下载文档原格式
燕尾定理:在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么，::ABO ACO S S BD DC ∆∆=OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题 证明燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明:1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高,12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==.例题精讲燕尾定理【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图,三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =,AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理,12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△，设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份,如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△, 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△,而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积。
三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。
重点模型重温一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） ① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3） 梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） ① S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ;DC BAbas 2s 1③S 的对应份数为（a+b ）2 模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。
(2)判断相似的方法：①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。
①a b c hA B C H=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2 模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级 ※）如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例2】（难度等级 ※）F ED CBA如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．【例3】（难度等级 ※）如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？【例4】（难度等级 ※※※）如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF的面积之和。
小学奥数-几何五大模型（等高模型）三角形等高模型与鸟头模型模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时1发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来3的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图S1:S2a:bABS1aS2bCD③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACDS△BCD；反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。
【解析】⑴如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：B【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ABDC【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC 和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式 ：三角形面积二底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 •如果三角形的底不变，高越大（小）,三角形面积也就越大（小）; 如果三角形的高不变，底越大（小）,三角形面积也就越大（小）;这说明当三角形的面积变化时 ，它的底和高之中至少有一个要发生变化 •但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的-,则三角形面积与原来3的一样•这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状•在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论 ① 等底等高的两个三角形面积相等 ；② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 S ：S 2 二a: b④ 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ）；⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ；⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等 ，面积比等于它们的高之比③夹在一组平行线之间的等积变形反之，如果 ACD = BCD ,,如右上图 ACD = S A BCD ； 则可知直线AB 平行于CD •【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形：⑵4个面积相等的三角形⑶6个面积相等的三角形。
【解析】⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。
AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。
模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时1发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来3的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化. 同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图S i :S2 a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD S A BCD ；反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD •④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.你有多少种方法将任意一个三角形分成： ⑴3个面积相等的三角形； ⑵4个面积相等的三角形； ⑶ 6个面积相等的三角形。
⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考:如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？⑵求三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍?因为三角形 ABD 、三角形 ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从 A 点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。
例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。
