第5章全同粒子及二次量子化

量子力学知识：量子物理中的二次量子化二次量子化是一种广泛应用于量子物理中的数学形式，它是一种用二次量子化方程描述多体问题的方法。

在量子力学中，一个粒子的运动是由波函数描述的，而多个粒子的运动则需要用到多粒子波函数。

如果我们考虑三个粒子的问题，那么我们需要用到三粒子波函数。

多体问题包括原子、分子、晶体、凝聚体等，研究多体问题可以帮助我们更深入地理解物质。

传统的一次量子化方法只能描述单个粒子的运动情况，而在多体问题中，我们需要更高维度的描述。

我们需要考虑所有粒子之间的量子相互作用，这些相互作用不能由波函数描述。

为了解决这个问题，科学家们提出了二次量子化方法，这种方法可以帮助我们更好地处理多体问题。

二次量子化的基本思想是将多种粒子基态的相互作用转化为多个不同粒子状态之间的相互作用。

这种转化可以使原本复杂的多体问题简化为一个更简单的问题。

通过将多体波函数的二次量子化形式写出来，我们可以得到一些有关多体相互作用的重要信息。

在二次量子化方法中，我们首先定义一个产生和湮灭粒子的算符，这些算符能够在多粒子系统中产生或消灭一个粒子，从而形成新的多粒子系统。

接着我们定义一个Hamilton算子，这个算子描述了整个多体系统的能量和动量。

我们可以将多体波函数写成这些产生和湮灭算符的乘积形式，并将Hamilton算子表示为这些算符的多项式，从而得到一个描述多体相互作用的二次量子化方程。

二次量子化方法不仅可以帮助我们更好地处理多体问题，还可以帮助我们理解许多量子现象。

例如，通过二次量子化方法，我们可以更好地理解玻色-爱因斯坦凝聚现象。

在这种凝聚体中，所有粒子都处于同一个量子态，它们的波函数相干性非常强。

如果我们考虑这种相干性，那么我们可以把所有粒子看做一个巨大的波函数。

二次量子化方法可以将这个波函数的形式写出来，并帮助我们理解这个现象的同时，还可以为我们提供其他更深层次的信息。

除了玻色-爱因斯坦凝聚现象，二次量子化方法还可以用于解释许多其他量子现象，例如超流性、超导性等。

二次量子化基础大体思想一次量子化大体方程为Schr odinger 方程 ψψμψ),(222t r V t i +∇-=∂∂. 任意状态),(t x ψ可在Hilbert 空间按基矢)(x i ϕ展开为 ∑=)()(),(x t a t x i i ϕψ,基矢)(x i ϕ可为某不含时Hamiltonian 的本征态)()()()(2)(22r E r r U r r H i i i i i ϕϕϕμϕ=+∇-=.二次量子化的大体思想确实是将按基矢)(x i ϕ展开的Schr odinger 方程（或其它场方程）的解),(t x ψ看做场算符，展开系数+i i a a ,为相应于单粒子态)(x i ϕ的湮灭算符和产生算符。

1. Hartree-Fock 自洽场方式H-F 方式是一种有效的近似方式，在计算原子中电子壳模型势和原子核壳模型势时取得较好结果。

这种方式便于作独立粒子近似，即设粒子近似独立地在其它粒子的平均场中运动。

考虑由N 个全同Fermi 子组成的系统, 设粒子间有二体彼此作用，Hamiltonian 为∑∑≠+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=i ji j i i i r r V t r V m H ),(21),(222 （1）计及互换反对称性，试探波函数可表或Slater 行列式)()( )()()()()()()(!1),,2,1(21N 2221212111N N N N N q q q q q q q q q N N ϕϕϕϕϕϕϕϕϕψ =（2）式中i ϕ为正交归一的单粒子态。

利用（2），能量平均值为∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇->==<*i i ir t x V m r x d H H )(),(2)(||223ϕϕψψ∑⎰⎰∑⎰⎰≠**≠**''''-''''+ji j i j i ji j i j i r r r r V r r x xd d r r r r V r r x xd d )()(),()()(21)()(),()()(213333ϕϕϕϕϕϕϕϕ （3）利用散度定理和i ϕ在边界为零，上式第1项为⎰∑∇•∇*i i x d mϕϕ322 , 即⎰∑⎰∑⎰∑=∇•∇+∇=∇•∇***iii ii i i i x d x d x d 0)(3323ϕϕϕϕϕϕ. 证明：N =2时，)]()()()([2112212211r r r r ϕϕϕϕψ-=, )]()()()([21||12212211231321r r r r x d x d ****->=∇<⎰⎰ϕϕϕϕψψ )]()()()([1221221121r r r r ϕϕϕϕ-∇•)]()()()( )()()()()()()()( )()()()([2112211221211121122221122111212211211122222313r r r r r r r r r r r r r r r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∇+∇-∇-∇=********⎰⎰利用i ϕ的正交归一性，对r 2积分后得⎰∇+∇>=∇<**)],()()()([21||1221121121111321r r r r x d ϕϕϕϕψψ 同理⎰∇+∇>=∇<**)]()()()([21||2222222122212322r r r r x d ϕϕϕϕψψ 因此，略去x 和r 的下脚标后，有∑⎰∑=*=∇=>∇<2123212)()(21||i i i j jr r x d ϕϕψψ （4） ⎰⎰****->=<),()]()()()([21|),(|212112************r r V r r r r x d x d r r V ϕϕϕϕψψ )]()()()([12212211r r r r ϕϕϕϕ-⎰⎰****+=)]()(),()()()()(),()()([21122121122122112122112313r r r r V r r r r r r V r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕ)]()(),()()()()(),()()(22112112211221212211r r r r V r r r r r r V r r ϕϕϕϕϕϕϕϕ****--（5）此即（3）式中后两项的展开形式，证毕。

