直角三角形斜边中线定理ppt课件

直角三角形斜边中线等于斜边一半证明
证明直角三角形斜边中线等于斜边一半：
一、定义要证明的定理
定理：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

二、正式证明
1.（已知条件）设A、B、C都是正弦三角形，其中角B为直角；
2.（证明步骤 I）将正三角形分为两个直角三角形，即 ABC、BCA；
3. （证明步骤 II）令BC是满足正弦三角形直角三角形ABC中边CA 的中线；
4.（证明步骤 III）由三角形相似定理知：
（1）BCA与ABC是由边A的垂线和边C的角平分线分成的两个相似或等腰三角形。

（2）设角B ≜ α、角A ≜ β，则有α = β = 90°；
（3）又BCA 与ABC 共有角α，则有α≜α；
（4）故有sinα=sinα；
（5）由弦垂切定理知，有BC/AC=sinα/cosα=1/cosα；
（6）又由弦垂切定理知，有AC/BC=cosα/sinα=1/sinα；
（7）合并两种结果，得AC=BC；
5. （证明步骤 IV）再由已知AB是直角三角形ABC的斜边，有AB=AC+BC=2*BC；
6.（证明步骤 V）综上所述，直角三角形斜边中线等于斜边一半。

三、结论
根据上面的证明，得出结论：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 是直角三角形的重要性质之一， 而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、 底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线， 往往能帮助我们迅速打开解题思路, 明. 一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 例1.如图1 , BD N 是DE 的中点.试问：猜想：MN B 直平分 1ME MD 在 Rt △ BEC 中，•••点 M 是斜边BC 的中点，• ME^ BC,又 NE = ND •2直线MN 是线段DE 的垂直平分线，• NMLDE 即 MN 垂直平分 DE. 评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点， 联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” ，证明：DE 的中点F ,连AF ,贝U AF=FD 」DE,所以/ DAF=Z ADF,又因为 AD// BC,所以/ CBE Z ADF, 21又因为/ CBEd Z ABE 所以/ ABF=/ AFB,所以 AF=AB 即 DE=2AB2评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶 点，然后用性质来解决问题.三、有中点、无直角，造直角，用性质 PM 交DC 于 K 下证N 和K 重合，贝U P 、N M 三点共线,PDC △ PAB 斜边上的中线，• PN=CN=DlN=CD PM=BM=D M=AB,2 2•••/ PNC=2/ PDN=2/ A Z PMB Z PKC=2/ A, •/ PNC / PKC •- N 、K 重合，问题便迎刃而解. 2△ ABF 均为等腰三角形，由此结论得证. CE 是厶ABC 的两条高，M 是BC 的中点,MN 与 DE 有什么关系？证明你的猜想.DE.证明：如图：连接例 3.如图 3,梯形 ABCD 中, AB// CD M / ADC+Z BCD=270,1求证：MN — (AB-CD .2证明：延长AD BC 交于 •••/ APB=9(°,连结 PN 连结P,vZ ADC y BCD=270,••• PN PM 分别是直角三角形△ B• MN=PM-PN= (AB-CD).2评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“Z ADC-Z BCD=270 ” ,这样问题就易以解决了四、逆用性质解题例4.如图4,延长矩形ABCD的边CB至E,使CE=CA , P是AE的中点.求证：BP丄DP .证明：如图3，连结BD交AC于点0,连结PO,•••四边形ABCD 是矩形，••• A0=0C=0B=0D ,1 1••• PA=PE ,• P0= — EC ,T EC=AC , • P0= — BD ,2 2即0P=0B=0D , • BP丄DP.评析：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造厶PBD ,请同学们试一试吧!1. 如图5,A ABC中, AB=AC 厶1求证：CD= BE22. 如图6,A ABC中，/ B=2/ C, 中点，求证：AB=2DM证BD边的中线等于BD的一半.1. 提示：结论中的BE是直角三角形的斜边，由半”，故应取BE的中点F,连结DF，只需证明1— BE应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一2DC=DF，即证/ C=Z DFC2 .提示：取AB的中点N，连结DN、MN即可.直角三角形斜边上中线性质的应用直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质, 同时也是常考的知识点. 它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用而且斜边上的中线将“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，恰当地构造并直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，下面举例说借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，明．一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 BC的中点，CE是△ABC的两条高，M是例1．如图1，BD、有什么关系？证明你的猜想．DE的中点．试问：MN与DEN是DE.垂直平分猜想：MN1图1，∴NDBC，又NE＝、MD，在Rt△BEC中，∵点M是斜边BC的中点，∴ME=证明：如图：连接ME2DE.垂直平分的垂直平分线，∴NM⊥DE．即直线MN是线段DEMN，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想问题便迎刃而解．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质1A DADBC，∠CBE=，∠ABE例2．如图2，在Rt△ABC中，∠C=902DE=2AB0∥，求证：FAB相等，分析：欲证DE=2AB，则可寻DE的一半，再让其与2图E 1B取DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，可证得△AFD， C2△ABF均为等腰三角形，由此结论得证．1DE，所以∠DAF=∠ADF，又因为AD∥BCAFF，连，则AF=FD=，所以∠CBE=∠ADF，证明：DE的中点21∠ABE，所以∠ABF=又因为∠CBE=∠AFB，所以AF=AB，即DE=2AB．2评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．P 三、有中点、无直角，造直角，用性质CD CD的中点，N是AB、，梯形ABCD中，AB∥CD，M、．如图例33N K 0 BCD=270，∠ADC+∠1M A B．MN=（AB-CD）求证：3图20证明：延长AD、BC交于P，∵∠ADC+∠BCD=270，、MK重合，则P、N于APB=90，连结PN，连结PM交DCK，下证N和∴∠11CD，PM=BM=DM=AB，0三点共线，PM分别是直角三角形△PDC、△PAB斜边上的中线，∴PN=CN=DN= 、∵PN22∵∠PNC=2∠PDN=2∠A，∠PMB=∠PKC=2∠A，∴∠PNC=∠PKC，∴N、K重合，1（AB-CD）．∴MN=PM-PN=2评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠0，这样问题就易以解决了”BCD=270∠ADC+DA 四、逆用性质解题E，使CE=CA，至例4．如图4，延长矩形ABCD的边CP的中点．是AEODP．求证：BPEBC4图，于点O，连结PO证明：如图3，连结BD交AC AO=OC=OB=OD∵四边形ABCD是矩形，∴，11，EC=AC∵PA=PE，∴PO=，∴PO=BDEC，∵22．BP⊥DPOP=OB=OD即，∴“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被评析：的一半．BD边的中线等于BD大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD，证请同学们试一试吧！于E，于D，DE交BCDE1．如图5，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD，BD⊥A 1CD=BE．求证：2 BC的于BCD，M是2．如图6，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥D．中点，求证：AB=2DM ACE B5图M·C B D6 图1应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一BEBE是直角三角形的斜边，由1．提示：结论中的2DFC．，即证∠C=∠DF，故应取BE的中点F，连结，只需证明DC=DF半”即可．、，连结DNMN2．提示：取AB的中点N直角三角形斜边上中线性质的应用它为证明线同时也是常考的知识点．直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，下面谈谈直角三角形斜边上中线的线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半逆定理直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个角度为90度，另外两个角度分别为锐角和钝角。

