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球与各种几何形状切、接问题专题
引言
本文将讨论关于球与各种几何形状切、接的问题。
从数学角度出发，我们将研究球体在与不同几何形状相交或接触时的特性和可能的解决方法。
切球问题
切球问题指的是将一个球体分割成两个或多个部分的操作。
常见的切球问题有以下几种情况：
1. 平面切球：如何用一个平面将球体分割成两个互补的部分？
2. 曲面切球：如何用一个曲面将球体分割成两个或多个部分？
3. 交线切球：如何使用交线来将球体分割成两个或多个部分？
4. 条带切球：如何使用一个或多个条带来将球体分割成两个或多个部分？
针对每种切球问题，我们将进行详细的数学分析，提出解决方案，并附上相应的图解和实例。
接球问题
接球问题主要讨论的是如何将球体与其他几何形状连接在一起。
我们将研究以下几种常见的接球问题：
1. 线球接：如何用线段将两个球体连接在一起？
2. 曲线球接：如何使用曲线将球体与其他几何形状连接在一起？
3. 平面球接：如何使用平面将球体与其他几何形状连接在一起？
在解决每个接球问题时，我们将提供具体的步骤和示例，并对
不同情况下的解决方案进行讨论。
结论
通过本文的讨论，我们将深入了解球与各种几何形状切、接的
问题。
我们将提供具体的解决方案和示例，帮助读者理解这些问题
的数学背后，并掌握解决它们的方法和技巧。
> 注意：以上所提供的内容仅供参考，并不对其准确性或实用性提供保证。
为了特定情况下的应用，建议进一步深入研究和咨询相关专业人士。
球与各种几何结构切、接问题专题在几何学中，球是一种广泛应用的基本几何形状。
由于球的圆滑性和对称性，与其他几何结构的切和接问题成为了一个专题。
本文将讨论球与各种几何结构的切和接问题，并探讨其中的一些关键概念和方法。
1. 球与平面的切、接问题首先，我们来探讨球与平面的切和接问题。
当一个平面与球相交时，可能会出现以下几种情况：- 平面与球相切于一个点：这种情况下，平面与球只有一个公共点，即切点。
- 平面穿过球：当平面穿过球时，会形成一个圆。
该圆称为球在平面上的截面。
- 平面与球没有公共点：这种情况下，平面与球没有任何交点。
对于球与平面的切和接问题，可以使用几何相关的原理和方法来求解。
通过计算平面与球之间的交点，可以确定切点的坐标和截面的相关属性。
2. 球与圆柱的切、接问题接下来，我们来研究球与圆柱的切和接问题。
与平面不同，圆柱具有曲面的特性。
当一个球与圆柱相交时，可能会出现以下几种情况：- 球与圆柱相切于一个点：这种情况下，球与圆柱只有一个公共点，即切点。
- 球穿过圆柱：当球穿过圆柱时，会形成一个椭圆或一个圆。
该椭圆或圆称为球在圆柱上的截面。
- 球与圆柱没有公共点：这种情况下，球与圆柱没有任何交点。
对于球与圆柱的切和接问题，我们可以计算球与圆柱之间的交点来确定切点的坐标和截面的相关属性。
通过对相交的椭圆或圆进行进一步的计算和分析，可以获得更多关于球和圆柱之间的几何信息。
3. 球与其他几何结构的切、接问题除了平面和圆柱，球还可以与其他几何结构相交，如锥、棱柱等。
在这些情况下，球与几何结构的切点和截面可以采用类似的方法来计算和确定。
需要注意的是，在实际问题中，可能还会涉及到一些特殊情况，如球与几何结构的内部切和接、球与非欧几何结构的切和接等。
针对这些特殊情况，我们需要运用更加复杂和细致的几何分析方法来求解。
4. 结论综上所述，球与各种几何结构的切和接问题是几何学中一个重要的专题。
通过运用几何相关的原理和方法，我们可以计算和确定球与各种几何结构的切点和截面，进而获得有关几何形状的相关属性和信息。
【MeiWei_8i 重点借鉴文档】与球有关的切、接问题i .球的表面积公式：S= 4 n 2；球的体积公式 v =3 T R 332 •与球有关的切、接问题中常见的组合： 1⑴正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为 a ，内切球的半径为r , /『址''、 外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在 "气雾 截面三角形SDC 内作一个与边 SD 和DC相切，圆心在高 SE 上的圆.因为(2)正方体与球：① 正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，如图所示.设正方体的棱长为 a ,则0J1= r = a(r 为内切球半径).② 与正方体各棱相切的球：截面图为正方形 EFHG 的外接圆，则 |G0|= R = ■^2a.(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方 体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.即三棱锥A i -AB i D i的外接球的球心和正方体 ABCD-A i B i C i D i 的外接球的球心重合.如图，设AA i = a ,贝V R = 2 a.②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外2 2 | 2 22a +b +c i R= 4 = 4（l 为长方体的体对角线长）.角度一：正四面体的内切球正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为0.此时，CO = 0S = R , OE = r , SER 2- r2=|CE|2=t ，解得 R=T ,_612 a .③ 正方体的外接球：截面图为正方形ACCA 的外接圆，则|A i O|= R接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.1 . (2015长春模拟)若一个正四面体的表面积为S i,其内切球的表面积为S2,则詈=解析：设正四面体棱长为 a ,则正四面体表面积为 S i = 4 •j 3 a 2 = V 3a 2，其内切球半径为正四面体高的4,即r = if a ，因此内切球表面积为 角度二：直三棱柱的外接球 2. （2015唐山统考）如图，直三棱柱 ABC-A i B i C i 的六个顶点都在半径 为1的半球面上，AB = AC ,侧面BCC i B i 是半球底面圆的内接正方形，则 侧面ABB i A i 的面积为（ ） 2 S 2 = 4 n = 2 na ~6 A . 2 B . iC. 2 D. 解析：选C 由题意知，球心在侧面BCC i B i 的中心O 上，BC 为截面 圆的直径，•••ZBAC = 90 ° △KBC 的外接圆圆心 N 是BC 的中点，同理△A i B i C i 的外心 M 是B i C i 的中心.设正方形 BCC i B i 的边长为 R , Rt △OMC i 中， X X ,,,,,, I x \ IX \ r OM = 2，MC i = 2，OC i = R = i （R 为球的半径），• 2 + 2 = i ，即卩 R = 2,则 AB = AC = i , •S 矩形 ABB i A i = ：：：»2 X i =，j 2. 