《创新设计》 2017届二轮专题复习 全国版 数学文科 WORD版材料 专题四 立体几何

一、填空题1.(2016·泰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x22－y2＝1的实轴长为________.解析由双曲线方程可得a＝2，则实轴长为2a＝2 2. 答案2 22.(2016·苏、锡、常、镇、宿调研)在平面直角坐标系xOy中，已知方程x24－m－y22＋m＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________.解析由题意可得(4－m)(2＋m)＞0，解得－2＜m＜4.答案(－2，4)3.(2016·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为________.解析设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p＞0)，代入点P(1，3)得9＝2p，则y2＝9x的焦点到准线的距离为p＝9 2.答案9 24.(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________.解析法一x＝3代入x24－y212＝1，y＝±15，不妨设M(3，15)，右焦点F(4，0).∴MF＝1＋15＝4.法二由双曲线第二定义知，M到右焦点F的距离与M到右准线x＝a2c＝1的距离比为离心率e＝ca＝2，∴MF3－1＝2，MF＝4.答案 45.(2015·天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为________.解析 由题意可得b a ＝32，c ＝7，又c 2＝7＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故双曲线方程为x 24－y 23＝1. 答案 x 24－y 23＝16.(2016·全国Ⅰ卷改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________.解析 法一 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12(e ＝－12舍去).法二 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c2＝14×2b ，所以bc a ＝14×2b ，所以e ＝c a ＝12. 答案 127.(2015·江苏五市模拟)已知椭圆x 29＋y 2m ＝1(0＜m ＜9)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆与A ，B 两点，若AF 2＋BF 2的最大值为10，则m 的值为________.解析 已知椭圆x 29＋y 2m ＝1(0＜m ＜9)中，a 2＝9，b 2＝m .AF 2＋BF 2＝4a －AB ≤10，∴AB ≥2，AB min ＝2b 2a ＝2m3＝2，解得m ＝3. 答案 38.(2015·福建卷改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________.解析 左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32二、解答题9.(2016·南通调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A (2，1)，离心率为32.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于B ，C 两点(异于点A )，线段BC 被y 轴平分，且AB ⊥AC ，求直线l 的方程.解 (1)由条件知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝c a ＝32，所以b 2＝a 2－c 2＝14a 2.又点A (2，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，所以4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝8，b 2＝2.所以所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.(2)将y ＝kx ＋m (k ≠0)代入椭圆方程，得x 2＋4(kx ＋m )2－8＝0， 整理得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－8＝0.① 由线段BC 被y 轴平分，得x B ＋x C ＝－8mk1＋4k 2＝0， 因为k ≠0，所以m ＝0.因为当m ＝0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (－x ，－kx )， 由①得x 2＝81＋4k 2，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)， 所以AB→·AC →＝(x －2)(－x －2)＋(kx －1)(－kx －1) ＝5－(1＋k 2)x 2＝5－8（1＋k 2）1＋4k 2＝0，所以k ＝±12.由于当k ＝12时，直线y ＝12x 过点A (2，1)，故k ＝12不符合题意，舍去.所以此时直线l 的方程为y ＝－12x .10.(2015·安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM ＝2MA ，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ， 故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb ＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝ 5.解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.11.(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C . (1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋yb ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2ca 2＋c 2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b （a 2－c 2）a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.。

技巧——巧解客观题的10大妙招(一)选择题的解法选择题是高考试题的三大题型之一，全国卷12个小题.该题型的基本特点：绝大部分选择题属于低中档题目，且一般按由易到难的顺序排列，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力.解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧，总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做.方法一 直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”作出相应的选择，从而确定正确选项的方法.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.【例1】 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n ＜a 恒成立，则实数a 的最小值为( )A.12B.23C.32D.2解析 对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，取m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1⇒a n ＋1a n＝a 1＝13.故数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列，则S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜12， 由于S n ＜a 对任意n ∈N *恒成立，故a ≥12，即实数a 的最小值为12.答案 A探究提高 直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.【训练1】 (2015·湖南卷)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9解析 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故P A →＋PC →＝2PO→＝(－4，0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|P A →＋PB→＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.答案 B方法二 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等.适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题.【例2】 (1)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.3∶1(2)已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )恒不为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当x ＞0时，f (x )＞1，那么当x ＜0时，一定有( )A.f (x )＜－1B.－1＜f (x )＜0C.f (x )＞1D.0＜f (x )＜1解析 (1)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有V C －AA 1B ＝V A 1－ABC ＝V ABC －A 1B 1C 13. (2)取特殊函数.设f (x )＝2x ，显然满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )(即2x ＋y ＝2x ·2y )，且满足x ＞0时，f (x )＞1，根据指数函数的性质，当x ＜0时，0＜2x ＜1，即0＜f (x )＜1.答案 (1)B (2)D探究提高 特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.【训练2】 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )A.130B.170C.210D.260解析 取m ＝1，依题意a 1＝30，a 1＋a 2＝100，则a 2＝70，又{a n }是等差数列，进而a 3＝110，故S 3＝210.答案 C方法三 排除法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.【例3】 函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]上的图象大致为( )解析 由函数f (x )为奇函数，排除B ；当0≤x ≤π时，f (x )≥0，排除A ；又f ′(x )＝－2cos 2 x ＋cos x ＋1，f ′(x )＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在(0，π]上的极大值点为2π3，靠近π，排除D.答案 C探究提高 (1)对于干扰项易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个.(2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项.(3)如果选项中存在等效命题，那么根据规定——答案唯一，等效命题应该同时排除.(4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的.(5)如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断.【训练3】 (1)方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )A.0＜a ≤1B.a ＜1C.a ≤1D.0＜a ≤1或a ＜0(2)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，则f ′(x )的图象是( )解析 (1)当a ＝0时，x ＝－12，故排除A 、D.当a ＝1时，x ＝－1，排除B.(2)f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，故f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋cos x ′＝12x －sin x ，记g (x )＝f ′(x )，其定义域为R ，且g (－x )＝12(－x )－sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －sin x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以排除B ，D 两项，g ′(x )＝12－cos x ，显然当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，g ′(x )＜0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减，故排除C.选A. 答案 (1)C (2)A方法四 数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫数形结合法.有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略.【例4】 函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A.0B.1C. 2D.3解析 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞).在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x ＞0)，y 2＝ln x (x ＞0)的图象，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.答案 C探究提高 图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题比直接计算求解更能简捷地得到结果.运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而会导致错误的选择.【训练4】 过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B.－33 C.±33 D.－ 3解析 由y ＝1－x 2，得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，其所表示的图形是以原点O 为圆心，1为半径的上半圆(如图所示).由题意及图形，知直线l 的斜率必为负值，故排除A ，C 选项.当其斜率为－3时，直线l 的方程为3x ＋y －6＝0，点O 到其距离为|－6|3＋1＝62＞1，不符合题意，故排除D 选项.选B. 答案 B方法五 估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次.【例5】 已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜θ＜π，则tan θ2等于( ) A.m －39－m B.m －3|9－m | C.－15 D.5 解析 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 一定为确定的值进而推知tan θ2也是一确定的值，又π2＜θ＜π，所以π4＜θ2＜π2，故tan θ2＞1.所以D 正确.答案 D探究提高 估算法的应用技巧：估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项.【训练5】 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )A.1B. 2C.2－12D.2＋12解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－1 2.答案 C1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法.但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法.2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃.3.作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力.(二)填空题的解法填空题是高考试题的第二题型.从历年的高考成绩以及平时的模拟考试可以看出，填空题得分率一直不是很高.因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫.填空题的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题与选择题有质的区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误干扰，但同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系.由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等.方法一 直接法对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法.它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.【例1】 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________.解析 设P 点在双曲线右支上，由题意得⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，则|PF 2|＜|F 1F 2|，得∠PF 1F 2＝30°，由2a sin 30°＝4a sin ∠PF 2F 1， 得sin ∠PF 2F 1＝1，∴∠PF 2F 1＝90°，在Rt △PF 2F 1中，2c ＝（4a ）2－（2a ）2＝23a ，∴e ＝c a ＝ 3.答案 3探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.【训练1】 (1)设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. (2)(2015·全国Ⅱ卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析 (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13， 即⎩⎨⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，又θ为第二象限角， 解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010.∴sin θ＋cos θ＝－105.(2)从2006年起，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A 选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误.故选D.答案 (1)－105 (2)D方法二 特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.【例2】 (1)若f (x )＝12 015x －1＋a 是奇函数，则a ＝________.(2)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC→＝________.解析 (1)因为函数f (x )是奇函数，且1，－1是其定域内的值，所以f (－1)＝－f (1)，而f (1)＝12 014＋a ，f (－1)＝12 015－1－1＋a ＝a －2 0152 014.故a －2 0152 014＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12 014，解得a ＝12.(2)把平行四边形ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC→＝18.答案 (1)12 (2)18探究提高 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.【训练2】 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP→＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________. 解析 由题意可知，1λ＋1μ的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线PQ 与直线BC重合时，则有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2.答案 2方法三 图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.【例3】 (1)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |（0＜x ≤10），－12x ＋6（x ＞10），若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________.解析 (1)函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数y ＝f (x )在[－3，4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0＜a ＜12.(2)a ，b ，c 互不相等，不妨设a ＜b ＜c ，∵f (a )＝f (b )＝f (c )，如图所示，由图象可知，0＜a ＜1，1＜b ＜10，10＜c ＜12.∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |.即lg a ＝lg 1b ，a ＝1b .则ab ＝1.所以abc ＝c ∈(10，12).答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (2)(10，12) 探究提高 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.【训练3】 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为________.解析 由f (－4)＝f (0)，得16－4b ＋c ＝c .由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2.联立两方程解得b ＝4，c ＝2.于是，f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x ＞0.在同一直角坐标系中，作出函数y＝f(x)与函数y＝x的图象，知它们有3个交点，即函数g(x)有3个零点.答案 3方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.【例4】如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________.解析如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R，所以R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π.答案6π探究提高构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.【训练4】已知a＝ln12 013－12 013，b＝ln12 014－12 014，c＝ln12 015－12 015，则a，b，c的大小关系为________.解析令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝1x－1＝1－xx.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(0，1)上是增函数.∵1＞12 013＞12 014＞12 015＞0，∴a＞b＞c.答案a＞b＞c方法五综合分析法对于开放性的填空题，应根据题设条件的特征综合运用所学知识进行观察、分析，从而得出正确的结论.【例5】已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：①f(2 013)＋f(－2 014)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1，1).其中正确的命题序号有________.解析根据题意，可在同一坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如下：根据图象可知①f(2 013)＋f(－2 014)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1，1)，正确.答案①③④探究提高对于规律总结类与综合型的填空题，应从题设条件出发，通过逐步计算、分析总结探究其规律，对于多选型的问题更要注重分析推导的过程，以防多选或漏选.做好此类题目要深刻理解题意，捕捉题目中的隐含信息，通过联想、归纳、概括、抽象等多种手段获得结论.【训练5】给出以下命题：①双曲线y22－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x；②命题p：“∀x∈R＋，sin x＋1sin x≥2”是真命题；③已知线性回归方程为y^＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为nn－4＋8－n（8－n）－4＝2(n≠4).则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号).解析①由y22－x2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y＝±2x，正确.②命题不能保证sin x，1sin x为正，故错误；③根据线性回归方程的含义正确；④根据验证可知得到一般性的等式是正确的.答案①③④1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果.2.解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；(3)要重视对所求结果的检验.。

