高考函数专题复习教师版

专题2 函数的图象1.已知函数32()f x ax bx c =++，其导数()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的极大值是( )A ．a b c ++B ．84a b c ++C ．32a b +D ．c【解析】由导函数的图象知，()f x 在(1,2)递增；在(2,)+∞上递减，所以当2x =时取得极大值， 极大值为：f （2）84a b c =++，则函数()f x 的极大值是84a b c ++故选B2.设函数()y f x =可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x ='可能为( )A ．B ．C ．D ．【解析】根据()y f x =的图象可知其定义域为{|0}x x ≠，故其导函数的定义域也为{|0}x x ≠，又从原函数()y f x =的图象可知，函数()y f x =的单调性是：函数()y f x =在(,0)-∞，(0,)a 上是增函数，在(,)a b 上是减函数，在(,)b +∞是增函数，即()y f x =是先增后减再增，得出导函数是先正后负再正， 根据选项中的函数()f x 的单调性知选D ．故选D 3.函数sin 21cos xy x=-的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】函数sin 21cos x y x =-，可知函数是奇函数，排除选项B ，当3x π=时，2()1312f π==-A ，x π=时，()0f π=，排除D ．故选C4.若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．()2||xf x ln x =B ．2()||f x ln x x =-C ．1()||f x ln x x=+ D ．||()||xln x f x x =【解析】函数图象关于原点对称，函数为奇函数，排除B ，C ，又f （1）0=，则()2||xf x ln x =无意义，排除A ，故选D 5．函数2||()1xln x f x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解析】因为2||()()()1xln x f x f x x ---==--+，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，因为f （1）0=，01x <<时，()0f x <，所以排除B ．故选A6.函数22,01()(),01xlnxx x f x xln x x x ⎧>⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】若0x >，则0x -<，则2()()1xlnxf x f x x --==-+，若0x <，则0x ->， 则2()()()1xln x f x f x x ---==-+，综上()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数，图象关于圆的对称，排除C ，D ，当0x >，且0x →时，()0f x <，排除B ，故选A 7.函数||()||xln x f x x =的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ．【解析】|()|||()()||||x ln x xln x f x f x x x ----===--，()f x ∴是奇函数，图象关于原点对称，故A ，C 错误；又当1x >时，||0ln x lnx =>，()0f x ∴>，故D 错误，故选B8.函数1()()cos (f x x x x xππ=--且0)x ≠的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．【解析】11()()cos()()cos ()f x x x x x f x x x -=-+-=--=-，∴函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 的图象关于原点对称，故排除A ，B ，当x π=时，11()()cos 0f ππππππ=-=-<，故排除C ， 故选D 9.已知21()sin()42f x x x π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是( ) A ． B ．C ．D ．【解析】由2211()sin()cos 424f x x x x x π=++=+，1()sin 2f x x x ∴'=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ．又1()cos 2f x x ''=-，当33x ππ-<<时，1cos 2x >，()0f x ∴''<，故函数()y f x ='在区间(3π-，)3π上单调递减，故排除C ．故选A10.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④【解析】根据()0f x '>时，()f x 递增；()0f x '<时，()f x 递减可得：①中函数的图象从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；②中函数的图象也是从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；所以①②可能正确．而③中函数的图象从左向右先减后增，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0，大于0；④中函数的图象从左向右先增后减后，对应的导函数也是小于0，大于0，再小于0，大于0；所以③④可能错误．故选B11.已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式(2)()0x f x '->的解集为( )A ．(-∞，2)(1-⋃，)+∞B ．(-∞，2)(1-⋃，2)C ．(-∞，1)(2⋃，)+∞D ．(1-，1)(2⋃，)+∞【解析】由函数()f x 的图象可得，当(,1)x ∈-∞-，(1,)+∞时，()0f x '>， 当(1,1)x ∈-时，()0f x '<．由()0(2)()020f x x f x x '>⎧-'>⇔⎨->⎩①或()020f x x '<⎧⎨-<⎩②解①得，2x >，解②得，11x -<<，综上，不等式(2)()0x f x -'>的解集为(1-，1)(2⋃，)+∞，故选D12.函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示，则2212x x +等于( )A ．89B ．109C ．169D ．289【解析】32()f x x bx cx d =+++，由图象知，10b c d -+-+=，0000d +++=，8420b c d +++=，0d ∴=，1b =-，2c =-，22()32322f x x bx c x x ∴'=++=--．由题意有1x 和2x 是函数()f x 的极值点，故有1x 和2x 是()0f x '=的根，1223x x ∴+=，1223x x =-．则2221212124416()2939x x x x x x +=+-=+=，故选C 13.如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则12(x x += )A ．23B ．109 C ．89D ．289【解析】32()f x x bx cx d =+++，由图象知，10b c d -+-+=，0000d +++=，8420b c d +++=，0d ∴=，1b =-，2c =-22()32322f x x bx c x x ∴'=++=--． 