小学思维数学讲义：平面五大模型之三角形等高模型与鸟头模型(二)-带详解

三角形等高模型与鸟头模型板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积二底X鬲一2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，爲越大（小儿三角形面积也就越大（小）：如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）：这说明当三角形的面积变化时，它的底和商之中至少有一个要发生变化.但是，当三角形的底和离同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当鬲变为原来的3倍，底变为原来的丄，则三角形面积与原来的一3样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的鬲和底的乘积，而不仅仅取决于爲或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:①等底等离的两个三角形面积相等：②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的离之比：如左图§ :S2 =a・b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；反之，如果SgCD=SgCD，则可知直线43平行于CD.④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）：⑤三角形面积等于与它等底等商的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形鬲相等，面积比等于它们的底之比：两个平行四边形底相等，面积比等于它们的鬲之比.【例1］你有多少种方法将任意一个三角形分成：（1） 3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形; ⑶6个面积相等的三角形•【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B. C和D在同一条直线上.（1）求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?A【例3】如右图，创芳和CDEF 都是矩形，M 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的 面积是—平方厘米.BFC【例4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F. G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为 血边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例7】如右图，E 在AD ±, AD 垂直BC, AD = \2厘米，DE = 3厘米.求三角形ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍？E. F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点•问阴影部分面F. G 为各边中点，H 为血边上任意一点，问阴影部分面积是【例5］长方形ABCD 的面积为36 c 卅, 【例6】长方形ABCD 的面积为36, £> 多少?A【例8】如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC,连结3厶AE. CF 、防 那么与△ BEC 等积的三角形 一共有哪几个三角形？【例9】（第四届”迎春杯”试题）如图，三角形ABC 的面积为1,其中AE = 3AB 9 BD = 2BC ,三角形 BDE 的面积是多少？【例10】 （2008年四中考题）如右图，AD = DB, AE = EF = FC,已知阴影部分面积为5平方厘米,AABC 的面积是 _______ 平方厘米.【例11】 如图ABCD 是一个长方形，点厶F 和G 分别是它们所在边的中点.如果长方形的面积是36【例12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米.24平方厘米、36平方厘米.48平方厘米的四个小长 方形组合而成.求阴影部分的面积.DC = 2BD, CE = 3AE 9三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角12c nV^Acw : 48cm 2【例13】 如图，三角形ABC 中,形ABC 的面积是多少？ CA【例14】 （2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形ABC 中.已知三角形ADE.三角形DCE.三角形BCD 的面积分别是89, 28, 26.那么三角形D 处的面积是 _________________ ・【例15] （第四届《小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分.三角 形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分 米，它们的差是5分米.求梯形ABCD 的面积.A _______ D图中的面积为15cnr,线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积.【解析】在MBD 中，因为S^=15cm 2,且OB = 3OD,所以有=丄心*3 = 5cm‘. 因为aABD 和A ACD 等底等商，所以有S “购=S*G ・从而Sgm = 15cnr ,在^BCD 中,S 昨.=3S 的” =45cnr ,所以梯形面积：15+ 5+ 15+ 45 = 80（ cnr ）・【例18] （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%,黄色三角形面积是21mr.问：长方形的面积是多少平方厘米？【例16] 【例17]【例19】 O 是长方形ABCD 内一点，已知AOBC 的面积是5cnr , \OAB 的面积是2cnf ,求的面积是多少？【例20】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线Ed GH,若APBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PG4E 的面积大多少平方分米?如右图，正方形ABCD 的面积是20,正三角形MPC 的面积是15,求阴影的面积.【例22】 在长方形ABCD 内部有一点O,形成等腰A4OB 的面积为16.等腰近C 的面积占长方形面积的18%,那么阴影A4OC 的面积是多少？【例23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知AAZX7的面积为15cnr t 而 7AfiCG 的面积恰好是梯形ABCD 面积的丄，则梯形ABCD 的面积是 cm 2.20 --------------------------------------------------【例21】 DA D【例24】 如图所示，四边形与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.【例25】 如图，正方形ABCD 的边长为6, A£=1.5, CF = 2・长方形EFGH 的面积为.如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AG 如果△ ADE 的面积为4平方厘米・求三角形CDF【例27] 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴彩部分三角形的面积是多少平方厘【例28】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为 10厘米，求阴影部分的面积.【例26】的面积•【例29】（2008年”华杯赛”决赛）右图中，和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于已知CH等于CF的三分之一，三角形的面积等于6平方厘米，求五边形MGEF的面积.【例30】（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、尸分别是梯形初仞的下底BC和腰仞上的点，DF = FC,并且甲.乙、丙3个三角形面积相等.已知梯形ABCD的面积是32平方厘米.求图中阴影部分的面积.【例31】如图，已知长方形ADE”的面积16,三角形伽的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么三角形ABC的面积是多少?如图，在平行四边形ABCD中，BE = EC, CF = 2FD •求阴影面积与空白面积的比.【例32】【例33】（第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）如图所示，三角形初C中，D是边的中点，E是AC边上的一点，且AE = 3EC . O为DC与BE的交点.若ACEO的面积为a平方厘米，^BDO的面积为b平方厘米.且是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是平方厘米.A【例34】如图，在梯形ABCD中，AD:BE = 4:39 BE: EC = 2:3.且AfiOE的面积比44OD的面积小10平方厘米.梯形ABCD的面积是 _________ 平方厘米.【例35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13, 35, 49.那么图中阴影部分的面积是多少？A D【例36】图中是一个各条边分别为5厘米.12厘米、13厘米的直角三角形.将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分（即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米？【例37】如图，长方形ABCQ的面积是2平方厘米，EC = 2DE, F是QG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？【例38】（2007年六年级希望杯二试试题）如图，三角形田地中有两条小路AE和CF,交叉处为D,张大伯常走这两条小路，他知道= DC.^AD = 2DE .则两块地ACF和CFB的面积比是【例39】（2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试）如图，BC = 45, AC = 21, AABC 被分成9个面积相等的小三角形，那么DI + FK = __________ •【例40】（2007年人大附中分班考试题）已知ABC为等边三角形，面积为400, D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）【例41】（2009年四中入学测试题）如图，已知CD = 59 DE = 1 , EF = 15, FG = 6,线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是______________ ・【例42】（2008年仁华考题）如图，正方形的边长为10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影部分的面积是________ •【例43】（2008年走美六年级初赛）如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB = 8, AD=\59四边形EFGO的面积为______________ ・【例44】 （清华附中分班考试题）如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形M/VPQ的面积是多少平方厘米？【例45】 （2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛）如图，阴彫部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 _________ cm'.如图，三角形AE/「的面积是17, DE 、3厂的长度分别为11、3.求长方形ABCQ 的面积.【例47】 （2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛）如图，长方形ABCD 中，AB = 67 9BC = 30. E. F 分别是佔、BC 边上的两点，BE+BF =49.那么，三角形DEF 面积的最小值 是 ・【例48] （2007首届全国资优生思维能力测试）ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，BL=DM=4. BK = DN = 5,那么阴影部分的面积是 _______________ ・【例46】 D Q 3 C【例49】如图所示，在四边形ABCD中，E, F, G, H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四边形P0RS的面积之比.【例50】如图.四边形ABCD 中，DE\EF\FC = 3\2A , BG:GH: AH =3:2:\9 AD:BC = 1:2,已知四边形ABCD的面积等于4,则四边形EFHG的面积二_____________________________ ・【例51】（2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛）有正三角形ABC,在边加、BC. C4的正中间分别取点厶、M、N ■在边AL、BM . C7V上分别取点P.R,使厶P = MQ = NR,当PM 和他、PM和QN、QN 和他的相交点分别是X、Y. Z时，使XY = XL.这时，三角形X8的面积是三角形ABC的面积的几分之几？请写出思考过程・【例52】如图：已知在梯形初CD中，上底是下底的彳，其中F是BC边上任意一点，三角形AME.三角形BMF .三角形NFC的面积分别为14、20、12.求三角形NDE的面积.【例53】如图，已知ABCD是梯形，AD // BC 9AD:BC = \:2S M = 24cnr ,求^AOF的面积・【例54】（2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD是一个四边形，M . N分别是加、CD的中点.如果比45M、与ADSN的面积分别是6、7和&且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为___________________ .板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形・共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在△ABC中，DE分别是A5AC上的点如图⑴（或D在34的延长线上.E在AC上）, 则S△遊：S△遊=（AB x AC）: （AD x AE）图⑴如图在ZV1BC 中.分别是AB.AC ±的点，且AD:AB = 2:5 , A£:AC = 4:7 ,【例55】s 厶初E =16平方厘米，求△ABC 的面积.【例56】 如图在ZVIBC 中，D 在必的延长线上，E 在AC 上，且仙:AD = 5:2.【例57】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF = 2CF 9三角形AF£（图中阴影部 分）的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？【例58】 已知△DEF 的面积为7平方厘米，BE = CE.AD = 2BD 、CF =3AF,求ZVIBC 的面积・【例59】 如图，三角形MC 的面积为3平方厘米，其中AB:BE = 2:5, BC: CD = 3:2,三角形BDE 的面积是多少？【例60】 （2007年”走美”五年级初赛试题）如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，AE = 1/1C,3CF = -BC.三角形DEF 的面积为 __________ 平方厘米.3求△ABC 的面积.【例61】 如图，己知三角形ABC 面积为1 ,延长至D,使BD = AB :延长BC 至使 CE = 2BC ；延长C4至F,使AF= 3AC,求三角形QEF 的面积・【例62】 如图，平行四边形ABCD, BE = AB 9 CF = 2CB , GD = 3DC , HA = 4AD ,平行四边形【例63】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA = AB 9 CB = BF , DC = CG 9 HD = DA 9求 四边形ABCD 的面积.【例64】 如图，将四边形ABCD 的四条边加、CB. CD 、AD 分别延长两倍至点E. F . G .H ,若四边形ABCD 的面积为5,则四边形EFGH 的面积是 _______________IJA【例65】如图，在心眈中，延长加至D,使叫初，延长BC至使CE^BC, F是AC 的中点，若△ABC的面积是2,则血矿的面积是多少？【例66】如图，S AABC=1, BC = 5BD, AC=4EC9DG = GS = SE, AF = FG •求S^C5 .如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，"是CE的中点，G是3厂的中点.三角形ABG的面积是多少平方厘米?A ED【例67】【例68】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.。

