第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式课堂练习
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同角三角函数基本关系及诱导公式练习【基础知识梳理】1.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为π+α.2.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为-α(或2π-α).3.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为π-α.4.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为2π-α. 5.诱导公式(1)公式一 sin(α+k ·2π)=--------------------------------, cos(α+k ·2π)=--------------------------, tan(α+k ·2π)=----------------------------,其中k ∈Z.(2)公式二 sin [(21)]k πα++=----------------------------, cos [(21)]k πα++=--------------------------------, tan [(21)]k πα++=----------------------------.(3)公式三 sin(-α)=--------------------,cos(-α)=----------------,tan(-α)=----------------.(4)公式四sin(π-α)=----------------------, cos(π-α)=----------------------, tan(π-α)=----------------------.(5) 公式五 sin(2π-α)=---------------------------------,cos(2π-α)=---------------------------------. (6)公式六 sin(2π+α)=---------------------------------,cos(2π+α)=---------------------------------. 口诀:一、选择题1. 已知53cos =α,且α是第四象限角,则sin α=__________. A.54 B.43 C.54- D.43- 2.已知sin α=21,且α为第二象限角,则cos α=________. A.23 B.43 C. 23- D.43- 3.下列各式中正确的是_________.A.απαsin )sin(=+B.απαcos )2cos(-=+C.ααπtan )tan(-=+D.ααπsin )sin(=-4.若tan α=1,则ααααcos sin cos 3sin 2++的值是____________.A.21B.23 C.25 D.27 5.已知5cos 5sin 2cos 3sin -=+-αααα,则tan α=________. A.-2 B.1225 C.1128 D.922- 6.下列等式中正确的个数有__________.(1)ααπsin )sin(-=+ (2)ααπcos )2cos(-=+(3)ααπtan )3tan(-=+ (4)ααπcos )5cos(-=- A.1 B.2 C.3 D.4 7,已知sin α=54,α的终边在第一象限,则)sin(απ+和)2cos(απ-的值是_____. A.5354和 B.5354和- C.5354-和 D.5354--和 二、填空题 1.2cos 2sin 22αα+=______________.2.)4sin(π-=____________;613sin π=________. 3.45cos π=__________;32cosπ=_________. 4.)300cos(0-=_________;0495sin =____________. 5.)43tan(π-=________;67cos π=________;)49sin(π-=________. 6.1)(cos 2)tan()sin()sin(22+------x x x x π=__________. 7.已知πθπθ 2,21cos 且-=,则θtan =_________. 8.化简:)tan()cos()3sin(απααπ+--=___________. 三、解答题1.化简:)3tan()cos()tan()2sin(x x x x --+-ππππ 2. 已知41tan =x ,求xx x x sin 3cos 2sin 5cos +-的值。
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式1.(2021·北京二中高三其他模拟)在平面直角坐标系xOy 中,角θ以Ox 为始边,终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭,则tan()πθ-的值为( )A .43B .34C .43-D .34-【答案】C 【解析】由题意可得角的正弦和余弦值,由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值,结合诱导公式即可选出正确答案.【详解】解:由题意知,43sin ,cos 55θθ==,则sin 4tan cos 3θθθ==,所以4tan()tan 3πθθ-=-=-,故选:C.2.(2021·全国高三其他模拟(理))已知1tan ,2α=则()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=( )A .﹣12B .12C .2D .﹣2【答案】C 【解析】先用“奇变偶不变,符号看象限”将()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为cos sin αα--,结合同角三角函数的基本关系来求解.【详解】因为1tan 2α=,所以()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin αα--=1tan α=2.故选:C练基础3.(2021·全国高一专题练习)已知3cos cos()2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=( )A .2B .-2C .13D .3【答案】A 【解析】用诱导公式化简,平方后求得sin cos αα,求值式切化弦后易得结论.【详解】3cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos (sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==,故选:A .4.(2021·河南高三其他模拟(理))若1tan 2α=,则22sin sin cos ααα+=_______________________.【答案】45【解析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.【详解】因为12tan α=,所以222222224215sin sin cos tan tan sin sin cos sin cos tan ααααααααααα+++===++.故答案为:455.(2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟(文))若3sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[0,2)θπ∈,则θ=___________.【答案】116π【解析】根据三角函数的诱导公式,求得cos θ=[0,2)θπ∈,进而求得θ的值.【详解】由三角函数的诱导公式,可得3sin cos 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭,即cos θ=,又因为[0,2)θπ∈,所以116πθ=.故答案为:116π.6.(2021·上海格致中学高三三模)已知α是第二象限角,且3sin 5α=,tan α=_________.【答案】34-【解析】根据角所在的象限,判断正切函数的正负,从而求得结果.【详解】由α是第二象限角,知4cos 5α===-,则sin 3tan cos 4ααα==-故答案为:34-7.(2021·上海高三二模)若sin cos k θθ=,则sin cos θθ⋅的值等于___________(用k 表示).【答案】21kk +【解析】由同角三角函数的关系得tan θk =,进而根据22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ⋅⋅=+,结合齐次式求解即可.【详解】因为sin cos k θθ=,所以tan θk =,所以2222sin cos tan sin cos sin cos tan 11kk θθθθθθθθ⋅⋅===+++,故答案为:21k k +8.(2021·河北衡水市·高三其他模拟)函数log (3)2(0a y x a =-+>且a ≠1)的图象过定点Q ,且角a 的终边也过点Q ,则23sin α+2sin cos αα=___________.【答案】75【解析】首先可得点Q 的坐标,然后可得tan α,然后可求出答案.【详解】由题可知点Q (4,2),所以1tan ,2α=所以22223sin 2sin cos 3sin 2sin cos sin cos αααααααα++==+2211323tan 2tan 74211tan 514ααα⨯+⨯+==++故答案为:759.(2021·上海高三其他模拟)已知3sin 5x =,(,)2x ππ∈,则cos(π﹣x )=___________.【答案】45【解析】根据22sin cos 1x x += ,(,)2x ππ∈,求出cos x ,再用“奇变偶不变,符号看象限”求出cos(π﹣x ).【详解】解:因为3sin 5x =,(,)2x ππ∈,可得cos x =﹣=﹣45,所以cos(π﹣x )=﹣cos x =45.故答案为:45.10.(2020·全国高一课时练习)若2cos()3απ-=-,求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值.【答案】.【解析】利用诱导公式化简已知和结论,转化为给值求值的三角函数问题解决.【详解】原式=sin(2)sin(3)cos(3)cos (cos )cos παπαπαααα---+----=2sin sin cos cos cos ααααα--+=sin (1cos )cos (1cos )αααα---=-tan α,因为2cos()cos 3απα-=-=-,所以2cos 3α=,所以α为第一象限角或第四象限角.(1)当α为第一象限角时,sin α=所以sin tan cos ααα=,所以原式.(2)当α为第四象限角时,sin α=所以sin tan cos ααα=,所以原式.综上,原式=.1.(2021·全国高三其他模拟(理)(0)a a =>,则1tan 2=________(用含a 的式子表示).【解析】根据同角三角函数的相关公式,把根号下的式子变形为完全平方式,2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,再由11cos sin 022>>,开方即得1cos 22a =,再由22111tan 12cos 2+=即可得解.【详解】练提升=+=1111cos sin sin cos2222=-++12cos 2a ==,则1cos 22a =而22111tan 12cos 2+=,2214tan 12a∴=-又1tan 02>,1tan 2∴==.2.(2021·河北邯郸市·高三二模)当04x π<<时,函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______.