直角三角形斜边中线定理ppt课件

直角三角形斜边中线等于斜边一半证明
证明直角三角形斜边中线等于斜边一半：
一、定义要证明的定理
定理：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

二、正式证明
1.（已知条件）设A、B、C都是正弦三角形，其中角B为直角；
2.（证明步骤 I）将正三角形分为两个直角三角形，即 ABC、BCA；
3. （证明步骤 II）令BC是满足正弦三角形直角三角形ABC中边CA 的中线；
4.（证明步骤 III）由三角形相似定理知：
（1）BCA与ABC是由边A的垂线和边C的角平分线分成的两个相似或等腰三角形。

（2）设角B ≜ α、角A ≜ β，则有α = β = 90°；
（3）又BCA 与ABC 共有角α，则有α≜α；
（4）故有sinα=sinα；
（5）由弦垂切定理知，有BC/AC=sinα/cosα=1/cosα；
（6）又由弦垂切定理知，有AC/BC=cosα/sinα=1/sinα；
（7）合并两种结果，得AC=BC；
5. （证明步骤 IV）再由已知AB是直角三角形ABC的斜边，有AB=AC+BC=2*BC；
6.（证明步骤 V）综上所述，直角三角形斜边中线等于斜边一半。

三、结论
根据上面的证明，得出结论：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

符号表示:
在RtABC中，ACB 90.
30
A 30
BC 1 AB 2
B
C
A
如图，在RtABC中，ACB 90，
A 30,CE AB于E，
30
哪些线段的比值为2？
E
B
C
推论1：
在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
你能说出这个定理的逆命题吗?
逆命题：
求证：BD 1 CD. 2
A
30
B
D
C
例题4. 已知：如图，在RtABC中，ACB 90，
CD AB,CE是斜边AB上的中线,且ED BD.
求证：A 30.
C
A
ED B
已知：如图，在RtABC中，ACB 90， B 15, AB的垂直平分线分别与AB、BC 相交于点N、M ,联结AM，AC 6，求BM的长.
(2)∠EBD=∠EDB （3）图中有哪些等腰三角形？ D
A
E
C
B
已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上 的高，M是BC的中点。求证：MD=ME
A
如 果 连 接 DE, 取 DE 的
E
P
中点P,那么MP与DE有
D
什么样的关系存在?
B
M
C
已知Rt⊿ABC. 求作一条直线,把它分成两个等腰三角形
C M
15
A
N
B
已知：如图，BAC 30，
AP平分BAC, PM // AB, AM 5, PD AB
求PD的长.
B
D
P
A
M
C
推论1：
在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2 证明：延长CD至点E,使DE= CD，连结AE、BE
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD = DB.又∵ DE = CD,
∴四边形ACBE是平行四边形.
又∵ ∠ ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴ CE = AB,
∴ CD = 1 CE = 1 AB.
2
2
归纳
知1－导
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 是直角三角形的又一条性质，它表述了直角三角 形斜边上的中线与斜边之间的关系．
定理）. 下面我们探索直角三角形的其他性质.
知1－导
知识点 1 直角三角形斜边上的中线的性质
探索：如图，画Rt △ ABC，并画出斜边AB上的中线 CD量一量，看看CD与AB有什么关系.
相信你与你的同伴一定会发现: CD恰好是AB的一半.
下面让我们用演绎推理证明 这一猜想.
知1－导
已知：如图 ,在 Rt ABC 中， ∠ ACB= 90 °， CD 是斜边AB上的中线. 求证：CD = 1 AB
锐角互余”． (2) 当已知直角三角形斜边上的中线时，常用“直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
知2－讲
(3) 当已知直角三角形中一个锐角为30°时，常用 “30°角所对的直角边等于斜边的一半”．反之， 若已知一条直角边等于斜边的一半，我们可以得到 这条直角边所对的锐角为30°，实现了边、角之间 的转化．
知2－练
1 (黄冈)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，
交BC于点D，CD＝3，则BC的长为( )
A．6 B．6 3 C．9
D．3 3
知－练
2 (眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，