角度三：正方体的外接球 3 •一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示 （图中 三个四边形都是边长为 2的正方形），则该几何体外接球的体积为 俯视图解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；2R = 2.3（R 为球的半径），.・.R =〔 3,二球的体积V = 詁3= 4 3 n. 答案：4 ,3n 角度四：四棱锥的外接球 4. （20RR 大纲卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（ ） 81 n27 n A.〒B . 16 € . 9—解析：选A 如图所示，设球半径为R,底面中心为0 '且球心为0,T 正四棱锥P-ABCD 中 AB = 2,「.A0 ' = 2.•.•PO ' = 4,.••在 Rt△KOO '中，AO 2= AO ' 2+ OO ' 2,A R 2= ( 2)2+ (4- R)2，解得9，.••该球的表面积为4 T R 2= 4 %X 卽=字 故选A.［类题通法］“切”“接”问题的处理规律1.“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过 作截面来解决•如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.2.“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题•解决这类问题的关键是抓住 外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.［牛刀小试］1 . （2015云南一检）如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 的圆，那么这个空间几何体的表面积等于（ ）解析：选A 易知该几何体为球，其半径为5,则表面积为S = 4U R 2= 100 n.2. （20RR 陕西高考）已知底面边长为1,侧棱长为.2的正四棱柱的各顶点均在同一个 球面上，则该球的体积为（）32 nA. . 4 T C . 2 n3解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径 =玮石齐花2=1，所以v 球=4n ><13=节故选D .3 .已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为 3的球面上，当正六棱柱的底面边长为【MeiWei 81重点借鉴文档】A . 100 n B.^^^C. 25 n25 n DP4 n D E4 n V= 4"x f5、3_ 125n5 •一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为 __________解析：设等边三角形的边长为 2a ,则V 圆锥=寸•na 3 ;又 R 2 = a 2+ （ 3a -33R ）2,所以R = 故V 球=43n \2^a I 3=3爭n3,则其体积比为 备［高考全国课标卷真题追踪］1. （15课标1理）已知A, B 是球0的球面上两点，• AOB =90°, C 为该球面上的动点,若O - ABC 三棱锥体积的最大值为 36,则球O 的表面积为（C ）（A ） 36： （B ） 64 二（C ） 144二（D ） 256 ■: 2. （13课标1理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器高8cm,将一个球放在容器口 ，再向容器注水，当球面恰好接 触水面时测得水深为 6cm,如不计容器的厚度，则球的体积为（A ）(A)叫m 33(B )866ncm 33(C )咤cm 3(D )2048ncm 33. （12课标理）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球 0的球面上，，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球0的直径，且SC = 2,则此棱锥的体积为（A ）（卡歆昨（心6时，其高的值为（ ）A . 3萌BpC . 2 竝D . 2眾h2解析：选D 设正六棱柱的高为h ，则可得（6）2+牛=32,解得h = 2 3.4. （2015 •西四校联考）将长、宽分别为 4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A-BCD ，则四面体A-BCD 的外接球的体积为 _______________ .解析：设AC 与BD 相交于O ,折起来后仍然有 OA = OB = OC = OD ,•••外接球的半径2从而体积4. （12课标文）平面：•截球0的球面所得圆的半径为1,球心0到平面〉的距离为，2,则此球的体积为（B ）（A ） 6 n （B ） 4 3n （C ） 4 6 n （D ） 6 3n 5. （10新课标理）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（B ）6. （10新课标文）设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a ,其顶点都在一个球面上的表面积为（B ）2 2 2 2（A ） 3二 a （B ） 6二 a （C ） 12 二a （D ） 24 二 a7. （07新课标文）已知三棱锥 S - ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上，球心0在AB 上, SO_底面ABC , AC =£齐，则球的体积与三棱锥体积之比是（D ）A . nB . 2 nC . 3 nD . 4 n8. （13新课标2文）已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 »2,底面边长为.3,则以O 为2球心，OA 为半径的球的表面积为 24二。
图 6图3图4图5处理球的“内切”“外接”问题一、球与棱柱的组合体问题： 1、正方体的内切球：设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。
（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2aR =；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
（3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
2.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,求这个球的表面积是______.解析：把该三棱锥嵌入棱长为a 的正方体中，则正方体的对角线长即为球的直径，故有 ()22222a a a R ++=，即2234a R =，所以球的表面积是2234a R ππ=。
