第11次课函数专题(老师版).doc

【教师寄语：昨天很残酷，明天很残酷，不要倒在今天晚上!】专题----二次函数综合运用一、考点、热点回顾（一）二次函数与三角形综合1、如图1,点A 为抛物线Ci ： y=-^x 2 - 2的顶点，点B 的坐标为（1, 0）直线AB 交抛物 线Ci 于另一点C（1） 求点C 的坐标；（2） 如图1,平行于y 轴的直线x=3交直线AB 于点D,交抛物线G 于点E,平行于 y 轴的直线x=a 交直线AB 于F,交抛物线C]于G,若FG ： DE=4： 3,求a 的值；（3） 如图2,将抛物线Ci 向卜•平移m （m>0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C?的 顶点为点P,交x 轴于点M,交射线BC 于点N. NQ 丄x 轴于点Q,当NP 平分ZMNQ 时，求m 的值.考点：二次函数综合题。

解答：解：（1）当x=0时，尸-2； 设直线AB 的解析式为y=kx+b,则: 「貝，解得（0=k+b・・.直线AB 解析式为y=2x - 2. AA (0, -2)•22b 二一 2・・・点C 为肯线y=2x - 2与抛物线y=^x 2 - 2的交点，则点C 的横、 [y=-x 2 - 2X]二4 [ x 2=0f 2X ,解得「、（舍） [^y=2x - 2[y 2~2・••点C 的坐标为（4, 6）.（2）直线x=3分别交直线AB 和抛物线Ci 于D. E 两点VFG=DE=4： 3,・・・FG=2.・・•直线x=a 分别交直线AB 和抛物线Ci 于F 、G 两点. •I yp=2a - 2, yo —a 2 - 2 FG=|2a -护=2, 解得：ai=2, a2= - 2+2V2» a3=2 - 2V2. (3)设直线MN 交y 轴于T,过点N 做NH 丄y 轴于点H ；0= - —t 2 - 2 - m,・- 2 - m= - —t 2.22护兮2,点P 坐标为(0,兮2).・・・OT=4, NT= - V2, NH=V2 (2 - t)VPN 平分ZMNQ, APT=NT,・・・-t+-^t 2=V2 (2 - t),2 _2^2, t 2=2 (舍)-2 - m= - —12= - — ( - 2V2)2, /.m=2.2 2 _2、如图1,抛物线y=ax 2+bx+3经过A (・3, 0), B (-1, 0)两点. (1 )求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的顶点为M,直线y=・2x+9与y 轴交于点C,与直线OM 交于 点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上.若平移的抛物线与射线CD (含 端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；(3) 如图2,将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q (0, 3)作不平行于x 轴的直线交抛物线于E, F 两点.问在y 轴的负半轴上是否存在点P,使APEF 的内心在y 轴上.若存在，求出点P 的处标；若不存在，请说明理山.•••D E Q2设点M 的坐标为(t, 0),抛物线C2的解析式为的交点，则点N 的横、纵坐标满足:討，解得rX1=2-t r、°［尸-2x 2=2+t y 2=2+2t-2 - m ；・・•点N 是直线AB 与抛物线・・・N (2 - t, 2 - 2t).NQ=2-2t, MQ=2 - 2t, AMQ=NQ, .e .ZMNQ=45°.•••△MOT 、ANHT 均为等腰肓角三角形, .\MO=OT, HT=HN ,PT=-25•解：(1)抛物线y=ax2+bx+3 经过点A(-3,0),B(T,0)两点＜匸囂I；解得EW •••抛物线解析式为疗讼+3(2)由⑴配方得y=(x+2)2-l・•・抛物线的顶点卅(-2, -1),直线0D的解析式为y=-x.于是设平移后的抛物线的顶点坐标为(h, -h)2 22 1・•・平移后的抛物线解析式为y=(x-h)2 + -h乙①当抛物线经过点C时，veto, 9)/.h2+ -h=9,解得h=_l土皿2 4-1 - - 1+ JT45•••当心时，平移的抛物线与射线CD (含端点C)只有一个公共点4 4②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组{ y=^X~h^ +2h得J+(・2h+2)x+ 屮+ - h-9=0 尹= -2x + 9 2/.Zl= (~2h+2)2 -4 (h2+ -h-9)=0 解得h=42此时抛物^y=(x-4)2+2与射线CD只有唯——个公共点为(3,3),符合题意综上所述，平移的抛物线与射线CD (含端点C)只有一个公共点时，顶点横坐标h的取值范围为典或土些討土些4 4⑶设直线EF 的解析式为y=kx+3 (k^O),点E 、F 的坐标分别为(m.m 2 ) , (n,n 2)由｛得 x 2 -kx-3=0.'.m+n=k m ■ n=- 3y = kx + 3作点E 关于y 轴的对称点R (-叫m 2 )，作直线FR 交y 轴于点P,由对称性知ZEFP 二ZFPQ,此时APEF 的內心在y 轴上 /.点P 即为所求的点。

由F, R 的坐标可得直线FR 的解析式为y= (n-m) x+mn 记y=(n-m)x-3, 当 x=0 时,y=_3 .'.p (0, _3)・・・y 轴的负半轴上存在点P (0, -3)f^APEF 的內心在y 轴上。

