重点中学全等三角形证明及方法总结

❸由中点想到的辅助线 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长及其相关性质 （等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
8
（1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图 1，AD 是 ΔABC 的中线，则 SΔABD=SΔACD= SΔABC（因为 ΔABD 与 ΔACD 是等底同高的）。
成全等三角形
全等
造全等，则 P 是中点
三角形
图中有角平分线，可向两边 图中有角平分线，沿它对折 角平分线加垂线，“三线合 角平分线+平行线，等腰三
作垂线
关系现
一”试试看
角形必呈现
角平分线的常见倒角模型及相关结论 已知△ABC 中，BP，CP 分别为角平分线且交于点 P，探讨∠BPC 与∠A 的关系
角平 分线 倒角 模型
证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 F
G
E
D
∵∠BDF 是△ABD 的外角 ∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
B
F
C
图2 1
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内 角位置上，再利用不等式性质证明。
分析：因为∠BDC 与∠BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠
BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；
证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时∠BDC 是△EDC 的外角，
A
∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC

全等三角形的判定方法总结
1.SSS判定法：SSS（边边边）法是指通过比较两个三角形的三条边的边长是否相等来判定是否全等。

如果两个三角形的三条边长度相等，则可以判定它们是全等三角形。

2.SAS判定法：SAS（边角边）法是指通过比较两个三角形的一个边长和对应的两个角度来判定是否全等。

如果两个三角形的一个边和对应的两个角度相等，则可以判定它们是全等三角形。

3.ASA判定法：ASA（角边角）法是指通过比较两个三角形的两个角度和对应的一条边的边长来判定是否全等。

如果两个三角形的两个角度和对应的一条边相等，则可以判定它们是全等三角形。

4.AAS判定法：AAS（角角边）法是指通过比较两个三角形的两个角度和一个不夹在这两个角度之间的边的边长来判定是否全等。

如果两个三角形的两个角度和不夹在这两个角度之间的边相等，则可以判定它们是全等三角形。

5.RHS判定法：RHS（直角边斜边）法是指通过比较两个直角三角形的一个直角边和斜边的长度来判定是否全等。

如果两个直角三角形的一个直角边和斜边的长度相等，则可以判定它们是全等三角形。

需要注意的是，判定两个三角形是否全等时，条件一定要满足相等的关系。

任何两个边长或角度的比较都需要进行精确的测量和比较。

此外，在判定全等三角形时，还可以根据其他附加条件来进行判定，比如垂直平分线法、辅助线法等。

这些方法可以提供额外的证明和辅助，但主要还是依靠上述的基本的全等三角形判定方法。

综上所述，全等三角形的判定方法可以通过SSS、SAS、ASA、AAS和RHS这五种基本的判定法来进行。

初中数学证明三角形全等方法总结姓名：__________指导：__________日期：__________在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论.利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等．下面介绍证明三角形全等的几种方法，供同学们参考．一、利用公共角证明全等【例题1】如图1，已知AB ＝AC, AE ＝AF，BF 交CE 于点O.图1求证: ∠ABF ＝∠ACE.分析：要证明∠ABF＝∠ACE，只需证明△BOE≌△COF 或△ABF≌△ACE. 而由图形可知∠A 是公共角，又由已知条件AB ＝AC, AE＝AF, 所以△ABF≌△ACE（SAS），于是问题获证．证明：略.二、利用对顶角证明全等【例题2】如图2，点B、E、F、D 在同一条直线上，AB ＝CD，BE ＝DF，AE ＝CF，连接AC 交BD 于点O．图2求证：AO ＝CO．分析：要证明AO＝CO，只需证明△AOE≌△COF或△AOB≌△COD 即可．根据现有条件都无法直接证明．而由已知条件AB ＝CD，BE ＝DF, AE ＝CF 可直接证明△ABE≌△CDF，则有∠AEB＝∠CFD，进而有∠AEO＝∠CFO，再利用对顶角相等即可证明△AOE≌△COF（AAS）于是问题获证．证明：略.三、利用公共边证明全等【例题3】如图3，已知AB ＝CD，AC ＝BD．图3求证：∠B ＝∠C．分析：设AC 与BD 交于点O，此时∠B 与∠C 分别在△AOB 和△DOC 中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形．