星期三 (解析几何) 2017年____月____日解析几何(命题意图：考查椭圆方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点到直线x －y ＋32＝0的距离为5，且椭圆C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)给出定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫655，0，对于椭圆C 的任意一条过Q 的弦AB ，1|QA |2＋1|QB |2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.解 (1)由题意知右焦点(c ，0)到直线x －y ＋32＝0的距离d ＝|c ＋32|2＝5，所以c ＝22，则a 2－b 2＝8.①又由题意，得a 2＋b 2＝10，即a 2＋b 2＝10.②由①②解得a 2＝9，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2＝1. (2)当直线AB 与x 轴重合时，1|QA |2＋1|QB |2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫655＋32＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫655－32＝10. 当直线AB 不与x 轴重合时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 设直线AB 的方程为x ＝my ＋65，与椭圆C 方程联立. 化简得(m 2＋9)y 2＋12m 5y －95＝0， 所以y 1＋y 2＝－12m 5（m 2＋9）.③ y 1y 2＝－95（m 2＋9）.④ 又1|QA |2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－652＋y 21＝1m 2y 21＋y 21＝1（m 2＋1）y 21.同理1|QB|2＝1（m2＋1）y22，所以1|QA|2＋1|QB|2＝1（m2＋1）y21＋1（m2＋1）y22＝（y1＋y2）2－2y1y2（m2＋1）y21y22，(*)将③④代入(*)式，化简可得1|QA|2＋1|QB|2＝10.综上所述，1|QA|2＋1|QB|2为定值10.。

第1讲函数与方程思想、数形结合思想高考定位函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在填空题中考查.1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.3.数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.热点一 函数与方程思想的应用[微题型1] 不等式问题中的函数(方程)法【例1－1】 (1)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]，总有f (x )≥0成立，则a ＝________.(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是________.解析 (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4， 所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4. 当x ＜0即x ∈[－1，0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，且g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.(2)设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )在R 上为奇函数.又当x ＜0时，F ′(x )＝f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，所以x ＜0时，F (x )为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F (x )也是增函数. 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3).所以，由图可知F (x )＜0的解集是(－∞，－3)∪(0，3).答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0，3)探究提高 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f (x )＞0或f (x )＜0恒成立，一般可转化为f (x )min ＞0或f (x )max ＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.[微题型2] 数列问题的函数(方程)法【例1－2】 已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋p ·3n (n ∈N *，p 为常数)，a 1，a 2＋6，a 3成等差数列.(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝n 2a n，证明：b n ≤49. (1)解 由a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋p ·3n ，得a 2＝3＋3p ，a 3＝a 2＋9p ＝3＋12p .因为a 1，a 2＋6，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋6)，即3＋3＋12p ＝2(3＋3p ＋6)，得p ＝2，依题意知，a n ＋1＝a n ＋2×3n .当n ≥2时，a 2－a 1＝2×31，a 3－a 2＝2×32，…，a n －a n －1＝2×3n －1.将以上式子相加得a n －a 1＝2(31＋32＋…＋3n －1)，所以a n －a 1＝2×3×（1－3n －1）1－3＝3n －3， 所以a n ＝3n (n ≥2).又a 1＝3符合上式，故a n ＝3n .(2)证明 因为a n ＝3n，所以b n ＝n 23n . 所以b n ＋1－b n ＝（n ＋1）23n ＋1－n 23n ＝－2n 2＋2n ＋13n ＋1(n ∈N *)， 若－2n 2＋2n ＋1＜0，则n ＞1＋32，即当n ≥2时，有b n ＋1＜b n ，又因为b 1＝13，b 2＝49，故b n ≤49.探究提高 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：(1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.(2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1求解. (3)数列中前n 项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可求解.[微题型3] 解析几何问题的方程(函数)法【例1－3】 设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点.(1)若ED→＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2； 由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k.所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2）， h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）. 又AB ＝22＋12＝5，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12·AB ·(h 1＋h 2) ＝12·5·4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k2 ＝21＋4k 2＋4k 1＋4k 2≤22， 当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝12时，上式取等号.所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.热点二 数形结合思想的应用[微题型1] 利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点【例2－1】 (1)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为________.解析 (1)由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，可得|2x －2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y ＝|2x －2|的图象与函数y ＝b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0＜b ＜2，故填(0，2).(2)根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x ).当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根.所以总共有6个.答案 (1)(0，2) (2)6探究提高 用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.[微题型2] 利用数形结合思想解不等式或求参数范围【例2－2】 (1)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析 (1)如图，分别作出直线y ＝k (x ＋2)－2与半圆y ＝9－x 2.由题意，知直线在半圆的上方，由b －a ＝2，可知b＝3，a ＝1，所以直线y ＝k (x ＋2)－2过点(1，22)，则k ＝ 2.(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12. 答案 (1)2 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 探究提高 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.[微题型3] 利用数形结合思想求最值【例2－3】 (1)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________.解析 (1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12P A ·AC ＝12P A 越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时PC ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而P A ＝PC 2－AC 2＝2 2.所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×P A ×AC ＝2 2.(2)设双曲线的左焦点为F 1，连接PF 1，根据双曲线的定义可知PF ＝2＋PF 1，则△APF 的周长为P A ＋PF ＋AF ＝P A ＋2＋PF 1＋AF ＝P A ＋PF 1＋AF ＋2，由于AF ＋2是定值，要使△APF 的周长最小，则P A ＋PF 1最小，即P ，A ，F 1三点共线，如图所示.由于A (0，66)，F 1(－3，0)，直线AF 1的方程为：x －3＋y 66＝1， 即x ＝y 26－3， 代入双曲线方程整理可得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为2 6.所以S △APF ＝S △AFF 1－S △PFF 1＝12×6×66－12×6×26＝12 6.答案 (1)22 (2)12 6探究提高 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论.1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.5.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.6.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.一、填空题1.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝________.解析圆的方程(x－1)2＋y2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒|3＋m|3＋1＝3⇒|3＋m|＝23⇒m＝3或m＝－3 3.答案－33或 32.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是________.解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.答案93.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________.解析f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，得F(x)在R上是增函数.又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4，即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1.答案(－1，＋∞)4.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________.解析 如图，设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .由题意知CA→⊥CB →， ∴O ，A ，C ，B 四点共圆.∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC→|＝ 2. 答案 25.已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________.解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a ，画出草图如图所示.由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1，2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞).答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)6.(2015·全国Ⅱ卷改编)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为________.解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则AB ＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴BM ＝AB ＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝MN ＝BM sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝OB ＋BN ＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (2a ，3a )的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝ 2.答案 2 7.已知e 1，e 2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b 满足|b |＝2，b ·e 1＝1，b ·e 2＝1，则对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|的最小值为________.解析 |b －(x e 1＋y e 2)|2＝b 2＋x 2e 21＋y 2e 22－2x b ·e 1－2y b ·e 2＋2xy e 1·e 2＝4＋x 2＋y 2－2x－2y＝(x－1)2＋(y－1)2＋2≥2，当且仅当x＝1，y＝1时，|b－(x e1＋y e2)|2取得最小值2，此时|b－(x e1＋y e2)|取得最小值 2.答案 28.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________.解析设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线l的方程代入抛物线方程y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，则Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，则线段AB的中点M(2t2＋m，2t).由题意可得直线AB与直线MC垂直，且C(5，0).当t≠0时，有k MC·k AB＝－1，即2t－02t2＋m－5·1t＝－1，整理得m＝3－2t2，把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3.由于圆心C到直线AB的距离等于半径，即d＝|5－m|1＋t2＝2＋2t21＋t2＝21＋t2＝r，所以2＜r＜4，此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条.当t＝0时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以0＜r＜5.综上，可得若这样的直线恰有4条，则2＜r＜4.答案(2，4)二、解答题9.已知数列{a n}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{a n}的通项a n；(2)求{a n}前n项和S n的最大值.解(1)设{a n}的公差为d，由已知条件，⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得a 1＝3，d ＝－2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5.(2)S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.10.椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.(1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围.解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，设c ＞0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22， 所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1.即y 2＋2x 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，由题意求得m ＝±12； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1) ＝4(k 2－2m 2＋2)＞0，(*)解上述方程后易得：x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3 PB →，所以－x 1＝3x 2.所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0. 所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0.整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2＞2m 2－2， 又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1＞0.解得－1＜m ＜－12或12＜m ＜1.综上，所求m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.11.设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行. (1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ≤0，g （x ），x ＞0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围.解 函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0， g ′(x )＝2bx －1x ⇒g ′(1)＝2b －1， 依题意得2b －1＝0，所以b ＝12. (2)x ∈(0，1)时，g ′(x )＝x －1x ＜0，即g (x )在(0，1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x ＞0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12； 当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a ＜0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减，x ∈ (－1，0)时，f ′(x )＞0， 即f (x )在(－1，0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ， 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解. 当a ＞0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0， 即f (x )在(－∞，－1)上单调递增， x ∈(－1，0)时，f ′(x )＜0， 即f (x )在(－1，0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a . 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所求，从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12＜a 2＜2a ， 得22＜a ＜2，所以，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2.第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想高考定位 分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数及数列解答题中，难度较大.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定.(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁U A获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.热点一分类讨论思想的应用[微题型1]由性质、定理、公式的限制引起的分类【例1－1】(1)设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n＝3n＋3，求数列{a n}的通项a n ＝________.