3.已知底面边长为a 正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱 的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：如图6，由题意得两球心1O 、2O 是重合的， 过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面， 设正三棱柱底面边长为a ，则a R 632=， 正三棱柱的高为a R h 3322==，由O D A Rt 11∆中， 得22222221125633333a a a R a R =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，a R 1251=∴ 1:5::222121==∴R R S S ， 1:55:21=V V 二、棱锥的内切、外接球问题4 .棱长为a 的正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
与球相关的“切”“接”问题的解决方法作者：苗本彩张林德来源：《福建中学数学》2018年第03期与球相关的内切与外接问题是近几年高考热点之一，综合化倾向尤为明显，其求解需要学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼，究其原因，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理，下面对球与几何体的切接问题展开探究，以求更好地把握此类问题的解决思路.1 补形法因正方體、长方体的外接球半径容易求得，故将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求得.分析球心如何确定？主要依据是球的界面性质：过截面圆心与截面垂直的直线必过球心，球心在过BC中点的平面BCD的垂线上，且在过BD中点M的平面ABD的垂线上，两面垂直，所以两垂线交点为N（图4），于是半径可定，但较麻烦，另外，如果注意到CD⊥AD，AD⊥AB，联想到长方体中的棱的特征，不难有补体的想法（图5）.答案：A.2 截面法解答时首先要找准切点，通过做截面来解决，如果内切的是多面体，则作截面时要抓住多面体过球心的对角面来作.例5 已知底面边长为a正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积之比与表面积之比1.分析先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系，如图9、图10，由题意得两球心O1，O2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA1和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，3 构造直角三角形法首先确定球心位置，借助外接球的性质——球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造直角三角形，利用勾股定理求半径.5 向量法例9 己知在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，且PA=2PB=2PC=2，求该三棱锥外接球的表面积.分析本题的关键是求出外接球的半径r，除了补形法或轴截面法外，还可用向量法求半径.球的切接问题变化多端，但最终转化为规则几何体（正方体、长方体、正四面体、正三棱锥）的问题处理，这是不变的规则.。
专题：球的切接问题 一．知识点1． 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图1，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2a R =；2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点， 如图2作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
3正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
4.正四面体的外接球和内切球如图4所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ． 正四面体的表面积223434a a S =⨯=表． 正四面体的体积22221234331BE AB a AE a V BCD A -=⨯⨯=- 322212233123a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 图1 图2图3图4BCD A V r S -=⋅表31，a aaS V r BCD A 12631223323=⨯==∴-表在BEO Rt ∆中，222EO BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得a R 46=，得r R 3= 小结:正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的345.长方体的外接球：即正方体的各顶点都在球面上。
设长方体的棱长分别为a ，b ，c 。
怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？结论：由图形（4）我们可以发现外接球的半径2222c b a R ++=二、题型与方法归类 例1、（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以有球的半径R ＝332，则该球的表面积为S ＝4πR 2＝27π.故填27π (2) 求棱长为1的正四面体外接球的体积．设SO 1是正四面体S －ABC 的高，外接球的球心O 在SO 1上，设外接球半径为R ，AO 1＝r ， 则在△ABC 中，用解直角三角形知识得r ＝33， 从而SO 1＝SA 2－AO 21＝1－13＝23， 在Rt △AOO 1中，由勾股定理得R 2＝(23－R )2＋(33)2，解得R ＝64， ∴V 球＝43πR 3＝43π(64)3＝68π.变式练习:1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积( C )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π2已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( D ) A ．2 2 B.233 C.423 D.433解析 由题意知V ＝43πR 3＝32π3，∴R ＝2，外接球直径为4，即正方体的体对角线，设棱长为a ，则体对角线l ＝3a ＝4，a ＝433.3.半径为R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________，体积为________．【解析】 外切圆柱的底面半径为R ，高为2R ，∴S 表＝S 侧＋2S 底＝2πR ·2R ＋2πR 2＝6πR 2，V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3. 【答案】 6πR 2；2πR 3例2、已知A 、B 、C 、D 是球O 面上的四个点，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA ＝1,OB ＝2,OC ＝3，求球的体积与表面积。