此时可以连接AD，那么AD 是△ABD 和△DCA 的公共边，这样可以证明△ABD≌△DCA（SSS），从而可证明∠B ＝∠C，于是问题获证．证明：略.四、利用相等线段中的公共部分证明全等【例题4】如图4，点E、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE.图4求证：BE∥DF.分析：要证明BE∥DF, 只需证明∠BEC ＝∠DFA，此时可以转换为证明∠AEB ＝∠CFD, 进而证明△AEB≌△CFD（SAS）. 而AE = AF - EF , CF = CE - EF , 故AE = CF .证明：∵ 在平行四边形ABCD 中，∴ AB∥CD，AB = CD，∴ ∠BAE = ∠DCF，∵ AE = AF - EF , CF = CE - EF , AF ＝CE，∴ AE = CF，∴ △AEB ≌ △CFD（SAS），∴ ∠AEB ＝∠CFD,∴ ∠BEC ＝180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD = ∠DFA，∴ BE∥DF.五、利用等角中的公共部分证明全等【例题5】如图5，已知∠E ＝30°，AB ＝AD，AC ＝AE，∠BAE＝∠DAC．图5求：∠C 的度数．分析：已知∠E ＝30°，要求∠C，可考虑证明△ABC≌△ADE , 由∠BAE ＝∠DAC , 结合图形可知∠BAC ＝∠DAE，于是问题获解．证明：∵ ∠BAE＝∠DAC，∴ ∠BAE + ∠EAC = ∠DAC + ∠EAC，∴ ∠BAC ＝∠DAE，∵ AB ＝AD，AC ＝AE，∴ △ABC ≌ △ADE（SAS）,∴ ∠C = ∠E = 30° .六、利用互余或互补角的性质证明全等【例题6】如图6，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE⊥AC 于点B, 且DC ＝EC, 能否找出与AB + AD 相等的线段，并说明理由．图6分析：由于AC ＝AB + BC，可以猜想AC ＝AB + AD，或BE ＝AB + AD，此时只需证明AD ＝BC 即可．而事实上，用同角的余角相等可得到∠DCA ＝∠E，从而证明△ADC ≌ △BCE，问题获证．注意考点：同角或等角的余角相等.证明：∵ BE⊥AC，∴ ∠EBC = 90°，∵ ∠DCA + ∠ACE = ∠DCE = 90°，∠E + ∠ACE = 90°，∴ ∠DCA ＝∠E，∵ ∠DAC = ∠EBC = 90°，DC ＝EC,∴ △ADC ≌ △BCE（AAS），∴ AC = BE , AD = BC，∴ AB + AD = AB + BC = AC = BE .七、利用角平分线的性质构造全等三角形证明全等考点：角平分线上的点到角两边的距离相等【例题7】如图7，点P 是∠ABC 的平分线BN 上一点，PE 垂直AB 所在的直线与E , PF 垂直BC 所在的直线于F, ∠PAB + ∠PCB = 180°.图7求证：PA = PC.证明：∵ BN 是∠EBC 的角平分线，PE⊥BA，PF⊥BC，∴ ∠PEA = ∠PFC = 90°，PE = PF ,∵ ∠PAB + ∠PAE = ∠PAB + ∠PCB = 180°，∴ ∠PAE = ∠PCF，∴ △PAE ≌ △PCF，∴ PA = PC.八、利用截长补短法构造全等三角形证明全等所谓截长法是指在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可以把分散的条件相对集中起来，以便构造全等三角形。

证明全等三角形的一般方法一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）。

例1.如图1，已知：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，且B、C、D在同一条直线上。

求证：AD＝BEAEB C D图1二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）例2. 如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。

求证：AM＝CNM NA CB D图2三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等（AAS，ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）例3. 如图3，已知：∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，AC交BD于点O。

求证：△CAB≌DBAD COA B图3四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等例4.如图4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F。

求证：AE＝AFAF ED GB C图4五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形例5.如图5，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E。