(2)(2016·苏北四市调研)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________. 解析 (1)由2S n ＝3n ＋3得：当n ＝1时，2S 1＝31＋3＝2a 1，解得a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12[(3n ＋3)－(3n －1＋3)]＝3n －1，由于n ＝1时，a 1＝3不适合上式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)当a >0时，1－a <1，1＋a >1， 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去； 当a <0时，1－a >1，1＋a <1， 这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ， 解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34. 答案 (1)⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2(2)－34探究提高 由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等. [微题型2] 由数学运算要求引起的分类【例1－2】 (1)(2016·苏、锡、常、镇调研改编)不等式|x |＋|2x ＋3|≥2的解集是________.(2)已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0，1]上的最大值为________.解析 (1)原不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －（2x ＋3）≥2， 或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤0，－x ＋（2x ＋3）≥2或⎩⎨⎧x ＞0，x ＋（2x ＋3）≥2. 解得x ≤－53或－1≤x ≤0或x ＞0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞). (2)①当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数y ＝－2x ＋43， 它在[0，1]上是减函数，所以y max ＝f (0)＝43. ②当4－3m ≠0, 即m ≠43时，y 是二次函数.当4－3m ＞0，即m ＜43时，二次函数y 的图象开口向上，对称轴方程x ＝14－3m＞0，它在[0，1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系). f (0)＝m ，f (1)＝2－2m ，当m ≥2－2m ，又m ＜43，即23≤m ＜43时，y max ＝m . 当m ＜2－2m ，又m ＜43，即m ＜23时，y max ＝2(1－m ).当4－3m ＜0，即m ＞43时，二次函数y 的图象开口向下，又它的对称轴方程x ＝14－3m＜0，所以函数y 在[0，1]上是减函数，于是y max ＝f (0)＝m . 由①、②可知，这个函数的最大值为y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23.答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞)(2)y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23探究提高 由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合.[微题型3] 由参数变化引起的分类【例1－3】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0，1).探究提高由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.热点二转化与化归思想[微题型1]换元法【例2－1】已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________.解析令b＝x，c＝y，则x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2.此时直线x＋y＝－a与圆x2＋y2＝1－a2有交点，则圆心到直线的距离d＝|a|2≤1－a2，解得a2≤23，所以a的最大值为6 3.答案6 3探究提高换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行.[微题型2]特殊与一般的转化【例2－2】已知f(x)＝33x＋3，则f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝________.解析f(x)＋f(1－x)＝33x＋3＋331－x＋3＝33x＋3＋3x3＋3x＝3x＋33x＋3＝1，∴f(0)＋f(1)＝1，f(－2 015)＋f(2 016)＝1，∴f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝2 016. 答案 2 016探究提高 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果. [微题型3] 常量与变量的转化【例2－3】 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________.解析 对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立，即|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1＜0恒成立.设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )＜0恒成立(m ∈[－2，2]).所以⎩⎨⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎨⎧2x 2＋2x －3＞0，2x 2－2x －1＜0.解得7－12＜x ＜3＋12，即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的. [微题型4] 正与反的相互转化【例2－4】 若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立.由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t ，3)上恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373＜m ＜－5.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 探究提高 否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.一、填空题1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是________. 解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求.当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1或－12.答案 1或－122.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR→·PQ →的值为________. 解析 当直线PQ 与x 轴重合时，|PR→|＝|PQ →|＝a . 答案 a 23.方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是________.解析 求k ＝－sin 2x －cos x 的值域.k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－54. 当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，14.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则它的通项公式a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1.答案 2×3n －15.已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 22a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________.解析 原不等式即x 22a ≥1＋x 2－1＋x (x ≥0)，(*) 令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为（t 2－1）22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22对t ≥1恒成立， 所以（t ＋1）2a≥1对t ≥1恒成立， 又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4，故a 的最大值是4.答案 46.已知△ABC 和点M 满足MA→＋MB →＋MC →＝0.若存在实数k 使得CA →＋CB →＝kCM →成立，则k 等于________.解析 ∵MA→＋MB →＋MC →＝0， ∴M 为已知△ABC 的重心，取AB 的中点D ，∴CA →＋CB →＝2CD →＝2×32CM →＝3CM →， ∵CA→＋CB →＝kCM →，∴k ＝3. 答案 37.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，则PF 1PF 2的值为________. 解析 若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2. 综上所述，PF 1PF 2＝2或72. 答案 2或728.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是________. 解析 依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，f (x )＝ln x －14x ＋34x －1(x ＞0)，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2.由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1，2].当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4；当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b ＜1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＞2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b ＜1，。

第2讲 不等式问题高考定位 1.利用不等式性质比较大小，不等式的求解，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.但在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真 题 感 悟1.(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c <b cD.c a >c b解析 取a ＝4，b ＝2，c ＝12，逐一验证可得B 正确. 答案 B2.(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B.2C.2 2D.4解析 由1a ＋2b ＝ab ，知a ＞0，b ＞0，由于1a ＋2b ≥22ab ，当且仅当b ＝2a 时取等号.∴ab ≥22ab，∴ab ≥2 2.故选C. 答案 C3.(2015·陕西卷)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.q ＝r ＞p C.p ＝r ＜qD.p ＝r ＞q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln(ab )12＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 答案 C4.(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到最小值为－5. 答案 －5考 点 整 合1.简单分式不等式的解法 (1)f （x ）g （x ）＞0(＜0)⇔f (x )g (x )＞0(＜0)； (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 2.(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论. (2)四个常用结论①ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎨⎧a ＞0，Δ＜0.②ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0.③a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max . ④a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min . 3.利用基本不等式求最值已知x ，y ∈R ＋，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24⎝ ⎛⎭⎪⎫xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝S 24；(2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P (x ＋y ≥2xy ＝2P ).4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值.5.不等式的证明不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.热点一 利用基本不等式求最值 [微题型1] 基本不等式的简单应用【例1－1】 (1)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( ) A.53 B.83C.8D.24(2)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________.解析 (1)∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0， 即2x ＋3y ＝3.∵x ＞0，y ＞0， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋6＋9y x ＋4x y ≥13(12＋2×6)＝8.当且仅当3y＝2x时取等号.(2)设正项等比数列{a n}的公比为q，则q>0，∵a7＝a6＋2a5，∴a5q2＝a5q＋2a5，∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去). ∴a m·a n＝a1·2m－1·a1·2n－1＝4a1，平方得2m＋n－2＝16＝24，∴m＋n＝6，∴1m＋4n＝16⎝⎛⎭⎪⎫1m＋4n(m＋n)＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋nm＋4mn≥16(5＋4)＝3 2，当且仅当nm＝4mn，即n＝2m，亦即m＝2，n＝4时取等号.答案(1)C(2)3 2探究提高在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. [微题型2]带有约束条件的基本不等式问题【例1－2】(1)已知两个正数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则xy取最小值时，x，y 的值分别为()A.5，5B.10，52 C.10，5 D.10，10(2)(2016·郑州模拟)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________.解析(1)∵x＞0，y＞0，∴x＋4y＋5＝xy≥24xy＋5，即xy－4xy－5≥0，可求xy≥25.当且仅当x＝4y时取等号，即x＝10，y＝5 2.(2)∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，∴(2x＋y)2－32·⎝⎛⎭⎪⎫2x＋y22≤1，解之得(2x＋y)2≤85，即2x＋y≤2105.等号当且仅当2x＝y＞0，即x＝1010，y＝105时成立.答案(1)B(2)210 5探究提高在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，或对约束条件中的一部分利用基本不等式，构造不等式进行求解.【训练1】(1)(2016·广州模拟)若正实数x，y满足x＋y＋1＝xy，则x＋2y的最小值是()A.3B.5C.7D.8(2)(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x⊗y＝x2－y2xy(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________.解析(1)由x＋y＋1＝xy，得y＝x＋1x－1，又y＞0，x＞0，∴x＞1.∴x＋2y＝x＋2×x＋1x－1＝x＋2×⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x－1＝x＋2＋4x－1＝3＋(x－1)＋4x－1≥3＋4＝7，当且仅当x＝3时取“＝”.(2)由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝x2－y2xy＋（2y）2－x22yx＝x2＋2y22xy≥2x2·2y22xy＝2，当且仅当x＝2y时取等号.答案(1)C(2) 2热点二含参不等式恒成立问题[微题型1]分离参数法解决恒成立问题【例2－1】(1)关于x的不等式x＋4x－1－a2＋2a＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为________.(2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)设f (x )＝x ＋4x ，因为x ＞0，所以f (x )＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x＝2时取等号.又关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a 2－2a ＋1＜4，解得－1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围为(－1，3).(2)要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，由于x >0，y >0，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立. 由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去).设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y＝t ＋1t .设f (t )＝t ＋1t ，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376. 答案 (1)(－1，3) (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376探究提高 一是转化法，即通过分离参数法，先转化为f (a )≥g (x )(或f (a )≤g (x ))对∀x ∈D 恒成立，再转化为f (a )≥g (x )max (或f (a )≤g (x )min )； 二是求最值法，即求函数g (x )在区间D 上的最大值(或最小值)问题. [微题型2] 函数法解决恒成立问题【例2－2】 (1)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围为________.(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ＋1对x ∈[0，2]恒有f (x )＞0.则实数a 的取值范围为________.解析 (1)法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a ， ①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1.∴－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为[－3，1].法二 设g (x )＝f (x )－a ，则g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧Δ＞0，a ＜－1，g （－1）≥0，解得－3≤a ≤1.(2)法一 函数法.若a ＞0，则对称轴x ＝－12a ＜0， 故f (x )在[0，2]上为增函数，且f (0)＝1， 因此在x ∈[0，2]上恒有f (x )＞0成立. 若a ＜0，则应有f (2)＞0，即4a ＋3＞0， ∴a ＞－34.∴－34＜a ＜0.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞).法二 分离参数法.当x ＝0时，f (x )＝1＞0成立.当x ≠0时，ax 2＋x ＋1＞0变为a ＞－1x 2－1x ， 令g (x )＝－1x 2－1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≥12.∴当1x ≥12时，g (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.∵a ＞－1x 2－1x ，∴a ＞－34.又∵a ≠0，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞).答案 (1)[－3，1] (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞)探究提高 参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题.【训练2】 若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2，2]恒成立，则x 的取值范围是________.解析 因为a ∈[－2，2]，可把原式看作关于a 的一次函数， 即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知⎩⎨⎧g （－2）＝x 2＋2x ＋1≥0，g （2）＝x 2－2x ＋1≥0，解之得x ∈R . 答案 R热点三 简单的线性规划问题[微题型1] 已知线性约束条件，求目标函数最值【例3－1】 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y－5的最小值为________.解析 可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (1，0)，B (－1，－1)，C (1，3)，直线z ＝2x ＋3y －5过点B 时取最小值－10. 答案 －10探究提高 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. [微题型2] 线性规划中的含参问题【例3－2】 (1)(2016·成都诊断)变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( ) A.－2B.－1C.1D.2(2)(2015·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A.3B.2C.－2D.－3解析 (1)由图形知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22m －1，2m 2m －1，O (0，0).只有在B 点处取最大值2， ∴2＝42m －1－2m2m －1.∴m ＝1.(2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A (2，0)，由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1).由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D ；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B. 答案 (1)C (2)B探究提高 对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【训练3】 (1)(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥02x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0则x 2＋y 2的取值范围是________.