专题训练(二)确定二次函数的表达式五种方法

确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。

(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。

例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。

例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。

专题训练（二）确定二次函数的表达式五种方法 ►　方法一　利用一般式求二次函数表达式1．已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的表达式为( )A．y＝x2－x－2B．y＝－x2＋x＋2C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋22．若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－4，0)，(2，6)，则这个二次函数的表达式为______________．3．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个二次函数的表达式为____________．4．如图2－ZT－1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1)求抛物线的表达式；(2)若M是该抛物线的对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图2－ZT－1►　方法二　利用顶点式求二次函数表达式5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的表达式是( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋66．已知y 是x 的二次函数，根据表中的自变量x 与函数y 的部分对应值，可判断此函数的表达式为( )x …－1012…y…－154254…A .y ＝x 2B ．y ＝－x 2C ．y ＝(x －1)2＋234D ．y ＝－(x －1)2＋2347．[2018·巴中改编]一位篮球运动员在距离篮框中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮框中心距离地面高度为3.05m ．在如图2－ZT －2所示的平面直角坐标系中，此抛物线的表达式是________．8．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(1，4)，它与直线y 2＝x ＋1的一个交点的横坐标为2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)在如图2－ZT －3所示的平面直角坐标系中画出抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 及直线y 2＝x ＋1，并根据图象，直接写出使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围．图2－ZT －3►　方法三　利用交点式求二次函数表达式9．若抛物线的最高点的纵坐标是，且过点(－1，0)，(4，0)，则该抛物线的表达式为( )254A ．y ＝－x 2＋3x ＋4 B ．y ＝－x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x －4D ．y ＝x 2－3x ＋410．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，其形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则抛物线的函数表达式为( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6►　方法四　利用平移求二次函数表达式11．[2018·广西]将抛物线y ＝x 2－6x ＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式12为( )A ．y ＝(x －8)2＋5B ．y ＝(x －4)2＋51212C ．y ＝(x －8)2＋3D ．y ＝(x －4)2＋3121212．如果将抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到了抛物线y＝2x2－4x＋3.(1)试确定b，c的值；(2)求出抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴．►　方法五　利用对称轴求二次函数表达式13．如图2－ZT－4，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点坐标为(3，0)，那么它对应的函数表达式是______________．图2－ZT－414．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图2－ZT－5，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．(1)直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”的表达式为__________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”的表达式为____________；(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．图2－ZT－5教师详解详析1．[解析]C 由题意可知点C 的坐标是(0，2)或(0，－2)．设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，(0，2)，得解得{4a ＋2b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝0，c ＝2，)则抛物线的表达式是y ＝－x 2＋x ＋2.同理，由抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，(0，－2)求{a ＝－1，b ＝1，c ＝2，)得该抛物线的表达式为y ＝x 2－x －2.故这条抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2或y ＝x 2－x －2.2．[答案]y ＝x 2＋3x －4[解析]将点(－4，0)，(2，6)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得解得{16－4b ＋c ＝0，4＋2b ＋c ＝6，){b ＝3，c ＝－4，)∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2＋3x －4.3．y ＝x 2－2x －14．解：(1)把A (－2，－4)，O (0，0)，B (2，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得{4a －2b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝0，)解这个方程组，得{a ＝－12，b ＝1，c ＝0，)所以抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x .12(2)由y ＝－x 2＋x ＝－(x －1)2＋，可得抛物线的对称轴为直线x ＝1，并且对称轴垂直121212平分线段OB ，∴OM ＝BM ，∴AM ＋OM ＝AM ＋BM .连接AB 交直线x ＝1于点M ，则此时AM ＋OM 的值最小．过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝＝＝4，因此AM ＋OM 的最小值为4.AN 2＋BN 242＋42225．D6．[解析]D ∵函数图象过点(0，)和(2，)，∴函数图象的对称轴为直线x ＝1，故该函数5454图象的顶点坐标为(1，2)．设函数表达式为y ＝a (x －1)2＋2.把(－1，－1)代入，得4a ＋2＝－1，解得a ＝－，∴此函数表达式为y ＝－(x －1)2＋2.34347．[答案]y ＝－x 2＋3.515[解析]∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋3.5.∵篮框中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入表达式，得3.05＝a ×1.52＋3.5，∴a ＝－，∴y ＝－x 2＋3.5.15158．解：(1)∵抛物线与直线y 2＝x ＋1的一个交点的横坐标为2，∴交点的纵坐标为2＋1＝3，即此交点的坐标为(2，3)．设抛物线的表达式为y 1＝a (x －1)2＋4.把(2，3)代入，得3＝a (2－1)2＋4，解得a ＝－1，∴抛物线的表达式为y 1＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.(2)令y 1＝0，即－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(3，0)和(－1，0)．在平面直角坐标系中画出抛物线与直线，如图所示：根据图象可知，使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围为－1≤x ≤2.9．[解析]A 由抛物线的轴对称性可知该抛物线的对称轴为直线x ＝×(－1＋4)＝，故1232该抛物线的顶点坐标为(，)．设该抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －4)．将(，)代入，得3225432254＝a (＋1)(－4)，解得a ＝－1，故该抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)(x －4)＝－x 2＋3x ＋4.注2543232意：本题也可运用顶点式求抛物线的表达式．10．[解析]D 设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以y ＝a (x －3)(x ＋1)．又因为其形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，所以y ＝－2(x －3)(x ＋1)，即y ＝－2x 2＋4x ＋6.11．[解析]D y ＝x 2－6x ＋2112＝(x 2－12x )＋2112＝[(x －6)2－36]＋2112＝(x －6)2＋3，12故y ＝(x －6)2＋3向左平移2个单位后，12得到新抛物线的表达式为y ＝(x －4)2＋3.1212．解：(1)∵y ＝2x 2－4x ＋3＝2(x 2－2x ＋1－1)＋3＝2(x －1)2＋1，∴将其向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得原抛物线，即y ＝2(x －4)2＋3，∴y ＝2x 2－16x ＋35，∴b ＝－16，c ＝35.(2)由y ＝2(x －4)2＋3得顶点坐标为(4，3)，对称轴为直线x ＝4.13．[答案]y ＝－x 2＋2x ＋3[解析]∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴＝1，解得b ＝2，b2又∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3，0)，∴0＝－9＋6＋c ，解得c ＝3，故函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.14．解：(1)(答案不唯一)顶点关于y 轴对称，对称轴关于y 轴对称．(2)y ＝2(x －2)2＋1　y ＝a (x ＋h )2＋k (3)若点A 在y 轴的正半轴上，如图所示：顺次连接点A ，B ，O ，C ，得到一个面积为24的菱形，由BC ＝6，得OA ＝8，则点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－3，4)．设一个抛物线的表达式为y ＝a (x ＋3)2＋4.将点A 的坐标代入，得9a ＋4＝8，解得a ＝.49二次函数y ＝(x ＋3)2＋4的“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝(x －3)2＋4.4949根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，则“关于y 轴对称二次函数”的表达式还可以为y ＝－(x ＋3)2－4，y ＝－(x －3)2－4.4949综上所述，“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝(x ＋3)2＋4，y ＝(x －3)2＋4或4949y ＝－(x ＋3)2－4，y ＝－(x －3)2－4.4949。

