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2012年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B=_________ ．2．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_________ 名学生．3．（5分）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为_________ ．4．（5分）图是一个算法流程图，则输出的k的值是_________ ．5．（5分）函数f（x）=的定义域为_________ ．6．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_________ ．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为_________ cm3．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为_________ ．9．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是_________ ．10．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为_________ ．11．（5分）设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为_________ ．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_________ ．13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为_________ ．14．（5分）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是_________ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．17．（14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．18．（16分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．20．（16分）已知各项均为正数的两个数列{a n}和{b n}满足：a n+1=，n∈N*，（1）设b n+1=1+，n∈N*，，求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•，n∈N*，且{a n}是等比数列，求a1和b1的值．三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分）21．（20分）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．22．（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．23．（10分）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．2012年江苏高考数学参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B={1，2，4，6} ．考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴A∪B={1，2，4，6}故答案为{1，2，4，6}点评：本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．分析：根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．3．（5分）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案解答：解：由题，a，b∈R，a+bi=所以a=5，b=3，故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）图是一个算法流程图，则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：计算题．分析：利用程序框图计算表达式的值，判断是否循环，达到满足题目的条件，结束循环，得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0，不满足判断框．则k=2，22﹣10+4=﹣2＞0，不满足判断框的条件，则k=3，32﹣15+4=﹣2＞0，不成立，则k=4，42﹣20+4=0＞0，不成立，则k=5，52﹣25+4=4＞0，成立，所以结束循环，输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用，考查计算能力，注意循环条件的判断．5．（5分）函数f（x）=的定义域为（0，] ．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0，且x＞0∴，x＞0∴，x＞0，∴，x＞0，∴0，故答案为：（0，]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题，在解题时一般遇到，开偶次方时，被开方数要不小于0，；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0，这种题目的运算量不大，是基础题．6．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0，b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为，∴，可得c2=5a2，所以m2+m+4=5m，解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求参数的值，着重考查了双曲线的概念与性质，属于基础题．9．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．10．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②由①②解得a=2，b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题．11．（5分）设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题；压轴题．分析：根据a为锐角，cos（a+）=为正数，可得a+也是锐角，利用平方关系可得sin（a+）=．接下来配角，得到cosa=，sina=，再用二倍角公式可得sin2a=，cos2a=，最后用两角和的正弦公式得到sin（2a+）=sin2acos+cosasin=．解答：解：∵a为锐角，cos（a+）=，∴a+也是锐角，且sin（a+）==∴cosa=cos[（a+）﹣]=cos+sin=sina=sin[（a+）﹣]=cos﹣sin=由此可得sin2a=2sinacosa=，cos2a=cos2a﹣sin2a=又∵sin=sin（）=，cos=cos（）=∴s in（2a+）=sin2acos+cosasin=•+•=故答案为：点评：本题要我们在已知锐角a+的余弦值的情况下，求2a+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤4k，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+＜c解集为（m，m+6），则x2+ax+﹣c=0的两个根为m，m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．14．（5分）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是[e，7] ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：由题意可求得≤≤2，而5×﹣3≤≤4×﹣1，于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞，∵5c﹣3a≤4c﹣a，∴≤2．从而≤2×4﹣1=7，特别当=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc，∴0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），∵f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e，=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e，7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用，得到≥，通过构造函数求的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•，∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=，0＜C＜π，sinC==，∴tanC=2，则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，∴=﹣2，将tanB=3tanA代入得：=﹣2，整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=﹣，又coaA＞0，∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、1CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱，1∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．17．（14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（16分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：综合题．分析：（1）求出导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．（2）由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0，∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．同理，在（一2，一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根 x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|x i|＜2，i=3，4，5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|t i|＜2，i=3，4，5．而f（x）=t i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，），都在椭圆上列式求解．（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my，与椭圆方程联立，求出|AF1|、|BF2|，根据已知条件AF1﹣BF2=，用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行，点B在椭圆上知，可得，，由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2，e=，由点（1，e）在椭圆上，得，∴b=1，c2=a2﹣1．由点（e，）在椭圆上，得∴，∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1，0），F2（1，0），又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my．设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，∴由，可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴，（舍），∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=，∴，解得m2=2．∵注意到m＞0，∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴，即．由点B在椭圆上知，，∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得，，，∴PF1+PF2=．∴PF1+PF2是定值．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（16分）已知各项均为正数的两个数列{a n}和{b n}满足：a n+1=，n∈N*，（1）设b n+1=1+，n∈N*，，求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•，n∈N*，且{a n}是等比数列，求a1和b1的值．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由题意可得，a n+1===，从而可得，可证（2）由基本不等式可得，，由{a n}是等比数列利用反证法可证明q==1，进而可求a1，b1解答：解：（1）由题意可知，a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n＞0，b n＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q，由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1，则，故当时，与（*）矛盾0＜q＜1，则，故当时，与（*）矛盾综上可得q=1，a n=a1，所以，∵∴数列{b n}是公比的等比数列若，则，于是b 1＜b2＜b3又由可得∴b1，b2，b3至少有两项相同，矛盾∴，从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用，解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分）21．（20分）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：选作题．分析：A．要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（，），求出圆的半径，从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵，∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1，λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1，0）．∵圆C 经过点P（，），∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+2|2x﹣y|，：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，∴3|y|＜，∴点评：本题是选作题，综合考查选修知识，考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明，综合性强22．（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：压轴题．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱，∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P（ξ=）=，P（ξ=1）1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，求概率是关键．23．（10分）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意可得P={1，2，3，，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f4（4）（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k为奇数，可求解答：解（1）当n=4时，P={1，2，3，，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，于是x=m•2k，其中m为奇数，k∈N*由条件可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数若m∉A，则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义参与本试卷答题和审题的老师有：涨停；sllwyn；俞文刚；wfy814；刘长柏；qiss；xintrl；minqi5；邢新丽（排名不分先后）菁优网2013年12月29日。
2012年江苏高考数学试卷(高清版含详细答案)参考公式：（1）样本数据x 1 ,x 2 ，…，x n 的方差s 2=n i=11n ∑（x i -x ）2,其中n i i=11x n ∑.（2）(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c 为底面积，h 为高.（3）棱柱的体积V= Sh ，其中S 为底面积，h 为高.一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。
．．．．．．．．．． 1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A 2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ Read a ，b If a >b Then m ←a Else m ←b End If Print m5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s7、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ12710、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为11、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 13、设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。
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当时有很多人跟他学习，都希望自己能够成为苏格拉底的继承者。
一次苏格拉底对学生说：“今天我们只学一件最简单最容易的事，每个人都把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。
”而后，他示范了一遍，要求每个人每天做300下，学生们笑了，认为这是很容易的。
第二天，苏格拉底问学生：“谁昨天甩胳膊三百下？做到的请举手！”几十名学生的手都举了起来。
一周后，苏格拉底如前所问，有一大半的学生举手。
一个月后，苏格拉底问学生“哪些人坚持了？”九成的学生举起了手。
一年后，苏格拉底再一次问大家：“最简单的甩手动作，谁坚持了？”而这时，只有一个学生举起了手，他就是后来古希腊另一位伟大哲学家柏拉图。
柏拉图不仅继承了苏格拉底的哲学并创建了自己的哲学体系，还培养出了另一位大哲学家亚里士多德。
? 第10课 宝剑锋从磨砺出 坚强意志是成功的保证 情感、态度、价值观目标：主动锻炼个性心理品质，磨砺意志，陶冶情操，形成良好的学习、劳动习惯和生活态度。
能力目标：能具体分析自己的实际情况，有针对性地制定磨砺意志计划。
能较深刻地理解坚强意志是事业成功的必备条件，认识意志品质的表现及其对学习、生活、工作的重要意义。
知识目标：意志品质的表现和坚强意志的作用。