73、如图，拋物线y“d+b 经过A(_l, 0), C(2,詁两点，与x 轴交于另…点B ；(1) 求此拋物线的解析式；⑵ 若拋物线的顶点为M,点P 为线段0B 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上 移动，且ZMPQ 二45。

，设线段0P 二x, MQ 二丄2y2,求y?与x 的函数关系式，并直接写 2出自变量X 的取值范围；⑶ 在同一平面胃角坐标系屮，两条肓线X 二HI, X 二n 分别与拋物线交于点E, G,与(2)屮 的函数图像交J\-*( F, H 。

问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求ni, nZ 间的 数最关系；若不能，请说明理由。

3[a + 2a + b = 0C(0,—)两点‘32 HP11 7b 〒・••拋物线的解析式为y 一尹+x+亍1 3⑵ 作MN_LAB,垂足为N 。

由幻=-—x 2+x+-易得M(l, 2),' 2 2N(l, 0), A(-l, 0), B(3, 0), A ABM, MN=BN=2, MB=2>/2 , ZMBN=45°o 根据勾股定理有 BM -BN 2=PM -PN % ・・・(2V2 )2-2=PM 2= -(1 一x)$…①，又 ZMPQ 二45。

二ZMBP,・•・ AMPQ^AMBP,・・・PM 2=MQ X MB=— y 2x2迥 …②。

2 '由①、②得y2二丄x 2-x+— o V0<x<3, .\y 2与x 的函数关系式为y?二丄2 2 2 (3)四边形EFIIG 可以为平行四边形，叭nZ 间的数量关系是13 m+n=2(0<m<2, _F1. 1) c T 点 E 、G 是抛物线 yi 二 ——x 2+x+ —2 2 分别与直线X 二m, X 二n 的交点，.••点E 、G 坐标为25.解：(1) T 拋物线 yi=ax J -2ax+b 经过 A(-l, 0),・・・ — *,x-+沁X ⑶。

] 3 ] 2E(m, ——m2+m+ —), G(n, ——n2+n+—) o 同理，点F、H 坐标2 2 2 2为F(m, — m2-m+—), H(n, — n2-n+ —) 02 2 2 2•I EF二—m2-m+ —— nr+m+ —) =m2-2m+l, GH= — n2-n+ —— n2+n+ —) =n2-2n+l。

2 2 2 2 2 2 2 2・・•四边形EFHG 是平行四边形，EF二GH。

.•.m2-2m4-l=n2-2n+l, A (m+n-2)(m-n)=0o 由题意知mHn, m+n=2 (0<m<2, 一FLmHl)。

因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2 (0<m<2,且nul)4、如图,抛物线y = ax2+hx-4a经过A(-1,0)、C(0,4)两点，与兀轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)己知点DO H, m + 1)在第一象限的抛物线上，求点£＞关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下，连接点P为抛物线上一点，且ZDBP = 45°,求点P的坐标.25.解:(1)・・•抛物线y = ax2Ja-b-4a = 0,'[-4a = 4.[a =—1,解得彳[b = 3.:.抛物线的解析式为y =-〒+ 3兀+ 4 •(2) •••点D(m, /w + 1)在抛物线上，m + i = -m2即m2 - 2m - 3 = 0 ,二加=一1 或加=3 ••••点D在第一象限，.••点£＞的坐标为(34).由(1)^OA = OB,:.ZCBA = 45°. 设点D关于直线BCx 的对称点为点E.vC(0,4), :.CD//AB,且CD = 3, ••• ZECB = ZDCB = 45 °,E点在y轴上，且CE = CD = 3 •:.OE = \, :. E(0,l).即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0, 1).(3)方法一：作PF 丄4B 于F, DE A.BC 于E . 由(1)有:OB = OC = 4, ZOBC = 45°,・・・ ZDBP = 45 °, /. ZCBD = ZPBA ・v C(0,4), 0(34) , .\CD//OB]1CD = 3..・.,DCE = ,CB0 = 45°,5逅v 0B = 0C = 4, :. BC = 4V2 , /. BE = BC-CE = ^- 2tan 乙PBF = tan Z.CBD =DE 3 BE ~ 5'设PF =3(,则B F = 5t f ,P(—5r + 4,3f).・・・P 点在抛物线上，3t = -{-St + 4)2 + 3(-5/ + 4) + 4 ,/.r = 0 （舍去）或r = —, :.25 I 5 25丿方法二：过点D 作3D 的垂线交总线于点Q,过点D 作丄x 轴于H.过Q 点作QG 丄DH 于G.・・・ ZPB£> = 45°, /. QD 二 DB ・ZQDG + ZBDH =90°,又 ZDQG + ZQDG =90°,・・ ZDQG = ZBDH . :.厶 QDG 竺/\DBH ,.・.QG = DH =4,. 由(2)知£)(3,4), ・・・Q(—1,3)・3 12 ・・・3(4,0),・•.直线BP 的解析式为y 二—一兀+ —.5 5DE = CE =3V2T".•.点P 的坐标为 2 66^5T25>_2 ~5 66 25y = -x2 +3x + 4, 解方程组4 3 12y =——x + —,'5 55、如果抛物线Ci的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线Ci上，那么，我们称抛物线C］与C2关联.（1）已知抛物线①y=x2+2x - 1,判断下列抛物线②y= - x2+2x+l ；③y=x?+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由.（2）抛物线C】：y」（x+1）—2,动点P的坐标为（t, 2）,将抛物线绕点P （t, 2）旋转180。