【答案】-4【解析】化简函数得21()tan tan f x x x=-,再换元tan ,(0,1)t x t =∈,利用二次函数和复合函数求函数的最值.【详解】由题意得22222cos cos ()sin cos sin cos cos x x f x x x xx x =-所以21()tan tan f x x x =-,当04x π<<时,0tan 1x <<,设tan ,(0,1)t x t =∈所以2211()=11()24g t t t t =---,所以当12t =时,函数()g t 取最大值4-.所以()f x 的最大值为-4.故答案为:4-3.(2021·浙江高三其他模拟)已知πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则3πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______,sin cos αα=______.【答案】3 25【解析】由3ππtan tan 44αα⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求,由和的正切公式求出tan α,再建立齐次式即可求出.【详解】3πππtan tan πtan 3444ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭,得tan 2α=,故222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++.故答案为:3;254.(2021·全国高一专题练习)如图,单位圆与x 轴正半轴的交点为A ,M ,N 在单位圆上且分别在第一、第二象限内,OM ON ⊥.若四边形OAMN 的面积为34,则AOM ∠=___________;若三角形AMN 的面积为25,则sin AOM ∠=___________.【答案】6π 35【解析】根据四边形OAMN 的面积,列出关于M 点纵坐标M y 的方程,求出M y ;即可根据三角函数的定义求出sin AOM ∠,进而可得AOM ∠;根据三角形AMN 的面积为25,得到M y 与N y 之间关系,再结合三角函数的定义,得到1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=,利用同角三角函数基本关系,即可求出结果.【详解】若四边形OAMN 的面积为34,则3111142222MON MOA M M S S OM ON OA y y =+=⨯⨯+⨯⨯=+V V ,解得12M y =,由三角函数的定义可得1sin 2M AOM y ∠==,因为M 为第一象限内的点,所以AOM ∠为锐角,因此6AOM π∠=;若三角形AMN 的面积为25,则21115222MON MOA AMN OAMN AON AON M N S S S S S S y y ==-=-=+-+V V V V V ,即51N M y y -=,由三角函数的定义可得,sin M AOM y ∠=,sin N AON y ∠=,又sin sin cos 2N y AON AOM AOM π⎛⎫=∠=∠+=∠ ⎪⎝⎭,所以1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=,由221cos sin 5sin cos 1AOM AOM AOM AOM ⎧∠-∠=⎪⎨⎪∠+∠=⎩解得3in 5s AOM ∠=或4in 5s AOM ∠=-,又AOM ∠为锐角,所以3in 5s AOM ∠=.故答案为:6π;35.5.(2021·河南高一期中(文))(1)已知角α的终边经过点()43P ,-,化简并求值:221cos sin cos sin cos tan 1a ααααα-+---;(2的值.【答案】(1)15-(2)1.【解析】(1)利用三角函数定义得到3sin 5α=,4cos 5α=-,化简三角函数表达式代入即可得到结果;(2)利用同角基本关系式化简即可.【详解】(1)由题意知,3sin 5α=,4cos 5α=-.原式222sin sin cos sin sin cos 1cos ααααααα+=---2222sin sin cos sin cos sin cos cos αααααααα+=---()2222cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα+=---22sin cos sin cos sin cos αααααα=---22sin cos sin cos αααα-=-341sin cos 555αα=+=-=-;(2)原式=sin 40cos 40cos 40cos50︒-︒=︒-︒cos 40sin 401cos 40sin 40-==-︒︒︒︒.6.(2021·河南高一期中(文))已知sin 2cos 0αα+=.(1)求sin 2cos cos 5sin αααα--的值;(2)求33sin cos cos sin aααα+的值.【答案】(1)411-;(2)858-.【解析】(1)本题可根据sin 2cos 0αα+=得出tan 2α=-,然后根据同角三角函数关系即可得出结果;(2)本题可通过22sin cos 1αα+=求出2sin α、2cos α的值,然后通过同角三角函数关系即可得出结果.【详解】(1)因为sin 2cos 0αα+=,所以tan 2α=-,则sin 2cos tan 24cos 5sin 15tan 11αααααα--==---.(2)联立22sin 2cos 0sin cos 1αααα+=⎧⎨+=⎩,解得224sin 51cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则3322sin cos tan 185cos sin cos sin tan 8a ααααααα+=+=-.7.(2020·武汉市新洲区第一中学高一期末)在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴非负半轴为始边作角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,它们的终边分别与单位圆相交于A ,B 两点,已知点A ,B,.(1)求23sin sin cos 1ααα-+的值;(2)化简并求cos 的值.【答案】(1)195;(2)1-+【解析】(1)由已知条件可知求得sin α,tan α,已知式变形为2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 111sin cos tan 1ααααααααααα---+=+=+++,代入可得答案;(2)由已知得cos β,sin β=.【详解】解:(1)由已知条件可知:cos α=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 0α>,sin α==,tan 7α=,2222223sin sin cos 3tan tan 3497193sin sin cos 1111sin cos tan 1505ααααααααααα--⨯--+=+=+=+=++,(2)cos β=,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 0β>,从而sin β==;1sin cos cos cos (1sin )1|cos |ββββ-===--=-+.8.(2021·全国高三专题练习(理))求函数sin cos sin cos y x x x x =+-(x ∈R )的值域.【答案】112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,【解析】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭,所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-,根据二次函数的性质可求得值域.【详解】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭,所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-,所以当t =24=-+x k ππ (k Z ∈)时,min y =12-;当1t =,即()114k x k ππ⎡⎤=++-⎣⎦(k Z ∈)时,max 1y =,因此函数y =sin cos sin cos y x x x x =+-的值域应为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,.9.(2021·江苏高一月考)如图,锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点()11,A x y ,将射线OA 按逆时针方向旋转3π后与单位圆交于点()()2212,,B x y f x x α=+.(1)求()fα的取值范围;(2)若()fα=,求tan α的值.【答案】(1)32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭;(2【解析】(1)由三角函数的定义可得1cos x α=,2cos(3x πα=+,化简()f α6)πα+.根据2663πππα<+<,利用余弦函数的定义域和值域求得()f α的范围.(2)根据()f α=,求得3cos(654sin(65παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,再利用两角差的正弦余弦公式求出sin ,cos αα的值,从而得出结论.【详解】(1)由图知,3AOB π∠=,由三角函数的定义可得1cos x α=,2cos(3x πα=+,123()cos cos()cos cos cossin sincos 3332f x x πππαααααααα==+++-+=-=6)πα=+.角α为锐角,∴2663πππα<+<,∴1co 26s()πα-<+<∴623πα<+<,即()f α的范围是32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.(2)因为()fα=,2663πππα<+<,6πα+=,3cos()65)46sin()65παπαπα⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩,431sin sin66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦341cos cos66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=+⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sintancosααα∴===10.(2021·河南省实验中学高一期中)(1)已知sin()cos()tan(3)()3cos2fπθπθπθθπθ-+-=⎛⎫-⎪⎝⎭,求73fπ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值(2)已知1sin cos5αα+=-,2παπ<<,求sin(3)cos(2)sin()sin2παπαπαα--++⎛⎫-++⎪⎝⎭的值.【答案】(1(2)17.【解析】(1)利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简()fθ,然后再代值计算即可.(2)利用同角三角函数间的关系,将1sin cos5αα+=-平方求出sin cosαα的值,从而求出cos sinαα-的值,再由诱导公式将所求式子化简,即可得出答案.【详解】(1)()()sin cos tansin()cos()tan(3)()sin3sincos2fθθθπθπθπθθθπθθ⋅-⋅--+-===--⎛⎫-⎪⎝⎭所以77sin sin2sin3333fπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)由1sin cos 5αα+=-,则112sin cos 25αα+=,所以242sin cos 25αα=-由2παπ<<,则sin 0,cos 0αα><设cos sin 0t αα=-<,则2244912cos sin 12525t αα=-=+=由cos sin 0t αα=-<,所以7cos sin 5αα-=-1sin(3)cos(2)sin cos 157sin cos 7sin()sin 52παπαααπαααα---+++===-+⎛⎫--++ ⎪⎝⎭1.