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文案大全模型一三角形等高模型
已经知道三角形面积的计算公式：
三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1
3
，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，
而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如图12::S S a b
b a S 2S 1
D C
B
A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S △△；反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线A
B 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形
)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
三角形等高模型与鸟头模型。

一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形的对应份数为()2a b +。

四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形的对应份数为()2a b +。

四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？DC BA 例题精讲三角形等高模型与鸟头模型【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．【例 5】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【例 6】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？EEECDBA【例 7】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC面积的几倍？【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE的面积是多少？【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是 平方厘米．【例 11】 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．E EDCBAF DECBA AB EC DC E BAAF E GDC BA【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【例 13】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．【例 16】图中AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．【解析】 在ABD 中，因为215cm AOB S =，且3OB OD =，所以有235cm AODAOBSS=÷=．因为ABD 和ACD 等底等高，所以有ABD ACD S S =．EDCBADCBA O CB DA从而215cm OCDS=，在BCD 中，2345cm BOCOCDSS==，所以梯形面积：2155154580cm +++=（）．【例 17】如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．【例 18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？【例 19】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？【例 20】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？【例 21】如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．【例 22】 在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ∆的面积为16，等腰DOC ∆的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC ∆的面积是多少？D BA红绿黄红CHBA【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ∆ 的面积为215cm ，而BCG ∆的面积恰好是梯形ABCD 面积的720，则梯形ABCD 的面积是 2cm ．【例 24】如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．【例 25】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【例 26】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的面积．DA BCDEFGGFEDB AHGF EDCBA AEBFCD【例 27】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【例 28】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC ，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．【例 31】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？K EBA HG F ED CBABC【例 32】如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E是AC 边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．【例 34】 如图，在梯形ABCD 中，:4:3AD BE =，:2:3BE EC =，且BOE ∆的面积比AOD ∆的面积小10平方厘米．梯形ABCD 的面积是 平方厘米．【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？F EDCA BE baOD CBAOAB CDE【例 37】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF DC =,且2AD DE =．则两块地ACF 和CFB 的面积比是_________．【例 39】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．【例 40】 (2007年人大附中分班考试题)已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )【例 41】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．D CFE DCBAKJIH GFE DC BAB【例 42】 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积是 ．【例 43】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．【例 44】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？【例 45】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 2cm ．GFE DC BAABBA【例 46】如图，三角形AEF 的面积是17，DE 、BF 的长度分别为11、3．求长方形ABCD 的面积．【例 47】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD 中，67AB =，30BC =．E 、F 分别是AB BC 、边上的两点，49BE BF +=．那么，三角形DEF 面积的最小值是 ．【例 48】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．【例 49】 如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS 的面积之比．A B CDEFABC D EF【例 50】 如图，四边形ABCD 中，::3:2:1DE EF FC =，::3:2:1BG GH AH =，:1:2AD BC =，已知四边形ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG 的面积= ．【例 51】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC ，在边AB 、BC 、CA 的正中间分别取点L 、M 、N ，在边AL 、BM 、CN 上分别取点P 、Q 、R ，使LP MQ NR ==，当PM 和RL 、PM 和QN 、QN 和RL 的相交点分别是X 、Y 、Z 时，使XY XL =．这时，三角形XYZ 的面积是三角形ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程．【例 52】如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的23，其中F 是BC 边上任意一点，三角形AME 、三角形BMF 、三角形NFC 的面积分别为14、20、12．求三角形NDE 的面积．【例 53】 如图，已知ABCD 是梯形，AD ∥BC ，:1:2AD BC =，:1:3AOF DOE S S ∆∆=，224cm BEF S ∆=，求AOF ∆的面积．HG F EDCBAA BCN M QR P L XYZ【例 54】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果ASM ∆、MTB ∆与DSN ∆的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为 ．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图⑴ 图⑵【例 55】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．O FDECBA MNTSDC BAEDCBAEDCB AEDCBA【例 56】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【例 57】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【例 58】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．【例 59】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？【例 60】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．EDCBAFEDCBAAB ECDDC EBAA【例 61】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．【例 62】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．【例 63】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．【例 64】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．【例 65】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？FEDCB A HGAB CD EFH GFED CB A A B CD EF GH【例 66】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．【例 67】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？【例 68】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．A BCDEFSGF E DCBA ABCDEFG。

板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？DC BA 例题精讲三角形等高模型与鸟头模型【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．【例 5】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【例 6】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？EEECDBA【例 7】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC面积的几倍？【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与V BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE的面积是多少？【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是 平方厘米．【例 11】 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．E EDCBAF DECBA AB EC DC E BAAF E GDC BA【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【例 13】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．【例 16】图中V AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．【解析】 在ABD V 中，因为215cm AOB S =V ，且3OB OD =，所以有235cm AOD AOB S S =÷=V V ．因为ABD V 和ACD V 等底等高，所以有ABD ACD S S =V V ．EDCBADCBA O CB DA从而215cm OCD S =V ，在BCD V 中，2345cm BOC OCD S S ==V V ，所以梯形面积：2155154580cm +++=（）．【例 17】如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．【例 18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？【例 19】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？【例 20】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？【例 21】如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．【例 22】 在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ∆的面积为16，等腰DOC ∆的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC ∆的面积是多少？D BA红绿黄红CHBA【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ∆ 的面积为215cm ，而BCG ∆的面积恰好是梯形ABCD 面积的720，则梯形ABCD 的面积是 2cm ．【例 24】如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．【例 25】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【例 26】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果V ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的面积．DA BCDEFGGFEDB AHGF EDCBA AEBFCD【例 27】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【例 28】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC ，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．【例 31】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？K EBA HG F ED CBABC【例 32】如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E是AC 边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．【例 34】 如图，在梯形ABCD 中，:4:3AD BE =，:2:3BE EC =，且BOE ∆的面积比AOD ∆的面积小10平方厘米．梯形ABCD 的面积是 平方厘米．【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？F EDCA BE baOD CBAOAB CDE【例 37】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF DC =,且2AD DE =．则两块地ACF 和CFB 的面积比是_________．【例 39】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．【例 40】 (2007年人大附中分班考试题)已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )【例 41】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．D CFE DCBAKJIH GFE DC BAB【例 42】 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积是 ．【例 43】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．【例 44】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？【例 45】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 2cm ．GFE DC BAABBA【例 46】如图，三角形AEF 的面积是17，DE 、BF 的长度分别为11、3．求长方形ABCD 的面积．【例 47】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD 中，67AB =，30BC =．E 、F 分别是AB BC 、边上的两点，49BE BF +=．那么，三角形DEF 面积的最小值是 ．【例 48】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．【例 49】 如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS 的面积之比．A B CDEFABC D EF【例 50】 如图，四边形ABCD 中，::3:2:1DE EF FC =，::3:2:1BG GH AH =，:1:2AD BC =，已知四边形ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG 的面积= ．【例 51】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC ，在边AB 、BC 、CA 的正中间分别取点L 、M 、N ，在边AL 、BM 、CN 上分别取点P 、Q 、R ，使LP MQ NR ==，当PM 和RL 、PM 和QN 、QN 和RL 的相交点分别是X 、Y 、Z 时，使XY XL =．这时，三角形XYZ 的面积是三角形ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程．【例 52】如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的23，其中F 是BC 边上任意一点，三角形AME 、三角形BMF 、三角形NFC 的面积分别为14、20、12．求三角形NDE 的面积．【例 53】 如图，已知ABCD 是梯形，AD ∥BC ，:1:2AD BC =，:1:3AOF DOE S S ∆∆=，224cm BEF S ∆=，求AOF ∆的面积．HG F EDCBAA BCN M QR P L XYZ【例 54】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果ASM ∆、MTB ∆与DSN ∆的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为 ．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图⑴ 图⑵【例 55】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．O FDECBA MNTSDC BAEDCBAEDCB AEDCBA【例 56】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【例 57】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【例 58】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．【例 59】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？【例 60】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．EDCBAFEDCBAAB ECDDC EBAA【例 61】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．【例 62】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．【例 63】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．【例 64】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．【例 65】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？FEDCB A HGAB CD EFH GFED CB A A B CD EF GH【例 66】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．【例 67】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？【例 68】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．A BCDEFSGF E DCBA ABCDEFG。