二次函数表达式的确定待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（1）设出适当的二次函数表达式，(2)根据已知信息，构建关于常数的方程（组），(3)解方程(组)，(4)把求出的常数的值代入所设的表达式一般式：顶点式：，其中(h，k)为顶点，交点式：，其中x1，x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标；.1．已知抛物线过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，求二次函数表达式2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－2时，y＝5，当x＝1时，y＝－4，当x＝3时，y＝0，求抛物线的函数表达式3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)．(1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的图象4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；5.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．6.在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点，求与的函数关系式为6.已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．7.抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，求此抛物线的表达式8.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；9.如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，求抛物线的表达式10.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9.11.已知二次函数的图象的顶点为A(2，－2)，并且经过B(1，0)，C(3，0)，求这条抛物线的函数表达式．10.已知二次函数图象上部分点的坐标满足下表：求该二次函数的解析式；用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．1. 已知二次函数的图象如图所示求这个二次函数的表达式A. y ＝x 2－2x ＋3B. y ＝x 2－2x －3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋32. 一抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标(－1，3)，则该抛物线的表达式为( ) A. y ＝－2(x －1)2＋3 B. y ＝－2(x ＋1)2＋3 C. y ＝－(2x ＋1)2＋3 D. y ＝－(2x －1)2＋33. 抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，则这条抛物线的解析式为( )A. y ＝x 2－2x －3B. y ＝x 2－2x ＋3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋3 4. 由表格中信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ，则下列y 与x 之间的函数表达式正确的是( )A. y ＝x 2－4x ＋3 5. 如果抛物线经过点A (2，0)和B (－1，0)，且与y 轴交于点C ，若OC ＝2，则这条抛物线的表达式是( ) A. y ＝x 2－x －2B. y ＝－x 2－x －2或y ＝x 2＋x ＋2C. y ＝－x 2＋x ＋2D. y ＝x 2－x －2或y ＝－x 2＋x ＋2 7.已知二次函数的图象以A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)，则该函数的表达式为 . 8. 如图，抛物线的表达式为 ，直线BC 的表达式为 ，S △ABC ＝ .9. 如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是 .10. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为 .11. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3).(1)求二次函数的解析式；(2)画出二次函数的图象.12. 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)和点P(t，0)，且t≠0.(1)若该抛物线的对称轴经过点A，请通过观察图象，指出此y的最小值，并写出t的值；(2)若t＝－4，求a，b的值，并指出此时抛物线的开口方向；(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.15. 如图，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB.16. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0).(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.参考答案1. B2. B3. A4. A5. D6. y ＝－23(x ＋2)2＋1 7. y ＝－(x ＋1)2＋48. y ＝45x 2－165x －4 y ＝45x －4 12 9. y ＝－x 2＋2x ＋3 10. y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x11. 解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (－1，－1)，B (0，2)，C (1，3).∴2(1)(1)1,2,3,a b c c a b c ìï?+?+=-ïïï=íïï++=ïïî解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝2，∴y ＝－x 2＋2x ＋2.(2)画图略.12. 解：(1)y 的最小值为－3，t ＝－6.(2)分别把(－4，0)和(－3，－3)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝16a －4b ，－3＝9a －3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴抛物线表达式为y ＝x 2＋4x ，∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上. (3)－1(答案不唯一)13. 解：(1)∵y ＝x 2＋bx ＋c 过原点，∴c ＝0.又∵y ＝x 2＋bx 过点A (2，0)，∴b ＝－2，∴y ＝x 2－2x . (2)y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x ＝1.(3)∵点A 的坐标为(2，0)，∴OA ＝2.∵S △OAB ＝3，∴12OA ·||y B ＝3，∴||y B ＝3.∵抛物线最低点坐标为(1，－1)，∴y B ＝3，∴3＝x 2－2x ，即x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3.∴点B 坐标(－1，3)或(3，3).14. 解：(1)把A (2，0)，B (0，－6)的坐标代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－412()2?＝4，∴点C 的坐标为(4，0).∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2.∴S △ABC＝12·AC ·OB ＝12×2×6＝6. 15. 解：(1)∵抛物线顶点为A (3，1)，设抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝a (x －3)2＋1，将原点坐标(0，0)代入表达式，得a ＝－13.∴抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝－13x 2＋233x .(2)将y ＝0代入y ＝－13x 2＋233x 中，解得x ＝0(舍去)或x ＝23，∴B 点坐标为(23，0)，设直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝kx ，将A (3，1)代入表达式y ＝kx 中，得k ＝33，∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝33x .∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x ＋b ，将B (23，0)代入y ＝33x＋b 中，解得b ＝－2，∴直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x －2.由⎩⎨⎧y ＝33x －2，y ＝－13x 2＋233x ，得交点D的坐标为(－3，－3)，将x ＝0代入y ＝33x －2中，得C 点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得OD ＝23，又OA ＝2＝OC ，AB ＝2＝CD ，OB ＝23＝OD .在△OAB 与△OCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC AB ＝CDOB ＝OD，∴△OAB ≌△OCD .(2)如图，过点A 作x 轴的垂线，垂足为D (2，0)，连接CD ，CB ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x )＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x (2＜x ＜6)，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.。