(2021·全国高考真题)若tan 2θ=-,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+( )A .65-B .25-C .25D .65【答案】C 【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简,然后增添分母(221sin cos θθ=+),进行齐次化处理,化为正切的表达式,代入tan 2θ=-即可得到结果.【详解】将式子进行齐次化处理得:()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++.故选:C .2.(2020·全国高考真题(理))已知π()0,α∈,且3cos28cos 5αα-=,则sin α=( )AB .23C .13D练真题【答案】A 【解析】3cos 28cos 5αα-=,得26cos 8cos 80αα--=,即23cos 4cos 40αα--=,解得2cos 3α=-或cos 2α=(舍去),又(0,),sin απα∈∴== 故选:A.3.(2019·北京高考真题(文))如图,A ,B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点,是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A .4β+4cos βB .4β+4sin βC .2β+2cos βD .2β+2sin β【答案】B 【解析】观察图象可知,当P 为弧AB 的中点时,阴影部分的面积S 取最大值,此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为+S △POB + S △POA =4β+.故选:B .APB ∠2222βππ⨯⨯1||sin()2OPOB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅4.(2017·北京高考真题(文))在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则_____.【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称,所以,所以.5.(2018·北京高考真题(理))设函数f (x )=cos(ωx ―π6)(ω>0),若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为__________.【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立,所以f (π4)取最大值,所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z ),∴ω=8k +23(k∈Z ),因为ω>0,所以当k =0时,ω取最小值为23.6.(2017·全国高考真题(理))函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34(x ∈0,__________.【答案】1【解析】化简三角函数的解析式,则f (x )=1―cos 2x +3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1,由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1],当cos x =32时,函数f (x )取得最大值1.xOy αβOx y 1sin 3α=sin β=13αβy 2,k k Z αβππ+=+∈()1sin sin 2sin 3k βππαα=+-==。
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式时间:45分钟 分值:75分一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.tan 8π3的值为( ) A.33 B .-33 C. 3D .- 3解析 tan 8π3=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π+2π3=tan 2π3=- 3.答案 D2.已知α是第四象限角,且sin α=-35,则tan α=( ) A.34 B .-34 C.43D .-43解析 ∵α是第四象限角,且sin α=-35,∴cos α=45,tan α=-34. 答案 B3.(2014·玉溪一中月考)设α是第二象限角,P (x,4)为其终边上的一点,且cos α=15x ,则tan α=( )A.43B.34 C .-34D .-43解析 ∵α是第二象限角,∴cos α=15x <0,即x <0.又cos α=15x =x x 2+16,解得x =-3,∴tan α=4x =-43. 答案 D4.已知sin α-cos α=2,α∈(0,π),则tan α=( ) A .-1 B .-22 C.22D .1解析 方法1:由sin α-cos α=2, 得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=2, 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=1,∵0<α<π,∴-π4<α-π4<34π. ∴α=34π,∴tan α=-1.方法2:由sin α-cos α=2,两边平方得sin2α=-1. ∵α∈(0,π),∴2α=32π,α=34π,∴tan α=-1. 答案 A5.已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根,且α是第三象限角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-α-3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-αtan 2(π-α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=( )A.916 B .-916 C .-34D.34解析 ∵方程5x 2-7x -6=0的根为x 1=2,x 2=-35,由题知sin α=-35,∴cos α=-45,tan α=34,∴原式=cos α·(-sin α)tan 2αsin αcos α=-tan 2α=-916. 答案 B6.(2013·浙江卷)已知α∈R ,sin α+2cos α=102,则tan2α=( ) A.43 B.34 C .-34D .-43解析 由sin α+2cos α=102, 再结合sin 2α+cos 2α=1得⎩⎨⎧sin α=-110,cos α=310,或⎩⎨⎧sin α=310,cos α=110,所以tan α=-13或tan α=3, 代入tan2α=2tan α1-tan 2α得tan2α=-34. 答案 C二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 7.已知α为第二象限角,则cos α1+tan 2α+sin α1+1tan 2α=________.解析 原式=cos αsin 2α+cos 2αcos 2α+sin αsin 2α+cos 2αsin 2α=cos α1|cos α|+sin α1|sin α|,∵α是第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,∴cos α1|cos α|+sin α1|sin α|=-1+1=0,即原式等于0.答案 08.(2014·天津一中模拟)已知sin x cos x =38,且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2,则cos x-sin x =________.解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2,∴sin x >cos x ,即cos x -sin x <0,∴(cos x -sin x )2=1-2sin x cos x =14,∴cos x -sin x =-12. 答案 -129.(2013·四川卷)设sin2α=-sin α,α∈(π2,π),则tan2α的值是________.解析 由sin2α=-sin α得2sin αcos α=-sin α,由α∈(π2,π),所以sin α≠0,从而cos α=-12,所以α=23π,tan2α=tan 43π= 3.答案3三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 10.已知sin(3π+θ)=13,求cos (π+θ)cos θ[cos (π-θ)-1]+cos (θ-2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-3π2cos (θ-π)-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2+θ的值.解 ∵sin(3π+θ)=-sin θ=13,∴sin θ=-13. ∴原式=-cos θcos θ(-cos θ-1)+cos θcos θ·(-cos θ)+cos θ=11+cos θ+cos θ-cos 2θ+cos θ=11+cos θ+11-cos θ=21-cos 2θ=2sin 2θ=2⎝ ⎛⎭⎪⎫-132=18. 11.(2013·广东卷)已知函数f (x )=2cos(x -π12),x ∈R . (1)求f (-π6)的值;(2)若cos θ=35,θ∈(3π2,2π),求f (2θ+π3). 解 (1)f (-π6)=2cos(-π6-π12) =2cos(-π4)=2cos π4=1. (2)f (2θ+π3)=2cos(2θ+π3-π12) =2cos(2θ+π4) =cos2θ-sin2θ.因为cos θ=35,θ∈(3π2,2π),所以sin θ=-45.所以sin2θ=2sin θcos θ=-2425,cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=-725. 所以f (2θ+π3)=cos2θ-sin2θ=-725-(-2425)=1725.12.已知sin θ,cos θ是方程4x 2-4mx +2m -1=0的两个根,3π2<θ<2π,求θ.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ+cos θ=m ,sin θ·cos θ=2m -14,Δ=16(m 2-2m +1)≥0,代入(sin θ+cos θ)2=1+2sin θ·cos θ, 得m =1±32,又3π2<θ<2π,∴sin θ·cos θ=2m -14<0, 即m =1-32.∴sin θ+cos θ=m =1-32, sin θ·cos θ=-34. 又∵3π2<θ<2π,∴sin θ=-32,cos θ=12.∴θ=5π3.。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知,则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α=3,则 sin2α-2 sin αcos α+3 cos2α=______.【答案】【解析】sin2α-2 sin αcos α+3 cos2α====.3.已知f(α)=,则f的值为________.【答案】-【解析】∵f(α)==-cos α,∴f=-cos=-cos=-cos=-.4.化简+=________.【解析】原式=+=-sin α+sin α=0.5.已知α∈(,π),tanα=-,则sin(α+π)=()A.B.