三角形等高模型与鸟头模型例题精讲板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1 ,则三角形面积与原来的一3样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图§:S2a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图&ACD &BCD ;ACD BCD反之，如果Sw CD S E D，则可知直线AB平行于CD . ACD BCD④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形.【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上.⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米.BWVVFC【巩固】（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米.【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20,宽是12,则它内部阴影部分的面积是 .【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABC D三条边的三等分点，如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是.【例5】长方形ABCD 的面积为36 cm 2, E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积 是多少？【例6】长方形ABCD 的面积为36, E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少?如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC, AD 12厘米，DE 3厘米.求三角形ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍？【例8］如图，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行AC,连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与VBEC 等积的三角形一 共有哪几个三角形？【巩固】在边长为 6厘米的正方形 ABCD 内任取一点P ,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分,分别与P 点连接，求阴影部分面积.【例7】AD【巩固】如图，在 VABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结 BE 、CE,那么与VABE 等积的三角形一共 有哪几个三角形？【巩固】如图，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对?【例9】（第四届”迎春杯”试题）如图，三角形 ABC 的面积为1,其中AE 3AB, BD 2BC ，三角形BDE 的面积是多少？【例10】 （2008年四中考题）如右图，AD DB , AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5平方厘米， ABC的面积是 平方厘米.【巩固】如图，在长方形 ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果 AB 24厘米，BC 8厘米，求 三角形ZCY 的面积.【巩固】图中三角形 ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍, 长的3倍.那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？ EF 的长是BF【巩固】如图，三角形ABC的面积是24, D、E和F分别是BC、AC和AD的中点.求三角形DEF的面积.【巩固】如图，在三角形ABC中，BC 8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？【例11】如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点.如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位.【巩固】（97迎春杯决赛）如图，长方形ABC D的面积是1, M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN BN . 那么，阴影部分的面积是多少？【例12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成.求阴影部分的面积.3AE,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC【例13】如图，三角形ABC中，DC 2BD , CE的面积是多少？【例14】（2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89, 28, 26 .那么三角形DBE的面积是 .【例15】（第四届〈〈小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分.三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米, 它们的差是5分米.求梯形ABCD的面积.【例16】图中VAOB的面积为15cm2,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.【例17】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.【例18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2.问：长方形的面积是多少平方厘米？O 是长方形ABCD 内一点，已知 OBC 的面积是5cm 2 , OAB 的面积是2cm 2,求 OBD 的面 积是多少？如右图，过平行四边形 ABCD 内的一点P 作边的平行线 EF 、GH ,若 PBD 的面积为8平方 分米，求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米？【巩固】如右图，正方形 ABCD 的面积是12,正三角形 BPC 的面积是5,求阴影【例22】 在长方形ABC D 内部有一点O,形成等腰 AOB 的面积为16,等腰 DOC 的面积占长方形面积 的18% ,那么阴影 AOC 的面积是多少？【例19】 【例 20】【例 21】如右图，正方形 ABCD 的面积是20,正三角形 BPC 的面积是15,求阴影【例24】 如图所示，四边形 ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?【例25】 如图，正方形ABCD 的边长为6, AE 1.5, CF 2.长方形EFGH 的面积为【例26】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC,如果VADE 的面积为4平方厘米.求三角形 CDF 的面积.【例23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形分别是其两腰 AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知 ADG 的面积为 面积恰好是梯形 ABCD 面积的 Z,则梯形ABC D 的面积是cm2.20ABCD 中,2 F15cm ,而E 、F BCG 的【巩固】如右图，在平行四边形 ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ,若S. 的面积.图中两个正方形的边长分别是 6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形 ABH 的面积为6平方厘米，图△ ADE 1，求△ BEF【例27】 【例28】 如图，有三个正方形的顶点厘米，求阴影部分的面积.【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的,D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形 GFEB 的边长为10小正方形的边长是 【巩固】（2008年西城实验考题）如图,中阴影部分的面积为4厘米，求三角形【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米?【巩固】（人大附中考题）已知正方形ABCD边长为10,正方形BEFG边长为6,求阴影部分的面积.【例29】（2008年”华杯赛”决赛）右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H ,已知CH 等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积.【例30】（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DF FC,并且甲、乙、丙3个三角形面积相等.已知梯形ABC D的面积是32平方厘米.求图中阴影部分的面积.【例31】如图，已知长方形ADEF的面积16,三角形ADB的面积是3 ,三角形ACF的面积是4,那么三角形ABC的面积是多少？【例32】如图，在平行四边形ABC D中，BE EC, CF 2FD .求阴影面积与空白面积的比.【例33】（第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E 是AC边上的一点，且AE 3EC , O为DC与BE的交点.若CEO的面积为a平方厘米，BDO的面积为b平方厘米.且b a是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是平方厘米.【例34】如图，在梯形ABCD中，AD:BE 4:3 , BE: EC 2:3，且BOE的面积比AOD的面积小10平方厘米.梯形ABCD的面积是平方厘米.【巩固】（第五届〈〈小数报》数学竞赛初赛）如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与DC平行，AE与BD相交于O点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC - BC .求5 梯形ABC D的面积.【例35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13 , 35 , 49.那么图中阴影部分的面积是多少？【例36】图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形. 