二次函数表达式的求解方法二次函数表达式的求解方法主要包括以下几种：一、直接开平方法直接开平方法适用于求解形如y = ax²+ bx + c（a≠0）的二次函数。

首先判断a的正负性，若a >0，则二次函数有最小值；若a <0，则二次函数有最大值。

接下来，求解方程y = ax²+ bx + c =0的根，即可得到二次函数的解析式。

二、配方法配方法适用于求解形如y = ax²+ bx + c（a≠0）的二次函数。

首先将二次函数表示为完全平方的形式，即y = a(x + b/2a)²-b²/4a。

然后根据完全平方公式，求解方程y = a(x + b/2a)²-b²/4a =0，得到二次函数的解析式。

三、公式法公式法适用于求解形如y = ax²+ bx + c（a≠0）的二次函数。

根据一元二次方程的求根公式，x₁、x₂= (-b ±√(b²-4ac)) / (2a)。

将求得的x₁、x₂代入二次函数，即可得到二次函数的解析式。

四、图像法图像法适用于求解二次函数的解析式。

首先根据二次函数的图像特征，如顶点、对称轴、抛物线的开口方向等，判断二次函数的解析式。

对于开口向上的二次函数，顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）；对于开口向下的二次函数，顶点坐标为（-b/2a，g(-b/2a)）。

然后根据顶点坐标和抛物线的对称性，求解二次函数的解析式。

五、待定系数法待定系数法适用于求解形如y = ax²+ bx + c（a≠0）的二次函数。

根据已知的条件，如顶点坐标、对称轴方程等，设定二次函数的解析式为y = a(x -m)²+ n。

将设定后的二次函数与原方程进行比较，得到关于a、m、n的方程组。

解方程组，即可得到二次函数的解析式。

综上所述，二次函数表达式的求解方法有直接开平方法、配方法、公式法、图像法和待定系数法等。

确定二次函数的表达式讲义一、导入【教学建议】二次函数是中考数学中最重要的内容之一，属于中考数学的必考内容，也是难点内容，而要想研究二次函数，必须首先知道二次函数的解析式，所以有关二次函数的压轴题的第一问往往都是要根据题意来求二次函数的解析式。

教师在教学中一定要重视这块内容，大家都知道，如果二次函数的解析式求错了的话，就没有必要往下做了，做了也得不到分。

这就要求我们老师要强调，求二次函数解析式后，一定要用原有的点的坐标代入你所求的二次函数的解析式，以检验所求的二次函数的解析式是否正确。

二、知识讲解知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.二次函数的一般式是: ;2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤有哪些？知识点2 用顶点式确定二次函数表达式1.二次函数的顶点式是: ;2.用顶点式确定二次函数表达式的一般步骤有哪些？知识点3 用交点式确定二次函数表达式1.二次函数的交点式是: ;2.用交点式确定二次函数表达式的一般步骤有哪些？三、例题精析【题干】1.二次函数图象过A （﹣1，0），B （2，0），C （0，﹣2），则此二次函数的解析式是 ．【答案】y ＝x 2﹣x ﹣2【解析】解：∵二次函数图象经过A （﹣1，0），B （2，0），∴设二次函数解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣2），将C （0，﹣2）代入，得：﹣2a ＝﹣2，解得a ＝1，则抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣2）＝x 2﹣x ﹣2，故答案为：y ＝x 2﹣x ﹣2．【题干】2.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。