写出全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式1. 引言1.1 概述本文旨在探讨全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式。

在量子力学中，全同粒子系统是一类具有相同物理性质的粒子组成的系统，它们之间没有任何区别。

而总轨道角动量lz和l2则是描述这些粒子在空间中运动时所拥有的角动量。

1.2 文章结构本文按照以下结构进行论述：首先，我们将介绍全同粒子系统总轨道角动量lz 的定义，并给出相关概念和数学表示；其次，我们将阐述lz的本征值及其对应的本征态表示；最后，我们将推导和解释lz的二次量子化表达式。

随后，我们将进行类似的分析并讨论全同粒子系统总轨道角动量l2的二次量子化形式。

1.3 目的本文旨在深入理解全同粒子系统总轨道角动量lz和l2，并通过推导和解释其二次量子化形式，进一步揭示全同粒子系统中这两个重要物理概念的内涵和意义。

这对于更好地理解多粒子体系及其特性、研究复杂体系的性质和行为具有重要的理论与实际意义。

同时，本文还将探讨相关研究的未来发展方向。

以上是“1. 引言”部分内容的详细清晰撰写。

2. 全同粒子系统总轨道角动量lz的二次量子化形式2.1 全同粒子系统总轨道角动量lz的定义在全同粒子系统中，总轨道角动量lz表示所有单个粒子的轨道角动量在z方向上的矢量和。

它是各个粒子的单个轨道角动量lz值之和。

2.2 lz的本征值和本征态表示根据量子力学理论，lz具有离散值，可用来描述全同粒子系统在z方向上的旋转运动。

其本征值为mħ，其中m为整数或半整数，ħ为约化普朗克常数。

对于N个全同粒子构成的系统，其总轨道角动量lz可以通过求解含有N个因素化项的哈密顿算符得到。

由于全同粒子系统需要满足泡利不相容原理，因此泡利原理会导致只有一部分选定组态有效。

2.3 lz的二次量子化表达式推导与解释在二次量子化中，我们使用产生算符a†和湮灭算符a来描述波函数。

这些算符与单个粒子态以及多体态之间的关系如下所示：$$\begin{align*}a^\dagger_i |0⟩ & = \text{产生一个粒子在单粒子态} |i⟩ \\a_i |0⟩ & = 0\end{align*}$$其中，$|0⟩$表示全空模式，没有任何粒子。

二次量子化说到二次量子化得先说说粒子得统计法，微观粒子按照统计法可分为波色子和费米子统计法。

波色子统计法；相同粒子时不可分辨的。

而同时处在亦个单粒子态上的粒子数不受限制。

所谓得不可分辨性时指粒子的交换不改变系统得状态。

泡利不相容原理，不可能由俩个或者多个电子同时处在亦个态上。

实验表明：具有整数得自旋值得粒子遵从波色统计，具有半整数得自旋粒子则遵从费米统计。

用12(,......)n ϕεεε代表N 个相同粒子得ε表象得波函数在交换粒子时状态保持不变。

因而波函数只能改变亦个 常数因子。

即()()121212,......,......n n ϕεεελεεε= 121λ= 俩此交换这对粒子，得2121λ= 故121λ=± 1213141.........n λλλλ===可知波函数只能时全对称或全反对称得。

由叠加原理可知，对一定系统来说，波函数空间或者只包含全对称函数或者全反对称函数。

由此波函数得对称或者反对称取决于粒子得类型。

按照粒子得这个性质，可以把它们分为两类。

一类粒子得多体波函数时全对称得，另亦类粒子得多体波函数时反对称得。

例如一种最简单得全对称波函数是()()()12.........n αααϕεϕεϕε这个波函数表示任意N 个粒子处在同一个单离子态上，可见这种类型得粒子时波色子。