2012江苏高考数学考试及答案解析word版————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式： 棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相．．．．应位置上．．．．． 1. 已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．答案：{}1246,,,2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．答案：153. 设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 答案：84. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．（第4答案：55. 函数6()12log f x x =-的定义域为 ▲ ．答案：(06,⎤⎦6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 答案：357.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则四棱锥11A BB D D-的体积为 ▲ 3cm ． 答案：68. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ． 答案：29. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ． 答案：210. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ． 答案：10-11. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．答案：17250A BC EF D（第9（第712. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 答案：43k =13. 已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 答案：914. 已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ． 答案：[]7e, 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1） 求证：tan 3tan B A =； （2） 若5cos 5C =，求A 的值． 解： （1）∵3AB AC BA BC =∴3AB AC cos A BA BC cos B = ∴3AC cos A BC cos B =由正弦定理得：AC BC sin Bsin A=∴3sin B cos A sin A cos B = ∴3tan B tan A = （2）∵55cos C =，且0C π<< ∴255sinC =∴2tanC = ∴()2tan A B +=- 又∵3tan B tan A =∴23421113tan A tan B tan A tan A tan Atan Atan B tan A tan B tan A++-===--- ∴1tan A =或13-∵3tan B tan A =∴A ，B 必为锐角，否则A ，B 同时为钝角，这与三角形的内角和小于180矛盾 ∴0tan A > ∴1tan A = ∴4A π=16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DEF ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1） 平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2） 直线1//A F 平面ADE ． 证明： （1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱∴1CC ABC ⊥平面 ∵AD ABC ⊂平面 ∴1CC AD ⊥ ∵AD DE ⊥，且1DE CC E =∴11AD BCC B ⊥平面 ∵AD ABC ⊂平面∴11ADE BCC B ⊥平面平面 （2）∵11AD BCC B ⊥平面，11BC BCC B ⊂平面∴AD BC ⊥∵直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC = ∴AB AC = ∴D 是BC 的中点 ∵F 是11B C 的中点 ∴1DFAA ，且1DF AA =∴四边形1AA FD 是平行四边形 ∴1A FAD∵1D F A A E ⊄平面，1D F A A E ⊂平面 ∴1//A F 平面ADE17. （本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1） 求炮的最大射程；（2） 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解： （1）∵炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹方程为221(1)(0)20y kx k x k =-+>，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标∴令0y =，则炮的射程可表示为()21120k x k =+∴炮的最大射程即x 的最大值 由题意得0x >，0k > ∴()2202010112120k x km k k k==≤=++，当且仅当2k =时，等号成立 ∴炮的最大射程是10km 。
2012年江苏省高考数学试卷评析一、主要知识点分布考查知识点难度所占分值备注集合及其应用中等难度13 填空题第1题较容易概率、统计难18 填空题第2题较容易向量中等难度15等差数列、等比数列难17 填空题第6题较容易直线与圆、椭圆和圆锥曲线的应用中等难度18函数解析式、性质及其应用中等难度34 填空题第5题较容易不等式及其应用难22二、考卷整体评析2012年的数学考卷仍然延续了前几年的风格，稳中有变，重基础，考能力，具有较好的信度和效度，充分体现了新课程改革风向标的作用。
整体难度较去年加大，学生想获得高分并非易事，但却为不同层次的高校选拔合适人才提供了标准。
填空题中的1～8题均属于基础题，主要考查集合、统计、复数、对数函数、等比数列和概率的计算公式，考生在这几道题上基本不容易失分。
9～14题计算的复杂程度增大，思维强度、思维品质加强。
更加注重对概念本质的理解和数学思想方法的应用。
尤其是14题，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，对于考生来说，无疑是一个挑战。
解答题中的15题和16题构成了第一梯度，侧重基础知识的考查和推理论证，但考查的能力较低；17题构成了第二个梯度，侧重函数模型的应用，考查学生对知识和方法的综合运用，以及基本的运算能力；19题可谓是第三个梯度，考查知识和方法的综合运用，以及较强的计算能力，同时加大对学生思维能力和思维品质的考查；18题和20题构成了第四个梯度，要求学生面对新的情境，能够用已学过的知识解决问题，更加侧重对高层次思维品质和数学素养的考查。
难度虽大，如果学生能善加利用各小问之间的逻辑关系，可在解题时事半功倍。
综上所述，2012年江苏省高考数学试卷中等难度题的难度加大，也使整张试卷的难度加大。
学生拿高分不易，获得保底分却是较易的。
另外，由于更加侧重学生逻辑思维能力和较高层次的数学素养的考查，文科生做此试卷确实不易。
这也提醒即将升入高三的同学以及高三的老师们，在学习和教学中，应更加侧重分析能力、解决问题能力的培养，侧重思维的深刻性、灵活性、抽象度的培养。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ． 【答案】 {}6,4,2,1【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A 和集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是1 ，2，4，6，所以答案为{}6,4,2,1.【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，难度系数较小.2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：1510350=⨯人，答案 15 . 【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视．3. 设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 【答案】8【解析】据题i ii i i i i i bi a 3551525)21)(21()21)(711(21711+=+=+-+-=--=+，所以 ,3,5==b a 从而8=+b a .【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化的实质.4．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ． 【解析】将1k =带入0=0不满足， 将2k =带入40-<不满足， 将3k =带入20-<不满足， 将4k =带入00=不满足， 将5k =带入40>满足， 所以5k =.【答案】5【点评】置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k 的常考题目，要准确理解循环结构流程图的执行过程．5. 函数()f x 的定义域为 ▲ ． 【答案】(【解析】 由题意6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，根据题意得到 0log 216≥-x ，同时，x ＞0 ，解得21log 6≤x ，解得6≤x ，又x ＞0，所以函数的定义域为：(. 【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略x ＞0这个条件，因此，要切实对基本初等函数的图象与性质有清晰的认识，在复习中应引起高度重视.本题属于基本题，难度适中.6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】53 【解析】组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为53. 【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．【答案】36cm【解析】如图所示，连结AC 交BD 于点O ，因为 平面D D BB ABCD 11⊥，又因为BD AC ⊥，所以，D D BB AC 11平面⊥，所以四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，根据题意3cm AB AD ==，所以223=AO ，又因为BD =，12cm AA =，故矩形D D BB 11的面积为2，从而四棱锥D D BB A 11-的体积316cm 32V =⨯=.【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的位置D A BC 11D 1A1B关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，这是解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中.8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ▲ ． .8. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ▲ ． 【答案】2【解析】22450m m e mm ⎧++==⎪⎨⎪>⎩，解得2m = 【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的，在对本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋势看，几乎年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中.9．如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB AF AE BF的值是 ▲ ． 【解析1】以A 为坐标原点，AB,AD 所在直线分别为x 轴和y 轴建立 平面直角坐标系，则由题意知：点B ，点E),设点F (,)a b ，所以AB =u u u r ，(,)AF a b =u r； 由条件解得点(1,2)F ，所以AE =uu u r，()12BF -uu u r ；所以AE BF =uu u r g 【答案】2【解析2】根据题意,→→→+=DF BC AF 所以()cos0AB AF AB BC DF AB BC AB DF AB DF AB DF →→→→→→→→→→→→→→∙=∙+=∙+∙=∙=⋅︒==从而得到1=→DF ，又因为→→→→→→+=+=CF BC BF DF AD AE ,，所以2180cos 00)()(2=⋅+++=+∙+=∙︒→→→→→→→→→CF DF BC CF BC DF AD BF AE .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法找到1=→DF ，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目.10. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ．【答案】10- .【解析】因为1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的周期为2，所以)21()223()21(-=-=f f f ，根据0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，得到223-=+b a ，又)1()1(-=f f ，得到02,221=++=+-b a b a 即，结合上面的式子解得4,2-==b a ，所以103-=+b a .【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性将式子化简为)21()223()21(-=-=f f f 然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档题，难度适中.11. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为 ▲ ．【答案】50217 【解析】根据4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2571251621)6(cos 2)32cos(2=-⨯=-+=+παπα，因为0)32cos( πα+，所以 25242571)32sin(2=⎪⎭⎫⎝⎛-=+πα，因为502174sin )32cos(4cos )32sin(]4)32sin[()122sin(=+-+=-+=+ππαππαππαπα. 【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高.12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】34 【解析】根据题意228150x y x +-+=将此化成标准形式为：()1422=+-y x ，得到，该圆的圆心为M ()0,4半径为1 ，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d ，即可，所以有21242≤+-=k k d ，化简得0)43(≤-k k 解得340≤≤k ，所以k 的最大值是34 . 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，这句话的理解，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d 即可，从而将问题得以转化.本题属于中档题，难度适中.13. 已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 【答案】9【解析】根据函数0)(2≥++=b ax x x f ，得到042=-b a ，又因为关于x 的不等式()f x c <，可化为：20x ax b c ++-<，它的解集为()6,+m m ，设函数c b ax x x f -++=2)(图象与x 轴的交点的横坐标分别为21,x x ，则6612=-+=-m m x x ，从而，36)(212=-x x ，即364)(21221=-+x x x x ，又因为a x x cb x x -=+-=2121,，代入得到 9=c .【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大.14. 已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]7,e【解析】根据条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，()cbc c b c a ln ln ln =-≤，得到 ln ,1ac b a be c c c≥≥>，得到c b <.又因为b a c ≤-35，所以35a b c +<，由已知a c b -≤4，得到4a b c +>.从而b b a ≤+4，解得31≥a b . 【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大.二、解答题15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形，考查运算求解能力和推理论证能力.【解析】(1) ∵AB AC ∙ =3BA BC ∙，∴cos 3cos AB AC A BA BC B ∙=∙，即cos 3cos AC A BC B =，由正弦定理sin sin AC BCB A=，∴sin cos 3sin cos B A A B =， 又∵0A B π<+<，∴cos 0A >,cos 0B >，∴tan 3tan B A =，（2）∵c o s C =0C π<<，∴s i n C ∴t a n C =2，∴t a n [()]A B π-+=2，∴tan()2A B +=-，即tan tan 21tan tan A B A B +=--，由（1）得24tan 213tan A A =--，解得tan A =1或13-， ∵cos 0A >，∴tan 1A =，∴4A π=.【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．【答案及解析】【命题意图】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力. 【证明】（1）∵111ABC A B C -是直棱柱， ∴1CC ⊥面ABC ， ∵AD ⊂面ABC ， ∴1CC ⊥AD ，∵AD ⊥DE ，1CC ⊂面11BCC B ，DE ⊂面11BCC B ，1CC DE E ⋂=， ∴AD ⊥面11BCC B ， ∵AD ⊂面ADE ， ∴面ADE ⊥面11BCC B . (2) ∵11A B =11AC ，F 为11B C 的中点， ∴1A F ⊥11B C ， ∵1CC ⊥面111ABC ，且1A F ⊂面111A B C ， ∴1CC ⊥1A F ， ∵1CC ⊂面11BCC B ，11B C ⊂面11BCC B ，1CC ∩11B C =1C ， ∴1A F ⊥面11BCC B ， 由（1）知，AD ⊥面11BCC B ， ∴1A F ∥AD. ∵AD ⊂面ADE ，1A F ⊄面ADE ， ∴1A F ∥面ADE..【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化．17. （本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【答案及解析】能力.【解析】（1）令0y =，得221(1)020kx k x -+=，由实际意义和题设条件知0x >，0k >，故2201k x k =+=201k k+≤202=10，当且仅当k =1时取等号. (2) ∵a ＞0，∴炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2=221(1)20ka k a -+成立 ⇔关于k 的方程22220640a k ak a -++=有正根 ⇔判别式222(20)4(64)0a a a ∆=--+≥⇔6a ≤.∴当a 不超过6（千米）时，可击中目标.【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中． 18．