小学奥数几何五大模型一、五大模型简介（1） 等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比， 如图 1 所示， S △ABD : S △ACD = BD : CD ；3、两个三角形底相等，面积之比等于高之比， 如图 2 所示， S △ACD : S △BCD = AE : BF ；4、在一组平行线之间的等积变形，如图 3 所示， S △ACD = S △BCD ；反之，如果S △ACD = S △BCD ，则直线 AB ∥CD 。
图1图2图3例、如图， △ABC 的面积是 24， D 、E 、F 分别是 BC 、AC 、AD 的中点，求 △DEF 的面积。
解析：根据等积变换知， S = 1 S = 1 ⨯ 24 = 12 , S = 1S △ADC= 1 ⨯12 = 6 ， S 2 △ABC = 1 S 2= 1 ⨯ 6 = 3 。
△ADE2 △ADC2 △DEF2 △ADE 2（2）鸟头模型（共角定理）1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等或互补）两夹边的乘积之比。
如下图△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上或AB、AC 延长线上的点。
则有：S△ADES△ABC=AD ⨯AE。
AB ⨯AC我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！证明：如图，连接BE ，根据等积变换模型知，S△ADE: S△ABE=AD : AB 、S△ABE: S△CBE=AE : CE ，所以S△ABE:S△ABC=S△ABE:(S△ABE+S△CBE)=AE:AC。
因此S△ADE =S△ADE ⨯S△ABE =AD⨯AE=AD ⨯AE。
S△ABCS△ABES△ABCAB AC AB ⨯AC例、如图，在△ABC 中，点D 在BA 的延长线上，点E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE : EC = 3: 2 ，△ADE 的面积为 12 平方厘米，求△ABC 的面积。
模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积. 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时1发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来3的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化. 同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图S i :S2 a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD S A BCD ；反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD •④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。
【解析】⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考:【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从 A 点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。
AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。
模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来3的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化. 同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图S i :S2 a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD S A BCD ；反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD •④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形； ⑵4个面积相等的三角形； ⑶6个面积相等的三角形。
【解析】⑴ 如下图，D E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考:⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考:【例2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B C 和D 在同一条直线上。
⑴求三角形ABC 勺面积是三角形 ABD 面积的多少倍？⑵求三角形ABD 勺面积是三角形 ADC 面积的多少倍?【解析】因为三角形ABD 三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD BC 和DC 为底时，它们的高都是从 A 点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么，::ABO ACOS S BD DCOFEDCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DCS3S 1S 4S 2E DCBA 【解析】三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC ；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA ；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA ，所以1423::S S S S ；综上可得，1423:::S S S S BD DC .例题精讲燕尾定理【例 1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABFACFS BD S DC△△，1ABF CBFS AE S EC△△,设1BDF S △份，则2DCFS △份，3ABF S △份，3AEFEFCS S △△份，如图所标所以551212DCEF ABCS S △方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABCS S △△，11212233ADE ADC ABC S S S △△△，所以11ABD ADE S BF FES △△，111111122323212DEF DEB BEC ABCS S S S △△△△，而211323CDEABCS S △△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，已知BDDC ，2EC AE ，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.D EFC BAD EFC B AD EFCB A【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC ，2ECAE ，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S △△，1152ABDABCS S △△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC △△，1ABFACF S BD S CD△△,所以17.54ABFABCS S △△，157.57.5BFDS △，所以阴影部分面积是30107.512.5．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABEABCS S △△，11210223BDE BECABC S S S △△△，所以11ABE BDE S AF FD S △△，111111 2.5223232DEF DEA ADCABCS S S S △△△△，而211032CDEABCS S △△．所以阴影部分的面积为12.5．