由题意有1x 和2x 是函数()f x 的极值，故有1x 和2x 是()0f x '=的根，1223x x ∴+=，故选A 14.函数2()()ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a <，0b >，0c <B ．0a >，0b <，0c <C ．0a >，0b <，0c >D ．0a <，0b >，0c >【解析】依题意，函数()f x 的定义域为{|}x x c ≠-，从函数图象上看，0c ->，故0c <，当0x =时，()0f x <，所以20bc<，所以0b <，根据函数图象，当x →∞时，0ax b +>，故0a >，故选B 15.函数2()()ax bf x x c +=+的图象大致如图所示，则下列结论正确的是( )A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b >，0c <C ．0a <，0b <，0c >D ．0a >，0b >，0c <【解析】函数2()()ax bf x x c +=+，x c ∴=-时，函数值不存在，结合函数图象得0c >，排除B 和D ；当0x =时，(0)f b =，结合函数图象得0b >，排除C ．故选A16.函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a <，0b <，0c >，0d >D ．0a >，0b >，0c >，0d <【解析】由图可知，(0)0f d =>，32()f x ax bx cx d =+++，2()32f x ax bx c '∴=++，从图象可知，()f x 先递增，后递减，再递增，且极大值点和极小值点均大于0， 其导函数的图象大致如下：0a ∴>，03ba->，△2(2)430b a c =->，(0)0f '>，0a ∴>，0b <，0c >．故选A 17.函数22||(2)sin x x y x e x=-在[2-，2]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】根据题意，函数22||(2)sin x x y x e x=-在[2-，2]中，必有0x ≠；又由222||2||()()[2()](2)()sin()sin x x x x f x x e x e f x x x ---=--=--=--，函数为奇函数，排除B ，f （1）12(2)1sin1sin1e e -=-=≈-，排除D ，f （2）224(22)2sin 2e =⨯-≈，排除C ； 故选A18.函数2||2x y x e =-+在区间[2-，2]上的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】根据题意，函数2||()2x y f x x e ==-+，有f （2）280e =-+<，排除A ，又由(0)1f =，11()122f =-+>，f （1）21e =-+<，排除C 、D ，故选B19.函数2||22x y x =-在[2-，2]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】函数2||22x y x =-在[2-，2]是偶函数，排除选项B 、D ， 当2x =时，f （e ）40=>，排除选项A ．故选：C ．20.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．2()||f x ln x x =-B ．()||||f x ln x x =-C ．2()2||f x ln x x =-D ．()2||||f x ln x x =-【解析】由图可知，函数()f x 为偶函数，于是只需考查0x >的情况即可，且当0x >时，()f x 的极大值点小于1．选项A ，2()f x lnx x =-，1()2f x x x'∴=-，令()0f x '=，则x ，当(0,)2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(2x ∈，)+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x ∴在(0,)+∞上的极大值点为1x <，符合题意；同理可得，选项B 中函数对应的极大值点为1x =， 选项C 中函数对应的极大值点为1x =，选项D 中函数对应的极大值点为21x =>，均不符合题意， 故选A21.已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．1()||f x ln x x =-B ．1()||f x ln x x =+C ．1()||f x ln x x=- D ．1()||||f x ln x x =+【解析】选项A ，f （1）1=-与图象矛盾，故A 错误；选项C ，1()10f e e =-<与图象矛盾，故C 错误；选项D ，(1)1f -=与图象矛盾，故D 错误．故选B 22.函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2x x f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-【解析】由图象可知，函数的定义域为R ，故排除C ；由f （1）0=可知，故排除D ； 当x →-∞时，()0f x →，故排除A ；故选B23.已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．||()x ln x f x e =B ．()||xf x e ln x = C ．||()ln x f x x =D ．()(1)||f x x ln x =- 【解析】由图象可知，当x →+∞时，()0f x →，当x →-∞时，()f x →+∞对于A ：满足要求，对于B ：当x →+∞时，()||x f x e ln x =→+∞，不满足，对于C ：当x →-∞时，()||0x f x e ln x =→，不满足，对于D ：当x →-∞时，()(1)||f x x ln x =-→+∞，不满足，故选A 24.已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )A ．2()||xf x ln x =B ．2||()||x f x ln x =C ．21()1f x x =- D ．1()1||||f x x x =-【解析】由函数的图象可知函数是偶函数，选项A 函数是奇函数不成立． 0x =，函数没有意义，所以选项C 的函数不成立；1x >时，11()11||||f x x x x x==--，函数是减函数，所以选项D 不成立；故选B25.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )11A ．||()cos x f x e x =B ．()||cos f x ln x x =C ．||()cos x f x e x =+D ．()||cos f x ln x x =+ 【解析】由图可知()02f π>，故可排除A ，B ；对于||:()cos x C f x e x =+，当(0,1)x ∈时()0f x >，故可排除C ．故选D26.已知函数()f x 的局部图象如图所示，则()f x 的解析式可以是( )A ．1||()sin 2x f x e x π=B ．1||()cos 2x f x e x π=C ．()||sin 2f x ln x x π=D ．()||cos 2f x ln x x π= 【解析】由图可知，函数()f x 为偶函数，可排除选项A 和C ；对于选项B 和D ，都有f （1）0=， 当(0,1)x ∈时，1||()cos 02x f x ex π=>，与函数图象不符；()||cos 02f x ln x x π=<，与函数图象符合，所以选项B 错误．故选D。