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案及解析】【命题意图】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查运算求解能力、运用数形结合思想、分类讨论思想方法分析与解决问题的能力.【解析】（1）由题设知()f x '=232x ax b ++，且(1)f '-=320a b -+=，(1)320f a b '=++=， 解得a =0，3b =-.(2)由（1）知()f x =33x x -，∵2()2(1)(2)f x x x +=-+， ∴()0g x '=的根为1231,2x x x ===-， 于是()g x 的极值点只可能是1或－2.当2x <-时，()g x '＜0，当－2＜x ＜1时，()g x '＞0，故－2是()g x 的极值点，当－2＜x ＜1或x ＞1时，()g x '＞0，故1不是()g x 的极值点. ∴()g x 的极值点为－2. (3)令()f x t =，则()()h x f t c =-，先讨论关于x 的方程()f x =d 的根的情况，d ∈[－2,2]. 当|d |=2时，由（2）可知，()f x =－2的两个不同的根为1和－2，注意到()f x 是奇函数， ∴()f x =2的两个不同的根为－1和2.当|d |＜2时，∵(1)(2)20f d f d d --=-=->，(1)(2)20f d f d d -=--=--<， ∴－2，－1，1，2都不是()f x =d 的根，由（1）知()f x '=3(1)(1)x x +-. ①当x ∈（2，+∞）时，()0f x '>，于是()f x 是单调增函数，∴()f x ＞(2)f =2，此时()f x =d 无实根，同理，()f x =d 在（－∞，－2）上无实根. ② 当x ∈（1,2）时，()f x '＞0，于是()f x 是单调增函数，∵(1)0f d -<，(2)0f d ->，()y f x d =-的图像不间断，∴()f x =d 在（1,2）内唯一实根，同理，()f x =d 在（―2，―1）内有唯一实根. ③ 当x ∈（－1,1）时，()f x '＜0，故()f x 是单调减函数，又∵(1)0f d -->，(1)0f d -<，()y f x d =-的图像不间断， ∴()f x =d 在（－1,1）内唯一实根，由上可知：当|d |=2时，()f x =d 有两个不同的根1x ，2x 满足|1x |=1，|2x |=2； 当|d |＜2时，()f x =d 有三个不同的根3x ，4x ，5x 满足|i x |＜2，i =3,4,5， 现考虑函数()y h x =的零点.(ⅰ)当|c |=2时，()f t c =有两个不同根1t ，2t 满足1||1t =，2||2t =，而1()f x t =有三个不同的根，()f x =2t 有两个不同的根，故()y h x =有5个零点.(ⅱ)当|c |＜2时，()f t c =有三个不同根345,,t t t 满足||i t ＜2，i =3,4,5，而()f x =i t （i =3,4,5）有三个不同根，故()y h x =有9个零点.综上可知，当|c |=2时，函数()y h x =有5个零点；当|c |＜2时，故()y h x =有9个零点.【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大．19. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i）若12AF BF -=，求直线1AF 的斜率；（ii ）求证：12PF PF +是定值．础知识，考查运算求解能力和推理论证能力.【解析】(1)设题设知222a b c =+，c e a=，由点（1，e ）在椭圆上，得22221c a a b+=1，解得2b =1，于是221c a =-， 又点（e ，2）在椭圆上，∴22234e a b +=1，即241314a a -+=，解得2a =2， ∴所求椭圆方程的方程是222x y +=1； （2）由（1）知1F (－1,0),2F (1,0), ∵1AF ∥2BF ，∴可设直线1AF 的方程为：1x my +=，直线2BF 的方程为：1x my -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，120,0y y >>，由221111121x y x my⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2211(2)210m y my +--=，解得122m y m =+， 故1AF 221)2m m +++， ① 同理，2BF =221)2m m +-+， ② （ⅰ）由①②得1AF －2BF =222m +，解得222m +=2得2m =2， （第19题）∵0m >，∴m ，∴直线1AF的斜率为1m =（ⅱ）∵1AF ∥2BF ， ∴211BF PB PF AF =, ∴12111PB PF BF AF PF AF ++=, ∴11112AF PF BF AF BF =+,由B点在椭圆知12BF BF +=∴11212)AF PF BF AF BF =+,同理22112)BF PF AF AF BF =+,∴12PF PF +=11111212))AF BF BF AF AF BF AF BF +++=12122AF BF AF BF + 由①②知，1AF +2BF，1AF ×2BF =2211m m ++，∴12PF PF +=12PF PF +是定值.【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件2621=-BF AF 时，需要注意直线1AF 和直线2BF平行这个条件.本题属于中档题． 20. （本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a n *+=∈N ．（1）设11n n n b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1n n nbb n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质、基本不等式等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力.【解析】(1)有题设知，1n a +1nb +，∴1n n b b +=2211()()n n n nb b a a ++-=1， ∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是公差为1的等差数列；（2）∵n a ＞0，n b ＞0，∴2()2n n a b +≤22n n a b +＜2()n n a b +，∴1＜1n a +①设等比数列{n a }的公比为q ，由n a ＞0知q ＞0，下面证q =1，当q ＞1时，则1a =2a q ＜2an＞1log q 时，1n a +=1n a q当0＜q ＜1时，则1a =2a q ＞2a ＞1，故当n ＞11log q a 时，1n a +=1n a q ＜1，与①矛盾，综上，q =1，故n a =1a （n ∈*N ），所以1＜1a∵1n b +n n b a1n b (n ∈*N )，∴{n b }11a1a ＞1， 于是1b ＜2b ＜3b ， 又由1a=1n a +=得n b11b ，2b ，3b 至少有两项相同，矛盾，故1an b11b【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点 、重点问题，在训练时，要引起足够的重视.绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ． 求证：E C ∠=∠．【命题意图】本题主要考查三角形和圆的基础知识，考查推理论证能力.【解析】连结OD ，∵BD=DC ，O 是AB 的中点， ∴OD ∥AC ， ∴∠ODC=∠C ， ∵OB=OD ， ∴∠ODB=∠B ，∴∠B=∠C ，∵点A,E,B,D 都在圆O 上，且D,E 为圆O 上位于AB 异侧的两点， ∴∠B 和∠E 是同弧所对的圆周角， ∴∠B=∠E, ∴∠E=∠C.【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重． B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．【命题意图】本题主要考查矩阵的基础知识，考查运算求解能力.【解析】∵1A A E -=,∴11()A A --=, ∵1A -=13441122⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ∴11()A A --==2321⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴矩阵A 的特征多项式为()f λ=2321λλ----=234λλ--，令()f λ=0，解得A 得特征值1λ=－1，2λ=4.【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【命题意图】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力.【解析】在sin()3πρθ-=中令θ=0，得ρ=1，∴圆C 的圆心坐标为（1,0）. ∵圆C 经过点()4Pπ，, ∴圆C 的半径， ∴圆C 过极点，∴圆C 的极坐标方程为2cos ρ=.【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线23)3sin(-=-πθρ与极轴的交点，考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）（第21-A 题）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 【答案与解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的基础知识，考查推理论证能力. 【证明】∵3|||3||2()(2)|y y x y x y ==+--≤2|||2|x y x y ++-， ∵11|||2|36x y x y +<-<，，∴3||y ＜215366+=， ∴5||18y <.【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力. 【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，∴共有238C 对相交棱， ∴(0)P ξ==232128C C =411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为16对，故(P ξ==2126C =111, (1)1(0)(P P P ξξξ==-=-=4111111--=611. ∴随机变量ξ的分布列是【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，在列分布列时，要注意ξ的取值情况，不要遗漏ξ的取值情况． 23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．【命题意图】本题主要考查集合概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力. 【解析】(1)当n =4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故(4)4f =.(2)任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x =2km ∙，其中m 是奇数，k ∈*N .由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数； 若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数；于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定，设n Q 是n P 中所有奇数的集合，因此()f n 等于n Q 的子集的个数，当n 为偶数（或奇数）时，n P 中奇数的个数是2n （或12n +），∴2122,()2,nn n f n n +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数. 【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集和函数的解析式的求法.本题属于中档题，难度适中.。
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 小题 每小题 分 共计 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．（ 分）（ 江苏）已知集合 则 ．并集及其运算．考点：集合．专题：分由题意 两个集合的元素已经给出 故由并集的运算规则直接得到两个集析：合的并集即可解解：答：故答案为点本题考查并集运算 属于集合中的简单计算题 解题的关键是理解并的运算定评：义．（ 分）（ 江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ： 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本 则应从高二年级抽取 名学生．考分层抽样方法．点：专概率与统计．题：分根据三个年级的人数比 做出高二所占的比例 用要抽取得样本容量乘以高二析：所占的比例 得到要抽取的高二的人数．解答：解： 高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ：高二在总体中所占的比例是用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本要从高二抽取故答案为：点评：本题考查分层抽样方法 本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例 这就是在抽样过程中被抽到的概率 本题是一个基础题．．（ 分）（ 江苏）设 （ 为虚数单位） 则 的值为 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意 可对复数代数式分子与分母都乘以 再由进行计算即可得到 再由复数相等的充分条件即可得到 的值 从而得到所求的答案解答：解：由题所以 故故答案为点评：本题考查复数代数形式的乘除运算 解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭 复数的四则运算是复数考查的重要内容 要熟练掌握 复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁 解题时要注意运用它进行转化．．（ 分）（ 江苏）图是一个算法流程图 则输出的 的值是 ．循环结构．考点：算法和程序框图．专题：分利用程序框图计算表达式的值 判断是否循环 达到满足题目的条件 结束循析：环 得到结果即可．解解： ﹣ ＞ 不满足判断框．则 ﹣ ﹣ ＞ 答：不满足判断框的条件则 ﹣ ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 成立所以结束循环输出 ．故答案为： ．点本题考查循环框图的作用 考查计算能力 注意循环条件的判断．评：．（ 分）（ 江苏）函数 （ ） 的定义域为（ ．考对数函数的定义域．专函数的性质及应用．题：分根据开偶次方被开方数要大于等于 真数要大于 得到不等式组 根据对析：数的单调性解出不等式的解集 得到结果．解解：函数 （ ） 要满足 ﹣ 且 ＞答：＞＞＞故答案为：（点本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题 在解题时一般遇到 开偶次评：方时 被开方数要不小于 ；真数要大于 ；分母不等于 ； 次方的底数不等于 这种题目的运算量不大 是基础题．．（ 分）（ 江苏）现有 个数 它们能构成一个以 为首项 ﹣ 为公比的等比数列 若从这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是．考等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．点：等差数列与等比数列；概率与统计．专题：分先由题意写出成等比数列的 个数为 然后找出小于 的项的个数 代入古析：典概论的计算公式即可求解解解：由题意成等比数列的 个数为： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣答：）其中小于 的项有： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ）共 个数这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是故答案为：点本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用 属于基础评：试题．（ 分）（ 江苏）如图 在长方体 ﹣ 中则四棱锥 ﹣ 的体积为 ．棱柱、棱锥、棱台的体积．考点：专空间位置关系与距离；立体几何．题：分过 作 于 求出 然后求出几何体的体积即可．析：解解：过 作 于 是棱锥的高 所以答：的体积为 ．所以四棱锥 ﹣故答案为： ．点本题考查几何体的体积的求法 考查空间想象能力与计算能力．评：．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中 若双曲线的离心率为 则 的值为 ．双曲线的简单性质．考点：专圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分由双曲线方程得 的分母 ＞ 所以双曲线的焦点必在 轴上．因此析：＞ 可得 最后根据双曲线的离心率为 可得建立关于 的方程： 解之得 ．解解： ＞答：双曲线的焦点必在 轴上因此 ＞双曲线的离心率为可得所以 解之得故答案为：点本题给出含有字母参数的双曲线方程 在已知离心率的情况下求参数的值 着评：重考查了双曲线的概念与性质 属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图 在矩形 中 点 为 的中点 点 在边 上 若 则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形 把已知向量用矩形的边所在的向量来表示 做出要用的向量的模长 表示出要求得向量的数量积 注意应用垂直的向量数量积等于 得到结果．解答：解：﹣（）（） ﹣ ﹣故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式 本题是一个中档题目．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数 在区间 ﹣ 上 （ ） 其中 ．若 则 的值为﹣ ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于 （ ）是定义在 上且周期为 的函数 由 （ ）的表达式可得 （） （﹣） ﹣ （） ；再由 （﹣ ） （ ）得 解关于 的方程组可得到 的值 从而得到答案．解答：解： （ ）是定义在 上且周期为 的函数 （ ）（） （﹣） ﹣ （） ；又﹣又 （﹣ ） （ ）由 解得 ﹣ ；﹣ ．故答案为：﹣ ．点评：本题考查函数的周期性 考查分段函数的解析式的求法 着重考查方程组思想 得到 的方程组并求得 的值是关键 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）设 为锐角 若 （ ） 则 （ ）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设 根据 求出 进而求出 和 最后用两角和的正弦公式得到 （ ）的值．解答：解：设﹣（ ） （ ﹣） （ ﹣） ﹣ ．故答案为：．点本题要我们在已知锐角 的余弦值的情况下 求 的正弦值 着重评：考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式 考查了三角函数中的恒等变换应用 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中 圆 的方程为 ﹣ 若直线 ﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点 则 的最大值是．考圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．点：直线与圆．专题：分由于圆 的方程为（ ﹣ ） 由题意可知 只需（ ﹣ ） 析：与直线 ﹣ 有公共点即可．解解： 圆 的方程为 ﹣ 整理得：（ ﹣ ） 即答：圆 是以（ ）为圆心 为半径的圆；又直线 ﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点只需圆 ：（ ﹣ ） 与直线 ﹣ 有公共点即可．