求证：∠ADB＝∠CDEA图5D CB A F E DC B A 常用证题技巧一、倍长中线（线段）造全等遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形， 例1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.二、截长补短 1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC三、借助角平分线造全等2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：BE=CF四、借旋转造全等三角形例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.五、涉高可用求面积法14．矩形ABCD 的边AD 上有一点P ，PQ ⊥AC 于点Q ，PH ⊥BD 于点H ，AB=6，C D B A ED G FCB AAD=8，则PQ+PH 的______________值；六、巧用角平分线定理及逆定理证题17.如图10，BD=CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB.求证：点D 在∠BAC 的平分线上.18. 已知，如图11，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，点F 在AC 上，BD=DF.求证：(1)CF=EB ；七、巧用线段垂直平分线证题：例2. 如图，在△ABC 中，BC=8cm, AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E, △BCE 的周长等于18cm, 则AC 的长等于（ ）例5.如图，△ABC 中，AB 与AC 的垂直平分线相交于F,且分别交AB 于D ，交AC 于E 。

证明全等三角形黄金总结全等三角形是初中几何的重点学习内容，学习好初中几何有利于将来学习高中立体几何，更有助于日常的几何关系处理。

这里，结合本人经验，给亲爱的初中同学总结了一下比较典型的证明方法，希望可以帮到学子学习上更上一层楼。

全等三角形指两个三角形的三条边及三个角都对应相等，全等三角形共有5种基本的判定方式：1. SSS（只要两个三角形对应的三条边长度一样，即可证明两个三角形全等，简称：边边边）举例：如下图，AC=BD，AD=BC，求证△ACD与△BDC全等。

证明：AC=BD，AD=BC，CD=CD（SSS）.∴△ACD≌△BDC.2. SAS（只要两个三角形的两条边对应相等，且两条边的夹角也相等，即可证明两个三角形全等，简称：边角边）举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证△ACB≌△ADB全等。

证明：∵AB平分∠CAD.∴∠CAB=∠BAD.∵AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB（SAS）.∴△ACB≌△ADB.3. ASA（只要两个三角形的两个角对应相等，且两个角夹的边也对应相等，即可证明两个三角形全等。

简称：角边角）举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.证明：∵∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C（ASA）.∴△ABE≌△ACD.4. AAS（只要两个三角形的两个角对应相等，且其中一个相等的角的侧边也对应相等，即可证明两个三角形全等。

简称：角角边）。

注意：不要与ASA（角边角）搞混。

举例：如下图，AB=DE，∠A=∠E，求证△ABC≌△EDC。

证明：∵∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE （AAS）.∴△ABC≌△EDC.5. HL（只要两个直角三角形的一条斜边和一条直角边对应相等，即可证明两个三角形全等。

简称：斜边、直角边）（Rt：直角三角形）举例：如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证△ADC≌t△BCD.证明：AC=BD，CD=CD（HL）.∴△ADC≌t△BCD.注意事项：SSS、SAS、ASA、AAS可用于任意三角形；HL只限于直角三角形.注意SSA、AAA不能判定全等三角形.几何题要多加练习，熟练掌握以上5种方法即可破解大部分初中几何难题。

全等三角形的判定方法五种证明方法一：SSS判定法（边边边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即三角形的三边相等。

假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以得出两个三角形全等。

证明：假设有两个三角形ABC和DEF，且已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。

通过图形可以发现，若容器DAB将图形DEF旋转并平移后完全重合于ABC，则两个三角形全等。

因此，通过旋转和平移操作，将DEF旋转至直线AC上的点F与C匹配，同时将点F移动至点C。

由于线段DE和线段AC相等，而由已知条件可知线段DF与线段AC相等，所以线段DC也与线段AC相等。

因此，可以得出点C与点D重合，即三角形DEF重合于三角形ABC，证明了两个三角形全等。

方法二：SAS判定法（边角边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们全等。

假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，角A=角D，BC=EF，则可以得出两个三角形全等。

证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，角A=角D，BC=EF。

根据已知条件可以得出角D与角A相等，以及线段DE与线段AB相等。

通过这两个已知条件可以得出点D与点A重合，即三角形DEF与三角形ABC重合，证明了两个三角形全等。

方法三：ASA判定法（角边角判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两角和一边分别相等时，它们全等。