(1)试确定此二次函数的解析式；(2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。

【答案】见解析【解析】(1)设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，∵二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，所以⎪⎩⎪⎨⎧−=++=+−=5240393c b a c b a c ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=−=−=321c b a∴二次函数的解析式为：y =−x 2−2x +3， (2) C (−1,4)，(3) S △P AB =12×4×3=6.【题干】1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例题1 例题2【答案】y =2x 2+8x +11【解析】设函数的解析式是：y =a (x +2)2+3，把(−1,5)，代入解析式得到a =2， 因而解析式是：y =2(x +2)2+3即y =2x 2+8x +11.【题干】2.如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为M （0，－1），与x 轴交于A ，B 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断△MAB 的形状，并说明理由.【答案】见解析【解析】解：（1）∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为M （0，－1），∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝0，c ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝－1. ∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－1.（2）△MAB 是等腰直角三角形.理由如下：当y ＝0时，x 2－1＝0，解得x 1＝1，x 2＝－1.∴A （－1，0），B （1，0）.∴OA ＝OB ＝OM ＝1.又∵OM ⊥AB ，∴AM ＝BM ＝2，∠OMA ＝∠OMB ＝45°.∴∠AMB ＝90°.∴△MAB 是等腰直角三角形.【题干】1.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(-3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，则该抛物线的表达【答案】4332+−−=x x y 例题3【解析】采用待定系数法，将三点分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中得：⎪⎩⎪⎨⎧==++=+−40039c c b a c b a ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=−=−=43834c b a 所以此抛物线的表达式为438342+−−=x x y . 【题干】2.如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ）A ．y ＝x 2﹣2x +3B ．y ＝x 2﹣2x ﹣3C ．y ＝x 2+2x +3D ．y ＝x 2+2x ﹣3 【答案】B【解析】解：因为抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），可设交点式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），把（0，﹣3）代入y ＝a （x +1）（x ﹣3），可得：﹣3＝a （0+1）（0﹣3），解得：a ＝1，所以解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3，故选：B ．【题干】1.已知二次函数y =ax 2+bx +c ，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求该二次函数表达式；（2）求y 的最值；例题4【答案】见解析【解析】（1）解法一：由于二次函数表达式为：y =ax 2+bx +c ，根据其表中信息，选取三点坐标代入构成方程组为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++==+−038c b a c c b a ，解得：a =1，b =-4，c =3. 所以该二次函数表达式为：y =x 2-4x +3.解法二：观察图表数据，可知当x =2时，y 取最小值为-1，故x =2为该二次函数图象的对称轴，且（2，-1）为该抛物线的顶点，因此可根据顶点式设抛物线为y =a (x -2)2-1，然后将任意一个非顶点坐标（0，3）代入表达式中求得a =1，求得二次函数表达式y =(x -2)2-1（2）y =x 2-4x +3=(x -2)2-1,故当x =2时，y 最小值为-1.【题干】2.如图，抛物线y ＝a （x +1）2的顶点为A ，与y 轴的负半轴交于点B ，且S △AOB =12． （1）求抛物线的解析式；（2）若点C 是该抛物线上A 、B 两点之间的一点，求△ABC 面积的最大值．【答案】见解析【解析】解：（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，a ），∴OA ＝1，OB ＝﹣a ，∵S △AOB =12．∴12×1×(−a)=12，解得，a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x +1）2；（2）∵A（﹣1，0），B（0，﹣1），∴直线AB为y＝﹣x﹣1，过C作CD⊥x轴，交直线AB于点D，设C（x，﹣（x+1）2），则D（x，﹣x﹣1），∴CD＝﹣（x+1）2+x+1，∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD=12[﹣（x+1）2+x+1]×1，∴S△ABC=−12（x+12）2+18，∵−12＜0，∴△ABC面积的最大值是18．。

2.3.1 确定二次函数的表达式班级： 姓名：课前检测1. 二次函数表达式的一般形式是什么？2. 二次函数表达式的顶点式是什么？3. 我们在用待定系数法确定一次函数b kx y +=(b k ,为常数，0≠k )的关系式时，通常需要 __________个独立的条件.4. 确定反比例函数xk y =（0≠k )关系式时，通常需要__________个条件. 一、利用一般式的二次函数表达式例1.已知二次函数c ax y +=2的图象经过点(2，3)和(-1，-3)，求这个函数表达式.针对训练： 已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1，且经过点(2,5)和(-2,13)，求这个二次函数的表达式.二、利用顶点式求二次函数表达式例2. 已知二次函数图象的顶点坐标是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式.针对训练：一名学生推铅球时，铅球行进的高度)(m y 与水平距离)(m x 之间的关系如图所示，你能求出y 与x 之间的关系式吗？三、利用交点式求二次函数表达式例3.已知二次函数图象与x轴的交点横坐标是-2和1，且经过点（0，3），求这个二次函数的表达式.随堂检测思考：若二次函数的x和y的部分对应值如下表：x-101234y03430-5求这个二次函数的表达式.四、链接中考（2024陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF’为x轴，以桥塔AO 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系已知:缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m，AO=BC=17m，缆索L1的最低点P到FF’的距离PD=2m(桥塔的粗细忽略不计)。

求缆索L1所在抛物线的表达式。

十种二次函数解析式求解方法一、二次函数解析式的一般形式二次函数解析式一般形式为：f(x) = ax² + bx + c ，其中 a、b、c 是给定的实数，且a ≠ 0。