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解 (1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,F是BC延长线上的一点, ∴ED是Rt△ABC的中位线,∴ED∥FC,∴BC=2DE, 又EF∥DC,∴四边形CDEF是平行四边形. (2)由(1)可知DC=EF,DE=CF, ∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线, ∴AB=2DC,∴四边形DCFE的周长=AB+BC, ∵四边形DCFE的周长为25 cm,AC的长为5 cm, ∴BC=25-AB, ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∴AB2=BC2+AC2,即AB2=(25-AB)2+52,解得AB=13 cm.
证明 连接CG,∵AD=AE,F是DE的中点, ∴AF是等腰△ADE底边DE上的中线, ∴AF⊥DE,同理CG⊥AB, ∴△ACF与△ACG均是直角三角形, ∵H是AC的中点,∴HF、GH分别是△ACF与△ACG斜边上的中线, ∴FH=GH=12 AC,∴△HFG是等腰三角形, ∴∠HFG=∠FGH.
3
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命题思路 本题主要考查三角形的中位线的性质、直角三角形斜边上的中 线的性质. 失分警示 判断DF是△ABE的中位线是本题的解题关键.
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实战预测 2.(2018大庆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,连 接CD,过E作EF∥DC交BC的延长线于F. (1)证明:四边形CDEF是平行四边形; (2)若四边形CDEF的周长是25 cm,AC的长为5 cm,求线段AB的长度.
定义:三角形两边中点之间的线段叫做三角形的中位线
性质
图形语言
文字语言
符号语言
三角形的中位线平行并且等于第 ∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥B

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 是直角三角形的重要性质之一， 而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、 底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线， 往往能帮助我们迅速打开解题思路, 明. 一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 例1.如图1 , BD N 是DE 的中点.试问：猜想：MN B 直平分 1ME MD 在 Rt △ BEC 中，•••点 M 是斜边BC 的中点，• ME^ BC,又 NE = ND •2直线MN 是线段DE 的垂直平分线，• NMLDE 即 MN 垂直平分 DE. 评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点， 联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” ，证明：DE 的中点F ,连AF ,贝U AF=FD 」DE,所以/ DAF=Z ADF,又因为 AD// BC,所以/ CBE Z ADF, 21又因为/ CBEd Z ABE 所以/ ABF=/ AFB,所以 AF=AB 即 DE=2AB2评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶 点，然后用性质来解决问题.三、有中点、无直角，造直角，用性质 PM 交DC 于 K 下证N 和K 重合，贝U P 、N M 三点共线,PDC △ PAB 斜边上的中线，• PN=CN=DlN=CD PM=BM=D M=AB,2 2•••/ PNC=2/ PDN=2/ A Z PMB Z PKC=2/ A, •/ PNC / PKC •- N 、K 重合，问题便迎刃而解. 2△ ABF 均为等腰三角形，由此结论得证. CE 是厶ABC 的两条高，M 是BC 的中点,MN 与 DE 有什么关系？证明你的猜想.DE.证明：如图：连接例 3.如图 3,梯形 ABCD 中, AB// CD M / ADC+Z BCD=270,1求证：MN — (AB-CD .2证明：延长AD BC 交于 •••/ APB=9(°,连结 PN 连结P,vZ ADC y BCD=270,••• PN PM 分别是直角三角形△ B• MN=PM-PN= (AB-CD).2评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“Z ADC-Z BCD=270 ” ,这样问题就易以解决了四、逆用性质解题例4.如图4,延长矩形ABCD的边CB至E,使CE=CA , P是AE的中点.求证：BP丄DP .证明：如图3，连结BD交AC于点0,连结PO,•••四边形ABCD 是矩形，••• A0=0C=0B=0D ,1 1••• PA=PE ,• P0= — EC ,T EC=AC , • P0= — BD ,2 2即0P=0B=0D , • BP丄DP.评析：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造厶PBD ,请同学们试一试吧!1. 如图5,A ABC中, AB=AC 厶1求证：CD= BE22. 如图6,A ABC中，/ B=2/ C, 中点，求证：AB=2DM证BD边的中线等于BD的一半.1. 提示：结论中的BE是直角三角形的斜边，由半”，故应取BE的中点F,连结DF，只需证明1— BE应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一2DC=DF，即证/ C=Z DFC2 .提示：取AB的中点N，连结DN、MN即可.直角三角形斜边上中线性质的应用直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质, 同时也是常考的知识点. 它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。