-C.D.-【答案】B【解析】由题意可知,由此解得sin2α=,又α∈(,π),因此有sinα=,sin(α+π)=-sinα=-,故选B.6.记cos(-80°)=k,那么tan100°=()A.B.-C.D.-【答案】B【解析】解法一:因为cos(-80°)=cos80°=k,sin80°==,所以tan100°=-tan80°=-=-.解法二:因为cos(-80°)=k,所以cos80°=k,所以tan100°=-tan80°==-.7.已知sinαcosα=,且π<α<,则cosα-sinα的值为()A.-B.C.-D.【答案】B【解析】∵π<α<,∴cosα>sinα,∴cosα-sinα>0,又∵(cosα-sinα)2=1-2cosαsinα=,∴cosα-sinα=.8.若3cos(-θ)+cos(π+θ)=0,则cos2θ+sin2θ的值是________.【答案】【解析】∵3cos(-θ)+cos(π+θ)=0,即3sinθ-cosθ=0,即tanθ=.∴cos2θ+sin2θ======.9.(5分)(2011•福建)若α∈(0,),且sin2α+cos2α=,则tanα的值等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α,利用同角三角函数间的基本关系化简后,得到关于sinα的方程,根据α的度数,求出方程的解即可得到sinα的值,然后利用特殊角的三角函数值,由α的范围即可得到α的度数,利用α的度数求出tanα即可.解:由cos2α=1﹣2sin2α,得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=,则sin2α=,又α∈(0,),所以sinα=,则α=,所以tanα=tan=.故选D点评:此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道基础题.学生做题时应注意角度的范围.10.已知sin α=+cos α,且α∈,则的值为________.【答案】-【解析】将sin α-cos α=两边平方,得2sin α·cos α=,(sin α+cos α)2=,sin α+cos α=,==-(sin α+cos α)=-.11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】∵,∴,∴,∴,∴,∴,∴.【考点】三角函数求值.13.在中,角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,且,则 .【答案】【解析】∵成等差数列,∴,∴,∵,∴,∴,∴,(1)∵且,∴代入(1)式中,,∴,∴,∴,∴.【考点】1.等差中项;2.倍角公式;3.诱导公式.14.已知,,则.【答案】【解析】由题意,,.【考点】同角间的三角函数关系.15.若则【答案】【解析】,得,∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角,tanα=-,则sinα=________.【答案】【解析】由解得sinα=±.∵α为第二象限角,∴sinα>0,∴sinα=.17. cos=________.【答案】-【解析】cos=cos=cos(17π+)=-cos=-.18.已知其中若.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)先由已知条件求得的值,再由平方关系可得的值,把拆为,最后利用两角和的余弦公式即可求得的值;(2)考查了三角函数中知一求三的思想,即这几个量“知一求三”.可先利用差角余弦公式将展开,求得的值,两边平方即可求得的值,再由平方关系即可求得的值,最后由商关系即可求得的值.试题解析:(1)由已知得:,(2)由,得,两边平方得:,即,∵,且,从而. 12分【考点】1.平面向量的数量积运算;2.应用三角恒等变换求三角函数的值.19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A.0B.C.D.1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解:由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.=()A.-B.-C.D.【解析】====sin 30°=.23.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=________.【答案】-【解析】f(x)=sin x-2cos x==sin(x-φ),其中sin φ=,cos φ=,当x-φ=2kπ+ (k∈Z)时,函数f(x)取得最大值,即θ=2kπ++φ时,函数f(x)取到最大值,所以cos θ=-sin φ=-.24. 4cos 50°-tan 40°=________.【答案】【解析】4cos 50°-tan 40°======.25.已知α∈,且cos α=-,则tan α=________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解.由条件可得sin α=-,所以tan α===2.26.若α,β∈,cos =,sin =-,则cos (α+β)=________.【答案】【解析】∵α,β∈,∴-<α-<,-<-β<,由cos =和sin =-得α-=±,-β=-,当α-=-,-β=-时,α+β=0,与α,β∈矛盾;当α-=,-β=-时,α=β=,此时cos (α+β)=-.27.若cos =,则cos =().A.-B.-C.D.【答案】D【解析】∵cos =,∴cos =2cos 2-1=-,即sin 2x=,∴cos =sin 2x=.28.已知sin θ+cos θ=,则sin θ-cos θ的值为________.【答案】-【解析】∵sin θ+cos θ=,∴(sin θ+cos θ)2=1+2cos θsin θ=,∴2cos θsin θ=,∴(sin θ-cos θ)2=1-=,又θ∈,∴sin θ<cos θ,∴sin θ-cos θ=-.29.已知,则=____________.【答案】【解析】,根据,可知:,故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知,且,则.【答案】【解析】因为,所以。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知,并且是第二象限的角,那么的值等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】由,又为第二象限角,,则.故选A.【考点】三角函数的平方公式.2.己知a为锐角,且,,则sina的值是( ). A.B.C.D.【答案】C.【解析】根据诱导公式,已知条件的两个式子可化为如下关系:,解得,又本题要求的是,因此由前述可知有,解得(a为锐角).【考点】诱导公式,同角三角函数的基本关系.3.已知,则的值为.【答案】-11【解析】【考点】弦化切4.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数,可用一元二次函数求值域的方法解,注意的取值范围.解:原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.5.已知(1)化简;(2)若是第三象限角,且,求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)根据诱导公式,将中的三角函数都转化为的三角函数,即可得到;(2)由,可得,又由条件是第三象限角及(1)中得到的的表达式,即可得到.(1);(2)由得,,因为是第三象限角,所以,∴.【考点】1.诱导公式;2.同角三角函数基本关系.6.已知 .【答案】【解析】∵,∴,∴原式=.【考点】1.诱导公式;2.同角三角函数基本关系.7.已知,则tanα的值是()A.±B.C.D.无法确定【答案】B【解析】∵,∴,即.【考点】同角三角函数的基本关系.8.( )A.B.C.D.【答案】D【解析】.【考点】同角三角函数基本关系.9.已知,则 ( )A.B.C.D.【答案】A【解析】由【考点】同角三角函数基本关系10. sin的值是()A.B.-C.D.-【答案】B【解析】.【考点】诱导公式,特殊角的三角函数值.11.已知,则的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由条件,得,整理得:,即①,代入中,得,整理得:,即,解得(舍)或,把,代入①,得,所以,故选A.【考点】同角三角函数基本关系.12.若,的化简结果为()A.B.C.D.【答案】D【解析】,=.【考点】同角的基本关系.13.已知(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)因为,可得=−2,α为钝角且cosα<0.再由sin2α+cos2α=1,求得cosα的值.(2)原式=,把tanα=-2代入运算求得结果.试题解析:解:(1)因为,所以cosa=(2)原式=【考点】1.同角三角函数间的基本关系;2.三角函数的化简求值.14.若,则计算所得的结果为()A.B.C.D.【答案】A【解析】先根据诱导公式化简,原式=,再将代入即得答案为A.【考点】诱导公式.15.已知=,则的值等于( )A.B.-C.D.±【答案】A【解析】诱导公式,注意,,所以选A【考点】诱导公式16.已知,则的值是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】由与可得,而,选C.【考点】同角三角函数的基本关系式.17.已知为第三象限角,.(1)化简;(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)应用三角诱导公式进行化简即可得出答案;(2)根据同角三角函数的基本关系式求出,由求出,最后由正切的二倍角公式可计算得结果.试题解析:(1) 6分(结果为酌情给3分)(2)由,得. 又已知为第三象限角所以,所以 8分所以 10分故 12分.【考点】1.诱导公式;2.同角三角函数的基本关系式;3.二倍角公式.18.已知tanα,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两实根,且3π<α<π,求cos(3π+α)-sin(π+α)的值.【解析】关于方程两根的问题可用韦达定理解决,,从而求出k =±2,再根据角的范围可知为正,从而求得。
