2019-2020年高中数学第1章算法初步1.1算法的含义教学案苏教版必修3

1.1 算法的含义1．通过实例体会算法的思想，了解算法的含义．(重点) 2．能按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程．(重点、难点) 3．了解算法的主要特点．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 算法的概念阅读教材P 5“例1”以上部分及P 6“练习”上面一段，完成下列问题． 1．算法的概念对于一类问题的机械的和统一的求解方法称为算法． 2．算法的范围(1)我们过去学习的许多数学公式都是算法，加、减、乘、除运算法则以及多项式的运算法则也是算法．(2)算法是解决问题的步骤与过程，这个问题不仅仅限于数学问题．判断正误：(1)“从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达”是算法．( ) (2)“利用公式S ＝12ah 计算底为1，高为2的三角形的面积”是算法．( )(3)“12x >2x ＋4”是算法．( )【解析】 (1)√.表示了从济南到巴黎的步骤，故是算法． (2)√.表示了求三角形面积的过程，故是算法． (3)×.没有体现出解决问题的过程与步骤，故不是算法． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× 教材整理2 算法的特征阅读教材P 5～P 6倒数第二段，完成下列问题．1．有限性：一个算法的步骤是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的． 2．确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行，可以得到确定的结果，而不是模棱两可．3．不唯一性：求解某一个问题的算法不一定是唯一的，可以有不同的算法，当然这些算法有繁简之分、优劣之别．4．普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决．判断正误：(1)求解某类问题的算法是唯一的．( )(2)算法一定在有限个步骤后就能完成．( )(3)算法执行后必产生确定的结果．( )【解析】(1)×.由算法的不唯一性，知(1)不正确．(2)√.由算法的有穷性，知(2)正确．(3)√.由算法的确定性，知(3)正确．【答案】(1)×(2)√(3)√[小组合作型](1)下列对算法的理解正确的是________．(填上所有正确说法的序号)①算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)；②算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果；③算法一般是机械的，有时要进行大量重复计算，它的优点是一种通法；④任何问题都可以用算法来解决．(2)给出下列叙述：①发电子邮件：先打开电子信箱，点击写邮件，输入发送地址，输入信件内容，然后点击发送；②解一元二次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、求解；③方程x2－1＝0有两个根；④求1＋2＋3＋4的值，先算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10，最终结果为10.其中是算法的是________．(写出所有是算法的叙述的序号)【精彩点拨】(1)审题→结合算法的特征→得出结论(2)审题→验证是否符合算法的概念→得出结论【自主解答】 (1)由于算法要求必须在有限步骤内求解某类问题，所以并不是任何问题都可以用算法解决．例如求1＋12＋13＋14＋…＋1n＋…，故④不正确．(2)算法强调的是解决一类问题的方法和步骤，选项③只陈述了有两个根的事实，没有解决如何求两个根的问题，所以不能看成算法．【答案】 (1)①②③ (2)①②④1．判断是不是算法时，关键是正确理解算法的概念，看是否是解决问题的过程与步骤． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、不唯一性、普遍性．[再练一题]1．给出下列四种叙述，其中是算法的是________．(填序号)①学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题；②今天餐厅的饭真好吃； ③这道数学题难做；④方程2x 2－x ＋1＝0无实数根．【解析】 ①是学习数学的一个步骤，所以是算法． 【答案】 ①已知直线12l 1，l 2，y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．【精彩点拨】 解此题可按以下思路：(1)求出l 1，l 2的交点坐标；(2)求l 1，l 2与y 轴的交点的纵坐标，即得到三角形的底；(3)求三角形的高，根据面积公式求面积．【自主解答】 第一步 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1，l 2的交点P (－2,6)；第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12，从而得到A (0,12)； 第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3，得到B (0,3)； 第四步 求出△ABP 底边AB 的长|AB |＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； 第六步 代入三角形的面积计算公式S ＝12|AB |·h ；第七步 输出结果．设计一个与数学有关的问题的算法，通常按以下步骤：分析题意，找出解决此题的一般数学方法； 借助有关变量或参数对算法加以表述； 将解决问题的过程划分为若干步骤； 用简练的语言将这个步骤表示出来.[再练一题]2．设计一个算法，求底面边长为42，侧棱长为5的正四棱锥的体积. 【解】 第一步 取a ＝42，l ＝5； 第二步 计算R ＝2·a2；第三步 计算h ＝l 2－R 2； 第四步 计算S ＝a 2； 第五步 计算V ＝13Sh ；第六步 输出运算结果．[探究共研型]探究1 在计算S【提示】 不能用算法来求解．因为算法的设计要求步骤是可行的，并且在有限步之内就能完成任务，而这一求和是无限求和，故无法设计算法求解．探究2 已知直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，能否设计一个求该三角形周长的算法？如何设计？【提示】 能设计一个算法来求三角形的周长．具体如下：第一步：计算斜边c ＝a 2＋b 2；第二步：计算周长l ＝a ＋b ＋c ；第三步：输出l .某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计算方法是：3人或3人以下的住房，每月收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费．【精彩点拨】 设出变量→转化为分段函数问题→ 根据设计算法的规则求解→答案【自主解答】 设某户有x 人，根据题意，应收取的卫生费y 是x 的分段函数，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， x ≤3，1.2x ＋1.4， x >3.算法如下：第一步 输入人数x ； 第二步 如果x ≤3，则y ＝5， 如果x >3，则y ＝1.2x ＋1.4； 第三步 输出应收卫生费y .解决用设计算法的方法解决应用性问题时，首先应建立起相应模型，然后根据模型完成算法，解题时要注意每步需用简练的语言来表述.[再练一题] 3．给出下列算法： 第一步 输入x 的值；第二步 当x >4时，计算y ＝x ＋2；否则执行下一步； 第三步 计算y ＝4－x ； 第四步 输出y .当输入x ＝0时，输出y ＝________.【解析】 由于x ＝0>4不成立，故y ＝4－x ＝2. 【答案】 21．下列不是算法的是________．(填上所有正确的序号)①解方程2x －6＝0的过程是移项和系数化为1； ②从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机； ③解方程2x 2＋x －1＝0；④利用公式S ＝πr 2计算半径为3的圆的面积．【解析】 ①②④中给出了解决问题的过程与步骤，是算法；③中没有给出解方程的步骤，故不是算法．【答案】 ③2．计算下列各式中S 的值，能设计算法求解的是________．(填上所有正确的序号) ①S ＝12＋14＋18＋ (12100)②S ＝12＋14＋18＋…＋12100＋…；③S ＝12＋14＋18＋…＋12n (n ≥1且n ∈N *)．【解析】 因为算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法求解． 【答案】 ①③3．已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步： ①计算c ＝a 2＋b 2；②输入直角三角形两直角边长a ，b 的值； ③输出斜边长c 的值．其中正确的顺序是________．(填序号)【解析】 算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算．【答案】 ②①③4．写出解方程2x ＋3＝0的一个算法过程．第一步 ______________________________________________________； 第二步 ______________________________________________________. 【答案】 将常数项3移到方程右边得2x ＝－3 在方程两边同时除以2，得x ＝－325．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤50，50×0.53＋ω－， ω＞50.其中ω(单位：kg)为行李的重量，如何设计计算费用c (单位：元)的算法． 【解】 算法步骤如下：第一步输入行李的重量ω；第二步如果ω≤50，那么c＝0.53ω；如果ω＞50，那么c＝50×0.53＋(ω－50)×0.85；第三步输出运费c.。

第1章 算法初步【知识结构】⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧二分法辗转相除法剩余定理算法案例循环语句条件语句输入输出语句赋值语句基本算法语句循环结构选择结构顺序结构流程图算法的含义算法 【重点难点】重点 算法的描述，理解算法的思路与过程；基本语句的作用，能进行算法的分析并用基本语句进行表示。

难点 算法的理解与设计；在算法的实现上，如何用好选择结构与循环结构.1.1算法的含义【学习导航】知识网络⎪⎩⎪⎨⎧性质步骤概念算法学习要求1．理解算法的含义2．通过实例分析理解算法的有限性和确定性.3．能用自然语言描述简单的算法.【课堂互动】自学评价问题1 简述给一个朋友打电话的过程.【解】过程如:找出电话本、找到朋友电话号码、拨通电话、通话等。

问题2 常有这样一种娱乐节目：就是猜数，让参加者从0~1000中猜出某商品的价格，猜测了以后，主持人说是高了，还是低了，然后再猜，直到猜中为止.而在这游戏中，较好的方法就是二分法：第一步 报出500第二步 如果是说高了，就再报250；如果低了，就报750；第三步 在前一个数与再前一个数之间，取它们的中间值；直到猜中为止. 问题3 给出求1+2+3+4+5的一个算法【解】方法1 按照逐一相加的程序进行.第一步 计算1+2，得到3第二步 将第一步中的运算结果3与3相加，得到6.第三步 将第二步中的运算结果6与4相加，得到10.第四步 将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.方法2：可以运用公式n +⋯+++3212)1(+=n n 直接计算. 第一步 取n=5；第二步 计算2)1(+n n ； 第三步 输出运算结果.【小结】算法(algorithm)的含义:对一类问题的机械的、统一的求解方法.本章所研究的算法特指用计算机解决数学问题的方法.【体会】算法具有不唯一性.问题4 给出求解方程组⎩⎨⎧=+=+)2(1154)1(72y x y x的一个算法.【解】用消元法求解这个方程组，算法如下：第一步 方程①不动，将方程②中的x 的系数除以方程①中的x 系数，得到乘数224==m ； 第二步 方程②减去m 乘以方程①，消去方程②中的x 项，得到⎩⎨⎧-==+3372y y x , 第三步 将上面的方程组自下而上回代求解，得到41=-=，x y .所以原方程的解为⎩⎨⎧-==14y x .【说明】这种消元回代的算法适用于一般的线性方程组的求解.【小结】算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答. 算法具有如下两个性质:有限性：一个算法在执行有限个步骤后必须结束.确定性：算法的每一个步骤和次序都应该是确定的、明确无误的,不应产生歧义.【经典范例】例1 写出解方程032=+x 的一个算法【解】算法如下:第一步：把3移到等号的右边.第二步：用-3除以2得到23-=x 例2 写出求7531⨯⨯⨯的一个算法.【解】按照逐一相加的程序进行.第一步 计算1×3，得到3第二步 将第一步中的运算结果3与5相乘，得到15.第三步 将第二步中的运算结果15与7相乘，得到105.例3 已知直角坐标系中的两点A （-1，0），B （3，2），写出求直线AB 的方程的一个算法.【解】算法如下:第一步 计算斜率21)1(302=---=AB k ； 第二步 用点斜式写出直线方程)1(0+=-x k y AB .第三步 化简得方程012=+-y x .例4 写出求1+2+3+…+100的一个算法.【解】可以运用公式2)1(321+=+⋯+++n n n 直接计算. 算法如下:第一步 取n=100；第二步 计算2)1(+n n . 第三步 输出运算结果【选修延伸】例5 设计一个算法,找出三个数a,b,c 中的最大数.【解】算法如下:第一步 比较a,b 大小，若a 小，则转第二步；若a 大，则转第三步；第二步 比较b,c 大小，若b 小，则c 是最大数，若b 大，则b 是最大数，结束任务； 第三步 比较a,c 大小，若a 小，则c 是最大数，若a 大，则a 是最大数，结束任务。