将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分（即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米？【例37】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC 2DE , F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？【例38】（2007年六年级希望杯二试试题）如图，三角形田地中有两条小路AE和CF ,交叉处为D ,张大伯常走这两条小路，他知道DF DC,且AD 2DE .则两块地ACF和CFB的面积比是 .【例39】（2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试）如图，BC 45, AC 21, ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK .【例40】 E 、M 分别为直角梯形 ABCD 两边上的点，且 DQ 、CP 、ME 彼此平行，若 AD 5 , BC 7, AE 5, EB 3.求阴影部分的面积.【例41】 （2007年人大附中分班考试题）已知ABC 为等边三角形，面积为 400, D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为 143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC ）【例42】 （2009年四中入学测试题）如图，已知CD 5 , DE 7 , EF 15, FG 6 ,线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是 65,那么三角形 ADG 的面积是.【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角 并且 OAB、 ABC 、 BCD 、 CDE 、 MON 的两边上分别有A 、 DEF 的面积都等于1,则 BDF KC 、E 及B 、D 、F 六个点, DCF的面积等于 .P【巩固】（第四届希望杯）如图，点D 、E 、F 在线段CG 上，已知CD 2厘米，DE 8厘米，EF 20厘米，FG 4厘米，AB 将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则三角形 ADG 的面积是多少平方厘米？【例44】 （2008年走美六年级初赛）如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70, AB 8,AD 15,四边形EFGO 的面积为 .【例43】 （2008年仁华考题）如图，正方形的边长为是 . 10,四边形EFGH 的面积为5,那么阴影部分的面积【巩固】如图，正方形的边长为 12,阴影部分的面积为 60,那么四边形 EFGH 的面积是A【巩固】（2008年”华杯赛”初赛）如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米.三角形ADM与三角形BCN 的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米.【巩固】如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米.【巩固】（2008年清华附中考题）如图，长方形ABC D的面积是36, E是AD的三等分点，AE 2ED ,贝U阴影部分的面积为.【例45】（清华附中分班考试题）如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米？【例46】（2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛）如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为210cm的正方形，贝U阴影部分四边形的面积是cm .4 cm―1c —【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4 cm2ci【巩固】已知正方形的边长为 10, EC 3 , BF 2,则鼐边形ABCD【例47】 如图，三角形 AEF 的面积是17, DE 、BF 的长度分别为11、3.求长方形 ABCD 的面积.【例48】（2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛）如图，长方形 ABCD 中，AB 67, BC 30 . E 、F 分别是AB 、BC 边上的两点，BE BF 49 .那么，三角形 DEF 面积的最小值是.【例49】 （2007首届全国资优生思维能力测试 ）ABCD 是边长为12的正方形，如图所示， P 是内部任意一点，BL DM 4、BK DN 5,那么阴影部分的面积是 .FE【例50】 如图所示，在四边形 ABCD 中，E , F , G, H 分别是ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS 的面积之比.【拓展】如图，对于任意四边形 ABCD ,通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形 EFGH ,求四边形EFGH 的面积是四边形 ABCD 的几分之几?【巩固】（2008年”希望杯”二试六年级）如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形 交于点O , S i、S 2、S 3及S 4分别表示四个小四边形的面积.试比较 ABCD 各边的中点，FG 与FHSi S 3与S 2S 4的大小. 【例 51】 如图，四边形 ABC D 中，DE:EF:FC 3:2:1, BG:GH : AH 四边形ABCD 的面积等于4,则四边形EFHG 的面积 .3:2:1 , AD:BC 1:2 ,已知A L BDB FA E BA H GB【例53】 如图：已知在梯形 ABCD 中，上底是下底的Z ,其中F 是BC 边上任意一点，三角形 AME 、3角形BMF 、三角形NFC 的面积分别为14、20、12 .求三角形NDE 的面积.【例 54】 如图，已知 ABC D 是梯形，AD // BC, AD :BC 1:2, S AOF ：S DOE 1:3 , S BEF 24cm 2,求 AOF 的面积.【例55】（2009年迎春杯决赛高年级组） 如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点.如 果 ASM 、 MTB 与 DSN 的面积分别是6、7和8,且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形 ABCD 的面积为. 【例 52】 （2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛 ）有正三角形 ABC ，在边AB 、别取点L 、M 、N ，在边AL 、BM 、CN 上分别取点 P 、Q 、R ，使LP MQPM 和QN 、QN 和RL 的相交点分别是 X 、Y 、Z 时，使XY XL.这时，三角形XYZ 的面积是三角形 ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程. BC 、CA 的正中间分 NR , 当PM 和RL 、MNDAM L NTB板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在△ ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴（或D在BA的延长线上，E在AC上），则S A ABC : S A ADE （AB AC）：（AD AE）图⑵【例56】如图在^ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB 2:5 , AE : AC 4:7 , S W DE 16平方厘米，求△ ABC的面积.【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少？【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD DC 4 , BE 3 , AE 6 ,乙部分面积是甲部分面积的几倍？【例57】 如图在 ^ABC 中，D 在BA 的延长线上， E 在AC 上，且AB: AD 5: 2 ,AE : EC 3:2 , S^AADE 12平方厘米，求 △ ABC 的面积.【例59】 已知△ DEF 的面积为7平方厘米，BE CE, AD 2BD,CF 3AF ，求△ ABC 的面积.【例60】 如图，三角形 ABC 的面积为3平方厘米，其中 AB: BE 2:5 , BC:CD 3:2，三角形BDE 的面积是多少？【例61】 （2007年”走美”五年级初赛试题）如图所示，正方形 ABCD 边长为6厘米，AE - AC , 31 CF -BC .三角形DEF 的面积为平方厘米. 3 【例58】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为AB 的中点，AF的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？2CF ，三角形AFE （图中阴影部分） A【例62】如图，已知三角形ABC面积为1 ,延长AB至D ,使BD AB ;延长BC至E ,使CE 2BC ;延长CA至F ,使AF 3AC ,求三角形DEF的面积.【例63】如图，平行四边形ABCD, BE AB, CF 2CB, GD 3DC , HA 4AD，平行四边形ABCD 的面积是2 ,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.【例64】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA AB , CB BF , DC CG , HD DA,求四边形ABCD的面积.【例65】如图，将四边形ABC D的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H ,若四边形ABCD的面积为5,则四边形EFGH的面积是 .F【例66】如图，在△ ABC中，延长AB至D ,使BD AB ,延长BC至E ,使CE 1BC , F是AC的2中点，若△ ABC的面积是2,则△ DEF的面积是多少？【例67】如图，，△ ABC 1，BC 5BD , AC 4EC , DG GS SE, AF FG .求S VFGS.ABC V FGS【例68】如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点, 三角形ABG的面积是多少平方厘米？【例69】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是。

