段论中的大前提是指一个已知的一般性结论,本题中指：三角形的中位线平行于第三边，故选A.【答案】A5.定义运算“⊗"为：a⊗b＝ab＋a2＋b2，若1⊗m〈3,则m的取值范围是（）A。

章末分层突破[自我校对]①回归分析②独立性检验③相关系数④相互独立事件,回归分析分析两个变量线性相关的常用方法：(1)散点图法，该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系．(2)相关系数法，该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：(2)如果年龄(3周岁～16周岁之间)相差5岁，其身高有多大差异？ (3)如果身高相差20 cm ，其年龄相差多少？【精彩点拨】 本例考查对两个变量进行回归分析．首先求出相关系数，根据相关系数的大小判断其是否线性相关，由此展开运算．【规范解答】 (1)设年龄为x ，身高为y ，则x ＝114(3＋4＋…＋15＋16)＝9.5，y ＝114(90.8＋97.6＋…＋167.5＋173.0)≈131.985 7，∑14i ＝1x 2i＝1 491，∑14i ＝1y 2i ＝252 958.2，∑14i ＝1x i y i ＝18 990.6，14x y ≈17 554.1，∴∑14i ＝1x 2i －14(x )2＝227.5，∑14i ＝1y 2i －14(y )2≈9 075.05， ∑14i ＝1x i y i－14x y ＝1 436.5， ∴r ＝∑14i ＝1x i y i－14x y∑14i ＝1x 2i－14(x )2∑14i ＝1y 2i －14(y )2＝1 436.5227.5×9 075.05≈0.999 7.因此，年龄和身高之间具有较强的线性相关关系．(2)由(1)得b ＝∑14i ＝1x i y i －14x y ∑14i ＝1x 2i －14(x )2＝1 436.5227.5≈6.314，a ＝y －b x ＝131.985 7－6.314×9.5≈72， ∴x 与y 的线性回归方程为y ＝6.314x ＋72.因此，如果年龄相差5岁，那么身高相差6.314×5＝31.57(cm)． (3)如果身高相差20 cm ，年龄相差206.314≈3.168 ≈3(岁)．[再练一题]1．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，提到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【解】 (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，l 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．,条件概率1．条件概率公式揭示了条件概率P (A |B )与事件概率P (B )、 P (AB )三者之间的关系．下列两种情况可利用条件概率公式：一种情况是已知P (B )和P (AB )时去求出P (A |B )；另一种情况是已知P (B )和P (A |B )时去求出P (AB )．对于后一种情况，为了方便也常将条件概率公式改写为如下的乘法公式：若P (A )＞0，有P (AB )＝P(A)P(B|A)．2．乘法公式与条件概率公式实际上是一个公式，要求P(AB)时，必须知道P(A|B)或P(B|A)；反之，要求P(A|B)时，必须知道积事件AB的概率P(AB)，在解决实际问题时，不要把求P(AB)的问题误认为是求P(A|B)的问题．盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？【精彩点拨】要注意B发生时A发生的概率与A，B同时发生的概率的区别．【规范解答】设事件A：“任取一球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：由表知，P(B)＝1116，P(AB)＝416，故所求事件的概率为P(A|B)＝P(AB)P(B)＝4161116＝411.[再练一题]2．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．【解】设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}．B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，C＝{从第二个盒子中取一个红球}，D＝{从第三个盒子中取一个红球}，则容易求得P(A)＝710，P(B)＝310，则P(C)＝12，P(D)＝810＝45.显然，事件A∩C与事件B∩D互斥，且事件A与C是相互独立的，所以试验成功的概率为P＝P(A∩C)＋P(B∩D)＝P(A)·P(C)＋P(B)·P(D)＝59100，所以本次试验成功的概率为59100.独立性检验独立性检验问题的基本步骤为：(1)找相关数据，作列联表．(2)求统计量χ2.(3)判断可能性，注意与临界值做比较，得出事件有关的可信度．考察黄烟经过药物处理跟发生青花病的关系，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断经过药物处理跟发生青花病是否有关系．【精彩点拨】提出假设，根据2×2列联表求出χ2，从而进行判断．【规范解答】由已知得到下表：根据2×2列联表中的数据，可以求得χ2＝470×(25×200－185×60)2 210×260×85×385≈9.788.因为χ2＞7.879，所以我们有99.5%的把握认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的．[再练一题]3．某学校高三年级有学生1 000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)．现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165 cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：体育锻炼与身高达标2×2列联表：(2)请问体育锻炼与身高达标是否有关系？(χ2值精确到0.01)参考公式：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d). 【解】(1)(2)根据列联表得χ2＝100×(40×15－35×10)275×25×50×50≈1.33＜2.706，所以没有充分的理由说明体育锻炼与身高达标有关系．1．(2015·湖北高考)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【解析】 根据正相关和负相关的定义进行判断．若线性回归方程的斜率为正，则两个变量正相关，若斜率为负，则负相关．因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝by ＋a ，b >0，则z ＝by ＋a ＝－0.1bx ＋b ＋a ，故x 与z 负相关．【答案】 C2．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝y－b x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元【解析】由题意知，x＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a＝8－0.76×10＝0.4，∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．