(2)已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤－x ＋2，x ≥a ，且目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则实数a 的值是( ) A.34B.12C.13D.14解析 (1)已知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，则(x ，y )为阴影部分内的动点，x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方. 解方程组⎩⎨⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2，3).由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45， (x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.(2)依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点B (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ；因为目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，所以3a ＝1，解得a ＝13，故选C. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 (2)C1.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法. 2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、选择题1.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b解析 a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b <a <c . 答案 A2.(2016·浙江卷)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0D.(b －1)(b －a )＞0解析 由a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，及log a b ＞1＝log a a 可得： 当a ＞1时，b ＞a ＞1，当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1， 代入验证只有D 满足题意. 答案 D3.(2016·太原模拟)若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，则mn 的最大值是( ) A.3B.4C.7D.12解析 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ∈R ＋，且m 3＋n 4＝1，所以m 3·n 4≤(m 3＋n 42)2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3. 答案 A4.已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为( ) A.[22，＋∞)B.(－∞，22]C.(－22，＋∞)D.(－∞，－22)解析 由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x ＝2x ＋1x .而2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ）≤－2（－2x ）×1（－x ）＝－2 2.当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号， 所以m ＞－2 2. 答案 C5.(2016·唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( ) A.[0，1] B.[－1，0] C.[－1，1]D.[－1，0]解析 f (－a )＋f (a )≤2f (1)⇔⎩⎨⎧a ≥0，（－a ）2－2×（－a ）＋a 2＋2a ≤2×3或 ⎩⎨⎧a ＜0，（－a ）2＋2×（－a ）＋a 2－2a ≤2×3 即⎩⎨⎧a ≥0，a 2＋2a －3≤0或⎩⎨⎧a ＜0，a 2－2a －3≤0， 解得0≤a ≤1，或－1≤a ＜0.故－1≤a ≤1. 答案 C二、填空题6.设目标函数z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k .若z 的最大值为12，则z 的最小值为________.解析 作出不等式组所表示的可行域如图所示，平移直线x ＋y ＝0，显然当直线过点A (k ，k )时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值，且最大值为k ＋k ＝12，则k ＝6，直线过点B 时目标函数z ＝x ＋y 取得最小值，点B 为直线x ＋2y ＝0与y ＝6的交点，即B (－12，6)，所以z min ＝－12＋6＝－6. 答案 －67.(2016·合肥二模)当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图象恒过点A ，若点A 在直线mx －y ＋n ＝0上，则4m ＋2n 的最小值为________. 解析 函数f (x )的图象恒过点A (2，1)，∴2m －1＋n ＝0，即2m ＋n ＝1， ∴4m ＋2n ≥24m ·2n ＝222m ＋n ＝22，当且仅当2m ＝n ＝12时等号成立.答案 2 28.(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N*目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中阴影部分(包括边界)内的参数点，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000 三、解答题9.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围.解 易知f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，由题意，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2＞0对∀m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立.所以只需⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，g （3）＞0即可，即⎩⎪⎨⎪⎧12（x －2）＋（x －2）2＞0，3（x －2）＋（x －2）2＞0⇒x ＞2或x ＜－1. 故x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞). 10.已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围. 解 (1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0.由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号.由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.11.(1)解关于x 的不等式x 2－2mx ＋m ＋1＞0； (2)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0.解 (1)原不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m )2－4(m ＋1)＝4(m 2－m －1). 当m 2－m －1＞0，即m ＞1＋52或m ＜1－52时，由于方程x 2－2mx ＋m ＋1＝0的两根是m ±m 2－m －1，所以原不等式的解集是{x |x ＜m －m 2－m －1，或x ＞m ＋m 2－m －1}；当Δ＝0，即m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }； 当Δ＜0，即1－52＜m ＜1＋52时，不等式的解集为R .综上，当m ＞1＋52或m ＜1－52时，不等式的解集为{x |x ＜m －m 2－m －1，或x ＞m ＋m 2－m －1}；当m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；当1－52＜m ＜1＋52时，不等式的解集为R . (2)原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.①当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. ②当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}.③当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2.综上，当0<a <12时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <1a ，当a ＝12时，不等式解集为∅，当a >12时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <2，当a ＝0时，不等式解集为{x |x >2}.当a <0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 或x >2.。

星期六(综合限时练)2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分12分)某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分.上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2)，第二组[2，4)，第三组[4，6)，第四组[6，8)，第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)分别求第三，四，五组的频率；(2)该网站在得分较高的第三、四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率.解(1)第三组的频率是0.150×2＝0.3；第四组的频率是0.100×2＝0.2；第五组的频率是0.050×2＝0.1.(2)设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A，由题意可知，分别抽取3个，2个，1个.不妨设第三组抽到的是A1，A2，A3；第四组抽到的是B1，B2；第五组抽到的是C1，所含基本事件总数为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C1}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C1}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C1}，{B1，B2}，{B1，C1}，{B2，C1}共15种.事件A包含的事件数为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，所以P(A)＝315＝15.2.(本小题满分12分)已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n＝(2)b n(n∈N*).若{a n}为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n－1b n(n ∈N *).记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)， 所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *).所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1).故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *). (2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)， 所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *).②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0； 当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1，而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0， 得n （n ＋1）2n≤5·（5＋1）25<1，所以，当n ≥5时，c n <0. 综上，对任意n ∈N *，恒有S 4≥S n ，故k ＝4.3.(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝14AB .(1)求证：EF ∥平面BDC 1；(2)在棱AC 上是否存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由.(1)证明 取AB 的中点M ，连接A 1M ，∵AF ＝14AB ， ∴F 为AM 的中点，又∵E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1M .在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，M 分别为A 1B 1，AB 的中点， 在A 1D ∥BM ，A 1D ＝BM ，∴A 1DBM 为平行四边形，∴A 1M ∥BD ， ∴EF ∥BD ，∵BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ， ∴EF ∥平面BC 1D .(2)解 设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分的体积之比为1∶15，则V E －AFG ∶V ABC －A 1B 1C 1＝1∶16，∵V E －AFG V ABC －A 1B 1C 1＝13×12AF ·AG ·sin ∠GAF ·AE12AB ·AC ·sin ∠CAB ·A 1A ＝13×14×12×AG AC ＝124·AGAC ， ∴124·AG AC ＝116，∴AG AC ＝32，∴AG ＝32AC >AC ，所以符合要求的点G 不存在. 4.(本小题满分12分)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C 、D 两点，作平行四边形OCED ，点E 恰在椭圆上. (1)求椭圆的离心率；(2)若平行四边形OCED 的面积为26，求椭圆的方程.解 (1)∵焦点为F (c ，0)，AB 的斜率为b a ，故直线CD 的方程为y ＝ba (x －c ). 与椭圆方程联立后消去y 得到2x 2－2cx －b 2＝0. ∵CD 的中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a 在椭圆上.∴将E 的坐标代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2，∴离心率e ＝c a ＝22.(2)由(1)知ca＝22，b＝c，则直线CD的方程为y＝22(x－c)，与椭圆方程联立消去y得到2x2－2cx－c2＝0.∵平行四边形OCED的面积为S＝c|y C－y D|＝22c（x C＋x D）2－4xCx D＝22c c2＋2c2＝62c2＝26，所以c＝2，b＝2，a＝2 2.故椭圆方程为x28＋y24＝1.5.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x＋ax＋b(a，b∈R，e是自然对数的底数)在点(0，1)处的切线与x轴平行.(1)求a，b的值；(2)若对一切x∈R，关于x的不等式f(x)≥(m－1)x＋n恒成立，求m＋n的最大值.解(1)求导得f′(x)＝e x＋a，由题意可知f(0)＝e0＋b＝1，且f′(0)＝e0＋a＝0，解得a＝－1，b＝0.(2)由(1)知f(x)＝e x－x，所以不等式f(x)≥(m－1)x＋n可化为e x≥mx＋n，令g(x)＝e x－mx－n，g′(x)＝e x－m，当m≤0时，g′(x)>0恒成立，则g(x)在R上恒增，没有最小值，故不成立，当m>0时，解g′(x)＝0得x＝ln m，当g′(x)<0时，解得x<ln m；当g′(x)>0时，解得x>ln m；即当x∈(－∞，ln m)时，g(x)单调递减；x∈(ln m，＋∞)时，g(x)单调递增，故当x＝ln m时取得最小值g(ln m)＝e ln m－m·ln m－n＝m－m·ln m－n≥0，即m－m·ln m≥n，2m－m·ln m≥m＋n，令h(m)＝2m－m·ln m，则h′(m)＝1－ln m，令h′(m)＝0，则m＝e，当m∈(0，e)时，h(m)单调递增；m∈(e，＋∞)时，h(m)单调递减，故当m ＝e 时，h (m )取得最大值h (e)＝e ，∴e ≥m ＋n ， 即m ＋n 的最大值为e.6.请考生在以下两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. A.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3cos t ，y ＝2＋2sin t (t 为参数)，P是C 上任意一点.以x 轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，求P 到直线l 的最大距离. 解 (1)由x ＝3cos t ，y ＝2＋2sin t ，消去参数t ， 得曲线C 的直角坐标方程为x 29＋（y －2）24＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为y ＝x . 设与直线l 平行的直线方程为y ＝x ＋m ，代入x 29＋（y －2）24＝1，整理得13x 2＋18(m －2)x ＋9[(m －2)2－4]＝0.由Δ＝[18(m －2)]2－4×13×9[(m －2)2－4]＝0，得(m －2)2＝13， 所以m ＝2±13.当点P 位于直线y ＝x ＋2＋13与曲线C 的交点(切点)时，点P 到直线l 的距离最大，为2＋132＝22＋262.或：设点P (3cos t ，2＋2sin t )，则点P 到直线x －y ＝0的距离为 |3cos t －2－2sin t |2＝|13sin （t －φ）＋2|2，其中cos φ＝213，sin φ＝313.所以距离的最大值是13＋22＝22＋262.B.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |，a ＜0.(1)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≥2；(2)若不等式f (x )＋f (2x )＜12的解集非空，求a 的取值范围.(1)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1x －a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －a ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x －a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2.(2)解 y ＝f (x )＋f (2x )＝|x －a |＋|2x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x ≤a ，－x ，a ＜x ≤a2，3x －2a ，x ＞a2.函数图象为：当x ＝a 2时，y min ＝－a 2，依题意，－a 2＜12，则a ＞－1， ∴a 的取值范围是(－1，0).。

星期二 (概率、统计与立体几何) 2017年____月____日1.概率、统计(命题意图：考查线性回归方程的求解及古典概型的应用) (本小题满分12分)某研究性学习小组对4月份昼夜温差大小与花卉种子发芽多少之间的关系研究，记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，如下表：(1)请根据上表中4月2日至4月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b^x ＋a ^，若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请用4月1日和4月5日数据检验你所得的线性回归方程是否可靠？(2)从4月1日至4月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率.(参考公式：回归直线的方程是y ^＝b ^x ＋a ^，其中b^＝1221ni ii ni i x y n x yx nx==-⋅⋅-∑∑，a^＝y －b x )解 (1) x ＝13(11＋13＋12)＝12，y ＝13(25＋30＋26)＝27，3x y ＝972.31i i i x y =∑＝11×25＋13×30+12×26=977，321i i x =∑＝112＋132＋122＝434，32x ＝432.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3. 当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2. 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的.(2)m ，n 的所有取值情况有：(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，即基本事件总数为10.设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26). 所以P (A )＝310，故事件A 的概率为310. 2.立体几何(命题意图：考查线面、面面垂直的转化证明及三棱锥体积的求解)(本小题满分12分)如图，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形.(1)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(2)若BC ＝1，AB ＝4，求三棱锥D －PCM 的体积.(1)证明 △PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB ，∴AP ⊥PB ， 又∵AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ， ∴AP ⊥平面PBC ， ∵BC ⊂平面PBC ， ∴AP ⊥BC ，又∵BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ， ∴BC ⊥平面APC ， ∵BC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面APC .(2)解 由(1)题意可知，AP ⊥平面PBC ，P A ＝23， ∴MD ＝3，S △PCD ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×3＝34， ∴V D －PCM ＝V M －PCD ＝13×3×34＝14.。