板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1bDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型EDCBADE CBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA ABCDE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =又∵5AB AD = ∴515ADEABEABCSSS=÷=÷，∴1515ABCADESS==．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABDBDES S=又∵4BD DC ==，∴2ABCABDSS=，∴6ABCBDESS=，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【答案】24【例 5】 如图16-4，已知．AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题 【解析】 如下图，连接AD ，BE ，CF.有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有ABE ABCSS=AEAC，所以ABE S =AEAC×ABC S =15ABC S同理有AEF S=AFABABE S ,即=AEF S=15×56ABC S =16ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ，BDF S =16×13ABC S =18ABC S ．所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S =61120ABC S ． 即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120． 【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC E B A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AAB CDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ．∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S1DBC=．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯．又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【答案】18【例 9】 如图，把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 方法一：如下图，连接BD ，ED ，BG ，有EAD 、ADB 同高，所以面积比为底的比，有2EADABDABD EASS SAB==．同理36EAHEAD EAD ABD AHSS S S AD===． 类似的，还可得6FCG BCD S S =，有()66EAH FCG ABDBCDABCD S SSSS +=+==30平方厘米．连接AC ，AF ，HC ，还可得6EFBABCS S=，6DHGACDSS=，有()66EFBDHGABCACDABCD SSSSS +=+==30平方厘米.有四边形EFGH 的面积为EAH,FCG ,EFB,DHG ,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.) 方法二：连接BD ，有EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180° 又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAHS=6ABDS．类似的，还可得FCGS =6BCDS，有EAHS+FCG S=6（ABDS +BCDS)=6ABCD S =30平方厘米．连接AC ，还可得EFBS=6ABC S，DHG S=6ACDS，有EFBS+DHG S=6（ABC S +ACDS）=6ABCD S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米．【答案】65【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CDEF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】136【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．【答案】263【例17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。