【答案】 B3．(2014·湖北高考)根据如下样本数据A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【解析】作出散点图如下：观察图像可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，y＝a＞0.故a ＞0，b＜0.【答案】 B4．(2016·全国卷Ⅱ)图1-1是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．图1-1注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑7i ＝1 (y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ni ＝1 (t i －t )2∑ni ＝1 (y i －y )2，回归方程y ＝a ＋bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ni ＝1 (t i －t )2，a ＝y －－b t .【解】 (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑7i ＝1 (t i －t )2＝28，∑7i ＝1 (y i －y )2＝0.55，∑7i ＝1 (t i －t )(y i －y )＝∑7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89， ∴r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y＝9.327≈1.331及(1)得b＝∑7i＝1(t i－t)(y i－y)∑7i＝1(t i－t)2＝2.8928≈0.103.a＝y－b t≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．单元综合测评(一)统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为()①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．A．①②③B．③④C．④⑤D．②③④【解析】①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④为相关关系．【答案】 D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝bx＋a中，x的系数b>0(或b<0)，故①④错．【答案】 D3．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是()A．0.75 B．0.60C．0.48 D．0.20【解析】记“开关了10 000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15 000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P(A)＝0.80，P(B)＝0.60，则P(AB)＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.600.80＝0.75.【答案】 A4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y＝73.93＋7.19x，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是()A．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cmB．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以上C．她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右D．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以下【解析】由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C．【答案】 C5．(2016·咸阳高二检测)已知一个线性回归方程为y ＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y ＝( )A ．58.5B ．46.5C ．60D ．75【解析】 ∵x ＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(x －，y －)，∴y －＝1.5×9＋45＝58.5. 【答案】 A6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P (B |A )＝( )A ．13B ．518C ．16D ．14【解析】 出现点数互不相同的共有6×5＝30种， 出现一个5点共有5×2＝10种， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13. 【答案】 A7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )A C ．2.5%D ．97.5%【解析】查表可得χ2>5.024.因此有97.5%的把握认为“X和Y有关系”．【答案】 D8．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A．12B．35C．23D．34【解析】由题意知，乙队获得冠军的概率为12×12＝14，由对立事件概率公式得，甲队获得冠军的概率为P＝1－14＝3 4.【答案】 D9．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为()A．p＋q－2pq B．p＋q－pqC．p＋q D．pq【解析】甲花卉成活而乙花卉不成活的概率为p(1－q)，乙花卉成活而甲花卉不成活的概率为q(1－p)，故恰有一株成活的概率为p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2qp.【答案】 A10．同时抛掷三颗骰子一次，设A：“三个点数都不相同”，B：“至少有一个6点”，则P(B|A)为()A．12B．6091C．518D．91216【解析】P(A)＝6×5×46×6×6＝120216，P(AB)＝3×4×56×6×6＝60216，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝60216×216120＝12.【答案】 A11．以下关于线性回归分析的判断，正确的个数是()①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图1中的A，B，C点；③已知直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．图1A．0 B．1C．2 D．3【解析】能使所有数据点都在它附近的直线不只一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线y＝bx＋a才是回归直线，∴①不对；②正确；将x＝25代入y＝0.50x－0.81，得y＝11.69，∴③正确；④正确，故选D．