第11讲 函数复习专题2.函数图象与零点（教师）一、教学目标：1.会运用函数图象理解和研究函数的性质．2.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．3．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解二、重点难点：1.函数图像及运用2.函数零点与方程关系三、教学方法：“一学二记三应用” 四、知识梳理：（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.的图像的画法：先画时，再将其关于对称，得轴左侧的图像. 的图像画法：先画的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于 轴翻折上去. 的图象关于对称；的图象关于点对称.的图象关于轴对称的函数图象解析式为；关于轴对称的函数解析式为；关于原点对称的函数解析式为.(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如的图象五．课前评估：1．[2022·重庆六校联考]函数f (x )＝sin πxx2的大致图象为( )0(0(()()a a a a f x f x a ><−−−−−−−→+向左平移个单位）向右平移个单位）0(0(()()+k k k f x f x k ><−−−−−−−→向上平移k 个单位）向下平移个单位）11(101(()()(0,1)f x f x w ωωωωωω><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的纵坐标不会，横坐标缩短为原来的）图像上所有点的纵坐标不会，横坐标伸长为原来的）1(01(()()(0,1)A A A f x Af x A A ><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的横坐标不会，纵坐标伸长为原来的）图像上所有点的横坐标不会，纵坐标缩短为原来的A ）()f x 0x ≥()y f x =y y ()f x()y f x =x x x ()()f a x f a x +=-()y f x =x =a ()()f a x f a x +=--()y f x =(a,0）()y f x =x (y f x =-）y (-y f x =）-(-y f x =）1y x x=+xyf x () = x +1x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O答案：D 解析：易知函数f (x )＝sinπxx 2为奇函数且定义域为{x |x ≠0}，只有选项D 满足， 2．[2022·福州质检]若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e －x －1答案：D 解析：与y ＝e x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度，得y ＝e －x 的图象，∴f (x )的图象是由y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.3．[2022·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )A BCD答案：B 解析：∵ y ＝e x －e －x是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴ f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e>0，排除D 选项．又e>2，∴ 1e <12，∴ e －1e>1，排除C 选项．故选B.题型一 识图与辨图例1（1）（2022年高考浙江卷）在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是答：D（2）在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-， ()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（ ）A. B. C. D.（3）（2022年高考全国3卷）函数3222x xxy -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．答：B（4）（2022年高考全国1卷）函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．答：D课堂练习1：（1）（内江市高中2022届第一次模拟考试题）函数()()21=ln 2x f x x e -+-的图象大致是（ ）2sin cos ++x xx xA. B C. D.答：C （2）．（2022届吉林省五地六校联考高三考前适应卷）已知函数()(22)ln ||x x f x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .题型二 图象初等变换例2 （1）（江西省红色七校2022届高三第一次联考理科数学科试题）设，则函数的图象的大致形状是（ ）答：B（2）已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案：C 解析：由图②知，图象关于y 轴对称，对应的函数是偶函数．对于A ，当x >00a >()y x x a =-时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C选项是正确的．（3）已知函数，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.解析】，函数在处图象有跳跃点，选项AC错误；当（4）．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案：C解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．（5）[2022·咸宁模拟]已知a>0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是图中的()答案：B解析：通解因为y＝a x与y＝log a x互为反函数，而y＝log a x与y＝log a(－x)的图象关于y轴对称，根据图象特征可知选B.优解首先，曲线y＝a x只可能在x轴上方，曲线y＝log a(－x)只可能在y轴左边，从而排除A，C；其次，y＝a x与y＝log a(－x)的增减性正好相反，排除D，选B.（6）（提高）函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除B 、D ；又由当时，函数，排除C ，故选A.[规律方法] 识图常用方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 课堂练习2.（1）.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【解析】根据函数表达式得到,故函数是奇函数，排除D 选项，当x 趋向于正无穷时，函数值趋向于0，并且大于0，排除B ；当x 从左侧趋向于1时，函数值趋向于负无穷，故排除 C.故答案为:A. （2） 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【解析】试题分析：化简函数的解析式，判断函数的对称性，利用函数的值判断即可． 详解：函数f （x ）==，可知函数的图象关于（2，0）对称，排除A ，B ．当x ＜0时，ln （x ﹣2）2＞0，（x ﹣2）3＜0，函数的图象在x 轴下方，排除D ，故选：C ．