1.1 算法含义名师导航三点剖析一、算法含义在日常生活中做任何一件事情，都是按照一定规那么，一步一步进展，比方在工厂中生产一部机器，先把零件按一道道工序进展加工，然后，再把各种零件按一定法那么组装成一部完整机器，它们工艺流程就是算法；在农村中种庄稼有耕地、播种、育苗、施肥、中耕、收割等各个环节，这些栽培技术也是算法.总之，在任何这些数值计算或非数值计算过程中所采取方法与步骤，都称之为算法.一般而言，对一类问题机械、统一求解方法称为算法.注意：1.这种描述不是算法严格定义，但是反映了算法根本思想.算法根本思想就是程序化思想.“算法〞通常是指可以用计算机来解决某一类问题程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确与有效，而且能够在有限步之内完成.“计算〞问题才有算法.广义地说，为解决一个问题而采取方法，就称为算法.例如，我们要发一封电子邮件，一般需要经历以下几个步骤：第一步，翻开电子邮箱；第二步，点击“写邮件〞；第三步，输入发送地址；第四步，输入主题；第五步，输入信件内容；第六步，点击“发送邮件〞.这些步骤从广义上来讲也可以称作是发一封电子邮件算法.4.计算机解决任何问题都要依赖于算法.只有将解决问题过程分解为假设干个明确步骤，即算法，并用计算机能够承受“语言〞准确地描述出来，计算机才能够解决问题.——钢琴来说明这个道理.钢琴对于人特定命令〔按键或按键组合〕会发出特定、固定声音，并且这种根本对应关系是有限.正是由于掌握了这种固定对应关系，钢琴家才能够以此为根底进展创作，如果没有这种固定对应关系，钢琴家也就无法驾驭钢琴，更谈不上弹奏出优美旋律了.计算机也是一样，它对于特定命令〔根本命令或由根本命令组合而成复杂命令〕，能作出固定反响〔例如对于命令2+3，计算机反响就是计算出这个算式值为5〕，像这种计算机能承受并执行根本命令或由根本命令所组合而成复杂命令就是计算机能够承受“语言〞，也正是依靠这种“语言〞，我们才能与计算机进展“交流〞并且让计算机为我们所用，按照我们意图去解决问题.二、算法特性一般来讲，一个算法应具有以下五个重要特性：1．有穷性：一个算法必须总是〔对任何合法输入值〕在执行有穷步之后完毕，且每一步都可在有穷时间内完成.算法具有有穷性是为了让算法不能无休止地执行下去，以致达不到解决问题目.数学中无穷级数，在实际计算时只能取有限项，即计算无穷级数过程只能是有穷.因此，一个无穷级数表示只能是一个计算公式，而根据精度要求确定计算过程才是有穷算法.2．确定性：算法中每一条指令必须有确切含义，读者理解时不会产生歧义.也就是说，算法步骤中不能含有模糊不清、容易让人误解表达.确定性是要保证算法在执行过程中，不能因不同人喜好、理解不同及其他人为因素而“走样〞.事实上，在程序设计中，一个算法必须确定到这样一个程度，即使一台计算机也能遵循这个指示正确执行.从这个角度我们可以看到算法步骤一个特点就是：清晰、准确而又机械、刻板、缺乏创造性〔但从算法步骤执行上讲也不需要有创造性，能严格执行就可以了〕.3．可行性：算法可行性包括两个方面：一是算法中每一个步骤必须是能实现.例如，在算法中，不允许出现分母为零情况；在实数范围内不能求一个负数平方根等.二是算法执行结果能到达预期目.通常，针对实际问题设计算法，人们总是希望能得到满意结果.当然可行性对于不同人及不同时代具有不同含义.仅就计算工具上来讲，古代最好计算工具大概就是算盘了，而现代超级计算机无论是在计算速度还是在可计算问题范围上都远在其上.古代很多不能完成计算在现代都变成了可能.4．输入：算法一定要根据输入初始数据或给定初值才能正确执行它每一步骤.需要注意是，算法输入数据与输出数据都应该是离散〔分散、不连续、可逐个计算数据〕符号〔或称字母，其中也包括数字〕，例如不能输入一条连续曲线.〔连续曲线上点是连续，无法对所有点所对应数据逐个进展计算〕这是因为算法一般都是靠计算机来执行，而数字电子计算机是一个离散构造，它只能处理离散或离散化了数量关系.因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关现代科学研究领域，都面临着如何对离散构造建立相应数学模型,又如何将已用连续数量关系建立起来数学模型离散化，从而可由计算机加以处理.5．输出：算法一定能得到问题解，有一个或多个输出，到达求解问题目.这些输出是同输入有着某些特定关系量.没有输出结果算法是没有意义.此外，还要求算法应具有通用性：即算法应适用于某一类问题中所有个体，而不是只能用来解决一个具体问题.例如一个能解所有二元一次方程组算法就比一个只能解某一个特定二元一次方程组算法更具有通用性.三、算法描述描述算法可以有不同方式，常用有自然语言、框图〔流程图〕、程序设计语言、伪代码等.1．自然语言：就是人们日常使用语言.用自然语言描述算法优点是通俗易懂，当算法中操作步骤都是顺序执行时比拟容易理解.缺点是如果算法中包含判断与转向等较复杂过程时，就会显得不够清晰、直观了，并且表达会较烦琐与冗长，并且容易出现歧义.2．流程图：是用一组几何图形表示各种类型操作，在图形上用简明扼要文字与符号表示具体操作，并用带有箭头流线表示操作先后次序.用框图描述算法，具有直观、构造清晰、条理清楚、通俗易懂、便于检查修改及交流等优点.3．程序设计语言：“算法是计算机科学根底〞，计算机完成任何一项任务都需要算法.但是，用自然语言或程序框图描述算法计算机是无法“理解〞，我们还需要将算法用计算机能够理解语言表达出来，通常这称为程序设计，所用语言称为程序设计语言〔programming language〕.程序设计语言由一些有特定含义程序语句构成，与算法程序框图三种根本构造相对应，任何程序设计语言都包含输入输出语句、赋值语句、条件语句与循环语句.不同程序设计语言有不同语句形式与语法规那么，但根本构造是一样.正是由于这样原因，在研究算法时候，有时并不很关心算法语句是否用是某种准确程序语言，而采用根本构造一样更为简便易懂语言形式，有人称之为伪代码.问题探究问题1:算法概念与我们生活中所遇到许多概念有类似地方.如菜谱，就是指导人们如何做菜.那么，菜谱概念与算法概念终究有哪些一样点与不同点呢？探究：我们知道，算法有五个重要特征，即有穷性、确定性、可行性、有输入、有输出.于是我们想到可以根据算法特性对菜谱逐一进展比照来探究这个问题.首先，容易想到，菜谱总是符合有穷性要求〔厨师肯定不会花无限多时间来做一盘菜吧？〕.其次，可行性也是菜谱所具有〔做菜步骤必须是厨师力所能及〕.输入就是作菜原料〔如鸡蛋、西红柿、糖、盐等〕，输出就是做好菜了〔如鸡蛋炒西红柿等〕.但是对于确定性，菜谱就不是那么令人满意了.例如，步骤“加少许盐〞，“盐〞也许已经是明确定义了；那么“少许〞该是多少呢，算法要求每一步都是准确，按照这个标准，“少许〞这样模糊词句是不被允许，当然我们可以将这个步骤改为如“加2.2 g盐〞“轻轻地颠簸直到混合物发脆为止〞、“在小长柄锅里加热料酒〞等等指示，对于训练有素厨师来说，说明已经是足够了，但是一个算法必须确定到这样一个程度：即使一台计算机也能遵循这个指示.因此从严格意义上来讲，菜谱并不能称为算法.“好〞没有严格定义.一个好算法都应该满足哪些标准？探究：算法就其本质来讲，就是一种解决问题方法，只不过更具有程序化罢了.我们可以根据自己经历,思考一个好解决问题方法应该具有哪些特点，然后看这些特点在算法上都应该有什么样表达，就可以答复这个问题了.正如所有好解决问题方法必须是正确一样，一个好算法首先必须是正确.正确性对不同事情有着不同含义.对于算法来讲，正确性包含如下几个层次：〔1〕算法不能含有语法错误，否那么算法不能正常执行；〔2〕算法对于几组输入数据,能够得出满足规格说明要求结果；〔3〕算法对于精心选择典型、苛刻而带有刁难性几组输入数据,能够得出满足规格说明要求结果；〔4〕算法对于一切合法输入数据,都能产生满足规格说明要求结果.其次，我们容易想到一个好解决问题方法,应该是思路清晰、让人容易理解，这样就可以让更多人掌握我们方法.同理，我们写出算法要具有可读性，格式要工整、标准，思想要清晰、准确,以便与其他人更好地交流、合作.世事无常，在我们解决问题过程中，往往不可防止地会有意外情况发生，这要求我们解决问题方法要对这些意外情况制定相应对策，防止不必要损失.同理，我们算法要具有强健性，它含义就是要求算法能够在出现异常或突发事件时能正常运行，不至于因为操作环节中错误而造成灾难性后果.此外，我们做事还要考虑这件事需要花费时间与占用空间.一般来讲，花费时间与占用空间少方法会更好.同样，算法也有高效率与低存储量需求.效率指是算法执行时间.对于解决同一问题多个算法，执行时间短算法效率高.存储量需求是指算法执行过程中所需要最大存储空间.如果所占空间量依赖于特定输入，那么除特别指明外，均按最坏情况来分析.精题精讲例1．给出求1+3+5+7+9+11+13一个算法.思路解析分析一:此题主要是考察理解概念程度.由于此题是一个连续相加问题，那么写算法时，只需按照逐一相加程序进展.分析二：由于1+3+5+…+(2n-1)＝n2，所以可以运用公式1+3+5+…+(2n-1)＝n2直接计算,只需将n＝7代入公式即可.答案：解法一:按照逐一相加程序进展:第一步计算1+3，得到4；第二步 将第一步中运算结果4与5相加，得到9； 第三步 将第二步中运算结果9与7相加，得到16； 第四步 将第三步中运算结果16与9相加，得到25； 第五步 将第四步中运算结果25与11相加，得到36； 第六步 将第五步中运算结果36与13相加，得到49. 解法二:运用公式1+3+5+…+(2n-1)＝n 2计算:第一步 取n ＝7；第二步 计算n 2；第三步 输出运算结果.绿色通道对算法灵活、准确应用与自然语言表达问题，要注意：算法方法不同，解决问题繁简程度也不同.我们研究算法，就是要找出解决问题最好算法.例2．给出求解方程ax 2+bx+c=0(a ≠0,b 2-4ac>0)一个算法. 思路解析解一元二次方程一般利用求根公式来求解，即，当方程左边二次多项式可分解因式时，我们也可用分解因式方法来解一元二次方程. 答案：算法如下：第一步 写出方程中a 、b 、c 值；第二步 计算b 2-4ac 值；第三步 计算值；第四步 输出方程根为aac b b x a ac b b x 24242221-+-=---=或.一个算法，就是一个有穷规那么集合，它为某个特定类型问题提供了解决问题运算序列.其中每条规那么必须是明确定义、可行.序列终止表示问题得到解答或指出问题没有解答.例3．一个人带三只狼与三只羚羊过河,只有一条船，同船可以容一个人与两只动物.没有人在时候，如果狼数量不少于羚羊数量，狼就会吃掉羚羊.〔1〕设计一个平安渡河算法；〔2〕思考每一步算法所遵循一样原那么是什么思路解析在人运送动物过河过程中，人离开岸边时必须保证每个岸边羚羊数目要大于狼数目，依据此原那么可以选取平安渡河方法.答案：〔1〕算法是:S1 人带两只狼过河；S2 人自己返回；S3 人带两只羚羊过河；S4 人带一只狼返回；S5 人带一只羚羊过河；S6 人自己返回；S7人带两只狼过河.〔2〕在人运送动物过河过程中，人离开岸边时必须保证每个岸边羚羊数目要大于狼数目.这是一个实际问题，生活中解决任何问题都需要算法，我们要在处理实际问题过程中理解算法含义，体会算法设计思想方法.。