设圆心 （ ）到直线 ﹣ 的距离为则 即 ﹣．的最大值是．故答案为：．点本题考查直线与圆的位置关系 将条件转化为 （ ﹣ ） 与直线评：﹣ 有公共点 是关键 考查学生灵活解决问题的能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ）的值域为 ） 若关于 的不等式 （ ）＜ 的解集为（ ） 则实数 的值为 ．考一元二次不等式的应用．点：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．专题：分根据函数的值域求出 与 的关系 然后根据不等式的解集可得 （ ） 的两个析：根为 最后利用根与系数的关系建立等式 解之即可．解解： 函数 （ ） （ ）的值域为 ）答：（ ） 只有一个根 即 ﹣ 则不等式 （ ）＜ 的解集为（ ）即为 ＜ 解集为（ ）则 ﹣ 的两个根为﹣解得故答案为：点本题主要考查了一元二次不等式的应用 以及根与系数的关系 同时考查了分评：析求解的能力和计算能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知正数 满足： ﹣ ﹣则的取值范围是 ．导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．考点：导数的综合应用；不等式的解法及应用．专题：分由题意可求得 而 ﹣ ﹣ 于是可得 ；由析：可得 ＜ 从而 设函数 （ ） （ ＞ ） 利用其导数可求得 （ ）的极小值 也就是的最小值 于是问题解决．解解： ﹣ ＞答：＞﹣ ﹣．从而 ﹣ 特别当 时 第二个不等式成立．等号成立当且仅当 ： ： ： ： ．又＜从而 设函数 （ ） （ ＞ ）（ ） 当 ＜ ＜ 时 （ ）＜ 当 ＞ 时 （ ）＞ 当 时 （ ）当 时 （ ）取到极小值 也是最小值．（ ） （ ） ．等号当且仅当 成立．代入第一个不等式知： 不等式成立 从而 可以取得．等号成立当且仅当 ： ： ： ： ．从而的取值范围是 双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用 得到 通过构造函数求的最小值是关键 也是难点 考查分析与转化、构造函数解决问题的能力 属于难题．二、解答题：本大题共 小题 共计 分．请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ 分）（ 江苏）在 中 已知．（ ）求证： ；（ ）若 求 的值．解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．考点：专三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．题：分（ ）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边 然后两边同时析：除以 化简后 再利用正弦定理变形 根据 利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到 ；（ ）由 为三角形的内角 及 的值 利用同角三角函数间的基本关系求出 的值 进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出 的值 由的值 及三角形的内角和定理 利用诱导公式求出 （ ）的值 利用两角和与差的正切函数公式化简后 将 代入 得到关于 的方程求出方程的解得到 的值 再由 为三角形的内角 利用特殊角的三角函数值即可求出 的度数．解解：（ ）答：即由正弦定理 得：又 ＜ ＜ ＞ ＞在等式两边同时除以 可得 ；（ ） ＜ ＜则 ﹣（ ） 即 （ ） ﹣﹣将 代入得： ﹣整理得： ﹣ ﹣ 即（ ﹣ ）（ ）解得： 或 ﹣又 ＞又 为三角形的内角则 ．点此题属于解三角形的题型 涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则 正弦定评：理 同角三角函数间的基本关系 诱导公式 两角和与差的正切函数公式 以及特殊角的三角函数值 熟练掌握定理及公式是解本题的关键．．（ 分）（ 江苏）如图 在直三棱柱 ﹣ 中分别是棱 上的点（点 不同于点 ） 且 为 的中点．求证：（ ）平面 平面 ；（ ）直线 平面 ．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离；立体几何． 分析： （ ）根据三棱柱 ﹣ 是直三棱柱 得到 平面 从而结合已知条件 、 是平面 内的相交直线 得到平面 从而平面 平面 ；（ ）先证出等腰三角形 中 再用类似（ ）的方法证出 平面 结合 平面 得到 最后根据线面平行的判定定理 得到直线 平面 ．解答：解：（ ） 三棱柱 ﹣ 是直三棱柱 平面平面又 、 是平面 内的相交直线平面平面平面 平面 ；（ ） 中 为 的中点平面 平面又 、 是平面 内的相交直线平面又 平面平面 平面直线 平面 ．点评： 本题以一个特殊的直三棱柱为载体 考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）如图 建立平面直角坐标系 轴在地平面上 轴垂直于地平面 单位长度为 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 ﹣（ ） （ ＞ ）表示的曲线上 其中 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（ ）求炮的最大射程；（ ）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小） 其飞行高度为 千米 试问它的横坐标 不超过多少时 炮弹可以击中它？请说明理由．函数模型的选择与应用．考点：函数的性质及应用．专题：分（ ）求炮的最大射程即求 ﹣（ ） （ ＞ ）与 轴的横坐标 析：求出后应用基本不等式求解．（ ）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值 由一元二次方程根的判别式求解．解解：（ ）在 ﹣（ ） （ ＞ ）中 令 得 ﹣（ ）答：．由实际意义和题设条件知 ＞ ＞ ．当且仅当 时取等号．炮的最大射程是 千米．（ ） ＞ 炮弹可以击中目标等价于存在 ＞ 使 ﹣（ ） 成立即关于 的方程 ﹣ 有正根．由韦达定理满足两根之和大于 两根之积大于故只需 ﹣ （ ） 得 ．此时 ＞ ．当 不超过 千米时 炮弹可以击中目标．点本题考查函数模型的运用 考查基本不等式的运用 考查学生分析解决问题的评：能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）若函数 （ ）在 处取得极大值或极小值 则称 为函数 （ ）的极值点．已知 是实数 和﹣ 是函数 （ ）的两个极值点．（ ）求 和 的值；（ ）设函数 （ ）的导函数 （ ） （ ） 求 （ ）的极值点；（ ）设 （ ） （ （ ））﹣ 其中 ﹣ 求函数 （ ）的零点个数．考函数在某点取得极值的条件；函数的零点．点：导数的综合应用．专题：分（ ）求出 导函数 根据 和﹣ 是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．析：（ ）由（ ）得 （ ） ﹣ 求出 （ ） 令 （ ） 求解讨论即可．（ ）先分 和 ＜ 讨论关于的方程 （ ） 的情况；再考虑函数 （ ）的零点．解解：（ ）由 （ ） 得 （ ） ．答：和﹣ 是函数 （ ）的两个极值点（ ） ﹣ （﹣ ） 解得 ﹣ ．（ ）由（ ）得 （ ） ﹣ （ ） （ ） ﹣﹣ ．（ ﹣ ） （ ） 解得当 ＜﹣ 时 （ ）＜ ；当﹣ ＜ ＜ 时 （ ）＞﹣ 是 （ ）的极值点．当﹣ ＜ ＜ 或 ＞ 时 （ ）＞ 不是 （ ） 的极值点．（ ）的极值点是﹣ ．（ ）令 （ ） 则 （ ） （ ）﹣ ．先讨论关于 的方程 （ ） 根的情况 ﹣当 时 由（ ）可知 （ ） ﹣ 的两个不同的根为 和一 注意到 （ ）是奇函数（ ） 的两个不同的根为﹣ 和 ．当 ＜ 时 （﹣ ）﹣ （ ）﹣ ﹣ ＞ （ ）﹣ （﹣ ）﹣ ﹣ ﹣ ＜一 ﹣ 都不是 （ ） 的根．由（ ）知 （ ） （ ）（ ﹣ ）．当 （ ）时 （ ）＞ 于是 （ ）是单调增函数 从而 （ ）＞ （ ） ．此时 （ ） 在（ ）无实根．当 （ ）时 （ ）＞ 于是 （ ）是单调增函数．又 （ ）﹣ ＜ （ ）﹣ ＞ （ ）﹣ 的图象不间断（ ） 在（ ）内有唯一实根．同理 在（一 一 ）内有唯一实根．当 （﹣ ）时 （ ）＜ 于是 （ ）是单调减函数．又 （﹣ ）﹣ ＞ （ ）﹣ ＜ （ ）﹣ 的图象不间断 （ ） 在（一 ）内有唯一实根．因此 当 时 （ ） 有两个不同的根 满足；当 ＜ 时 （ ） 有三个不同的根 满足 ＜ ．现考虑函数 （ ）的零点：（ ）当 时 （ ） 有两个根 满足．而 （ ） 有三个不同的根 （ ） 有两个不同的根 故 （ ）有 个零点．（ ）当 ＜ 时 （ ） 有三个不同的根 满足 ＜ ．而 （ ） 有三个不同的根 故 （ ）有 个零点．综上所述 当 时 函数 （ ）有 个零点；当 ＜ 时 函数 （ ）有 个零点．点评： 本题考查导数知识的运用 考查函数的极值 考查函数的单调性 考查函数的零点 考查分类讨论的数学思想 综合性强 难度大．．（ 分）（ 江苏）如图 在平面直角坐标系 中 椭圆（ ＞ ＞ ）的左、右焦点分别为 （﹣ ） （ ）．已知（ ）和（ ）都在椭圆上 其中 为椭圆的离心率．（ ）求椭圆的方程；（ ）设 是椭圆上位于 轴上方的两点 且直线 与直线 平行 与 交于点 ．（ ）若 ﹣ 求直线 的斜率；（ ）求证： 是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（ ）根据椭圆的性质和已知（ ）和（ ） 都在椭圆上列式求解． （ ）（ ）设 与 的方程分别为 ﹣ 与椭圆方程联立 求出 、 根据已知条件 ﹣ 用待定系数法求解；（ ）利用直线 与直线 平行 点 在椭圆上知 可得 由此可求得 是定值．解答：（ ）解：由题设知 由点（ ）在椭圆上 得 ﹣ ．由点（ ）在椭圆上 得椭圆的方程为．（ ）解：由（ ）得 （﹣ ） （ ）又 直线 与直线 平行 设 与 的方程分别为 ﹣ ．设 （ ） （ ） ＞ ＞由可得（ ）﹣ ﹣ ．（舍）﹣同理（ ）由 得 ﹣解得 ．注意到 ＞ ． 直线 的斜率为．（ ）证明： 直线 与直线 平行即．由点 在椭圆上知 ．同理．由 得．是定值．点本题考查椭圆的标准方程 考查直线与椭圆的位置关系 考查学生的计算能力 评：属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知各项均为正数的两个数列 和 满足：求证：数列是等差数列；（ ）设且 是等比数列 求 和 的值．（ ）设数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：从（ ）由题意可得而可得 可证（ ）由基本不等式可得 由是等比数列利用反证法可证明 进而可求解答：解：（ ）由题意可知从而数列 是以 为公差的等差数列（ ） ＞ ＞从而（ ）设等比数列 的公比为 由 ＞ 可知 ＞下证若 ＞ 则 故当时与（ ）矛盾＜ ＜ 则 故当时 与（ ）矛盾综上可得 所以数列 是公比的等比数列若 则于是 ＜ ＜又由可得至少有两项相同 矛盾 从而点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用 解题的关键是反证法的应用．三、附加题 选做题：任选 小题作答 、 必做题）（共 小题 满分 分）．（ 分）（ 江苏） ． 选修 ﹣ ：几何证明选讲如图 是圆 的直径 为圆上位于 异侧的两点 连接 并延长至点 使 连接 ．求证： ．． 选修 ﹣ ：矩阵与变换已知矩阵 的逆矩阵 求矩阵 的特征值．． 选修 ﹣ ：坐标系与参数方程在极坐标中 已知圆 经过点 （ ） 圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点 求圆 的极坐标方程．． 选修 ﹣ ：不等式选讲已知实数 满足： ＜ ﹣ ＜ 求证： ＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法 选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：．要证 就得找一个中间量代换 一方面考虑到 是同弧所对圆周角 相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．．由矩阵 的逆矩阵 根据定义可求出矩阵 从而求出矩阵 的特征值．．根据圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点 （ ） 求出圆的半径 从而得到圆的极坐标方程．．根据绝对值不等式的性质求证．解答：．证明：连接 ．是圆 的直径 （直径所对的圆周角是直角）．（垂直的定义）．又 是线段 的中垂线（线段的中垂线定义）．（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．（等腰三角形等边对等角的性质）．又 为圆上位于 异侧的两点（同弧所对圆周角相等）．（等量代换）．、解： 矩阵 的逆矩阵（ ） ﹣ ﹣﹣、解： 圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点在 （ ﹣） ﹣中令 得 ． 圆 的圆心坐标为（ ）． 圆 经过点 （ ） 圆 的半径为 ．圆 的极坐标方程为 ．、证明： （ ）﹣（ ﹣ ） ﹣ ＜ ﹣ ＜＜点本题是选作题 综合考查选修知识 考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与评：参数方程、不等式证明 综合性强．（ 分）（ 江苏）设 为随机变量 从棱长为 的正方体的 条棱中任取两条 当两条棱相交时 ；当两条棱平行时 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时 ．（ ）求概率 （ ）；（ ）求 的分布列 并求其数学期望 （ ）．考离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．点：概率与统计．专题：分（ ）求出两条棱相交时相交棱的对数 即可由概率公式求得概率．析：（ ）求出两条棱平行且距离为的共有 对 即可求出相应的概率 从而求出随机变量的分布列与数学期望．解解：（ ）若两条棱相交 则交点必为正方体 个顶点中的一个 过任意 个顶答：点恰有 条棱共有 对相交棱（ ） ．（ ）若两条棱平行 则它们的距离为 或 其中距离为的共有 对（ ） （ ） ﹣ （ ）﹣ （ ） ．随机变量 的分布列是：其数学期望 （ ） ．点评：本题考查概率的计算 考查离散型随机变量的分布列与期望 求概率是关键． ．（ 分）（ 江苏）设集合 ．记 （ ）为同时满足下列条件的集合 的个数：； 若 则 ； 若 则 ．（ ）求 （ ）；（ ）求 （ ）的解析式（用 表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（ ）由题意可得符合条件的集合 为：故可求 （ ）（ ）任取偶数将 除以 若商仍为偶数 再除以 经过 次后 商必为奇数 此时记商为 可知 若 则 为偶数；若 则 为奇数 可求解答：解（ ）当 时符合条件的集合 为：故 （ ）（ ）任取偶数将 除以 若商仍为偶数 再除以 经过 次后 商必为奇数 此时记商为于是 其中 为奇数由条件可知 若 则 为偶数 若 则 为奇数于是 是否属于 由 是否属于 确定 设是中所有的奇数的集合因此 （ ）等于的子集个数 当 为偶数时（或奇数时）中奇数的个数是（或）点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用 解题的关键是准确应用题目中的定义。
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则A∪B={1.2.4.6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.] ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A ﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD 上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f （x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．（2012•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．11．（5分）考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.s in2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x 的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7] ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f （x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cb cosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知1条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.1∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f （x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|x i|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|t i|＜2.i=3.4.5．而f（x）=t i有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF1与直线BF2平行.∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my．设A（x1.y1）.B（x2.y2）.y1＞0.y2＞0.∴由.可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=.∴.解得m2=2．∵注意到m＞0.∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行.∴.即．由点B在椭圆上知..∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得...∴PF1+PF2=．∴PF 1+PF 2是定值．点评： 本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n+1=.n ∈N *.（1）设b n+1=1+.n ∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•.n ∈N*.且{a n }是等比数列.求a 1和b 1的值．考点： 数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析：（1）由题意可得.a n+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{a n }是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a 1.b 1解答：解：（1）由题意可知.a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n ＞0.b n ＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q.由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.a n=a1.所以.∵∴数列{b n}是公比的等比数列若.则.于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故4可求f（4）（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉ A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．1.}6,4,2,1{; 2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．2. 15;3．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值 为 ▲ ．3. 8;4．