【答案】 D12．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关” .A．0B．1 C．2D．3【解析】由列联表中数据可求得随机变量χ2＝992×(700×32－60×200)2 760×232×900×92≈7.349＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”，因此②③正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知x，y的取值如下表：1.02x＋a，则a ＝________.【解析】由题意得x＝4，y＝5，又(x，y)在直线y＝1.02x＋a上，所以a＝5－4×1.02＝0.92.【答案】0.9214．已知P(B|A)＝12，P(A)＝35，则P(AB)＝________.【解析】由P(B|A)＝P(AB)P(A)得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝12×35＝310.【答案】3 1015．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (χ2≥3.841)χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________.【解析】 χ2≈4.844>3.841，故判断出错的可能性为0.05. 【答案】 0.0516．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：5℃时，热茶销售量为________杯.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫已知回归系数b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ＝y －b x 【解析】 根据表格中的数据可求得x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60，∴y ＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ＝－2×(－5)＋60＝70. 【答案】 70三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？【解】 设从甲袋中任取1个球，事件A ：“取得白球”，由此事件A ：“取得红球”，从乙袋中任取1个球，事件B ：“取得白球”，由此事件B ：“取得红球”，则P (A )＝23，P (A )＝13，P (B )＝12，P (B )＝12.因为A 与B 相互独立，A 与B 相互独立， 所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×12＋13×12＝12.18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：【解】 χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，把相关数据代入公式，得χ2＝85×(5×28－40×12)217×68×45×40≈4.722>3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．19．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图2：图2将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，【解】 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2 人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.20．(本小题满分12分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B ：从1号箱中取出的是红球． P (B )＝42＋4＝23. P (B )＝1－P (B )＝13.(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.(2)∵P(A|B)＝38＋1＝13，∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩B) ＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝4 9×23＋13×13＝1127.21．(本小题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？(3)求线性回归方程；(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？【解】(1)散点图如下图所示：(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：r＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2∑i＝110y2i－10y2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52× 1 020 953－10×288.72≈0.984.这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，所以求线性回归方程有实际意义．(3)b＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52≈46.9，a＝y－b x≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y＝30.8＋46.9x.(4)当x＝11时，y的估计值是46.9×11＋30.8≈547.因此，当播放天数为11天时，估计累计人次为547.22．(本小题满分12分)(2016·济南模拟)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：“非高收入族”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？已知：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，当χ2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.(2)赞成楼市限购令的概率．【解】 (1)χ2＝50×(25×7－15×3)40×10×22×28≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a，b，c，d，e，其中a，b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中ab，ac，ad，ae，bc，bd，be为所求事件数，因此所求概率P＝710.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．抛物线的焦点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，则其标准方程为( )A ．x 2＝－yB ．x 2＝yC ．y 2＝xD ．