高中语文1．1．1算法的概念一、教学目标：1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。

（2）能够用自然语言叙述算法。

（3）掌握正确的算法应满足的要求。

（4）会写出解线性方程（组）的算法。

（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

（6）会应用Scilab求解方程组。

2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。

由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。

二、重点与难点：重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

难点：把自然语言转化为算法语言。

三、学法与教学用具：学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。

2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。

3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。

教学用具：电脑，计算器，图形计算器四、教学设想：1，创设情境：算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。

但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。

如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。

我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。

第1章算法初步本章概述一、课标要求从数学发展的历史来看，算法并不是一个全新的概念，比如，在西方数学中很早就有了欧几里得算法，而中国古代数学中蕴含着更为丰富的算法内容和思想，割圆术、秦九韶算法等等都是很经典的算法.算法是高中数学课程中的新内容，算法的思想是非常重要的.当今人们把科学计算、实验和理论并列为三大科学研究方法，即人类认识世界的三大手段.算法是科学计算的重要基础，是计算机理论和技术的核心，计算机能有如此广泛而神奇的应用，除了芯片之外，主要是靠软件，而软件的核心是算法.计算机科学中的知识创新，主要就是算法的创新.算法思想已逐渐成为每个现代人应具有的数学素养.算法的一个特点是,人们可以利用较少的数学知识，不一定要去发现公式（或许根本就没有公式），也可以设计出正确的方法去解决问题.掌握算法的思想，能使学生开阔眼界，活跃思想，从中学数学教学的传统的讲授解题思路中解放出来，增加解决问题的途径，增强创新能力，可以改变中学生对数学固有的传统的认识，深化他们对数学意义的理解，增强应用数学的意识.算法在高中阶段有很高的教育价值，算法内容的教育价值主要体现在以下几个方面：1.有利于培养学生的思维能力算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有抽象性、概括性和精确性.对于一个具体算法而言，从算法分析到算法语言的实现，任何一个疏漏或错误都将导致算法的失败，算法是思维的条理化、逻辑化，算法所体现出来的逻辑化特点被有些学者看成是逻辑学继形式逻辑和数理逻辑之后发展的第三个阶段.因此，培养逻辑思维能力，不仅可以通过几何论证、代数运算等手段来进行，还可以通过算法设计的学习来达到.2.有利于培养学生理性思维和实践能力算法既重视“算则”，更重视“算理”，对于算法而言，一步一步的程序化步骤，即“算则”固然重要，但这些步骤的依据，即“算理”有着更基本的作用.“算理”是“算则”的基础，“算则”是“算理”的表现.算法思想可以贯穿于整个中学数学内容之中，有很丰富的层次递进的素材，而在算法的具体实现上又可以和信息技术相联系，因而，算法有利于培养学生理性思维和实践能力，是实施探究性学习的良好素材.3.有利于学生理解构造性数学算法是一般意义上解决问题策略的具体化，即有限递归构造和有限非递归构造，这两点也恰恰构成了算法的核心.构造性地解决数学问题不仅是重要的解决数学问题的方法，在数学哲学上也有着重要的意义.构造性数学是一个重要的数学哲学学派，他们只承认构造出来的数学.这种观念有其特定的真理性，当然因为排斥了许多无限推理的数学，也具有局限性.4.算法内容反映了时代的特点，同时也是中国数学课程内容的新特色.二、本章编写意图与教学建议1.在初步感受算法思想的基础上，通过具体实例的分析，体会算法的思想，了解算法的含义；2.体验流程图在解决问题中的作用，理解流程图的三种基本逻辑结构：顺序结构、选择结构和循环结构，能用这三种基本结构设计简单的算法流程图；3.会用伪代码表述四种基本算法语句：输入输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句，会用上述基本语句描述简单问题的算法过程；4.通过对算法案例的学习，加深对算法的理解，体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性；5.初步形成“算法思维”，理解构造性数学的意义，发展有条理的思考与表达能力，提高逻辑思维能力，培养学生的理性精神和实践能力；6.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.与传统教学内容相比，“算法初步”为新增内容.因此，本章的编写突出了以学生熟悉的实例为背景，通过具体问题的分析、归纳，再概括出算法的含义、算法的基本结构和算法的基本语句，旨在提高学生的学习兴趣，降低学习难度.本章设计注意了以下四个方面：1.螺旋上升、渐次递进：问题的算法分析和算法语言的描述是算法的核心，本章在描述算法时，依次采用这种螺旋上升、渐次递进的方式展开，层次清楚，梯度合理，符合学生的认知规律，也便于组织教学.2.整合渗透、前引后连：以学生熟悉的实例作为素材，或引入或铺垫或示例，温故知新，降低学习难度，设置一定的坡度，将学习重点放在算法语言的描述上，避免在问题解决的枝节上浪费时间和精力，在有意识地将学生所学知识加以整合的同时，也注意了为后续内容的学习做必要的渗透和准备.3.“三线”合一、横向贯通：本章是贯穿数学探究、数学建模、数学文化的极好素材,第4节“算法案例”是将这三条主线合一的有效尝试.4.弹性处理、多样选择：本章内容涉及面广，难概其全.为突出主干内容，有些材料作为“拓展”（当型循环流程图），有的作为“链接”（Excel VBA），有的作为“阅读”（二进制·计算机）.“算法案例”中提供的Excel VBA程序作为选用内容，可酌情选用.算法的教学包括两个方面：一是在本章中，相对集中地介绍算法的基本思想、基本结构、基本语句等；二是把算法思想渗透在其他相关教学内容之中.前者侧重方法，后者偏重思想，实际教学时应两者兼济.本章由“算法的含义”、“流程图”、“基本算法语句”和“算法案例”四个部分组成，其中“流程图”是本章的基础，也是本章的重点内容，学习“流程图”可以进一步加深对算法思想的理解，提高条理化、逻辑化的水平，同时也为实现算法向伪代码（“基本算法语句”）过渡作好铺垫与准备.正确理解和区分两种循环结构［当型（while型）和直到型（until型）］是本章的教学难点，教材为了降低难度，在“流程图”中只介绍了直到型循环，当型循环作为阅读材料让学生先有所了解，因此在后续内容“1.3.4循环语句”的教学中，要结合实例适时地对当型循环作必要的讲解.“算法案例”中的问题涉及的知识点较多，教师在教学之前可适当补充相关的知识.这部分提供的Excel VBA程序可视情况灵活选用，不必强求.中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就.现代信息技术的发展使算法焕发了前所未有的生机和活力，算法进入中学数学课程，既反映了时代的要求，也是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴，毫无疑问，也就成为中国数学课程的一个新的特色.我国数学家吴文俊在继承中国传统数学的算法特征的基础上，创造性地发展了机器证明，于2000年获得国家科学最高奖，这是我国传统特色与信息技术创造性结合的典范.随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，算法的基本知识、方法、思想日益融入社会生活的许多方面，已经成为现代人必须具备的一种基本素质.本章内容反映了时代的特点，也是高中数学课程新增加的内容之一.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约13课时：1.1算法的含义1课时1.2流程图4课时1.3基本算法语句4课时1.4算法案例3课时本章复习1课时1.1 算法的含义整体设计教材分析简单地说，算法是完成某项工作的一系列步骤.现代意义上的算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确的、有效的，而且能够在有限步内完成.一般而言，对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法.这种描述不是算法的严格的定义，但是反映了算法的基本思想，即程序化思想.算法的概念源于数学，比如数学中常用的配方法、换元法、待定系数法等都是解决某一类问题的特定方法，它们的特点是对于某一类特定的问题都有效，都有固定的、机械的步骤，每一步都能得到唯一的结果，只要严格按照步骤进行，就一定可以解决问题，但是不要认为只有数学的问题或者计算的问题才有算法，例如课本上所说要发一封电子邮件，需要六个步骤，这些步骤从广义上说，也可以称为发送电子邮件的一个算法.计算机解决任何问题都要依赖于算法，并用计算机能够接受的语言准确地描述出来，计算机才能够执行并解决问题.描述算法可以用不同的方式，常用的有自然语言、流程图、程序设计语言、伪代码等.算法的概念和我们日常生活中遇到的许多概念有类似的地方，但是也有所不同.譬如菜谱，菜谱总是符合有限性的（做任何一道菜总是在有限步内完成的，所花费的总时间也总是有限的）.其次可行性也是菜谱所具有的（做菜的步骤必须是厨师力所能及的）.输入就是做菜的原料（如西红柿、鸡蛋、糖、盐、味精、料酒等），输出就是做好了的菜（如西红柿炒鸡蛋）.但是对于确定性，菜谱就不那么令人满意了，例如“加少许盐”，“盐”是已经明确了的，但是“少许”该是多少呢？在算法中，“少许”这样模糊的词是不允许的.当然我们可以把这个步骤改为“加3克盐”，这样就符合了算法的要求.在实际问题和算法理论中，找出一个好的算法是一项重要的工作，但是，对于“好”就没有严格的定义.算法就其本质来讲，就是一种解决问题的方法，只不过更具有程序化罢了.一个好的算法首先必须是正确的，不能有语法错误，必须让计算机能够识别，输入数据必须合法；其次，好的算法应该是我们容易想到的，应该思路清晰，这样就可以让更多的人掌握，因此我们编写的算法要具有可读性，格式要工整规范，思路要清晰准确；此外，我们做事还必须考虑效率问题，花费时间和占用空间少的算法会更好.在教学过程中，老师可以通过实例让学生感知算法的特性，引导学生自我体验，最终让学生尝试编写一些简单问题的算法.三维目标1.通过实例、模仿与操作，使学生初步了解算法的含义和特性.2.能说明解决简单问题的算法步骤，对所给问题设计相应的算法，体会算法的思想，达到发展有条理的清晰的思维能力，提高学生的思维品质的目标.重点难点教学重点：算法的概念.教学难点：算法的理解及设计.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一：（情境导入）播放录像（CCTV－2《幸运52》片断）主持人李咏：……规则：30秒内猜出这件商品的价格，价格不超过4 000元……计时开始！