第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式[A 级 基础巩固]1.(多选题)若cos(π+α)=-12,则sin(α-2π)可以等于()A.12B .-12 C.32D .-32解析:由cos(π+α)=-12,得cos α=12,所以sin α=±32,故sin(α-2π)=sin α=±32. 答案:CD2.(2020·某某模拟)已知直线2x -y -1=0的倾斜角为α,则sin 2α-2cos 2α=() A.25B .-65 C .-45D .-125解析:由题意知tan α=2,所以sin 2α-2cos 2α=2sin αcos α-2cos 2αsin 2α+cos 2α=2tan α-2tan 2α+1=25. 答案:A3.已知sin αcos α=18,且5π4<α<3π2,则cos α-sin α的值为()A .-32B.32C .-34D.34解析:因为5π4<α<3π2,所以cos α<0,sin α<0且cos α>sin α, 所以cos α-sin α>0.又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×18=34,所以cos α-sin α=32. 答案:B4.已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|<π2,则θ等于()A .-π6B .-π3C.π6D.π3解析:因为sin(π+θ)=-3cos(2π-θ), 所以-sin θ=-3cos θ,所以tan θ=3,又|θ|<π2,所以θ=π3.答案:D5.(2020·某某重点中学联考)已知3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14+α=-5cos(5π14+α),则tan ⎝⎛⎭⎪⎫15π14+α=()A .-53B .-35C.35D.53 解析:由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14+α=-5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14+α,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14+α=-53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14+α, 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14+α=sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14+αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14+α=-53.答案:A6.(2020·某某一中月考)已知cos(α+π)=25,则sin(2α+π2)=()A.725B .-725C.1725D .-1725解析:由cos(α+π)=25,得cos α=-25,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π2=cos 2α=2cos 2α-1=-1725.答案:D7.已知sin α+3cos α3cos α-sin α=5,则cos 2α+12sin 2α的值是()A.35B .-35 C .-3 D .3解析:由sin α+3cos α3cos α-sin α=5得tan α+33-tan α=5,可得tan α=2,cos 2α+12sin 2α=cos 2α+sin αcos α=cos 2α+sin αcos αcos 2α+sin 2α= 1+tan α1+tan 2α=35. 答案:A8.(多选题)已知-π2<θ<π2,则sin θ+cos θ=a ,其中a ∈(0,1),则关于tan θ的值,在以下四个答案中,可能正确的是()A .-3B .-13C .-14D .-1解析:由sin θ+cos θ=a ,a ∈(0,1), 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=22,a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22, 又-π2<θ<π2,所以0<θ+π4<π4,从而-π4<θ<0,因此-1<tan θ<0,则满足题目的取值为-13与-14.答案:BC9.(2017·卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β=________.解析:由角α与角β的终边关于y 轴对称,可知α+β=π+2k π(k ∈Z),所以β=2k π+π-α(k ∈Z),所以sin β=sin α=13.答案:1310.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=33,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π+α=________.解析:因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6+α+⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=π,所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6+α=tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=-33.答案:-3311.(2020·潍坊一中质检)若sin(α+β)=3sin(π-α+β),α,β∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,则tan αtan β=________. 解析:因为sin(α+β)=3sin(π-α+β),所以sin αcos β=2cos αsin β,所以tan α=2tan β, tan αtan β=2. 答案:212.若sin(π-α)=-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α,则sin α·cos α=________. 解析:由sin(π-α)=-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α, 可得sin α=-2cos α,则tan α=-2, sin α·cos α=sin α·cos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=-25. 答案:-25[B 级 能力提升]13.设f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β),其中a ,b ,α,β都是非零实数.若f (2 019)=-1,则f (2 020)=()A .1B .2C .0D .-1解析:因为f (2 019)=a sin(2 019π+α)+b cos(2 019π+β)=-a sin α-b cos β=-1,所以a sin α+b cos β=1,所以f (2 020)=a sin(2 020π+α)+b cos(2 020π+β)=a sin α+b cos β=1.答案:A14.(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a ),B (2,b ),且cos 2α=23,则|a -b |=()A.15B.55C.255D .1 解析:由cos 2α=23,得cos 2α-sin 2α=23,所以cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α=23,即1-tan 2α1+tan 2α=23, 所以tan α=±55,即b -a 2-1=±55, 所以|a -b |=55. 答案:B15.若sin θ,cos θ是方程4x 2+2mx +m =0的两根,则m 的值为________. 解析:由题意知sin θ+cos θ=-m 2,sin θ·cos θ=m4,又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, 即m 24=1+m2,解得m =1± 5.又Δ=4m 2-16m ≥0,所以m ≤0或m ≥4, 所以m =1- 5. 答案:1- 5[C 级 素养升华]16.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2-αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-7π2+α=1225,且0<α<π4,则sin α=________,cosα=________.解析:sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2-αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-7π2+α=-cos α·(-sin α)=sin αcos α=1225.因为0<α<π4,所以0<sin α<cos α.又因为sin 2α+cos 2α=1,所以sin α=35,cos α=45.答案:3545。
第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式知 识 梳 理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1.(2)商数关系:sin αcos α=tan__α. 2.三角函数的诱导公式1.特殊角的三角函数值α 0π6 π4 π3 π2 π 3π2 sin α 01222 32 1-1cos α132 22120 -1 0tan α 0 331 3不存在 0 不存在 2.式k ·π2+α中的整数k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k 是奇数,则正、余弦互变;若k 为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在k ·π2+α中,将α看成锐角时k ·π2+α所在的象限.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( )(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( )(4)若sin(k π-α)=13(k ∈Z ),则sin α=13.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)对于α∈R ,sin(π+α)=-sin α都成立.(4)当k 为奇数时,sin α=13,当k 为偶数时,sin α=-13.2.sin 600°的值为( )A .-12B .-32 C.12 D.32 答案 B解析 sin 600°=sin(360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-32.3.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=-35,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,则tan α=( )A.34 B .-34 C .-43 D.43 答案 C解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=cos α=-35,又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,则sin α=1-cos 2α=45,则tan α=sin αcos α=-43,故选C.4.已知sin θ+cos θ=43,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4,则sin θ-cos θ的值为( )A.23 B .-23 C.13 D .-13 答案 B解析 ∵sin θ+cos θ=43,∴1+2sin θcos θ=169,∴sin θcos θ=718.又∵(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=29,又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4,∴sin θ-cos θ=-23.5.(必修4P22B3改编)已知tan α=2,则sin α+cos αsin α-cos α的值为________.答案 3 解析 原式=tan α+1tan α-1=2+12-1=3.6.(2020·嘉兴期末)已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6,cos 5π6是角α的终边上一点,则cos α=________;角α的最小正值是________.答案 12 5π3解析 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6,cos 5π6是角α的终边上一点,所以cos α=sin 5π6=12,sin α=cos 5π6=-32,所以α=2k π+5π3(k ∈Z ),所以当k =0时,角α取最小正值5π3.考点一 同角三角函数基本关系式的应用 【例1】 (1)(2021·浙江教育绿色评价联盟适考)已知α为第二象限角,且3sin α+cos α=0,则sin α=( )A.1010B.31010C .-1010D .-31010(2)已知sin αcos α=18,且5π4<α<3π2,则cos α-sin α的值为( )A .