2、 如图：在RtΔ ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知
∠DCA=200，则∠ A ＝＿20＿°，∠B＝_7_0__°。
∵CD是斜边AB上的中线
B
∴CD=AD=BD= 1 AB
2
D C
(直角三角形的斜边中线等于斜边的一半）
∴∠Ａ＝∠ＤＣＡ＝２０°
倍 速
课 ∴∠Ｂ＝９０°－ ∠Ａ＝ ９０°－２０°＝７０°
时
学 （直角三角形两锐角互余）
练
3、在矩形ABCD中，E是BC上一点，已知
AE=AD,DF垂直与AE于点F,求证：CE=FE
A
D
B
FE C
倍 速 课 时 学 练
4、以ᇫABC的三边在BC 的同侧分别作三个等边三 角形，即ᇫABC,ᇫBCE,ᇫACF,请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
∵点Ｅ是ＡＢ边上的中点，∠ＡＣＢ＝９０°
∴ＣＥ是Ｒt⊿ABC的斜边的中线
∴ＡＢ＝２ＣＥ＝２×３＝６
C
D 倍
速
（直＿角＿三＿角＿形＿的＿斜＿边＿的＿中＿线＿等＿于＿斜＿边＿的＿一＿半）
F
课 时 学 练
∵点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点，
∴DF是三角形ＡＢＣ的中位线
A
E
∴
1 DF= 2 AB=3
(三角形的中位线等于第三边的一半）
倍 速
定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
课
时
学
练
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
已知:在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,
A
CD是斜边AB上的中线,
求证:CD=1/2AB
D
倍 速
C
B

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用而且斜边上的中线将“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，恰当地构造并直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，下面举例说借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，明．一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 BC的中点，CE是△ABC的两条高，M是例1．如图1，BD、有什么关系？证明你的猜想．DE的中点．试问：MN与DEN是DE.垂直平分猜想：MN1图1，∴NDBC，又NE＝、MD，在Rt△BEC中，∵点M是斜边BC的中点，∴ME=证明：如图：连接ME2DE.垂直平分的垂直平分线，∴NM⊥DE．即直线MN是线段DEMN，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想问题便迎刃而解．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质1A DADBC，∠CBE=，∠ABE例2．如图2，在Rt△ABC中，∠C=902DE=2AB0∥，求证：FAB相等，分析：欲证DE=2AB，则可寻DE的一半，再让其与2图E 1B取DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，可证得△AFD， C2△ABF均为等腰三角形，由此结论得证．1DE，所以∠DAF=∠ADF，又因为AD∥BCAFF，连，则AF=FD=，所以∠CBE=∠ADF，证明：DE的中点21∠ABE，所以∠ABF=又因为∠CBE=∠AFB，所以AF=AB，即DE=2AB．2评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．P 三、有中点、无直角，造直角，用性质CD CD的中点，N是AB、，梯形ABCD中，AB∥CD，M、．如图例33N K 0 BCD=270，∠ADC+∠1M A B．MN=（AB-CD）求证：3图20证明：延长AD、BC交于P，∵∠ADC+∠BCD=270，、MK重合，则P、N于APB=90，连结PN，连结PM交DCK，下证N和∴∠11CD，PM=BM=DM=AB，0三点共线，PM分别是直角三角形△PDC、△PAB斜边上的中线，∴PN=CN=DN= 、∵PN22∵∠PNC=2∠PDN=2∠A，∠PMB=∠PKC=2∠A，∴∠PNC=∠PKC，∴N、K重合，1（AB-CD）．∴MN=PM-PN=2评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠0，这样问题就易以解决了”BCD=270∠ADC+DA 四、逆用性质解题E，使CE=CA，至例4．如图4，延长矩形ABCD的边CP的中点．是AEODP．求证：BPEBC4图，于点O，连结PO证明：如图3，连结BD交AC AO=OC=OB=OD∵四边形ABCD是矩形，∴，11，EC=AC∵PA=PE，∴PO=，∴PO=BDEC，∵22．BP⊥DPOP=OB=OD即，∴“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被评析：的一半．BD边的中线等于BD大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD，证请同学们试一试吧！于E，于D，DE交BCDE1．如图5，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD，BD⊥A 1CD=BE．求证：2 BC的于BCD，M是2．如图6，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥D．中点，求证：AB=2DM ACE B5图M·C B D6 图1应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一BEBE是直角三角形的斜边，由1．提示：结论中的2DFC．，即证∠C=∠DF，故应取BE的中点F，连结，只需证明DC=DF半”即可．、，连结DNMN2．提示：取AB的中点N直角三角形斜边上中线性质的应用它为证明线同时也是常考的知识点．直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，下面谈谈直角三角形斜边上中线的线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半逆定理直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个角度为90度，另外两个角度分别为锐角和钝角。