【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC,:2:3BD DC ，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBAABCDEFFEDCBA【解析】连接CF ，根据燕尾定理，2639ABF ACFS BD S DC△△，36510ABF CBFS AE S EC△△, 设6ABF S △份，则9ACF S △份,10BCFS △份，5459358EFC S △份，310623CDFS △份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFES 【巩固】如图，已知3BD DC ，2EC AE ，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC△面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O EDCBA【解析】连接CO ,设1AEOS △份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABCS △份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020【巩固】(2007年圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CPCB ，13CQCA ，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于．XQPABC XQPAB C4411XQPCBA【解析】方法一：连接PQ ．由于12CPCB ，13CQCA ，所以23ABQ ABC S S V V ，1126BPQBCQABC S S S V V V ．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S V V V V ，所以4412262.455255ABXABPABCABCS S S S V V V V ．方法二：连接CX 设1CPX S △份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)42.4ABXS △【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BDDC ，2CE AE ，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【解析】连接CF ，设1AEFS △份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEFS △,62217ABFS △,821BDFS △,242217FDCES 【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC,:1:2BD DC，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积．A BCDE FA BCDE F2.41.62A BCDEF12【解析】连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACFS BD S DC△△，23ABF CBFS AE S EC△△,设1BDF S △份，则2DCF S △份，2ABF S △份，4AFC S △份，24 1.623AEFS △份,342.423EFC S △份,如图所标,所以22.44.4EFDCS 份,2349ABCS △份所以222 4.4945(cm )ABCS △【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC ，2CD ，3CB ，AM BM ，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？ABCDM NABCDM N【解析】连接BN ．ABC △的面积为3223根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD △△；同理::1:1CBN CAN BM AM △△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112份，而ACN △的面积就是224份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110份，所以AMN △的面积为31010.3．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE ，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?x yy xABCD E F GGFE D CBA33GF EDCB A213【解析】设1DEFS △份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCDS S △阴影平方厘米.【例 2】如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE ，3AD AF ，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．OFE DCBA684621O F E DCBA 【解析】连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDOS S AF FD △△,::2:1AOD BOD S S AE BE△△,设1BEOS △,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODCAEOFS S .【例 3】ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．GFEDCBAGFEDCBA【解析】连接AC 、GB ，设1AGCS △份，根据燕尾定理得1AGBS △份，1BGCS △份，则11126S 正方形（）份，314ADCGS 份，所以22126496(cm )ADCGS 【例 4】如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．HGFEDCBAHGFEDCBA【解析】连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD,设1BHCS △份，根据燕尾定理2CHDS △份，2BHD S △份，因此122)210S 正方形（份，127236BFHGS ，所以712010146BFHGS (平方厘米).【例 5】如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC，D 是AE 的中点，那么:AF FC．FE D C BAFE DCB A【解析】连接CD ．由于:1:1ABD BEDS S △△，:3:4BED BCDS S △△，所以:3:4ABD BCD S S △△，根据燕尾定理，::3:4ABD BCDAF FCS S △△．【巩固】在ABC 中，:3:2BD DC，:3:1AE EC ，求:OB OE ？ABCDE OABCDE O 【解析】连接OC ．因为:3:2BD DC ，根据燕尾定理，::3:2AOBAOCSS BD BC ，即32AOBAOCS S；又:3:1AE EC ，所以43AOCAOESS．则3342223AOBAOCAOEAOESSSS，所以::2:1AOBAOEOB OESS．【巩固】在ABC 中，:2:1BD DC，:1:3AE EC，求:OB OE ？ABCDE O【解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ．连接OC ．ABCDE O因为:2:1BD DC ，根据燕尾定理，::2:1AOB AOCS S BD BC ，即2AOB AOCS S ；又:1:3AE EC ，所以4AOCAOE SS ．则2248AOBAOCAOEAOES SSS，所以::8:1AOB AOEOB OES S．【例 6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AEAB ，14CFBC ，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG 与CGF 的面积之和为．A BCDEF GHA BC DE F GA BCDEF G【解析】(法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ，所以122AE EB EH ，::2AG GF AE EH ，即2AG GF ，所以122311033942AEG ABF ABCD S S S X ．且22313342EG HF EC EC ，故CG GE ，则1152CGF AEG S S ．所以两三角形面积之和为10515．(法2)如上右图，连接AC 、BG ．根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ，::2:1BCG ACG S S BE AE ，而1602ABCABCDSS X ，所以3321ABGS ，160302ABCS，2321BCGS ，160203ABCS，则1103AEGABGSS，154CFGBCGS S，所以两个三角形的面积之和为15．