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．4. 5; 5．函数()f x 的定义域为 ▲ ．5. ]6,0(; 6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的 等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 6. 53;7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．7. 6;8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率m 的值为 ▲ ． 8. 2;9．如图，在矩形ABCD中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F在边CD上，若AB AF = AE BF的值是 ▲ ．9.2;10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上， 0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则3a b +的值为 ▲ ．10. 5;11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为 ▲ ． 11. 2524;（第4题）DA BC1 1D 1A1B（第7题） （第9题）12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ 12.34; 13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．13. 9; 14．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．14. ]7,[e .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 15.(1)证：设ABC ∆三边分别为c b a ,,，则B ca A cb cos 3cos =，B A A B cos sin 3cos sin =∴，∴tan 3tan B A =；(2) 由（1）B a A b cos 3cos =得22222b c a =+，由cos C =得ab c b a 52222=-+，从而ab b a 52322+=，a ba b 52322+=，解得53=a b ，53sin sin =∴A B ，59cos 1cos 122=--∴A B ，结合B a A b cos 3cos =与53=a b 知A a b B cos 3cos =， 22cos =∴A ，又由(1)知)2,0(,π∈B A ，=∴A 4π． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ）， 且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．证：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC CC 平面⊥1，ABC AD 平面⊥，AD CC ⊥∴1，又DE AD ⊥，1A1CFDCAE1B11B BCC AD 平面⊥∴，ADE AD 平面⊂ ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B（2）∵1111A B AC =，AC AB =∴，由（1）BC AD ⊥，D ∴为BC 的中点，又F 为11B C 的中点，连DF ，则11////AA BB DF ，且11AA BB DF ==，A DFA 1四边形∴为平行四边形，F A AD 1//∴，F A 1 不在平面ADE 内，⊂AD 平面ADE ， ∴直线1//A F 平面ADE ． 17．（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 17.(1)令 221(1)(0)20y kx k x k =-+>中0=y 得)0(,1202>+=k k k x ，(,10120≤+=∴k kx 当且仅当1=k 时取等号，10max =∴x ； 答：炮的最大射程为km 10 (2) 由题221(1)(0)20y kx k x k =-+>对称轴为)0(,1102>+=k kkx ，由2.3m a x ≥y 解得34≥k ，此时 k kx +=120关于34≥k 递减， 6.9≤∴x ．答：它的横坐标a 不超过km 6.9时，炮弹可以击中它． 18．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．18. (1) 由题得b ax x x f ++=23)('2零点为1和1-，0232=++∴b ax x 的根为1和1-，由韦达定理求得3,0-==b a ．(2) 由题)2()1(23)('23+-=+-=x x x x x g 其变号零点仅是2-，从而()g x 的极值点为 2-．(3) 令)(x f t =，则c t t t x h --==3)()(3ϕ，由)1)(1(333)('2-+=-=x x x x f 知)(x f 的示意图，且极大值极小值分别为2,2-，2=∴c 时，2,1-=t ，同理可作出)(x h 图(实为同一图)，当1-=t 时对应)(x h 零点3个，当2=t 时对应)(x h 零点2个，2=∴c 时，)(x h 零点有5个，同理2-=c 时，)(x h 也有零点5个，当22<<-c 时)2,2(-∈t ，此时)(t ϕ零点有3个，对应)(x h 零点有9个．综上当2±=c 时各有5个零点，当22<<-c 时有9个零点．19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若12AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．19. (1) 1222=+y x ;(2)设),(11y x A ，),(22y x B 则122121=+y x ，122222=+y x ，112211-=+=x y x y k ， （第19题）)2(11+=x e AF ，)2(22x e BF -=，2621=-BF AF ，26)(21=+∴x x e ，22=e ，321=+∴x x ，2212214k k x x +=-，k y y 321=+∴，221212k k y y +=- 20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a n *+∈N ．（1）设11n n n b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 20. (1)公差为1，（2）略。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =U ▲ ．2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 3．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +为 ▲ ．4．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ． 5．函数()f x =的定义域为 ▲ ．6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于的概率是 ▲ ．7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率m 的值为 ▲ ．9．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF =u u u r u u u r g AE BF u u u r u u u rg 的值是 ▲ ．10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，（第4题）DABC1 1D 1A1B（第7题）0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则3a b +的值为 ▲ ．11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ．13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．14．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =u u u r u u u r u u u r u u u rg g ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．（第9题）1A1C（第16题）FDCABE1B17．（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．18．（本小题满分16分）若函数()y f x =在x =x 0取得极大值或者极小值则x =x 0是()y f x =的极值点 已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和2e ⎛ ⎝⎭，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若12AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：1n a n *+=∈N ．（1）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)准考证号21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．．若多做，则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ． 求证：E C ∠=∠．B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）（第21-A 题）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð． （1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B={1，2，4，6}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴A∪B={1，2，4，6}故答案为{1，2，4，6}点评：本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取15名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为8．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案解答：解：由题，a，b∈R，a+bi=所以a=5，b=3，故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图，则输出的k的值是5．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值，判断是否循环，达到满足题目的条件，结束循环，得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0，不满足判断框．则k=2，22﹣10+4=﹣2＞0，不满足判断框的条件，则k=3，32﹣15+4=﹣2＞0，不成立，则k=4，42﹣20+4=0＞0，不成立，则k=5，52﹣25+4=4＞0，成立，所以结束循环，输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用，考查计算能力，注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0，]．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0，且x＞0∴，x＞0∴，x＞0，∴，x＞0，∴0，故答案为：（0，]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题，在解题时一般遇到，开偶次方时，被开方数要不小于0，；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0，这种题目的运算量不大，是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0，b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为，∴，可得c2=5a2，所以m2+m+4=5m，解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求参数的值，着重考查了双曲线的概念与性质，属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为﹣10．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②由①②解得a=2，b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题．11．（5分）（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下，求2α+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+＜c解集为（m，m+6），则x2+ax+﹣c=0的两个根为m，m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是[e，7]．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2，而5×﹣3≤≤4×﹣1，于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞，∵5c﹣3a≤4c﹣a，∴≤2．从而≤2×4﹣1=7，特别当=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc，∴0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），∵f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e，=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，从而e 可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e，7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用，得到≥，通过构造函数求的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c 化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•，∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=，0＜C＜π，sinC==，∴tanC=2，则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，∴=﹣2，将tanB=3tanA代入得：=﹣2，整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=﹣，又cosA＞0，∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．（2）由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0，∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．同理，在（一2，一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|x i|＜2，i=3，4，5．现考虑函数y=h（x）的零点：（i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．（i i ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|t i|＜2，i=3，4，5．而f（x）=t i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=，求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．考直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，），都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my，与椭圆方程联立，求出|AF1|、|BF2|，根据已知条件AF1﹣BF2=，用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行，点B在椭圆上知，可得，，由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2，e=，由点（1，e）在椭圆上，得，∴b=1，c2=a2﹣1．由点（e，）在椭圆上，得∴，∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1，0），F2（1，0），又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my．设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，∴由，可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴，（舍），∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=，∴，解得m2=2．∵注意到m＞0，∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴，即．由点B在椭圆上知，，∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得，，，∴PF1+PF2=．∴PF1+PF2是定值．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．点评：20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n}和{b n}满足：a n+1=，n∈N*，（1）设b n+1=1+，n∈N*，求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•，n∈N*，且{a n}是等比数列，求a1和b1的值．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可得，a n+1===，从而可得，可证（2）由基本不等式可得，，由{a n}是等比数列利用反证法可证明q==1，进而可求a1，b1解答：解：（1）由题意可知，a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n＞0，b n＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q，由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1，则，故当时，与（*）矛盾0＜q＜1，则，故当时，与（*）矛盾综上可得q=1，a n=a1，所以，∵∴数列{b n}是公比的等比数列若，则，于是b 1＜b2＜b3又由可得∴b1，b2，b3至少有两项相同，矛盾∴，从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用，解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（，），求出圆的半径，从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接AD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵，∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1，λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1，0）．∵圆C 经过点P（，），∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，|x+y|＜，|2x﹣y|＜，∴3|y|＜，∴点评：本题是选作题，综合考查选修知识，考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明，综合性强22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱，∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P（ξ=）=，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，求概率是关键．23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．。