假设有两个三角形ABC和DEF，若角A=角D，角B=角E，AB=DE，则可以得出两个三角形全等。

证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知角A=角D，角B=角E，AB=DE。

根据已知条件可以得出角D与角A相等，角E与角B相等，以及线段AB与线段DE相等。

通过这三个已知条件可以得出三角形DEF与三角形ABC完全重合，证明了两个三角形全等。

方法四：HL判定法（斜边和高判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的斜边和高分别相等时，它们全等。

2021初中数学证明三角形全等方法总结在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论.利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等．下面介绍证明三角形全等的几种方法，供同学们参考．一、利用公共角证明全等【例题 1】如图 1，已知 AB ＝ AC, AE ＝ AF，BF 交 CE 于点 O.图 1求证:∠ABF ＝∠ACE.分析：要证明∠ABF＝∠ACE，只需证明△BOE≌△COF 或△ABF≌△ACE. 而由图形可知∠A 是公共角，又由已知条件 AB ＝ AC, AE＝ AF, 所以△ABF≌△ACE（SAS），于是问题获证．证明：略.二、利用对顶角证明全等【例题 2】如图 2，点 B、E、F、D 在同一条直线上，AB ＝ CD，BE ＝DF，AE ＝ CF，连接 AC 交 BD 于点 O．图 2求证：AO ＝ CO．分析：要证明 AO＝CO，只需证明△AOE≌△COF 或△AOB≌△COD 即可．根据现有条件都无法直接证明．而由已知条件 AB ＝CD，BE ＝ DF, AE ＝ CF 可直接证明△ABE≌△CDF，则有∠AEB＝∠CFD，进而有∠AEO＝∠CFO，再利用对顶角相等即可证明△AOE≌△COF（AAS）于是问题获证．证明：略.三、利用公共边证明全等【例题 3】如图 3，已知 AB ＝ CD，AC ＝ BD．图 3求证：∠B ＝∠C．分析：设 AC 与 BD 交于点 O，此时∠B 与∠C 分别在△AOB 和△DOC 中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形．此时可以连接 AD，那么 AD 是△ABD 和△DCA 的公共边，这样可以证明△ABD≌△DCA（SSS），从而可证明∠B ＝∠C，于是问题获证．证明：略.四、利用相等线段中的公共部分证明全等【例题 4】如图 4，点 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF ＝ CE.图 4求证：BE∥DF.分析：要证明BE∥DF, 只需证明∠BEC ＝∠DFA，此时可以转换为证明∠AEB ＝∠CFD, 进而证明△AEB≌△CFD（SAS）. 而 AE = AF - EF , CF = CE - EF , 故 AE = CF .证明：∵ 在平行四边形 ABCD 中，∴ AB∥CD，AB = CD，∴∠BAE = ∠DCF，∵ AE = AF - EF , CF = CE - EF , AF ＝ CE，∴AE = CF，∴ △AEB ≌ △CFD（SAS），∴ ∠AEB ＝∠CFD,∴ ∠BEC ＝180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD = ∠DFA，∴ BE∥DF.五、利用等角中的公共部分证明全等【例题 5】如图 5，已知∠E ＝30°，AB ＝ AD，AC ＝ AE，∠BAE＝∠DAC．图 5求：∠C 的度数．分析：已知∠E ＝30°，要求∠C，可考虑证明△ABC≌△ADE , 由∠BAE ＝∠DAC , 结合图形可知∠BAC ＝∠DAE，于是问题获解．证明：∵ ∠BAE＝∠DAC，∴ ∠BAE +∠EAC= ∠DAC +∠EAC，∴ ∠BAC ＝∠DAE，∵ AB ＝ AD，AC ＝ AE，∴ △ABC ≌ △ADE（SAS） ,∴ ∠C = ∠E = 30° .六、利用互余或互补角的性质证明全等【例题 6】如图 6，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE⊥AC 于点 B, 且DC ＝ EC, 能否找出与 AB + AD 相等的线段，并说明理由．图 6分析：由于 AC ＝ AB + BC，可以猜想 AC ＝ AB + AD，或 BE ＝AB + AD，此时只需证明 AD ＝ BC 即可．而事实上，用同角的余角相等可得到∠DCA ＝∠E，从而证明△ADC ≌ △BCE，问题获证．注意考点：同角或等角的余角相等.证明：∵ BE⊥AC，∴ ∠EBC = 90°，∵ ∠DCA +∠ACE= ∠DCE = 90°，∠E +∠ACE= 90°，∴ ∠DCA ＝∠E，∵ ∠DAC = ∠EBC = 90°，DC ＝ EC,∴ △ADC ≌ △BCE（AAS），∴ AC = BE , AD = BC，∴AB + AD= AB + BC = AC= BE.七、利用角平分线的性质构造全等三角形证明全等考点：角平分线上的点到角两边的距离相等【例题 7】如图 7，点 P 是∠ABC 的平分线 BN 上一点，PE 垂直 AB 所在的直线与 E , PF 垂直BC 所在的直线于F, ∠PAB + ∠PCB = 180°.图 7求证：PA = PC.证明：∵ BN 是∠EBC 的角平分线，PE⊥BA，PF⊥BC，∴ ∠PEA = ∠PFC = 90°，PE = PF ,∵ ∠PAB + ∠PAE = ∠PAB + ∠PCB = 180°，∴ ∠PAE = ∠PCF，∴ △PAE ≌ △PCF，∴ PA = PC.八、利用截长补短法构造全等三角形证明全等所谓截长法是指在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可以把分散的条件相对集中起来，以便构造全等三角形。