【例 7】如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC ，:4:3CE EA ，求:AF FB ．OFEDCBA【解析】根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD △△::3:412:16AOB BOCS S AE CE△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOC S S AF FB△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC ，:5:6AE CE ，求:AF FB .OF EDCBA【解析】根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD △△::5:615:18AOB BOCS S AE CE△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB△△【巩固】如图，:2:3BD DC,:5:3AE CE ,则:AF BFGF EDCBA【解析】根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S △△,:5:310:6ABG BCGS S △△,所以:15:65:2:ACG BCGS S AF BF△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC ，:5:4EA CE，求:AF FB .OF EDCBA【解析】根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD △△::5:410:8AOB BOCS S AE CE△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 8】(2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI HGFEDCBA【分析】连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE ，所以25AEAC ，故2255ABEABCSS；根据燕尾定理，::2:3ACGABGSS CD BD，::3:2BCG ABGS S CE EA，所以::4:6:9ACG ABGBCGS S S ，则419ACG S ，919BCGS；那么2248551995AGEAGCSS；同样分析可得919ACH S ，则::4:9ACG ACH EG EH S S ，::4:19ACG ACBEG EBS S，所以::4:5:10EG GH HB ，同样分析可得::10:5:4AG GI ID ，所以5521101055BIE BAE S S ，55111919519GHI BIES S ．【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FBBD DC CE AE，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】连接BG ，AGCS △6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGCS S AF FB△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC △△得4BGCS △(份)，9ABGS △(份)，则19ABCS △(份)，因此619AGC ABCS S △△,同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S △△,619BIC ABCS S △△,所以1966611919GHI ABCS S △△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC 中2BD DA ，2CE EB ，2AF FC ，那么ABC 的面积是阴影三角形面积的倍．A BCDEFGHI IHGFEDCBA 【分析】如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCIACI SSBD AD ，::1:2BCIABISS CF AF，所以，::1:2:4ACIBCIABIS SS ，那么，221247BCIABCABCS SS．同理可知ACG 和ABH 的面积也都等于ABC 面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC 面积的211377，所以ABC 的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】连接BG,设BGCS △1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGCS S AF FB△△,::2:1ABG AGCS S BD DC△△,得2AGC S △(份)，4ABG S △(份),则7ABCS △(份)，因此27AGC ABCS S △△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S △△,27BIC ABC S S △△, 所以7222177GHI ABCS S △△【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在ABC △中，13DC EA FB DBECFA,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】连接BG,设BGCS △1份，根据燕尾定理::3:1AGC BGCS S AF FB△△,::3:1ABG AGCS S BD DC△△,得3AGC S △(份)，9ABG S △(份),则13ABCS △(份)，因此313AGC ABCS S △△,同理连接AI 、CH 得13ABH ABC S S △△,313BIC ABC S S △△,所以1333341313GHI ABCS S △△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FBBD DCCE AE ，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】连接BG ，AGCS △12份根据燕尾定理，::4:312:9AGC BGCS S AF FB△△，::4:316:12ABG AGC S S BD DC△△得9BGCS △(份)，16ABGS △(份)，则9121637ABCS △(份)，因此1237AGC ABCS S △△,同理连接AI 、CH 得1237ABH ABCS S △△,1237BIC ABCS S △△,所以3712121213737GHI ABCS S △△三角形ABC 的面积是74,所以三角形GHI 的面积是174237【例 9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773773FEDCBAx+3x 773FE D CBA【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE ，再连结DE ．所以三角形DEF 的面积为 3.设三角形ADE 的面积为x ，则:33:10:10x AD DB x ，所以15x ，四边形的面积为18．方法二：设ADF S x △，根据燕尾定理::ABF BFCAFE EFC S S S S △△△△,得到3AEFS x△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3xx ，解得7.5x四边形的面积为7.57.5318【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．4321【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：2:13:4S 阴影，解得2S 阴影. 方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S 阴影（），解得2S 阴影.【例 10】如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084OFEDCBA【解析】设BOFS x △，由题意知:4:3BD DC根据燕尾定理,得::4:3ABO ACOBDO CDOS S S S △△△△,所以33(84)6344ACO S x x △，再根据::ABO BCO AOECOE S S S S △△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x解得56x:35(5684):(4030)AOE S △,所以70AOES △所以三角形ABC 的面积是844030355670315【例 11】三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积．