题型三 零点判断与运用例3 （1）[2022·南昌调研]函数f (x )＝2x ＋ln 1的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)答案：B 解析：易知f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x－ln(x －1)在(1，＋∞)上单调递减且连续，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x>0，所以f (x )>0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln1＝1，f (3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83，8＝22≈2.828>e ，所以8>e 2，即ln8>2，所以f (3)<0.所以f (x )的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B.（2）．[2022·山东枣庄模拟]函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝x 12与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，如图所示．由图知，两个函数图象只有一个交点，所以函数f (x )的零点只有1个．故选B. a c 若()2019()()f x x a x b =---的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是（ ） A ． a c b d >>> B ．a b c d >>> C.c d a b >>> D ．c a b d >>>答：由()2019()()f x x a x b =---，又()()2019f a f b ==，c ，d ，为函数()f x 的零点，且a b >，c d >，所以可在平面直角坐标系中作出函数()f x 的大致图像，如图所示，由图可知c a b d >>>，故选D.（4） [2022·河南省实验中学模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为( )A ．3 B ．2 C ．0 D ．4答案： A 解析：y ＝f (f (x ))－1＝0，即f (f (x ))＝1.当f (x )≤0时，得f (x )＋1＝1，f (x )＝0. 所以log 2x ＝0，得x ＝1；由x ＋1＝0，得x ＝－1.当f (x )>0时，得log 2f (x )＝1， 所以f (x )＝2.由x ＋1＝2，得x ＝1(舍去)；由log 2x ＝2，得x ＝4. 综上所述，函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为3.故选A. （5） （提高）已知函数,则函数的零点个数是( ）A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【解析】分析：令 函数的零点个数问题的根的个数问题．结合图象可得的根，方程有1解，有3解，有3解.从而得到函数的零点个数详解：令函数的零点个数问题的根的个数问题．即 的图象如图，结合图象可得的根方程 有1解，有3解，有3解.综上，函数的零点个数是7．故选A.（6）（提高） 定义在实数集上的函数满足，当时，，则函数的零点个数为__________．【解析】分析：先根据函数的奇偶性与周期性画出函数的图象，以及的图象，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点.详解：定义在上的函数，满足，上的偶函数，因为满足，函数为周期为的周期函数，且为上的偶函数，因为时，，所以，在上递增，且值域为，根据周期性及奇偶性画出函数的图象和的图象，如图，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点，故答案为.课堂练习3：(1)已知函数f (x )＝1x －a为奇函数，g (x )＝ln x －2f (x )，则函数g (x )的零点所在区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解：由函数f (x )＝1x －a为奇函数，可得a ＝0，则g (x )＝ln x －2f (x )＝ln x －2x ，所以g (2)＝ln2－1<0，g (3)＝ln3－23>0，所以g (2)·g (3)<0，可知函数的零点在(2,3)之间。

其次节同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求：1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α.2．借助单位圆的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．一、教材概念·结论·性质重现1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：=tan α.(3)常见变形：sin α＝±；cos α＝±；(sinα±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.利用同角三角函数的基本关系可以实现正弦、余弦、正切值的转化，但肯定要留意确定角的终边所在的象限．“同角”有两层含义：一是角相同，二是随意一个角(在有意义的前提下)．2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角απ＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名变更，符号看象限诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限．”其含义理解为：(1)全部诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数，变与不变是指三角函数名称的变更．(2)结果的符号与把α当成锐角时角k·±α(k∈Z)的三角函数值的符号相同．二、基本技能·思想·活动阅历1．推断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)对随意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．( √)(2)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.( ×)(3)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈，则m<－5或m≥3.(×) 2．若α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于( )A．B．－C．D．－D解析：因为tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝±.因为α是第四象限角，所以sin α＝－.3．已知sin ＝，则cos ＝( )A．C．－D．－C解析：因为sin ＝，所以cos ＝cos ＝－sin ＝－.故选C.4．若α是第三象限角且cos α＝－，则sin α＝_______，tan α＝_________．－解析：因为α是第三象限角且cos α＝－，所以sin α＝－＝－，所以tanα＝＝.5．已知sin α＝，则·sin (α－π)·cos (2π－α)的值为_________．－解析：原式＝·(－sin α)·cos (－α)＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α＝－.考点1 同角三角函数关系的基本应用——应用性考向1 知弦求弦、切或知切求弦(1)(2024·济南一模)已知α∈(0，π)，若cosα＝－，则tan α的值为( ) A．B．－C．D．－D解析：因为α∈(0，π)，cos α＝－，所以sin α＝，则tan α＝－.