专题研究：全等三角形证明方法归纳及典型例题全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。

（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

（位置变化）2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC ≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。

（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。

（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。

（3）全等三角形周长，面积相等。

4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；图3图1 图2（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：（深入理解）①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）⑤斜边，直角边（HL）注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

1.第一种方法争廊是：三组对应边分别相等的两个三角形全等。

俗称sss/边边
边。

也是最简单地证明三角形全阅巨等方法了，不过出题一般不会出此知识点。

2. 2
第二种方法是：有两边及其夹角对应相等的两个全等三角形全等，俗称SAS/边角边。

如下图三角形ABC与三角形ABD全等。

（边AB是公共角，边AC 等于边AD，角BAC=角度BAD)
3. 3
第三种方法是有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，俗称ASA/角边角
如下图：如下图三角形ACD与三角形ABE全等。

（角A是公共角，边AB 等于边AC，边AE=边AD)
4. 4
第四种方法是有两角及一角的对边对应相等的召民汽两个三角形全等，俗称边边角/AAS。

如下图三角形ACD与三角形BCD全等。

（BD是公共边，角A等于角B，角ACD=角BDC)
5. 5
第五种方法是关于直角三角形的。

直角三角形的全等条件是斜边及其一直角对应相等的两个直角三角形全等。

俗称HL/直角边。

如下图，三角形ACD与三角形BCD全等。

ABCD P O7题图ED CBA全等三角形的证明及做几何题的方法总结1、如图△ABC 中，F 是BC 上的一点，且CF ＝12 BF,那么△ABF 与△ACF 的面积比是＿＿＿＿＿2、如图17所示，在∠AOB 的两边上截取AO ＝BO ，OC ＝OD ，连接AD 、BC 交于点P ，连接OP ，则下列结论正确的是( )①△APC ≌△BPD ②△ADO ≌△BCO ③△AOP ≌△BOP ④△OCP ≌△ODPA ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．①③④ 3、如图，CE 平分∠ACB ，且CE ⊥DB ，∠DAB ＝∠DBA ，AC ＝18cm ，△CBD 的周长为28 cm ，则DB ＝ 。

4、如图在△ABC 中,AB=AC,点D 为AB 的中点,DE ⊥AB,交AC 于E,已知△BCE 的周长为10cm,且AC-BC=2cm ,求△ABC 的周长。