…………装…………○…………订…………校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________…………装…………○…………订…………2012年高考理数真题试卷（江苏卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题（题型注释）1.已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B=2.设a ，b∈R，a+bi= 11−7i1−2i （i 为虚数单位），则a+b 的值为 ． 3.图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ．4.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为 cm 3 ．5.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 2m−y 2m 2+4=1 的离心率为 √5 ，则m 的值为 ．答案第2页，总16页…外…………○…………装……○…………线…………○※※请※※不※※要※※※…内…………○…………装……○…………线…………○6.如图，在矩形ABCD 中，AB= √2 ，BC=2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若 AB →⋅AF →= √2 ，则 AE →⋅BF →的值是7.设α为锐角，若cos （α+ π6 ）= 45 ，则sin （2α+ π12 ）的值为 ．8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x+15=0，若直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．9.已知函数f （x ）=x 2+ax+b （a ，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m+6），则实数c 的值为 ．10.已知正数a ，b ，c 满足：5c ﹣3a≤b≤4c﹣a ，clnb≥a+clnc，则 ba 的取值范围是 ．二、解答题（题型注释）11.在△ABC 中，已知 AB →⋅AC →=3BA →⋅BC →． （1）求证：tanB=3tanA ； （2）若cosC= √55 ，求A 的值．12.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1B 1=A 1C 1 ， D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD⊥DE，F 为B 1C 1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC 1B 1； （2）直线A 1F∥平面ADE ．13.如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx ﹣ 120 （1+k 2）x 2（k ＞0）表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．…………装…………○…………订……………线…………○…校:___________姓名：___________班级：___________考号：______…………装…………○…………订……………线…………○…（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．14.若函数y=f （x ）在x=x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y=f （x ）的极值点．已知a ，b 是实数，1和﹣1是函数f （x ）=x 3+ax 2+bx 的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数g （x ）的导函数g′（x ）=f （x ）+2，求g （x ）的极值点；（3）设h （x ）=f （f （x ））﹣c ，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h （x ）的零点个数． 15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）．已知（1，e ）和（e ， √32 ）都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P ．（i ）若AF 1﹣BF 2= √62 ，求直线AF 1的斜率； （ii ）求证：PF 1+PF 2是定值．16.已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n+1=n n√a n 2+b n 2，n∈N * ，（1）设b n+1=1+ b n a n ，n∈N*，求证：数列{ (b n a n)2}是等差数列；（2）设b n+1= √2 • bn a n，n∈N*，且{a n }是等比数列，求a 1和b 1的值．17.（1）[选修4﹣1：几何证明选讲] 如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使BD=DC ，连接AC ，AE ，DE ． 求证：∠E=∠C．答案第4页，总16页………订…………○…………线…………○※※线※※内※※答※※题※※………订…………○…………线…………○（2）[选修4﹣2：矩阵与变换] 已知矩阵A 的逆矩阵 A−1=[−143412−12] ，求矩阵A 的特征值．（3）[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C 经过点P （ √2 ， π4 ），圆心为直线ρsin（θ﹣ π3 ）=﹣ √32 与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． （4）[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x ，y 满足：|x+y|＜ 13 ，|2x ﹣y|＜ 16 ，求证：|y|＜ 518 ．18.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1． （1）求概率P （ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E （ξ）．19.设集合P n ={1，2，…，n}，n∈N * ． 记f （n ）为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①A ⊆P n ；②若x∈A，则2x ∉A ；③若x∈ ∁P n A ，则2x ∉ ∁P n A ． （1）求f （4）；（2）求f （n ）的解析式（用n 表示）．…………订……………………线……级：___________考号：_________…………订……………………线……参数答案1.{1，2，4，6}【解析】1.解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}， ∴A∪B={1，2，4，6} 所以答案是{1，2，4，6} 【考点精析】根据题目的已知条件，利用集合的并集运算的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握并集的性质：（1）A A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，则A B ，反之也成立． 2.8【解析】2.解：由题，a ，b∈R，a+bi= 11−7i1−2i =(11−7i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=25+15i5=5+3i所以a=5，b=3，故a+b=8 所以答案是8【考点精析】解答此题的关键在于理解复数相等的相关知识，掌握如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等，以及对复数的乘法与除法的理解，了解设则；．3.5【解析】3.解：1﹣5+4=0＞0，不满足判断框．则k=2，22﹣10+4=﹣2＞0，不满足判断框的条件，则k=3，32﹣15+4=﹣2＞0，不成立，则k=4，42﹣20+4=0＞0，不成立，则k=5，52﹣25+4=4＞0，成立， 所以结束循环， 输出k=5．所以答案是：5． 【考点精析】利用算法的循环结构对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，循环结构可细分为两类：当型循环结构和直到型循环结构． 4.6【解析】4.解：过A 作AO⊥BD 于O ，AO 是棱锥的高，所以AO= 3√2 =3√22， 所以四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为V= 13×2×3√2×3√22=6． 所以答案是：6． 5.2【解析】5.解：∵m 2+4＞0∴双曲线 x 2−y 22=1 的焦点必在x 轴上答案第6页，总16页……外…………○…………装……※※请※※不※※要※※……内…………○…………装……因此a 2=m ＞0，b 2=m 2+4 ∴c 2=m+m 2+4=m 2+m+4∵双曲线 x 2m−y 2m 2+4=1 的离心率为 √5 ，∴ ca =√5 ，可得c 2=5a 2 ， 所以m 2+m+4=5m ，解之得m=2 所以答案是：2 6.√2【解析】6.解：∵ AF →=AD →⋅DF →，AB →⋅AF → = AB →⋅(AD →+DF →) = AB →⋅AD →+AB →⋅DF → = AB →⋅DF → = √2 | DF →|= √2 ，∴| DF →|=1，| CF →|= √2 ﹣1，∴ AE →⋅BF →=（ AB →+BE →）（ BC →+CF →）= AB →⋅CF →+BE →⋅BC →=﹣ √2(√2−1)+1×2 =﹣2+ √2 +2= √2 ， 所以答案是： √2 7.17√250【解析】7.解：设β=α+ π6 ，∴sinβ= 35 ，sin2β=2sinβcosβ= 2425 ，cos2β=2cos 2β﹣1= 725 ，∴sin （2α+ π12 ）=sin （2α+ π3 ﹣ π4 ）=sin （2β﹣ π4 ）=sin2βcos π4 ﹣cos2βsin π4 =17√250． 所以答案是：17√250． 【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的余弦公式的相关知识，掌握两角和与差的余弦公式：，以及对两角和与差的正弦公式的理解，了解两角和与差的正弦公式：．8.43【解析】8.解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=√1+k2≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤ 43．∴k的最大值是43．所以答案是：43．9.9【解析】9.解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b= a 24不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+ a 24＜c解集为（m，m+6），则x2+ax+ a 24﹣c=0的两个根为m，m+6∴|m+6﹣m|= √a2−4(a24−c) =6解得c=9所以答案是：910.[e，7]【解析】10.解：∵4c﹣a≥b＞0∴ ca ＞14，∵5c﹣3a≤4c﹣a，∴ ca≤2．从而ba ≤2×4﹣1=7，特别当ba=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc，∴0＜a≤cln ba，从而ba ≥bcln bc，设函数f（x）= xlnx（x＞1），答案第8页，总16页∵f′（x ）=lnx−1(lnx)2，当0＜x ＜e 时，f′（x ）＜0，当x ＞e 时，f′（x ）＞0，当x=e 时，f′（x ）=0，∴当x=e 时，f （x ）取到极小值，也是最小值． ∴f（x ）min =f （e ）= elne =e ．等号当且仅当 b a =e ， b a =e 成立．代入第一个不等式知：2≤ ba =e≤3，不等式成立，从而e 可以取得．等号成立当且仅当a ：b ：c=1：e ：1． 从而 ba 的取值范围是[e ，7]双闭区间． 11.（1）解：∵ AB →⋅AC →=3BA →⋅BC →， ∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB ，由正弦定理 b sinB = asinA 得：sinBcosA=3sinAcosB ， 又0＜A+B ＜π，∴cosA＞0，cosB ＞0，在等式两边同时除以cosAcosB ，可得tanB=3tanA（2）解：∵cosC= √55 ，0＜C ＜π， sinC= √1−cosC 2=2√55， ∴tanC=2，则tan[π﹣（A+B ）]=2，即tan （A+B ）=﹣2， ∴ tanA+tanB1−tanAtanB =﹣2， 将tanB=3tanA 代入得：tanA+3tanA1−tan 2A=﹣2，整理得：3tan 2A ﹣2tanA ﹣1=0，即（tanA ﹣1）（3tanA+1）=0， 解得：tanA=1或tanA=﹣ 13 ， 又cosA ＞0，∴tanA=1， 又A 为三角形的内角， 则A= π4 ．【解析】11.（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c 化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA ；（2）由C 为三角形的内角，及cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC 的值，由tanC 的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan （A+B ）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．12.（1）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B 1（2）解：∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE【解析】12.（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．13.（1）解：在 y=kx﹣120（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣120（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴ x=20k1+k2=201k+k≤202=10，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）解：∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k＞0，使ka﹣120（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，222答案第10页，总16页此时，k=20a±√Δ2a 2＞0． ∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标【解析】13.（1）求炮的最大射程即求 y=kx ﹣ 120 （1+k 2）x 2（k ＞0）与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解． 14.（1）解：由 f （x ）=x 3+ax 2+bx ，得 f′（x ）=3x 2+2ax+b ． ∵1和﹣1是函数f （x ）的两个极值点，∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3（2）解：由（1）得，f （x ）=x 3﹣3x ，∴g′（x ）=f （x ）+2=x 3﹣3x+2=（x ﹣1）2（x+2）=0，解得x 1=x 2=1，x 3=﹣2．∵当x ＜﹣2时，g′（x ）＜0；当﹣2＜x ＜1时，g′（x ）＞0， ∴﹣2是g （x ）的极值点．∵当﹣2＜x ＜1或x ＞1时，g′（x ）＞0，∴1不是g （x ） 的极值点． ∴g（x ）的极值点是﹣2．（3）解：令f （x ）=t ，则h （x ）=f （t ）﹣c ．先讨论关于x 的方程f （x ）=d 根的情况，d∈[﹣2，2]当|d|=2时，由（2 ）可知，f （x ）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f （x ）是奇函数，∴f（x ）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f （2）﹣d=2﹣d ＞0，f （1）﹣d=f （﹣2）﹣d=﹣2﹣d ＜0， ∴一2，﹣1，1，2 都不是f （x ）=d 的根． 由（1）知，f′（x ）=3（x+1）（x ﹣1）．①当x∈（2，+∞）时，f′（x ）＞0，于是f （x ）是单调增函数，从而f （x ）＞f （2）=2． 此时f （x ）=d 在（2，+∞）无实根．②当x∈（1，2）时，f′（x ）＞0，于是f （x ）是单调增函数． 又∵f（1）﹣d ＜0，f （2）﹣d ＞0，y=f （x ）﹣d 的图象不间断， ∴f（x ）=d 在（1，2 ）内有唯一实根． 同理，在（一2，一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1，1）时，f′（x ）＜0，于是f （x ）是单调减函数． 又∵f（﹣1）﹣d ＞0，f （1）﹣d ＜0，y=f （x ）﹣d 的图象不间断， ∴f（x ）=d 在（一1，1 ）内有唯一实根． 因此，当|d|=2 时，f （x ）=d 有两个不同的根 x 1，x 2，满足|x 1|=1，|x 2|=2；当|d|＜2时，f （x ）=d 有三个不同的根x 3，x 4，x 5，满足|x i |＜2，i=3，4，5． 现考虑函数y=h （x ）的零点：（i ）当|c|=2时，f （t ）=c 有两个根t 1，t 2，满足|t 1|=1，|t 2|=2．而f （x ）=t 1有三个不同的根，f （x ）=t 2有两个不同的根，故y=h （x ）有5 个零点．（ii ）当|c|＜2时，f （t ）=c 有三个不同的根t 3，t 4，t 5，满足|t i |＜2，i=3，4，5． 而f （x ）=t i 有三个不同的根，故y=h （x ）有9个零点．综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．【解析】14.（1）求出导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．【考点精析】本题主要考查了函数的极值和函数的零点的相关知识点，需要掌握极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点才能正确解答此题．15.（1）解：由题设知a2=b2+c2，e= ca ，由点（1，e）在椭圆上，得1a2+c2a2b2=1，∴b=1，c2=a2﹣1．由点（e，√32）在椭圆上，得e2a2+34b2=1∴ a 2−1a4+34=1，∴a2=2∴椭圆的方程为x 22+y2=1．（2）解：由（1）得F1（﹣1，0），F2（1，0），又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my．设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，∴由{x122+y12=1x1+1=my1，可得（m2+2）y12﹣2my1﹣1=0．