(2)已知3sin ＋sin (θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ＝( )A．－B．－C．A解析：由3sin ＋sin (θ＋π)＝0，可得3cos θ＝sin θ，可得tan θ＝3. 而θ∈(－π，0)，可得sin θ＝－＝－.本例(2)条件不变，求cos θ的值．解：由3sin ＋sin (θ＋π)＝0，可得3cos θ＝sin θ，可得tan θ＝3.而θ∈(－π，0)，可得sin θ<0.又tan θ＝3>0，所以cos θ<0，所以cos θ＝－＝－.1．利用sin 2α＋cos2α＝1可以实现正弦、余弦的互化，利用tanα＝可以实现弦切互化．2．由一个角的随意一个三角函数值可以求出这个角的另外两个三角函数值，求值时要留意角所在的象限，以免出现符号错误．考向2 弦切互化求值(1)已知cos θ＝，则sin θ·的值为( )A．B．－C．3 D．－3C解析：原式＝sin θ＝sin θ·＝3.(2)(2024·新高考全国Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝( )A．－B．－C．C解析：将式子进行齐次化处理，得＝in θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.本例(2)条件不变，求cos2θ－sin2θ的值．解：cos2θ－sin2θ＝＝＝1.1．弦化切的常见结构(1)形如“a sin2α＋b sin αcos α＋c cos2α”的二次式，分母看作1，利用1＝sin2α＋cos2α将原式转化为齐次式求值．(2)形如“次分式．2．切化弦当要化简的式子中同时出现正弦、余弦、正切时，一般利用公式tan α＝，把式中的正切化为弦．考向3 sin α±cos α，sin αcos α之间的关系(1)已知sin α＋cos α＝，且α∈(0，π)，则sin α－cos α＝( )A．±B．－C．C解析：把sin α＋cos α＝，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝－<0.因为0<α<π，故sin α>0，cos α<0.所以sin α－cos α＝＝＝＝.(2)已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x等于( )A．－C．D．－D解析：由题意可知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则(sin x＋cos x)2＝.因为sin2x＋cos2x＝1，所以2sin x cos x＝－，即＝＝－，得tan x＝－或tan x＝－. 当tan x＝－时，sin x＋cos x<0，不合题意，舍去．所以tan x＝－.留意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．1．已知tan θ＋＝4，则sin4θ＋cos4θ＝( )A．C．D解析：由tanθ＋＝＝＝4，得sin θcos θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×＝.2．若sinα＋cos α＝，α∈(0，π)，则＝( )A．B．－C．D．－B解析：因为sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，所以两边平方，可得1＋2sin αcos α＝，可得2sin αcos α＝－＜0，所以sin α＞0，cos α＜0，可得cos α－sin α＝－＝＝－＝－，所以＝＝－＝－.考点2 诱导公式的应用——综合性(1)sin ·cos ·tan 的值是_________．－解析：原式＝sin ·cos ·tan＝··＝×(－)＝－.(2)(2024·北京卷)若P(cos θ，sin θ)与Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值：_________．(答案不唯一)解析：因为P(cos θ，sin θ)与Q关于y轴对称，故其横坐标相反，纵坐标相等，即sin θ＝sin 且cos θ＝－cos ，由诱导公式sin θ＝sin (π－θ)，cos θ＝－cos (π－θ)，所以θ＋＝π－θ，解得θ＝，则符合题意的θ值可以为.1．诱导公式的两个应用口诀(1)求值：负化正，大化小，化到锐角就终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少目的到．2．角的变更的通式特别角±已知角＝所求角．1．下列各选项中与sin 2 022°最接近的是( )A．C．－D．－D解析：sin 2 022°＝sin (1 800°＋222°)＝sin 222°＝sin(180°＋42°)＝－sin 42°≈－.2．已知sin ＝－，则cos ＝( )A．C．－D．－B解析：cos ＝cos ＝－cos ＝－sin ＝.已知3cos x＋4sin x＝5，求tan x的值．[四字程序]读想算思求tan x的值1．同角的正弦、余弦和正切有什么关系？2．3cos x＋4sin x 的最大值是多少？3．由已知条件联想点A(cosx，sin x)在哪条直线上1．求sin x和cos x．2．协助角公式1．方程思想．2．数形结合．3．转化与化归3cos x ＋4sinx＝51．sin2x＋cos2x＝1，tan x＝.2．3cos x ＋4sin x的最大值为5.3．点A(cos x，sin x)在直线3x＋4y＝5上1．联立3cos x＋4sinx＝5与sin2x＋cos2x＝1.2．3cos x＋4sin x＝5sin (x＋φ)1．tan x可看作直线的斜率．2．将已知条件变为cos x＋sinx＝1思路参考：解方程组解：由消去cos x，整理得(5sin x－4)2＝0，解得sin x＝，cos x＝.故tan x＝＝.思路参考：留意到3cos x＋4sin x的最大值为5，利用协助角公式推出x与协助角的关系．解：3cos x＋4sin x＝5＝5sin (x＋φ)＝5，其中cos φ＝，sin φ＝，所以tan φ＝，所以x＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．于是tan x＝tan ＝＝.思路参考：令tan x＝t，借助已知条件用t表示sin x和cos x.解：令tan x＝t，即t cos x＝sin x，代入3cos x＋4sin x＝5，得3cos x＋4t cos x＝5，所以cos x＝，sin x＝.再代入sin2x＋cos2x＝1，得＋＝1，解得t＝，即tan x＝.思路参考：设P(m，n)为角x终边上随意一点，r＝，利用三角函数的定义求解．解：设P(m，n)为角x终边上随意一点，点P到原点O的距离为r，则r＝.把sin x＝，cos x＝代入已知等式得3·＋4·＝5，即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)，整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n.明显m≠0，故tan x＝＝.思路参考：设点A(cos x，sin x)是直线3x＋4y＝5与单位圆x2＋y2＝1的切点，而tan x ＝k OA.解：由3cos x＋4sin x＝5可知点A(cos x，sin x)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位圆x2＋y2＝1上，所以点A为直线3x＋4y＝5与单位圆的切点．由于直线3x＋4y＝5的斜率为－，所以OA的斜率为，即tan x＝.思路参考：m＝(cos x，sin x)，n＝，证明m∥n.解：因为cos x＋sin x＝1，不妨令m＝(cos x，sin x)，n＝，可知|m|＝1，|n|＝1，所以m，n均为单位向量，且m·n＝1.