二、求解二次函数解析式的常见方法1.完全平方解法：将二次函数解析式表示为完全平方形式，进而求得其最简形式。

2.因式分解法：将二次函数解析式进行因式分解，得到对应的零点和轴对称线方程。

3.配凑法：变形后的二次函数解析式可以通过配凑使其变为一个完全平方式，然后用完全平方解法求解。

4.直接开方法：将二次函数解析式表示为开方形式，求出其零点和轴对称线方程另一种方法。

5.图像法：通过绘制函数图像的方法可以得到二次函数的对称轴、顶点和图像的开口方向。

6.列出方程法：通过已知条件列出关于二次函数解析式的方程，进而求解二次函数解析式。

7.求导法：通过对二次函数解析式进行求导，可以得到对应的切线方程，知道切线方程后可以求解出二次函数解析式。

8. 借助计算机软件：使用计算机软件如Mathematica、MATLAB等，在计算机中输入二次函数解析式，即可得到其解析式。

9.使用求根公式：二次函数解析式可以通过求根公式求解，即利用一元二次方程求根公式求解。

10.公式推导：根据二次函数的定义和性质，利用一些数学推导方法求解二次函数解析式。

三、各种方法的详细解释1.完全平方解法：通过完全平方公式将二次函数解析式写成完全平方的形式，然后根据完全平方公式的性质，求得其最简形式。

2.因式分解法：将二次函数解析式进行因式分解，得到对应的零点和轴对称线方程。

根据因式分解的结果可以知道解析式的特征。

3.配凑法：变形后的二次函数解析式可以通过配凑使其变为一个完全平方式，然后用完全平方解法求解。

配凑的目的是为了得到一个方便求解的二次函数形式。

4.直接开方法：将二次函数解析式表示为开方形式，通过解方程求出开方后的值，进而求得零点和轴对称线方程。

5.图像法：在坐标系中通过绘制函数图像的方法可以得到二次函数的对称轴、顶点和图像的开口方向。

第02讲_确定二次函数的表达式知识图谱二次函数解析式的求法知识精讲 一般式 ()20y ax bx c a =++≠已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式待定系数法已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，求a b c、、的值解：把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，顶点式 ()2y a x h k =-+()0a ≠已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式顶点式求解析式 一抛物线和y =﹣2x 2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），求其解析式解：∵两条抛物线形状与开口方向相同，∴a =﹣2，又∵顶点坐标是（﹣2，1），∴y =﹣2（x +2）2+1易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+三．二次函数的两根式两根式 1．已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用两根式求解析式； 2. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可在两根式的基础上求解析式两根式求解析式 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A （－1，1），B （3，1），3(2,)2C - 求解析式解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －3）+1把3(2,)2c -代入解析式，求出a 即可 易错点：（1）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示（2）二次函数解析式的这三种形式可以互化三点剖析一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．待定系数法例题1、 已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，那么a b c 、、的值分别是（ ）A.164a b c =-=-=，，B.164a b c ==-=-，，C.164a b c =-=-=-，，D.164a b c ==-=，，【答案】 D【解析】 把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故答案为D 选项．例题2、 已知二次函数的图象经过（0，0）（－1，－1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．【答案】 （1）y ＝4x 2＋5x（2）（58-，2516-）． 【解析】 （1）设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0），根据题意，得019c a b c a b c =⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩，解得450a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x ．（2）由22525454()816y x x x x =+=+-， ∴顶点坐标为（58-，2516-）． 例题3、 已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴．【答案】 （1）y=-x 2+2x+3（2）x=1【解析】 暂无解析随练1、 已知二次函数的图像经过点()1,5--，()0,4-和()1,1，则这个二次函数的解析式为（ ） A.2634y x x =-++ B.2234y x x =-+- C.224y x x =+- D.2234y x x =+-【答案】 D【解析】 由待定系数法可求得2234y x x =+-．随练2、 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式．【答案】 210y x x =-【解析】 设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．顶点式例题1、 函数21212y x x =++写成y ＝a （x －h ）2＋k 的形式是（ ） A.21(1)22y x =-+ B.211(1)22y x =-+ C.21(1)32y x =-- D.21(2)12y x =+- 【答案】 D【解析】 22211121(44)21(2)1222y x x x x x =++=++-+=+-． 例题2、 二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为_____________．【答案】 y=23(x 2)18++ 【解析】 设抛物线解析式为y=a （x+2）2+1，把（2，7）代入得a•（2+2）2+1=7，解得a=38， 所以抛物线解析式为y=38（x+2）2+1。