y 2＝－x【解析】 易知－p 2＝－14，∴p ＝12，焦点在x 轴上，开口向左，其方程应为y 2＝－x .【答案】 D2．(2014·安徽高考)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1D ．x ＝－2【解析】 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y .∴准线方程为y ＝－1. 【答案】 A3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C.【答案】 C4．若抛物线y 2＝ax 的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为( )A ．(－2,0)B ．(2,0)C ．(2,0)或(－2,0)D ．(4,0)【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.当a ＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a ＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C.【答案】 C5．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，即p ＝4. 【答案】 D 二、填空题6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________.【解析】 由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线的准线为x ＝－p 2，由题意知3＋p2＝4，∴p ＝2.【答案】 27．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程是________．【解析】 由题意知，P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，直线x ＋2＝0为准线的抛物线，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号 )【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52.若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④ 三、解答题9．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M 的坐标．【解】 由抛物线定义，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，则准线为x ＝p2.由题意，设M到准线的距离为|MN|，则|MN|＝|MF|＝10，即p2－(－9)＝10.∴p＝2.故抛物线方程为y2＝－4x，将M(－9，y)代入y2＝－4x，解得y ＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．10．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【导学号：26160056】【解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.∵两圆外切，∴|MC|＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切．∴圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.∴|MC|＝d＋1，即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x ＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且p2＝2，p＝4，故其方程为y2＝8x.[能力提升]1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1D. 3【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32.【答案】 B2．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和到y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2D.5－1【解析】 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1. 【答案】 D3．如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.图2－3－2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y 得x20＝6，∴x0＝ 6.∴水面宽|CD|＝2 6 m.【答案】2 64．若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M 为AB的中点，求M点到y轴的最短距离．【导学号：26160057】【解】设抛物线焦点为F，连结AF，BF，如图，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－12，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′.由抛物线定义，知|AA ′|＝|F A |，|BB ′|＝|FB |. 又M 为AB 中点，由梯形中位线定理，得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|F A |＋|FB |)≥12|AB |＝12×3＝32， 则x ≥32－12＝1(x 为M 点的横坐标，当且仅当AB 过抛物线的焦点时取得等号)，所以x min ＝1，即M 点到y 轴的最短距离为1.。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·泰安高二检测)以下四组向量： ①a ＝(1，－2,1)，b ＝(－1,2，－1)； ②a ＝(8,4,0)，b ＝(2,1,0)； ③a ＝(1,0，－1)，b ＝(－3,0,3)； ④a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，－1，b ＝(4，－3,3)．其中a ，b 分别为直线l 1，l 2的方向向量，则它们互相平行的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 ①∵a ＝－b ，∴a ∥b . ②∵a ＝4b ，∴a ∥b . ③∵b ＝－3a ，∴a ∥b . ④∵b ＝－3a ，∴a ∥b . 【答案】 D2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交 【解析】 ∵A (9，－3,4)，B (9,2,1) ∴AB →＝(0,5，－3)∵yOz 平面内的向量的一般形式为a ＝(0，y ，z )∴AB →∥a∴AB →∥平面yOz .∴AB ∥平面yOz . 【答案】 C3．