一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形的对应份数为()2a b +。

四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．【例 5】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一例题精讲三角形等高模型与鸟头模型点，问阴影部分面积是多少？【例 6】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【例 7】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC 面积的几倍？【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与V BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．【例 11】 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【例 13】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．【例 16】 图中V AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．【解析】 在ABD V 中，因为215cm AOB S =V ，且3OB OD =，所以有235cm AOD AOB S S =÷=V V ．因为ABD V 和ACD V 等底等高，所以有ABD ACD S S =V V ．从而215cm OCD S =V ，在BCD V 中，2345cm BOC OCD S S ==V V ，所以梯形面积：2155154580cm +++=（）． 【例 17】 如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．【例 18】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？【例 19】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？【例 20】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？【例 21】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．【例 22】 在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ∆的面积为16，等腰DOC ∆的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC ∆的面积是多少？【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ∆ 的面积为215cm ，而BCG ∆的面积恰好是梯形ABCD 面积的720，则梯形ABCD 的面积是 2cm ．【例 24】 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．【例 25】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【例 26】如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果V ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的面积．【例 27】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【例 28】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF相交于H ，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC =，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．【例 31】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？【例 32】 如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D是AB 边的中点，E 是AC 边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．【例 34】 如图，在梯形ABCD 中，:4:3AD BE =，:2:3BE EC =，且BOE ∆的面积比AOD∆的面积小10平方厘米．梯形ABCD 的面积是 平方厘米．【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？【例 37】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF DC =,且2AD DE =．则两块地ACF 和CFB 的面积比是_________．【例 39】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．【例 40】 (2007年人大附中分班考试题)已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )【例 41】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．【例 42】 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积是 ．【例 43】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．【例 44】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？【例 45】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 2cm ． 【例 46】如图，三角形AEF 的面积是17，DE 、BF 的长度分别为11、3．求长方形ABCD 的面积．【例 47】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD中，67AB =，30BC =．E 、F 分别是AB BC 、边上的两点，49BE BF +=．那么，三角形DEF 面积的最小值是 ．【例 48】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．【例 49】 如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS 的面积之比．【例 50】 如图，四边形ABCD 中，::3:2:1DE EF FC =，::3:2:1BG GH AH =，:1:2AD BC =，已知四边形ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG 的面积= ．【例 51】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC ，在边AB 、BC 、CA 的正中间分别取点L 、M 、N ，在边AL 、BM 、CN 上分别取点P 、Q 、R ，使LP MQ NR ==，当PM 和RL 、PM 和QN 、QN 和RL 的相交点分别是X 、Y 、Z 时，使XY XL =．这时，三角形XYZ 的面积是三角形ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程． 【例 52】 如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的23，其中F 是BC 边上任意一点，三角形AME 、三角形BMF 、三角形NFC 的面积分别为14、20、12．求三角形NDE 的面积．【例 53】 如图，已知ABCD 是梯形，AD ∥BC ，:1:2AD BC =，:1:3AOF DOE S S ∆∆=，224cm BEF S ∆=，求AOF ∆的面积．【例 54】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果ASM ∆、MTB ∆与DSN ∆的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为 ． 板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图⑴ 图⑵【例 55】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【例 56】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【例 57】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【例 58】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．【例 59】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？【例 60】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米． 【例 61】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．【例 62】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．【例 63】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．【例 64】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ． 【例 65】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？ 【例 66】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．【例 67】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？【例 68】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．。

一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形的对应份数为()2a b +。

四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。

2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。

3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。

二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。

）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。

相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。

相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为由题知DC/GP=GC/PK，即DC/(DC-4)=(4+PK)/PK，令DC=a，PK=c，则a=4+c，则S△DEK=a^2+16+c*(4-c)/2+c^2-ac-a(4+a)/2=a^2/2+c^2/2-ac-2a+2c+16=(c+4)^2/2+c^2/2 -c(c+4)-2(c+4)+2c+16=16。

1、图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=D D2，中间小正方形 EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在D PC处（如图18和图19）。