（礼仪小姐给现场观众展示价格：1 678元）幸运观众：2 000.主持人：高了！观众：1 000.主持人：低了！观众：1 800.主持人：高了！观众：1 300.主持人：低了！观众：1 400.主持人：低了！观众：1 700.主持人：高了！…………观众：1 670.（剩余时间5秒）主持人：低了！观众：1 671.主持人：低了！观众：1 672.主持人：低了！观众：1 673.（剩余时间3秒，现场观众和学生都高呼：“快！跳过去啊！”）主持人：低了！观众：1 674.（学生替他着急）主持人：低了！观众：1675.（学生：“快！”）主持人：低了！观众：1 676.主持人：时间到！（学生叹息！）他为什么游戏失败？学生：他一元一元往上加，太慢了，应该幅度大一点.如果他每次猜的价钱都是前面最近的一次“高了”的价钱和“低了”的价钱的中点，那么奖品就非他莫属了.可以发现，这位同学所提供的方法是多次重复同一种操作：第一步：报“2 000元”；第二步：若主持人说“高”了（说明价格在0～2 000之间），就报“1 000”，否则（价格在2 000到4 000之间）报“3 000”；第三步：重复第二步的报数方法，直到得到正确的结果.现实生活中有许多类似这样的例子，我们都是在按一定的程序进行了一系列机械的操作来完成一件事.如果你的爷爷也想体验一下现代科学技术，想给多年未见的老朋友发一封电子邮件，但是他不知道怎么发送，现在你打电话教一教你的爷爷，你该如何教？第一步：上网打开电子邮箱；第二步：点击“写邮件”；第三步：输入发送地址；第四步：输入主题；第五步：输入信件内容；第六步: 点击“发送邮件”.你的爷爷只要按照你教的方法，就一定会成功地向老朋友发出问候.发送电子邮件也是按照一定的程序进行了一系列机械的操作来完成的.像上面两个例子，都蕴含了算法的思想，这节课我们就来体验一下算法.设计思路二：（问题导入）做任何一件事情都要预先计划一下，把做这件事情的步骤设计好，然后按照设计好的步骤一步一步地按部就班地解决，不然遇到问题就手忙脚乱，导致事情不能很好地解决.当你从学校回到家里的时候，觉得自己口渴了想喝茶，一看热水瓶是空的，茶具还没有洗干净，现在你准备怎样安排，使得自己能够尽快喝上热茶？现在有这样两个方案：方案一：第一步烧水；第二步水烧开后洗刷茶具；第三步沏茶.方案二：第一步烧水；第二步水烧过程中洗刷茶具；第三步水烧开后沏茶.请问这两个方案哪个更好？很明显，方案二更好，因为这个方案比方案一节省时间，效率更高，能够更快地喝上热茶.对于日常生活中的问题是这样，对于数学问题更加要考虑方法的优劣.同学们一定遇到过很多数学问题，按照不同的方法，解题速度和准确度完全不同，甚至有的方法看似可以解决问题，实际操作的时候却解不下去.我们对一类问题加以总结，得到一个可以按部就班解决问题的一系列步骤，以后按照这个步骤一步一步地操作，就能把这个问题解决.在现代科技的条件下，我们还可以把这个步骤输入计算机，这样计算机就能够自动解决了.其实这样的一系列步骤就是解决这个问题的一个算法.（引入新课，板书课题——算法的含义）推进新课新知探究如果给出直线l 的一般式方程2x+3y －6=0，那么如何求l 与y 轴的交点？第一步 把x=0代入直线2x+3y －6=0，得y=2；第二步 得直线l 与y 轴的交点为P(2,0).这个方法是否具有普遍性？上面的步骤能否推广到一般情形？假如上面的直线变为Ax+By+C=0，要求不变，这该按照什么步骤来解决？第一步 把x=0代入直线Ax+By+C=0，得y=－B C ； 第二步 得直线l 与y 轴的交点为P(－BC ,0). 通过以上例子，我们可以总结得出如下概念：对于一项任务，按照事先设计好的步骤，一步一步地执行，并在有限步内完成任务，则这些步骤称为完成该任务的一个算法.前面我们讨论的猜商品的价格、发送电子邮件、烧水泡茶的例子中，都设计了一个算法，所以算法不一定非得是数学问题，任何一件或者一类任务，都可以有一个算法.如果我们得到了一个问题的一个算法，那么只要按照这个算法，就一定可以一步一步按部就班地解决问题，甚至还可以让计算机代替人来完成这一系列机械的步骤，当然我们还必须使用计算机能够识别的语言先把算法变成程序输入计算机才行.但是尽管计算机不知疲倦，我们还是不能让它无休止地运算下去，还必须让计算机在运行一段时间后停止下来，最终能够完成这项工作，并且我们让计算机操作的每一个步骤都必须能让机器明确要它干什么，还要让机器能够操作，这样计算机才会代替人完成这些重复劳动，否则，计算机也无法工作.因此算法应该具有以下重要特性：1.有限性：一个算法总是在执行有限步之后结束，且每一步都必须在有限的时间内完成.2.确定性：算法中的每一条指令必须有确切的含义，读者或者计算机理解时不会产生歧义，即算法的步骤中不能含有模糊不清、容易让人误解的叙述.3.可行性：算法中的每一个步骤都必须是能够实现的，例如不允许出现分母为零的情形.另外，算法执行的结果是能够达到预期的目的的.一般地，算法还必须要有输入和输出这两个步骤，没有输出结果的算法是没有意义的. 此外，算法还应该具有通用性，即算法应适用于某一类问题中的所有个体，而不是只能用来解决一个特定的具体问题.应用示例思路1例1 给出1＋2＋3＋4＋5的一个算法.分析：这里一共就5个数相加，所以可以逐个相加.当然也可以利用等差数列求和公式S n =1+2+3+…+n=2)1( n n 来设计算法. 算法1：第一步 计算1＋2，得到3；第二步 将第一步中的运算结果3与第三个数3相加，得到6；第三步 将第二步中的运算结果6与第四个数4相加，得到10；第四步 将第三步中的运算结果10与第五个数5相加，得到15.算法2：运用公式1+2+3+…+n=2)1(+nn直接计算. 第一步取n=5；第二步计算2)1(+nn；第三步输出运算结果.思考上述两种算法各有什么优缺点？算法1的优点容易想到，对于没有接触数列知识的人也可以解决.缺点是如果加数比较多，则运算步骤冗长，花费时间也较多.算法2的优点是算法简单，代入公式可以直接运算，缺点是必须有一定的数学基础.点评：一个问题可以有几个算法，在具体解决问题的时候，应该选择一个比较好的算法.容易想到的、思路清晰的、运算简单的、步骤较少的算法才是一个好的算法，但是有时候不能兼顾，要根据实际情况选择合适的算法.例2 有两个大小相同的杯子，A中装的是水，B中装的是酒精，写出交换A、B两个杯子中液体的一个算法.分析：要交换两个杯子中的液体，必须拿一个空杯子，先把A（或B）腾空，然后才能交换.算法：第一步把A中液体倒入空杯C；第二步把B中液体倒入空杯A；第三步把C中液体倒入空杯B.点评：设置这个例题的目的就是为以后的赋值语句做准备.赋值语句和这个问题类似，为了加深印象，并为以后的知识打下基础，这里可以扩充一点，引进赋值符号“←”：“B←A”的意思就是把A中的值赋给B.我们把上面的算法用简单的符号来表示：第一步C←A；第二步A←B；第三步B←C.注意：赋值语句和上面“倒水”的例子有所不同，“把A中液体倒入空杯C”后，C中就是A中的液体，A中却空了，什么也没有了.但是“C←A”后，C中就是原来A中的值，但A中的值还是存在，没有被清空，所以赋值语句就像计算机操作中的“Ctrl+C”（复制）与“Ctrl+V”（粘贴），例如在Excel中，我们先在单元格A1中输入数值2，再把单元格A1中的值复制，然后粘贴到B1单元格，现在来看看，B1中的值变成了原来A1中的值2，而A1中的值却没有被删除，仍然是2.而“把A中液体倒入空杯C”就类似于计算机操作中的“Ctrl+Ｘ”（剪切）.（有条件的学校可以在计算机上实际操作，让学生观察，加深学生对赋值语句的理解）思考假如x、y的初值为x=1，y=2，经过下列步骤后，x、y的值分别是什么？第一步z←x；第二步z←y；第三步y←x；第四步x←z.为了清楚地看出x、y、z中的数值变化过程，我们通过下面的表格来说明：操作过程 x y Z初值 1 2第一步 1 2 1第二步 1 2 2第三步 1 1 2第四步 2 1 2所以最终x=2，y=1.本题难道不大，目的是为了让学生对赋值以及赋值语句有一个初步的了解.例3 已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，英语成绩为94，写出求他的总分M 和平均分P 的一个算法.分析：总分只要把三个成绩相加即可，平均分就是把总分除以3.算法：第一步 取A=89，B=96，C=94；（也可以写成“输入A 、B 、C”）第二步 M←A+B+C；第三步 P←3M ； 第四步 输出M 、P.点评：本题进一步熟悉赋值语句，并为下一节课的“流程图”做了必要的准备.思路2例1 给出求解方程组的一个算法.解：我们用消元法求解这个方程组，步骤是：第一步：方程①不动，将方程②中x 的系数除以方程①中x 的系数，得到乘数m=24=1； 第二步：方程②减去m 乘以方程①，消去方程②中的x 项，得到2x+y=7,3y=-3;第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到y=-1,x=4.所以原方程组的解为x=4,y=-1.点评：算法的实质是要对一类问题给出一个通用的解法，这个算法就具有通用性. 例2 写出求出任意三个实数a ，b ，c 中最大的数的一个算法.分析：首先判断a 和b 的大小，把大的数记作M ，继续判断M 和c 的大小，仍然把大的数记作M ，最后输出M 即可.算法：第一步 输入a ，b ，c ；第二步 如果a>b ，则M←a，否则M←b；第三步 如果c>M ，则M←c；第四步 输出M.点评：设置变量M的目的，是为了让学生始终抓住最关键的“最大值”，我们专门用一个“房间”M来存放得到的较大的数，直到把所有的实数都比较完毕，那么这时候M中的数就是我们所要求的最大值了.例3 写出求1×2×3×4×5的值的一个算法.分析：本题可以采用和例1的算法1类似的方法，即逐个相乘.但是由于我们没有连续的正整数相乘的公式，所以没有办法利用公式来写出算法，当然也可以先推导连乘的公式1×2×3×…×n=n!，采用和例1的算法2类似的方法直接代入.注意到在连乘的时候，每次都是把上一次的运算结果乘以依次增大的正整数，由前面研究的赋值语句，我们可以把每一次相乘得到的结果存放在一个专门存放积的“房间”T内，当下一次把新的积再放进这个“房间”内后，原来的T自动被新的T的值所替代，这样每次相乘后“房间”T里面的值永远保持是最新的值.另外，再设置一个“房间”I专门存放依次增大的乘数，第一次取I=2，以后每乘完一次，I的值都增加1，然后把新的值再存放到“房间”I内，直到I的值大于5时才结束运算，否则再返回去，继续把T和I相乘，结果存放到“房间”T内.这个算法实际上就是一次又一次地重复上面的运算，即执行循环操作.算法1：第一步先求1×2，得到2；第二步将第一步得到的结果再乘以3，得到6；第三步将第二步得到的结果6再乘以4，得到24；第四步将第三步得到的结果24再乘以5，得到最后的结果120.算法2：第一步令T=1；第二步令I=2；第三步求T×I，乘积结果仍放在变量T中；第四步使I的值增加1；第五步如果I大于5，则输出T，否则返回执行第三步、第四步及第五步.这样最后得到的T的值就是所要求的结果.这个算法可以用比较简单的语句来叙述：第一步T←1；第二步I←2；第三步T←T×I；第四步I←I+1；第五步如果I大于5，则输出T，否则返回第三步.点评：对于算法1，很容易想到，也容易理解.对于算法2，由于刚刚开始接触算法，可根据学生的具体情况，选择是否介绍.如果学生仍然不能理解，则可以类似例2一样列出表格，依次说明T和I的变化过程：运算过程T I 判断I是否大于5 初值 1 2 否：I←I+1第一次T×I 2 3 否：I←I+1第二次T×I 6 4 否：I←I+1第三次T×I24 5 否：I←I+1第四次T×I 120 6 是：输出T=120 这个算法必须在先行解决了例2后才能给出，否则学生会对T←T×I和I←I+1感到迷惑，容易使学生在学习算法的一开始就遇到麻烦，导致心理压抑，产生厌学情绪.知能训练。