∴ y1=m+√2m2+2m2+2，y1=m−√2m2+2m2+2（舍），∴|AF1|= √m2+1×|0﹣y1|= √2(m2+1)+m√m2+1m2+2①同理|BF2|= √2(m2+1)−m√m2+1m2+2②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|= 2m√2m2+1m2+2，∴ 2m√2m2+1m2+2=√62，解得m2=2．∵注意到m＞0，∴m= √2．∴直线AF1的斜率为1m=√22．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴ PBPF1=BF2AF1，即PF1=AF1AF1+BF2×BF1．由点B在椭圆上知，AF1+BF2=2√2，∴ PF1=AF1AF1+BF2×(2√2−BF2)．同理PF2=BF2AF+BF ×(2√2−AF1)．答案第12页，总16页………○…………订…………○……在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………订…………○……∴PF 1+PF 2= AF 1AF1+BF 2×(2√2−BF 2)+BF 2AF1+BF 2×(2√2−AF 1) = 2√2−2AF 1×BF 2AF 1+BF 2由①②得， AF 1+BF 2=2√2(m 2+1)m 2+2， AF 1×BF 2=m 2+1m 2+2，∴PF 1+PF 2=3√22． ∴PF 1+PF 2是定值．【解析】15.（1）根据椭圆的性质和已知（1，e ）和（e ， √32 ），都在椭圆上列式求解．（2）（i ）设AF 1与BF 2的方程分别为x+1=my ，x ﹣1=my ，与椭圆方程联立，求出|AF 1|、|BF 2|，根据已知条件AF 1﹣BF 2= √62 ，用待定系数法求解；（ii ）利用直线AF 1与直线BF 2平行，点B 在椭圆上知，可得 PF 1=AF 1AF 1+BF 2×(2√2−BF 2) ， PF 2=BF 2AF 1+BF 2×(2√2−AF 1) ，由此可求得PF 1+PF 2是定值．【考点精析】利用直线的斜率和椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tanα；椭圆标准方程焦点在x 轴：，焦点在y 轴：．16.（1）解：由题意可知，a n+1=n n√a n2+b n2=1+bna n √1+(b n a n)=n+1√1+(b n a n)∴ bn+1a n+1=√1+(b n a n)2从而数列{ (b n a n)2}是以1为公差的等差数列（2）解：∵a n ＞0，b n ＞0∴ (a n +b n )22≤a n2+b n2<(a n +b n )2从而 1<n n √a n+b n≤√2 （*）设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0可知q ＞0 下证q=1外…………○…………装………学校:___________姓名：_______内…………○…………装………若q ＞1，则 a 1=a 2q<a 2≤√2 ，故当 n >log q √2a 1时， a n+1=a 1q n >√2 与（*）矛盾0＜q ＜1，则 a 1=a 2q>a 2>1 ，故当 n >log q√2a 1时， a n+1=a 1q n <1 与（*）矛盾综上可得q=1，a n =a 1， 所以， 1<a 1≤√2 ∵ b n+1=√2⋅a n b n=√2a 1b n∴数列{b n }是公比 √2a 1的等比数列若 a 1≠√2 ，则 √2a 1>1 ，于是b 1＜b 2＜b 3又由 a 1=1n√a 12+b n2可得 b n =a 1±a 12√2−a 12a 12−1∴b 1，b 2，b 3至少有两项相同，矛盾 ∴ a 1=√2 ，从而 b n =a 1±a 12√2−a 12a 12−1= √2∴ >a 1=b 1=√2【解析】16.（1）由题意可得，a n+1=n n√a n 2+b n 2=1+bna n √1+(b n a n)=n+1√1+(b n a n)，从而可得 bn+1a n+1=√1+(b n a n )2 ，可证（2）由基本不等式可得，(a n +b n )22≤a n2+b n2<(a n +b n )2 ，由{a n }是等比数列利用反证法可证明q= √2a 1=1，进而可求a 1 ， b 1【考点精析】解答此题的关键在于理解等差关系的确定的相关知识，掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N ）那么这个数列就叫做等差数列，以及对等比数列的基本性质的理解，了解{a n}为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {a n}是各项不为零的常数列． 17. （1）证明：连接 AD ．∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）． ∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC，∴AD 是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．答案第14页，总16页……○…………线…题※※……○…………线…∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）． 又∵D，E 为圆上位于AB 异侧的两点， ∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）． ∴∠E=∠C（等量代换）．（2）解：∵矩阵A 的逆矩阵 A −1=[−143412−12] ，∴A= (A −1)−1=[2321]∴f（λ）= |λ−2−3−2λ−1| =λ2﹣3λ﹣4=0 ∴λ1=﹣1，λ2=4（3）解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣ π3 ）=﹣ √32 与极轴的交点，∴在ρsin（θ﹣ π3 ）=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圆C 的圆心坐标为（1，0）． ∵圆C 经过点P （ √2 ， π4 ），∴圆C 的半径为PC=1． ∴圆 的极坐标方程为ρ=2cosθ．（4）证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y ）﹣（2x ﹣y ）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，|x+y|＜ 13 ，|2x ﹣y|＜16， ∴3|y|＜ 23+16=56 ， ∴ |y|<518【解析】17.（1）．要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E 是同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．（2）．由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而求出矩阵A 的特征值． （3）．根据圆心为直线ρsin（θ﹣ π3 ）=﹣ √32 与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P （ √2， π4 ），求出圆的半径，从而得到圆的极坐标方程．（4）．根据绝对值不等式的性质求证．【考点精析】利用不等式的证明对题目进行判断即可得到答案，需要熟知不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等． 18.（1）解：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8 C 32对相交棱， ∴P（ξ=0）= 2C 32C 122=411 ．（2）解：若两条棱平行，则它们的距离为1或 √2 ，其中距离为 √2 的共有6对， ∴P（ξ= √2 ）=6C 122=111 ，P （ξ=1）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ= √2 ）= 611 ．∴其数学期望E （ξ）=1× 611 + √2×111 =6+√211【解析】18.（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为 √2 的共有6对，即可求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望． 19. （1）解当n=4时，P 4={1，2，3，4}，符合条件的集合A 为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4} 故f （4）=4（2）解：任取偶数x∈p n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k 次后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x=m•2k ，其中m 为奇数，k∈N *由条件可知，若m∈A，则x∈A，⇔k 为偶数 若m ∉A ，则x∈A ⇔k 为奇数于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定，设Q n 是P n 中所有的奇数的集合答案第16页，总16页…………○……※※答※※题※※…………○……因此f （n ）等于Q n 的子集个数，当n 为偶数时（或奇数时），P n 中奇数的个数是 12n （或1+n2） ∴ f(n)={2n 2,n 为偶数2n+12，n 为奇数【解析】19.（1）由题意可得P 4={1，2，3，4}，符合条件的集合A 为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f （4）（2）任取偶数x∈p n ， 将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k 次后，商必为奇数，此时记商为m ，可知，若m∈A，则x∈A，⇔k 为偶数；若m ∉A ，则x∈A ⇔k 为奇数，可求 【考点精析】本题主要考查了元素与集合关系的判断的相关知识点，需要掌握对象与集合的关系是，或者，两者必居其一才能正确解答此题．。
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题.每小题5分。
共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分)(2012•江苏）已知集合A={1。
2.4}。
B=｛2.4。
6}。
则A∪B={1.2。
4.6｝．考点: 并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A。
B两个集合的元素已经给出。
故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}。
B={2。
4.6}。
∴A∪B={1.2.4。
6｝故答案为｛1。
2.4.6}点评：本题考查并集运算。
属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4。
现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析:根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例。
用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例。
得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本。
∴要从高二抽取。
故答案为：15点评:本题考查分层抽样方法。
本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位).则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题: 数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i。
再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a。
b的值。
从而得到所求的答案解答:解：由题.a。
b∈R。
a+bi=所以a=5.b=3。
故a+b=8故答案为8点评:本题考查复数代数形式的乘除运算。
20年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ． 解析：由已知，集合{124}A =，，，{246}B =，，，所以A B = {1,2,4,6}. 答案：{1,2,4,6},2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级 的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生． 解析：由已知，高二人数占总人数的310，所以抽取人数为3501510⨯=. 答案：153．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ． 解析：由已知，2117i 117i i 2515i 2515ii ===53i 12i (12i)(12i 1-4i 5a b --+++==+--+（）(1+2））. ∴538a b +=+=.答案：8.4．右图是一个算法流程图，则输出的k解析：将1k =带入00=不满足， 将2k =带入40-<不满足， 将3k =带入20-<不满足， 将4k =带入00=不满足， 将5k =带入40>满足， 所以5k =. 答案：5.5．函数()f x 的定义域为 ．解析：由题意6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，所以x ∈.答案：6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．解析：满足条件的数有1，3-，33-，53-，73-，93-；所以63105p ==. 答案：35. 7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 2cm ．解析：12632V =⨯=.答案：6.8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ．解析：22450m m e mm ⎧++==⎪⎨⎪>⎩，解得2m =. 答案：2.9．如图，在矩形ABCD中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB AF AE BF的值是 ．解析：以A 为坐标原点，AD AB ,所在直线分别为x 轴和y 轴建立 平面直角坐标系，则由题意知：点B ，点E),设点F (,)a b ，所以AB =u u u r ，(,)AF a b =u u u r；由条件解得点(1,2)F ，所以AE =uu u r，()12BF uu u r ；DABC 1 1D1A1B（第7题）（第9题）所以AE BF =uu u r uu u rg .10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ． 解析：因为2T =，所以(1)(1)f f -=，求得20a b +=. 由13()()22f f =，2T =得11()()22f f =-，解得322a b +=-. 联立20322a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩所以310a b +=-. 答案10-11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ．解析: α为锐角，2663πππα∴<+<，4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q ，3sin 65απ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭；12cos 66sin 22sin 253αααππ⎛π⎛⎫∴+= ⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎝，sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 1234343450ααααπππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．解析：圆C 的圆心为(4,0)，半径为1；由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；故存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤；而m i n AC 即为点C 到直线2y kx =-，2≤，解得403k ≤≤，即k 的最大值是43. 答案：4313．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ．解析：由值域为[0)+∞，得042=-=∆b a ，即24a b =；2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫∴=++=++=+ ⎪⎝⎭，2()2a f x x c ⎛⎫∴=+< ⎪⎝⎭解得2a x +<；不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，)()622aa ∴-==，解得9c =. 答案：914．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ．答案：[,7]e二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC ⋅=⋅ ．（I ）求证：tan 3tan B A =； （II）若cos C =求A 的值． 解析：16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（I ）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （II ）直线1//A F 平面ADE ． 解析：17．（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （I ）求炮的最大射程；（II ）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为2.3千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 解析：若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（I ）求a 和b 的值；（II ）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（III ）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 解析：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （I ）求椭圆的方程；（II ）设B A ,是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若12AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．解析：20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a n *+∈N ．（I ）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（II）设1nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 解析：21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，E D ,为圆上位于AB 异侧的两点，连 结BD 并延长至点C ，使DC BD =，连结DE AE AC ,,． 求证：E C ∠=∠． 解析：B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值． 