5、已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BEABDCE 126、在△ABC 中, AB = AC , AD 和CE 是高,它们所在的直线相交于H . ⑴若∠BAC = 45°（如图①）,求证：AH = 2BD ; ⑵若∠BAC = 135°（如图②）,⑴中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论.图①E H DCBA CBA图②(1)D PE CBA (2)DPECBA(3)PCBAHDEABC7、在△ABC 中，AC ＝BC,∠C ＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕P 点旋转，三角板的两直角边分别交AC 、CB 于D 、E 两点，如图（1）、（2）所示。

问PD 与PE 有何大小关系？在旋转过程中，还会存在与图⑴、⑵不同的情形吗？若存在，请在图⑶中画出，并选择图⑵或图⑶为例加以证明，若不存在请选择图⑵加以证明．8、如图已知： △ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于D ，DE∥BC 交AB 于E ，交AC 于F 。

全等三角形知识点总结在初中数学学习中，我们学习到了三角形的全等。

全等三角形是初中数学中一个非常重要的知识点，也是基础中的基础。

全等三角形的概念、性质和判定方法都是我们需要掌握的重点内容。

本文将对全等三角形的相关知识点进行总结，帮助大家更好地掌握和理解这一部分内容。

一、全等三角形的定义什么是全等三角形呢？全等三角形是指在三角形的三个对应角相等、三个对应边相等的情况下，我们就可以称这两个三角形是全等的。

用符号来表示的话，就是∆ABC≌∆DEF，其中A、B、C分别是∆ABC的三个顶点，D、E、F分别是∆DEF的三个顶点。

全等三角形的性质1、全等三角形的性质1：对应角相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应角分别相等。