由|m||n|≥|m·n|，等号成立的条件为m∥n，则有cos x＝sin x，即tan x＝.1．本题考查同角三角函数基本关系的应用，基本解题方法是构建方程(组)、数形结合等．在求解过程中，应留意同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程．2．基于课程标准，解答本题一般须要有良好的运算求解实力、转化与化归的实力．本题的解答体现了数学运算的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题的多种解法中涉及同角三角函数基本关系式、方程、协助角公式、直线与圆、向量等学问，渗透着函数与方程、等价转换、数形结合等思想方法，对提升思维的敏捷性起到了主动的作用．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，求sin θ＋cos θ的值．解：因为sin θ－2cos θ＝－，所以sin θ＝2cos θ－，所以＋cos2θ＝1，所以5cos2θ－cosθ－＝0，即＝0.又因为θ为第一象限角，所以cos θ＝，所以sin θ＝，所以sin θ＋cos θ＝.课时质量评价(二十二)A组全考点巩固练1．已知sin α＝，α∈，则tan α＝( )A．B．－C．D．－D解析：因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，则tanα＝＝－.2．已知α是其次象限角，sin (π－α)＝，则cos (π＋α)＝( )A．－B．－C．D解析：因为α是其次象限角，sin (π－α)＝，可得sin α＝，所以cos α＝－＝－，则cos(π＋α)＝－cos α＝.3．已知tan α＝3，则＝( )A．－C．±D解析：因为tanα＝3，所以＝＝＝.4．(2024·安徽模拟)已知cos＋cos (π＋α)＝，则tan α＋＝( ) A．2 B．－2C．D．3A解析：因为cos ＋cos (π＋α)＝，所以－sin α－cos α＝，即sin α＋cos α＝－，两边平方，可得1＋2sin αcos α＝2，所以sin αcos α＝，所以tan α＋＝＝＝2.5．已知cos ＝，则cos ＝______，sin＝_________．－解析：cos ＝cos ＝－cos ＝－.sin ＝sin ＝cos ＝.6．已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 021)＝_________．－3解析：因为f(4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，所以f(2 021)＝a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π＋β)＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.B组新高考培优练7．(多选题)已知α是三角形内角，若sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的值可能为( )A．－B．－C．BC解析：因为α是三角形内角，所以α∈(0，π)，又因为(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝1＋2sin αcos α＝，解得2sin αcos α＝.因为sin αcos α>0且α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α>0，所以sin α－cos α符号不确定，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝，所以sin α－cos α＝±.8．(2024·聊城模拟)已知α，β∈，且满意sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan (2π＋α)＋tan 的最小值为( )A．2 B．C．1 D．2D解析：因为sin αcos β－2cos αsin β＝0，α，β∈，所以tan α>0，tan β>0，tan α＝2tan β，所以tan (2π＋α)＋tan ＝tan α＋＝2tan β＋≥2，当且仅当tan β＝时等号成立．9．(2024·承德二模)若α∈，2sin α＋cos α＝，则tan α＝( )A．－2 B．2C．D．－A解析：由2sin α＋cos α＝，两边平方，可得(2sin α＋cos α)2＝，即4sin2α＋4sinαcos α＋cos2α＝.所以，所以，则11tan2α＋20tanα－4＝0.解得tan α＝－2或tan α＝.因为α∈，所以tan α＝－2.10．(2024·浙江卷)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝_________．解析：因为3sin α－sin β＝，α＋β＝，所以3sin α－cos α＝，所以cos α＝3sin α－.因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋(3sinα－)2＝1，解得sin α＝，cos β＝sin α＝，cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝.11．已知cos＋sin ＝1，则cos2＋cosβ－1的取值范围为_________．解析：由已知得cos β＝1－sin α.因为－1≤cos β≤1，所以－1≤1－sin α≤1.又－1≤sin α≤1，可得0≤sin α≤1，所以cos2＋cosβ－1＝sin2α＋1－sinα－1＝sin2α－sinα＝－.(*) 又0≤sin α≤1，所以当sin α＝时，(*)式取得最小值－，当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0，故所求范围是.12．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos －sin α·－1.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，求sin αcos α和sin α－cos α的值．解：(1)因为－<α<0，所以sin α<0，所以f(α)＝sin α－sin α·－1＝sinα＋sin α·－1＝sin α＋cos α.(2)法一：由f(α)＝sin α＋cos α＝，平方可得sin2α＋2sinα·cos α＋cos2α＝，即2sinαcos α＝－.所以sin αcos α＝－.又－<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，所以sin α－cos α＝－.法二：联立方程解得或因为－<α<0，所以所以sin αcos α＝－，sin α－cos α＝－.。