已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。

又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。

三角形等高模型与鸟头模型板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底乂高一2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化吋，它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的丄，则三角形面积与原来的一3样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图S］ : S2 = a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S“CD=S卫3；反之，如果Sg = S/），则可知直线AB平行于CD ・④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.【例1］你有多少种方法将任意一个三角形分成：（1） 3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶ 6个面积相等的三角形.【例2］如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上.（1）求三角形ABC的面积是三角形面积的多少倍？（2）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?D C【例3】如右图，和CDEF都是矩形，4B的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 _________ 平方厘米.【例4］如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例5】长方形A3CD的面积为36伽S E、F、G为各边中点，H为4D边上任意一点，问阴影部分面积【例6】长方形ABCD的面积为36, E、F、G为各边中点，H为4D边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【例7］如右图，E在AD上，AD垂直BC, AD=12厘米，DE = 3厘米.求三角形ABC的面积是三角形EBC 面积的几倍？【例8]如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC,连结BE 、AE. CF 、那么与BEC 等积的三角形一 共有哪几个三角形？【例9]（第四届”迎春杯”试题）如图，三角形ABC 的面积为1,其中AE = 3AB f BD = 2BC ,三角形BDE 的面积是多少？【例10] （2008年四中考题）如右图，AD=DB f AE = EF = FC ,已知阴影部分面积为5平方厘米，^ABC的面积是 _______ 平方厘米.【例111 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点.如果长方形的面积是36 个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位.【例12] 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方 形组合而成.求阴影部分的面积.【例13] 如图，三角形ABC 中，DC = 2BD , CE = 3AE f 三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形A3C 的面积是多少？12cm2/ 48cm 2 叫/ N 48cm 2CB【例14】（2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89, 28, 26.那么三角形的面积是_______________ •【例15] （第四届《小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分.三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米.求梯形ABCD的面积.【例16] 图中的面积为15cm2,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.C【解析】在AftD中，因为S/WB=15cm2, ^LOB = 3OD f所以有阿一3 = 5cn?.因为和ACD等底等高，所以有・从而SocD=15cn?,在KD中，（）CD = 45cm2,所以梯形面积：15 + 5 + 15 + 45 = 80（cm2）.【例17] 如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.【例18] （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%,黄色三角形面积是2\cm2.问：长方形的面积是多少平方厘米?【例19] 0是长方形ABCD内一点，已知AOBC的面积是5cm2, \OAB的面积是2cm2,求AOBD的面积是多少？【例20] 如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH ,若A/迟D的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？【例21] 如右图，正方形ABCD的面积是2(),正三角形\BPC的面积是15 ,求阴影AZ3PD的面积.【例22] 在长方形ABCD内部有一点0,形成等腰AAO3的面积为16,等腰\DOC的面积占长方形面积的18% ,那么阴影\AOC的面积是多少？【例23] (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级)如右图所示，在梯形ABCD中，E、F 分别是其两腰AB. CD的中点，G是EF上的任意一点，己知MDG的面积为15cm2,而z\BCG的面积恰好是梯形ABCD面积的Z,则梯形ABCD的面积是cm2.20 --------------------------------------------【例25] 如图，正方形ABCD 的边长为6, AE=l.5f CF =2.长方形EFGH 的面积为 ________________如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC,如果ADE 的面积为4平方厘米.求三角形CDF 的 面积.【例27] 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米,则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.【例28] 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10 厘米，求阴影部分的面积.【例26]【例 请你证明它们的面积相等.F C【例29] （2008年”华杯赛”决赛）右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H,已知CW等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积.【例30】 （第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底和腰CD 上的点,DF = FC ,并且甲、乙、丙3个三角形面积相等.已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米.求图 中阴影部分的面积.【例31] 如图，已知长方形 QEF 的面积16,三角形的面积是3,三角形ACF 的面积是4,那么 三角形ABC 的面积是多少？【例321 如图，在平行四边形ABCD 中，BE = EC , CF = 2FD •求阴影面积与空白面积的比.【例33] （第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）如图所示，三角形ABC 中，。

几何五大模型之二鸟头定理WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】三角形之鸟头模型 共角定理（鸟头模型） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则AC AB AE AD AC AE AB AD S S ABC ADE ⨯⨯=⨯=∆∆ (夹角两边：大大小小⨯⨯) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比例题讲解：1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积．3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2， 平方厘米12=∆ADE S ，求△ABC 的面积．4、 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？5、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．6、 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？7、 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．8、 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？9、 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．10、如图，在三角形ABC 中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且13BE AB，已知四边形EDAC的面积是35，求三角形ABC的面积。