也就是说，在全等三角形中，三个对应角是相等的。

2、全等三角形的性质2：对应边相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应边分别相等。

也就是说，在全等三角形中，三个对应边是相等的。

3、全等三角形的性质3：对应线段相等如果两个三角形是全等的，那么它们的对应线段（如中线、角平分线等）也相等。

二、全等三角形的判定方法全等三角形有几种判定方法，下面我们分别来看看。

1、全等三角形的判定方法一：SAS判定法SAS判定法是指边-角-边全等判定法。

也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形是全等的。

判定条件：如果在两个三角形中，一对对应边相等，且夹在中间的对应角也相等，那么这两个三角形是全等的。

2、全等三角形的判定方法二：ASA判定法ASA判定法是指角-边-角全等判定法。

也就是说，如果两个三角形的两个角和一个夹在中间的边分别相等，则这两个三角形是全等的。

判定条件：如果在两个三角形中，一对对应角相等，且夹在中间的对应边也相等，那么这两个三角形是全等的。

3、全等三角形的判定方法三：SSS判定法SSS判定法是指边-边-边全等判定法。

也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。

全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

全等三角形证明判定方式分类总结全等三角形是指具有完全相同形状和大小的三角形。

在几何学中，判定两个三角形是否全等是一种重要而基础的推理方法。

全等三角形的证明判定方式主要有三种：SSS全等定理、SAS全等定理和ASA全等定理。

接下来我将分别介绍这三种定理的内容及具体应用。

1.SSS全等定理SSS全等定理是指当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就全等。

具体表述为：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

SSS全等定理的证明方法主要是通过边的长度作为条件来判断两个三角形是否全等。

在实际问题中，当已知两个三角形的三条边的长度分别相等时，可以直接通过SSS全等定理来判定这两个三角形是否全等。

例如，当已知两个三角形的三边分别等于3cm、4cm、5cm时，即可判定这两个三角形全等。

2.SAS全等定理SAS全等定理是指当两个三角形的一条边、夹角和另一条边分别相等时，这两个三角形就全等。

具体表述为：如果两个三角形的一条边、夹角和另一条边分别相等，则这两个三角形全等。

SAS全等定理的证明方法主要是通过一条边、夹角和另一条边的关系来判断两个三角形是否全等。

在实际问题中，当已知两个三角形的一个夹角和两条边分别相等时，可以直接通过SAS全等定理来判定这两个三角形是否全等。

例如，当已知两个三角形的一个夹角为60度，两个边分别等于4cm和6cm时，即可判定这两个三角形全等。

3.ASA全等定理ASA全等定理是指当两个三角形的一条角、边和另一条角分别相等时，这两个三角形就全等。

具体表述为：如果两个三角形的一条角、边和另一条角分别相等，则这两个三角形全等。

ASA全等定理的证明方法主要是通过一条角、边和另一条角的关系来判断两个三角形是否全等。

在实际问题中，当已知两个三角形的一个角和两条边分别相等时，可以直接通过ASA全等定理来判定这两个三角形是否全等。

例如，当已知两个三角形的一个角为30度，两个边分别等于5cm和7cm时，即可判定这两个三角形全等。

全等三角形证明判定方法分类总结汇总第一类：SSS判定法（边边边判定法）SSS判定法是指通过边长的相等来判定两个三角形全等。

当两个三角形的三条边长度分别相等时，可以推断这两个三角形全等。

这是最常用的全等三角形的证明方法。

第二类：SAS判定法（边角边判定法）SAS判定法是指通过边长的相等和两边夹角的相等来判定两个三角形全等。

当两个三角形的两条边长度分别相等，且这两边夹角相等时，可以推断这两个三角形全等。

第三类：ASA判定法（角边角判定法）ASA判定法是指通过角度的相等和一边的相等来判定两个三角形全等。

当两个三角形的两个角度分别相等，且这两个角度之间的边的长度相等时，可以推断这两个三角形全等。

第四类：AAS判定法（角角边判定法）AAS判定法是指通过两个角度的相等和一边的相等来判定两个三角形全等。

当两个三角形的两个角度分别相等，且这两个角度之间的一边的长度相等时，可以推断这两个三角形全等。

第五类：HL判定法（斜边高判定法）HL判定法是指通过边长的相等和一条边上的高线相等来判定两个三角形全等。

当两个三角形的一条边和这条边上的垂线长度分别相等，且这条边夹角相等时，可以推断这两个三角形全等。

第六类：SSA判定法（边边角判定法）SSA判定法是指通过两个边长的相等和这两个边之间的夹角相等来判定两个三角形全等。

但应注意，当只知道两个边的长度和它们之间的夹角时，并不能推断这两个三角形全等。

需要注意的是，以上列举的全等三角形证明判定法是充分条件而不是必要条件。

如果满足了一些判定条件，则可以推断两个三角形全等，但如果不满足判定条件，则并不能推断两个三角形不全等。

因此，在证明中还需要注意辅助线的使用和合理的推理过程。

除了上述分类的判定法，还可以根据题目给出的条件和限制灵活运用相关的定理和性质进行推理。

例如，利用平行线的性质、欧几里得几何的基本定理等进行推理。

综上所述，全等三角形的证明判定方法主要包括SSS判定法、SAS判定法、ASA判定法、AAS判定法、HL判定法和SSA判定法。

三角形全等一．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”（SSS ）图2－1 图2－2 图2－3 1．已知：如图2－1，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点． 求证：RM 平分∠PRQ ．分析：要证RM 平分∠PRQ ，即∠PRM ＝______， 只要证______≌______证明：∵ M 为PQ 的中点（已知）， ∴______＝______在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PM RQ RP 已知∴______≌______（ ）． ∴ ∠PRM ＝______（______）． 即RM ．2．已知：如图2－2，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF . 求证：∠A ＝∠D ．分析：要证∠A ＝∠D ，只要证______≌______． 证明：∵BE ＝CF （ ）， ∴BC ＝______．在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===______,______,______,AC BC AB ∴______≌______（ ）． ∴ ∠A ＝∠D （______）．3．如图2－3，CE ＝DE ，EA ＝EB ，CA ＝DB ， 求证：△ABC ≌△BAD ．证明：∵CE ＝DE ，EA ＝EB ，∴______＋______＝______＋______， 即______＝______． 在△ABC 和△BAD 中， ＝______（已知），⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______已证已知 ∴△ABC ≌△BAD （ ）．练习4．已知：如图2－4，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .如图2－45．“三月三，放风筝”．图2－5是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．图2－5二．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”(SAS)图3－1 图3－21．已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ． 求证：∠D ＝∠B ．分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______ 证明：在△AOD 与△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO∴ △AOD ≌△______ （ ）． ∴ ∠D ＝∠B （______）．