在直角三角形中，斜边是与直角相对的边，而另外两边则被称为直角边。

有一个有趣而又重要的定理与直角三角形的斜边和中线之间的关系密切相关。

这个定理被称为“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”。

首先，让我们来看一下直角三角形中的斜边和中线是如何定义的。

斜边是直角三角形的最长边，它位于直角的对角位置。

中线可以通过连接斜边的两个中点来得到，这条线将斜边分成两个等长的部分。

当我们将斜边切分为两个等长的部分后，我们可以发现这两个部分与直角边的关系非常特殊。

事实上，直角三角形斜边的中线恰好等于斜边的一半长度。

为了更加深入地理解这个定理，我们可以从几何和数学的角度进行解释。

设直角三角形的斜边长度为c，直角边长度分别为a和b。

根据勾股定理，我们可以得到a²+b²=c²，其中a²表示直角边a的平方，b²表示直角边b的平方，c²表示斜边c的平方。

当我们将斜边c划分为两个部分时，每个部分的长度为c/2。

现在，我们可以利用勾股定理来证明斜边的中线等于斜边的一半。

首先，我们可以分别计算两个划分后的斜边部分的平方。

左边的部分为(c/2)²= c²/4，右边的部分为(c-c/2)² = (c/2)²=c²/4。

由于c²/4+c²/4=c²，我们可以看出两个部分的平方之和等于斜边的平方。

也就是说，通过连接斜边的两个中点得到的中线也满足勾股定理。

这个定理在实际应用中具有重要的指导意义。

我们可以利用这个定理来解决各种问题，例如测量无法直接获取的直角三角形边长或角度。

通过知道斜边的长度和中线的关系，我们可以进行精确的计算和推导。

此外，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半也反映了数学中的一些重要原理和性质，例如平行线的截距定理和相似三角形的性质。

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∵BE中点F ∴∠ABD=∠DBC=∠BDF
∠DFC=∠ABC ∵∠ABC=∠C ∴∠DFC=∠C ∴DF=DC ∴DF=1/2BE ∴CD=1/2BE
如图△ABC中，∠B=2∠C,AH为高,M是BC边的中点. 求证:AB=2HM.
取AC中点D,连HD,MD ∴MD∥AB,MD=1/2AB HD=1/2AC ∴∠C=∠DHM ∴∠B=∠ADH ∠CAB=∠CDM ∴∠HDM=∠C=∠DHM ∴DM=HM ∴AB=2HM
2
延长CD至点E 连接EA、EB
如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，点F
是BD的中点，点E是AC上一点，且AE=EF，AC=6.
求EF的ห้องสมุดไป่ตู้.
∵AF⊥BC,AE=EF ∴∠EAF=∠EFA,∠C=90°∠EFA
∠EFC=90°-∠EFA ∴∠C=∠EFC,EF=EC ∴E为AC中点，AC=6,EF=3
如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE， DF⊥CE，F为垂足. 求证:（1）F是CE的中点；（2）∠B＝2∠BCE.
∵DE=1/2AB=AE=BE=CD ∵DF⊥CE ∴F为BC中点
ED=BE ∴∠B=∠EDB=2∠BCE
角平分线+斜边中线
如图，在△ABC中，AB＝AC ，BD平分∠ABC，BD 与AC交于点D，DE⊥BD，DE与BC交于点E，猜想并 证明BE与CD的数量关系.
中 点 的 辅 助 倍长中线 线
三线合一
中位线定理 直角三角形斜边中线定理
直角三角形斜边中线的定义
直角三角形斜边中点和直角顶点的连线 叫做直角三角形斜边中线