限时练(一)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合P＝{x|x2－2x≥3}，Q＝{x|2＜x＜4}，则P∩Q＝()A.[3，4)B.(2，3]C.(－1.2)D.(－1，3]解析P＝{x|x2－2x≥3}＝{x|x≤－1，或x≥3}，Q＝{x|2<x<4}，∴P∩Q＝{x|3≤x<4}＝[3，4].答案 A2.下列命题中，是真命题的是()A.∃x0∈R，e x0≤0B.∀x∈R，2x＞x2C.已知a，b为实数，则a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D.已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件解析∵e x>0，∴A错；当x＝2时，2x＝x2，B错；a＋b＝0是ab＝－1的必要不充分条件，C错；由题意，D正确.答案 D3.以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为2；④对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析 由相关指数R 2越接近于1，模型的拟合效果越好知①正确；由相关系数r 的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强知②正确；③④错误. 答案 B4.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14x B.y ＝±13x C.y ＝±12xD.y ＝±x解析 e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝52，∴b a ＝12，∴c 的渐近线方程为y＝±12x . 答案 C5.设a ＝log 0.80.9，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.c <a <b解析 因为0＝a ＝log 0.80.9<1， b ＝log 1.10.9<0，c ＝1.10.9>1，所以b <a <c . 答案 C6.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.3π4D.5π6解析 因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b ＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6. 答案 A7.将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A.f (x )＝－2sin x B.f (x )＝2sin xC.f (x )＝22sin 2xD.f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x )解析 将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，因为－sin 2x ＝－2sin x cos x ，所以f (x )＝－2sin x . 答案 A 8.已知b ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |3－x x ≥0，则直线x ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相离的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析b ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |3－x x ≥0＝(0，3]， 若直线x ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相离，则21＋b 2>2，得－1<b <1，故所求概率P ＝1－03－0＝13.答案 A9.某程序框图如图所示，现将输出(x ，y )值依次记为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，…，若程序运行中输出的一个数组是(x ，－10)，则数组中的x ＝( )A.32B.24C.18D.16解析 运行第一次，输出(1，0)，n ＝3，x ＝2，y ＝－2；运行第二次，输出(2，－2)，n ＝5，x ＝4，y ＝－4；运行第三次，输出(4，－4)，n ＝7，x ＝8，y ＝－6；运行第四次，输出(8，－6)n ＝9，x ＝16，y ＝－8；运行第五次，输出(16，－8)，n ＝11，x ＝32，y ＝－10；运行第六次，输出(32，－10)，n ＝13，x ＝64，y ＝－12. 答案 A10.在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ＝3π4，则Q 点的横坐标为( ) A.－7210 B.－325 C.－7212D.－8213解析 设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45，x Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－7210，选A. 答案 A11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.1136B. 3C.533D.433解析 由三视图知该几何体是一个四棱锥P －ABCD ，其直观图如图所示，设E 为AD 的中点，则BE ⊥AD ，PE ⊥平面ABCD ，△P AD 为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1，下底2，高2；棱锥的高为3，∴体积V ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×（1＋2）×2×3＝3，故选B.答案 B12.已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －2)＜f (x )对任意的x ＞2恒成立，则k 的最大值为( ) A.3B.4C.5D.6解析 先画f (x )＝x ＋x ln x 的简图，设y ＝k (x －2)与f (x )＝x ＋x ln x 相切于M (m ，f (m ))(m ＞2)， 所以f ′(m )＝f （m ）m －2，即2＋ln m ＝m ＋m ln mm －2，可化为 m －4－2ln m ＝0，设g (m )＝m －4－2ln m . 因为g (e 2)＝e 2－8＜0，g (e 3)＝e 3－10＞0， 所以e 2＜m ＜e 3，f ′(m )＝2＋ln m ∈(4，5)， 又k ∈Z ，所以k max ＝4，选B. 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p2＝－2，解得p ＝2 2. 答案 2 214.已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧y ≤2，3x －y －3≤0，2x ＋y －2≥0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________.解析 作出可行域如图所示：作直线l 0：3x ＋y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：3x ＋y ＝z ，当直线l 经过点M 时，z ＝3x ＋y 取得最大值，由⎩⎨⎧3x －y －3＝0，y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝2，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2，所以z max ＝3×53＋2＝7.答案 715.(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________.解析 由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35，∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案 －2516.已知平面四边形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为________.解析 设AC ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理有： x 2＝22＋42－2×2×4cos B ＝20－16cos B ， 同理，在△ADC 中，由余弦定理有： x 2＝32＋52－2×3×5cos D ＝34－30cos D ，即15cos D－8cos B＝7，①又平面四边形ABCD面积为S＝12×2×4sin B＋12×3×5sin D＝12(8sin B＋15sin D)，即8sin B＋15sin D＝2S，②①②平方相加得64＋225＋240(sin B sin D－cos B cos D)＝49＋4S2，－240cos(B＋D)＝4S2－240，当B＋D＝π时，S取最大值230.答案230限时练(二)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|log2(x2－x)＞1}，则A∩B＝()A.(2，3)B.(2，3]C.(－3，－2)D.[－3，－2)解析∵x2－2x－3≤0，∴－1≤x≤3，∴A＝[－1，3].又∵log2(x2－x)＞1，∴x2－x－2＞0，∴x＜－1或x＞2，∴B＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).∴A∩B＝(2，3].故选B.答案 B2.若复数z满足(3－4i)z＝5，则z的虚部为()A.45 B.－45 C.4 D.－4解析依题意得z＝53－4i＝5（3＋4i）（3－4i）（3＋4i）＝35＋45i，因此复数z的虚部为45.故选A.答案 A3.设向量a＝(m，1)，b＝(2，－3)，若满足a∥b，则m＝()A.13 B.－13C.23D.－23解析 依题意得－3m －2×1＝0，∴m ＝－23.故选D. 答案 D4.某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是( )A.300B.400C.500D.600解析 依题意得，题中的1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1 000×(0.035＋0.015＋0.010)×10＝600.故选D. 答案 D5.在等比数列{a n }中，若a 4、a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A.±2B.－ 2C. 2D.±2解析 由题意可知a 4＝1，a 8＝2，或a 4＝2，a 8＝1. 当a 4＝1，a 8＝2时，设公比为q ，则a 8＝a 4q 4＝2，∴q 2＝2，∴a 6＝a 4q 2＝2； 同理可求当a 4＝2，a 8＝1时，a 6＝ 2. 答案 C6.已知双曲线y 2t 2－x 23＝1(t ＞0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合，则此双曲线的离心率为( ) A.2B. 3C.3D.4解析 依题意得，抛物线y ＝18x 2即x 2＝8y 的焦点坐标是(0，2)，因此题中的双曲线的离心率e ＝2t ＝222－3＝2.故选A.答案 A7.已知A (1，－1)，B (x ，y )，且实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≥2，x ≤2，则z ＝OA →·OB→的最小值为( ) A.2B.－2C.－4D.－6解析 画出不等式组所表示的可行域为如图所示的△ECD 的内部(包括边界)，其中E (2，6)，C (2，0)，D (0，2).目标函数z ＝OA →·OB→＝x －y .令直线l ：y ＝x －z ，要使直线l 过可行域上的点且在y 轴上的截距－z 取得最大值，只需直线l 过点E (2，6).此时z 取得最小值，且最小值z min ＝2－6＝－4.故选C. 答案 C8.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π6，则φ＝( ) A.π6B.π4C.π3D.5π12解析 由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，－4≤g (x )≤4，又－4≤f (x )≤4，若x 1，x 2满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，则x 1，x 2分别是函数f (x )，g (x )的最值点，不妨设f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4，则x 1＝3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )，|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，k 2∈Z )，又|x 1－x 2|min ＝π6，0＜φ＜π2，所以π2－φ＝π6，得φ＝π3，故选C. 答案 C9.如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )解析 注意BE ，BG 在平面CDGF 上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A ，C 选项，观察B ，D 选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG ，BF 的投影为虚线，故选D. 答案 D10.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( ) A.9B.8C.4D.2解析 依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc ≥5＋24c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1（bc ＞0），4c b ＝b c，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9.故选A. 答案 A11.已知四面体P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( ) A.7π B.8π C.9πD.10π解析 依题意记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9，4πR 2＝9π，∴球O 的表面积为9π.故选C.答案 C12.已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f （x ）x >0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 依题意，记g (x )＝xf (x )， 则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，g (0)＝0，当x >0时，g ′(x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋f （x ）x >0，g (x )是增函数，g (x )>0；当x <0时，g ′(x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋f （x ）x <0，g (x )是减函数，g (x )>0，在同一坐标系内画出函数y ＝g (x )与y ＝－1x 的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数是1. 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________.解析 由程序框图得S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1－15＝45. 答案 4514.(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1. 答案2 115.在△ABC 中，若AB ＝43，AC ＝4，B ＝30°，则△ABC 的面积是________. 解析 由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2·BA ·BC ·cos B 得42＝(43)2＋BC 2－2×43×BC ×cos 30°，解得BC ＝4或BC ＝8.当BC ＝4时，△ABC 的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×4×12＝43；当BC ＝8时，△ABC 的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×8×12＝8 3. 答案 43或8 316.已知F 1、F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________. 解析 易知点P 、Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大.由于F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0，1)，∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)，∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案 －2限时练(三) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5B.－3C.1＋4iD.1－4i解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A2.已知集合M ＝{y |y ＝4－x 2}，N ＝{x |y ＝ln(x 2－2x )}，则( ) A.M ⊂N B.N ⊂M C.M ∩N ＝∅D.M ∪N ≠R解析 M ＝[0，2]，N ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以M ∩N ＝∅.故选C. 答案 C3.在－20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( ) A.200 B.100C.90D.70解析 S ＝10×（－20＋40）2＝100.故选B.答案 B4.我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率π的近似值.如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n ，落到正方形内的豆子数为m ，则圆周率π的估算值是( ) A.n mB.2n mC.3n m.2m n解析 设圆的半径为r ，则P ＝m n ＝（2r ）2πr 2，得π＝2nm .故选B.答案 B5.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒ba ＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D6.若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为()A.0B.1C.32D.2解析 可行域如图所示.目标函数化为y ＝－12x ＋12z ， 当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0，1)时，z 取得最大值2. 答案 D7.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，则ω的一个可能值是( ) A.12 B.35 C.34D.32解析 由函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，得2π3≤π2ω⇒ω≤34.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，得5π6＞π2ω，ω＞35，所以35＜ω≤34.故选C.答案 C8.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.43π＋833B.43π3＋8 3 C.43π＋833D.43π＋8 3解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为： V ＝13Sh ＝2π＋43×23＝43π＋833.答案 A9.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝13，则△ABC 面积的最大值为( ) A.2B. 2C.12D. 3解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ， 所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×223＝ 2.故选B. 答案 B10.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且 x ≠0)的图象可能为( )解析 ∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 D11.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若F A →＝(2－1)AB →，则此双曲线的离心率是( ) A. 2B. 3C.2 2D. 5解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝ba x ②，联立①②， 解得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫acc －a ，bc c －a ， 由F A →＝(2－1)AB→，得c ＝(2－1)ac c －a ，c ＝2a ，e ＝ 2.答案 A12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x |， （x ≤1），x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－2，2]∪[4，＋∞) C.[－2，2＋2]D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3.由1－|x |＝－1得x ＝－2.由x 2－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍). 由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.如图，根据图中的数构成的规律，a 表示的数是________.1 2 2 3 4 3 4 12 12 4 5 48 a 48 5……解析 数表的规律是每行从第二个数起一个数等于它肩上的两个数的乘积，所以a ＝12×12＝144. 答案 14414.实数x ，y 满足⎩⎨⎧y －2x ≤－2，y ≥1，x ＋y ≤4，则x 2＋y 2xy 的取值范围是________.解析 x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x .令k ＝yx ，则k 表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由图形可知13≤k ≤1，根据函数y ＝1k ＋k 的单调性得2≤k ≤103. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，10315.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO→＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.解析 由AO→＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°.答案90°16.已知数列{a n}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n}满足x1＝3，x1＋x2＋x3＝39，则x n＝________.解析设因为数列{a n}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n＋1＝log k x n ＋log k x n＋2⇒x2n＋1＝x n x n＋2，所以数列{x n}是等比数列，把x1＝3代入x1＋x2＋x3＝39得公比q＝3(负值舍去)，所以x n＝3×3n－1＝3n.答案3n限时练(四)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合M＝{x|x2－4x＜0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3＜x＜n}，则m ＋n等于()A.9B.8C.7D.6解析∵M＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|m＜x＜5}，且M∩N＝{x|3＜x ＜n}，∴m＝3，n＝4，∴m＋n＝3＋4＝7.故选C.答案 C2.复数1＋52－i(i是虚数单位)的模等于()A.10B.10C. 5D.5解析∵1＋52－i＝1＋5（2＋i）（2－i）（2＋i）＝1＋2＋i＝3＋i，∴其模为10.故选A.答案 A3.“x＞1”是“log12(x＋2)＜0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.答案 B4.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A.p 1<p 2<p 3 B.p 2<p 3<p 1 C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1解析 在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≥12，|x －y |≤12，xy ≤12的可行域如图所示： 依题意，p 1＝S 多边形BACDE S 四边形OCDE ，p 2＝S 多边形BOAFDGS 四边形OCDE ，p 3＝S 曲边多边形GEOCFS 四边形OCDE，因为S △ABO ＝S △BEG ＝S △DGF ，所以p 2<p 3<p 1.故选B. 答案 B5.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺D.1631尺解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×292d＝390，解得d ＝1629.故选B. 答案 B6.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )A.16＋33B.8＋632C.163D.203解析 将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴V N －BCFE ＝13×4×2＝83.可将三棱柱补成直三棱柱，则V ADM －EFN＝12×2×2×2＝4，∴多面体的体积为203.故选D. 答案 D7.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则m ＝( ) A.1B.2C.－5D.1或－3解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的22.圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|1＋m |2，依题意得|1＋m |2＝2，解得m ＝1或－3.故选D. 答案 D8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为( ) A.5 B.6 C.7D.8解析 由程序框图知，当S ＝1时，k ＝2；当S ＝3时，k ＝3；当S ＝7时，k ＝4；当S ＝15时，k ＝5；当S ＝31时，k ＝6；当S ＝63时，k ＝7.∴n 的值为6.故选B. 答案 B9.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12 B.π4 C.π3D.π6解析 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.故选A.答案 A10.已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值解析 由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎨⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|＜g （x ），故h (x )有最小值－1，无最大值. 答案 C11.设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A.192B.11C.12D.16解析 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b 2a ＝3，∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B. 答案 B12.在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中，x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B.1463C.4 3D.6 2解析 根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形，其面积为△BOC 面积的2倍，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－ 2bc cos A ，得BC ＝7，设△ABC 的内切圆的半径为r ， 则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， ∴S △BOC ＝12×BC ×r ＝12×7×263＝763.∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463. 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人，相关数据如下表：则抽取的总人数为________.解析 由分层抽样得b 56＝3a ＝535，∴a ＝21，b ＝8，∴抽取的总人数为8＋3＋5＝16. 答案 1614.若x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围为________.解析 画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图所示，当a ＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k ＝－a3＞k AC ＝－1，∴0＜a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a3＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的取值范围是(－6，3). 答案 (－6，3)15.已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若区间[－1，3]上，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有3个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 根据已知条件知函数f (x )为周期为2的周期函数；且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |；而函数g (x )的零点个数便是函数f (x )和函数y ＝kx ＋k 的交点个数.∴①若k ＞0，如图所示，当y ＝kx ＋k 经过点(1，1)时，k ＝12；当经过点(3，1)时，k ＝14.∴14＜k ＜12.②若k ＜0，即函数y ＝kx ＋k 在y 轴上的截距小于0，显然此时该直线与f (x )的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在.③若k ＝0，得到直线y ＝0，显然与f (x )图象只有两个交点.综上所得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1216.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n ，若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝－3，a 4＝5，a 5＝－11，a 6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n ，则利用累加法即得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n 2n －1＝（－1）[1－（－2）n ]1－（－2）＝（－2）n －13.答案 （－2）n －13限时练(五) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A.[0，1]B.(0，1]C.[0，1)D.(－∞，1]解析 由M ＝{x |x 2＝x }＝{0，1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝(0，1]，得M ∪N ＝{0，1}∪(0，1]＝[0，1].故选A. 答案 A 2.已知复数z ＝21＋i＋2i ，则z 的共轭复数是( ) A.－1－i B.1－i C.1＋iD.－1＋i解析 由已知z ＝21＋i＋2i ＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝ 1－i ，选B. 答案 B3.已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x 13，则在区间(－2，0)上，下列函数中与y ＝f (x )的单调性相同的是( ) A.y ＝－x 2＋1 B.y ＝|x ＋1|C.y ＝e |x |D.y ＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥0，x 3＋1，x ＜0解析 由已知得f (x )是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C. 答案 C4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.1B.12C.－1D.－12解析 由图知，A ＝2，且34T ＝5π6－π12＝3π4，则周期T ＝π，所以ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，则2×π12＋φ＝π2，从而φ＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin 5π6＝1，选A. 答案 A5.下列四个结论：①p ∧q 是真命题，则綈p 可能是真命题；②命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＜0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x －1≥0”；③“a ＞5且b ＞－5”是“a ＋b ＞0”的充要条件； ④当a ＜0时，幂函数y ＝x a 在区间(0，＋∞)上单调递减. 其中正确结论的个数是( ) A.0个B.1个C.2个D.3个解析 ①若p ∧q 是真命题，则p 和q 同时为真命题，綈p 必定是假命题；②命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”；③“a ＞5且b ＞－5”是“a ＋b ＞0”的充分不必要条件；④y ＝x a ⇒y ′＝a ·x a －1，当a ＜0时，y ′＜0，所以在区间(0，＋∞)上单调递减.选B. 答案 B6.过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝( ) A.0B.5C.5D.503解析 由圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0得C (0，2)，半径r ＝ 5.∵过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，∴BA →·CB →＝0，∴CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＝5，所以选C. 答案 C7.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m (如下表所示)，则利用回归方程可求得实数m 的值为( )A.8.3 解析 x ＝196＋197＋200＋203＋2045＝200，y ＝1＋3＋6＋7＋m 5＝17＋m5.由回归直线经过样本中心，17＋m5＝0.8×200－155⇒m ＝8.故选D. 答案 D8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于( ) A.2 B.1 C.23D.223解析 由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V ＝12×1×1×2－13×12×1×1×2＝23.故选C. 答案 C9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A.14B.15C.16D.17解析 由程序框图可知，从n ＝1到n ＝15得到S ＜－3，因此将输出n ＝16. 答案 C10.若实数x ，y 满足的约束条件⎩⎨⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a ，b ，则z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值的概率为( ) A.56B.25C.15D.16解析 约束条件为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)，要使函数z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值，需满足－2ab ≤－1⇒b ≤2a ，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对(a ，b )，其中满足b ≤2a 有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为3036＝56.选A. 答案 A11.如图所示，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E －ABCD 的外接球的表面积为( ) A.16π3B.8πC.16πD.64π解析 将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O ，底面重心为G ，则△OGD 为直角三角形，OG ＝1，DG ＝3，∴R 2＝4，∴多面体E －ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝16π.故选C.答案 C12.已知函数f (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e (其中e 为自然对数的底数)与函数g (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2 C.[1，e 2－2]D.[e 2－2，＋∞)解析 由已知得方程－(a －x 2)＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，设h (x )＝2ln x －x 2，求导得h ′(x )＝2x －2x ＝2（1－x ）（1＋x ）x ，因为1e ≤x ≤e ，所以h (x )在x ＝1处有唯一的极大值点，且为最大值点，则h (x )max ＝h (1)＝－1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，h (e)＝2－e 2，且h (e)＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以h (x )的最小值为h (e)＝2－e 2.故方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而解得a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选C. 答案 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.已知函数f (x )＝ln x ，若在(0，3e)上随机取一个数x ，则使得不等式f (x )≤1成立的概率为________.解析 ∵ln x ≤1⇔ln x ≤ln e ⇔0<x ≤e ，故所求概率p ＝e －03e －0＝13. 答案 1314.已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，则向量a ＋b 在向量a 方向上的投影是________.解析 依题意得：(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，因此向量a ＋b 在向量a 方向上的投影是0. 答案 015.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a ＝______.解析 因为抛物线的准线为x ＝－p 2，则有1＋p2＝5，得p ＝8，所以m ＝4，又双曲线的左顶点坐标为(－a ，0)，则有41＋a ＝1a，解得a ＝19. 答案 1916.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－|x 3－2x 2＋x |，x ＜1，ln x ，x ≥1，若命题“∃t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，则实数k 的取值范围是________.解析 当x ＜1时，f (x )＝－|x 3－2x 2＋x |＝－|x (x －1)2|＝⎩⎨⎧x （x －1）2，x ≤0，－x （x －1）2，0＜x ＜1，当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)＞0，f (x )是增函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝－(x －1)(3x －1)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上是增函数，作出函数y ＝f (x )在R 上的图象，如图所示.命题“∃t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，即对任意的t ∈R ，且t ≠0，f (t )＜kt 恒成立，作出直线y ＝kx ，设直线y ＝kx 与函数y ＝ln x (x ≥1)的图象相切于点(m ，ln m )，则由(ln x )′＝1x ，得k ＝1m ，即ln m ＝km ，解得m ＝e ，k ＝1e .设直线y ＝kx 与y ＝x (x －1)2(x ≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y ′＝(x －1)(3x －1)，则k ＝1，由图象可知，若f (t )＜kt 恒成立，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1限时练(六) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z 1＝1－i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2i 等于( ) A.2i B.－2iC.2＋ID.－2＋i解析z 1z 2i ＝（1－i ）（1＋i ）i＝－2i.故选B.答案 B2.已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A.－3∈A B.3∉B C.A ∩B ＝BD.A ∪B ＝B解析 依题意得，A ＝[－1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)，∴A ∩B ＝B .故选C. 答案 C3.若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，θ＝－π6；当k ＝1时，θ＝5π6.若θ＝－π6时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，f (x )的图象关于x ＝π3对称.故选B. 答案 B4.若1a ＜1b ＜0，则下列四个不等式恒成立的是( ) A.|a |＞|b | B.a ＜b C.a 3＜b 3D.a ＋b ＜ab解析 由1a ＜1b ＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，即A 、B 项不正确；b 3＜a 3，即C 项不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab ，即D 项正确.故选D. 答案 D5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( ) A.12a ＋b B.12a －b C.a ＋12bD.a －12b解析 连接CD 、OD ，∵点C 、D 是半圆弧AB 的两个三等分点，∴AC ︵＝BD ︵＝CD ︵，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°，∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°，由此可得∠CAD ＝∠DAO ＝30°，∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，∴AD→＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .故选A. 答案 A6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝5b sin C ，且cos A ＝5cos B cos C ，则tan A 的值为( ) A.5B.6C.－4D.－6解析 由正弦定理得sin A ＝5sin B sin C ①，又cos A ＝5cos B cos C ②，②－①得，cos A －sin A ＝5(cos B cos C －sin B sin C )＝5cos(B ＋C )＝－5cos A ，∴sin A ＝6cos A ，∴tan A ＝6.故选B . 答案 B7.如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值是( ) A.0 B.－1 C.－2D.－3解析 由程序框图知，x ＝2，y ＝12×2－1＝0，|0－2|＞1；x ＝0，y ＝0－1＝－1，|－1－0|＝1；x ＝－2，y ＝12×(－2)－1＝－2，|－2＋2|＜1满足条件，输出y 为－2，结束程序.故选C. 答案 C8.若过点(3，－3)的直线l 将圆C ：x 2＋y 2＋4y ＝0平分，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 由题意可知直线l 过圆C ： x 2＋y 2＋4y ＝0的圆心(0，－2)， 且直线l 过点(3，－3)， ∴直线l 的斜率k ＝－3－（－2）3－0＝－33，又直线l 的倾斜角α∈[0，π)，k ＝tan α，∴α＝5π6. 答案 D9.椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba ＝( ) A.32B.233C.932D.2327解析 设交点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 中，y 中)，代入椭圆方程得ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，由两式相减整理得：b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，即b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 中x 中＝－1，又y 中x 中＝y 中－0x 中－0＝32，可得b a ·(－1)·32＝－1，即b a ＝233.故选B. 答案 B10.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( ) A.1 006×2 013 B.1 006×2 014 C.1 007×2 013D.1 007×2 014解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，∴a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2a 2＝2，∴a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，∴S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.故选C.答案 C11.已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]，则f (－1)的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6C.[3，12]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 解析 f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，依题意知，方程f ′(x )＝0有两个根x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]等价于f ′(－2)≥0，f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0.由此得b 、c 满足的约束条件为⎩⎨⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，满足这些条件的点(b ，c )的区域为图中阴影部分.由题设知f (－1)＝2b －c ，由z ＝2b －c ，将其转化为直线c ＝2b －z ，当直线z ＝2b －c 经过点A (0，－3)时，z 最小，其最小值z min ＝3；当直线z ＝2b －c 经过点B (0，－12)时，z 最大，其最大值z max ＝12. 答案 C12.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 1的中点，Q 是A 1B 1上任意一点，E 、F 是CD 上任意两点，且EF 长为定值，现有下列结论：①异面直线PQ 与EF 所成的角为定值；②点P 到平面QEF 的距离为定值；③直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值；④三棱锥P －QEF 的体积为定值. 其中正确结论的个数为( ) A.0B.1C.2D.3解析 当点Q 与A 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角为π2；当点Q 与B 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角不为π2，即①错误.当点Q 在A 1B 1上运动时，三棱锥P －QEF 的底面△QEF 的面积以及三棱锥的高都不变，∴体积不变，即②正确.④也正确.当点Q 在A 1B 1上运动时，直线QP 与平面PEF 所成的角随点Q 的变化而变化，即③错误.故选C. 答案C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是________.解析从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小.答案甲14.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则该点落在四面体内的概率为________.解析由题意可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，则几何体的体积为13×12×6×3×4＝12，外接球的直径为42＋（32）2＋（32）2＝213，∴外接球的半径为13，体积为52133π，∴该点落在四面体内的概率P＝1252133π＝913169π.答案913 169π15.在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a、b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a∈R，a*0＝a；(2)对任意a、b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0).