板塊一 三角形等高模型我們已經知道三角形面積的計算公式：三角形面積=底⨯高2÷從這個公式我們可以發現：三角形面積的大小，取決於三角形底和高的乘積． 如果三角形的底不變，高越大(小)，三角形面積也就越大(小)；如果三角形的高不變，底越大(小)，三角形面積也就越大(小)；這說明當三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發生變化．但是，當三角形的底和高同時發生變化時，三角形的面積不一定變化．比如當高變為原來的3倍，底變為原來的13，則三角形面積與原來的一樣．這就是說：一個三角形的面積變化與否取決於它的高和底的乘積，而不僅僅取決於高或底的變化．同時也告訴我們：一個三角形在面積不改變的情況下，可以有無數多個不同的形狀． 在實際問題的研究中，我們還會常常用到以下結論： ①等底等高的兩個三角形面積相等；②兩個三角形高相等，面積比等於它們的底之比； 兩個三角形底相等，面積比等於它們的高之比； 如左圖12::S S a b =s 2s 1baDCBA③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，則可知直線AB 平行於CD ．④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；⑤三角形面積等於與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等於它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等於它們的高之比． 板塊二 鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面積比等於對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比．例題精講4-3-2.三角形等高模型與鳥頭模型如圖在ABC △中，,D E 分別是,AB AC 上的點如圖 ⑴(或D 在BA 的延長線上，E 在AC 上)，則:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBADECBA圖⑴ 圖⑵【例 1】 如圖在ABC △中，,D E 分別是,AB AC 上的點，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方釐米，求ABC △的面積．EDCBAEDCBA【鞏固】如圖，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE的面積等於1，那麼三角形ABC 的面積是多少？EDCBAABCD E【鞏固】如圖，三角形ABC 被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【例 2】如圖在ABC △中，D 在BA 的延長線上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方釐米，求ABC △的面積．EDCBAEDCBA【例 3】如圖所示，在平行四邊形ABCD 中，E 為AB 的中點，2AF CF =，三角形AFE (圖中陰影部分)的面積為8平方釐米．平行四邊形的面積是多少平方釐米？FD CBA【例 4】已知DEF△的面積為7平方釐米，,2,3BE CE AD BD CF AF===，求ABC△的面積．FEDCBA【例 5】如圖16-4，已知．AE=15AC，CD=14BC，BF=16AB，那麼DEFABC三角形的面积三角形的面积等於多少?【例 6】如圖，三角形ABC的面積為3平方釐米，其中:2:5AB BE=，:3:2BC CD=，三角形BDE的面積是多少？AB ECDDC E B A【例 7】如圖所示，正方形ABCD 邊長為6釐米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面積為_______平方釐米．【例 8】如圖，已知三角形ABC 面積為1，延長AB 至D ，使BD AB =；延長BC 至E ，使2CE BC =；延長CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面積．FEDCB AABCDEF【例 9】如圖，把四邊形ABCD 的各邊都延長2倍，得到一個新四邊形EFGH 如果ABCD 的面積是5平方釐米，則EFGH 的面積是多少平方釐米?【例 10】 如圖，平行四邊形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四邊形ABCD 的面積是2， 求平行四邊形ABCD 與四邊形EFGH 的面積比．HGAB CD EFHGA B CD EF【例 11】 如圖，四邊形EFGH 的面積是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四邊形ABCD 的面積．H GFED CB AAB CDEGH【例 12】 如圖，將四邊形ABCD 的四條邊AB 、CB 、CD 、AD 分別延長兩倍至點E 、F 、G 、H ，若四邊形ABCD 的面積為5，則四邊形EFGH 的面積是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【例 13】 如圖，在ABC △中，延長AB 至D ，使BD AB =，延長BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中點，若ABC △的面積是2，則DEF △的面積是多少？A BCDEF【例 14】 如圖，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S ．SGF E DCBA【例 15】 如圖所示，正方形ABCD 邊長為8釐米，E 是AD 的中點，F 是CE 的中點，G是BF 的中點，三角形ABG 的面積是多少平方釐米？ABC DEF GABCDEF G【例 16】 四個面積為1的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積．【鞏固】已知圖中每個正六邊形的面積都是1，則圖中虛線圍成的五邊形ABCDE 的面積是 ．B DCEA【例 17】僅用下圖這把刻度尺，最少測量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面積比。

模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图12::S S a bbaS 2S 1DCBA ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCD S S △△；反之，如果ACDBCD S S △△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．三角形等高模型与鸟头模型【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。

【解析】⑴如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：CE D BAFC D B AGDCBA⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考：⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

⑴求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？⑵求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？【解析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．【例 5】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少【例 6】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少【例 7】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC面积的几倍【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与V BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE的面积是多少【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是 平方厘米．【例 11】 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．例题精讲三角形等高模型与鸟头模型【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【例 13】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．【例 16】 图中V AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．【解析】 在ABD V 中，因为215cm AOB S =V ，且3OB OD =，所以有235cm AOD AOB S S =÷=V V ．因为ABD V 和ACD V 等底等高，所以有ABD ACD S S =V V ．从而215cm OCD S =V ，在BCD V 中，2345cm BOC OCD S S ==V V ，所以梯形面积：2155154580cm +++=（）． 【例 17】 如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．【例 18】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米【例 19】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少【例 20】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米【例 21】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．【例 22】 在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ∆的面积为16，等腰DOC ∆的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC ∆的面积是多少【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ∆ 的面积为215cm ，而BCG ∆的面积恰好是梯形ABCD 面积的720，则梯形ABCD 的面积是 2cm ． 【例 24】 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．【例 25】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【例 26】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果V ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的面积．【例 27】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【例 28】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC =，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．【例 31】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少【例 32】 如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E是AC 边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．【例 34】 如图，在梯形ABCD 中，:4:3AD BE =，:2:3BE EC =，且BOE ∆的面积比AOD ∆的面积小10平方厘米．梯形ABCD 的面积是 平方厘米．【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米【例 37】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF DC =,且2AD DE =．则两块地ACF 和CFB 的面积比是_________．【例 39】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．【例 40】 (2007年人大附中分班考试题)已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )【例 41】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．【例 42】 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积是 ．【例 43】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．【例 44】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米【例 45】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 2cm ．【例 46】 如图，三角形AEF 的面积是17，DE 、BF 的长度分别为11、3．求长方形ABCD 的面积．【例 47】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD 中，67AB =，30BC =．E 、F 分别是AB BC 、边上的两点，49BE BF +=．那么，三角形DEF 面积的最小值是 ．【例 48】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．【例 49】 如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS 的面积之比．【例 50】 如图，四边形ABCD 中，::3:2:1DE EF FC =，::3:2:1BG GH AH =，:1:2AD BC =，已知四边形ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG 的面积= ．【例 51】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC ，在边AB 、BC 、CA 的正中间分别取点L 、M 、N ，在边AL 、BM 、CN 上分别取点P 、Q 、R ，使LP MQ NR ==，当PM 和RL 、PM 和QN 、QN 和RL 的相交点分别是X 、Y 、Z 时，使XY XL =．这时，三角形XYZ 的面积是三角形ABC 的面积的几分之几请写出思考过程． 【例 52】 如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的23，其中F 是BC 边上任意一点，三角形AME 、三角形BMF 、三角形NFC 的面积分别为14、20、12．求三角形NDE 的面积．【例 53】 如图，已知ABCD 是梯形，AD ∥BC ，:1:2AD BC =，:1:3AOF DOE S S ∆∆=，224cm BEF S ∆=，求AOF ∆的面积．【例 54】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果ASM ∆、MTB ∆与DSN ∆的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为 ．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图⑴ 图⑵【例 55】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【例 56】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【例 57】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米【例 58】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．【例 59】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少【例 60】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米． 【例 61】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．【例 62】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．【例 63】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．【例 64】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．【例 65】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少【例 66】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．【例 67】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米【例 68】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．。