解析：C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4Pπ，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解析：D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数y x ,满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 解析：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．（I ）求概率(0)P ξ=；（II ）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．解析：23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数：①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若A C x n P ∈，则A C x n P ∉2．（I ）求(4)f ；（II ）求()f n 的解析式（用n 表示）．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ． 2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生．3．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +为．4．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ． 5．函数()f x 的定义域为 ．6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于的概率是 ．7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x ym m -=+的离心率 m 的值为 ．9．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF AE BF的值是 ．（第4题） DABC1 1D 1A1B（第7题） （第9题）10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上， 0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ． 11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ． 14．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =； （2）若cos C =求A 的值．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．17．（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．1A1CFDCABE1B已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若12AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．（第19题）20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a n *+∈N ．（1）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE．求证：E C∠=∠．B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A的逆矩阵113 44 11 22-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A，求矩阵A的特征值．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x C A ∈，则2n P x C A ∉． （1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）（重点详解）1．{1246}，，， 2．15 3．8 4．5 5．(0 6．357．详解：连接AC 交BD 于点O ，则四棱锥11A BB D D -的体积为11163BB D D S AO ⋅=．8．详解：222222221c a b b e a a a -===- ，24510m m m +∴=-＞，．2m =． 9．详解：由AB AF =()AB AD DF +AB DF ∴ AE BF ()()AB BE BC CF AB CF BE BC =++=+()22AB CD DF AB CD AB DF =++=++= 法二：建立直角坐标系，利用坐标运算求解10．详解：由题11()()22f f =-，(1)(1)f f -=，解得3122b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，，24a b =⎧⎨=-⎩，， 则310a b +=-．11．详解：由α为锐角及4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭知360ππα<+<，252454532)6cos()6sin(2)32sin(=⨯⨯=++=+παπαπα ，2571)6(cos 2)32cos(2=-+=+παπα]4)32sin[()122sin(ππαπα-+=+∴50217)]32cos()32[sin(22=+-+=παπα． 12．详解：由题圆C ：22(4)1x y -+=，(40)C ，，1r =，设(2)M t k t -，为另一圆的圆心，所以[02]CM =，，则22(1)(84)160k t k t +-++≤关于t ∈R 有解，故222(84)64(1)0k t k ∆=+-+≥，则403k ≤≤， ∴k 的最大值是43． 13．详解：由题240a b ∆=-=(1)，20x ax b c ++-=的根为 6m m +，，6m m a ++=- (2) ，(6)m m b c +=-(3)，由(1) (3)得2222(6)(3)944a a c m m m =-+=-++，由(2) 32a m -+=，故9c =．14．详解：由题a b c ，，＞０，534ln ln c a b c a c b a c c --+≤≤≥，，5341c b ca a a∴--≤≤，ln b c a c ≥，令b cx y a a==，，则5341y x y --≤≤且ln 100x y x y y >>≥，，， ln 1x y y ≥化为1e yx y ≥，令1t y=，则e t x t ≥，令e t u t =，则2e (1)t t u t -'=，10t u '>>，，010t u '<<<，，所以1()t u t >，增，01()t u t <<，减，则min e u =，结合图形[e 7]bx a=∈，.17．18．[来源:学&科&网Z&X&X&K]19．[来源:学科网ZXXK]20．23．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（江苏卷）解析一.填空题：1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ． 【答案】 {}6,4,2,1【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A 和集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是1 ，2，4，6，所以答案为{}6,4,2,1. 【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，难度系数较小.2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：1510350=⨯人，答案 15 . 【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视．3. 设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 【答案】8【解析】据题i ii i i i i i bi a 3551525)21)(21()21)(711(21711+=+=+-+-=--=+，所以 ,3,5==b a 从而 8=+b a .【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化的实质.4. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】5【解析】根据循环结构的流程图，当1=k 时，此时0452=+-k k ；不满足条件，继续执行循环体，当2=k 时，6452-=+-k k ；不满足条件，继续执行循环，当3=k 时，2452-=+-k k 不满足条件，然后依次出现同样的结果，当5=k 时，此时4452=+-k k ，此时满足条件跳出循环，输出k 的值为5．【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成，考查循环结构的流程图.注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k 的值．这是新课标的新增内容，也是近几年的常考题目，要准确理解循环结构流程图的执行过程．5. 函数()f x 的定义域为 ▲ ．【答案】(【解析】根据题意得到 0log 216≥-x ，同时，x ＞0 ，解得21log 6≤x ，解得6≤x ，又x ＞0，所以函数的定义域为：(.【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略x ＞0这个条件，因此，要切实对基本初等函数的图象与性质有清晰的认识，在复习中应引起高度重视.本题属于基本题，难度适中.6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】53【解析】组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为53. 【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为 cm 3.【答案】36cm【解析】如图所示，连结AC 交BD 于点O ，因为 平面D D BB ABCD 11⊥，又因为BD AC ⊥，所以，D D BB AC 11平面⊥，所以四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，根据题意3cm AB AD ==，所以223=AO ，又因为BD =，12cm AA =，故矩形D D BB 11的面积为2，从而四棱锥D D BB A 11-的体积3126c m3V =⨯=. 【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，这是解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中.8. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为 ▲ ． 【答案】2【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在x 轴上（否则不成立），因此m ＞0，由离心率公式得到542=++mm m ，解得 2=m . 【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的，在对本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋势看，几乎年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中.9. 如图，在矩形ABCD中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB AF AE BF的值是 ▲ ．【答案】2【解析】根据题意,→→→+=DF BC AF 所以()cos0AB AF AB BC DF AB BC AB DF AB DF AB DF →→→→→→→→→→→→→→∙=∙+=∙+∙=∙=⋅︒==从而得到1=→DF ，又因为→→→→→→+=+=CF BC BF DF AD AE ,，所以2180cos 00)()(2=⋅+++=+∙+=∙︒→→→→→→→→→CF DF BC CF BC DF AD BF AE .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法找到1=→DF ，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目.10. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ． 【答案】10- .【解析】因为1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的周期为2，所以)21()223()21(-=-=f f f ，根据0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，得到223-=+b a ，又)1()1(-=f f ，得到02,221=++=+-b a b a 即，结合上面的式子解得4,2-==b a ，所以103-=+b a .【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性将式子化简为)21()223()21(-=-=f f f 然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档题，难度适中.11. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为 ▲ ．【答案】50217 【解析】根据4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2571251621)6(cos 2)32cos(2=-⨯=-+=+παπα，因为0)32c o s ( πα+，所以 25242571)32sin(2=⎪⎭⎫⎝⎛-=+πα，因为502174sin )32cos(4cos )32sin(]4)32sin[()122sin(=+-+=-+=+ππαππαππαπα. 【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高.12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】34 【解析】根据题意228150x y x +-+=将此化成标准形式为：()1422=+-y x ，得到，该圆的圆心为M ()0,4半径为1 ，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d ，即可，所以有21242≤+-=k k d ，化简得0)43(≤-k k 解得340≤≤k ，所以k 的最大值是34 .【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，这句话的理解，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d 即可，从而将问题得以转化.本题属于中档题，难度适中.13. 已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 【答案】9【解析】根据函数0)(2≥++=b ax x x f ，得到042=-b a ，又因为关于x 的不等式()f x c <，可化为：20x a xb c ++-<，它的解集为()6,+m m ，设函数c b ax x x f -++=2)(图象与x 轴的交点的横坐标分别为21,x x ，则6612=-+=-m m x x ，从而，36)(212=-x x ，即364)(21221=-+x x x x ，又因为 a x x c b x x -=+-=2121,，代入得到 9=c .【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大.14. 已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]7,e【解析】根据条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，()cbc c b c a ln ln ln =-≤，得到 ln ,1ac b a be c c c≥≥>，得到c b <.又因为b a c ≤-35，所以35a b c +<，由已知a c b -≤4，得到4a b c +>.从而b b a ≤+4，解得31≥a b . 【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大. 二、解答题15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 【答案及解析】【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ． 【答案及解析】【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化．17. （本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【答案及解析】【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中．18．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案及解析】【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大． 19. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若12AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值． 【答案及解析】【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件2621=-BF AF 时，需要注意直线1AF 和直线2BF平行这个条件.本题属于中档题．20. （本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a n *+=∈N ．（1）设11n n n b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案与解析】【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点 、重点问题，在训练时，要引起足够的重视.数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE．求证：E C∠=∠．【答案与解析】【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重．B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A的逆矩阵113 44 11 22-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A，求矩阵A的特征值．【答案与解析】【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 【答案与解析】【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线23)3sin(-=-πθρ与极轴的交点，考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 【答案与解析】【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用. 22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ． 【答案与解析】【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，在列分布列时，要注意ξ的取值情况，不要遗漏ξ的取值情况． 23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð． （1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）． 【答案与解析】【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集和函数的解析式的求法.本题属于中档题，难度适中.。