1.1《算法的含义》教案教学目标:1．通过实例体会算法的思想，了解算法的含义及主要特点；2．能够按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程；3．了解算法的主要特点.教学重点、难点:将问题的解决过程用自然语言表示为算法过程.教学过程:一、问题情境1．情境1：两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或2个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳.试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案.情境2：猜物品的价格游戏：现有一商品，价格在0~8000元之间，采取怎样的策略才能在较短的时间内猜出正确的答案呢?2．问题：解决这一问题有哪些策略，哪一种较好？二、学生活动三、建构数学广义地描述算法：狭义地描述算法：_________________________________________________________________；现代意义的算法：_________________________________________________________________；算法的特点：计算机能实现的算法------对一类问题的机械的、统一的求解方法.如: 解方程（组）的算法，函数求值算法，作图问题的算法，等等四、数学运用1．算法描述举例例1 给出求1+2+3+4+5的一个算法.算法1：按照逐一相加的程序进行.第一步计算1+2,得到3;第二步将第一步中的运算结果3与3相加,得到6;第三步将第二步中的运算结果6与4相加,得到10;第四步将第三步中的运算结果10与5相加,得到15.算法2：可以运用公式n(n+1)1+2+3++n=2直接计算;第一步取n=5;第二步计算(1)2n n；第三步输出运算结果.算法3：用循环方法求和第一步使p=1;第二步使i=2;第三步将p+i的值赋给p;即p←p+i; 第四步使i的值增加1;即i←i+1;第五步如果i >5,则输出p,否则转第三步.例2 给出求解方程组27,4511x yx y+=⎧⎨+=⎩的一个算法.解:我们用消元法求解这个方程组,步骤是:第一步：方程①不动，将方程②中x的系数除以方程①中x系数，得到乘数m=2；第二步：方程②减去m乘以方程①，消去方程②中x项，得到27 3-3x yy+=⎧⎨=⎩；第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到4-1 xy=⎧⎨=⎩.所以原方程组的解为：4-1 xy=⎧⎨=⎩备注：这种消元回代的算法适用于一般线性方程组的求解.例3 任意给定一元二次方程ax2+bx+c=0，设计一个算法，求解这个方程.第一步:输入a,b,c;第二步:计算△=b2-4ac;第三步: △≥0,则计算1,2x=并输出结果;否则输出“方程无实根”.【总结】通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法.①有限性：一个算法在执行有限个步骤后必须结束.②确定性：算法的每一个步骤和次序应该是确定的.③逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.④不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可以有不同的算法.⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以解决.⑥可行性：算法中的每一步操作都必须是可执行的,也就是说算法中的每一步都能通过手工和机器在有限的时间内完成.2．练习：（1）写出解方程230x +=的一个算法.第一步：移项得2x =-3第二步：两边同除以2得x =-3/2（2）写出求1357⨯⨯⨯的一个算法.步骤1：先求1×3，得到结果3；步骤2：将步骤1得到的结果3再乘以5，得到15；步骤3：将步骤2得到的结果15再乘以7，得到105.法二：运用循环操作的方法（3）下列关于算法的说法中，正确的有（C ）①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果.A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个（4）在数学中，现代意义上的算法是指（ C ）A ．用阿拉伯数字进行运算的过程B ．解决某一类问题的程序或步骤C ．计算机在有限步骤之内完成，用来解决某一类问题的明确有效的程序或步骤D ．用计算机进行数学运算的方法(5)写出求过两点M (-3,-1)、N (2,5)的直线与坐标轴围成面积的一个算法.第一步：取x 1=-3，y 1=-1，x 2=2，y 2=5； 第二步：计算112121----y y x x y y x x = 第三步：在第二步结果中令x =0得到y 的值m ，得直线与y 轴交点(0,m )；第四步：在第二步结果中令y =0得到x 的值n ，得直线与x 轴交点(n ,0)；第五步：计算S =1||||2m n ⋅ 第六步：输出运算结果.（6）有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题.第一步：取一只空的墨水瓶，设其为白色；第二步：将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；第三步：将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；第四步：将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；第五步：交换结束.（7）给出算法第一步S←0；第二步i←1；第三步S←S+i2；第四步i←i+1；第五步如果i≤100,则转第三步，否则输出S.阅读后，回答该算法求解的是什么问题？__________________________________________________________________________ 计算12+22+ (1002)（8）下面给出了解决问题的算法第一步输入x；第二步若x≤3，则执行第三步，否则执行第四步；第三步使y=2x-1；第四步使y=x2-2x+4；第五步输出y.①这个算法解决的问题是________________________________________；②当输入的x值为_____时，输入值与输出值相等.（9）已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步取A=89，B=96，C=99第二步___________________；计算总分D=A+B+C第三步___________________；计算平均成绩E=D/3第四步输出D，E.（10）设计一个算法计算111 1.23100 ++++五、回顾小结：1．算法的含义：算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤.或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以解决一类问题.2．算法的特点：①有限性②确定性③可行性④不唯一性⑤普遍性⑥逻辑性3．算法的表述形式：⑴用日常语言和数学语言或借助于形式语言（算法语言）.⑵流程图（简称框图）.⑶程序设计语言.(伪代码)六、课外作业：教材第6页练习的第3题、第4题.补充：1．写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.2．请你写出用新华字典查汉字“笑”的拼音的一个“算法”.。

§1.1.1 算法的概念【教学目标】：（1） 了解算法的含义，体会算法的思想。

（2） 能够用自然语言叙述算法。

（3） 掌握正确的算法应满足的要求。

（4） 会写出解线性方程（组）的算法。

（5） 会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

【教学重点】算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

.【教学难点】把自然语言转化为算法语言。

.【学法与教学用具】：学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。

2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。

3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。

教学用具:计算机，TI-voyage200图形计算器【教学过程】一、本章章头图说明章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系，它们的基础都是“算法”。

算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。

但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。

如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。

菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。

在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。

古代的计算工具：算筹与算盘.20世纪最伟大的发明：计算机，计算机是强大的实现各种算法的工具。

例1：解二元一次方程组： ⎩⎨⎧=+-=-②y x ①y x 1212分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加减消元法写出它的求解过程.解：第一步：② - ①×2，得： 5y=3； ③第二步：解③得 53=y ； 第三步：将53=y 代入①，得 51=x . 学生探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？老师评析：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。

1.1 算法的含义互动互动课堂疏导引导1.算法的含义算法是完成某项工作的一系列步骤.现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.疑难疏引（1）算法就是计算机解题的过程.在这个过程中,无论是形成解题思路还是编写程序,都是在实施某种算法,前者是推理实现的算法,后者是操作实现的算法.（2）对于某一个问题,找到了解决它的某种算法是指使用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题,其中的每条规则必须是明确定义的、可行的,不能含糊其辞,模棱两可.我们过去学习的许多公式都是算法,加、减、乘、除运算法则以及多项式的运算也是算法. （3）求解某个问题的算法不一定是唯一的,即算法的不唯一性.算法要求“按部就班地做”,每做一步都是有唯一的结果.（4）算法与一般意义上具体问题的解法既有联系,又有区别,它们之间是一般和特殊的关系,也是抽象与具体的关系.算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法,而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决.（5）算法一方面具有具体化、程序化、机械性的特点,同时又有高度的抽象性、概括性、精确性,所以算法在解决问题的过程中更具有条理性、逻辑性的特点.（6）描述算法可以有不同的形式,例如,可以用自然语句和数学语言加以叙述,也可以用框图（流程图）、程序设计语言和伪代码给出精确的说明.2.算法的特性一般来讲,一个算法应具有以下五个重要特性：（1）确定性：算法的每一步必须是确切定义的,且无二义性,算法只有唯一的一条执行路径,对于相同的输入只能得出相同的输出.（2）有穷性：一个算法必须在执行有穷次运算后结束.在所规定的时间和空间内,若不能获得正确结果,其算法也是不能被采用的.（3）可行性：算法中的每一个步骤必须能用实现算法的工具——可执行指令精确表达,并在有限步骤内完成,否则这种算法也是不会被采纳的.（4）输入：算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能正确执行它的每一步骤. （5）输出：算法一定能得到问题的解,有一个或多个结果输出,达到求解问题的目的,没有输出结果的算法是没有意义的.此外,还要求算法应具有通用性：算法应适用于某一类问题中的所有个体,而不是只能用来解决一个具体问题.例如一个能解所有二元一次方程组的算法就比一个只能解某一个特定的二元一次方程组的算法更具有通用性.3.给出一个具体问题,设计算法时应注意（1）认真分析问题,找出解决此问题的一般数学方法.（2）借助有关的变量或参数对算法加以表述.（3）将解决问题的过程划分为若干步骤.（4）用简练的语言将各个步骤表示出来.案例1 写出对任意3个整数a,b,c求最大值的算法.【探究】一般地,可设第一个为最大值,然后和第二个比较,再取出其中的较大值与第三个比较,一直进行下去,直到最后一个数,这样可得到答案.【解】算法用数学语句描述如下：第一步：令max=a;第二步：比较max与b的大小,若b＞max,则令max=b;第三步：比较max与c的大小,若c＞max,则令max=c;第四步：max就是a,b,c中的最大值.规律总结解这类问题,应先找出解题的数学方法,然后按部就班地做,每一步都有唯一结果,有限步之后总能得出结论.案例2 若将案例1中的“最大值”改成“最小值”,又该如何解答？【探究】算法步骤如下：第一步：假定a为这三个数中的最小数；第二步：将b与a比较,如果b＜a,则令a=b,否则a值不变；第三步：将c与a比较,如果c＜a,则令a=c,否则a值不变；第四步：a就是a,b,c中的最小数.案例3 现有有限个正整数,试设计一个求这些有限个正整数中最大数的算法.【探究】算法步骤用自然语言叙述如下：第一步：先假定这些正整数中的第一个数为“最大值”；第二步：将这些整数中下一个数与“最大值”比较,如果它大于此“最大值”,这时就假定“最大值”是这个整数；第三步：如果还有其他正整数,重复第二步；第四步：一直到没有可比的数时为止,这时得到的假定的“最大值”就是这有限个正整数中的最大值.案例4 给出求1+3+5+7+9+11+13的一个算法.【探究】本题主要是考查理解概念的程度.由于本题是一个连续相加的问题,则写算法时,只需按照逐一相加的程序进行；由于1+3+5+…+(2n-1)=n2,所以也可以运用公式1+3+5+…+(2n-1)=n2直接计算,只需将n=7代入公式即可.解法一：按照逐一相加的程序进行:第一步：计算1+3,得到4；第二步：将第一步中的运算结果4与5相加,得到9；第三步：将第二步中的运算结果9与7相加,得到16；第四步：将第三步中的运算结果16与9相加,得到25；第五步：将第四步中的运算结果25与11相加,得到36；第六步：将第五步中的运算结果36与13相加,得到49.解法二：运用公式1+3+5+…+(2n-1)=n2计算:第一步：取n=7；第二步：计算n2；第三步：输出运算结果.规律总结对算法的灵活、准确应用和自然语言表达问题,要注意：算法的方法不同,解决问题的繁简程度也不同.我们研究算法,就是要找出解决问题最好的算法.案例 5 一个人带三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可以容一个人和两只动物.没有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量,狼就会吃掉羚羊.（1）设计一个安全渡河的算法；（2）思考每一步算法所遵循的相同原则是什么?【探究】在人运送动物过河的过程中,人离开岸边时必须保证每个岸边的羚羊数目要大于狼的数目,依据此原则可以选取安全的渡河办法.【解】（1）算法：第一步：人带两只狼过河；第二步：人自己返回；第三步：人带一只狼过河；第四步：人自己返回；第五步：人带两只羚羊过河；第六步：人带两只狼返回；第七步：人带一只羚羊过河；第八步：人自己返回；第九步：人带两只狼过河.（2）在人运送动物过河的过程中,人离开岸边时必须保证每个岸边的羚羊数目要大于狼的数目.规律总结这是一个实际问题,生活中解决任何问题都需要算法,我们要在处理实际问题的过程中理解算法的含义,体会算法设计的思想方法.活学巧用1.下面四种叙述能称为算法的是（）A.在家里一般是妈妈做饭B.做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤C.在野外做饭叫野炊D.做饭必须要有米解析：算法是由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤,或看成按要求设计好的有限的确切的计算序列,并且这样的步骤或序列能够解决一类问题.A、C、D都不能称为算法。