FEDCBANMFEDCBA【解析】令BE 与CD 的交点为M ，CD 与EF 的交点为N ，连接AM ，BN ．在ABC △中，根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE CE △△,::1:1ACM BCMS S AD BD△△,所以13ABM ACM BCN ABCS S S S △△△△由于1122AEMAMCABM S S S △△△S ，所以:2:1BM ME在EBC △中，根据燕尾定理，::1:1BEN CEN S S BF CF△△::1:2CEN CBNS S ME MB△△设1CEN S △(份)，则1BENS △(份)，2BCNS △(份)，4BCES △(份)，所以1124BCN BCE ABC S S S △△△,1148BNEBCEABC S S S △△△，因为:2:1BM ME ,F 为BC 中点,所以221133812BMN BNEABC ABC S S S S △△△△,11112248BFN BNCABC S S S △△△,所以1155153.1251282424ABC ABCS S S △△阴影(平方厘米)【例 12】如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCDEFNMGABCD EF 【解析】连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC△△，::1:3ABM ACMS S BD CD△△，所以15ABMABC S S △△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC △△，所以::4:3ABN FBN CBN FBNS S S S △△△△，所以:4:3AN NF ，那么1422437ANG AFCS S △△，所以2515177428FCGNAFCABCABC S S S S △△△．根据题意，有157.2528ABCABCS S △△，可得336ABCS △(平方厘米)【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，ABC 中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC 的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．FABCDEM NFABCDEMN【解析】由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积．连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::2:1ABMACMSSBF CF，而2ACMADMSS，所以24ABMACMADMSSS，那么4BM DM ，即45BMBD ．那么421453215BMFBCDBMBF SS BDBC，14721530CDMFS 四边形．另解：得出24ABMACMADMS S S 后，可得111155210ADMABDS S，则11731030ACFADMCDMFS S S四边形．【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，BDDEEC ，CF FG GA ，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFED CBANMQPGFEDCBA【解析】设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC△△，::1:2ABP ACPS S BD CD△△，设1ABPS △(份)，则1225ABCS △(份)，所以15ABPS △同理可得，27ABQ S △,12ABNS △,而13ABGS △，所以2137535APQ S △，1213721AQGS △．同理，335BPM S △121BDMS △,所以1239273570PQMNS 四边形，13953357042MNEDS 四边形,1151321426NFCE S 四边形,1115321642GFNQS 四边形【巩固】如图，ABC 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？KJIHABC DEF GKJIHABCD EFG【解析】连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S SCD BD，::1:2ABKCBKSS AG CG ，所以::1:2:4ACKABKCBKSSS，那么111247ACKS ，11321AGKACKSS．类似分析可得215AGIS．又::2:1ABJCBJSSAF CF ，::2:1ABJ ACJS S BD CD，可得14ACJS．那么，111742184CGKJS ．根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJAGIABES SS，所以四边形JKIH 的面积为61917070．【例 14】如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC，::1:2:1CF FG GA ，::1:2:1AH HI IB ，求阴影部分面积．IHGFED C BA PNMA BCD EFGHI【解析】设IG 交HF 于M ，IG 交HD 于N ，DF 交EI 于P ．连接AM ，IF ．∵:3:4AI AB，:3:4AF AC，916AIFABCS S △△∵::2FIM AMF S S IH HA △△，::2FIM AIMS S FG GA△△，∴19464AIMAIFABCS S S △△△∵:1:3AH AI∴364AHM ABC S S △△，∵:1:4AH AB :3:4AF AC ∴316AHF ABC S S △△．同理316CFDBDHABC S S S △△△∴716FDHABC S S △△33::1:46416HM HF，∵:3:4,:3:4AI ABAF AC，∴IF BC ∥，又∵:3:4,:1:2IF BC DE BC ，∴:2:3,:2:3DE IF DP PF ，同理:2:3HN ND ，∵:1:4HM HF，∴:2:5HN HD，∴17710160160HMNHDFABCS S S △△△．同理6个小阴影三角形的面积均为7160．阴影部分面积721616080．【例 15】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.IGHFED CBAIN MQPGHF EDCBA【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P,BI 与CE 的交点为Q,连接AM 、BN 、CP ⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI△△::1:2ACM CBMS S AD BD △△设1ABM S △(份)，则2CBMS △(份),1ACMS △(份),4ABC S △(份),所以14ABM ACMABC S S S △△△，所以11312ADM ABMABC S S S △△△,112AIMABC S S △△,所以111()12126ABCABC ADMIS S S △△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQES 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF△△::1:2ACN BCN S S AD BD△△,所以111133721ADNABNABCABC S S S S △△△△,同理121BEQABCS S △△在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF△△,::1:2ABP CBPS S AI CI△△所以15ABPABCS S △△所以1111152121105ABPADNBEPABCABCDNPQES S S S S S △△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105所以11113133610570S 阴影【例 16】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.IGHFED CBAS RINMQ P GHFEDCBA【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACRS S BG CG △△,::1:2ABR CBR S S AI CI△△所以27ABR ABC S S △△,同理27ACS ABCS S △△,27CQBABCS S △△所以222117777RQS S △同理17MNPS △根据容斥原理，和上题结果11131777010S 六边形【例 17】（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 的面积是2009平方厘米，1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．