-32 B.32 C .-34 D.34(3)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425 B.4825 C .1 D.1625 答案 (1)A (2)B (3)A解析 (1)由3sin α=-cos α,两边平方得9sin 2α=1-sin 2α,则sin α=±1010,又α为第二角限角,所以sin α>0,则sin α=1010,故选A.(2)∵5π4<α<3π2,∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α, ∴cos α-sin α>0.又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×18=34,∴cos α-sin α=32.(3)tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=cos 2α+2sin 2αcos 2α+sin 2α=1+4tan α1+tan 2α=6425.感悟升华 (1)利用sin 2α+cos 2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin αcos α=tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin 2α+cos 2α,sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α. 【训练1】 (1)已知sin α-cos α=2,α∈(0,π),则tan α=( ) A .-1 B .-22 C.22 D .1 (2)若3sin α+cos α=0,则1cos 2α+2sin αcos α的值为( )A.103B.53C.23 D .-2(3)已知sin α=13,0<α<π,则tan α=__________, sin α2+cos α2=__________. 答案 (1)A (2)A (3)±24 233 解析 (1)由⎩⎨⎧sin α-cos α=2,sin 2α+cos 2α=1,得:2cos 2α+22cos α+1=0, 即()2cos α+12=0,∴cos α=-22.又α∈(0,π),∴α=3π4,∴tan α=tan 3π4=-1.(2)3sin α+cos α=0⇒cos α≠0⇒tan α=-13,1cos 2α+2sin αcos α=cos 2α+sin 2αcos 2α+2sin αcos α=1+tan 2α1+2tan α=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫-1321-23=103.(3)因为0<α<π,所以tan α=sin αcos α=±sin 2αcos 2α=±sin 2α1-sin 2α=±24,又0<α2<π2,所以sinα2>0, cos α2>0,所以sin α2+cos α2=⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2+cos α22=1+2sin α2cos α2=1+sin α=233.考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)化简:sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°);(2)设f (α)=2sin (π+α)cos (π-α)-cos (π+α)1+sin 2α+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2+α-sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α(1+2sin α≠0),求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23π6的值.解 (1)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050° =-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)=-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330° =-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=32×32+12×12=1. (2)∵f (α)=(-2sin α)(-cos α)+cos α1+sin 2α+sin α-cos 2α=2sin αcos α+cos α2sin 2α+sin α=cos α(1+2sin α)sin α(1+2sin α)=1tan α,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23π6=1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23π6=1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-4π+π6 =1tan π6= 3. 感悟升华 (1)诱导公式的两个应用①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. ②化简:统一角,统一名,同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.【训练2】 (1)已知A =sin (k π+α)sin α+cos (k π+α)cos α(k ∈Z ),则A 的值构成的集合是( )A .{1,-1,2,-2}B .{-1,1}C .{2,-2}D .{1,-1,0,2,-2}(2)化简:tan (π-α)cos (2π-α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-α+3π2cos (-α-π)sin (-π-α)=______.答案 (1)C (2)-1解析 (1)当k 为偶数时,A =sin αsin α+cos αcos α=2;k 为奇数时,A =-sin αsin α-cos αcos α=-2. (2)原式=-tan α·cos α·(-cos α)cos (π+α)·[-sin (π+α)]=tan α·cos α·cos α-cos α·sin α=sin αcos α·cos α-sin α=-1.考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合 应用【例3】 (1)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=33,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π+α=________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12+α=13,且-π<α<-π2,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12-α=( )A.223B.13 C .-13 D .-223(3)若1sin α+1cos α=3,则sin αcos α=( )A .-13 B.13 C .-13或1 D.13或-1答案 (1)-33 (2)D (3)A解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6+α+⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=π, ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6+α=tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=-33.(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫512π+α+⎝ ⎛⎭⎪⎫π12-α=π2, 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12-α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π12-α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12+α. 因为-π<α<-π2,所以-7π12<α+5π12<-π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12+α=13>0,所以-π2<α+5π12<-π12,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12+α=-1-cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12+α=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫132=-223. (3)由已知得sin α+cos α=3sin αcos α,∴1+2sin αcos α=3sin 2αcos 2 α,∴(sin αcos α-1)(3sin αcos α+1)=0,∵sin αcos α=12sin 2α≤12,∴sin αcos α=-13.感悟升华 (1)常见的互余的角:π3-α与π6+α;π3+α与π6-α;π4+α与π4-α等.(2)常见的互补的角:π3+θ与2π3-θ;π4+θ与3π4-θ等.【训练3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=12,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+α=________________________________________________________________________.(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x +π)=f (x )+sin x ,当0≤x <π时,f (x )=0,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6=( ) A.12 B.32 C .0 D .-12(3)设a ∈R ,b ∈[0,2π].若对任意实数x 都有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π3=sin(ax +b ),则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4答案 (1)12 (2)A (3)B解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α+⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+α=π2,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=12. (2)由f (x +π)=f (x )+sin x ,得f (x +2π)=f (x +π)+sin(x +π)=f (x )+sin x -sin x =f (x ),所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π+2π=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π+56π=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π+sin 56π.因为当0≤x <π时,f (x )=0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π=0+12=12.