专题3.1函数的概念及其表示练基础1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（）A ．1-B ．1C ．13-D ．13【答案】B 【解析】当0x =时，f （1）2(0)1f +=①；当1x =时，(0)2f f +（1）2=②，由此进行计算能求出f （1）的值．【详解】定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，∴当0x =时，f （1）2(0)1f +=，①当1x =时，(0)2f f +（1）2=，②②2⨯-①，得3f （1）3=，解得f （1）1=．故选：B2．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩则(3)f =（）A ．7B ．2C ．10D ．12【答案】D 【解析】根据分段函数的定义计算．【详解】由题意2(3)3312f =+=．故选：D ．3．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（）A ．16B ．18C ．21D ．24【解析】根据分段函数解析式直接求解.【详解】因为3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=.故选：B.4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（）A ．1B ．3C ．3-D ．1或3【答案】B 【解析】根据函数213()22f x x x =-+在[1,]b 上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果.【详解】因为函数213()22f x x x =-+21(1)12x =-+在[1,]b 上为增函数，且定义域和值域都是[1,]b ，所以min ()(1)f x f =1=，2max 13()()22f x f b b b b ==-+=，解得3b =或1b =（舍），故选：B5．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为().A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]【答案】D 【详解】由于当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．6．（广东高考真题）函数()f x x=的定义域是______．【答案】[)()1,00,∞-⋃+由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()1x f x x=的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞；故答案为[)()1,00,-⋃+∞．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.【答案】3【解析】利用数形结合分别求出集合A 与集合B ，再利用交集运算法则即可求出结果.【详解】若()()0f g x =，则()0g x =或1-或1，∴{}1,0,1,2A =-，若()()0g f x =，则()0f x =或2，∴{}1,0,1B =-，∴{}1,0,1=- A B .故答案为：3.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x ∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________.【答案】1或22-【解析】分别令212a +=，212a=，解方程，求出方程的根即a 的值即可.【详解】当0a ≥，令212a +=，解得：1a =，当0a <，令212a =，解得：2a =-，故1a =或2-，故答案为：1或2-.10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.【答案】171,12⎤-⎥⎦【解析】用n 表示出m ，结合二次函数的性质求得t n m =-的取值范围.【详解】画出()f x 图象如下图所示，3114⨯+=，令()2140x x -=>，解得x =由()(),n m f n f m >=得2311m n +=-，223n m -=，且1n <≤所以(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤，结合二次函数的性质可知，当131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，t 取得最大值为2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭，当n =时，t取得最小值为212133-⨯=-.所以t的取值范围是171,12⎤⎥⎦.故答案为：171,12⎤⎥⎦练提升1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（）A ．t 没有最小值B ．t 51-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为1712【答案】B 【解析】先作出分段函数图象，再结合图象由()()f n f m =，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函数，最后求最值.【详解】如图，作出函数()f x 的图象，()()f n f m = 且n m >，则1m £，且1n >，2311m n ∴+=-，即223n m -=.由21014n n >⎧⎨<-≤⎩，解得1n <≤.222211317(32)(333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又1n <≤ ∴当n =()min 1n m -=.故选：B.2．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案.【详解】若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得02x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去，综上可得：02x =-.故选：A.3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（）A ．865y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=-【答案】AC 【解析】分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.【详解】A 函数的定义域和值域都是R ，符合题意；B.定义域为R ，因为2225(1)66y x x x =--+=-++≤，所以函数值域为(,6]-∞，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,)+∞，值域为[0,)+∞，定义域是值域的真子集；D.定义域为{|0}x x ≠，值域为{|1}x x ≠-，两个集合只有交集；故选：AC4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x+-，则f (x )满足的关系有（）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D ．1(()f f x x-=-【答案】BD 【解析】根据函数()f x 的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】因为f (x )=2211x x+-，所以()f x -=221()1()x x +---=2211x x+-()f x =，即不满足A 选项；1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -，即满足B 选项，不满足C 选项，1(f x -=221111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1()()f f x x -=-，即满足D 选项．故选：BD5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f xg x ≤【答案】ACD 【解析】由题意知()10f -=可得()10g -=；令()f x u =，因为方程()2f u =没有实根，即()2g x =没有实根；令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，通过化简与计算即可判断C ；当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，即可判断D ．