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 例1．如图1，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．试问：MN 与DE 有什么关系？证明你的猜想．猜想：MN 垂直平分DE.证明：如图：连接ME 、MD ，在Rt△BEC 中，∵点M 是斜边BC 的中点，∴ME=21BC ，又NE ＝ND ，∴直线MN 是线段DE 的垂直平分线，∴NM⊥DE．即MN 垂直平分DE.评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，问题便迎刃而解．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质例2．如图2，在Rt △ABC 中，∠C=900，AD ∥BC ，∠图A DFCBE=12∠ABE ， 求证：DE=2AB分析：欲证DE=2AB ，则可寻DE 的一半，再让其与AB 相等，取DE 的中点F ，连AF ，则AF=FD=12DE ，可证得△A FD ， △ABF 均为等腰三角形，由此结论得证．证明：DE 的中点F ，连AF ，则AF=FD=12DE ，所以∠DAF=∠ADF ，又因为AD ∥BC ，所以∠CBE=∠ADF ，又因为∠CBE=12∠ABE ，所以∠ABF=∠AFB ，所以AF=AB ，即DE=2AB ．评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．三、有中点、无直角，造直角，用性质 例3．如图3，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=2700，求证：MN=12（AB-CD ）． 证明：延长AD 、BC 交于P ，∵∠ADC+∠BCD=2700， ∴∠APB=900，连结PN ，连结PM 交DC 于K ，下证N 和K 重合，则P 、N 、M 三点共线， B AC D P M N K 图∵PN 、PM 分别是直角三角形△PDC 、△PAB 斜边上的中线，∴PN=CN=DN=12CD ，PM=BM=DM=12AB ， ∵∠PNC=2∠PDN=2∠A ，∠PMB=∠PKC=2∠A ，∴∠PNC=∠PKC ，∴N 、K 重合，∴MN=PM-PN=12（AB-CD ）． 评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠ADC+∠BCD=2700 ”，这样问题就易以解决了四、逆用性质解题例4．如图4，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．证明：如图3，连结BD 交AC 于点O ，连结PO ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AO=OC=OB=OD ，∵PA=PE ，∴PO=12EC ，∵EC=AC ，∴PO=12BD ， 即OP=OB=OD ，∴BP ⊥DP ．评析：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD ，证BD 边的中线等于BD 的一半．请同学们试一试吧！BA C D E P 图O1．如图5，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ， 求证：CD=12BE ． 2．如图6，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ．1．提示：结论中的BE 是直角三角形的斜边，由12BE 应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，故应取BE 的中点F ，连结DF ，只需证明DC=DF ，即证∠C=∠DFC ．2．提示：取AB 的中点N ，连结DN 、MN 即可．直角三角形斜边上中线性质的应用 直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

4
a
如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE， DF⊥CE，F为垂足. 求证:（1）F是CE的中点；（2）∠B＝2∠BCE.
∵DE=1/2AB=AE=BE=CD ∵DF⊥CE ∴F为BC中点
ED=BE ∴∠B=∠EDB=2∠BCE
5
a
角平分线+斜边中线
如图，在△ABC中，AB＝AC ，BD平分∠ABC，BD 与AC交于点D，DE⊥BD，DE与BC交于点E，猜想并 证明BE与CD的数量关系.
2
延长CD至点E 连接EA、EB
3
a
如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，点F
是BD的中点，点E是AC上一点，且AE=EF，AC=6.
求EF的长.
∵AF⊥BC,AE=EF
∴∠EAF=∠EFA,∠C=90°-
∠EFA
∠EFC=90°-，AC=6,EF=3
∵BE中点F ∴∠ABD=∠DBC=∠BDF
∠DFC=∠ABC ∵∠ABC=∠C ∴∠DFC=∠C ∴DF=DC ∴DF=1/2BE ∴CD=1/2BE
6
a
如图△ABC中，∠B=2∠C,AH为高,M是BC边的中点. 求证:AB=2HM.
取AC中点D,连HD,MD ∴MD∥AB,MD=1/2AB HD=1/2AC ∴∠C=∠DHM ∴∠B=∠ADH ∠CAB=∠CDM ∴∠HDM=∠C=∠DHM ∴DM=HM ∴AB=2HM
7
a
中
点
的
辅 助
倍长中线
线
三线合一
中位线定理 直角三角形斜边中线定理
1
a
直角三角形斜边中线的定义
直角三角形斜边中点和直角顶点的连线 叫做直角三角形斜边中线