二次函数的定义五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一 二次函数的识别】【考点二 二次函数中各项的系数】【考点三 利用二次函数的定义求参数】【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】【考点五 列二次函数的关系式】【过关检测】8【典型例题】【考点一二次函数的识别】1(2023·浙江·九年级假期作业)下列函数中，是二次函数的是( )A.y=-3x+5B.y=2x2C.y=(x+1)2-x2D.y=3x2【答案】B【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B．函数是二次函数，故本选项符合题意；C．y=(x+1)2-x2=2x+1，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如y=ax2+bx+ c(a、b、c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．【变式训练】1(2023·浙江·九年级假期作业)以下函数式二次函数的是()A.y=ax2+bx+cB.y=2x-12-4x2C.y=ax2+bx+c a≠0D.y=x-1x-2【答案】D【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，进行判断．【详解】解：A、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，故本选项错误；B、由y=2x-12-4x2得到y=-4x+1，是一次函数，故本选项错误；C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；D、由原函数解析式得到y=x2-3x+2，符合二次函数的定义，故本选项正确．应选：D．【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键．2(2022春·全国·九年级专题练习)下列函数中，不是二次函数的是()A.y=1-2x2B.y=2x+12-4C.y=12x-1x+4D.y=x-12-x2+1【答案】D【分析】将函数进行化简后，根据二次函数的定义进行判断．【详解】A、y=1-2x2，是二次函数，故A不符合题意；B、y=2x+12-4，是二次函数，故B不符合题意；C、y=12x-1x+4=12x2+32x-2，是二次函数，故C不符合题意；D、y=x-12-x2+1=-2x+2，不是二次函数，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，正确识别二次函数是解题的关键．【考点二二次函数中各项的系数】1例题：(2023·全国·九年级假期作业)二次函数y=-x2-2x+1的二次项系数是( )A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可．【详解】解：二次函数y=-x2-2x+1的二次项系数是-1．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式训练】1(2023·浙江·九年级假期作业)二次函数y=2x x−3的二次项系数与一次项系数的和为()A.2B.-2C.-1D.-4【答案】D【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．【详解】解：y=2x x-3=2x2-6x，∴二次项系数是2，一次项系数是-6，∴2-6=-4，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．2(2022·全国·九年级假期作业)二次函数y=2x(x-1)的二次项系数是．【答案】2【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数．【详解】解：y=2x(x-1)=2x2-2x．所以二次项系数2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．【考点三利用二次函数的定义求参数】1例题：(2023·全国·九年级假期作业)若函数y=m+2x2+3mx+1是二次函数，则( )A.m≥-2B.m≠2C.m≠-2D.m=-2【答案】C【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解：根据题意得m+2≠0，解得m≠-2，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数是解题的关键．【变式训练】+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为1(2023·浙江·九年级假期作业)已知y=mx m-2()A.0B.1C.4D.0或4【答案】C【分析】利用二次函数定义可得：m-2=2，且m≠0，再解即可．【详解】由题意得：m-2=2，且m≠0，解得：m=4．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．2(2023春·四川内江·九年级校考阶段练习)y=m-1x m2+1是二次函数，则m的值是()A.m=0B.m=-1C.m=1D.m=±1【答案】B【分析】根据二次函数的定义即可求解．【详解】解：y=m-1x m2+1是二次函数，∴m2+1=2，m-1≠0，解得m=±1，m≠1，∴m=-1．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+ c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．【考点四已知二次函数上一点，求字母或式子的值】1例题：(2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习)若抛物线y=ax2-2x+3经过点P(1,2)，则a的值为( )A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】将点P代入函数表达式中，解方程可得a值．【详解】解：将P(1,2)代入y=ax2-2x+3中，得：2=a×12-2×1+3，解得：a=1，故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．【变式训练】1(2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习)抛物线y=ax2+bx-3过点(2，4)，则代数式8a+4b的值为()A.14B.2C.-2D.-14【答案】A【分析】将点(2，4)的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值．【详解】解：将点(2，4)代入抛物线y=ax2+bx-3得4a+2b-3=4，整理得8a+4b=14.故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．2(2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习)若抛物线y=-x2+bx+c经过点-2,3，则2c-4b-7的值是()A.6B.7C.8D.20【答案】B【分析】先把点-2,3代入解析式，得到c-2b=7，然后化简2c-4b-7=2(c-4b)-7，整体代入即可得到答案.【详解】解：把点-2,3代入y=-x2+bx+c，得：c-2b=7，∵2c-4b-7=2(c-2b)-7=2×7-7=7；故选择：B.【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.【考点五列二次函数的关系式】1(2023春·河北保定·八年级统考期中)用长为10cm的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y cm2，一边长为xcm，用含有x的代数式表示y为______，自变量x的取值范围是_____．【答案】y=x5-x0<x<5【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式即可得出y与x的关系式．【详解】解：①由题意可知，这个长方形的周长为10cm,又因为一边长为xcm，所以另一边长为102-xcm,又∵长方形面积=长×宽，∴y=x×102-x，所以y=5x-x2．②∵102-x>0，∴x<5∴自变量x的取值范围是0<x<5．故答案为：①y=5x-x2；②0<x<5．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，准确分析列式是解题的关键．【变式训练】1(2022秋·九年级单元测试)一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是x x>0，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数关系式为．【答案】y=501-x2【分析】根据题意列出函数解析式即可．【详解】解：∵一台机器原价为50万元，每年的折旧率是x x>0，两年后这台机器的价格为y万元，∴y与x之间的函数关系式为y=501-x2．故答案为：y=501-x2．【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格=原价×1-x2．2(2023·浙江·九年级假期作业)某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)求该公司销售该原料日获利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式．【答案】(1)y=-2x+200(30≤x≤70)；(2)w=-2x2+260x-6450(30≤x≤70)【分析】(1)根据y与x写成一次函数解析式，设为y=kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；(2)根据利润=单价×销售量列出w关于x的二次函数解析式即可．【详解】(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b．∵x=60时，y=80，x=50时，y=100，∴60k+b=80 50k+b=100 ，解得k=-2b=200 ，∴y=-2x+200，根据部门规定，得30≤x≤70．(2)w=(x-30)y-450=(x-30)(-2x+200)-450=-2x2+260x-6000-450=-2x2+260x-6450(30≤x≤70)【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．【过关检测】一、选择题1(2022秋·九年级单元测试)下列四个函数中，一定是二次函数的是()A.y=1x2-2x+1 B.y=ax2+bx+c C.833D.y=x+13x-1【答案】D【分析】根据二次函数的一般形式，即y=ax2+bx+c(a≠0，且a，b，c为常数)，即可一一判定．【详解】解：A.y=1x2-2x+1中含分式，不满足二次函数的一般形式，故该函数不是二次函数；B.在y=ax2+bx+c中，当a=0时，不是二次函数，故该选项不符合题意；C.y=x2-x+72=-14x-49，不是二次函数，故该选项不符合题意；D.y=x+13x-1=3x2+2x-1，是二次函数，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握和运用二次函数的一般形式是解决本题的关键．2(2022春·全国·九年级专题练习)函数y=3x2-6x+1的一次项系数是()A.-6B.1C.3D.6【答案】A【分析】根据二次函数的相关概念即可得.【详解】解：函数y=3x2-6x+1的一次项系数是-6；故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键.3(2022·全国·九年级假期作业)在抛物线y=x2-4x-5上的一个点的坐标为()A.0,-4B.2,0C.1,0D.