(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π3+2π=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +5π3,(a ,b )=⎝ ⎛⎭⎪⎫3,5π3,又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π3=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-3x +4π3,(a ,b )=⎝ ⎛⎭⎪⎫-3,4π3,注意到b ∈[0,2π],只有这两组.故选B.基础巩固题组一、选择题1.1-2sin (π+2)cos (π-2)=( ) A .sin 2-cos 2 B .sin 2+cos 2 C .±(sin 2-cos 2) D .cos 2-sin 2 答案 A 解析1-2sin (π+2)cos (π-2)=1-2sin 2cos 2=(sin 2-cos 2)2=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2. 2.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12-θ=13,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12+θ=( ) A.13 B.223 C .-13 D .-223 答案 A解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12+θ=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π12-θ=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12-θ =13.3.(2021·湖州中学质检一)若cos(π-α)=-12,则( )A .sin(-α)=32B .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=-32C .cos(π+α)=12D .cos(π+α)=-12答案 D解析 由cos(π-α)=-12得cos α=12,则sin α=±32,sin(-α)=-sin α=±32,选项A 错误;sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=cos α=12,选项B 错误;cos(π+α)=-cos α=-12,选项C 错误,选项D 正确,故选D.4.已知tan α=12,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π,3π2,则sin α=( )A .-55 B.55 C.255 D .-255 答案 A解析 ∵tan α=12>0,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π,3π2,∴sin α<0, ∴sin 2α=sin 2αsin 2α+cos 2α=tan 2αtan 2α+1=1414+1=15, ∴sin α=-55.5.已知sin α=55,则sin 4α-cos 4α的值为( )A .-15B .-35 C.15 D.35 答案 B解析 sin 4α-cos 4α=sin 2α-cos 2α=2sin 2α-1=-35.6.向量a =⎝ ⎛⎭⎪⎫13,tan α,b =(cos α,1),且a ∥b ,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=( ) A .-13 B.13 C .-23 D .-223 答案 A解析 ∵a =⎝ ⎛⎭⎪⎫13,tan α,b =(cos α,1),且a ∥b ,∴13×1-tan αcos α=0,∴sin α=13,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=-sin α=-13.7.已知tan α=3,则1+2sin αcos αsin 2α-cos 2α的值是( )A.12 B .2 C .-12 D .-2 答案 B解析 原式=sin 2α+cos 2α+2sin αcos αsin 2α-cos 2α=(sin α+cos α)2(sin α+cos α)(sin α-cos α)=sin α+cos αsin α-cos α=tan α+1tan α-1=3+13-1=2. 8.已知函数f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β),且f (4)=3,则f (2 019)的值为( ) A .-1 B .1 C .3 D .-3 答案 D解析 ∵f (4)=a sin(4π+α)+b cos(4π+β) =a sin α+b cos β=3,∴f (2 019)=a sin(2 019π+α)+b cos(2 019π+β) =a sin(π+α)+b cos(π+β)=-a sin α-b cos β =-3.二、填空题 9.sin 750°=________.答案 12解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12.10.(2021·上海长宁区质检)已知sin α=45,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2=________.答案 -45解析 由诱导公式知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2=-sin α=-45,故填-45.11.化简:sin 2(α+π)·cos (π+α)·cos (-α-2π)tan (π+α)·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α·sin (-α-2π)=________.答案 1解析 原式=sin 2α·(-cos α)·cos αtan α·cos 3α·(-sin α)=sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α=1.12.已知α为钝角,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=34,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=________.答案 -74解析 因为α为钝角,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=-74,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α =-74.13.已知θ是第四象限角,且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=35,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=________. 答案 -43解析 由题意,得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=45,∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4-π2=-1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=-43.14.若-π2<α<0,sin α+cos α=15,则(1)sin αcos α=________;(2)sin α-cos α=________.答案 (1)-1225 (2)-75解析 (1)将sin α+cos α=15两边同时平方可得,sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=125,即2sin αcos α=-2425,∴sin αcos α=-1225.(2)由(1)得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=4925.∵-π2<α<0,∴sin α<0,cos α>0,∴sin α-cos α<0,∴sin α-cos α=-75.能力提升题组15.若sin θ,cos θ是方程4x 2+2mx +m =0的两根,则m 的值为() A .1+ 5 B .1- 5 C .1±5 D .-1- 5答案 B解析 由题意知sin θ+cos θ=-m 2,sin θ·cos θ=m 4.又()sin θ+cos θ2=1+2sin θcos θ,∴m 24=1+m 2,解得m =1±5.又Δ=4m 2-16m ≥0,∴m ≤0或m ≥4,∴m =1- 5.16.已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|<π2,则θ=( )A .-π6B .-π3 C.π6 D.π3答案 D解析 ∵sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),∴-sin θ=-3cos θ,∴tan θ=3,∵|θ|<π2,∴θ=π3.17.sin 21°+sin 22°+…+sin 290°=________;cos 21°+cos 22°+…+cos 290°=________.答案 912 892解析 sin 21°+sin 22°+…+sin 290°=sin 21°+sin 22°+…+sin 244°+sin 245°+cos 244°+cos 243°+…+cos 21°+sin 290°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(sin 244°+cos 244°)+sin 245°+sin 290°=44+12+1=912.∴cos 21°+cos 22°+…+cos 290°=90-(sin 21°+sin 22°+…+sin 290°)=892.18.(2020·绍兴一中适应性考试)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=13,则cos α=________,cos 2α+cos α=________.答案 13 -49解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=13得cos α=13,故由倍角公式得cos 2α+cos α=2cos 2α+cos α-1=-49.19.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=a ,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6+θ+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-θ= ________.答案 0解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6+θ=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ =-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=-a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-θ=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2+⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=a , ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6+θ+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-θ=0. 20.