1.1 算法的含义[新知初探]1．算法的概念对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法．2．算法的特征(1)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题，其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．(2)算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．[小试身手]1．下列说法中不是算法的是________．①解方程2x＋7＝0的过程是移项再把x的系数化为1.②从南京到北京先乘汽车到飞机场，再乘飞机到北京．③解方程：x2－2x－3＝0.④利用公式S＝πr2计算半径为3的圆的面积为π×32.答案：③2．下列关于算法的说法：①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果．其中正确的有________．解析：由算法的特征知②③④正确，①错误．答案：②③④[典例] 下列语句表达中是算法的有________． ①方程x 2－1＝0有两个实根．②求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6，6＋4＝10得最终结果是10. ③12x >2x ＋4. ④求M (1,2)与N (－3，－5)两点连线的方程，可先求MN 的斜率，再利用点斜式方程求得．[解析] 算法是解决问题的步骤与过程，②④都表达了一种算法． [答案] ②④1．下列有关算法的说法中正确的是________． ①算法是解决问题的方法和步骤； ②算法中的运算次数是有限的；③算法中的每一步操作都是可执行的，都能得到正确的结果． 解析：根据算法的特征可知①②③都正确． 答案：①②③2．计算下列各式中的S 值，能设计算法求解的是________． ①S ＝1＋2＋3＋…＋100. ②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋…. ③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1且n ∈N)．解析：算法的设计要求步骤是可行的，并且在有限步之内能完成任务．故①③可设计算法求解．答案：①③[典例] (1)试写出解方程x 2－2x －3＝0的一个算法；(2)已知直角坐标系中的两点A (－2,3)，B (1，－3)写出求直线AB 方程的一个算法． [解] (1)算法一：第一步 计算方程判别式的值并判断它的符号，Δ＝(－2)2－4×(－3)＝16>0； 第二步 将a ＝1，b ＝－2，c ＝－3代入求根公式x ＝－b±b 2－4ac2a，得x 1＝－1，x 2算法的概念算法的设计＝3.算法二：第一步移项，得x2－2x＝3；①第二步①式两边同时加上1并配方，得(x－1)2＝4；②第三步②式两边开平方，得x－1＝±2；③第四步解③得x1＝－1，x2＝3.(2)算法一：第一步求出直线AB的斜率，k＝－3－31－－＝－2；第二步选定点A(－2,3)，用点斜式写出直线AB的方程：y－3＝－2(x＋2)；第三步将第二步所得结果化简，得方程2x＋y＋1＝0.算法二：第一步设直线AB的方程为y＝kx＋b；第二步将A(－2,3)，B(1，－3)代入第一步所设方程，得3＝－2k＋b，－3＝k＋b；第三步解第二步所得方程构成的方程组，得k＝－2，b＝－1；第四步将第三步所得结果代入第一步所设方程，得y＝－2x－1；第五步将第四步所得结果整理，得方程2x＋y＋1＝0.算法三：第一步将A(－2,3)，B(1，－3)代入两点式方程，得y－3－3－3＝x＋21＋2；第二步将第一步所得结果化简得方程2x＋y＋1＝0.1．已知一个学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分．请填入适当文字，使下列步骤成为求他的总分和平均成绩的一个算法：第一步取A＝89，B＝96，C＝99；第二步__________________________________________；第三步__________________________________________.第四步输出结果．答案：计算A＋B＋C计算13(A＋B＋C)2.写出求两底半径分别为1和4，高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．解：算法步骤如下：第一步 取r 1＝1，r 2＝4，h ＝4； 第二步 计算l ＝r 2－r 12＋h 2；第三步 计算S 1＝πr 21，S 2＝πr 22，S 侧＝π(r 1＋r 2)l ； 第四步 计算S 表＝S 1＋S 2＋S 侧； 第五步 计算V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .[层级一 学业水平达标]1．有关算法的描述有下列几种说法： ①对一类问题都有效； ②对个别问题有效；③可以一步一步地进行，每一步都有唯一的结果； ④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果． 其中描述正确的为________．解析：算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，所以①正确，②错误．由于算法必须是明确的，有效的，而且在有限步内完成，故③④正确．答案：①③④2．某人坐飞机去外地办一件急事，下面是他自己从家里出发到坐在机舱内的主要算法，请补充完整．第一步，乘车去飞机场售票处；第二步，____________________________； 第三步，凭票登机对号入座． 答案：在售票处购买飞机票3．已知算法：第一步，输入n .第二步，判断n 是否是2，若n ＝2，则n 满足条件；若n >2，则执行第三步．第三步，依次检验从2到n －1的整数能不能整除n ，若不能整除n ，满足条件．该算法的功能是________．解析：因为2是质数，且大于2的任何数，只要它不能被2,3，…，n －1整除，则n 一定为质数．故上述步骤是判断n 是否为质数的算法．答案：判断所给的数是否为质数4．写出求长、宽、高分别为3,2,4的长方体表面积的算法：第一步 取a ＝3，b ＝2，c ＝4；第二步 ____________________________________________________； 第三步 输出结果S . 答案：计算S ＝2ab ＋2bc ＋2ac5．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ≤－，x 3x >－，试设计一个算法输入x 的值，求对应的函数值．解：算法如下： 第一步 输入x 的值；第二步 当x ≤－1时，计算y ＝－x 2－1，否则执行第三步； 第三步 计算y ＝x 3； 第四步 输出y .[层级二 应试能力达标]1．已知球的表面积为16π，求球的体积的一个算法如下： 第一步 取S ＝16π；第二步 _____________________________________________________； 第三步 _____________________________________________________. 将其补充完整． 答案：计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2) 计算V ＝43πR 3 2．下面是求2×4×6×8×10的一个算法，请将它补充完整． 第一步 计算2×4得8；第二步 将第一步中的运算结果8与6相乘得48；第三步 _________________________________________________________； 第四步 _________________________________________________________. 答案：将第二步中的运算结果48与8相乘得384 将第三步中的运算结果384与10相乘得3 8403．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最值的一个算法如下，请将其补充完整： (1)计算m ＝4ac －b24a.(2)________________________________________________________________． (3)________________________________________________________________． 解析：m 是最大值还是最小值由a 的正负确定，依据二次函数求最值的方法，确定第二、三步的内容．答案：如果a >0，则得到y min ＝m ，否则执行第三步 得到y max ＝m4．有蓝和黑两种墨水瓶，但是现在却错把蓝墨水装在黑墨水瓶中，黑墨水装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，下面是将其互换的一个算法，请将其补充完整．第一步 准备一个干净的空瓶；第二步 将黑墨水瓶中的蓝墨水倒入空瓶中，并将黑墨水瓶洗干净； 第三步 _______________________________________________________； 第四步 _______________________________________________________.答案：将蓝墨水瓶中的黑墨水倒入黑墨水瓶中，并将蓝墨水瓶洗干净 将蓝墨水倒入蓝墨水瓶中5．如下算法： 第一步 输入x 的值；第二步 若x ≥0成立，则y ＝2x，否则执行第三步； 第三步 y ＝log 2(－x )； 第四步 输出y 的值．若输出结果y 的值为4，则输入的x 的值为________． 解析：算法执行的功能是给定x ，求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，log 2－x ，x <0对应的函数值．由y ＝4知2x＝4或log 2(－x )＝4.∴x ＝2或－16. 答案：2或－166．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法． 第一步 输入实数a .第二步 __________________________________________________________. 第三步 输出a ＝18.解析：从序列数字中搜索18，必须依次输入各数字才可以找到． 答案：若a ＝18，则执行第三步，否则返回第一步 7．给出下列算法： 第一步 输入x 的值．第二步 当x >4时，计算y ＝x ＋2；否则执行下一步． 第三步 计算y ＝4－x . 第四步 输出y .当输入x ＝10时，输出y ＝__________.解析：∵x ＝10＞4，∴计算y ＝x ＋2＝12. 答案：128．下面给出一个问题的算法： 第一步 输入x ；第二步 若x ≥4，则执行第三步，否则执行第四步； 第三步 输出2x －1； 第四步 输出x 2－2x ＋3.(1)这个算法解决的问题是______________________________________________． (2)当输入x 值为________时输出的值最小？ 解析：(1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值问题．(2)当x ≥4时，f (x )＝2x －1≥7，当x <4时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. ∴当x ＝1时，f (x )min ＝2.即当输入x 的值为1时，输出的值最小．答案：(1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值 (2)19．写出求a ，b ，c 中最小值的算法． 解：算法如下：第一步 比较a ，b 的大小，当a >b 时，令“最小值”为b ；否则，令“最小值”为a ； 第二步 比较第一步中的“最小值”与c 的大小，当“最小值”大于c 时，令“最小值”为c ；否则，“最小值”不变；第三步 “最小值”就是a ，b ，c 中的最小值，输出“最小值”．10．已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0，求l 1，l 2，y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．解：算法如下：第一步 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1，l 2的交点P (－2,6)；第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12，从而得到A (0,12)；第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3， 得到B (0,3)；第四步 求出△ABP 底边AB 的长AB ＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； 第六步 代入三角形的面积公式计算S ＝12AB ·h ；第七步 输出结果．。