不难看出，表示系统中由俩个或者多个相同粒子处在同一个单粒子态得波函数对于这些粒子得交换必然述对称得。

因此与系统的全反对称波函数正交，即时说，在全反对称波函数描写得状态夏发现俩个或者多个粒子处于同一个单粒子态得概率等于零。

可见由全反对称波函数描述得粒子遵从泡利不相容原理。

二次量子化就是亦数学形式，通过生产算符和消灭算符作用在一个N 粒子B 值确定得状态上，所得状态时在原状态增加或者减少一个亦个B 值为b 得粒子。

产生算符和消灭算符由于()12.....N N 得全部允许值决定一组正交归一和完备得基本右矢12.....N N ，这组右矢可以看做广义态矢量空间得亦组算符得共同本征右矢，而12N N 时各个算符得本征值。

二次量子化二次量子化又叫正则量子化，是对量子力学的一种新的数学表述。

普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。

但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮灭，普通量子力学的数学表述方法不再适用。

二次量子化通过引入产生算符和湮灭算符处理粒子的产生和湮灭，是建立相对论量子力学和量子场论的必要数学手段。

相比普通量子力学表述方式，二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子的对称性和反对称性，所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中，也被广泛应用。

然而，现在的二次量子化理论反映物质埸的特征是不够全面的。

其一：只用作为埸的自由度的广义坐标，是一维的无穷多个指标的广义坐标，也就是说尽管是多个指标，它在空间的自由度却仅有一维。

无穷多个指标的广义坐标，只分别对应无穷多个光量子，描写它们一维的状态。

为了描写物质埸的矢量性，物质埸的自由度的广义坐标也应该是多维的广义坐标，必须把推广成，对应物质埸在处的振动的动量，对应物质波的几率密度，即传统的二次量子化理论中的态函数。

在各类物理文献（包括科普）中，我们都能经常看到一个术语，即二次量子化，一般指场量子化或从量子力学到量子场论的这个“提升”过程。

然而，所谓的二次量子化其实是一个错误的概念，至少是一个应该被摒弃的不恰当的概念，其产生及仍被使用有着一定的历史根源。

但这并不仅仅是历史错误被认识后人们懒得改变的习惯用法，否则也没有特别说明的必要了，而是依然存在于物理文献中的误解，它还在误导着更多的人。

量子场论的产生是这样一个过程。

物理学家们首先建立了基于平直时空点粒子的量子力学，以薛定谔方程来描述，然后为了统一量子力学和狭义相对论，或者说为了找到符合狭义相对性原理的量子力学，他们认为有必要“推广”薛定谔方程，从而找到了克莱恩－戈登方程和狄拉克方程等等并认为他们就是“推广”的薛定谔方程，进一步研究发现这些方程的变量并不是描述点粒子的动力学量，而是所谓的场，一类在时空每一点都有取值的函数，对这类场进行量子化最终促成了量子场论—同时满足狭义相对论和量子力学的新理论的诞生。

《二次量子化推导：走进量子世界的奇妙之旅》嘿，朋友们！今天咱们要来唠唠这个听起来就特别高大上的“二次量子化推导”。

你可别一听就觉得头疼，咱就像讲故事一样慢慢把它弄明白。

首先呢，咱们得知道为啥要有二次量子化这玩意儿。

在量子的世界里啊，那些小粒子可不像咱们平常看到的东西那么听话。

当我们研究的系统里有好多好多粒子的时候，比如说一群电子在一块儿，那情况就变得超级复杂。

传统的量子力学描述方法就有点不够用了，就像你用小勺子去舀大海里的水，效率低还容易搞混。

这时候二次量子化就闪亮登场了。

那二次量子化是怎么个思路呢？它呀，不再像以前那样一个一个粒子去看，而是去看每个量子态上有多少个粒子。

这就好比我们不关心每一个单独的苹果，而是关心每个篮子里有几个苹果。

这里面有两个超级重要的家伙，产生算符和湮灭算符。

这俩名字听起来就很科幻对吧？咱们先从简单的开始理解。

想象有一个房间，这个房间代表一个量子态。

如果这个房间里没有粒子，那就是空的。

现在，产生算符就像是一个小魔法棒，一挥，就给这个房间里送进来一个粒子。

而湮灭算符呢，就像是一个小吸尘器，一下子把房间里的一个粒子给吸走了。

咱们开始推导的时候啊，得先从经典的情况入手。

就像盖房子得先打地基一样。

我们先选择一些广义坐标，这些坐标就像是描述这个量子系统的一些特殊的标签。

比如说在研究一个粒子的运动时，它的位置或者动量就可以是这种广义坐标。

然后呢，我们用这些坐标来构造一个拉格朗日量。

这个拉格朗日量就像是这个量子系统的一个特殊的说明书，它告诉我们这个系统是怎么动的，怎么变化的。

有了这个拉格朗日量之后呢，我们就可以求出正则动量。

这正则动量啊，就像是和广义坐标配套的另一个重要的东西。

你可以把它们想象成是一对好搭档，在量子的舞台上一起跳舞。

接下来就是一个很关键的步骤啦。

在经典力学里有个泊松括号，这东西在量子力学里就变成了对易关系。

这个对易关系就像是一种规则，规定了产生算符和湮灭算符之间怎么相处。