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152 C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152【解析】 ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152. 【答案】 D4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是( )【导学号：32550041】A ．－103B ．6C ．－6D ．103【解析】 ∵α⊥β，∴α的法向量与β的法向量也互相垂直．∴(2,3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0，∴λ＝－103. 【答案】 A5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32【解析】 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量P A →与平面α的法向量n 是否垂直，即P A →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则P A →·n ＝(1，－4，12)·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.【答案】 B 二、填空题6．(2016·黄山高二检测)已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________.【解析】 ∵l ∥α，∴l ⊥α的法向量， ∴2×1－8y ＋1×2＝0，∴y ＝12. 【答案】 12.7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，向量(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，则x ∶y ∶z ＝________.【解析】 设n ＝(x ，y ，z )则 n ·AB →＝0，即(x ，y ，z )·(－1,1,0)＝0， ∴－x ＋y ＝0，n ·BC →＝0，即(x ，y ，z )·(0，－1,1)＝0， ∴－y ＋z ＝0， ∴x ∶y ∶z ＝1∶1∶1. 【答案】 1∶1∶18．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1＝________，b 2＝________.【解析】 设b 1＝(x ，y ，z )，∵b 1∥a ，∴x ＝y ，z ＝0. 又∵b 2＝b －b 1＝(1－x,1－y,1－z )，b 2⊥a ， ∴b 2·a ＝1－x ＋1－y ＝0，得x ＋y ＝2. ∴x ＝y ＝1.即b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)． 【答案】 (1,1,0) (0,0,1) 三、解答题9．(2016·广州高二检测)用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．【解】 已知：如图，α∩β＝l ，α⊥γ，β⊥γ. 求证：l ⊥γ证明：设平面α，β，γ的法向量分别为a ，b ，c ，直线l 的方向向量为e ，则a·e ＝0，b·e ＝0.因为a ，b 与e 不共面，故存在实数x ，y ，z 使c ＝x a ＋y b ＋z e . 因为a ⊥c ，b ⊥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ·(x a ＋yb ＋z e )＝0，b ·(x a ＋y b ＋z e )＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ·a 2＋y a·b ＝0.x a ·b ＋y b 2＝0，因为α与β相交，所以a 与b 不共线，所以a 2a·b ≠a·bb2， 所以方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以c ＝z e ，即c ∥e ，从而有l ⊥γ.图2-4-410．如图2-4-4所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .证明：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】 (1)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，且P A →＝(a,0，－a )，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.∴P A →＝2EG →，即P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )． 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .[能力提升]1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )．若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则x ，y ，z 分别为( )A.337、－157、4 B ．407、－157、4 C.407、－2、4D ．4、407、－15【解析】 AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，可解得x ＝407，y ＝－157. 【答案】 B2．如图2-4-5，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ：FD 的值为( )图2-4-5A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 【答案】 B3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →，其中正确的是________．【导学号：32550042】【解析】 ∵AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0，∴AP ⊥AB ，AP ⊥AD 且AP →是平面ABCD 的法向量． 【答案】 ①②③4．(2016·北京朝阳期末)如图2-4-6，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC .图2-4-6(1)求证：AC ⊥PB ；(2)设O ，D 分别为AC ，AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足OG →＝13(OA →＋OB →)，求证：DG ∥面PBC ；【证明】 (1)因为P A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，且P A ∩AB ＝A ， 所以AC ⊥平面P AB . 又因为PB ⊂平面P AB ， 所以AC ⊥PB .(2)法一：因为P A ⊥平面ABC ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，所以建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .设AC ＝2a ，AB ＝b ，P A ＝2c ，则A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (2a,0,0)，P (0,0,2c )，D (0,0，c )，O (a,0,0)， 又因为OG →＝13(OA →＋OB →)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，0.于是DG→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ，BC →＝(2a ，－b,0)，PB →＝(0，b ，－2c )． 设平面PBC 的一个法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0－by 0＝0，by 0－2cz 0＝0.不妨设z 0＝1，则有y 0＝2c b ，x 0＝ca ， 所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1因为n ·DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ＝c a ·a 3＋2c b ·b3＋1·(－c )＝0，所以n ⊥DG →.又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .法二：取AB 中点E ，连接OE ，则OE →＝12(OA →＋OB →)． 由已知OG →＝13(OA →＋OB →)可得OG →＝23OE →，则点G 在OE 上．连接AG 并延长交CB 于点F ，连接PF .因为O ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以OE ∥BC ，即G 为AF 的中点．又因为D 为线段P A 的中点，又所以DG ∥PF ，又DG ⊄平面PBC ，PF ⊂平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .。

学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列关于结构图的说法不正确的是()A.结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系和逻辑上的先后关系B.结构图都是“树形”结构C.简洁的结构图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点D.复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系【解析】结构图是指以模块的调用关系为线索，用自上而下的连线表示调用关系并注明参数传递的方向和内容，从宏观上反映软件层次结构的图形.A.结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系和逻辑上的先后关系，正确；B.结构图不一定都是“树形”结构，错误；C.简洁的结构图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点，正确；D.复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系，正确.【答案】 B2.如图所示的框图中是结构图的是()【导学号：37820057】A.起床→洗漱→吃早饭→上学B.8：45进考场→8：55发试卷→9：00开考↓10：45提示考生←11：00结束考试还有15分钟C.备课→上课→辅导→批改作业D.【解析】A，B，C都是表达了完成某一件事情的流程图，而不是结构图；只有D表达了高考文科所包含的考试科目，体现了总—分的关系，故是结构图.故选D.【答案】 D3.如图4-2-6是某工厂的组织结构图，由图可以知道，工厂办公室所管辖的科室有()图4-2-6A.销售科、后勤科、宣传科B.汽车队、接待科、宣传科C.生产部、销售科、后勤科D.生产部、汽车队、宣传科【解析】由结构图可知工厂办公室的“下位”要素共有3个，分别为汽车队、接待科、宣传科.【答案】 B4.如图4-2-7是人教A版选修1－2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“三段论”，那么应该放在图中()图4-2-7A.“①”处B.“②”处C.“③”处D.“④”处【解析】三段论是演绎推理的内容，因此应放在“②”处.【答案】 B5.把平面内两条直线的位置关系填入结构图4-2-8中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是()图4-2-8①平行；②垂直；③相交；④斜交.A.①②③④B.①④②③C.①③②④D.②①④③【解析】平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交.【答案】 C二、填空题6.按边对三角形进行分类的结构图为：图4-2-9则①处应填入________.【解析】等腰三角形又可分为“等边三角形”和“腰和底边不等的等腰三角形”两类.【答案】等边三角形7.如图4-2-10所示的结构图中，进一步细化时，二面角应放在________的下位.图4-2-10【解析】二面角反映的是两平面的位置关系，应放在“平面与平面”的下位.【答案】平面与平面8.在工商管理学中，MRP(Material Requirement Planning)指的是物资需求计划，基本MRP的体系结构如图4-2-11所示：图4-2-11从图中可以看出，基本MRP直接受________、_______________和________的影响.【解析】由图看出箭头指向基本MRP的有三点：产品结构、主生产计划、库存状态.【答案】产品结构主生产计划库存状态三、解答题9.(2016·安庆高二检测)目前我省高考科目为文科考：语文，数学(文科)，英语，文科综合(政治、历史、地理)；理科考：语文，数学(理科)，英语，理科综合(物理、化学、生物).请画出我省高考科目结构图.【解】10.某大学的学校组织结构图如图4-2-12所示，由图回答下列问题：图4-2-12(1)学生工作处的“下位”要素是什么？(2)学生工作处与其“下位”要素是什么关系？【解】(1)由题图可知学生工作处的“下位”要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部.(2)学生工作处与其“下位”要素的关系是从属关系.[能力提升]1.下列结构图中，体现各要素之间是逻辑先后关系的是()A.B.C.整数指数幂—有理指数幂—无理指数幂D.【解析】C选项中的结构图表达了从整数指数幂到无理指数幂的发展过程与顺序，体现的是各要素间的逻辑先后关系，故选C.【答案】 C2.如图4-2-13是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有()【导学号：37820058】图4-2-13A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】影响“计划”的主要要素应是三个“上位”要素，有“政府行为”，“策划部”，“社会需求”.【答案】 C3.在平面几何中，特殊四边形的分类关系可用以下框图描述：图4-2-14则在①中应填入________；在②中应填入________.【解析】结合①的条件可知：有一组邻边相等的平行四边形为菱形，故①处应填菱形.结合②的条件可知：两腰相等的梯形叫等腰梯形，故②处应填等腰梯形.【答案】菱形等腰梯形4.据有关人士预测，我国居民的消费正由生存型消费转向质量型消费，城镇居民消费热点是商品住房、小轿车、新型食品、服务消费和文化消费；农村居民消费热点是住房、家电，试设计表示我国居民消费情况的结构图.【解】结构图如图所示.。