第一章算法初步§1.1算法的含义(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能：了解算法的含义，体会算法的思想；能够设计解决具体问题的算法；理解算法应满足的要求．2．过程与方法：让学生感悟人们认识事物的一般规律：由具体到抽象，再由抽象到具体，培养学生的观察能力，表达能力和逻辑思维能力．3．情感态度与价值观：对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力．●重点难点重点：初步理解算法的含义，体会算法思想，能够用自然语言描述算法．难点：用自然语言描述算法．引导学生一起回顾如何解二元一次方程组，并引导他们归纳二元一次方程组的求解步骤，从而让学生经历算法分析的基本过程，培养思维的条理性，引导学生关注更具一般性解法，形成解法向算法过渡的准备，为建立算法概念打下基础而化解难点．引导学生回顾解一般的二元一次方程组的步骤，分析解题过程的结构，写出求一般的二元一次方程组的解的算法，并把它编成程序，让学生输入数据，体验计算机直接给出方程组的解．目的是让学生明白算法是用来解决某一类问题的，从而提高学生对算法的普遍适用性的认识，从而强化重点．(教师用书独具)●教学建议算法这部分的应用性很强，与日常生活联系紧密，虽然是新引入的章节，但很容易激发学生的学习兴趣．建议教师通过多媒体辅助教学，采用“问题探究式”教学法，以多媒体为辅助手段，让学生主动发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究论证、逻辑思维能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：宋丹丹的小品中要把大象关冰箱总共分几步？⇒引导学生结合所提出的问题归纳，分析，总结算法的含义．⇒通过引导学生回答所提问题理解算法的特点及能够解决的问题．⇒通过例1及其变式训练，使学生理解算法的含义及特征．⇒通过例2及其变式训练，使学生能设计算法(直接应用数学公式的算法)．⇒通过例3及其变式训练，使学生明确解方程或方程组的算法并掌握其设计的方法和策略．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识并分层布置作业．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.宋丹丹的小品中有一个问题，把大象关进冰箱里需要几步．【提示】总共分三步：第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法．(1)有限性：一个算法的步骤是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的．(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行，可以得到确定的结果，而不是模棱两可．(3)不惟一性：求解某一个问题的算法不一定是惟一的，可以有不同的算法，当然这些算法有繁简之分、优劣之别．(4)普遍性：很多具体的问题，都可以设计出合理的算法去解决.下列叙述能称为算法的个数是________．①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100； ③3x >x ＋1；④求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12…. 【思路探究】 根据算法的特征逐一作出判断．【自主解答】 ①②都是算法；③中没有给出一个确定的逻辑步骤来确定下一步做什么，不符合算法的确定性；④中的步骤是无限的，与算法的有限性矛盾．故应填2.【答案】 21．算法的定义是一个描述性定义，而算法的特征：明确性、有限性、可行性等揭示了算法的内涵，因此对于算法的了解，应从其特征入手．2．算法与普通数学问题的求解步骤是共性与个性的统一，但不能认为算法就是数学问题的求解步骤，它是解决一类问题的求解方法．下列语句中是算法的有________个．①从济南到巴黎，可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达； ②利用公式S ＝12ah ，计算底为1、高为2的三角形的面积；③方程2x 2－x ＋1＝0无实数根；④求M (1,2)与N (－3，－5)两点连线所在直线的方程，可先求直线MN 的斜率，再利用点斜式求得方程．【解析】 算法是解决某类问题而设计的一系列可操作或可计算的步骤，通过这些可有效地解决问题，显然四个语句中，①②④都是算法，③不是算法．【答案】 3设计一个算法，求底面边长为42，侧棱长为5的正四棱锥的体积．【思路探究】 由底边长可求底面积．由底面边长及侧棱长可求出正四棱锥的高，然后代入体积公式即可．【自主解答】S1 取a ＝42，l ＝5； S2 计算R ＝2·a2；S3 计算h ＝l 2－R 2； S4 计算S ＝a 2； S5 计算V ＝13Sh ；S6 输出运算结果．1．设计算法的步骤为：(1)认真分析问题，找出解决此问题的一般数学方法； (2)借助有关的变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤；(4)用简练的语言将各个步骤表示出来，即为该具体问题的算法．2．设计算法要做到以下几点：(1)写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用；(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少；(3)要保证算法正确，且计算机能够执行．(2013·潍坊高一检测)求两底面半径分别为2和4，高为4的圆台的表面积及体积，写出解决该问题的一个算法．【解】S1 取r 1＝2，r 2＝4，h ＝4； S2 计算l ＝r 2－r 12＋h 2；S3 计算S ＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)·l ； S4 计算V ＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)·h ；S5 输出S 、V .写出解方程x 2－2x －3＝0的一个算法．【思路探究】 解一元二次方程可用因式分解法和分式法，根据这两种方法写出算法． 【自主解答】 法一 S1 移项，得x 2－2x ＝3①； S2 将①两边同时加上1，并配方，得(x －1)2＝4②； S3 将②两边开平方得x －1＝±2③； S4 解③得x 1＝3，x 2＝－1.法二 S1 计算判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)；S2 将a ＝1，b ＝－2，c ＝－3代入求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a ，得x 1＝3，x 2＝－1.1．对于这类解方程(或方程组)的问题，设计其算法时，一般按照数学上解方程(或方程组)的方法进行设计．2．设计时要注意全面考虑方程(或方程组)的解的情况，即先确定方程(或方程组)是否有解，有解时，还需确定几个解，然后按照求解的步骤设计．写出求方程组⎩⎨⎧3x －2y ＝14， ①x ＋y ＝－2， ②的解的算法．【解】 法一 S1 ②×2＋①，得5x ＝14－4③； S2 解方程③，得x ＝2④； S3 将④代入②，得2＋y ＝－2⑤； S4 解⑤得y ＝－4； S5 得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4.法二 S1 由②式移项可得x ＝－2－y ③； S2 把③代入①，得y ＝－4④； S3 把④代入③，得x ＝2；S4 得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4.忽视算法的确定性致错给出将1 573分解成奇因数的乘积的形式的一个算法．【错解】 算法步骤如下： S1 判断1 573是否为素数：否；S2 寻找1 573的最小奇因数；不是2，不是3…….【错因分析】 第二步的结果是不确定的，“不是2，不是3……，到底有多少不确定”． 【防范措施】 算法的每一步都要有明确具体的结果，设计算法时要明确每一个步骤，只能有一个确定的后续步骤并且得到确定的结果，不能模棱两可．【正解】 算法步骤如下： S1 判断1 573是否为素数：否；S2 确定1 573的最小奇因数：11，即1 573＝11×143； S3 判断143是否为素数：否；S4 确定143的最小奇因数：11，即143＝11×13； S5 判断13是否为素数：是； S6 1 573＝11×11×13.算法的含义要明确以下两点：1．算法是建立在解法基础上的操作过程，算法不一定有结果，答案可以由计算机解决．2．算法没有固定的模式，但有以下几个要求．(1)符合运算规则，计算机能操作．(2)每一个步骤都有一个明确的计算任务．(3)对重复操作步骤返回处理．(4)步骤个数尽可能少．(5)每个步骤的语言描述要准确，简明.1．给出以下叙述：①过河要走桥或乘船；②老师提出的问题能回答正确；③做米饭需刷锅、淘米、添水、加热等几个步骤；④学习通常需要预习、听讲、质疑、练习、复习巩固等步骤．其中能称为算法的是________．【解析】①②具有不确定性，③④与实际相符，每一步都具有确定性和可执行性，都可称为一个算法．【答案】③④2．在教材中的“猜数”游戏中，主持人告诉竞猜者某商品的价格低于4 000元，而该商品的实际价格为1 500元，则竞猜者用二分搜索法猜数时第一次的报数为________，按照教材中的规则，此人需要________次即可猜中．【解析】每次报数都是取中间值，所以第一次报数应该取0与4 000的中间值2 000，第二次报数0与2 000的中间值1 000，第三次报1 000与2 000的中间值1 500.【答案】 2 000 33．下面给出了一个计算圆的面积的算法：S1 取R＝5；S2 计算S＝πR2；S3 输出S.则S＝________.【解析】S＝π×52＝25π.【答案】25π4．已知直角三角形两直角边长a，b，设计求斜边长c的一个算法．【解】S1 输入直角三角形的两直角边长a、b的值；S2 计算c＝a2＋b2；S3 输出斜边长c的值.一、填空题1．看下面的三段话，其中不是解决问题的算法的是________．①解一元二次方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.②方程x2＝4有两个实根．③求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6，最后计算6＋4＝10，最终结果为10.【解析】结合算法的含义知②不是解决问题的算法．【答案】②2．下列关于算法的描述正确的是________．①算法与求解一个问题的方法相同②算法只能解决一个问题，不能重复使用③算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切④设计算法要本着简单可行的原则【解析】根据算法的含义及特点，只有③④正确．【答案】③④3．下列所给问题中，其中不能设计一个算法求解的是________．①二分法解方程x 2－3＝0(精确到0.01)； ②解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0；③求半径为2的球的体积； ④证明y ＝x 2为偶函数．【解析】 根据算法特征知①②③都可以设计算法求解，而④不可以． 【答案】 ④4．用电水壶烧开水的一个算法过程如下： S1 打开电水壶的盖子，加水后盖上盖子； S2 接通电源；S3 在水开后，断开电源． 对于上述算法，有以下几种说法： ①顺序不能改变；②第一步与第二步可以互换； ③第二步是必须具有的步骤；④第三步可以变为“在水开后，倒出开水”． 其中说法正确的是________．【解析】 ①③正确，②④的说法不符合安全用电常识． 【答案】 ①③5．(2013·广州高一检测)完成不等式－2x －5>x ＋1的算法过程． S1 移项并合并同类项，得________．S2 在不等式的两边同时除以x 的系数，得________． 【解析】 依据解一元一次不等式的步骤进行． 【答案】 －3x >6 x <－26．已知一个学生的语文成绩是89，数学成绩是96，外语成绩是99，求他的总分和平均分的一个算法如下，请补充完整：S1 取A ＝89，B ＝96，C ＝99； S2 计算总分S ＝________； S3 计算平均分M ＝________； S4 输出S ，M .【解析】 总分S ＝89＋96＋99； 平均分M ＝89＋96＋993＝S3.【答案】 89＋96＋99 S37．(2013·西宁高一检测)对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2，设计解此方程组的算法时，第一步为________．【解析】 由于未知数的系数不确定，故该方程组不一定有解，当a 1b 2＝a 2b 1时，该方程组无解，故第一步应为验证a 1b 2与a 2b 1是否相等．【答案】 验证a 1b 2＝a 2b 1是否成立8．有一堆形状大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其他的轻，某同学利用科学的算法，最多两次利用天平找出了这颗最轻的珠子，则这堆珠子最多的粒数是________．【解析】 最多是9粒，第一次是天平每边3粒，若平衡，则所求在剩余的3粒中，在这3粒中选出两粒，再放在天平的两边，若平衡，余下的一颗即为最轻的珠子，若不平衡，则天平高的一边即为最轻的珠子；若第一次天平不平衡，则在轻的一边选出两粒，再放在天平的两边，同样可以得到最轻的珠子．【答案】 9 二、解答题9．写出求一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的一个算法． 【解】 算法如下：S1 计算Δ＝b 2－4ac ； S2 若Δ<0，则方程无实根；S3 若Δ≥0，则x (1,2)＝－b ±b 2－4ac2a.10．已知平面直角坐标系中点A (－2,0)，B (3,1)，写出求直线AB 的方程的一个算法． 【解】 法一 算法步骤如下． S1 求出直线AB 的斜率k ＝1－03－－＝15； S2 选定A (－2,0)，用点斜式写出直线AB 的方程y －0＝15[x －(－2)]；S3 将第二步的运算结果化简，得到方程x －5y ＋2＝0. 