-1,0【答案】D【分析】将各个点的坐标代入抛物线解析式中，如等式成立，则点在抛物线上．【详解】A，(0,-4)的坐标代入抛物线解析式中,02-4×0-5≠-4,A错误B，(2,0)的坐标代入抛物线解析式中，22-4×2-5≠0，B错误C，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，12-4×1-5≠0，C错误D，(-1,0)的坐标代入抛物线解析式中，(-1)2-4×(-1)-5=0，D正确故选：D【点睛】此题考查抛物线的解析式，将点的坐标一一代入抛物线解析式中，判断等式是否成立是解本题的关键．4(2023·浙江·九年级假期作业)下列函数关系中，是二次函数的是()A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.半圆面积S与半径R之间的关系【答案】D【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．二次函数定义：一般地，把形如y= ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．【详解】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；B、关系式为：t=sv，是反比例函数，不符合题意；C、关系式为：C=3a，是正比例函数，不符合题意；D、关系式为：S=πR2，是二次函数，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．5(2022秋·九年级单元测试)对于关于x的函数y=(m+1)x m2-m+3x，下列说法错误的是()A.当m=-1时，该函数为正比例函数B.当m2-m=1时，该函数为一次函数C.当该函数为二次函数时，m=2或m=-1D.当该函数为二次函数时，m=2【答案】C【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．【详解】A、当m=-1时，该函数y=3x为正比例函数，故不符合题意；B、当m2-m=1时，m=1±52，即m+4≠0，该函数为一次函数，故不符合题意；C、当m=-1时，该函数y=3x为正比例函数，故符合题意；D、当该函数为二次函数时，m=2，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．二、填空题6(2023秋·江西宜春·九年级统考期末)二次函数y=x2-2x-3中，当x=-1时，y的值是．【答案】0【分析】把x=-1代入y=x2-2x-3计算即可．【详解】解：当x=-1时，y=x2-2x-3=1+2-3=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把x=-1代入y=x2-2x-3计算．7(2022春·全国·九年级专题练习)把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax2+bx+c的形式，二次项为，一次项系数为，常数项为．【答案】-3x2-1612【解析】略8(2023秋·河南洛阳·九年级统考期末)已知函数y=(m+1)x|m|+1+4x-5是关于x的二次函数，则一次函数y=mx-m的图像不经过第象限．【答案】二【分析】先根据二次函数的定义得到m+1=2，m+1≠0，解得m=1，然后根据一次函数的性质进行判断．【详解】∵函数y=(m+1)x|m|+1+4x-5是关于x的二次函数，∴m +1=2且m+1≠0，解得：m=1，∴一次函数y=mx-m的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二【点睛】本题考查了二次函数的定义以及一次函数的性质，求得m=1是解题的关键．9(2023·浙江·九年级假期作业)下列函数①y=5x-5；②y=3x2-1；③y=4x3-3x2；④y=2x2-2x +1；⑤y=1．其中是二次函数的是．x2【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①y=5x-5为一次函数；②y=3x2-1为二次函数；③y=4x3-3x3自变量次数为3，不是二次函数；④y=2x2-2x+1为二次函数；⑤y=1x2函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．10(2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试)如图，矩形绿地的长和宽分别为30m 和20m．若将该绿地的长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是．(填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”)【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得y=30+x20+x=x2+50x+600，∴y与x之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y与x之间的函数关系式是解题的关键．三、解答题11(2023·浙江·九年级假期作业)下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项．(1)y=-x+1；(2)y=-x22；(3)y=2x2+x-2；(4)y=13x2+2x-3；(5)y=ax2+bx+c；(6)y=m2x2+4x-3(m为常数)．【答案】(1)y=-x+1不是二次函数，是一次函数(2)y=-x22，是二次函数，二次项系数是-12、一次项系数是0，常数项是0(3)y =2x 2+x -2不是二次函数(4)y =13x 2+2x -3，是二次函数，二次项系数是13、一次项系数是2，常数项是-3(5)a =0时，y =ax 2+bx +c 不是二次函数(6)m =0时，y =m 2x 2+4x -3不是二次函数【分析】(1)观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数；(2)根据二次函数的定义即可判断；(3)根据二次函数的定义即可判断；(4)根据二次函数的定义即可判断；(5)根据二次函数的定义即可判断；(6)根据二次函数的定义即可判断．【详解】(1)y =-x +1不是二次函数，是一次函数；(2)y =-x 22，是二次函数，二次项系数是-12、一次项系数是0，常数项是0；(3)y =2x 2+x -2不是二次函数；(4)y =13x 2+2x -3，是二次函数，二次项系数是13、一次项系数是2，常数项是-3；(5)a =0时，y =ax 2+bx +c 不是二次函数；(6)m =0时，y =m 2x 2+4x -3不是二次函数．【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数．12(2023·浙江·九年级假期作业)若y =m -1 m 2+2m -1+3．(1)m 取什么值时，此函数是二次函数？(2)m 取什么值时，此函数是一次函数？【答案】(1)m =-3(2)m =-1+3或m =-1-3【分析】(1)根据二次函数的定义得出m -1≠0m 2+2m -1=2，进而即可求解；(2)根据一次函数的定义得出m -1≠0m 2+2m -1=1 ，进而即可求解．【详解】(1)解：(1)当y =m -1 m 2+2m -1+3是二次函数时，有m -1≠0m 2+2m -1=2，解得m =-3，∴当m =-3时，此函数是二次函数；(2)当y =m -1 m 2+2m -1+3是一次函数时，有m -1≠0m 2+2m -1=1，解得m =-1+3或m =-1-3，∴m =-1+3或m =-1-3时，此函数是一次函数．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与一次函数的定义是解题的关键．13(2022秋·浙江·九年级期末)荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．(1)降价后平均每天可以销售荔枝千克(用含x的代数式表示)．(2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？【答案】(1)40+10x(2)y=-10x2+60x+400(3)24元/千克【分析】(1)根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；(2)利用利润=(售价-成本)×销售量可得出结论；(3)令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可．【详解】(1)根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：(40+10x)千克，故答案为：(40+10x)．(2)根据题意得，y=40+10x28-18-x整理得y=-10x2+60x+400(3)令y=480，代入函数得，-10x2+60x+400=480解方程，得x1=4，x2=2因为要尽可能地清空库存，所以x=2舍去取x=4此时荔枝定价为28-4=24(元/千克)答：应将价格定为24元/千克．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．14(2023秋·宁夏石嘴山·九年级统考期末)在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm，E是AB边上一动点，以1cm/s的速度从点B出发，到A停止运动；F是BC边上一动点，以2cm/s的速度从点B出发，到点C停止运动．设动点运动的时间为t(s)，△DEF的面积为S(cm2)(1)求S关于t的函数表达式，并求自变量t的取值范围．(2)当△DEF是直角三角形时，求△DEF的面积．【答案】(1)S=-t2+12t,0<t≤6(2)333cm2或36cm24【分析】(1)先求出BE=tcm,BF=2tcm,AE=6-tcm，再根据S△DEF=cm,CF=12-2tS-S△AED-S△BEF-S△CDF解答即可；矩形ABCD(2)先求出EF2=BE2+BF2=5t2，DF2=CD2+CF2=4t2-48t+180，DE2=AD2+AE2=t2-12t+180，再分①当∠EDF 为直角时，②当∠DEF 为直角时，③当∠DFE 为直角时三种情况讨论，应用勾股定理求出t 的值，即可得答案．【详解】(1)解：∵BE =tcm ,BF =2tcm ,AE =6-t cm ,CF =12-2t cm ，∵S △DEF =S 矩形ABCD -S △AED -S △BEF -S △CDF ，∴S =12×6-12×12×6-t -12t ×2t -12×6×12-2t =-t 2+12t ，根据题意得t >06-t ≥012-2t ≥0，解得：0<t ≤6；(2)由勾股定理可得，EF 2=BE 2+BF 2=5t 2，DF 2=CD 2+CF 2=4t 2-48t +180，DE 2=AD 2+AE 2=t 2-12t +180，①当∠EDF 为直角时，EF 2=DE 2+DF 2，即5t 2=t 2-12t +180+4t 2-48t +180解得t =6，∴S =-62+12×6=36cm 2 ；②当∠DEF 为直角时，DF 2=DE 2+EF 2，即6t 2-12t +180=4t 2-48t +180，解得t =0或-18，∵0<t ≤6，∴都不符合；③当∠DFE 为直角时，DE 2=DF 2+EF 2，即5t 2+4t 2-48t +180=t 2-12t +180，解得t =0(舍)或t =92，∴S =-92 2+12×92=3334cm 2 ．【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是找到S △DEF =S 矩形ABCD -S △AED -S △BEF -S △CDF ．。