A 6B 4B 5B 3B 2B 6B 1A 5A 4A 3A 2A 1GB 3B 2A 6B 4B 5B 6B 1A 5A 4A 3A 2A 1ED【解析】（方法一）因为空白的面积等于23A A G △面积的6倍，所以关键求23A A G △的面积，根据燕尾定理可得2312333117732AA GA AA S S S △△正六边形，但在123A A A △用燕尾定理时，需要知道13,A D A D 的长度比，连接1363,A A A A ,1A G ,过6B 作12A A 的平行线，交13A A 于E ，根据沙漏模型得1A DDE ,再根据金字塔模型得13A E A E ,因此13:1:3A D A D,在123A A A △中，设121A AGS △份，则233A A GS △份,313AA GS △份，所以2312333111773214A A GA AA S S S S △△正六边形正六边形，因此141620091148147S S 阴影正六边形（）（平方厘米）（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为82009114814（平方厘米）BCDAEFGE A 1A 2A 3A 4A 5B 1B 6B 5B 4A 6B 2B 3GD 【例 18】已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S 乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b 乙甲baGHOFEDCBA乙甲b aN MGH OFED CBA【解析】观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解连接EO 、AF ，根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b △△，::AOF EOF S S a b△△所以22::AOE EOF S S a b △△，作OM ⊥AE 、ON ⊥EF ，∵AEEF∴22::OM ONa b∴33S S a b::1:8甲乙∴:1:2a b。
模型一 三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变,高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小);这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的３倍,底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如图 12::S S a b =baS 2S 1DC BA三角形等高模型与鸟头模型③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; ⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比． ﻬ 【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形;⑵ ４个面积相等的三角形;⑶6个面积相等的三角形。
【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一:CEDBAFC DB A GDBA⑵ 如下图,答案不唯一，以下仅供参考:⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图,答案不唯一,以下仅供参考:【例 2】 如图，长12厘米,长４厘米,B 、C 和D 在同一条直线上。
三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。
重点模型重温一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．DC BAb二、等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）① S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。
(2)判断相似的方法：①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；S 4S 3s 2s 1O DCBA S 4S 3s 2s 1ba②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。
hh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ；S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级 ※）如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例2】（难度等级 ※）如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．【例3】（难度等级 ※）如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？【例4】（难度等级 ※※※）如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。
奥数几何-三角形五大模型带解析三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和应用。
在奥数竞赛中，常常会涉及到三角形的题目。
为了更好地应对这类题目，我们需要掌握三角形的五大模型，即：全等模型、相似模型、正弦定理模型、余弦定理模型和面积模型。
下面将对这五大模型进行详细解析。
一、全等模型全等模型是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等。
利用全等模型，我们可以简化一些繁杂的计算，直接得到结论。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF的对应边长和对应角度分别相等，我们就可以得出它们全等的结论，即△ABC≌△DEF。
利用全等模型，我们可以将问题简化为求解另一个已知三角形的性质，从而得到答案。
二、相似模型相似模型是指两个三角形的对应角度相等，但对应边长不一定相等。
相似模型在解决一些比例问题时非常有用。
例如，已知△ABC和△DEF的对应角度分别相等，我们可以推出它们相似的结论，即△ABC∽△DEF。
利用相似模型，我们可以通过已知比例关系，求解未知的边长或角度。
三、正弦定理模型正弦定理是指在一个三角形中，三个角的正弦值与对应边的长度之间存在着一定的比例关系。
正弦定理模型在求解三角形的边长和角度时非常有用。
正弦定理的公式为：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C为三角形的角度，a、b、c为对应边的长度。
利用正弦定理模型，我们可以通过已知的角度和边长，求解未知的边长或角度。
四、余弦定理模型余弦定理是指在一个三角形中，三个角的余弦值与对应边的长度之间存在着一定的比例关系。
余弦定理模型在求解三角形的边长和角度时非常有用。
余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为对应的角度。
利用余弦定理模型，我们可以通过已知的边长和角度，求解未知的边长或角度。
五、面积模型面积模型是指通过三角形的面积关系求解三角形的边长或角度。
在面积模型中，我们常常使用海伦公式或高度公式来求解三角形的面积。
三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。
重点模型重温一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、等分点结论（“鸟头定理”）DC BAbas 2s 1如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） ①S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。
(2)判断相似的方法：①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个S 4S 3s 2s 1O DCBA S 4S 3s 2s 1ba三角形相似。