关于函数f(x)＝(e x)*1e x的性质，有如下说法：①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为偶函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0].其中所有正确说法的序号为________.解析 依题意得f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋[(e x )*0]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x *0＝1＋e x＋1e x ，其中x ∈R .∴f ′(x )＝e x －1e x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x ＝0，f (0)min ＝3，即①正确，③错误.又f (－x )＝1＋e －x ＋1e －x＝1＋e x ＋1e x ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，即②正确. 答案 ①②16.若关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.解析 由于关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有四个不同的实根，x ＝0是此方程的一个根，故关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有3个不同的非零的实数解.∴方程1k ＝⎩⎨⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0有3个不同的非零的实数解，即函数y ＝1k 的图象和函数g (x )＝⎩⎨⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0的图象有3个交点，画出函数g (x )图象，如图所示， 故0＜1k ＜1，解得k ＞1. 答案 (1，＋∞)限时练(七) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2＜16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( ) A.A ∪B ＝R B.A ∪(∁U B )＝R C.(∁U A )∪B ＝RD.A ∩(∁U B )＝A解析 因为A ＝{x |－4＜x ＜4}，B ＝{x |x ＞4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D. 答案 D2.已知复数z ＝2－ix －i 为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数x 的值为( )A.－12B.12C.－3D.13解析 z ＝2－i x －i ＝（2－i ）（x ＋i ）x 2＋1＝2x ＋1＋（2－x ）i x 2＋1，因为复数z ＝2－ix －i为纯虚数，所以⎩⎨⎧2x ＋1＝0，2－x ≠0，即x ＝－12，故选A.答案 A3.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B. 答案 B 4.已知a ＝413，b ＝log1413，c ＝log 314，则( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.c ＞b ＞aD.b ＞a ＞c解析 因为a ＝413＞1，0＜b ＝log1413＝log 43＜1，c ＝log 314＜0，所以a ＞b ＞c ，故选A. 答案 A5.已知a ，b ，c 是锐角△ABC 中A 、B 、C 的对边，若a ＝4，c ＝6，△ABC 的面积为63，则b 为 ( ) A.13B.8C.27D.2 2解析 因为S ＝12ac sin B ＝12×4×6×sin B ＝63，所以sin B ＝32，且△ABC 为锐。

第1讲 函数图象与性质及函数与方程高考定位 1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性、单调性；2.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解，综合性强；3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理.数形结合思想是高考考查函数零点或方程的根的基本方式.真 题 感 悟1.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln(x ＋1)D.y ＝2－x解析 y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上为增函数；y ＝cos x 在区间(－1，1)上不是单调函数；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上单调递减.答案 D2.(2016·全国Ⅰ卷)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]上的图象大致为( )解析 令f (x )＝2x 2－e |x |(－2≤x ≤2)，则f (x )是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0，1)，故排除A ，B ；当x >0时，令g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x ，而当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，g ′(x )<14×4－e 0＝0，因此g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.答案 D3.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝xB.y ＝lg xC.y ＝2xD.y ＝1x解析 函数y ＝10lg x 的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D. 答案 D4.(2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.解析 ∵f (x )周期为2，且为奇函数，已知(0，1)内f (x )＝4x ，则可大致画出(－1，1)内图象如图，∴f (0)＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2) ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f (2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＝－2＋0＝－2.答案 －2考 点 整 合1.函数的性质 (1)单调性①用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性.②常见判定方法：(ⅰ)定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；(ⅱ)图象法；(ⅲ)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(ⅳ)导数法.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )；②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性.(3)周期性：常见结论有：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x －2a )＝f (x )(a ＞0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数；②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数；③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数；④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数. 2.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意结合其图象研究. 3.指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质，分0＜a ＜1，a ＞1两种情况，着重关注函数图象中两种情况的公共性质. 4.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.热点一 函数性质的应用[微题型1] 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性【例1－1】 (1)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)上是增函数 B.奇函数，且在(0，1)上是减函数 C.偶函数，且在(0，1)上是增函数 D.偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. (3)(2016·北京卷)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________. 解析 (1)易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln 1＋x1－x ＝ln⎝⎛⎭⎪⎫－1－2x－1，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.(2)f(x)为偶函数，则ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.(3)f(x)＝xx－1＝1＋1x－1，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则f(x)最大值为f(2)＝22－1＝2.答案(1)A(2)1(3)2探究提高牢记函数的奇偶性、单调性的定义以及求函数定义域的基本条件，这是解决函数性质问题的关键点.[微题型2]综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性【例1－2】(1)(2016·天津二模)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为() A.a＜b＜c B.c＜a＜bC.a＜c＜bD.c＜b＜a(2)(2016·广州4月模拟)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________.解析(1)由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|－log23|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，故选B.(2)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为x＝1，∴a＝1，f(x)＝2|x－1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞)，∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m的最小值为1.答案(1)B(2)1探究提高函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.【训练1】 (1)(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A.－2B.－1C.0D.2(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x ＜0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，故选D. (2)由题意知a ＞0，又log 12a ＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a ).∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1). 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增.∴|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案 (1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2热点二 函数图象与性质的融合问题 [微题型1] 函数图象的识别【例2－1】 (1)函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是()(2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x sin x 的大致图象为()解析 (1)法一 函数y ＝x ln|x ||x |的图象过点(e ，1)，排除C ，D ；函数y ＝x ln|x ||x |的图象过点(－e ，－1)，排除A ，选B.法二 由已知，设f (x )＝x ln|x ||x |，定义域为{x |x ≠0}.则f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，排除A ，C ；当x ＞0时，f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，排除D ，故选B.(2)由y 1＝1x －x 为奇函数，y 2＝sin x 为奇函数，可得函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x sin x 为偶函数，因此排除C 、D.又当x ＝π2时，y 1＜0，y 2＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0，因此选B.答案 (1)B (2)B探究提高 根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法. [微题型2] 函数图象的应用【例2－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A.0B.mC.2mD.4m(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c ＞a ＞b B.c ＞b ＞a C.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c解析 (1)由题f (x )＝f (2－x )关于x ＝1对称，函数y ＝|x 2－2x －3|的图象也关于x ＝1对称，两函数的交点成对出现，因此根据图象的特征可得∑i ＝1mx i ＝m ，故选B.(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b ＞a ＞c .选D.答案 (1)B (2)D探究提高 (1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法. 【训练2】 (1)函数y ＝x 33x －1的图象大致是()(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a 等于( ) A.－1B.1C.2D.4解析 (1)由3x －1≠0得x ≠0，∴函数y ＝x 33x －1的定义域为{x |x ≠0}，可排除A ；当x ＝－1时，y ＝（－1）313－1＝32＞0，可排除B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝45，但从D 中函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除D.故选C.(2)设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋a ，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2. 答案 (1)C (2)C热点三 函数的零点与方程根的问题 [微题型1] 函数零点的判断【例3－1】 (1)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A.0B.1C.2D.3(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________.解析 (1)法一 函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数即函数y 1＝2x －2与y 2＝－x 3的图象在区间(0，1)内的交点个数.作图(图略)，可知在(0，＋∞)内最多有一个交点，故排除C ，D 项；当x ＝0时，y 1＝－1＜y 2＝0，当x ＝1时，y 1＝0＞y 2＝－1，因此在区间(0，1)内一定会有一个交点，所以A 项错误.选B. 法二 因为f (0)＝1＋0－2＝－1，f (1)＝2＋13－2＝1，所以f (0)·f (1)＜0.又函数f (x )在(0，1)内单调递增，所以f (x )在(0，1)内的零点个数是1. (2)当x >0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x >0时，f (x )有两个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14，综上，f (x )有三个零点. 答案 (1)B (2)3探究提高 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. [微题型2] 由函数的零点(或方程的根)求参数【例3－2】 (1)(2016·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.(1，2)D.(2，＋∞)解析 (1)如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |. 当x ＞m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ， 在(m ，＋∞)为增函数.若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根， 则m 2－2m ·m ＋4m ＜|m |.又m ＞0，∴m 2－3m ＞0，解得m ＞3.(2)由f (x )＝g (x )，∴|x －2|＋1＝kx ，即|x －2|＝kx －1，所以原题等价于函数y ＝|x －2|与y ＝kx －1的图象有2个不同交点. 如图：∴y ＝kx －1在直线y ＝x －1与y ＝12x －1之间， ∴12＜k ＜1，故选B. 答案 (1)(3，＋∞) (2)B探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【训练3】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的部分图象如图所示，则函数g (x )＝e x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( ) A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2)D.(2，3)(2)(2016·海淀二模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由函数f (x )的图象可知，0＜f (0)＝a ＜1，f (1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f ′(x )＝2x －b ，所以g (x )＝e x ＋2x －b ，所以g ′(x )＝e x ＋2＞0，即g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1－b ＜0，g (1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g (x )的零点所在的区间是(0，1)，故选B.(2)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1，1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.②由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点. 因此a ≥2满足题意.当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.答案 (1)B (2)①－1 ②⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域时，只考虑x ＞0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.3.奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性.4.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.5.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、选择题1.(2016·沈阳模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(－1，1)上单调递减的函数是( ) A.f (x )＝sin x B.f (x )＝2cos x ＋1 C.f (x )＝2x－1D.f (x )＝ln 1－x1＋x解析 由函数f (x )为奇函数排除B 、C ，又f (x )＝sin x 在(－1，1)上单调递增，排除A ，故选D. 答案 D2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3B.6C.9D.12解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C. 答案 C3.(2016·浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )解析 ∵y ＝sin x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、C.又当x 2＝π2，即x ＝±π2时，y max ＝1，排除B ，故选D.答案 D4.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析 由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|).当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A. 答案 A5.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △P AB 中，|P A |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|P A |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ； 当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由以上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△P AO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|P A |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B. 答案 B 二、填空题6.(2016·成都二诊)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题意f (x )的图象如图，则⎩⎨⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 答案 (1，2]7.设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于________.解析 根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－14.答案 －148.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －[x ]，x ≥0，f （x ＋1），x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.若直线y ＝k (x ＋1)(k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是________.解析 根据[x ]表示的意义可知，当0≤x ＜1时，f (x )＝x ，当1≤x ＜2时，f (x )＝x －1，当2≤x ＜3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x ＜k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z ，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图，直线y ＝k (x ＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13三、解答题9.