【详解】对于A 选项，由题意知()10f -=，则()()()()1100g f f f -=-==，所以A 选项正确；对于B 选项，令()f x u =，则求()()()2g x f f x ==的根，即求()2f u =的根，因为方程()2f u =没有实根，所以()2g x =没有实根，所以选项B 错误；对于C 选项，令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，得112,03u u u +=-<⇒=-，2222,01u u u u -+=-≥⇒=，由方程1()f x u =得13(0)x x +=-<或223(0)x x x -+=-≥，解得4x =-或3x =，易知方程2()f x u =，没有实数根，所以方程()2g x =-的所有根之和为－1，选项C 正确；对于D 选项，当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，当0x <时，函数()g x 的图象不在()f x 的图象的下方，所以D 选项正确，故选：ACD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，则（）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞【答案】AC 【解析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误；令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x -∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确；令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫>⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞U ，故D 错误；故选：AC7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈【答案】ABD 【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=，所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确；对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点，如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确.故选：ABD8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.【答案】5112a ≤<【解析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0f f x x=，且()00f x x ≠，所以()f x 图象上存在关于y x =对称的两个不同的点.对于()()2,2y ax x a y a a =≥+≥+，交换,x y 得x ay =，即()()12,2y x x a a y a a=≥+≥+，构造函数()()22111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（()22a a x a +≤<+），所以()g x 的零点122a a +-满足()12222a a a a a+≤+-<+，由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a+---==<⇒<<，由()1222a a a a+≤+-得3210a a -+≤，即()()()()31111a a a a a a a --+=+---()()()21515111022a a a a a a ⎛⎫⎛⎫--+=+--=---≤ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由于01a <<，所以解得112a ≤<.故答案为：112a -≤<9.（2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩；图象见解析.【解析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据()m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.【详解】（1）()f x ，()g x的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩.()m x图象如下图所示：10.（2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）()(),20,-∞-+∞ .【解析】（1）化简函数()f x 、()g x 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；（2）根据函数()min x 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数()min x 的解析式；（3）根据图象可得出不等式()()f x g x >的解集.【详解】（1）()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.则对应的图象如图：（2）函数()min x 的图象如图：解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或；（3）若()()f x g x >，则由图象知在A 点左侧，B 点右侧满足条件，此时对应的x 满足0x >或2x <-，即不等式()()f x g x >的解集为()(),20,-∞-+∞ .练真题1.（山东高考真题）设=s 0<<12−1,≥1,若=+1,则1=（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】由≥1时=2−1是增函数可知,若≥1,则≠+1,所以0<<1,由op =o +1)得=2(+1−1),解得=14,则1=o4)=2(4−1)=6,故选C.2.（2018上海卷）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，1的可能取值只能是（）A．3B．3C．3D．0【答案】B 【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=3，3，0时，此时得到的圆心角为3，6，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y，因此只有当此时旋转6，此时满足一个x 只会对应一个y，故选：B．3.（2018年新课标I 卷文）设函数=2−，≤01，>0，则满足+1<2的x 的取值范围是（）A.−∞，−1B.0，+∞C.−1，0D.−∞，0【答案】D【解析】将函数op 的图象画出来，观察图象可知会有2<02<+1，解得<0，所以满足+1<2的x 的取值范围是−∞，0，故选D.4.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.5.（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥；②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4)(1,3](4,)⋃+∞【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞.。