线性代数测试试卷及答案(最新整理)
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1.设行列式 a11 a12 =m， a13 a11 =n，则行列式 a11 a12 a13 等于（
）
a 21 a 22
a 23 a 21
a 21 a 22 a 23
A. m+n C. n-m
B. -(m+n) D. m-n
1 0 0
2.设矩阵
A=
0 0
2 0
03
，则
A-1
等于（
）
1
3
A. 0
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 设 A ﹑ B 是任意 n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( )
(A) AB BA (B) ( AB)2 A2B2 (C) ( A B)2 A2 2 AB B2
(D) A B B A
2. 如果 n 元齐次线性方程组 AX 0 有基础解系并且基础解系含有 s(s n) 个解向量,那么
4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有（ ）
A. A =0
B. B C 时 A=0
C. A 0 时 B=C
D. |A| 0 时 B=C
5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（
.
三﹑计算题（每小题 9 分，共 27 分）
2 1 0
1 0
1.
已知
A
1 0
2 1
1 2
，
B
0 0
1 0
，求矩阵
X
使之满足
AX
X
B.
1234
2341
2. 求行列式
的值.
3412
4123
3 求向量组 1 (1, 0,1, 0),2 (2,1,3, 7),3 (3, 1, 0,3, ),4 (4, 3,1, 3, ) 的一个最大无
(2 分)
①当 A ( 1)( 2)2 0 ,即 1且 2 时,方程组有唯一的零解; (4 分)
②当 1 时, A ( 1)( 2)2 0 ,方程组的系数矩阵为
1 2 1
A
2 1
1 1
1 2
,
1 2
它有一个二阶子式
3 0 ,因此秩( A ) 2 n (这里 n 3 ),故方程组有无穷多个解.对 A 施
(C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关
二﹑填空题(每小题 3 分,共 30 分)
1 如果行列式 D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于
；
1 0 0
2.
设
A
2
1
0
，
A* 是
A 的伴随矩阵，则 ( A*)1
；
3 4 1
3. 设 , 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 AX b 的 解 ,若 也 是 它 的 解 , 那 么
x1 x2
x2 x2 ,
x3 ,
其中 x2 , x3 可取任意数.
x3 x3 ,
(10 分)
五﹑ 解 二次型的矩阵为
1 2 2
A
2 2
1 2
2 1
,
(2 分)
因为特征多项式为
1 2 2 I A 2 1 2 ( 1)2 ( 5) ,
2 2 1
所以特征值是 1 (二重)和 5 . (4 分) 把特征值 1 代入齐次线性方程组 (I A) X 0 得
a b
2b 2c
2(ac b2 )
2[ac (a
c)2 ]
[a2
c2
(a
c)2 ]
0
a 2b 3c a b c
1b c
又因为 b 2c 3a 6 b c a 6(a b c) 1 c a 0
c 2a 3b c a b
1a b
R( A) R( A) 2 , (5 分) 因此方程组
和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（ ）
A.所有 r-1 阶子式都不为 0
B.所有 r-1 阶子式全为 0
C.至少有一个 r 阶子式不等于 0
D.所有 r 阶子式都不为 0
8.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2 是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（
ax 2by 3c 0 bx 2cy 3a 0 cx 2ay 3b 0
有唯一解，即 l1, l2 , l3 交于一点. (6 分)
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线性代数习题和答案
第一部分 选择题 (共 28 分)
一、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是 符合题目要求的，请将其代码填在题后的8. 三 阶 可 逆 矩 阵 A 的 特 征 值 分 别 为 1, 2, 3 ,那 么 A1 的 特 征 值 分 别
为
；
9.
若二次型
f
( x1 ,
x2 ,
x3 )
x
2 1
x
2 2
5
x
2 3
2t
x1x2
-
2 x1 x3
4 x2
x3
是正定的，则
t
的取值范围
为
；
10. 设 A 为 n 阶方阵,且满足 A2 2A 4I 0 ,这里 I 为 n 阶单位矩阵,那么 A1
；
4. 设向量 (1, 1,1)T 与向量 (2,5,t)T 正交,则 t
；
5. 设 A 为正交矩阵,则 A
；
111
6. 设 a,b, c 是互不相同的三个数,则行列式 a b c
；
a2 b2 c2
7. 要使向量组1 (1, ,1)T ,2 (1, 2,3)T , 3 (1, 0,1)T 线性相关，则
矩阵 A 的秩为( )
(A) n
(B) s
(C) n s
(D) 以上答案都不正确
3.如果三阶方阵 A (aij )33 的特征值为1, 2, 5 ,那么 a11 a22 a33 及 A 分别等于(
)
(A) 10, 8
(B) 8, 10
(C) 10, 8
(D) 10, 8
4.
设实二次型
f
(
关组和秩.
四﹑(10 分)设有齐次线性方程组
(x1 (1)x1
1)
x2 x2
x3 x3
0, 0,
x1 x2 ( 1)x3 0.
问当 取何值时, 上述方程组(1)有唯一的零解﹔(2)有无穷多个解,并求出这些解.
五﹑(12 分)求一个正交变换 X PY ,把下列二次型化成标准形:
f
( x1 ,
）
A.η1+η2 是 Ax=0 的一个解
B.
1 2
η1+
1 2
η2
是
Ax=b
的一个解
C.η1-η2 是 Ax=0 的一个解 9.设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（
D.2η1-η2 是 Ax=b 的一个解 ）
A.秩(A)<n
B.秩(A)=n-1
C.A=0
D.方程组 Ax=0 只有零解
10.设 A 是一个 n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）
有解,可知
a 2b 3c
1b c
R( A) R( A) b 2c 3a 0 (a b c) 1 c a 0 (2 分)
c 2a 3b
1a b
1b c
由于 1
c
a
1 2
[(b
a)2
(c b)2
(a c)2]
0 ,所以 a b c
0
(3 分)
1a b
充分性： a b c 0 b (a c)
AP
0
1 0 .
0 0 5
所以,正交变换 X PY 为所求,它把二次型化成标准形
f
(x1, x2 , x3 )
y
2 1
y
2 2
5
y
2 3
.
(12 分)
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六﹑证明:必要性
由 l1, l2 , l3 交于一点得方程组
ax 2by 3c 0 bx 2cy 3a 0 cx 2ay 3b 0
2
(
1 ,1, 2
1 )T 2
,
再将 1, 2 单位化得
1 (
2 , 0, 2
2 2
)T
,2
(
6, 6
6 , 3
6 )T , 6
(8 分)
把特征值 5 代入齐次线性方程组 (I A) X 0 得
42x1x12
x2 2 4x2
x3 0, 2x3 0,
2x1 2x2 4x3 0,
）
A.有不全为 0 的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0 和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为 0 的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
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C.有不全为 0 的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为 0 的数λ1，λ2，…，λs 和不全为 0 的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0
一﹑1. D 二﹑1. 0
2. C