法二 算法步骤如下．S1 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ；S2 将A (－2,0)，B (3,1)代入第一步设出的方程，得到⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，3k ＋b ＝1；S3 解第二步所得的方程组，得到k ＝15，b ＝25；S4 把第三步得到的结果代入第一步所设的方程，得到y ＝15x ＋25；S5 将第四步所得的结果整理，得到方程x －5y ＋2＝0.11．试写出一个判断圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和直线Ax ＋By ＋C ＝0位置关系的算法． 【解】 S1 输入圆心的坐标(a ，b )，直线方程的系数A 、B 、C ； S2 计算Z 1＝Ax 0＋By 0＋C ； S3 计算Z 2＝A 2＋B 2； S4 计算d ＝|Z 1|Z 2；S5 若d >r ，则相离；若d ＝r ，则相切，若d <r ，则相交.(教师用书独具)实际问题的算法设计有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题．【思路探究】 本题实质上是考查交换两个变量值的算法．要交换两个变量的值，要先寻找第三个变量作为中间变量，再进行交换．【规范解答】 S1 找一个大小与蓝和黑两个墨水瓶相同的空瓶子A ； S2 将蓝墨水倒入空瓶子A 中；S3 将黑墨水倒入原来装蓝墨水的瓶子中； S4 将蓝墨水倒入原来装黑墨水的瓶子中．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳，他们如何渡河？请写出你设计的渡河的算法．【解】 S1 两个小孩同船渡过河去； S2 一个小孩划船回来；S3 一个大人独自划船渡过河去；S4 对岸的小孩划船回来；S5 两个小孩再同船渡过河去；S6 一个小孩划船回来；S7 余下的另一个大人独自划船渡过河去；S8 对岸的小孩划船回来；S9 两个小孩再同船渡过河去．§1.2流程图1．2.1 顺序结构(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能：掌握顺序结构的特点，设计方法．2．过程与方法：学会用算法分析问题；能够使用顺序结构编写简单的程序解决具体问题．3．情感态度与价值观：体会用结构化方法解决数学问题的便捷性；明确结构化在程序设计中的重要作用；激励尝试使用多种方法解决问题；培养良好的编程习惯和态度．●重点难点重点：各种图框的功能，会用算法图框表示顺序结构．难点：对顺序结构的概念的理解；利用图框表示流程线顺序结构．(教师用书独具)●教学建议从知识结构上来说，学生在本章第一节已经了解了一些算法的基本思想，这是本节课的重要知识基础，从能力上来说，这个阶段的学生已经具有一定的分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，思维比较活跃但缺乏严谨性．因此，在设计教学中不仅要充分调动学生的学习积极性，更要注意培养学生严谨的数学思维和语言组织能力．由于学生首次接触算法图框，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采取问题导入式教学，即“创设情境，提出问题——讨论问题，提出方案——交流方案，解决问题——模拟练习，运用问题——归纳总结，完善认识”，通过对问题的探究过程让学生掌握新知识，同时在解决问题的过程中掌握新知识的应用和解题过程，提高学生独立解题的能力．在老师的引导下，充分发挥学生的主观能动性，从问题入手，通过分析问题、交流方案、解决问题、运用问题的探索过程，让学生全程参与到问题的探索中而突破难点．通过学生对常见的图框及功能的理解和认识，结合典型例题及变式训练，使学生初步掌握顺序结构的流程图的设计而强化了重点．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何形象直观的表示算法？⇒引导学生结合前面学习过的算法的含义理解常见的图框及功能，把握流程图的概念．⇒通过引导学生回答所提问题理解顺序结构的特点及能够解决的问题．⇒通过例1及其变式训练，使学生对流程图能够正确的认识和理解．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握较顺序结构流程图的画法．⇒通过例3及其变式训练，使学生明确顺序结构在实际生活中的应用并掌握求解策略．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．如何形象直观的表示算法？【提示】图形方法．2．用图形方法表示算法有何优点？ 【提示】 简洁、直观．1．流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．2．常见的图框、流程线及功能顺序结构有何特点？【提示】 任何一个算法都离不开顺序结构，顺序结构是最简单、最基本的结构．依次进行多个处理的结构称为顺序结构．如图1－2－1，虚线框内是一个顺序结构，其中A 和B 两个框是依次执行的．顺序结构是一种最简单、最基本的结构．图1－2－1关于流程图的图形符号的理解正确的是______．(填序号)①流程图是描述算法的图形语言．②输入框可以在起始框后，也可以在判断框后．③判断框是唯一一个具有超过一个出口的图形符号．【思路探究】根据流程图的规则和每个框图所表示的功能逐一判断．【自主解答】①正确，由流程图的定义知．②正确，输入框可以在任何需要输入、输出的地方出现．③正确，判断框是具有多个出口的唯一符号．【答案】①②③正确理解流程图的概念，对构成流程图的各种图形符号的功能要准确把握，具体应用时注意其特点．掌握流程图的画法规则，画流程图的规则如下：(1)使用标准的图形符号；(2)一般按从上到下、从左到右的方向画；(3)除判断框外，大多数流程图的符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；(4)判断框分两大类：一类判断框是“Y”与“N”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果；(5)在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚．下列说法正确的是________．①任何一个流程图都必须有起止框；②流程线表示算法步骤执行的顺序，用来连结图框；③一个自然语言描述的算法只能对应一个流程图；④流程图中的流程线可以箭头不朝下．【解析】一个自然语言描述的算法，可能有多个流程图与之对应．【答案】①②④(2013·连云港高一检测)利用梯形的面积公式计算上底长为2、下底长为4、高为5的梯形的面积，设计解决该问题的一个算法，并画出流程图．【思路探究】 根据梯形的面积公式S ＝12(a ＋b )·h ，其中a 为上底长，b 为下底长，h为高，只要令a ←2，b ←4，h ←5，代入公式即可．【自主解答】 算法如下： S1 a ←2，b ←4，h ←5； S2 S ←12(a ＋b )·h ；S3 输出S . 流程图如下：1．画流程图时，应先根据题意设计算法，再画流程图，一般不直接画流程图． 2．应用顺序结构表示算法的步骤：(1)仔细审题，理清题意，找到解决问题的方法； (2)梳理解题步骤；(3)用数学语言描述算法，明确输入量、计算过程、输出量； (4)用流程图表示算法过程．已知一个三角形的三边长分别为2,3,4.利用海伦公式设计一个算法，求出该三角形的面积，并画出流程图．(海伦公式：已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝pp －a p －bp －c ，其中p ＝a ＋b ＋c2)【解】 先将三角形的各边长赋值，求出三角形周长的一半，然后利用公式求解． 算法如下：S1 a ←2，b ←3，c ←4；S2 p ←a ＋b ＋c2；S3 S ←p p －a p －b p －c ；S4 输出S .流程图如图所示．如图1－2－2所示是为解决某个问题而绘制的流程图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：图1－2－2(1)该流程图解决的是怎样的一个问题？(2)若最终输出的结果y 1＝3，y 2＝－2，当x 取5时输出的结果5a ＋b 的值应该是多少？ (3)在(2)的前提下，输入的x 值越大，输出的ax ＋b 是不是越大？为什么？ (4)在(2)的前提下，当输入的x 值为多大时，输出结果ax ＋b 等于0?【思路探究】 先分析流程图的功能，然后根据函数关系式中变量间的关系依次解答，同时还要注意流程图中不同形式的图框的功能．【自主解答】 (1)该流程图解决的是求函数f (x )＝ax ＋b 的函数值的问题． (2)y 1＝3，即2a ＋b ＝3，y 2＝－2， 即－3a ＋b ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝3，－3a ＋b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴f (x )＝x ＋1.∴当x 取5时，5a ＋b ＝f (5)＝5＋1＝6.(3)输入x 值越大，输出的函数值ax ＋b 越大．因为函数为增函数．(4)令f (x )＝x ＋1＝0，得x ＝－1，因此，当输入x 的值为－1时，输出的函数值为0.1．已知流程图，回答问题，首先应理清流程图的结构，本例中的流程图为——顺序结构．2．已知流程图的函数问题，将框图所表示的算法翻译成自然语言，是由用自然语言表达的算法画出流程图的逆向过程．对这两种语言的互译有助于熟练掌握算法的设计，而将流程图翻译成自然语言相对而言比较陌生，是一个难点．阅读如图1－2－3所示的流程图，回答下面的问题．图1－2－3(1)图框①中x ←4的含义是什么？(2)图框②中y 1←x 3＋2x ＋3的含义是什么？计算y 1(3)图框④中y2←x2－2x的含义是什么？计算y2【解】(1)图框①的功能是初始化变量，令x＝4.(2)图框②中y1←x3＋2x＋3的含义：该图框是在执行①的前提下，即当x＝4时，计算x3＋2x＋3的值，并令y1等于这个值，y1＝43＋2×4＋3＝75.(3)图框④中y2←x2－2x的含义：该图框是在执行③的前提下，即当x＝－1时，计算x2－2x的值，并令y2等于这个值，y2＝(－1)2－2×(－1)＝3.混淆构成流程图的符号及作用致误已知x＝4，y＝2，画出计算W＝3x＋4y的值的流程图．【错解】流程图如图(1)所示．(1) (2)【错因分析】输出框用平行四边形，而此题的错解中用了矩形框．【防范措施】 1.流程图中特定的符号表示特定的含义，不能乱用．2．熟练掌握流程图中的常见符号的含义及功能，掌握画流程图的技巧和方法．【正解】如图(2)画流程图时所遵循的规则如下：(1)使用标准的图形符号；(2)一般按从上到下、从左到右的方向画；(3)除判断框外，大多数流程图的符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；(4)判断框分两大类，一类判断框是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果，另一类是多分支判断，有几种不同的结果；(5)在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚.1．下列是流程图的一部分，表示合理的是________．【解析】③是输入、输出框，不合要求，①②均可．【答案】①②2．流程图的图框“”可完成下列中的________．①输入a←10②判断a>10③输出a←10④赋值a←10【解析】图框为矩形框，其功能为计算或赋值，故④正确．【答案】④3．下列流程图1－2－4中输出S的值为________．图1－2－4【解析】该流程图的功能是求半径为r的圆的面积又r＝5，∴S＝25π.【答案】25π4．已知一个圆柱的底面半径为R，高为h，求出圆柱体积．设计解决该问题的一个算法，并画出相应的流程图．【解】算法如下：S1 输入R、h；S2 V←πR2h；S3 输出V.流程图如图．一、填空题1．下列关于流程线的说法．①流程线表示算法步骤执行的顺序，用来连结图框；②流程线只要是上下方向就表示自上向下执行可以不要箭头；③流程线无论什么方向，总要按箭头的指向执行；④流程线是带有箭头的线，它可以画成折线．其中正确的有________．【答案】①③④2．流程图中表示判断的图框是________．【解析】由各种图框的符号及含义表示可知一般用菱形框表示判断框．【答案】3.图1－2－5(2013·苏州高一检测)如图1－2－5所示，A杯原来装酒，B杯原来装油，C杯原来空杯，则流程图运行结果为(每次操作都全部倒完)A杯为______，B杯为________，C杯为________．【解析】运行结果为先把酒放到空杯C中，此时A杯空着，然后把B中的油放到A杯中，此时B杯空着，最后将C杯中的酒放到B杯中，此时C杯空着，此时A杯中为油，B 杯中为酒，C杯为空杯．【答案】油酒空杯4．如图1－2－6所示的流程图的输出结果P＝________.图1－2－6【解析】P＝m＋5＝2＋5＝7.【答案】75.图1－2－7(2013·宿迁高一检测)给出如图1－2－7所示流程图，若输出结果为12，则①处的图框中应填的是________．【解析】由b＝a－3＝12知a＝15，∴3x－3＝15即x＝6，∴①中应填x←6.【答案】x←66．下列图1－2－8中的算法功能为________．(a>0，b>0)图1－2－8【解析】 d ＝a 2＋b 2，c ＝d ＝a 2＋b 2故可根据几何意义填，答案不唯一． 【答案】 求以a ，b 为直角的直角三角形斜边的长度7．图1－2－9(2)是计算图1－2－9(1)的阴影部分面积的一个流程图，则①中应该填________．图(1) 图(2)图1－2－9【解析】 设阴影部分面积为M ，则M ＝x 2－π·(x 2)2＝(1－π4)x 2.【答案】 M ←(1－π4)x 28.图1－2－10如图1－2－10是一个算法的流程图，已知a 1＝3，输出的结果为7，则a 2的值为________． 【解析】 由输出的结果为7易知a 1＋a 2＝14，又a 1＝3，∴a 2＝11. 【答案】 11。