二次函数全章高频考点专项训练一：求二次函数及反比例函数的表达式的方法求二次函数及反比例函数的表达式是解决二次函数及反比例函数的重要保证，求表达式时，一般都选用待定系数法，根据不同条件，设出恰当的表达式，往往会起到事半功倍的效果。

训练角度一：巧求二次函数表达式的方法类型一：一般式已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1）．求这个二次函数的解析式．类型二：顶点式已知抛物线的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点（0，3）,求这条抛物线的解析式。

类型三：两点式抛物线与x 轴交于 A(1,0),B(-3,0) 两点，与y 轴交于点C(0,3),求此抛物线的解析式.训练角度二：巧求反比例函数表达式的方法类型一：已知坐标求反比例函数的表达式已知与x成正比例,与x成反比例,若的图像经过点(1、2),,则y与x的函数表达式类型二：已知面积求反比例函数的表达式类型三：利用根与系数的关系求反比例函数的表达式专项训练二：巧解反比例函数中的面积问题许多反比例函数问题都是与三角形，四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有，已知反比例函数的表达式，数函数图像围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的表达式等题型。

训练角度一：已知面积求反比例函数的表达式训练角度二：已知反比例函数的表达式求图形的面积训练角度三：利用点的坐标及面积公式求面积如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，4），点B的横坐标为-4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．训练角度四：利用对称性解决反比例函数中的面积问题如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线表达式分为y=与y=-。

现用四条钢条固定这四条曲线。

已知OF=OH=2米，这种钢条加工成矩形成品按面积计算，每平方米15元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？专项训练三：建立坐标系，利用二次函数解决实际问题建立坐标系解决实际问题时，要注意数形结合思想的运用，依据徒刑特弟妹构建恰当的平面直角坐标系，选择恰当的二次函数表达式进行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的，常见的类型有：拱桥问题，运动型抛物线问题，荡秋千问题等训练角度一：拱桥（隧道）问题有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m.(1)如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式。

专题确定二次函数的表达式二次函数的解析式的三种表示方法：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用_______法；求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用_______；2. 已知抛物线_______或_______或_______，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用_______；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用_______．例1、已知二次函数的图象经过点A(0，－1)、B(1，0)、C(－1，2)，求二次函数的解析式．例2、二次函数的图象经过点(1，0)，(2，0)，(3，4)，求函数的解析式．例3、已知抛物线的顶点为(1，－3)，且与y轴交于点(0，1)，求二次函数的解析式．练习：1.二次函数图象的对称轴是x=-1，与y轴交点的纵坐标是－6，且经过点(2，10)，求此二次函数的关系式．2.已知二次函数的图象经过点(0，3)，对称轴方程是x－1=0，抛物线与x轴两交点的距离为4，求这个二次函数的解析式3.已知二次函数y=3x2－6x＋5，若它的顶点不动，把开口反向，再沿对称轴平移，得一条新抛物线，它恰好与直线y=－x－2交于点(a，－4)，求新抛物线的解析式4.画出y=-3x2-6x+2的图象(1)画出图像关于x轴对称后的图象，并写出表达式（2）画出图像关于y轴对称后的图象，并写出表达式（3）画出图像关于原点对称后的图象，并写出表达式5.把抛物线y=－3(x－1)2向上平移k个单位，所得的抛物线与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，若x 12+x22=269，请你求出k的值.。