定理：证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半。

设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。

【证法1】延长AD到E，使DE=AD，连接CE。

∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD ，又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），AD=DE，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴AB=CE，∠B=∠DCE，∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，∴△ABC≌△CEA（SAS）∴BC=AE，∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。

【证法2】取AC的中点E，连接DE。

∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=1/2BC，∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）∴DE垂直平分AC，∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

【证法3】延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。

∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD，又∵AD=DE，∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵∠BAC=90°，∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），∴AE=BC（矩形对角线相等），∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。

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等腰直角三角形斜边中线定理
等腰直角三角形斜边中线定理是几何中以稳固理论及直观证明为核心的一个定理。

在这方面，数学家们经过多年研究及总结，提出了基于这一定律的等腰直角三角形斜边中线定理，并在几何教育中开始得以广泛运用。

等腰直角三角形斜边中线定理把简单的证明过程提出来直观，如果通过简单的例子来说明：假定有一个等腰直角三角形，那么其斜边肯定是小边的两倍，同时它的斜边上的中线所绘的小矩形的两个面积肯定等于以原等腰直角三角形的两个边为边长的矩形的面积。

就实际操作而言，利用等腰直角三角形斜边中线定理，我们可以轻松通过画圆弧的方法得出等腰直角三角形的绘制方法，以期达到正确的比例关系。

这种技巧除了可以结合测量的相关数字，省去又长又费力的计算过程外，更是一种有效而又直观的方法，使得复杂的数学求解变得有效且简单。

另外，等腰直角三角形的斜边中线定理也可以被广泛应用到另一方面，比如让人们用等腰直角三角形进行形状和几何图形的调整，其中探索出这一定理就可以帮助人们轻松设计出细节令人满意的几何图形而又不失精准度，从而获得较好的视觉效果。

等腰直角三角形斜边中线定理是数学中一个重要而深刻的定理，具有实际操作及一定的普遍适用性，为不同行业的有关几何学的教学和应用提供了简单的、有效的技巧。

它的普遍性能被更多的人们所 ppreciate，是几何学教育及研究的重要内容。

斜边中线定理推导摘要：1.斜边中线定理的概念2.斜边中线定理的推导过程3.斜边中线定理的应用正文：【1.斜边中线定理的概念】斜边中线定理，又称为直角三角形斜边中线定理，是指在直角三角形中，斜边的中线等于另外一条直角边的一半。

这个定理在我国初中数学课程中就会接触到，是直角三角形性质中一个非常基础且重要的定理。

【2.斜边中线定理的推导过程】斜边中线定理的推导过程主要分为两个步骤：步骤一：作图。

在直角三角形ABC 中，假设∠C=90°，AB 为斜边，CD 为AB 的中线，AE 为BC 的延长线，AF 为AC 的延长线，交于点E。

步骤二：证明。

根据三角形的全等条件，我们可以证明Rt△ADC≌Rt△AEB，具体如下：（1）∠ADC=∠AEB，因为它们都是对直角三角形的补角；（2）DC=EB，因为CD 是AB 的中线，所以DC=EB；（3）∠CAD=∠EBA，根据同理，它们都是对直角三角形的补角。

既然有两个三角形的三个对应角相等，且对应边长相等，那么根据三角形全等的SAS（边- 角-边）条件，我们可以得出Rt△ADC≌Rt△AEB。

【3.斜边中线定理的应用】斜边中线定理在实际应用中，主要体现在以下几个方面：（1）计算。

在直角三角形中，如果知道斜边和斜边的中线，可以很方便地计算出另外两条直角边的长度。

（2）证明。

在几何证明中，斜边中线定理可以作为一个基本的工具，帮助我们证明一些更复杂的几何问题。

（3）解决实际问题。

在一些实际问题中，可能会涉及到直角三角形的斜边和斜边的中线，这时候斜边中线定理就可以派上用场。

直角三角形斜边中线定理证明
原命题：
如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

逆命题：
如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。

定理证明
设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。

延长AD到E，使DE=AD，连接CE。

∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD
又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），AD=DE
∴△ADB≌△EDC（SAS）
∴AB=CE，∠B=∠DCE
∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=90°
∴∠ACE=90°
∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA
∴△ABC≌△CEA（SAS）
∴BC=AE
∵AD=DE=1/2AE
∴AD=1/2BC
直角三角形性质
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

性质5：30度的锐角所对的直角边是斜边的一半。