2．已知：如图3－2，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ． 分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______， 又需证______≌______． 证明：∵ AB ∥CD （ ）， ∴ ∠______＝∠______ （ ）， 在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （ ）． ∴ ∠______＝∠______ （ ）． ∴ ______∥______（ ）．练习4．已知：如图3－3，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ． 求证：∠B ＝∠C ．图3－35．已知：如图3－4，AB＝AC，BE＝CD．求证：∠B＝∠C．图3－46．已知：如图3－5，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．图3－57．如图3－6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．图3－6三．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”(ASA)，判定方法4——“角角边”(AAS)图4－12．已知：如图4－1，PM ＝PN ，∠M ＝∠N ．求证：AM ＝BN ． 分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证P A ＝______， 只要证______≌______．证明：在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),______(______),______(______),______(______∴ △______≌△______ （ ）． ∴P A ＝______ （ ）． ∵PM ＝PN （ ），∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．3．已知：如图4－2，AC BD ．求证：OA ＝OB ，OC ＝OD ． 分析：要证OA ＝OB ，OC ＝OD ，只要证______≌______． 证明：∵ AC ∥BD ，∴ ∠C ＝______． 在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠∠=∠),______(______),______(),______(C AOC∴______≌______ （ ）． ∴ OA ＝OB ，OC ＝OD （ ）．图4－2练习4．能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 （ ） A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠E B ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠E C ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠D D ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E5．如图4－3，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是 （ ）图4－3A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙6．AD 是△ABC 的角平分线，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，下列结论错误的是（ ） A ．DE ＝DF B ．AE ＝AF C ．BD ＝CD D ．∠ADE ＝∠ADF 7．阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－4，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，图4－4⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A∴ △AOD ≌△COB （ASA ）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？8．已知：如图4－5，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．图4－59．已知：如图4－6，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.图4－610．已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于F，BC＝10，BE ＝4．求BM、CF的长．11．填空题（1）已知：如图4－7，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ______≌△______，理由为______．（2）已知：如图4－8，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．图4－7 图4－812．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．（1）请证明AD＝A'D'；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗？图4－913．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．图4－10（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．图4－11。

全等三角形证明技巧总结证明全等三角形的方法有很多，下面是一些常用的证明技巧总结。

1.SSS法（边边边全等法）：利用三角形的三条边分别相等来证明两个三角形全等。

具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的对应边分别相等，并证明它们分别对应相等的角相等。

（2）然后证明这两个相等的角所对应的边也相等。

（3）最后，可以得出两个三角形全等。

2.SAS法（边角边全等法）：利用三角形的两条边和夹角分别相等来证明两个三角形全等。

具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的一些角相等，并证明它们的对应边相等。

（2）然后证明这两个相等的边所对应的角也相等。

（3）最后，可以得出两个三角形全等。

3.ASA法（角边角全等法）：利用三角形的两个角和夹边分别相等来证明两个三角形全等。

具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的两个角相等，并证明它们的夹边相等。

（2）然后证明这两个夹边所对应的角也相等。

（3）最后，可以得出两个三角形全等。

4.AAS法（角角边全等法）：利用三角形的两个角和一个非夹边的相等来证明两个三角形全等。

具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的两个角相等，并证明它们的非夹边相等。

（2）然后证明这两个非夹边所对应的角也相等。

（3）最后，可以得出两个三角形全等。

5.RHS法（直角边-斜边-直角相等法）：利用三角形的直角边和斜边分别相等来证明两个三角形全等。

具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的一个直角边和斜边相等，并证明它们的斜边相等。

（2）然后证明这两个相等的斜边所对应的直角边也相等。

（3）最后，可以得出两个三角形全等。

6.共边法：若两个三角形的其中两边相等，并且这两边的一端相连，且对应的角也相等，那么这两个三角形全等。

具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的一个边和它的一端与另一个边共线，并且这两边相等。

（2）然后证明这两个相等的边所对应的角也相等。

（3）最后，可以得出两个三角形全等。

7.旋转法：利用三角形的旋转操作来证明两个三角形全等。