hh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”F ED CBA【习题精讲】【例1】（难度等级 ※）如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例2】（难度等级 ※）如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．【例3】（难度等级 ※）如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？【例4】（难度等级 ※※※）如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角GHFED CBA FE DCB AFABCDE形AEF 和三角形CDF 的面积之和。
【例5】（难度等级 ※※）如右图BE=BC ，CD=AC ，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的几分之几？【例6】（难度等级 ※）如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．【例7】（难度等级 ※）如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，D ECBAGFE DCB A YZ DCB A求三角形ZCY 的面积．【例8】（难度等级 ※※）如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，EF 和BC 平行， ECH 的面积是7平方厘米，求EG 的长。
【例10】（难度等级 ※※）如图已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?【例11】（难度等级 ※※）如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面HGFE D CBA123223dc b ax积为?【例12】（难度等级 ※※※）如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米，以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米。
求平行四边形ABCD 的面积。
【例13】（难度等级 ※※※）如右图，正方形ABCD 的边长为6厘米，△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，求三角形AEF 的面积.【例14】（难度等级 ※※※）如图，三角形ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？【例15】（难度等级 ※）ABCDEFF EDCBA某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例16】（难度等级 ※※）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【作业】1. 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？2. 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？EDCBA3. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米， 求三角形ABC 的面积。
4. 如图，平行四边形ABCD ，BE=AB ，CF=2CB ，GD=3DC ，HA=4AD ，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.5. 如图，在△ABC 中，延长BD=AB ，CE=12BC ，F 是AC 的中点，若△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是多少？【例1】（难度等级 ※）如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积. 【分析与解】如右图，连接BH 、HC ，由E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 三边的中点有AE =EB 、BF =FC 、CG =CD .因此S 1=S 2，S 3=S 4，S 5=S 6,而阴影部分面积=S 2+S 3+S 6，空白部分面积=S 1+S 4+S 5.所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部分面积为28.HGFED CBAF EDCBA【例2】（难度等级 ※）如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米． 【分析与解】上排4个阴影三角形的高都等于BF ，底边之和恰好为AB ，他们的面积之和为12BF AB ⨯；下排4个三角形的高都等于CF ，底边之和恰好为CD ，他们的面积 之和为1122CF CD CF AB ⨯=⨯.所以阴影部分面积为: 11113462222BF AB CF AB BC AB ⨯+⨯=⨯=⨯⨯=(平方厘米).【例3】（难度等级 ※）如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？ 【分析与解】首先，1242ABC S BC AD ∆=⨯=平方厘米，而F 是AC 中点，所以12ABF ABC S S ∆∆=.又E 是AB 中点，所以11624EBF ABF ABC S S S ∆∆∆===平方厘米.【例4】（难度等级 ※※※）如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。
【分析与解】连接DE,于是三角形AEF 的面积=三角形EFD 的面积，所求被转化为三角形EDC 的面积。
因为F 是AD 中点，所以三角形AEC 的面积和三角形EDC 的面积相等，设S ∆BDE 为1份,则S ∆AEC=S ∆EDC 为3份 因此S ∆ABC 一共7份， 每份面积为17 所以S ∆EDC 占3份为37。
FE DCB AFABCDE【例5】（难度等级 ※※）如右图BE=BC ，CD=AC ，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的几分之几？【分析与解】上图中，三角形AEC 与三角形ABC 的高相等，而BE=BC ，于是EC=BC ，23AEC ABC S S = 又由于三角形AED 与三角形AEC 的高相等，而CD=41AC,于是AD=43AC,34AED AEC S S =所以，三角形AED 的面积=43×三角形AEC 的面积=43×23×三角形ABC 的面积 =12×三角形ABC 的面积【例6】（难度等级 ※）如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等． 【分析与解】 连接BE 显然有12ABE ABCD S S ∆=，12ABE AEGF S S ∆= 所以ABCD AEGF S S =【例7】（难度等级 ※）如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY 的面积． 【分析与解】192ABCD S AB BC =⨯=平方厘米因为Y 是BD 中点，Z 是DY 中点，所以111111()[()]24222228ZCY CDB ABCD ABCD S S S S ∆∆====D ECBADECBAABCE DYZ DCB A【例8】（难度等级 ※※）如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，EF 和BC 平行， ECH 的面积是7平方厘米，求EG 的长。
【分析与解】12×EG ×AE +12×EG ×EB = 7平方厘米 即12×EG ×AB=7平方厘米；EG=3.5厘米【例10】（难度等级 ※※）如图已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米? 【分析与解】 连接CF由ABCD 和CEFG 都是正方形有45BDC DCF ∠=∠=︒ 所以BD CF .由平行线间距离相等知三角形BDF 和三角形BDC 同底等高所以1502BFD BCD ABCD S S S ∆∆===【例11】（难度等级 ※※）如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?【分析与解】HGFED CBA 123223dc b a x如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b 所以 x=23+32+12x=67.【例12】（难度等级 ※※※）如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米，以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米。