已知函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m 的取值范围. 解 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，它显然有一个为正实数的零点.当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1的图象是抛物线，且与y 轴的交点为(0，1)，由f (x )有且仅有一个正实数的零点，则得：①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1m >0，Δ＝0或②x ＝1m <0，解①，得m＝1：解②，得m <0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}.10.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x ＝0，得x ＝1. 当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x ＞0)，所以k ′(x )＝1－2x ，令k ′(x )＞0，得x ＞2，所以k (x )在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x ＝2时，函数k (x )取得最小值，k (2)＝2－2ln 2－a ， 因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点. 即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎨⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎨⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3]. 11.已知函数f (x )＝e x －m －x ，其中m 为常数.(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围； (2)当m ＞1时，判断f (x )在[0，2m ]上零点的个数，并说明理由. 解 (1)f ′(x )＝e x －m －1，令f ′(x )＝0，得x ＝m .故当x ∈(－∞，m )时，e x －m ＜1，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(m ，＋∞)时，e x －m ＞1，f ′(x )＞0，f (x )单调递增. ∴当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值. 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，则m 的取值范围是(－∞，1].(2)由(1)知f (x )在[0，2m ]上至多有两个零点，当m ＞1时，f (m )＝1－m ＜0.∵f (0)＝e －m ＞0，f (0)f (m )＜0，∴f (x )在(0，m )上有一个零点.∵f (2m )＝e m －2m ，令g (m )＝e m －2m ， ∵当m ＞1时，g ′(m )＝e m －2＞0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (m )＞g (1)＝e －2＞0，即f (2m )＞0.∴f (m )·f (2m )＜0，∴f (x )在(m ，2m )上有一个零点. ∴故f (x )在[0，2m ]上有两个零点.第2讲 不等式问题高考定位 1.利用不等式性质比较大小，不等式的求解，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.但在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真 题 感 悟1.(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c <b cD.c a >c b解析 取a ＝4，b ＝2，c ＝12，逐一验证可得B 正确. 答案 B2.(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B.2C.2 2D.4解析 由1a ＋2b ＝ab ，知a ＞0，b ＞0，由于1a ＋2b ≥22ab ，当且仅当b ＝2a 时取等号.∴ab ≥22ab，∴ab ≥2 2.故选C. 答案 C3.(2015·陕西卷)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A.q ＝r ＜pB.q ＝r ＞pC.p ＝r ＜qD.p ＝r ＞q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln(ab )12＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 答案 C4.(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到最小值为－5. 答案 －5考 点 整 合1.简单分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）＞0(＜0)⇔f (x )g (x )＞0(＜0)； (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 2.(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论. (2)四个常用结论①ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎨⎧a ＞0，Δ＜0.②ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0.③a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max . ④a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min . 3.利用基本不等式求最值已知x ，y ∈R ＋，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24⎝ ⎛⎭⎪⎫xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝S 24；(2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P (x ＋y ≥2xy ＝2P ).4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等. (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值. 5.不等式的证明不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.热点一 利用基本不等式求最值 [微题型1] 基本不等式的简单应用【例1－1】 (1)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( ) A.53 B.83C.8D.24(2)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________.解析(1)∵a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0，即2x＋3y＝3.∵x＞0，y＞0，∴3x＋2y＝⎝⎛⎭⎪⎫3x＋2y·13(2x＋3y)＝13⎝⎛⎭⎪⎫6＋6＋9yx＋4xy≥13(12＋2×6)＝8.当且仅当3y＝2x时取等号.(2)设正项等比数列{a n}的公比为q，则q>0，∵a7＝a6＋2a5，∴a5q2＝a5q＋2a5，∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去). ∴a m·a n＝a1·2m－1·a1·2n－1＝4a1，平方得2m＋n－2＝16＝24，∴m＋n＝6，∴1m＋4n＝16⎝⎛⎭⎪⎫1m＋4n(m＋n)＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋nm＋4mn≥16(5＋4)＝3 2，当且仅当nm＝4mn，即n＝2m，亦即m＝2，n＝4时取等号.答案(1)C(2)3 2探究提高在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.[微题型2]带有约束条件的基本不等式问题【例1－2】(1)已知两个正数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则xy取最小值时，x，y 的值分别为()A.5，5B.10，52 C.10，5 D.10，10(2)(2016·郑州模拟)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________.解析(1)∵x＞0，y＞0，∴x＋4y＋5＝xy≥24xy＋5，即xy－4xy－5≥0，可求xy≥25.当且仅当x＝4y时取等号，即x＝10，y＝5 2.(2)∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，∴(2x＋y)2－32·⎝⎛⎭⎪⎫2x＋y22≤1，解之得(2x＋y)2≤85，即2x＋y≤2105.等号当且仅当2x＝y＞0，即x＝1010，y＝105时成立.答案(1)B(2)210 5探究提高在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，或对约束条件中的一部分利用基本不等式，构造不等式进行求解.【训练1】(1)(2016·广州模拟)若正实数x，y满足x＋y＋1＝xy，则x＋2y的最小值是()A.3B.5C.7D.8(2)(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x⊗y＝x2－y2xy(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________.解析(1)由x＋y＋1＝xy，得y＝x＋1x－1，又y＞0，x＞0，∴x＞1.∴x＋2y＝x＋2×x＋1x－1＝x＋2×⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x－1＝x＋2＋4x－1＝3＋(x－1)＋4x－1≥3＋4＝7，当且仅当x＝3时取“＝”.(2)由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝x2－y2xy＋（2y）2－x22yx＝x2＋2y22xy≥2x2·2y22xy＝2，当且仅当x＝2y时取等号. 答案(1)C(2) 2热点二 含参不等式恒成立问题 [微题型1] 分离参数法解决恒成立问题【例2－1】 (1)关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为________.(2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)设f (x )＝x ＋4x ，因为x ＞0，所以f (x )＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取等号.又关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a 2－2a ＋1＜4，解得－1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围为(－1，3).(2)要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，由于x >0，y >0，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立. 由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去).设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y＝t ＋1t .设f (t )＝t ＋1t ，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376. 答案 (1)(－1，3) (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376探究提高 一是转化法，即通过分离参数法，先转化为f (a )≥g (x )(或f (a )≤g (x ))对∀x ∈D 恒成立，再转化为f (a )≥g (x )max (或f (a )≤g (x )min )； 二是求最值法，即求函数g (x )在区间D 上的最大值(或最小值)问题. [微题型2] 函数法解决恒成立问题【例2－2】 (1)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围为________.(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ＋1对x ∈[0，2]恒有f (x )＞0.则实数a 的取值范围为________.解析 (1)法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a ，①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1.∴－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为[－3，1].法二 设g (x )＝f (x )－a ，则g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧Δ＞0，a ＜－1，g （－1）≥0，解得－3≤a ≤1.(2)法一 函数法.若a ＞0，则对称轴x ＝－12a ＜0， 故f (x )在[0，2]上为增函数，且f (0)＝1， 因此在x ∈[0，2]上恒有f (x )＞0成立. 若a ＜0，则应有f (2)＞0，即4a ＋3＞0， ∴a ＞－34.∴－34＜a ＜0.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞).法二 分离参数法.当x ＝0时，f (x )＝1＞0成立.当x ≠0时，ax 2＋x ＋1＞0变为a ＞－1x 2－1x ，令g (x )＝－1x 2－1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≥12.∴当1x ≥12时，g (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.∵a ＞－1x 2－1x ，∴a ＞－34.又∵a ≠0，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞).答案 (1)[－3，1] (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞)探究提高 参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题.【训练2】 若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2，2]恒成立，则x 的取值范围是________.解析 因为a ∈[－2，2]，可把原式看作关于a 的一次函数， 即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知⎩⎨⎧g （－2）＝x 2＋2x ＋1≥0，g （2）＝x 2－2x ＋1≥0，解之得x ∈R . 答案 R热点三 简单的线性规划问题[微题型1] 已知线性约束条件，求目标函数最值【例3－1】 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y－5的最小值为________.解析 可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (1，0)，B (－1，－1)，C (1，3)，直线z ＝2x ＋3y －5过点B 时取最小值－10. 答案 －10探究提高 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. [微题型2] 线性规划中的含参问题【例3－2】 (1)(2016·成都诊断)变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x－y 的最大值为2，则实数m 等于( ) A.－2B.－1C.1D.2(2)(2015·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( ) A.3 B.2 C.－2D.－3解析 (1)由图形知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22m －1，2m 2m －1，O (0，0).只有在B 点处取最大值2， ∴2＝42m －1－2m2m －1.∴m ＝1.(2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A (2，0)，由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1). 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D ；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B. 答案 (1)C (2)B探究提高 对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【训练3】 (1)(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥02x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0则x 2＋y 2的取值范围是________.(2)已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤－x ＋2，x ≥a ，且目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则实数a 的值是( ) A.34B.12C.13D.14解析 (1)已知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，则(x ，y )为阴影部分内的动点，x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方. 解方程组⎩⎨⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2，3).由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45， (x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.(2)依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点B (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ；因为目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，所以3a ＝1，解得a ＝13，故选C. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 (2)C1.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、选择题1.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝243，b＝323，c＝2513，则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b解析a＝243＝316，b＝323＝39，c＝2513＝325，所以b<a<c.答案 A2.(2016·浙江卷)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则()A.(a－1)(b－1)＜0B.(a－1)(a－b)＞0C.(b－1)(b－a)＜0D.(b－1)(b－a)＞0解析由a，b＞0且a≠1，b≠1，及log a b＞1＝log a a可得：当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1，代入验证只有D满足题意.答案 D3.(2016·太原模拟)若点A(m，n)在第一象限，且在直线x3＋y4＝1上，则mn的最大值是()A.3B.4C.7D.12解析 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ∈R ＋，且m3＋n 4＝1，所以m 3·n 4≤(m 3＋n 42)2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3. 答案 A4.已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为( ) A.[22，＋∞)B.(－∞，22]C.(－22，＋∞)D.(－∞，－22)解析 由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x ＝2x ＋1x .而2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ）≤ －2（－2x ）×1（－x ）＝－2 2.当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号， 所以m ＞－2 2. 答案 C5.(2016·唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a的取值范围是( ) A.[0，1] B.[－1，0] C.[－1，1]D.[－1，0]解析 f (－a )＋f (a )≤2f (1)⇔⎩⎨⎧a ≥0，（－a ）2－2×（－a ）＋a 2＋2a ≤2×3或 ⎩⎨⎧a ＜0，（－a ）2＋2×（－a ）＋a 2－2a ≤2×3即⎩⎨⎧a ≥0，a 2＋2a －3≤0或⎩⎨⎧a ＜0，a 2－2a －3≤0， 解得0≤a ≤1，或－1≤a ＜0.故－1≤a ≤1. 答案 C 二、填空题6.设目标函数z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k .若z 的最大值为12，则z的最小值为________.解析 作出不等式组所表示的可行域如图所示，平移直线x＋y ＝0，显然当直线过点A (k ，k )时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值，且最大值为k ＋k ＝12，则k ＝6，直线过点B 时目标函数z ＝x ＋y 取得最小值，点B 为直线x ＋2y ＝0与y ＝6的交点，即B (－12，6)，所以z min ＝－12＋6＝－6. 答案 －67.(2016·合肥二模)当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图象恒过点A ，若点A 在直线mx －y ＋n ＝0上，则4m ＋2n 的最小值为________. 解析 函数f (x )的图象恒过点A (2，1)，∴2m －1＋n ＝0，即2m ＋n ＝1， ∴4m ＋2n ≥24m ·2n ＝222m ＋n ＝22，当且仅当2m ＝n ＝12时等号成立. 答案 2 28.(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N*目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中阴影部分(包括边界)内的参数点，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000 三、解答题9.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围.解 易知f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，由题意，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2＞0对∀m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立.所以只需⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，g （3）＞0即可，即⎩⎪⎨⎪⎧12（x －2）＋（x －2）2＞0，3（x －2）＋（x －2）2＞0⇒x ＞2或x ＜－1. 故x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞). 10.已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围. 解 (1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0.由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号.由已知。