已知:f (α)=sin (-α)cos (π+α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αcos (π-α)sin (2π+α)tan (π+α). (1)化简f (α)的结果为________;(2)若角α的终边在第二象限且sin α=35,则f (α)=________.答案(1)-cos α(2)4 5解析(1)f(α)=sin(-α)cos(π+α)cos⎝⎛⎭⎪⎫π2-αcos(π-α)sin(2π+α)tan(π+α)=-sin α(-cos α)sin α-cos αsin αtan α=-cos α.(2)由题意知cos α=-1-sin2α=-45,∴f(α)=-cos α=4 5.。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知,则= ;【答案】【解析】分子分母同除,便会出现,【考点】三角函数的计算2.已知,则( )A. B. C D.【答案】B【解析】.【考点】同角三角函数的基本关系.3.化简的结果 .【答案】【解析】,当为奇数时,,原式;当为偶数时,,原式;综上原式【考点】三角函数化简.4.已知,且∥.求值:(1);(2).【答案】(1);(2) .【解析】解题思路:(1)由得出关于的关系,利用求得;(2)利用,分子、父母同除以,得到的式子,再代入求值.规律总结:平面向量与三角函数结合是命题热点,主要借助平面向量平行、垂直的条件推得关于的关系式,然后利用三角函数的有关公式或性质进行变换.试题解析:(1),,.(2).【考点】平面向量平行的判定、同角三角函数基本关系式.5.已知且是第四象限角,则A.B.C.D.【答案】A【解析】∵=,∴,又∵是第四象限角,∴==,故选A.由诱导公式知,=,∴,由是第四象限角知,,结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==.【考点】诱导公式;同角三角函数基本关系式;三角函数在各象限的符号6.若则.【答案】【解析】由故【考点】同角三角函数基本关系式7.已知,则的值为.【答案】-11【解析】【考点】弦化切8.化简:.【答案】【解析】此类化简题的关键在于诱导公式的使用,要能够理解诱导公式口决“奇变偶不变,符号看象限”的意义,奇偶指的是的倍数如,中是的偶数倍,4倍,中是的奇数倍,11倍;符号看象限,指的是使用诱导公式时,将看成锐角时的所在的象限,不管题中的范围,如中,为锐角时,为第四象限角,则符号为负,故可知.当然也可用诱导公式层层推进.本题由诱导公式易化简.解:原式=.【考点】诱导公式.9.已知,则=()A.B.C.D.【答案】C【解析】∵,∴,∴.【考点】1.诱导公式;2.同角三角函数基本关系.10.的值等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】,故选C.【考点】诱导公式11.已知是第二象限角,()A.B.C.D.【答案】A【解析】由是第二象限角,则.【考点】同角三角函数的基本关系式,三角函数的符号.12.的化简结果是()A.B.C.D.【答案】D【解析】是第二限角,则,所以==.【考点】诱导公式,同角三角函数的基本关系式.13.已知角的终边过点.(1)求的值;(2)若为第三象限角,且,求的值.【答案】;【解析】(1)由角的终边过点求出,利用诱导公式化简即可;(2)由为第三象限角,,可求出,结合(1)求出,利用展开式即可(1)因为的终边过点,所以,而;(2)因为为第三象限角,且,,故【考点】三角函数的定义,诱导公式,同角三角函数基本关系式,两角和与差的三角函数14.已知sinθ=,sin2θ<0,则tanθ等于 ( )A.-B.C.-或D.【答案】A【解析】由题意,∵sinθ=,sin2θ<0,∴cosθ<0∴cosθ=−=−∴tanθ==−,故选A.【考点】同角三角函数间的基本关系.15.已知是第二象限角,()A.B.C.D.-【答案】D【解析】∵是第二象限角,∴,故选D.【考点】同角三角函数基本关系.16.知为锐角,且2,=1,则=()A.B.C.D.【答案】C【解析】诱导公式化简为,解得:,得,故选C.【考点】1.诱导公式;2.同角三角函数基本关系式.17.化简:.【答案】.【解析】本小题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系式及辅助角公式,属于容易题.根据诱导公式及同角三角函数的商数关系:进行展开运算得到,再运用辅助角公式(其中)或运用两角和差公式进行化简即可.试题解析: 4分8分10分.【考点】1.诱导公式;2.同角三角函数的基本关系式;3.辅助角公式(两角和差公式);4.三角恒等变换.18.已知,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】法一:由,而,故,;法二:.【考点】同角三角函数的基本关系式.19.已知向量与,其中.(1)问向量能平行吗?请说明理由;(2)若,求和的值;(3)在(2)的条件下,若,求的值.【答案】(1)不能平行;(2),;(3).【解析】(1)先假设,列方程得,然后利用正弦的二倍角公式化简得,再判断此方程是否有解,若有解,可判断、可能平行;若无解,则可判断、不可能平行;(2)将向量的垂直问题转化为向量的数量积问题,得到,联立方程,并结合,即可求出;(3)先由同角三角函数的基本关系式计算出,然后再根据两角和的余弦公式展开计算得的值,最后结合的取值范围确定的值即可.试题解析:解:(1)向量不能平行若平行,需,即,而则向量不能平行 4分(2)因为,所以 5分即又 6分,即,又 8分(3)由(2)知,得 9分则 11分又,则 12分.【考点】1.向量平行、垂直的判定与应用;2.同角三角函数的基本关系式;3.两角和与差的三角函数.20.函数的值域是__ ____.【答案】【解析】正切函数在是单调递增的,所以在处取得最小值,在处取得最大值.【考点】正切函数图像及性质.21.的值为________.【答案】【解析】,故.【考点】1.诱导公式;2.三角恒等变换.22.已知,求下列各式的值:(1);(2).【答案】(1)(2)【解析】(1)利用,对原式分子分母同除以得关于的解析式,代入就可求出代数式的值,(2) 利用分母,将原式化为关于二次齐次式,再利用,对原式分子分母同除以得关于的解析式,代入就可求出代数式的值,本题主要考查利用"弦化切"方法求值.本题也可从出发得代入(1)立得,但代入(2)后只得到,还需结合得出,才可最终求值.试题解析:(1)原式(2)原式12分【考点】同角三角函数关系,弦化切.23.已知,则________________;【答案】.【解析】利用公式,把平方得,从而,由于,则,这类问题中确定它们的正负是我们解题时要特别注意的,于是.【考点】同角三角函数关系(平方关系).24.函数的图象向右平移个单位后,与函数的图象重合,则___ .【答案】【解析】的图象向右平移个单位后,得到函数的图象,所以,,即,故。
学思堂教育个性化教程教案数学科教学设计教学过程【训练3】(1)已知sin⎝⎛⎭⎪⎫7π12+α=23,则cos⎝⎛⎭⎪⎫α-11π12=________;(2)若tan(π+α)=-12,则tan(3π-α)=________.1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍.2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式tan x=sin xcos x化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法:如利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tanπ4.课堂巩固一、填空题1.已知α和β的终边关于直线y=x对称,且β=-π3,则sin α=________.2.(2014·合肥模拟)sin 585°的值为________.3.(2014·郑州模拟)1-2sin(π+2)cos(π-2)=________.4.若3sin α+cos α=0,则1cos2α+sin 2α的值为________.5.若sin α是5x2-7x-6=0的根,则sin⎝⎛⎭⎪⎫-α-3π2sin⎝⎛⎭⎪⎫3π2-αtan2(2π-α)cos⎝⎛⎭⎪⎫π2-αcos⎝⎛⎭⎪⎫π2+αsin(π+α)=________.6.(2014·杭州模拟)如果sin(π+A)=12,那么cos⎝⎛⎭⎪⎫32π-A的值是________.教学效果分析。
第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式
基础过关题
1.同角公式:
(1) 平方关系:sin 2α+cos 2α=1,1+tan 2α= ,1+cot 2α= (2) 商数关系:tanα= ,cotα=
(3) 倒数关系:tanα =1,sinα =1,cotα =1 2.诱导公式:
-α
π-α π+α 2π-α 2kπ+α sin cos
απ
-2
απ
+2
απ
-2
3 απ
+2
3 sin cos
规律:奇变偶不变,符号看象限
3.同角三角函数的关系式的基本用途:
根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角三角函数式;证明同角的三角恒等式. 4.诱导公式的作用:
诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值.
典型例题
例1. 已知f(α)=)
sin()tan()
tan()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---;
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限角,且cos 5
1
23=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
πα,求f(α)的值.
变式训练1:已知A =
)(cos )
cos(sin )sin(Z k k k ∈+++α
απααπ则A 构成的集合是 ( )
A .{-1, 1, -2, 2}
B .{1, -1}
C .{2, -2}
D .{-2, -1, 01, 2}
例2.求值:(1) 已知5
3)7cos(,2-=-<<παπαπ,求)2
cos(απ
+的值.
2) 已知11tan tan -=-αα,求下列各式的值.①α
αα
αcos sin cos 3sin +-;②2cos sin sin 2++ααα
变式训练2:化简:① )
4sin()
8cos(tan )5sin(πθθπθπθ---⋅⋅-, ② )4cos()4sin(παπα++-
例3. 已知-
02
<<x π
,sin x +cos x =
5
1
. (1)求sin x -cos x 的值.
(2)求x
x
x tan 1sin 22sin 2-+的值.
变式训练3:已知sin θ +cos θ=5
1,θ∈(0,π).求值: (1)tan θ;(2)sin θ-cos θ;(3)sin 3θ+cos 3θ.
例4.已知tan α=2,求下列各式的值: (1)α
αα
αcos 9sin 4cos 3sin 2--;
(2)
α
ααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--;
(3)4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α.
变式训练4:已知sin(θ+k π)=-2cos(θ+k π) (k ∈Z ). 求:(1)
θ
θθ
θsin 3cos 5cos 2sin 4+-;
(2)4
1sin 2θ+5
2cos 2θ.
总结归纳
1.求函数的定义域一般有三类问题:一是给出解释式(如例1),应抓住使整个解式有意义的自变量的集合;二是未给出解析式(如例2),就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域;三是实际问题,此时函数的定义域除使解析式有意义外,还应使实际问题或几何问题有意义.
2.求函数的值域没有通用方法和固定模式,除了掌握常用方法(如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法)外,应根据问题的不同特点,综合而灵活地选择方法.。