在直角三角形中，斜边是与直角相对的边，而另外两边则被称为直角边。

有一个有趣而又重要的定理与直角三角形的斜边和中线之间的关系密切相关。

这个定理被称为“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”。

首先，让我们来看一下直角三角形中的斜边和中线是如何定义的。

斜边是直角三角形的最长边，它位于直角的对角位置。

中线可以通过连接斜边的两个中点来得到，这条线将斜边分成两个等长的部分。

当我们将斜边切分为两个等长的部分后，我们可以发现这两个部分与直角边的关系非常特殊。

事实上，直角三角形斜边的中线恰好等于斜边的一半长度。

为了更加深入地理解这个定理，我们可以从几何和数学的角度进行解释。

设直角三角形的斜边长度为c，直角边长度分别为a和b。

根据勾股定理，我们可以得到a²+b²=c²，其中a²表示直角边a的平方，b²表示直角边b的平方，c²表示斜边c的平方。

当我们将斜边c划分为两个部分时，每个部分的长度为c/2。

现在，我们可以利用勾股定理来证明斜边的中线等于斜边的一半。

首先，我们可以分别计算两个划分后的斜边部分的平方。

左边的部分为(c/2)²= c²/4，右边的部分为(c-c/2)² = (c/2)²=c²/4。

由于c²/4+c²/4=c²，我们可以看出两个部分的平方之和等于斜边的平方。

也就是说，通过连接斜边的两个中点得到的中线也满足勾股定理。

这个定理在实际应用中具有重要的指导意义。

我们可以利用这个定理来解决各种问题，例如测量无法直接获取的直角三角形边长或角度。

通过知道斜边的长度和中线的关系，我们可以进行精确的计算和推导。

此外，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半也反映了数学中的一些重要原理和性质，例如平行线的截距定理和相似三角形的性质。